6.4.2解较复杂的一元一次不等式组教学设计——2026-2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“解较复杂的一元一次不等式组”，涵盖含分母括号的不等式组、整数解、含参数分类讨论及连写不等式解法。通过回顾简单不等式组解法导入，搭建从已知到未知的学习支架，衔接前后知识。 特色在于融合数学抽象、逻辑推理与直观想象等核心素养，如含参数不等式组分三种情况讨论培养分类思想，连写不等式两种解法对比强化运算严谨性。数形结合与讲练结合的教学方法，助力学生提升解题能力与思维品质，为教师提供清晰的重难点突破路径。

课题 6.4.2 解较复杂的一元一次不等式组 课型 新授课 课时 1课时 教材版本 青岛版数学八年级上册 教学方法 讲练结合法、讨论探究法、数形结合法 教学用具 多媒体课件、投影、数轴教具 一、核心素养目标 • 【数学抽象】通过解较复杂的一元一次不等式组，进一步抽象出解不等式组的一般方法，发展数学抽象能力 • 【逻辑推理】通过含参数不等式组的讨论，培养分类讨论思想和逻辑推理能力 • 【直观想象】借助数轴直观确定复杂不等式组的解集，深化数形结合思想 • 【数学运算】能熟练解复杂的一元一次不等式组，掌握含有方向相同的两个不等号的不等式的两种解法，提高运算能力 二、教学重难点 教学重点：熟练解复杂的一元一次不等式组；掌握含有方向相同的两个不等号的不等式的两种解法 教学难点：含参数不等式组的分类讨论；含有方向相同的两个不等号的不等式的代数解法（注意不等号方向改变） 三、教学过程 【导入：回顾旧知，引入新课】（3分钟） 【教师活动】同学们，上节课我们学习了一元一次不等式组的概念和解简单不等式组的方法。现在请大家回顾一下：解一元一次不等式组的基本步骤是什么？ 【学生活动】回答：解一元一次不等式组的步骤是：①分别解各个不等式；②利用数轴找出各个不等式解集的公共部分；③写出解集。 【教师活动】很好！上节课我们解的是比较简单的不等式组。今天我们来学习6.4.2——解较复杂的一元一次不等式组。本节课的学习目标是：1.会熟练地解复杂的一元一次不等式组；2.掌握含有方向相同的两个不等号的不等式的两种解法。 【过渡语】首先进入任务一，学习如何解复杂的一元一次不等式组。 【任务一：解复杂的一元一次不等式组——例(1)】（5分钟） 【教师活动】任务一：会解复杂的一元一次不等式组。活动：解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来。先看第(1)题。 【教师活动】请同学们先独立思考，尝试解这个不等式组。注意：这个不等式组中的两个不等式都需要先化简才能求解。 【学生活动】独立思考，尝试解不等式组。先分别解不等式①和②。 【教师活动】解：(1)由不等式①，得x＜5。由不等式②，得x≥-5。两个不等式的解集表示在数轴上如图。故原不等式组的解集为-5≤x＜5。 解：由不等式①，得x < 5， 由不等式②，得x ≥ -5。 两个不等式的解集表示在数轴上如图： 故原不等式组的解集为 【学生活动】对照教师的解答，检查自己的解题过程。注意：不等式②解出来是x≥-5，有等号，所以数轴上-5处是实心圆。 【教师活动】请同学们注意：这是'大小小大中间找'的情形。不等式①是x<5（小于大数），不等式②是x≥-5（大于小数），所以解集在中间，即-5≤x<5。 【知识点】解复杂一元一次不等式组的方法：先分别化简每个不等式，求出各自的解集，再利用数轴找公共部分。步骤与简单不等式组相同，但每个不等式的求解过程更复杂。 易错提示：解每个不等式时，要注意去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的每一步，特别是系数化为1时，如果系数为负数，不等号方向要改变。 【过渡语】下面我们看第(2)题，一个更复杂的不等式组。 【任务一：解复杂的一元一次不等式组——例(2)】（5分钟） 【教师活动】请同学们看第(2)题。这个不等式组中的两个不等式都含有分母和括号，需要先去分母、去括号，再化简求解。 【学生活动】认真审题，尝试解不等式组。先处理不等式①：去分母，两边同时乘以最简公分母；再去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 【教师活动】解：(2)由不等式①，经过去分母、去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1，得到x的解集。由不等式②，同样的步骤，得x＜3。两个不等式的解集表示在数轴上如图。观察数轴，找出公共部分，写出不等式组的解集。 解：由不等式①，得 由不等式②，得x < 3。 两个不等式的解集表示在数轴上如图： 故原不等式组的解集为 【学生活动】跟随教师的步骤，在练习本上同步解题。注意每一步的运算准确性，特别是去分母时每一项都要乘，去括号时注意符号。 【教师活动】请同学们注意：解不等式组时，每个不等式的求解都要规范、仔细。任何一个不等式解错了，整个不等式组的解集就错了。所以一定要养成认真检查的习惯。 【知识点】解含分母、括号的复杂不等式组：分别解每个不等式（按解一元一次不等式的5个步骤），再利用数轴确定公共部分。 判断技巧：解完不等式组后，可以用口诀快速验证解集类型：大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小解不了。 【过渡语】下面我们来看一种特殊题型——求不等式组的整数解。 【拓展：求不等式组的整数解】（4分钟） 【教师活动】刚才我们学习了解不等式组。现在思考一个问题：如果要求不等式组的整数解，应该怎么做？ x取哪些整数值时，不等式5x + 2 > 3(x-1) 与 【学生活动】思考：先求出不等式组的解集，再在解集中找出所有的整数。 【教师活动】分析：使两个不等式都成立的x的值，就是两个不等式的公共解，因此求出由这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是可取的整数值。 【教师活动】解：解不等式组，得到解集。在数轴上表示解集，观察解集中的整数点。所以x可取的整数值是-2，-1，0，1，2，3，4。 解：解不等式组 得 所以x可取的整数值是-2，-1，0，1，2，3，4。 【学生活动】理解：求整数解的步骤——先解不等式组求出解集，再在解集中找出所有整数。注意边界值是否包含（看不等号是否有等号）。 【知识点】求不等式组整数解的步骤：①解不等式组求出解集；②在数轴上表示解集；③在解集范围内找出所有整数。注意：边界有等号时，整数包括边界值。 易错提示：求整数解时，容易漏掉0或者边界值。建议画数轴标出整数点，逐一数出，避免遗漏。特别注意0也是整数！ 【过渡语】下面我们来探究一类更有挑战性的问题——含参数的不等式组。 【探究：含参数的不等式组——分类讨论】（6分钟） 【教师活动】思考：如果不等式组中含有参数m，解集的情况会怎样变化？我们分三种情况讨论。 找到使不等式组 有解的一个m的值。写出使不等式组有解的m的取值范围。 【教师活动】第一种情况：若m＞8，两个不等式的解集在数轴上表示是怎样的？ 【学生活动】思考：一个不等式的解集是x≤8，另一个是x≥m。当m>8时，x≥m在x≤8的右边，两个解集没有公共部分。此时不等式组无解。 情形1：若m < 8，此时不等式组的解集为m ≤ x ≤ 8。 【教师活动】对！当m＞8时，两个解集没有公共部分，此时不等式组无解。 【教师活动】第二种情况：若m＝8，两个不等式的解集在数轴上表示是怎样的？ 【学生活动】思考：当m=8时，一个不等式是x≤8，另一个是x≥8，公共部分只有x=8这一个点。此时不等式组的解集是x＝8。 情形2：若m = 8，此时不等式组的解集为x = 8。 【教师活动】很好！当m＝8时，两个解集的公共部分只有x=8这一点，此时不等式组的解集是x＝8。 【教师活动】第三种情况：若m＜8，两个不等式的解集在数轴上表示是怎样的？ 【学生活动】思考：当m<8时，x≥m和x≤8有公共部分，即m≤x≤8。属于'大小小大中间找'的情形。 情形3：若m > 8，此时不等式组无解。 【教师活动】总结：当m＜8时，不等式组的解集是m≤x≤8。根据以上三种情况的分析即可得出m的取值范围：当不等式组有解时，m≤8。 【知识点】含参数不等式组的分类讨论：根据参数与常数的大小关系，分大于、等于、小于三种情况讨论，每种情况分别确定解集是否存在及具体形式。 重点强调：含参数不等式组是难点也是考点。关键是分类讨论——参数大于、等于、小于常数三种情况。特别注意'等于'的情况，往往是解题的边界。 【过渡语】下面我们再看一道含参数的典型例题，已知解集求参数的值。 【例题：已知解集求参数】（4分钟） 【教师活动】下面这道题：请同学们思考如何求解。 若不等式组 的解是-3 < x < 5，求m，n的值。 【学生活动】思考：先分别解两个不等式，用m和n表示解集，然后与已知解集-3<x<5对比，列出方程求解m和n。 【教师活动】解：解不等式①得x＜n-m，解不等式②得x＞n+m。因为原不等式组的解集为-3<x<5，所以可得：n+m=-3，n-m=5。解这个方程组，得m=-4，n=1。所以m的值为-4，n的值为1。 【学生活动】理解解题思路：先用参数表示解集，再与已知解集对比，转化为方程组求解参数。 【知识点】已知不等式组的解集求参数的方法：①分别解每个不等式，用参数表示解集；②根据已知解集，列出关于参数的方程（组）；③解方程（组）求出参数的值。 判断技巧：已知解集求参数，关键是'对号入座'——解出的含参数的解集与已知解集一一对应，得到方程（组）。注意不等号方向是否一致。 【过渡语】下面我们进入任务二，学习一种特殊形式的不等式——含有方向相同的两个不等号的不等式。 【任务二：含有方向相同的两个不等号的不等式——解法1】（5分钟） 【教师活动】任务二：会求解含有方向相同的两个不等号的不等式。活动：和同伴一起交流，用不同的方法解不等式，并写出它的所有整数解。 【学生活动】观察这个不等式的形式：，它有两个不等号，方向都是≤，把一个式子夹在中间。这样的不等式怎么解呢？ 【教师活动】解不等式①，得x≤5。解不等式②，得x≥-3。在同一数轴分别表示出不等式①与②的解集。观察公共部分。解法1：原不等式即不等式组 解不等式①，得x ≤ 5，解不等式②，得x ≥ -3。 ∴该不等式的解集为-3 ≤ x ≤ 5，它的整数解为-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5。 【学生活动】跟随教师的步骤：拆分不等式组→分别求解→数轴表示→找公共部分。得到解集为-3≤x≤5。然后在解集中找出整数解。 【知识点】含有方向相同的两个不等号的不等式的解法1（不等式组法）：将连写不等式拆成两个不等式组成的不等式组，按解不等式组的方法求解。 理解要点：连写不等式a≤f(x)≤b的含义是：f(x)≥a 且 f(x)≤b，两者同时成立，所以可以拆成不等式组来解。 【过渡语】除了拆成不等式组的方法，还有没有更简便的方法呢？我们来看解法2。 【任务二：含有方向相同的两个不等号的不等式——解法2】（5分钟） 【教师活动】解法2：代数解法，即利用不等式的基本性质进行适当变形，将不等式中间部分化为x，左右两端都是数字。 【教师活动】解法2：将不等式的左边、中间、右边都减4，得 不等式的左边、中间、右边都乘2，得-2 ≤ 3-x ≤ 6。 不等式的左边、中间、右边都减3，得-5 ≤ -x ≤ 3。 不等式的左边、中间、右边都乘-1，得-3 ≤ x ≤ 5。 ⚠️ 易错提示：三部分同时乘（除以）同一个负数，两个不等号的方向必须同时改变。 ∴该不等式的解集为-3 ≤ x ≤ 5，它的整数解为-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5。 【学生活动】理解代数解法：三部分同时进行相同的变形，目标是把中间化为x。特别注意：乘或除以负数时，两个不等号的方向都要改变。 【教师活动】所以该不等式的解集为-3≤x≤5，它的整数解为-3，-2，-1，0，1，2,3,4,5 【教师活动】请同学们注意：三部分同时乘（除以）同一个负数，两个不等号的方向必须同时改变。这是最容易出错的地方！ 【知识点】含有方向相同的两个不等号的不等式的解法2（代数法）：对不等式的左、中、右三部分同时进行相同的变形，逐步将中间化为x的形式。注意：乘除负数时，两个不等号方向同时改变。 易错提示：代数解法中最容易错的就是：乘除负数时只改变一个不等号的方向，或者忘记改变方向。必须两个不等号同时改变方向！ 【过渡语】下面我们来总结一下两种解法的特点。 【归纳：两种解法对比】（3分钟） 【教师活动】解含有方向相同的两个不等号的不等式有两种解法，我们来对比一下。 【教师活动】解法1：化成由两个不等式组成的不等式组，再利用数轴确定解集。优点是直观、不容易错，借助数轴一目了然。缺点是步骤稍多。 【教师活动】解法2：代数解法，即利用不等式的基本性质进行适当变形，将不等式中间部分化为x，左右两端都是数字。优点是步骤简洁、速度快。缺点是乘除负数时容易忘记改变不等号方向，或者只改一个方向。 【学生活动】对比两种方法，理解各自的优缺点。初学者建议先用解法1，熟练后可以用法2提高速度。 【知识点】连写不等式的两种解法：①拆成不等式组，数轴找公共（直观不易错）；②三部分同时变形，化中间为x（简洁但要注意不等号方向）。 判断技巧：推荐：基础薄弱的同学用解法1（拆成不等式组），不容易错；熟练后可以用解法2（代数法），更快捷。用解法2时，乘除负数后一定要检查两个不等号是否都变了方向。 【过渡语】下面我们通过练习来巩固本节课的内容。 【练习巩固】（3分钟） 【教师活动】请同学们完成下面的练习，检验本节课的掌握情况。 【教师活动】练习：解不等式组： 并写出该不等式组的整数解。 解： 解①得x ≤ 4， 解②得x > 2， 所以该不等式组的解集为2 < x ≤ 4， 则不等式组的整数解为3，4。 【学生活动】独立解题：先分别解不等式①和②，再找公共部分，最后找出整数解。 【教师活动】解①得x≤4，解②得x＞2。在数轴上表示两个解集，公共部分为2＜x≤4。所以该不等式组的解集为2＜x≤4，则不等式组的整数解为3，4。 【学生活动】对照答案，检查自己的解题过程。注意：x>2没有等号，所以整数解不包含2；x≤4有等号，所以整数解包含4。 【知识点】解不等式组求整数解的规范步骤：①分别解每个不等式；②数轴表示找公共部分；③写出解集；④在解集中找出整数解。 易错提示：求整数解时，边界值是否包含要看不等号：≥和≤包含，>和<不包含。2<x≤4的整数解是3和4，不包含2。 【过渡语】下面我们进行课堂小结，回顾本节课的核心内容。 【课堂小结】（2分钟） 【教师活动】回顾本节课，请回答问题：1.如何利用数轴确定一元一次不等式组的解集？2.如何解含有方向相同的两个不等号的不等式？ 【学生活动】总结回答：①利用数轴确定解集：先分别画出每个不等式的解集，再找公共重叠部分，写出解集。四种规律：大大取大、小小取小、大小小大中间找、大大小小解不了。②解连写不等式有两种方法：解法1——拆成不等式组，用数轴求解；解法2——三部分同时变形，化中间为x，注意乘除负数时两个不等号同时变方向。 【教师活动】总结：本节课我们学习了较复杂的一元一次不等式组的解法，包括含分母括号的复杂不等式组、求整数解、含参数的分类讨论、已知解集求参数，以及连写不等式的两种解法。核心方法仍然是数形结合——借助数轴找公共部分。课后请完成作业，巩固所学内容。 四、板书设计 6.4.2 解较复杂的一元一次不等式组 一、解复杂一元一次不等式组 步骤：①分别解各不等式 ②数轴表示找公共部分 ③写出解集 例(1)：x<5, x≥-5 → -5≤x<5 二、求整数解 先求解集 → 再找整数 三、含参数不等式组（分类讨论） m>8 → 无解 m=8 → x=8 m<8 → m≤x≤8 → m≤8时有解 四、连写不等式 a≤f(x)≤b 解法1：拆成不等式组（直观） 解法2：三部分同时变形（简洁） ★注意：乘负数时两个不等号同时变方向 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $