3.1分式 第1课时 教学设计 2026--2027学年青岛版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦分式概念、有意义及值为0的条件，以古诗《早发白帝城》情境导入，结合实际问题引出分式，通过类比分数构建从整式到分式的知识迁移支架，梳理前后知识脉络。 资料特色在于情境融合文化与生活，引导学生自主归纳分式定义，培养数学抽象能力（数学眼光）。设计分层练习强化条件判断，发展逻辑推理（数学思维），助力学生建立代数体系，为教师提供清晰教学流程与实践素材。

第三章 分式 3.1 分式   一、教材分析 《分式(第1课时)》是青岛版初中数学八年级上册第三章《分式》第一节的内容，是在学生学习了整式运算等知识基础上展开的，作为分式单元的起始课，它是后续学习分式运算、分式方程等内容的基础，通过类比分数引入分式概念，体现了知识的迁移与拓展，对学生构建代数知识体系具有重要意义．   二、学情分析 八年级学生已具备基本的代数式认知和运算能力，对分数概念较为熟悉，能进行简单的逻辑分析，但在从分数到分式的抽象概括能力上仍有提升空间，对分式有意义、值为0等条件的理解可能存在困难，需要通过具体实例引导他们逐步归纳总结．  三、教学目标 1．能根据实际问题列出分式式子，准确判断一个代数式是否为分式，清晰区分整式与分式，提升观察分析能力． 2．通过对比分数与分式的特点，自主归纳出分式有意义、无意义及分式值等于0的条件，培养总结归纳能力． 3．在探究分式概念及条件的过程中，发展数学抽象素养，体会类比思想，增强应用数学知识解决实际问题的能力．   四、教学重难点 重点：理解分式的概念，能正确判断一个代数式是否为分式，掌握分式有意义、无意义及值为0的条件． 难点：能运用分式有意义、值为0的条件解决相关问题，准确区分整式与分式．   五、教学过程 · 本章引入 “朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还．两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山．”这是我国唐代伟大诗人李白所作的千古名篇——《早发白帝城》． 759年，李白因罪被流放夜郎，途经白帝城时，忽然收到赦免的消息．诗人大喜，立即乘舟东下江陵，并乘兴创作此诗． 如果李白乘坐的船从白帝城启航到达江陵，航程为skm，用时th，那么该船航行的平均速度是多少？ 如果该船从江陵返回白帝城，多花了ah，那么该船逆流航行时的平均速度是多少？ 为了刻画上述数量关系，本章将引入一类新的代数式——分式．通过类比分数的学习过程，逐步研究分式及其运算、分式方程、分式与比的关系等，帮助我们更好地解决实际问题． 师生活动：教师通过吟诵李白的《早发白帝城》，讲述诗的创作背景，引出船航行的问题，引导学生思考如何表示船顺流和逆流航行的平均速度，让学生感受实际问题中数量关系的刻画需求． 设计意图：以古诗情境引入，激发学生学习兴趣，让学生体会数学与生活的联系，自然引出本章要学习的新代数式——分式，为后续学习做铺垫． · 情境导入 为了调查珍稀动物资源，动物专家在p平方千米的保护区内找到7只灰熊．你能用代数式表示该保护区平均每平方千米内有多少只灰熊吗？　　　(只) 章引言的问题中，该船顺流航行的平均速度可以表示为km/h，逆流航行的平均速度可以表示为km/h． 师生活动：教师提出保护区内灰熊数量的问题，让学生用代数式表示平均每平方千米的灰熊数量，然后展示章引言中船航行速度的代数式，引导学生观察这些式子的特点，组织学生交流讨论． 设计意图：通过具体的实际问题，让学生经历用代数式表示数量关系的过程，为探究分式概念积累感性材料，体会引入分式的必要性． · 探究新知 活动一：探究分式的特点　 填一填 （1）长方形ABCD的面积为10cm2，AB长为xcm，BC长为____cm； （2）用50元购买一种纪念徽章，在甲商店能购买n枚，在乙商店能多购买5枚，乙商店该纪念徽章的单价为 元； （3）小莹读一本书，前m天平均每天读20页，后n天平均每天读30页，这天，小莹平均每天读 页； （4）x，y的和与x的商可以表示为 ． 答案为：（1） （2） （3） （4） 师生活动：教师呈现四个实际问题，让学生独立思考并填写答案，之后展示学生的答案，引导学生观察这些代数式的共同特征，鼓励学生发表自己的看法． 设计意图：通过具体的问题情境，让学生在解决问题中感受分式的实际背景，为归纳分式定义做准备，培养学生的观察和分析能力． 活动二：归纳分式的定义 1．议一议 观察代数式，，，，，，它们是整式吗？有什么共同特点？ 它们都不是整式，都表示两个整式相除，且分母中都含有字母． 如果把A÷B写成的形式，其中A，B 都是整式，且B中含有字母，那么代数式就叫作分式(fraction)．其中A叫作分式的分子，B叫作分式的分母． 2．做一做 下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，， ，，的分母中含有字母，因此它们是分式，其余是整式． 师生活动：教师引导学生观察前面得到的代数式，讨论它们是否为整式，有什么共同特点，在学生交流的基础上，归纳出分式的定义，明确分子和分母的概念，然后让学生做判断整式和分式的练习，巩固对分式定义的理解． 设计意图：让学生通过自主探究和合作交流，归纳出分式的定义，培养学生的归纳总结能力，通过练习强化对分式概念的理解，区分整式与分式． 活动三：探究分式有意义 议一议 分式的分母中的字母a能取任何实数吗？为什么？ 分式中的字母x呢？ 解：分式的分母中的字母a不能取任何实数，分式中． 总结：由于除数不能为零，所以分式中字母的取值不能使分母为零．当分母的值为零时，分式就没有意义．例如，在分式中，当时，该分式才有意义． 师生活动：教师提出分式分母中字母能否取任意实数的问题，以具体分式为例引导学生分析，让学生讨论得出分式有意义的条件，然后总结出当分母不为零时分式有意义，让学生举例说明． 设计意图：通过问题引导学生深入思考分式有意义的条件，让学生理解分母不能为零的原因，培养学生的逻辑思维能力，为解决分式相关问题奠定基础． · 应用新知 例1．判断下列各式是不是分式，并说明理由． ，，，． 分析：通过对每个式子分母是否含字母的判断，强化分式“分母必须含未知数（字母）”的核心特征，是分式定义的基础应用． 解： ，，的分母中含有字母，因此它们是分式． 不是分式． 总结:判断分式就看分母是否含字母，含则是，不含则不是，以此区分分式与整式． 例2．已知分式． （1）当a满足什么条件时，该分式有意义? （2）当a取什么值时，该分式的值为0? 分析：分式有意义，分母不等于零；分式值为零，分子等于零且分母不等于零． 解：（1）要使分式有意义，则，即． 所以当时，分式有意义． （2）根据除法的意义，当分式的分子为0，且分母不为0时，分式的值为0．由，得．此时，．所以当时，分式的值为0． 师生活动：教师讲解例1，分析判断分式的关键是看分母是否含字母，让学生自己判断并说明理由；讲解例2，强调分式有意义和值为0的条件，引导学生按照条件解题，让学生参与解题过程，及时反馈． 设计意图：通过具体例题的讲解和练习，让学生掌握分式概念的应用，学会运用分式有意义和值为0的条件解决问题，提高学生的应用能力． · 课堂练习 1．下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，． 分析：判断关键看分母是否含字母，含字母则为分式，不含则为整式. 解：，，的分母中含有字母，因此它们是分式． ，不是分式． 总结：整式分母不含字母（除数无字母参与）；分式分母必须含字母，这是分式与整式最本质的区分点． 2．当x满足什么条件时，下列分式有意义？当x取什么值时，下列分式的值为0？ （1）； （2）． 分析：牢记“有意义看分母，值为0要分子为0且分母不为0”的逻辑． 解：（1）要使分式有意义，则，即．根据除法的意义，当分式的分子为0，且分母不为0时，分式的值为0．由题意．此时，. 所以当时，分式有意义．当时，分式的值为0． (2)要使分式有意义，则，即．根据除法的意义，当分式的分子为0，且分母不为0时，分式的值为0．由，得．此时，. 所以当时，分式有意义．当时，分式的值为0． 师生活动：教师布置课堂练习，让学生独立完成，然后巡视指导，针对学生出现的问题进行讲解，让学生互相交流解题思路，总结解题方法． 设计意图：通过练习巩固学生所学的知识，及时发现学生的问题并解决，让学生进一步掌握分式的相关知识，提高解题能力． 限时训练 1．下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，， 分析：判断整式、分式的关键是看分母是否含字母，含则为分式，不含则为整式，以此清晰区分两类代数式. 解：，，的分母中含有字母，因此它们是分式，其余是整式． 总结：看分母是否含字母，就能快速区分整式与分式． 2．（1）要使分式有意义，x的取值应满足 ； 若分式的值为0，则x的值是 ． （2）当时，分式没有意义，则 ． 答案：（1） （2）−2 总结： 解题紧扣“分母≠0分式有意义；分子=0且分母≠0分式值为0；分母=0分式无意义”的规则． 3．已知分式． （1）当x取什么数时，分式有意义？ （2）当x取什么数时，分式的值是零？ 分析：（1）分式有意义的条件：分式分母不能为0，即，解此不等式确定x取值． （2）分式值为零的条件：分子为0且分母不为0，先令分子求x，再验证分母是否非0． 解：（1）当分母等于零时，分式没有意义．由，得． 所以当x取除以外的任何实数时，分式有意义． (2)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值是零． 由，得．此时，．所以当时，分式的值是零． 4．若分式的值为0，求x的值． 分析：分式值为0是分子等于0，分式有意义的核心条件是分母不为0．求出使分式值为0的数后，一定要验证分式有意义． 解：由题意得， 解得． 总结：遇“分式值为0”问题，严格遵循“分子为0、分母不为0”双条件，先解分子方程，再排除分母为0的解，最终确定符合要求的未知数取值． 师生活动：教师设定时间，让学生进行限时训练，培养学生的时间观念和快速解题能力，训练结束后，教师公布答案，让学生核对，对重点题目进行讲解，分析解题要点． 设计意图：通过限时训练，提高学生的解题速度和准确率，巩固所学知识，让学生在规定时间内运用所学知识解决问题，增强学生的应试能力． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．判断一个式子是不是分式，关键看什么？ 3．分式有意义的条件是什么？分式值为0需要满足哪两个条件？两者有什么区别？ 设计意图：师生共同回顾本节课的内容，帮助学生梳理知识脉络，形成知识体系，强化对分式概念、有意义条件和值为0条件的记忆，让学生明确本节课的重点和难点．   六、板书设计 　　　　3.1 分式 一、分式的定义 形式： (A、B为整式，B中含字母）例如： 二、分式有意义的条件 关键：分母不为0　　　例：　中，即 3、 分式值为0的条件 双条件：分子为0且分母不为0． 例1 例2 学科网（北京）股份有限公司 $