22.1 二次函数的图象和性质（分层作业）数学人教版九年级上册

22.1 二次函数的图象和性质 题型一 二次函数的定义 1．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）下列函数属于二次函数的是（　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 根据二次函数的定义求参数 1．（24-25九年级上·广东云浮·期中）若函数表示是的二次函数，则的值为 ． 2．（24-25九年级上·青海西宁·期中）若是二次函数，则 ． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）当 时，是二次函数． 4．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）若表示y是x的二次函数，则m的取值范围为 ． 题型三 二次函数y=ax2的图象和性质 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)则的值为______；对称轴为______； (2)已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______； (3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 2．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 3．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)画出此抛物线图像并写出三条性质 4．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求实数的值； (2)写出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴． 题型四 二次函数y=ax2+k的图象和性质 1．（24-25九年级上·重庆·期中）已知抛物线，且经过点，试比较和的大小： ． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）二次函数的图象经过点，，则 ．（填“>”、“<”或“=”） 3．（24-25九年级上·广东阳江·期末）点，都在二次函数的图象上，则 ．（填“”、“”或“”）． 4．（24-25九年级上·江西赣州·期末）若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是 ． 题型五 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 1．（24-25九年级上·青海海西·期末）已知，两点都在二次函数的图象上，则，的大小关系为 ． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，当分别取，时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 3．（24-25九年级上·北京·开学考试）若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 4．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 题型六 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 2．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当取什么范围时，随的增大而增大？ 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”． (1)请写出二次函数的“对称二次函数”； (2)已知关于的二次函数和，若与互为“对称二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值． 题型七 二次函数的平移 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）把二次函数先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后解析式为 ． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）把抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为 ． 3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）把二次函数的图象，向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为 ． 4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）抛物线可由抛物线向 （填上或下）平移 个单位长度得到． 题型八 把y=ax2+bx+c化为顶点式 1．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）将化成的形式为 ． 2．（24-25九年级上·青海西宁·期中）将二次函数化为顶点式 ，其顶点坐标是 ． 3．（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为 ． 4．（24-25九年级上·河北承德·期末）通过配方，把二次函数化为的形式 ，顶点坐标 ． 题型九 y=ax2+bx+c的图象与性质 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）若抛物线的顶点在轴上，求的值． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在二次函数中． (1)若该函数图象的顶点在x轴上，求t的值； (2)若点在该函数图象上，令，求证：． 3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图是二次函数的图象，根据图象回答以下问题 (1)抛物线的对称轴是直线____________； (2)当____________时，二次函数有最____________值（填大或小），是____________； (3)当____________时，随的增大而增大． 4．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为， (1)求的值； (2)如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围． 题型十 二次函数图象与各项系数符号 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ． 2．（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有 ．（填写序号） 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是 ． 4．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③若，则；④不论m取任何实数，均有．其中正确的有 ． 题型十一 用待定系数法求解析式 1．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线． (1)求此抛物线的解析式； (2)若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接） 2．（23-24九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求该二次函数图象的顶点坐标； (3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若抛物线的顶点坐标为，图像与轴的交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当取何值时，抛物线中随增大而增大． 4．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知抛物线的顶点坐标，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线过点，，求的值． 题型十二 y=ax2+bx+c的最值 1．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数，当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）当时，函数的最大值是8，则 ． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）二次函数的最小值是 ． 4．（24-25九年级上·辽宁营口·期末）已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为 ． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）当 时，二次函数的最小值是 ． 题型一 一次函数与二次函数的综合应用 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中． (1)请求出以上两个函数的解析式； (2)求点B的坐标； 2．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，抛物线与直线相交于点和点． (1)求和的值； (2)求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 3．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图已知直线与抛物线相交于、两点．解答以下问题： (1)填空：，，． (2)不等式的解集为． (3)已知点P在x轴上，若的面积是的倍，求点P坐标． 4．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 题型二 利用二次函数对称性求最短路径 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线经过点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标． 2．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 3．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标． 4．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点，已知点的坐标为，经过点的直线与抛物线另一个交点的坐标为，连接．    (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点在轴上，则当的值最小时，点的坐标为______ ； (3)若点是抛物线上不与点重合的一个动点，求当时点的坐标． 题型三 二次函数的综合应用 1．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 2．（23-24九年级上·河南周口·期末）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的表达式． (2)若在坐标平面内存在点G，使得点G到A，B，C三点的距离都相等，请求出点G的坐标． 3．（22-23九年级上·山西晋中·阶段练习）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线的顶点，连接、，求的面积． 4．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点. (1)求抛物线的解析式； (2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 5．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如， (1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标_______． (2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，且当时，函数的最小值为，最大值为1，求的取值范围． (3)设关于x的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点A，关于x的函数（n为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点B，点C，且，求m，的值． 2．（24-25九年级上·四川广元·期末）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”． (1)直线上的“好点”坐标为______； (2)若“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式； (3)若“好点二次函数的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最大值与最小值的差为d，求d关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，已知是自变量的函数，，称函数为函数的“相关函数”． (1)求函数的“相关函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，过点作轴的垂线，垂足为，以，为邻边构造矩形，设点的横坐标为，矩形的周长为时，求点的坐标； (3)函数与轴交于点，函数的顶点为，直线与轴交于点，与函数的图象交于点，当时，直接写出的取值范围． 4．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，在上取点，连接，其中，过点作轴交于点，求长度的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在平面内，将抛物线沿直线斜向右上平移，当平移后的新抛物线经过时停止平移，此时得到新抛物线．在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1 二次函数的图象和性质 题型一 二次函数的定义 1．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）下列各式中，是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数，逐一验证各选项即可． 【详解】A．，分母含，是分式函数而非整式，不符合二次函数定义； B．，若，则变为一次函数，不一定是二次函数； C．展开得，为一次函数； D．展开得，符合（），是二次函数． 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的的识别，根据二次函数的定义（形如，），逐一判断各选项是否为二次函数即可． 【详解】A．，符合的形式（），是二次函数； B．，展开后为，最高次项为，系数为2，是二次函数； C．，符合的形式（），是二次函数． D．，展开后为，化简后为一次函数，不是二次函数． 故选D． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得答案． 【详解】解：，， 由二次函数的定义可得，四个选项中，只有C选项中的函数是二次函数， 故选：C． 4．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）下列函数属于二次函数的是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，关键是根据二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2． 【详解】解：A、是一次函数，故不合题意； B、中未知数的最高次数为3，不是二次函数，故不合题意； C、是二次函数，故符合题意； D、是反比例函数，故不合题意； 故选：C． 5．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练的掌握二次函数的定义是解题的关键． 先把关系式整理成二次函数的一般形式，再根据二次函数的定义判定即可． 【详解】解：①是二次函数；②不是二次函数；③是二次函数；④不是二次函数；⑤不是二次函数；⑥不是二次函数． 综上，二次函数有①③，共2个． 故选B． 题型二 根据二次函数的定义求参数 1．（24-25九年级上·广东云浮·期中）若函数表示是的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，由二次函数的定义得出，，计算即可得解，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数表示是的二次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·青海西宁·期中）若是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数．根据定义解答即可，熟记定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）当 时，是二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数，根据二次函数的定义可得且，解之即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）若表示y是x的二次函数，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出关于的不等式是解题的关键． 根据形如的函数，叫做二次函数，可得答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为： ． 题型三 二次函数y=ax2的图象和性质 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)则的值为______；对称轴为______； (2)已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______； (3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【答案】(1)，轴； (2)； (3)画图见解析，． 【分析】（）根据二次函数的定义先求出，，然后由当时，随的增大而增大，则有，然后根据二次函数的性质即可求解； （）据二次函数的性质即可求解； （）根据列表，描点，连线的方法即可出图象，再由图象即可求出的取值范围； 本题考查求二次函数的定义，二次函数的性质，画二次函数图象，根据二次函数与不等式的关系结合图象求解，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， 解得：，， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，即轴， 故答案为：，轴； （2）解：∵点在该二次函数图象上，对称轴为直线，即轴， ∴点在该图象上对称点的坐标为， 故答案为：； （3）解：列表： 如图， 根据图象可知：当时， ∴的取值范围， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 【答案】(1)函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 (2)8 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的图象性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m； （1）先把代入，求出函数解析式，再根据函数的解析式，，可得出抛物线开口向上，并找出抛物线的对称轴及顶点坐标． （2）把代入（1）中所求的解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得 解得： ∴ ∵ ∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：把代入，得 ． 3．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)画出此抛物线图像并写出三条性质 【答案】(1) (2) (3)①图象开口向下，②对称轴为y轴，③顶点坐标为（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数的性质是解决问题的关键． （1）将点代入求解即可． （2）将代入（1）中的解析式求值即可． （3）根据开口方向，对称轴，顶点等分析写出性质即可． 【详解】（1）抛物线经过点， 将点代入， 得， 解得． （2）由（1）可知，， ， 当时，． （3）图象如图所示， 则抛物线的性质有，①图象开口向下， ②对称轴为y轴， ③顶点坐标为．（答案不唯一） 4．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求实数的值； (2)写出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)，对称轴是轴 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键． （1）根据二次函数的次数是2可得方程，根据二次函数的性质，可得，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴． 【详解】（1）解：由是二次函数，且当时，随的增大而增大，得 ， 解得； （2）由（1）得二次函数的解析式为， 的顶点坐标是，对称轴是y轴． 题型四 二次函数y=ax2+k的图象和性质 1．（24-25九年级上·重庆·期中）已知抛物线，且经过点，试比较和的大小： ． 【答案】＜ 【分析】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数的性质是解题关键．根据，抛物线的开口向上，对称轴的左侧随的增大而减小，对称轴的右侧随的增大而增大． 【详解】解：抛物线，， 抛物线开口向上，对称轴为轴， 当时，随的增而减小， ， ， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）二次函数的图象经过点，，则 ．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了二次函数的性质，把把，分别代入，进行计算，得，即可作答． 【详解】解：依题意，把，分别代入， 得， ∵， ∴， 故答案为：>． 3．（24-25九年级上·广东阳江·期末）点，都在二次函数的图象上，则 ．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键．根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴是y轴，当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为： 4．（24-25九年级上·江西赣州·期末）若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数 (a，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴． 故答案为：． 题型五 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 1．（24-25九年级上·青海海西·期末）已知，两点都在二次函数的图象上，则，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．先分别计算出自变量为，3时的函数值，然后比较函数值得大小． 【详解】解：把、分别代入得 ，， 所以． 故答案是：． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数，当分别取，时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据解析式得出对称轴为直线，进而根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向上，对称轴为直线， 当分别取，时，函数值相等，则， 时， 函数值． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·北京·开学考试）若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【答案】(1)； (2)抛物线开口向下． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）先确定顶点坐标，再设顶点式然后把A点坐标代入求出a即可； （2）利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线 ∴抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为 把代入得 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下． 4．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 题型六 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 ． (1)若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； (2)若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据抛物线的解析式可得抛物线的顶点坐标为，再代入一次函数解析式解答即可求解； （）根据抛物线的对称性可得点关于抛物线对称轴的对称点为，进而根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线 ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵此抛物线的顶点在直线 上， ∴， 解得； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，． 2．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数． (1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (2)当取何值时，随的增大而增大？ (3)当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 【答案】(1)开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； (2)当时，随的增大而增大； (3)当时，有最小值为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，根据所给解析式可以得解； （）依据题意，根据二次函数的增减性可以判断得解； （）依据题意，由开口向上，函数有最小值，进而可以得解． 【详解】（1）解：由抛物线的解析式为， ∴开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，有最小值为． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数． (1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当取什么范围时，随的增大而增大？ 【答案】(1)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次项系数可判断开口方向，再根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可； （2）利用开口方向和对称轴即可解答． 【详解】（1）解：二次函数中，， 二次函数开口向下， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数开口向下， 在对称轴的左侧随的增大而增大， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大． 4．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”． (1)请写出二次函数的“对称二次函数”； (2)已知关于的二次函数和，若与互为“对称二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（）根据“对称二次函数”的定义解答即可； （）把转化为顶点式，再根据“对称二次函数”的定义可得的解析式，进而根据二次函数的性质可得的最大值； 本题考查了二次函数的新定义，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：二次函数的“对称二次函数”是； （2）∵， 又∵与互为“对称二次函数”， ∴， ∴的对称轴为直线， ∵，且， ∴当时，． 题型七 二次函数的平移 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）把二次函数先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 根据函数图象平移的规律解答即可． 【详解】解：二次函数先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后解析式为：， 即． 故答案为：． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）把抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数的图象的平移是解题的关键； 直接根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”即可得出结论． 【详解】解：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为； 故答案为： 3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）把二次函数的图象，向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题．先将一般式化为顶点式，找出顶点坐标，根据二次函数平移法则左加右减上加下减，即可求出新的解析式． 【详解】解：， 将二次函数的图象，向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为，即． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）抛物线可由抛物线向 （填上或下）平移 个单位长度得到． 【答案】 上 【分析】本题考查了二次函数图象和几何变换，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 根据二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：抛物线可由抛物线向上平移个单位长度得到， 故答案为：上，． 题型八 把y=ax2+bx+c化为顶点式 1．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）将化成的形式为 ． 【答案】 【分析】考查二次函数一般式和顶点式之间的转化，掌握它们的转化方法是解题的关键． 首先提取二次项系数，进而利用配方法写出顶点式形式． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·青海西宁·期中）将二次函数化为顶点式 ，其顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数一般式，顶点式，顶点坐标的计算，掌握配方法的运用是关键． 运用配方法将一般式化为顶点式，根据顶点式的特点求解即可． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 故答案为：①；② ． 3．（24-25九年级上·山东济宁·期中）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答，再配成顶点式即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式为， 即． 故答案是：． 4．（24-25九年级上·河北承德·期末）通过配方，把二次函数化为的形式 ，顶点坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查将一般式化为顶点式，利用配方法将一般式转化为顶点式，再利用顶点式的性质，写出顶点坐标即可． 【详解】解：， ∴顶点坐标为：． 题型九 y=ax2+bx+c的图象与性质 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）若抛物线的顶点在轴上，求的值． 【答案】4或 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答根据抛物线的顶点在x轴上，可知该抛物线顶点的纵坐标为0，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， 解得，或， 故答案为：或． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在二次函数中． (1)若该函数图象的顶点在x轴上，求t的值； (2)若点在该函数图象上，令，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； （2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得或， ， 的值为； （2）证明：点在抛物线上， ， ， ， ， 有最大值， ． 3．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图是二次函数的图象，根据图象回答以下问题 (1)抛物线的对称轴是直线____________； (2)当____________时，二次函数有最____________值（填大或小），是____________； (3)当____________时，随的增大而增大． 【答案】(1) (2)，大，3 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． （1）结合函数图象，根据二次函数的性质即可求解． （2）结合函数图象，根据二次函数的性质即可求解． （3）结合函数图象，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据二次函数的图象知，二次函数的顶点坐标为． 抛物线的对称轴是直线， 故答案为：； （2）解：∵， ∴当时，二次函数有最大值，是 3 ， 故答案为：，大， 3 ； （3）解：当时，随的增大而增大， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点，设抛物线的对称轴为， (1)求的值； (2)如果点，，是抛物线上的点，且总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入求出得到抛物线的对称轴为直线，即可得到答案； （2）根据二次函数的性质得到抛物线开口向上，得出，分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， ， 抛物线的对称轴为直线， （2）解：点，，是抛物线上的点， ， 抛物线开口向上，且总有， ， ， 当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，不成立； 的取值范围是． 题型十 二次函数图象与各项系数符号 1．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点，有下列结论①；②；③；④；其中所有正确的结论是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可． 【详解】由图像可知，，， ∴，故①正确． 当x=时，y=0， 即 ∴ ∴ ∴，故②正确． 由对称轴为，与x轴一个交点为可知与x轴另一个交点为 即 化简得，故③正确． ∵对称轴为 ∴ ∴， 将代入有 即 ∴，故④错误． 综上所述①②③正确． 故答案为①②③． 2．（24-25九年级上·广东湛江·期中）从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有 ．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 3．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据抛物线的图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，逐一判断各结论，即可得到结果． 本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的图象开口向上， ， 故结论①正确； 抛物线的对称轴为直线， ∴， 则， ∴， 故结论②错误； 抛物线经过，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 抛物线的图象开口向上，点在抛物线上， ， 故结论③正确； 抛物线的图象与y轴交点坐标为，点在抛物线上且， 或， 故结论④错误， 故正确结论的序号为①③． 故答案为：①③． 4．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③若，则；④不论m取任何实数，均有．其中正确的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了二次函数与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征及抛物线与轴的交点，根据所给函数图像，得出，，的符号，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可．熟知二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：由所给图像可知， ，，， 所以． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则． 故②正确． 因为点坐标为， 由得，， 所以点的坐标为， 则， 所以． 因为抛物线的对称轴为直线，且点坐标为， 所以点的坐标为． 由得， ， 所以． 故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 所以当时，二次函数有最大值， 即对于抛物线上的任意一点（横坐标为，总有，即． 故④错误． 故答案为：①②③． 题型十一 用待定系数法求解析式 1．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线． (1)求此抛物线的解析式； (2)若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记相关结论即可求解； （1）令，则；得到抛物线与轴的交点为；推出；根据抛物线的对称轴是直线，推出，即可求解； （2）根据抛物选的开口方向和对称轴，即可判断； 【详解】（1）解：令，则； ∴抛物线与轴的交点为； ∴； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：； ∴此抛物线的解析式为：； （2）解：由（１）可知：抛物选开口向上， 对称轴是直线． ∵且， ∴ 故答案为： 2．（23-24九年级上·广西河池·期末）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求该二次函数图象的顶点坐标； (3)当x在什么范围内时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2) (3)当时，y随x的增大而减小 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，求得解析式是解题的关键． （1）将点和代入中，得，进行计算即可得； （2）由表达式即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的性质得即可得． 【详解】（1）解：将点和代入中，得 解得 则该二次函数表达式为； （2）解：∵ ∴顶点坐标为； （3）解：根据二次函数的性质得，当时，y随x的增大而减小． 3．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）若抛物线的顶点坐标为，图像与轴的交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当取何值时，抛物线中随增大而增大． 【答案】(1) (2)当时，随增大而增大 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，将代入求解即可； （2）根据二次函数的性质，即可求解； 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为； （2）解：当时，随增大而增大． 4．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知抛物线的顶点坐标，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线过点，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线顶点为，故可设抛物线的解析式为，又抛物线过，从而可求出的值，进而可以得解； （2）依据题意，由（1），又抛物线过点，，从而求出的值，代入代数式进而得到答案． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标， 可设抛物线的解析式为． 又∵抛物线过， ． ． 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）中求得的解析式， 抛物线过点，， ， ． 题型十二 y=ax2+bx+c的最值 1．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）对于二次函数，当时，函数的最小值为1，则的值为 ． 【答案】0或3/3或0 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，所以分类讨论：当时，则把代入，当时，把代入，进行计算即可作答． 【详解】解：∵函数， ∴二次函数的顶点坐标为，开口向上， 则在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大； 当时，函数的最小值为1， ∴当时，则把代入， 得， 解得（舍去）， ∴当时，把代入， 得， 解得（舍去）， 综上：的值为0或3． 故答案为：0或3． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）当时，函数的最大值是8，则 ． 【答案】或 【详解】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．先求得对称轴，根据的取值，再分和两种情况讨论求得即可． 【解答】解：函数的对称轴为直线， ①当时，则时，函数的最大值是8， 把代入得，， 解得； ②当时，则时，函数的最大值是8， 把代入得，， 解得， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）二次函数的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求二次函数的最值， 将二次函数的关系式配方，根据抛物线的性质可得答案． 【详解】解：二次函数， ∵， ∴抛物线的开口向上，函数有最小值， 即当时，二次函数的最小值为3． 故答案为：3． 4．（24-25九年级上·辽宁营口·期末）已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分与时两种情况，根据二次函数的性质列式解答即可．本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质，要注意分与两种情况讨论求解，有一定的难度． 【详解】解：依题意，二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴当时，抛物线开口向上，在对称轴直线右侧y随x的增大而增大， 当时y有最大值5， ， 解得：， 当时，抛物线开口向下，时y有最大值5， ， 解得， 故答案为：1或． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）当 时，二次函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，二次函数的图象与系数的关系，把化成顶点式，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．将二次函数化成顶点式，然后根据二次函数的图象与性质即可求得答案． 【详解】解：将二次函数化成顶点式，得： ， 二次函数的顶点坐标为， ， 二次函数开口向上， 当时，二次函数的最小值为， 故答案为：，． 题型一 一次函数与二次函数的综合应用 1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中． (1)请求出以上两个函数的解析式； (2)求点B的坐标； 【答案】(1)一次函数表达式为，二次函数的解析式为 (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点B的坐标． （1）代入点A的坐标可求出直线与抛物线的解析式； （2）两个函数解析式联立即可求解B点坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像相过点， ∴，解得， ∴一次函数表达式为， ∵过点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由一次函数与二次函数联立可得， 解得，， ． 2．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，抛物线与直线相交于点和点． (1)求和的值； (2)求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键． （1）根据抛物线和直线都经过点，利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式； （2）首先联立抛物线和直线求出点的坐标为，然后根据图象求解即可． 【详解】（1）解：因为抛物线经过点， 所以， 所以． 因为直线经过点， 所以， 所以； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为，直线的解析式为． 联立 解得或 所以点的坐标为． 结合图象可知，不等式的解集为． 3．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图已知直线与抛物线相交于、两点．解答以下问题： (1)填空：，，． (2)不等式的解集为． (3)已知点P在x轴上，若的面积是的倍，求点P坐标． 【答案】(1)，，； (2)不等式的解集为或． (3)点P坐标为． 【分析】（1）直接用待定系数法即可求解； （2）直接根据函数图象即可求解； （3）连接，，在轴上取点，连接，，作轴于点，轴于点，直线交轴于点，根据的面积是的倍，求出，再根据即可求解． 【详解】（1）解：把、代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知，直线的解析式为：，抛物线的解析式为：， 又∵两函数交于、两点， ∴由图象可知，不等式，即的解集为：或． （3）解：连接，，在轴上取点，连接，，作轴于点，轴于点，直线交轴于点，如图： 令，则， ∴， ∴， ∵、， ∴，，，，， ∴， ∵的面积是的倍， ∴， 设，则，， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴点． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图象综合，待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式，解一元一次方程，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 4．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)在抛物线上找一点，针对c的不同取值，所找点P的个数不同，若点P的个数为2，求c的取值范围． 【答案】(1)，； (2)，或； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可； （2）首先将二次函数转化为顶点式，然后得到二次函数的最小值为，进而求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得，解得， 把代入中得，解得； （2）解：联立，解得或， ∴， ∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）∵， ∴二次函数开口向上 ∴二次函数的最小值为， 观察图象，若P的个数为2，则． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键． 题型二 利用二次函数对称性求最短路径 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线经过点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点和点坐标代入后解方程组求出、，从而得到抛物线解析式； （2）抛物线与轴的另一个交点为,利用配方法求出抛物线的对称轴为直线，进而求出点的坐标，连接交直线于点，利用两点之间线段最短可判断此时最小，接着求出直线的解析式，进而求解． 【详解】（1）解：把分别代入得 ， 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：设抛物线与轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得， ∴． 连接交直线于点，如下图 ∵， ∴， ∴此时最小， 设直线的解析式为， 把分别代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数解析式的求法，二次函数的性质和最短路线问题．在利用待定系数法求函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 2．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数表达式的求解以及利用轴对称求最短路径问题．解题的关键是利用待定系数法求二次函数表达式，以及利用轴对称的性质将三角形周长最小问题转化为两点之间线段最短问题． （1）求抛物线表达式：把抛物线与轴交点的坐标代入抛物线，得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，进而得到抛物线表达式． （2）先求出抛物线对称轴，再根据轴对称性质，找到点关于对称轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，先求出直线的表达式，再联立对称轴方程求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于两点， ∴将这两点代入抛物线表达式可得： ， 抛物线的表达式为． （2）抛物线， 其对称轴为， 当时，，所以， 设点关于对称轴的对称点为，则， 连接交对称轴于P， ， ， 当A，P，三点共线时，的周长最小， 设直线的表达式为，把代入可得： ， 直线的表达式为． ∴在对称轴上，把代入 得： ∴点的坐标为． 3．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由直线与坐标轴的交点得到、，再由抛物线对称性求出抛物线与轴交点，再利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）根据动点最值问题-将军饮马模型的解法，利用对称性、结合三角形三边关系得到的值最小为线段的长，即可确定取最小值时对称轴上的点，将代入直线的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入，得，即， 将代入，得，解得，即， 对称轴为直线，点关于对称轴对称， ， 设抛物线的函数解析式为，将代入，得，解得， ， 抛物线的函数解析式为； （2）解：点与点关于直线对称，点在直线上，， 当点是线段与抛物线对称轴的交点时，的值最小，即的值最小为线段的长， 将代入直线的函数解析式，得， 此时． 【点睛】本题考查抛物线综合，涉及直线与抛物线综合问题、待定系数法确定函数、抛物线与动点最值问题、将军饮马模型等知识，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 4．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点，已知点的坐标为，经过点的直线与抛物线另一个交点的坐标为，连接．    (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点在轴上，则当的值最小时，点的坐标为______ ； (3)若点是抛物线上不与点重合的一个动点，求当时点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）作关于轴的对称点，连接交轴于，根据轴对称和两点之间线段最短和求出直线解析式为即可求解； （）先求出，，再设，利用，列出即可求解； 本题考查二次函数与一次函数结合问题，解题的关键是求出解析式，结合条件列等式，同时注意分类讨论． 【详解】（1）把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）作关于轴的对称点，连接交轴于，如图：    ∵，关于轴对称， ∴， ∴， ∵，，共线， ∴此时最小，最小值为的长度， 在中，令得， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， 由，可得直线解析式为， 在中，令得， ∴； 故答案为：； （3）设， 在中，令得或， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴或． 题型三 二次函数的综合应用 1．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)存在， 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积的计算，点的对称性，有一定的综合性，难度不大． （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与y轴的交点为点H，求出直线，抛物线与y轴的交点坐标，再由三角形的面积公式，即可求解； （3）由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小，进而求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴点， 把点代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴的交点为点H， 对于， 当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为， 联立得：， 解得：或， ∴点， 对于，当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在， 由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴的对称点为点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点E的坐标为． 2．（23-24九年级上·河南周口·期末）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的表达式． (2)若在坐标平面内存在点G，使得点G到A，B，C三点的距离都相等，请求出点G的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理等等： （1）把解析式设为交点式，再把点C坐标代入解析式中求解即可； （2）根据题意G是边垂直平分线的交点，由的垂直平分线为直线，可设点G的坐标为，利用勾股定理求出，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为． 将代入得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵点G到A，B，C三点的距离相等， ∴G是边垂直平分线的交点， ∴， ∵，， ∴的垂直平分线为直线， ∴可设点G的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（22-23九年级上·山西晋中·阶段练习）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线的顶点，连接、，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，求得，，代入抛物线解析式即可求解； （2）根据抛物线解析式求得顶点的坐标，勾股定理求得的长，勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时， ∴，； ∵抛物线经过、两点， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，化为顶点式，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点. (1)求抛物线的解析式； (2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，理由见解析，满足条件的点F的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质， （1）将，代入，得，进行计算即可得； （2）在中，当时，，则点C的坐标为，设抛物线与y轴的交点为K，由题意，得，根据得轴，①当点F在x轴下方时，易知；②当点F在x轴上方时，令，得，进行计算即可得； 掌握二次函数的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）存在，理由如下： 解：在中，当时，， 点C的坐标为， 如图，设抛物线与y轴的交点为K， 由题意，得， ∵， 轴. ①当点F在x轴下方时，易知； ②当点F在x轴上方时，令，得， ， 解得， ，. 综上所述，满足条件的点F的坐标为或或． 5．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1)，； (2)面积的最大值为，． 【分析】（）直接由待定系数法求出二次函数的解析式，再令，解方程求解即可； （）过点作轴的垂线交于点，连接、，先求出直线解析式，则，当取最大值时，的面积最大，设，则，故有，利用二次函数的性质求最值即可解答； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的综合等，熟练掌握知识点并能够综合运用知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时， ， 解得，， ∴； （2）解：过点作轴的垂线交于点，连接、， 设直线的表达式为， 把、代入得：， 解得， ∴直线的表达式为， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为． 1．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如， (1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标_______． (2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，且当时，函数的最小值为，最大值为1，求的取值范围． (3)设关于x的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点A，关于x的函数（n为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点B，点C，且，求m，的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）联立和得：，则①，将代入得：②，得到，再分类求解即可． （3）求出点B、C的坐标分别为：、，由，即可求解． 【详解】（1）解：令得：或1， 故“平衡点”坐标为或， 故答案为：或； （2）解：联立和得：， 则①， 将代入得：②， 联立①②并解得：，， 则， 该函数的对称轴为直线， 当时，，当时，，当时，， 当时，则函数在时取得最小值，在时，取得最大值1， 即， 则； 当时， 抛物线在时取得最大值1，在或m处取得最小值， 即，即， 当时，和关于对称，故也成立， 即， 即； （3）解：令，则，则， 即，则，即点； 令， 解得：或， 即点B、C的坐标分别为：、， ∵，则， 解得：（不合题意的值已舍去）， 故． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、二次函数的图象和性质，理解新定义是解题的关键． 2．（24-25九年级上·四川广元·期末）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”． (1)直线上的“好点”坐标为______； (2)若“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式； (3)若“好点二次函数的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最大值与最小值的差为d，求d关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值等知识，分类讨论是解题关键． （1）根据好点的定义得到，解方程即可求出答案； （2）根据“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”解得或，即可得到这个“好点二次函数”的表达式； （3）先求出“好点二次函数”，再根据的取值范围，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， ∴直线上的“好点”坐标为， 故答案为： （2）解：当时，， ∴“好点二次函数”的图象与y轴的交点是, ∵“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”， ∴， ∴“好点二次函数”为， ∵是“好点二次函数”，顶点为， ∴， 解得或， ∴这个“好点二次函数”的表达式为或； （3）∵“好点二次函数”的图象过点， ∴， 解得，， ∴或 ∵的顶点是在第三象限，不合题意，舍去， ∴， ∵“好点二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值， 此时 当，即时，函数的最小值为2， 当时，即时， 当时，函数取得最大值为， ∴， 当时，即时， 当时，函数取得最大值为， ∴ 当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值， ∴ 综上所述， 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，已知是自变量的函数，，称函数为函数的“相关函数”． (1)求函数的“相关函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，过点作轴的垂线，垂足为，以，为邻边构造矩形，设点的横坐标为，矩形的周长为时，求点的坐标； (3)函数与轴交于点，函数的顶点为，直线与轴交于点，与函数的图象交于点，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)或 【分析】（1）根据相关函数的定义可得的函数表达式； （2）易得的解析式，用表示的点的坐标，继而可得点的坐标，进而可得矩形的两边长，那么根据矩形的周长为可得的值，即可求得点的坐标； （3）易得的值，根据并结合平行四边形的性质及勾股定理可得点的纵坐标为或，求得相对应的二次函数上的点，代入一次函数可得对应的的值，进而根据函数图象可得时的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的函数表达式为； （2）∵， ∴， ∵点的横坐标为，点在函数的图象上， ∴， ∵轴，点在函数的图象上， 当时，得：， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∵矩形的周长为， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （3）∵与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，当（点在轴的上方），过点作轴，过点作轴交轴于点，过点作交轴于点， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设的解析式为， 当时，，得：；当时，得：， ∴，， ∴，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去） ∴， 此时点的纵坐标为； 当（点在轴的下方），过点作轴， 按同样的方法可得：点的纵坐标为， ∴或， 解得：，或，， ∴点的坐标为或或或， ∵点在直线上， ∴或或或， 解得：或或或， ∵， ∴或． 【点睛】本题综合考查二次函数的图象与性质，“相关函数”的意义，坐标与图形，矩形的周长，两点间距离，理解新定义的意义并进行应用是解决本题的关键；难点是判断出时的值；易错点是根据函数图象判断出时的取值范围． 4．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，在上取点，连接，其中，过点作轴交于点，求长度的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在平面内，将抛物线沿直线斜向右上平移，当平移后的新抛物线经过时停止平移，此时得到新抛物线．在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)长度的有最大值为，点 (3)或 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）先求出点C、D的坐标，然后再运用待定系数法求得直线的解析式，设P点坐标为，则，再表示出线段的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可解答； （3）由，设平移后的解析式为，再根据平移后的抛物线过点可求得t，进而确定平移后的抛物线解析式，然后分点位于x轴的上侧与下侧，设出M点的坐标，根据等腰直角三角形性质求出x的值即可确定M点坐标即可． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，， ，解得： 抛物线的解析式为； （2） ， ，， 设直线的解析式为， 则，解得 ， 同理：直线的解析式为， 设P点坐标为， 则， ， ， ， ∴当时，长度的有最大值为，点． （3）， 如图，设平移后的解析式为， ∵当平移后的新抛物线经过时停止平移，得到新抛物线， ，解得：或（舍弃）， ∴平移后的新抛物线的解析式为， ①当M点位于x轴上侧时，过点M作轴， 设， ， 为等腰直角三角形， ， ， 解得：，或（舍去）， ； 当M点位于x轴下侧时，过点M作轴， 设， ， 为等腰直角三角形， ， ， 解得：，或（负数舍去）， ， 综上所述符合条件的点的坐标或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$