3.2分式的乘法与除法 教案——2026-2027学年青岛版数学八年级上册

该教案聚焦分式的约分、乘除及乘方法则，通过复习分数约分与乘除运算引入，构建从分数到分式的知识迁移支架，衔接旧知与新知，梳理分式运算的逻辑脉络。 以类比探究法为主导，从分数约分类比抽象出分式约分概念培养数学抽象，通过多项式因式分解约分强化逻辑推理，结合小组合作与讲练结合提升数学运算能力。结构清晰，重难点突出，助力教师高效教学，引导学生形成数学思维，夯实分式运算基础。

课题 3.2 分式的乘法与除法 课型 新授课 课时 2课时 教材版本 青岛版数学八年级上册 教学方法 类比探究法、讲练结合法、小组合作法 教学用具 多媒体课件、投影、白板 一、核心素养目标 • 【数学抽象】通过类比分数约分，抽象出分式约分的概念；通过类比分数乘除法则，抽象出分式乘除法则 • 【数学抽象】理解最简分式的概念，能将分式化为最简分式 • 【逻辑推理】能运用分式的基本性质进行约分推理，掌握约分的依据 • 【逻辑推理】能由分数乘除法则类比推导分式乘除法则，体会类比思想 • 【数学运算】熟练掌握分式约分的方法，能正确进行单项式和多项式分式的约分 • 【数学运算】掌握分式乘除法法则和乘方法则，能进行简单的分式乘除和乘方运算 • 【直观想象】能识别分式中分子、分母的公因式，提高观察与判断能力 • 【直观想象】能在复杂分式运算中识别运算顺序和方法 二、教学重难点 教学重点：分式约分的方法和分式乘除运算法则 教学难点：分子、分母为多项式的分式约分；分式乘除运算中多项式的因式分解 三、教学过程 【第一课时导入：复习旧知，引入课题】（5分钟） 【教师活动】同学们，前面我们学习了分式的基本性质。大家还记得分数的约分和通分吗？它们在分数运算中起着非常重要的作用。今天我们要学习的分式约分，与分数约分有着密切的联系。 【教师活动】首先我们来回顾一下：什么是分数的约分？什么是分数的通分？ 【学生活动】思考并回答：分数的约分是把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数的值保持不变；分数的通分是把分母不同的分数化成分母相同的分数。 【教师活动】非常好！既然分式也有基本性质，那么分式是否也可以像分数一样进行约分呢？这就是我们今天第一课时要学习的内容——分式的约分。 【过渡语】下面我们通过具体的例子来探究分式约分的方法。 【任务一：理解分式约分与最简分式的概念】（10分钟） 【教师活动】请同学们看大屏幕上的两组填空，先完成分数的约分，再想一想分式的约分应该如何进行。 【教师活动】（1）填空： = ， = 。想一想：怎样的分数需要进行约分？分数的约分是如何进行的？ 【学生活动】独立完成填空： = ， = 。当分数的分子和分母有公因数时需要约分，约分时分子分母同时除以最大公因数。 【教师活动】很好！那么（2）仿照分数约分的方法，对下列分式进行约分：、，并与同学交流，说说约分的依据是什么。 【学生活动】小组讨论，尝试约分： = ， = 。依据是分式的基本性质——分子分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变。 理解要点：分式约分的依据是分式的基本性质，这与分数约分的依据（分数的基本性质）是完全类似的，体现了类比的数学思想。 【教师活动】通过刚才的探究，我们可以给出分式约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去，叫作分式的约分。 【教师活动】当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其他的公因式时，这样的分式叫作最简分式。约分的结果必须是最简分式或整式。 【知识点】分式约分的定义：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中除1以外的公因式约去。最简分式：分子与分母除去1以外没有其他公因式的分式。 【过渡语】理解了概念之后，我们来学习具体的约分方法。 【任务二：掌握分式约分的方法——单项式约分】（10分钟） 【教师活动】约分的关键是什么？是确定分子和分母的公因式。那么如何找公因式呢？ 【教师活动】约公因式的方法：约去系数的最大公约数和相同字母或因式的最低次幂。 重点强调：约分关键——确定分子和分母的公因式：约去系数的最大公约数，约去相同字母或因式的最低次幂。 【教师活动】我们先来看分子、分母都是单项式的情况。 【教师活动】【例1】约分：（1） 【分析】【思路分析】为约分，要先找出分子和分母的公因式。系数-15和25的最大公约数是5；字母a的最低次幂是a²；字母b的最低次幂是b²。所以公因式是5a²b²。 【教师活动】解：（1） = = = - 【学生活动】跟随教师讲解，在练习本上标注公因式，完成约分过程。 【教师活动】注意：分式的分子或分母带有负号，应先将负号化去。通常把负号放在分式的最前面。 易错提示：1. 分式约分的结果应当是最简分式或整式。2. 分式的分子或分母带有负号，应先将负号化去。 【过渡语】单项式的约分我们已经掌握了，那么分子或分母是多项式时又该如何约分呢？ 【任务三：掌握分式约分的方法——多项式约分】（8分钟） 【教师活动】当分子、分母含有多项式时，不能直接找公因式，应该怎么办呢？ 【学生活动】思考回答：应该先将多项式分解因式，再找公因式。 【教师活动】非常好！分子、分母含有多项式时：将多项式分解因式，再约去分子、分母所有公因式。 【教师活动】【例2】约分：（2） 【分析】【思路分析】分子a²-4是平方差，可以分解为(a+2)(a-2)；分母a²-4a+4是完全平方，可以分解为(a-2)²。分解后就可以找到公因式(a-2)。 【教师活动】解：（2） = = 【学生活动】独立完成分解因式和约分，注意约分时只能约去公因式，不能约去各项中的部分项。 易错提示：多项式约分的前提是先分解因式，必须分解彻底。约分只能约去分子分母中的公因式，不能约去加法或减法中的某一项。 【教师活动】把整式的除法写成分式的形式，也可以利用约分进行运算。例如：计算 -12a³b ÷ (-3ab²)，可以写成，再约分得到？不对，让我们重新来： = 。 【过渡语】下面我们通过练习来巩固约分的方法。 【第一课时课堂练习】（7分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习，检验一下自己的掌握情况。 【教师活动】1. 下列分式中，是最简分式的是（　　） 【教师活动】A. 　　B. 　　C. 　　D. 【学生活动】独立思考后回答：选C。A可约分为，B可约分为2(a+b)，D可约分为a+b，只有C的分子分母没有公因式。 【教师活动】2. 下列约分正确的是（　　）（指向课件图片展示） 【学生活动】对照课件图片，逐一判断选项的正确性。 【教师活动】3. 约分：；； 【学生活动】板演练习，其余同学在练习本上完成。 判断技巧：判断最简分式：只要分子分母不能再分解，且没有公因式，就是最简分式。多项式一定要先分解因式再判断。 【过渡语】第一课时的内容我们就学习到这里，下面我们来做一个小结。 【第一课时课堂小结】（5分钟） 【教师活动】针对本节课的关键词"约分"，你能说说学到了哪些知识吗？请同学们回顾一下。 【学生活动】学生自由发言：我学到了分式约分的定义、最简分式的概念、单项式约分的方法、多项式约分的方法…… 【教师活动】我们一起来梳理一下： 【知识点】【分式约分知识梳理】1. 定义：利用分式基本性质，约去分子分母中除1以外的公因式。2. 最简分式：分子分母除1外无其他公因式。3. 单项式约分：约去系数最大公约数和相同字母最低次幂。4. 多项式约分：先分解因式，再约公因式。5. 注意：有负号先化去，结果必须是最简分式或整式。 【教师活动】课后请同学们完成课本习题，下节课我们将学习分式的乘法与除法。 【第二课时导入：复习与引入】（4分钟） 【教师活动】上节课我们学习了分式的约分，这节课我们来学习分式的乘法与除法。首先请同学们回忆一下，分数的乘法和除法是如何进行的？ 【学生活动】回答：分数乘法是分子乘分子、分母乘分母；分数除法是将除数取倒数，再变成乘法。 【教师活动】非常好！那么分式的乘除法是否与分数的乘除法类似呢？这就是我们今天要探究的问题。 【过渡语】下面我们通过类比的方法来探究分式的乘除法则。 【任务一：探究分式的乘除运算法则】（10分钟） 【教师活动】活动1：类比下列分数乘除运算，与同学交流，下列的分式怎么计算？ 【教师活动】（1） × = 　　类比： × = ? 【学生活动】类比分数乘法，猜想： × = 【教师活动】（2） ÷ = × = = 　　类比： ÷ = ? 【学生活动】类比分数除法，猜想： ÷ = × = 【教师活动】同学们的猜想非常准确！下面我们来总结分式的乘除法则： 【知识点】【分式乘法法则】两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。即： × = 【知识点】【分式除法法则】两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。即： ÷ = × = 重点强调：注意：按照法则进行分式乘除运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式。 【过渡语】掌握了法则之后，我们来看具体的例题。 【任务二：分式乘除法运算——单项式型】（8分钟） 【教师活动】【例1】计算：（1） · 【分析】【思路分析】这是两个单项式分式相乘，直接用分子乘分子、分母乘分母，然后约分。 【教师活动】解：（1） · = = = 【学生活动】跟随教师步骤，注意约分要彻底，结果化为最简分式。 【教师活动】【例2】计算：（2） ÷ 【分析】【思路分析】这是分式除法，先将除法转化为乘法（除式取倒数），再按乘法法则计算。 【教师活动】解：（2） ÷ = × = = = = - 【学生活动】独立完成，注意负号的处理和约分的彻底性。 技巧提示：分式乘除运算时，可以先约分再相乘，这样计算更简便。不一定非要先乘完再约分。 【过渡语】单项式分式的乘除我们已经会了，下面来看分子分母是多项式的情况。 【任务三：分式乘除法运算——多项式型】（8分钟） 【教师活动】当分式的分子或分母是多项式时，我们又该如何进行乘除运算呢？ 【学生活动】回答：先将多项式分解因式，然后再进行乘除和约分。 【教师活动】很好！我们来看例题： 【教师活动】【例3】计算：（3） · 【分析】【思路分析】分子分母都是多项式，先分别分解因式。a²-4=(a+2)(a-2)，a²-2a+1=(a-1)²，a²-1=(a+1)(a-1)，a²+4a+4=(a+2)²。 【教师活动】解：原式 = · = = 【学生活动】跟随教师分解每个多项式，找出公因式进行约分。 【教师活动】【例4】计算：（4） ÷ (x + 3) · 【分析】【思路分析】这是分式的乘除混合运算，注意运算顺序是从左到右。遇到整式(x+3)，可以把它看成分母是1的分式。 【教师活动】解：原式 = ÷ · = × × = = - 重点强调：小结：1. 分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分。2. 整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式。 【过渡语】下面我们来总结一下分式乘除运算的一般步骤。 【任务四：分式乘除运算的一般步骤】（3分钟） 【教师活动】通过前面的学习，我们来总结一下计算分式乘除的一般步骤： 【知识点】【分式乘除运算四步走】（1）分解因式：将分式的分子、分母中的多项式分解因式；（2）化除为乘：将除法转化为乘法并计算；（3）约分：将所得结果的分子、分母中相同的因式进行约分；（4）整理结果：将分式的分子、分母中剩下的因式分别相乘，并整理出最后结果。 【学生活动】齐读四步口诀，加深记忆。 【过渡语】接下来我们学习分式的乘方。 【任务五：探究分式的乘方法则】（7分钟） 【教师活动】我们已经学习了分式的乘法，那么分式的乘方又有什么规律呢？请大家完成下面的计算，并思考(n 和有什么关系？ 【教师活动】计算： · = ?； · · = ?；... ? 【学生活动】小组合作计算： · = ； · · = ；............. 猜想：(n = 。 【教师活动】非常好！这就是分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 【知识点】【分式乘方法则】分式乘方要把分子、分母分别乘方。即：(n = （n为正整数）。 【教师活动】【例5】计算： 【教师活动】【例6】计算： 【分析】【思路分析】这是乘方、乘除混合运算，先算乘方，再算乘除。 易错提示：注意：分式乘方时，注意幂的符号——负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。 【过渡语】下面我们通过练习来巩固今天所学的内容。 【第二课时课堂练习】（5分钟） 【教师活动】请同学们完成以下练习： 【教师活动】1. 计算： ÷ · 。下列结果正确的是（　　） 　A. 　B. 　C. 　D. 【学生活动】独立计算： × × = ，选A。 【教师活动】2. 计算 a⁵ · 的结果是（　　） 　A．－a³　B．a³　C．a⁷　D．a¹⁰ 【学生活动】计算：a⁵ · = a³，选B。 【教师活动】3. 计算： ÷ 【学生活动】板演：原式 = × = 【教师活动】4. 计算：（1） )3 · ()2 【学生活动】计算：原式 = · = 运算顺序：分式混合运算顺序：先乘方，再乘除，同级运算从左到右。遇到多项式先分解因式。 【过渡语】练习就到这里，下面我们对本节课的内容做一个总结。 【第二课时课堂小结与作业布置】（5分钟） 【教师活动】针对本节课的关键词"分式的乘除运算"，你能说说学到了哪些知识吗？ 【学生活动】学生自由发言：我学到了分式乘法法则、分式除法法则、分式乘方法则、还有乘除混合运算的步骤…… 【知识点】【分式乘除运算知识梳理】1. 乘法法则：分子乘分子、分母乘分母。2. 除法法则：将除式取倒数转化为乘法。3. 乘方法则：分子分母分别乘方。4. 运算步骤：先分解因式→化除为乘→约分→整理结果。5. 运算顺序：先乘方，再乘除，从左到右。 【教师活动】今天的作业：1. 课本习题3.2 第1、2、3、4题。2. 复习分式乘除运算法则，预习下一节内容。 【教师活动】同学们，分式的乘法与除法是分式运算的基础，大家一定要熟练掌握，为后续学习打好基础。下课！ 四、板书设计 3.2 分式的乘法与除法 一、约分 1. 定义：约去分子分母的公因式 2. 最简分式：分子分母除1外无公因式 3. 方法： 单项式→系数最大公约数+字母最低次幂 多项式→先分解因式，再约公因式 二、分式的乘法： × = 三、分式的除法： ÷ = 四、分式的乘方： (n= 五、运算步骤：分解因式→化除为乘→约分→整理 六、运算顺序：先乘方，再乘除，从左到右 五、教学反思 1. 本节课学生哪些地方容易出错？ 2. 哪些学生需要特别关注？ 3. 教学时间分配是否合理？ 4. 实验/探究环节是否达到预期效果？ 5. 有哪些生成性问题？如何处理？ 6. 下节课如何改进？ 学科网（北京）股份有限公司 $