5.1 认识方程 (基础篇）讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

5.1认识方程 5.1认识方程 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 多边形的相关概念 课前复习 多边形的角 多边形的对角线 圆的定义 圆的特点 扇形的面积公式 新课探索 方程的定义 新课探索 一元一次方程的解 等式的性质 题型练习 判断格式是否是方程 题型练习 列方程 判断是否是方程的解 已知方程的解求参数 判断是否是一元一次方程 判断是否是一元一次方程的解 等式的性质 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 多边形的相关概念 多边形：多边形在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形叫做多边形.(本节只讨论凸多边形) 凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形. 凹多边形：如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形，其内角中至少有一个大于180°. 正多边形：各个角都相等，各个边都相等的多边形叫正多边形. 多边形的角 1.多边形相邻两边组成的角叫做它的内角； 2.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 对角线的条数： n边形从一个顶点出发，有(n-3)条对角线；n边形一共有2n(n-3)条对角线； 圆的定义 定义①:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.半径用r来表示。以O点为圆心的圆，记作“◎0”,读作“圆0”. 定义②:在同一平面内，圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 圆的特点 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。在同一个圆内最长的弦是直径。直径所在的直线是圆的对称轴，因此，圆的对称轴有无数条。 弧：圆上任意两点A,B之间的部分叫做圆弧，简称弧；记作AB,读作“圆弧AB”或者“弧AB”。 扇形：由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA,OB所组成的图形叫做扇形。 圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角； 扇形的面积公式 圆的面积公式S=πR² n°圆心角所对的面积为S=πR² 新课探索 1、 方程的定义 方程：含有未知数的等式叫做方程. 一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1,等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. 【练习】下列各式中，是方程的是() A 3x-5=-8 B 2+3=5 C 2x-3y D x>3 二、一元一次方程的解 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根； 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 【练习】下列方程中，解为x=4的方程是(). A x-1=4 B 4x=1 C 4x-1=3x+3 D 2(x-1)=1 三、等式的性质 (1)等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等. 用字母表示为：如果a=b,那么a±c=b±c (2)等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.用字母表示为：如果a=b,那么ac=bc或(c≠0) 【练习】如果x=y,那么下列等式不一定成立的是( ). A x+a=y+a B x-a=y-a C ax=ay D 题型练习 1、 多判断格式是否是方程 1．下面是方程的选项是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 2、 列方程 3．根据“的7倍减去6等于8”的数量关系，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．设某数为x，“比某数的大1的数是4”，可列方程为（　　） A． B． C． D． 3、 判断是否是方程的解 5．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 6．下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 4、 已知方程的解求参数 7．如果是关于的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 8．若是关于的方程的解，则（   ） A． B． C．3 D． 5、 判断是否是一元一次方程 9．下列各式中，是一元一次方程的是(   ) A． B． C． D． 10．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 6、 判断是否是一元一次方程的解 11．下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 12．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 7、 等式的性质 13．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 易错点 1. 混淆等式与方程：认为所有含等号的式子都是方程，忽略了方程必须含有未知数这一关键条件。例如，将“2+3=5”误认为是方程。 2. 忽略解的合理性：在解方程时只关注计算过程，而不检验解是否符合实际意义。比如解出一个表示人数的方程得到小数或负数解，未意识到这是不符合实际的错误结果。 3. 移项时符号错误：在将项从等式一边移到另一边时，忘记改变该项的符号。如由“x + 5 = 10”推出“x = 10 + 5”。 4. 去括号时分配律应用错误：当方程中存在括号时，没有正确使用分配律进行展开。例如，在“2(x - 3) = 8”中，错误地写成“2x - 3 = 8”。 5. 合并同类项出错：在对方程中的同类项进行合并时出现计算失误。像在“3x + 2x - 5 = 10”里，错误合并为“4x - 5 = 10”。 6. 系数化为1时运算错误：在将未知数的系数化为1的过程中，除法运算不准确。如对于“-2x = 6”，错误得出“x = 3”。 总结 方程的定义 方程：含有未知数的等式叫做方程. 一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1,等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. 一元一次方程的解 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根； 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 等式的性质 (1)等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等. 用字母表示为：如果a=b,那么a±c=b±c (2)等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.用字母表示为：如果a=b,那么ac=bc或(c≠0) 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1认识方程 5.1认识方程 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 多边形的相关概念 2 课前复习 多边形的角 多边形的对角线 圆的定义 圆的特点 扇形的面积公式 新课探索 方程的定义 4 新课探索 一元一次方程的解 等式的性质 题型练习 判断格式是否是方程 6 题型练习 列方程 判断是否是方程的解 已知方程的解求参数 判断是否是一元一次方程 判断是否是一元一次方程的解 等式的性质 易错点 14 易错点 总结 15 总结 课前复习 多边形的相关概念 多边形：多边形在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次连接且不相交所组成的封闭图形叫做多边形.(本节只讨论凸多边形) 凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形. 凹多边形：如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形，其内角中至少有一个大于180°. 正多边形：各个角都相等，各个边都相等的多边形叫正多边形. 多边形的角 1.多边形相邻两边组成的角叫做它的内角； 2.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角. 多边形的对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 对角线的条数： n边形从一个顶点出发，有(n-3)条对角线；n边形一共有2n(n-3)条对角线； 圆的定义 定义①:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.半径用r来表示。以O点为圆心的圆，记作“◎0”,读作“圆0”. 定义②:在同一平面内，圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 圆的特点 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。在同一个圆内最长的弦是直径。直径所在的直线是圆的对称轴，因此，圆的对称轴有无数条。 弧：圆上任意两点A,B之间的部分叫做圆弧，简称弧；记作AB,读作“圆弧AB”或者“弧AB”。 扇形：由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA,OB所组成的图形叫做扇形。 圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角； 扇形的面积公式 圆的面积公式S=πR² n°圆心角所对的面积为S=πR² 新课探索 1、 方程的定义 方程：含有未知数的等式叫做方程. 一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1,等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. 【练习】下列各式中，是方程的是() A 3x-5=-8 B 2+3=5 C 2x-3y D x>3 答案：A、 分析：A、选项既有未知数，又是等式故正确； B、选项不含未知数，故错误； C、选项不是等式，故错误； D、选项不是等式，故错误 故选：A. 二、一元一次方程的解 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根； 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 【练习】下列方程中，解为x=4的方程是(). A x-1=4 B 4x=1 C 4x-1=3x+3 D 2(x-1)=1 答案：C、 分析：A.x-1=4的解为x=5. B.4=1的解为:π=4. C.4z-1=3x+3的解为x=4. D.2(z-1)=1的解为：π=2 三、等式的性质 (1)等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等. 用字母表示为：如果a=b,那么a±c=b±c (2)等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.用字母表示为：如果a=b,那么ac=bc或(c≠0) 【练习】如果x=y,那么下列等式不一定成立的是( ). A x+a=y+a B x-a=y-a C ax=ay D 答案：D、 分析：当a=0时， 不成立. 题型练习 1、 多判断格式是否是方程 1．下面是方程的选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的识别，根据含未知数的等式是方程逐项判断即可． 【详解】解：A．不是等式，故不是方程，不符合题意； B．是含未知数的等式，是方程，符合题意； C．不是等式，故不是方程，不符合题意； D．不含未知数，故不是方程，不符合题意； 故选：B． 2．下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案． 【详解】A．，不含“＝”，不是方程； B．，含不等号，不是方程； C．是方程； D．，不含未知数，不是方程； 故选：C． 2、 列方程 3．根据“的7倍减去6等于8”的数量关系，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了由实际问题抽象出一元一次方程，能够正确理解运算顺序，注意代数式的正确书写． 关键描述语是：的倍减去等于 【详解】解：根据：的倍减去等于得方程． 故选：C． 4．设某数为x，“比某数的大1的数是4”，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，某数的为，则根据题意可得． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 3、 判断是否是方程的解 5．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，把代入各个方程进行验证即可． 【详解】解：A、，，故不是方程的解，不符合题意； B、，，故不是方程的解，不符合题意； C、，故不是方程的解，不符合题意； D、，故是方程的解，符合题意； 故选D． 6．下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 将分别代入方程，逐项计算判断，即可解答． 【详解】解：A． 当时，， ∴不是的解，不符合题意； B． 当时，， ∴是的解，符合题意； C． 当时，， ∴不是的解，不符合题意； D． 当时，， ∴不是的解，不符合题意； 故选B． 4、 已知方程的解求参数 7．如果是关于的方程的解，求的值为（   ） A．1 B． C．21 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到关于a和b的关系式，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴； 故选：C． 8．若是关于的方程的解，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得， 故选：D． 5、 判断是否是一元一次方程 9．下列各式中，是一元一次方程的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是一元一次方程是解题的关键．根据一元一次方程的定义，即可求解． 【详解】解：A. ，不是一元一次方程，不符合题意；     B. ，不是一元一次方程，不符合题意；      C. 是一元一次方程，符合题意；     D. 不是方程，不符合题意． 故选：C． 10．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，化简后只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐一判断各选项即可； 本题主要考查了 一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：选项A：含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 选项B：方程可化简为，该方程只含一个未知数 ，且未知数的最高次数为1，是整式方程，符合一元一次方程的定义，符合题意； 选项C：未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； 选项D：分母含有未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． 6、 判断是否是一元一次方程的解 11．下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入中，方程左边，此时方程左右两边相等，故原方程的解是，符合题意； B、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； C、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； D、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； 故选：A． 12．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边=右边，符合题意． 故选：D． 7、 等式的性质 13．根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，包括等式的对称性和移项法则．需逐一判断各选项是否符合等式性质． 【详解】解：∵ 等式性质：若，则，或， 选项A：若，当时，b可为任意值，不一定成立，∴ A错误． 选项B：若，则，但时分母为零，无意义，∴ B错误． 选项C：若，则，选项错误，不符合题意； 选项D：若，移项得，即，∴ D正确， 故选：D 14．下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加减同一数或乘除同一非零数，等式仍成立．需注意乘除时数不能为零． 【详解】解：选项A：若， 两边加6得， 符合等式性质，正确． 选项B：若， 当时， 无论a、b为何值等式均成立， 此时无法推出． 因未限定，变形错误． 选项C：若， 隐含，两边乘c， 得，正确． 选项D：若， 两边除以（非零数），得，正确． 综上，B选项的变形未排除的情况，故错误． 故选：B． 易错点 1. 混淆等式与方程：认为所有含等号的式子都是方程，忽略了方程必须含有未知数这一关键条件。例如，将“2+3=5”误认为是方程。 2. 忽略解的合理性：在解方程时只关注计算过程，而不检验解是否符合实际意义。比如解出一个表示人数的方程得到小数或负数解，未意识到这是不符合实际的错误结果。 3. 移项时符号错误：在将项从等式一边移到另一边时，忘记改变该项的符号。如由“x + 5 = 10”推出“x = 10 + 5”。 4. 去括号时分配律应用错误：当方程中存在括号时，没有正确使用分配律进行展开。例如，在“2(x - 3) = 8”中，错误地写成“2x - 3 = 8”。 5. 合并同类项出错：在对方程中的同类项进行合并时出现计算失误。像在“3x + 2x - 5 = 10”里，错误合并为“4x - 5 = 10”。 6. 系数化为1时运算错误：在将未知数的系数化为1的过程中，除法运算不准确。如对于“-2x = 6”，错误得出“x = 3”。 总结 方程的定义 方程：含有未知数的等式叫做方程. 一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1,等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. 一元一次方程的解 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根； 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 等式的性质 (1)等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等. 用字母表示为：如果a=b,那么a±c=b±c (2)等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.用字母表示为：如果a=b,那么ac=bc或(c≠0) 1 学科网（北京）股份有限公司 $