第25章一元二次方程单元测试 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级数学一元二次方程单元卷，以基础巩固为核心，融合电动汽车销量、文创利润等时代情境及“积幻方”文化元素，适配单元复习，全面检测知识掌握与数学应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12/36|定义、解法、根的判别式等|第12题以电动汽车销量增长考查增长率模型，体现数学眼光| |填空题|4/16|方程求解、根与系数关系|第16题“积幻方”融合文化传承，培养创新意识| |解答题|10/98|解方程、几何运动、利润问题|24题文创利润问题构建数学模型，23题运动面积问题发展推理能力，落实数学思维与语言|

人教版2026-2027学年度第一学期九年级数学第25章一元二次方程单元测试 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D C D B D A A 题号 11 12 答案 D D 1．B 【分析】一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，是整式方程，未知数最高次数为2． 【详解】解：A、中含有2个未知数，是二元一次方程，不符合定义； B、，整理得，只含一个未知数，是整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义； C、中 是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义； D、，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合定义． 2．B 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 3．A 【详解】解：把代入方程，得，即， 解得． 4．D 【详解】解：由题意得：，且， 解得：． 5．C 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 6．D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 7．B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 8．D 【分析】以一元二次方程无实数根的条件，利用判别式列不等式求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴，解得． 9．A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 10．A 【分析】解出每个选项一元二次方程的根，再一一辨别即可． 【详解】A：，两个根分别为，符合题意； B：，两个根分别为，不符合题意， C：，两个根分别为，不符合题意， D：，两个根分别为，不符合题意． 11．D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，，，， ∴，， ∴． 12．D 【分析】根据平均增长率表示出月份的销量，结合题目中月份销量与月份销量的关系列出方程，即可得到正确选项． 【详解】设每个月销量的平均增长率为， 月份销量为辆， 月份销量为辆， 月份销量为辆， 又月份销量比月份增加辆，即月份销量为辆， 可得方程． 13．4或/或4 【详解】解：， 开方得：． 14． 【分析】将方程的一个根代入得到的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ， ， ，． 15． 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 16．16 【分析】根据题意，得到，整理得，再根据解一元二次方程的方法解方程，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 17．(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ，， ， 则， ∴，； （3）解： ​​​或 ∴，． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据方程的解的定义得到，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴． 19．(1)不是 (2)， (3) 如图，                (4) 【分析】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数图象、二次函数的图象以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）代入原方程验证方程两边是否相等；（2）将原方程变形为；（3）画出函数与函数的图象；（4）观察函数图象，确定方程的解． （1）将代入中，可知不是方程的根； （2）将原方程变形为，由此即可得出结论； （3）画出函数与函数的图象； （4）根据两函数图象交点，确定方程的解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴不是方程的根． 故答案为：不是． （2）解：∵方程可变形为， ∴方程的根可以看作是函数与函数的图象交点的横坐标． 故答案为：；． （3）解：画出两函数图象，如图所示． 画的图象 列表： x ⋯ 0 1 2 ⋯ y ⋯ 3 0 0 3 ⋯ 画函数的图象 列表： x ⋯    1 2 4 ⋯ y ⋯ 4 2 1 ⋯ （4）解：观察图象可得：方程的实数根约为． 故答案为：． 20．(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由（1）知，则原方程变为， 设这个方程的两个根是，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． 21．(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为，方程的另一个实数根为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 22．(1)①③ (2)或 (3)，理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． （3）略． 23．(1)当出发1秒后，的面积等于； (2)解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； （2）略 24．(1)每件文创产品的售价应降低10元； (2)每天利润不能达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 【分析】（1）设每件文创产品的售价降低x元，根据题意列方程解方程即可； （2）假设每天利润能够达到1400元，根据题意列一元二次方程，根据根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】（1）解：设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， 解得， 又要尽可能让利于顾客， ． 答：每件文创产品的售价应降低10元； （2）略． 25．(1)平行且相等 (2) (3)平方米或平方米． 【分析】（1）证明，即可得出，，从而得出， （2）通过证明得出，结合三角形面积求出，再利用勾股定理在中求出即可解决问题； （3）过点作，先证明，设，进而可得，，再在中，求出的长，即可求出面积． 【详解】（1）解：∵点为线段、的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 综上所述：与的关系为平行且相等． （2）解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴在中，， ∴． （3）过点作， ∵，米． ∴米，， ∴， ∴， 设，则， ∵F为路段的中点， ∴， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴景观用地和的总面积 ∵在中，米，， ∴，即， 解得：（米）或（米） 当米时，景观用地和的总面积（平方米） 当米时，景观用地和的总面积（平方米）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2026-2027学年度第一学期九年级数学 第25章一元二次方程单元测试 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（3*12=36分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 3．若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（     ） A．2 B．1或 C．1 D． 5．用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 6．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 7．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 8．关于x的一元二次方程无实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 10．已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 11．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A． B．11 C．1 D． 12．随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商的该品牌电动汽车今年月份的销量为辆，由于国补政策的连月升温，月份的销量比月份增加了辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）． A． B． C D 二、填空题（4*4=16分） 13．一元二次方程的解是______． 14．若关于x的一元二次方程有一根为，则方程的另一个根为______． 15．已知一元二次方程的两根为、，则_____． 16．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 三、解答题（98分） 17．解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） 18．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 19．阅读理解，解决问题 小芳通过函数图象探究方程的实数根时，想到了如下几种方法： 方法1：方程的根可以看作是抛物线与直线（即x轴）交点的横坐标； 方法2：将方程变形成，那么方程的根也可以看作是抛物线与直线交点的横坐标； 方法3：由于，将方程变形成，那么方程的根也可以看作是直线与双曲线交点的横坐标． 她类比上述方法，借助函数图象交点的横坐标对方程的实数根进行了探究． 下面是小芳的探究过程，请补充完成： (1) 方程的根；（填“是”或“不是”） (2)方程的根可以看作是函数 与函数 的图象交点的横坐标； (3)在同一坐标系中画出两个函数的图象； (4)观察图象可得：方程的实数根约为 ．（结果精确到0.1） 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 22．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 23．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 24．某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 25．探究下列问题： (1)如图①，点为线段、的中点，连接，，则与的关系为； (2)如图②，，，于E，于D，若，，求的值； (3)某工业园区规划地块如图③所示，地块拐角B为直角顶点，纵向主干道、横向主干道互相垂直，即，米．是园区内部连通两个大门的人行主通道，点D落在通道上．计划将和区域作为园区的配套景观用地．其中，是以为斜边的等腰直角三角形，F为路段CD的中点，现测得米．求：景观用地和的总面积． 学科网（北京）股份有限公司 $