5.1 认识方程（讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦一元一次方程的核心知识，从方程的定义（含未知数的等式）入手，延伸至一元一次方程的限定条件（一个未知数、次数1、整式方程），再到方程的解与解方程的概念，最终通过天平实验抽象出等式性质，构建概念-性质-应用的学习支架。 资料通过随学随练、题型分类及拓展应用形成完整学习链，以天平实验抽象等式性质培养抽象能力（数学眼光），解题贴士引导逻辑推理（数学思维），列方程环节强化模型意识（数学语言）。课中辅助分层教学，课后助力学生通过基础与提升练习查漏补缺，提升应用能力。

第五章 一元一次方程 5.1 认识方程 课标要点 1. 理解方程是描述现实世界等量关系的重要模型，能针对具体问题列出方程，体会从算术思维到代数思维的过渡。 2. 借助天平实验探索并归纳等式的基本性质，能用文字语言和符号语言准确表述。 3. 掌握利用等式的基本性质解一元一次方程的方法，理解解方程的本质是将方程变形成“x=a”的形式。 学习重难点 学习重点 1. 理解并掌握等式的基本性质（两边同加减、同乘除同一数），能用其进行等式变形。 2. 能利用等式的基本性质解简单的一元一次方程，并检验解的正确性。 学习难点 1. 理解等式性质中“除以同一个不为0的数”的条件限制，避免除以0的错误。 2. 从具体天平实验抽象出等式性质的一般规律，并用数学符号语言准确表达。 知识点 方程的有关概念 定义：含有未知数的等式叫做方程. 【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数． 特别提醒 方程是含有未知数的等式，必须具备“等式”和“未知数”两个要素。注意区分“方程”与“代数式”（不含等号）及“等式”（可无未知数）。 随学随练 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以方程的定义为依据，从是否含未知数、是否为等式两个角度判断各选项． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，不是方程，不符合题意； C、含有未知数，但不是等式，不是方程，不符合题意； D、既含有未知数，又是等式，是方程，符合题意． 2．（24-25七年级上·天津·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为_______（填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题考查方程的判断，根据含有未知数的等式叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：①不是等式，不是方程； ②不含未知数，不是方程； ③是方程； ④是方程； ⑤不是等式，不是方程； 故是方程的为③④． 故答案为：③④ 知识点 一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 特别提醒 必须同时满足三个条件：①含有一个未知数；②未知数的次数是1；③方程两边都是整式。注意“ax+b=0（a≠0）”是标准形式，a=0时不成立。 随学随练 1.（25-26六年级下·山东淄博·期末）下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：一元一次方程需满足三个条件：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的次数为1， ∵选项A不是等式，不是方程， ∴A不符合题意； ∵选项B不含未知数，不是方程， ∴B不符合题意； ∵选项C是只含有一个未知数，且未知数次数为1的整式方程，符合一元一次方程的定义， ∴C符合题意； ∵选项D含有两个未知数和，不是一元方程， ∴D不符合题意． 2．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）关于x的方程是一元一次方程，则_______ ． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，确定未知数的次数为，由此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得． 知识点 方程的解、解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解的过程. 特别提醒 “方程的解”是结果（一个或多个数值），“解方程”是过程（求值的过程）。两者含义不同，注意书面表述区分，检验时需代入原方程验证左右相等。 随学随练 1.（25-26七年级下·河南南阳·期末）是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的解的定义，将代入各选项验证，判断左右两边是否相等，同时注意分式分母不能为0，即可得到结果． 【详解】解：将代入各选项逐一验证： ∵ A选项中，左边，右边，，∴ A错误； ∵ B选项中，左边，右边，，∴ B错误； ∵ C选项中，当时，分母，分式无意义，∴ C错误； ∵ D选项中，左边，右边，左边右边，∴ D正确． 2．（24-25六年级上·上海·阶段检测）___________（填“是”或“不是”）方程的解 【答案】不是 【分析】本题考查了方程的解的概念，熟练掌握方程的解的概念．把分别代入方程的左右两边计算，即可判断答案． 【详解】解：当时， 左边， 右边， 左边右边， 不是方程的解． 故答案为：不是． 知识点 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 特别提醒 性质1：两边同加减同一数（或式子），等式仍成立；性质2：两边同乘同一数，或同除以同一不为零的数，等式仍成立。特别注意除法时除数不能为0。 随学随练 1.（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图所示，因为，由此可以用推理说明图中，其划线的这一变化过程运用了（     ） A．加法的意义 B．加法交换律 C．加法结合律 D．等式的性质 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立．直接判断即可． 【详解】∵， ∴， 利用了等式的性质，符合等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立， 故答案为：D． 2．（25-26七年级下·云南昭通·期中）根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A选项，若，等式两边同除以得，∴A错误，不符合题意； B选项，若，等式两边同乘以得，∴B错误，不符合题意； C选项，若，则，不一定满足，∴C错误，不符合题意； D选项，若，分式有意义可推出，等式两边同乘以得，∴D正确，符合题意． 拓展 根据一元一次方程求参数的值 1. 解的定义代入：若给出方程的解，直接将解代入原方程，转化为关于参数的一元一次方程求解。 2. 同解方程联立：若两个方程解相同，先解不含参的方程，将解代入含参方程求参数。 3. 解的属性列式：根据“解互为相反数”“解是正数”等条件，用含参表达式表示解，再列方程或不等式求值。 关键：始终用“代入法”将参数问题转化为常规方程求解。 活学活用 1．（25-26七年级下·山东淄博·期中）若方程是关于x的一元一次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义可知，未知数的次数为且未知数的系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴，且， 解得，且， ∴． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）若是关于x的一元一次方程，则m的值是____． 【答案】7 【分析】根据定义列出关于m的等式与不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，可得， 解，得或， 解得或， 由，得， 因此． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若是关于的一元一次方程，则_______． 【答案】2 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴ ∴． 4．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）若关于x的方程是一元一次方程，则a，b应满足什么条件？ 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义． 若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可得出关于的方程，以及，从而求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且． 所以a，b应满足且． 拓展 已知一元一次方程的解求代数式的值 1. 代入求参：将已知解代入方程，求出参数（如m、 k ）的具体数值。 2. 回代计算：把求出的参数值代入目标代数式，按运算顺序计算。 3. 整体代换：若所求代数式可化为含参数的组合形式，不必先求参数，利用方程变形整体代入更简便。 关键：先定参数，再算代数式；注意符号和分数运算。 活学活用 1．（25-26六年级下·山东泰安·期末）关于的方程的一个解是，则____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程的一个解是， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 2．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知是方程的解，则的值为________ 【答案】5 【分析】根据方程解的含义，将代入方程，求出的值，再计算即可． 【详解】解：是方程的解， 则， 解得， 将代入可得，． 3．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知是方程的解，则_____ ． 【答案】4 【分析】本题考查方程的解的定义，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 根据方程的解的定义，将代入原方程求出的值，再利用绝对值的性质计算的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， ∴． 故答案为：4． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）若是关于的方程的解，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 把代入原方程中求出，整体代入即可得到答案． 【详解】解：因为是关于的方程的解， 所以把代入，得， 所以． 题型 判断各式是否是方程 解题贴士 方程必须具备两个条件：①含有未知数；②是等式。两者缺一不可。注意：不等式（如x>3）、代数式（如2x+1）都不是方程，含有未知数的等式才是。 ▌例1（25-26七年级上·山东济宁·期末）下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程． 根据方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，不是等式，故不是方程，不符合题意； B．，是等式但不含未知数，故不是方程，不符合题意； C．，不是等式，故不是方程，不符合题意； D．是等式且含有未知数x，故是方程，符合题意； 故选：D． ▌对点练1-1（25-26七年级上·广西柳州·期末）下列各式中，不是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，方程是含有未知数的等式，需同时满足两个条件：含有未知数和是等式，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的定义是含有未知数的等式， 选项A、B、C均含有未知数且是等式，符合定义； 选项D含有未知数但不是等式，不符合定义． 故选：D． ▌对点练1-2（26-27七年级上·北京·课后作业）在 ①，②，③，④中，方程有 ___________（填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了方程，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 根据含有未知数的等式叫方程，可得答案． 【详解】解：∵①，是等式但不含未知数，故不是方程； ∵②③，含有未知数的等式，故是方程； ④，含有未知数但不是等式，故不是方程， 故答案为：②③． ▌对点练1-3（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 【详解】解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 题型 列方程 解题贴士 设未知数，找等量关系（是关键），用代数式表示各量，按等量关系列出方程。注意单位统一，语言描述要转化为数学式子，检验是否含未知数且为等式。 ▌例2（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）某校七年级有学生x人，其中男生人数比女生人数多20人，男生有150人，列方程为___． 【答案】 【分析】本题主要考查列一元一次方程，主要根据题意中的关系，列出部分关系是解题的关键． 首先根据题意利用总人数列出女生人数为人，再利用男生人数比女生人数多20人由此列方程即可． 【详解】解：由题意得：女生人数为人， ∵男生人数比女生人数多20人， ∴， 故答案为：． ▌对点练2-1（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）“比大5的数等于6”用等式表示________． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程． 根据题意，比a大5的数等于6，可以用一元一次方程表示． 【详解】解：由题意可得：比a大5的数表示为，它等于6， 因此等式为， 故答案为： ▌对点练2-2（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）“比的倍大的数等于的一半”，用式子表示为___________． 【答案】 【分析】本题考查列方程，读懂题意是解决问题的关键． 首先表示“比的倍大的数”为，然后表示“的一半”为，最后建立等量关系即可得到答案． 【详解】解：“比的倍大的数等于的一半”，用式子表示为， 故答案为：． ▌对点练2-3（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）根据下列条件，列出关于的方程： (1)与的差等于的倍； (2)的倍比的一半多． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列方程，准确将文字语言转化为数学表达式是解题的关键． （1）分别表示出与的差，的倍，即可列出方程； （2）分别表示出的倍，的一半，即可列出方程． 【详解】（1）解：与的差表示为：，的倍表示为：，故所列方程为：； （2）的倍表示为，的一半表示为，故所列方程为：． 题型 判断是否是一元一次方程 解题贴士 判断标准：①含一个未知数；②未知数最高次数为1；③是整式方程（分母不含未知数）。三者缺一不可。如2x=3是，x²=4不是，1/x=2不是。 ▌例3（25-26七年级下·河南周口·期末）下列式子中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义，对各选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A，式子中是分式，不是整式，不符合一元一次方程定义，错误； 选项B，是代数式，不是等式，不是方程，错误； 选项C，对原式化简：去括号得，整理后为，满足一元一次方程的所有条件，正确； 选项D，未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程定义，错误． ▌对点练3-1（25-26七年级下·河南周口·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次方程需满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，方程两边都是整式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，方程含有两个未知数和，不符合一元一次方程定义； 选项B中，方程中未知数的最高次数为，不符合一元一次方程定义； 选项C中，方程只含有个未知数，未知数最高次数为，且方程两边都是整式，符合一元一次方程定义； 选项D中，方程的分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元一次方程定义． ▌对点练3-2（25-26七年级下·河南周口·期末）下列等式属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边均为整式的方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解：对选项A：含有两个未知数，不满足条件，不是一元一次方程； 对选项B：整理，去括号得，移项合并得，满足所有条件，是一元一次方程； 对选项C：中未知数最高次数为2，不满足条件，不是一元一次方程； 对选项D：中是分式，不是整式，不满足条件，不是一元一次方程． ▌对点练3-3（25-26七年级下·河南周口·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．中含有2个未知数，不满足一元一次方程定义，不符合题意； B．中未知数的最高次数是2，不满足一元一次方程定义，不符合题意； C．只含有1个未知数，未知数次数为1，且等号两边都是整式，属于一元一次方程，符合题意； D．分母含有未知数，不是整式方程，不满足一元一次方程定义，不符合题意． 题型 判断是否是一元一次方程的解 解题贴士 将未知数的值代入方程左右两边，分别计算。若左右两边相等，则这个数是方程的解；若不相等，则不是。注意代入时要加括号，防止符号错误。 ▌例4（24-25七年级上·广东汕头·期末）是下列哪个方程的解（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 把分别代入方程，逐项判断即可． 【详解】解：A.当 时，，故该选项符合题意； B. 当 时，，故该选项不符合题意； C. 当 时，，故该选项不符合题意； D. 当 时，，故该选项不符合题意； 故选：A ． ▌对点练4-1（24-25七年级上·天津河西·期末）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程的解，掌握方程的解是方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键．将代入各项逐项判断即可． 【详解】解：当时， A．，符合题意；     B．，不符合题意； C．，不符合题意；     D．，不符合题意． 故选：A． ▌对点练4-2（24-25七年级上·甘肃武威·阶段检测）写出一个满足下列条件的一元一次方程：①某个未知数的系数是；②方程的解是5；这样的方程是____________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意可以列出一个符合要求的一元一次方程即可． 【详解】解：方程的解是5，则， 某个未知数的系数是，则可列方程， 故答案为：（答案不唯一）． ▌对点练4-3（25-26七年级下·全国·课前预习）判断是否为下列一元一次方程的解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． （1）将代入原方程，方程左边=方程右边，进而可得出是方程的解； （2）将代入原方程，方程左边≠方程右边，进而可得出不是方程的解； （3）将代入原方程，方程左边=方程右边，进而可得出是方程的解． 【详解】（1）解：将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴是方程的解； （2）解：将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴不是方程的解； （3）解：将代入原方程，方程左边，方程右边， ∵， ∴方程左边方程右边， ∴是方程的解． 题型 已知一元一次方程的解求参数的值 解题贴士 将解（未知数的值）代入方程，得到关于参数的方程，再解这个方程求出参数。注意：代入时要细心，把字母参数当作常数处理，最后检查结果是否满足题意。 ▌例5（25-26七年级上·河南郑州·期末）若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程， 得， 即， 解得． ▌对点练5-1（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知是关于的方程的解，则的值是_____． 【答案】1 【详解】解：把代入得：， 解得：． ▌对点练5-2（25-26七年级下·重庆·期中）若是方程的解，则的值为_____． 【答案】1 【详解】解：将代入方程， 得：， 解得：. ▌对点练5-3（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】将代入方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 题型 等式的基本性质 解题贴士 性质1：两边同加（减）同一个数（式子），等式仍成立；性质2：两边同乘（除）同一个不为零的数，等式仍成立。注意：除法时除数不能为0，加减时式子要整体。 ▌例6（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：等式的基本性质为：等式两边同时加（或减）同一个整式，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），结果仍相等； A．若，根据等式性质可得，故A变形错误，不符合要求； B．∵，等式两边同时减2，由等式基本性质可得，变形正确，符合要求； C．若，等式两边同时乘，可得，故C变形错误，不符合要求； D．若，当时，无论是否相等，等式都成立，因此无法推出，只有时才能得到，故D变形错误，不符合要求． ▌对点练6-1（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列等式变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】等式的基本性质为：等式两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 【详解】解：∵若，两边同时加1可得，两边同时减2可得， ∴A，B选项变形正确，不符合题意． ∵若，且，两边同时除以4可得， ∴D选项变形正确，不符合题意． ∵若，当时，无论取何值等式都成立，只有时才能得到，题目没有说明，因此不能直接得到， ∴C选项变形错误，符合题意． ▌对点练6-2（25-26七年级下·四川乐山·期中）由，得到用表示的式子为_______． 【答案】 【分析】由移项法则变形即可求解． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同乘得． ▌对点练6-3（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质把下列方程化为的形式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等式的基本性质，等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍是等式． （1）根据等式的性质解方程即可； （2）根据等式的性质解方程即可． 【详解】（1）解：， 两边同时减去8，得， 所以，； （2）解：， 两边同时加上4，， 所以， 两边同时乘以，得， 所以，． 基础通关 一、单选题 1.（25-26七年级上·全国·期末）下列四个式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义．根据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．逐一分析各选项是否符合条件即可． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，该选项不符合题意； B、是代数式，含有未知数，但无等号，不是方程，该选项不符合题意； C、是等式且含有未知数，满足方程的定义，该选项符合题意； D、是代数式，含有未知数，但无等号，不是方程，该选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级下·吉林·期末）下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从未知数个数、最高次数、是否为整式三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：A：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合要求． B：含有两个未知数，不符合要求． C：中未知数最高次数为，不符合要求． D：分母含未知数，不是整式方程，不符合要求． 3．（26-27七年级·全国·小升初衔接）是（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把分别代入下列方程，检验是否成立即可． 【详解】解：A.把代入方程，方程左边方程右边，所以是的解； B.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； C.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解； D.把代入方程，方程左边方程右边，所以不是的解． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列方程的变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】等式两边同时加或减同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立． 【详解】解：选项A：∵，等式两边同时减3，得，变形正确，符合题意； 选项B：∵，等式两边同时除以7，得，原式变形错误，不符合题意； 选项C：∵，等式两边同时乘2，得，原式变形错误，不符合题意； 选项D：∵，移项得，原式变形错误，不符合题意． 5．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可求出a的值，再把代入原方程求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）写出一个解为的一元一次方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解使方程左右两边相等的性质是解题的关键．根据一元一次方程的解的定义，构造一个当时等式成立的一元一次方程即可． 【详解】解：设一元一次方程为（），将代入，得， ∴， 取，则， 得到方程， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（25-26七年级上·天津·阶段检测）x的3倍与5的和比x大2，则可列方程为______； 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找相等关系，首先要找到反映相等关系的关键词，如：多，少，倍等．根据题意列出方程即可． 【详解】解：x的3倍为，与5的和为，比x大2即． 故答案为． 8．（25-26七年级下·吉林·期末）若是方程的解，则_________． 【答案】 【分析】将方程的解代入方程即可． 【详解】解：将代入方程中， 得，解得． 9．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）若 是一元一次方程，则 _______ 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可知，，求解即可得到答案． 【详解】解：由题意，得，， 解得且， 则． 10．（25-26六年级下·上海静安·期中）把方程改写成用含的式子表示的形式______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，先移项，再系数化为1即可． 【详解】解：， ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）列等式表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3； (3)x的与3的差等于最大的一位数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）x的2倍与的差可表示为，据此建立等式即可； （2）y的相反数与x的一半的和可表示为，据此建立等式即可； （3）根据已知，首先表示出这个数的，再减3，等于最大的一位数9，得出方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得； （3）解：根据题意，得． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知等式，请判断下列等式是否成立： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)不成立 (2)成立 (3)成立 (4)不成立 (5)成立 (6)不成立 (7)成立 (8)不成立 【分析】本题主要考查了基于等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质：等式两边同时加、减、乘或除以同一个数或整式（除数不为0），等式仍成立．根据等式的基本性质，结合等式，逐项进行判断即可． 【详解】（1）解：已知，若成立，则代入得， 两边同时减去得：，与事实矛盾，故不成立； （2）解：已知，等式两边同时减去2得：，符合等式性质，故成立； （3）解：已知，等式两边同时加上2得：，符合等式性质，故成立； （4）解：已知，则，但小题中为，即，两边同时减去得：，与事实矛盾，故不成立； （5）解：已知，等式两边同时乘以2得：，符合等式性质，故成立； （6）解：已知，则，但小题中为：，即，两边同时加上 得：，即，但题目未限定，故不成立； （7）解：已知，等式两边同时乘以，得，符合等式性质，故成立； （8）解：已知，则，但小题中为，即，两边同时除以（假设），得，与事实矛盾；若，则，代入得，即成立，但题目未限定，故不成立． 13．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）在一次数学活动课上，小军对小明说：我手中有四张卡片，它们上面分别写有9，，，．小明说：我用等号将这四张卡片中的任意两张卡片上的数或式子连接起来，就会得到等式或一元一次方程． 根据以上对话，回答下列问题： (1)小明一共能写出几个等式？ (2)在他写的这些等式中，有几个一元一次方程？请写出这几个一元一次方程． 【答案】(1)6个 (2)有3个，分别为：，， 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）列出从四张卡片中任意选择两张卡片，所有的可能得到的等式； （2）根据一元一次方程的定义从（1）中判断哪些等式是一元一次方程，从而得到答案． 【详解】（1）解：可写出的等式有：、、、、、，共6个等式； （2）解：由（1）可知，一元一次方程有：、、， 共有3个一元一次方程． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业），，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】是方程的解；是方程的解；是方程的解． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，，分别代入四个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到结论． 【详解】解：把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 综上所述，是方程的解；是方程的解；是方程的解． 15．（25-26七年级上·河北·单元复习）方程与方程的解相等，求a的值． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的同解方程，解答本题的关键是理解方程的解．先求出方程的解，再代入方程，即可求a的值 【详解】解：由解得， ∴方程的解也是， ∴把代入， 得， 移项，得， 合并同类项，得系数化为1， 得， ∴故的值为4． 素养提升 1.（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A. ，未知数的次数不是1次，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. 是一元一次方程，故该选项正确，符合题意；     C. 含有2个未知数，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，不是整式方程，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐项判断正误即可． 【详解】解： A．若，不等式两边同时加1，不等号方向不变，可得，A说法正确，不合题意； B．若，不等式两边同时除以，不等号方向改变，可得，B说法正确，不合题意； C．若，当时，；当时，，因此不一定成立，C说法错误，符合题意； D 对任意实数，都有，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，D说法正确，不合题意． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 4．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程． ________________；____________________． 【答案】 【分析】根据等量关系“钢琴上的黑、白两种琴键共有88个”和“白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个”列出方程即可． 【详解】解：用表示白色琴键，表示黑色琴键， ∵钢琴上的黑、白两种琴键共有88个， ∴； ∵白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个， ∴． 5．（26-27七年级·全国·小升初衔接）已知，，( )． 【答案】108 【分析】已知，，把换成3个，计算出，代入数值，即可解答． 【详解】解：根据题意可得 可得 所以 所以． 6．（25-26七年级下·四川宜宾·阶段检测）若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】2019 【分析】将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）请根据题意设未知数，并列出方程．（不用求解） (1)一个数的2倍加30，比这个数的6倍少14，求这个数． (2)已知地球的表面积约为亿平方千米，其中陆地面积约为海洋面积的，求陆地的面积． 【答案】(1)设这个数为，则方程为 (2)设陆地面积为亿平方千米，则方程为 【分析】本题考查根据题意设未知数列方程的能力，理解题意找到等量关系是解题的关键． （1）设这个数为，然后分别表示出这个数的2倍加30和这个数的6倍，然后通过描述数量关系直接列出方程即可； （2）设陆地面积为亿平方千米，根据陆地面积约为海洋面积的，表示出海洋面积，然后根据地球表面积为陆地面积与海洋面积之和，列出方程即可． 【详解】（1）解：设这个数为，则这个数的2倍加30表示为，这个数的6倍少14表示为， ∵这个数的2倍加30，比这个数的6倍少14， ∴可列方程为； （2）解：设陆地面积为亿平方千米， ∵陆地面积约为海洋面积的， ∴海洋面积为， ∵地球表面积为陆地面积与海洋面积之和， ∴可列方程为． 8．（24-25七年级上·全国·单元测试）若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断，，是不是方程的解． 【答案】(1) (2)，不是方程的解；是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的概念和解法，理解方程是一元一次方程，则二次项系数等于0，一次项系数不等于0是关键． （1）根据一元一次方程的定义，x的二次项系数是0，且一次项系数不等于0，据此即可求得m的值； （2）把m的值代入求得方程，然后把每个解代入方程中，如果使方程左右两边相等，这是方程的解，否则不是方程的解． 【详解】（1）解：由题意，得，， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为，所以方程为，即． 把代入方程得，则不是方程的解； 把代入方程得，则是方程的解； 把代入方程得，则不是方程的解． 9．（2024七年级下·广西·竞赛）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 【答案】． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，相反数的定义等知识，，掌握相关知识是解题的关键．首先求出方程的解为，根据相反数的定义得到方程的解为，代入求解即可． 【详解】解：， 解得：， ∵关于x的方程的解与方程的解互为相反数， ∴关于x的方程的解是， 把代入方程，得：， 解得：． 10．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）遵义某中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平和一个5克的砝码，如何测出一枚一元的硬币和一支粉笔的质量呢？以下是奇思妙想小组的实验过程： 实验准备：质量相同的硬币若干和质量相同的粉笔若干． 实验记录： 天平左边 天平右边 天平状态 记录1 5枚硬币+1个5克砝码 7支粉笔 平衡 记录2 10枚硬币+3支粉笔 14支粉笔+1个5克砝码 平衡 根据奇思妙想小组的实验记录，完成下列问题： (1)设一枚硬币的质量为克，用含的代数式表示一支粉笔的质量为_______克或_______克； (2)请你求出一枚硬币和一支粉笔的质量分别是多少克． 【答案】(1) (2)6克，5克 【分析】本题主要考查了等式的性质及列代数式，能根据题意用含x的代数式分别表示出两种记录中一支粉笔的质量是解题的关键． （1）根据题意，用含x的代数式分别表示出两种记录中一支粉笔的质量即可； （2）根据（1）中的结果建立方程，据此进行求解即可 【详解】（1）解：由记录1可知，7支粉笔的质量为克，则一支粉笔的质量为克， 由记录2可知，11支粉笔的质量为克，则一支粉笔的质量为克， 故答案为：； （2）解：由（1）知，，解得，， 一枚硬币的质量为克， 由（1）知，一支粉笔的质量为克， 一支粉笔的质量为克， 因此，一枚硬币和一支粉笔的质量分别是6克，5克． 迁移创新 1．（25-26七年级上·广东韶关·期末）【问题情境】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理． 例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则 原式． (1)【探索发现】已知是关于x的方程的解，则代数式的值是_______； (2)【尝试应用】如下图，点O是线段上一点，C、D分别是线段、的中点，当时，则线段的长_______； (3)【拓展应用】如下图，制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在边长为a的正方形纸板四角剪去两个同样大小的边长为b的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来就得到一个有盖的长方体．如果，求这个有盖长方体的底面长方形的面积； (4)【迁移运用】若当时，代数式的值为k；当时，求代数式的值．（用含k的代数式表示） 【答案】(1)11 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了方程的解，已知式子的值求代数式，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）由方程的解得出，然后整体代入化简后的式子计算即可． （2）由线段中点的定义得出，，再根据线段的和差关系即可得出然后代入计算即可． （3）由底面长方形的长，宽，根据长方形的面积公式结合代入计算即可得出答案． （4）先根据已知条件得出，再把代入变形后的式子求解即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴． （2）解：∵C、D分别是线段、的中点， ∴，， ∴. 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 【答案】(1) ①∵， ∴每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为， 故满足题意的幻方可以是下图所示 ② (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）①求出这9个数字的和，可得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为18，据此填写幻方即可；②用含b的式子表示出右下角的数字，再用a、b分别表示出左上角的数字，从而可得关系式； （2）设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s，可证明，表示出右上角的数字，进而表示出右下角和左上角的数字，据此可得关系式． 【详解】（1）解：①略 ②右下角的数， ∵左上角的数， ∴； （2）解：设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s， ∴中间一行的三个数字之和加上中间一列三个数字之和，再加上两条对角线上6个数字（每条对角线都有3个数字）之和等于， ∴， ∴， ∴右上角的数字为， ∴右下角的数字为，左上角的数字为， ∴左上角的数字为， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下图是苏科版教材七年级数学上册的部分内容． 求代数式的值，其中，． 卡通人物的话语中体现了“整体代换”的数学思想方法．“整体代换”能帮助我们把复杂的式子“打包”成一个整体，让运算变得简单清晰．请运用“整体代换”的思想方法解决以下问题． (1)解决上图中的问题； (2)当时，．当时，求代数式的值； (3)若关于的方程的解是，则关于的方程的解是______． 【答案】(1)代数式的值为； (2)代数式的值为； (3)． 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元一次方程的解，根据已知条件进行整体代入法求解是解题的关键． （）把看成整体，利用合并同类项法则进行化简，然后把，代入即可； （）先求出，然后把代入，然后整体代入即可求解； （）由得，然后通过题意可得，从而求解． 【详解】（1）解： ， 当， 原式 ； （2）解：当时，， 整理得：， ∴当时， ， ； （3）解：由得， ∵关于的方程的解是， ∴关于的方程的解是， 解得：， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 5.1 认识方程 课标要点 1. 理解方程是描述现实世界等量关系的重要模型，能针对具体问题列出方程，体会从算术思维到代数思维的过渡。 2. 借助天平实验探索并归纳等式的基本性质，能用文字语言和符号语言准确表述。 3. 掌握利用等式的基本性质解一元一次方程的方法，理解解方程的本质是将方程变形成“x=a”的形式。 学习重难点 学习重点 1. 理解并掌握等式的基本性质（两边同加减、同乘除同一数），能用其进行等式变形。 2. 能利用等式的基本性质解简单的一元一次方程，并检验解的正确性。 学习难点 1. 理解等式性质中“除以同一个不为0的数”的条件限制，避免除以0的错误。 2. 从具体天平实验抽象出等式性质的一般规律，并用数学符号语言准确表达。 知识点 方程的有关概念 定义：含有未知数的等式叫做方程. 【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数． 特别提醒 方程是含有未知数的等式，必须具备“等式”和“未知数”两个要素。注意区分“方程”与“代数式”（不含等号）及“等式”（可无未知数）。 随学随练 1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·天津·阶段检测）在式子①，②，③，④，⑤中，是方程的为_______（填序号）． 知识点 一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 特别提醒 必须同时满足三个条件：①含有一个未知数；②未知数的次数是1；③方程两边都是整式。注意“ax+b=0（a≠0）”是标准形式，a=0时不成立。 随学随练 1.（25-26六年级下·山东淄博·期末）下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）关于x的方程是一元一次方程，则_______ ． 知识点 方程的解、解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解的过程. 特别提醒 “方程的解”是结果（一个或多个数值），“解方程”是过程（求值的过程）。两者含义不同，注意书面表述区分，检验时需代入原方程验证左右相等。 随学随练 1.（25-26七年级下·河南南阳·期末）是下列哪个方程的解（     ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海·阶段检测）___________（填“是”或“不是”）方程的解 知识点 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 特别提醒 性质1：两边同加减同一数（或式子），等式仍成立；性质2：两边同乘同一数，或同除以同一不为零的数，等式仍成立。特别注意除法时除数不能为0。 随学随练 1.（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图所示，因为，由此可以用推理说明图中，其划线的这一变化过程运用了（     ） A．加法的意义 B．加法交换律 C．加法结合律 D．等式的性质 2．（25-26七年级下·云南昭通·期中）根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 拓展 根据一元一次方程求参数的值 1. 解的定义代入：若给出方程的解，直接将解代入原方程，转化为关于参数的一元一次方程求解。 2. 同解方程联立：若两个方程解相同，先解不含参的方程，将解代入含参方程求参数。 3. 解的属性列式：根据“解互为相反数”“解是正数”等条件，用含参表达式表示解，再列方程或不等式求值。 关键：始终用“代入法”将参数问题转化为常规方程求解。 活学活用 1．（25-26七年级下·山东淄博·期中）若方程是关于x的一元一次方程，则的值为______． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）若是关于x的一元一次方程，则m的值是____． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若是关于的一元一次方程，则_______． 4．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）若关于x的方程是一元一次方程，则a，b应满足什么条件？ 拓展 已知一元一次方程的解求代数式的值 1. 代入求参：将已知解代入方程，求出参数（如m、 k ）的具体数值。 2. 回代计算：把求出的参数值代入目标代数式，按运算顺序计算。 3. 整体代换：若所求代数式可化为含参数的组合形式，不必先求参数，利用方程变形整体代入更简便。 关键：先定参数，再算代数式；注意符号和分数运算。 活学活用 1．（25-26六年级下·山东泰安·期末）关于的方程的一个解是，则____________． 2．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知是方程的解，则的值为________ 3．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）已知是方程的解，则_____ ． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）若是关于的方程的解，求代数式的值． 题型 判断各式是否是方程 解题贴士 方程必须具备两个条件：①含有未知数；②是等式。两者缺一不可。注意：不等式（如x>3）、代数式（如2x+1）都不是方程，含有未知数的等式才是。 ▌例1（25-26七年级上·山东济宁·期末）下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26七年级上·广西柳州·期末）下列各式中，不是方程的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（26-27七年级上·北京·课后作业）在 ①，②，③，④中，方程有 ___________（填序号）． ▌对点练1-3（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 题型 列方程 解题贴士 设未知数，找等量关系（是关键），用代数式表示各量，按等量关系列出方程。注意单位统一，语言描述要转化为数学式子，检验是否含未知数且为等式。 ▌例2（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）某校七年级有学生x人，其中男生人数比女生人数多20人，男生有150人，列方程为___． ▌对点练2-1（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）“比大5的数等于6”用等式表示________． ▌对点练2-2（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）“比的倍大的数等于的一半”，用式子表示为___________． ▌对点练2-3（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）根据下列条件，列出关于的方程： (1)与的差等于的倍； (2)的倍比的一半多． 题型 判断是否是一元一次方程 解题贴士 判断标准：①含一个未知数；②未知数最高次数为1；③是整式方程（分母不含未知数）。三者缺一不可。如2x=3是，x²=4不是，1/x=2不是。 ▌例3（25-26七年级下·河南周口·期末）下列式子中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练3-1（25-26七年级下·河南周口·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-2（25-26七年级下·河南周口·期末）下列等式属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练3-3（25-26七年级下·河南周口·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 题型 判断是否是一元一次方程的解 解题贴士 将未知数的值代入方程左右两边，分别计算。若左右两边相等，则这个数是方程的解；若不相等，则不是。注意代入时要加括号，防止符号错误。 ▌例4（24-25七年级上·广东汕头·期末）是下列哪个方程的解（      ） A． B． C． D． ▌对点练4-1（24-25七年级上·天津河西·期末）是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． ▌对点练4-2（24-25七年级上·甘肃武威·阶段检测）写出一个满足下列条件的一元一次方程：①某个未知数的系数是；②方程的解是5；这样的方程是____________________． ▌对点练4-3（25-26七年级下·全国·课前预习）判断是否为下列一元一次方程的解： (1)； (2)； (3)． 题型 已知一元一次方程的解求参数的值 解题贴士 将解（未知数的值）代入方程，得到关于参数的方程，再解这个方程求出参数。注意：代入时要细心，把字母参数当作常数处理，最后检查结果是否满足题意。 ▌例5（25-26七年级上·河南郑州·期末）若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． ▌对点练5-1（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知是关于的方程的解，则的值是_____． ▌对点练5-2（25-26七年级下·重庆·期中）若是方程的解，则的值为_____． ▌对点练5-3（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知关于的方程的解是，求的值． 题型 等式的基本性质 解题贴士 性质1：两边同加（减）同一个数（式子），等式仍成立；性质2：两边同乘（除）同一个不为零的数，等式仍成立。注意：除法时除数不能为0，加减时式子要整体。 ▌例6（25-26七年级下·吉林长春·期末）下列等式变形中，正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ▌对点练6-1（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列等式变形中，不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ▌对点练6-2（25-26七年级下·四川乐山·期中）由，得到用表示的式子为_______． ▌对点练6-3（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质把下列方程化为的形式 (1)； (2)． 基础通关 一、单选题 1.（25-26七年级上·全国·期末）下列四个式子中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·吉林·期末）下列方程是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级·全国·小升初衔接）是（     ）方程的解． A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）下列方程的变形正确的是（     ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 5．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 二、填空题 6．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）写出一个解为的一元一次方程：______． 6．（25-26七年级上·天津·阶段检测）x的3倍与5的和比x大2，则可列方程为______； 8．（25-26七年级下·吉林·期末）若是方程的解，则_________． 9．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）若 是一元一次方程，则 _______ 10．（25-26六年级下·上海静安·期中）把方程改写成用含的式子表示的形式______． 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）列等式表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3； (3)x的与3的差等于最大的一位数． 12．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知等式，请判断下列等式是否成立： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 13．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）在一次数学活动课上，小军对小明说：我手中有四张卡片，它们上面分别写有9，，，．小明说：我用等号将这四张卡片中的任意两张卡片上的数或式子连接起来，就会得到等式或一元一次方程． 根据以上对话，回答下列问题： (1)小明一共能写出几个等式？ (2)在他写的这些等式中，有几个一元一次方程？请写出这几个一元一次方程． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业），，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 15．（25-26七年级上·河北·单元复习）方程与方程的解相等，求a的值． 素养提升 1.（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）下列说法中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程． ________________；____________________． 5．（26-27七年级·全国·小升初衔接）已知，，( )． 6．（25-26七年级下·四川宜宾·阶段检测）若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）请根据题意设未知数，并列出方程．（不用求解） (1)一个数的2倍加30，比这个数的6倍少14，求这个数． (2)已知地球的表面积约为亿平方千米，其中陆地面积约为海洋面积的，求陆地的面积． 8．（24-25七年级上·全国·单元测试）若方程是关于的一元一次方程． (1)求的值； (2)判断，，是不是方程的解． 9．（2024七年级下·广西·竞赛）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 10．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）遵义某中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平和一个5克的砝码，如何测出一枚一元的硬币和一支粉笔的质量呢？以下是奇思妙想小组的实验过程： 实验准备：质量相同的硬币若干和质量相同的粉笔若干． 实验记录： 天平左边 天平右边 天平状态 记录1 5枚硬币+1个5克砝码 7支粉笔 平衡 记录2 10枚硬币+3支粉笔 14支粉笔+1个5克砝码 平衡 根据奇思妙想小组的实验记录，完成下列问题： (1)设一枚硬币的质量为克，用含的代数式表示一支粉笔的质量为_______克或_______克； (2)请你求出一枚硬币和一支粉笔的质量分别是多少克． 迁移创新 1．（25-26七年级上·广东韶关·期末）【问题情境】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理． 例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则 原式． (1)【探索发现】已知是关于x的方程的解，则代数式的值是_______； (2)【尝试应用】如下图，点O是线段上一点，C、D分别是线段、的中点，当时，则线段的长_______； (3)【拓展应用】如下图，制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在边长为a的正方形纸板四角剪去两个同样大小的边长为b的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来就得到一个有盖的长方体．如果，求这个有盖长方体的底面长方形的面积； (4)【迁移运用】若当时，代数式的值为k；当时，求代数式的值．（用含k的代数式表示） 2．（25-26七年级上·浙江台州·期末）幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下图是苏科版教材七年级数学上册的部分内容． 求代数式的值，其中，． 卡通人物的话语中体现了“整体代换”的数学思想方法．“整体代换”能帮助我们把复杂的式子“打包”成一个整体，让运算变得简单清晰．请运用“整体代换”的思想方法解决以下问题． (1)解决上图中的问题； (2)当时，．当时，求代数式的值； (3)若关于的方程的解是，则关于的方程的解是______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $