专题05 二次函数的实际应用（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，按图形、销售等6类题型分类，通过典例构建“情境建模-函数求解-性质应用”逻辑链，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形问题|3题|矩形面积、护栏围建等几何情境|从实际图形抽象边长关系，建立二次函数求最值| |销售问题|4题|利润计算、销量与价格关系|依据“利润=销量×单利”构建函数，用顶点式求最大利润| |拱桥问题|5题|隧道、脚手架等抛物线型结构|以顶点或交点建立坐标系，求解析式解决高度/距离问题| |投球问题|5题|足球、篮球等运动轨迹|根据最高点/落点坐标确定抛物线，分析高度与水平距离关系| |喷水问题|6题|喷灌、水流轨迹|结合最大高度与射程，通过平移抛物线解决浇灌范围问题| |增长率及其他|6题|市场规模、运动路程等|用二次函数表达变化率，结合图像分析运动状态|

专题05 二次函数的实际应用 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的实际应用 ◆题型1图形问题（实际问题与二次函数） 1．(1)； (2)当时，面积取最大值为 【详解】（1）解：根据已知条件，与墙平行的边长为， 则垂直于墙的边长为：， ∴． （2）解：∵， ∴当时，面积取最大值为． 2．(1)、小、 (2)、大、5 (3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【详解】（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为，花园的面积为．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 3．(1) (2)7 (3) 【详解】（1）解：已知抛物线顶点， 设抛物线解析式为， 因为点在抛物线上，把代入， 可得：， 解得， 所以y与x之间的函数关系式为． （2）解：因为抛物线关于对称轴对称， 且相邻两抛物线在水平方向上的距离相等， 令，则， 解得， 解得，，即一盏灯的光照区域水平跨度为， 墙面长，则需要安装的射灯数量至少为（盏）． （3）解：令，则， ， 解得， 设矩形照片的一边长为m，其对应的横坐标为x， 则另一边长为， 矩形周长， 由抛物线对称性，设x到对称轴的距离为t，即，则， 此时，矩形另一边， 矩形周长， 对于二次函数，其中，， 根据二次函数顶点公式， 当时，． ◆题型2 销售问题（实际问题与二次函数） 1．(1) (2)当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 【详解】（1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 2．(1) (2)当销售价格为或元/千克时，每天获得的利润w最大，最大利润为元 (3) 【详解】（1）解：设销量与价格的函数关系为， ∵当时，，当时， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意， ∵为整数 ∴当或时，每天获得的利润w最大 当时： 当时： 答：当销售价格为或元/千克时，每天获得的利润w最大，最大利润为元 （3）解：依题意， 整理得 即： 解得：或 又∵物价局规定商品的利润率不能高于100%， 即 ∴ ∴ 3．(1)甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元 (2) (3)，当，即甲型机器人的销售单价万元时，最大利润万元． 【详解】（1）解：设甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元， 由题意得， 解得， ∴甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元； （2）解：由素材2表格可得甲型机器人每台销售单价每增加万元，两种型号机器人的总销售量就减少台， ∴两种型号机器人的总销售量； （3）解：∵总销量不低于250台，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍， ∴，解得， 甲款机器人销量是台，乙款机器人的销量是台， ∴总利润 ， ∴对称轴为， ∵，， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，，有最大值，最大值万元． 4．(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 (2) (3)制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． ◆题型3 拱桥问题（实际问题与二次函数） 1．(1) (2)点E与隧道左壁之间的距离为米． 【详解】（1）解：由题意可得：， 设抛物线的解析式为：， 则有：，解得：， ∴． （2）解：∵平行线段与之间的距离为8米，矩形且， ∴点E到x轴的距离为9且在第一象限， ∴点E的纵坐标为， ∴，解得：或（舍去）． ∴点E与隧道左壁之间的距离为米． 2．任务一：；任务二：不符合， 求出脚手架至少应调低0.15米 【详解】解：任务一：由题意知，顶点C得坐标为， 故可设此函数解析式为， 由米，得出B点坐标为，代入解析式得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． 任务二：设E的坐标为，其中， 则，． 由已知得：， 即， 解得：（不合题意，舍去）， 把代入． ∴， 而， ∴该“脚手架”的安装不符合要求， 脚手架至少应调低（米）． 3．(1) (2)1米 (3)1.24米 【详解】（1）解：设该抛物线表达式为． 将代入，得， 解得， ∴． （2）解：把代入可得：， 解得，， ∴，， ∴（米）， ∴两个正方形“脚手架”的距离为1米． （3）解：①当四个正方形“脚手架”如图1所示放置时， 设正方形的边长为， 把代入，得， 解得（负值舍去）， ∴正方形“脚手架”的边长为米． ②当四个正方形“脚手架”如图2所示放置时， 设正方形“脚手架”的边长为， 把代入，得， 解得（负值舍去）， ∴正方形“脚手架”的边长为米． ③当四个正方形“脚手架”如图3所示放置时，由图形可得其边长明显小于图2中正方形“脚手架”的边长． ∵，，， ∴在拱桥下摆放个同样大小的正方形“脚手架”，正方形“㑢手架”的边长最大约为1.24米． 4．(1) (2)的最大值为31.6米 【详解】（1）解：∵线段表示水面，桥墩跨度为，抛物线的顶点到轴的距离是． ∴，抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式， ∵高度， ∴把代入， 得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式， （2）解：由（1）得，对称轴为直线， ∵第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上， 设点， ∵点，关于对称轴对称， 则， ∴， ∵另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面， ∴， ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大值为31.6米． 5．(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，可得点，且为轨道AB所在抛物线的顶点， 可设该抛物线的表达式为，代入点， ， 解得， 轨道AB所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）得． 由题意，易得． ， ， ． 设点，则点， ． 设轨道两侧需要的支架材料的长度为， ． 当时，的最小值为． 答：轨道两侧需要的支架材料的最短长度为15.5m． ◆题型4 投球问题（实际问题与二次函数） 1．(1) (2)米 (3) 【详解】（1）解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：令， 解得或（舍）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴（米）， ∴人离壶的距离为米； （3）解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为， 当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入， 得， 解得， ∴， ∴． 2．(1)，不能射进球门 (2) 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得 ， ， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线为， 将点代入，得， 解得（不合题意，舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处射进球门． 3．(1)，； (2)能避开障碍物和暗礁； (3)． 【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， 当时，， 解得：，， ∴； （2）解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴， 解得：， ∴， ∵过点， ∴当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， ∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； （3）解：∵点的坐标， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵要避开暗礁， ∴， ∴，即， ∵过点， 当时，，即， ∴当时，， ， 即， ∵， ∴， 解得：． 4．(1) (2)①；② 【详解】（1）解：由表中数据可得，抛物线的顶点为，不妨设与的函数表达式为， 代入得，， 解得， ∴； （2）解：①当时，， ∴， 设直线的函数表达式为，代入， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， 将代入中，得； ， 将代入中，得， ∴足球到模拟人墙顶端的距离为：米； ②设足球飞行过程中距斜坡的铅直高度为，则 ∵， ∴有最大值，当时，的最大值为， ∴足球在飞行过程中距斜坡的最大铅直高度为． 5．(1) (2) (3)不能． 【详解】（1）解：根据表中的数据知，时，， ， 故答案为：； （2）解：小亮站在罚球线处，不能舒适地接到球，理由如下： 设抛物线的解析式为， 把时，；时， 代入得， 解得， 抛物线的解析式为， （3）当时，米， 当球离地高度h的取值范围是时，接球较为舒适，不能舒适地接到球， 故答案为：不能． ◆题型5 喷水问题（实际问题与二次函数） 1．(1) (2)①高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；②不会． 【详解】（1）解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，， 将其分别代入得： ，解得， 水流所在抛物线的函数表达式为：； （2）解：①令，则， 解得，， 高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到； ②令，则， ， 不会被水流直接喷到． 2．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意可知，点A的坐标为，点B的坐标为， 设水流抛物线的解析式为， 把代入得到，， 解得， ∴水流抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得（不合题意舍去）， ∴， ∴水流喷出的最远距离为 （3）解：令得， 解得，，（舍去） ∴当抛物线经过点F时， 此时点C的横坐标为， ∴， 当抛物线经过点E时， 此时点C的横坐标为， ∴， 综上可知，时，水杯可以接到水． 3．任务1：；任务2：；任务3： 【详解】任务1：解：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设抛物线解析式为，把代入得：，解得：， 抛物线的表达式为； （2）令，得， 解得：， ∴， 得到， 喷灌器与围墙的水平距离为； （3）如图所示：，花坛高，宽， ， ∴ ∴， 设，把代入得，解得：， ∴， 当时，， ， 设，把代入得，，解得：， ∴， 当时，， ∴， 即喷水口距离地面高度的取值范围为． 4．(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 5．(1)6 (2)2 (3) 【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， 喷出水的最大射程为； （2）对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 点的坐标为， ∵上边缘抛物线在时，y随x的增大而增大， 下边缘抛物线在时，y随x的增大而减小， ∴当时，上、下边缘两个抛物线高度差的最大值为2； （3）， 点的纵坐标为0.5， ， 解得， ， ， 当时，随的增大而减小， 当时，要使， 则， 当时，随的增大而增大，且时，， 当时，要使，， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 6．(1) (2) 【详解】（1）解：以点为原点，所在直线为轴，方向为正方向建立平面直角坐标系， ，，， ∴ ，. 设抛物线解析式为， 将点代入解析式可得，， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：若想让雨滴正好落在点，则点需在所在的抛物线上， ，，则与的距离为， 可设，， 将代入解析式可得， ， 解得， ◆题型6 增长率及其他（实际问题与二次函数） 1．C 【详解】解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长． 第一年（年）：市场规模增长到． 第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即． 因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为， 对应选项C． 其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除． 故选：C． 2．D 【详解】解：根据图象②，可设，且， 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向上； 当时，， 此时的函数图象为直线的一段； 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向下； ∴该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是 ． 故选：D． 3．（Ⅰ）点B的坐标为；（Ⅱ）①， t的取值范围是；②． 【详解】解：(I)如图，过点B作，垂足为H． 由点，得． ∵， ∴． 又∠BOH=45°， ∴△OBH为等腰直角三角形， ∴． ∴点B的坐标为． (II)①由点，得．由平移知，四边形是矩形，得． ∴，． ∵，， ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． 整理后得到：． 当与A重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时， 当与B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到与A点重合，如下图(2)所示： 此时， ∴t的取值范围是， 故答案为：，其中：； ②当时，矩形与重叠部分的面积如下图3所示： 此时，∠BAO=45°，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， 故将代入， 得到最大值， 将代入， 得到最小值， 当时，矩形与重叠部分的面积如下图4所示： 此时， 和均为等腰直角三角形， ∴， ， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值， 将代入， 得到最小值， ∴的最小值为，最大值为， 故答案为：． 当时，由①知 ∴当时，S有最大值为，当时，S有最小值为 ∴的最小值为，最大值为， 综上，S的取值范围为， ∴S的取值范围为． 4．(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 (2)的值为或，收入与的新关系式为 (3)，理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； （2）解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； （3）略 5．(1)50米 (2) (3)；31.25米 【详解】（1）解：过作于，于，如图所示：   ， 着陆坡的坡角为，即， ， 在中，， 则， ∴垂直下降了50米； （2）， ，即，， 将，代入得， 解得， ∴； （3）作轴交抛物线于，交于，如图所示：    设直线的表达式为，将，代入得，解得， 即直线的表达式为， 由（1）知抛物线表达式为， ， 运动员离着陆坡的竖直距离， 由可知抛物线开口向下，当时，有最大值为． 6．(1) (2)，14棵 (3)米 【详解】（1）解：由题意，， 设抛物线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴； （2）解：当时，解得， ∵， ∴； ∵相邻两棵农作物种植点之间间隔，农作物顶部不触碰大棚，且种植后农作物成轴对称分布 ∴在距离轴的两侧开始种植，最前排可种植（棵）； （3）解：∵平行于地面，且点均在抛物线上， ∴关于轴对称， ∵垂直于地面， ∴关于轴对称， ∴， ∵“支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强， ∴， ∴， ∴设，则， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ 故最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是米． 综合攻坚·知能拔高 1．D 【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为， 故选：D． 2．B 【详解】解：∵，， ∴当秒时，水火箭达到最高点． 故选：B． 3． 【详解】解： ， 当飞机着陆后滑行，才能停下来； 故答案为：． 4． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 5． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是， 故答案为：． 6．6 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 7．2 【详解】如图建立直角坐标系． 则点A的坐标为（-2，8），点B的坐标为（2，8）， 设抛物线的解析式为y=ax2， 代入点A的坐标得8=4a， 解得：a=2， 所以抛物线的解析式为y=2x2， 令y=6得：6=2x2， 解得：x=±， 所以CD=-（-）=2（cm）． 故答案为：2． 8．8 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5， 将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①， 喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4， 将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②， 联立可求出，， 设喷头高为h时，水柱落点距O点4m， ∴此时的解析式为， 将（4，0）代入可得， 解得h=8． 故答案为：8． 9．1 【详解】解：如图，轴于轴于于， ∵ ∴ 设，直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 当时，即时，， ∴直线必过定点，根据垂线段最短可知，点到直线的距离小于等于，故点到直线的最大距离为1． 故答案为：1． 10．(1) (2)x的值为1 (3)改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：由题意可得：， 则， 即， 解得：，， 经检验得：不合题意，舍去， 答：x的值为1； （3）解： ， 当时，y随x的增大而减小， 故当时，y最大，， 即改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为． 11．(1) (2) (3)当时，；当时，；当4时， 【详解】（1）解：根据题意可知， ∵点Q是的中点， ∴， ∴； 矩形中， 故答案为：； （2）解：如图，当点N在边上时， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：当时，； 当点M在上时，可知， ∴， 即， 解得． 当时， 根据题意可知， ∴， ； 当时， 根据题意，得，， ∴． 12．（1）；（2）当“支撑架”，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米；（3）5平方米 【详解】解：（1）设抛物线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）设点的坐标为， 由题意得点坐标，点坐标，点的坐标，，， “支撑架”的长度为：， ，， 当时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米． 即当“支撑架”，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米； （3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点的坐标为， 点在抛物线上， ， 整理得， 解得或（舍去）， 两个窗户的面积和（平方米）． 13．(1) (2)水珠不能碰到该盆景最高点，喷水头需要调高， (3)米 【详解】（1）解：设抛物线关于的函数表达式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线函数表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 即水珠离地面最高， ∵， ∴水珠不能直接碰到盆景最高点． ∵， ∴喷水头需要调高， ∴调节后抛物线的解析式为：， 令，整理得：， 解得； （3）解：∵斜坡所在直线为， ∴在同一水平位置处，水珠高度与斜坡高度的差值为： 即在同一水平位置处，水珠高度与斜坡高度的差值最大为米， ∵为使水珠不碰到警示牌， ∴警示牌高度应低于最大高度差，即米． 14．任务1：；任务2：当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元． 【详解】解：任务1：． 任务2：设总毛利润为元． ， ， 当时，最大，最大值为4440，此时网上销售价为（元）． 当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元． 15．(1)，千米/分钟 (2)小红5分钟后与潮头相遇 (3)潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米 【详解】（1）解：∵到经过的时间是30分钟， ∴点，即， ∴潮头从甲地到乙地的速度为（千米/分钟）． （2）解：∵潮头的速度为0.4千米/分钟， 时，潮头已前进（千米）． 此时潮头与乙地之间的距离为（千米）． 设小红出发x分钟后与潮头相遇． 依题意，得， 解得， ∴小红5分钟后与潮头相遇． （3）解：把点，代入， 得， 解得，， ∴． 又∴， ∴． 当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，即时， ， 解得， 则当时，， 即潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数的实际应用 常考题型·精准突破 考点一二次函数的实际应用 题型1 图形问题（实际问题与二次函数） 题型2 销售问题（实际问题与二次函数） 题型3 拱桥问题（实际问题与二次函数） 题型4 投球问题（实际问题与二次函数） 题型5 喷水问题（实际问题与二次函数） 题型6 增长率及其他（实际问题与二次函数） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的实际应用 ◆题型1图形问题（实际问题与二次函数） 一、解答题 1．如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 【答案】(1)； (2)当时，面积取最大值为 【分析】（1）先用含的式子将与墙面垂直的边长表示出来，由矩形面积公式直接列出函数解析式即可； （2）利用二次函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：根据已知条件，与墙平行的边长为， 则垂直于墙的边长为：， ∴． （2）解：∵， ∴当时，面积取最大值为． 2．阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)、小、 (2)、大、5 (3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料即可求解； （3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为，花园的面积为．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 3．综合与实践 小刚家的新家装修到了安装射灯，设计沙发背景墙的阶段，他和爸爸到了装饰城，看到了如图1中的某种型号的射灯投射下的背景样板墙，4盏射灯的光照的区域“覆盖”了整个墙面．光照的区域边缘可近似的看为抛物线，相同型号的射灯光照区域的形状完全一样．小刚抽象出了如图2中的示意图，测量后得到相关数据，左侧第一盏灯最高点C距离地面高度为290cm，与左墙面的水平距离为30cm，光线与墙的交点A距离地面245cm，点B，D，E均为两条光线的交点，点F且A，B，D，E，F在同一高度的水平线上． (1)数学建模 如图3，以墙面OA所在的直线为y轴，垂直于OA的地面所在直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设光线距离地面的高度为，距墙面OA水平距离为，求y与x之间的函数关系式． (2)问题解决 小刚家沙发背景墙和装饰城的样板墙高度一致，墙面长为420cm，按照样板墙的方式安装射灯，请帮小刚计算需要安装的射灯数量至少为多少时，光照区域才能如样板墙那样实现全“覆盖”？ (3)如图4，小刚妈妈还计划在这每一盏射灯的光照区域内安装一幅矩形的家庭照片，照片的底部安装高度距离地面145cm，请直接写出如图4中，左侧第一盏灯的光照区域内矩形照片的周长的最大值． 【答案】(1) (2)7 (3) 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，根据抛物线顶点式（其中为顶点坐标）设出抛物线解析式，然后因为点在抛物线上，将点A的坐标代入所设解析式，就可以求出a的值，进而确定y与x之间的函数关系式． （2）要确定射灯数量，需先求出一盏灯的光照区域水平跨度，令，代入（1）中求出的抛物线函数关系式，得到关于x的一元二次方程，求解方程得到两个x的值，两值之差就是一盏灯的光照区域水平跨度，再用墙面总长度除以一盏灯的光照区域水平跨度，就可得到至少需要的射灯数量． （3）令，代入抛物线函数关系式求出对应的x的值，得到光照区域在高度为处的水平位置，设矩形照片一边长与x有关，进而表示出矩形另一边的长度，从而得到矩形周长关于t的函数表达式，最后根据二次函数的性质，求出该函数的最大值，即矩形照片的最大周长． 【详解】（1）解：已知抛物线顶点， 设抛物线解析式为， 因为点在抛物线上，把代入， 可得：， 解得， 所以y与x之间的函数关系式为． （2）解：因为抛物线关于对称轴对称， 且相邻两抛物线在水平方向上的距离相等， 令，则， 解得， 解得，，即一盏灯的光照区域水平跨度为， 墙面长，则需要安装的射灯数量至少为（盏）． （3）解：令，则， ， 解得， 设矩形照片的一边长为m，其对应的横坐标为x， 则另一边长为， 矩形周长， 由抛物线对称性，设x到对称轴的距离为t，即，则， 此时，矩形另一边， 矩形周长， 对于二次函数，其中，， 根据二次函数顶点公式， 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，将实际的射灯照明问题转化为数学模型，运用了二次函数的顶点式，通过已知顶点设出表达式，求出二次函数的顶点式是解决本题的关键． ◆题型2 销售问题（实际问题与二次函数） 1．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当销售单价为34元时.厂商每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 【分析】（1）单件利润为元，销售量为万件，总利润单件利润销售量，代入整理即可得到二次函数关系式． （2）是开口向下的二次函数（二次项系数），顶点处取得最大值；用顶点公式求单价，再代入求最大利润． 【详解】（1）解：由题意，单件利润：元，销售量， ， 结合实际意义，销售量， 即，； 单价高于成本，自变量取值范围：． 函数关系式：． （2）解：对于二次函数，，，， 对称轴：， 在取值范围内，将代入利润函数： ， 当销售单价为元时，每月获得最大利润，最大利润为万元． 2．综合与实践 某镇黄金梨种植基地迎来丰收季，黄澄澄的梨果挂满枝头，果农们忙碌采摘，洋溢着喜悦．该镇以“兴产业、促就业、带民富”为思路，立足资源禀赋，优化农业结构，发展特色林果经济，创新“合作社+基地+种植户”模式，带动农户抱团发展．某合作社以12元/千克的价格购进一批黄金梨，如果以20元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；如果以25元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克．根据销售经验可以知道，每天的销售量（单位：千克）与销售价格（，且为整数，单位：元/千克）存在一次函数关系． (1)与之间的函数表达式为_____（不用写出自变量的取值范围） (2)设该合作社销售黄金梨每天获得的利润为w，则当销售价格为多少元/千克时，每天获得的利润w最大?最大利润是多少? (3)若物价局规定商品的利润率不能高于100%，而该合作社每天销售黄金梨的利润为2520元，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)当销售价格为或元/千克时，每天获得的利润w最大，最大利润为元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用． （1）根据题意，销量与价格的函数关系为，待定系数法求解析式即可求解； （2）依题意，，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）依题意，，解方程并检验，即可求解． 【详解】（1）解：设销量与价格的函数关系为， ∵当时，，当时， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意， ∵为整数 ∴当或时，每天获得的利润w最大 当时： 当时： 答：当销售价格为或元/千克时，每天获得的利润w最大，最大利润为元 （3）解：依题意， 整理得 即： 解得：或 又∵物价局规定商品的利润率不能高于100%， 即 ∴ ∴ 3．根据以下素材解决问题 人形机器人销售盈利方案 素 材 1 随着智能科技快速发展，某科技公司研发出甲、乙两种型号人形商用服务机器人． 调研显示：制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元；制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元．    素 材 2 两种型号机器人的总销售量（台）与甲型机器人每台销售单价（万元/台）之间的关系如下表所示 甲型机器人每台销售单价（万元/台） 两种型号机器人的总销售量（台） 根据以上信息解决下列问题 (1)求甲、乙两款机器人制造成本； (2)求总销量与之间的关系； (3)若总销量不低于250台，乙型机器人每台利润为5万元，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍，请尝试表示出总利润关于的函数关系式，并求出最大利润及此时甲型机器人的销售单价． 【答案】(1)甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元 (2) (3)，当，即甲型机器人的销售单价万元时，最大利润万元． 【分析】（1）设甲、乙两款机器人制造成本分别为元、元，根据“制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元；制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元”列方程组求解即可； （2）由素材2表格可得甲型机器人每台销售单价每增加万元，两种型号机器人的总销售量就减少台，在，的基础上求总销量与之间的关系； （3）先根据题意得到，甲款机器人销量是台，乙款机器人的销量是台，再根据总利润求出解析式，最后根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元， 由题意得， 解得， ∴甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元； （2）解：由素材2表格可得甲型机器人每台销售单价每增加万元，两种型号机器人的总销售量就减少台， ∴两种型号机器人的总销售量； （3）解：∵总销量不低于250台，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍， ∴，解得， 甲款机器人销量是台，乙款机器人的销量是台， ∴总利润 ， ∴对称轴为， ∵，， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，，有最大值，最大值万元． 4．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 (2) (3)制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． ◆题型3 拱桥问题（实际问题与二次函数） 一、解答题 1．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为10米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为8米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 【答案】(1) (2)点E与隧道左壁之间的距离为米． 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线解析式，矩形的性质、坐标与图形等知识点等知识，掌握待定系数法和表示出点E的解析式是解题的关键． （1）先根据坐标系确定点的坐标，然后用待定系数法即可解答； （2）先根据题意确定点E的纵坐标，然后代入解析式求得点E的横坐标即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：， 设抛物线的解析式为：， 则有：，解得：， ∴． （2）解：∵平行线段与之间的距离为8米，矩形且， ∴点E到x轴的距离为9且在第一象限， ∴点E的纵坐标为， ∴，解得：或（舍去）． ∴点E与隧道左壁之间的距离为米． 2．探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ 【答案】任务一：；任务二：不符合， 求出脚手架至少应调低0.15米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线特点得到二次函数解析式以及得出E点坐标是解决本题的关键． 任务一：根据所建直角坐标系得到顶点，设此函数解析式为，根据B点坐标为，结合待定系数法求解，即可解题； 任务二：假设出E点坐标为，再利用矩形的周长为27.5米，即可得出的长，进而得出的长，再结合“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全求解，即可解题． 【详解】解：任务一：由题意知，顶点C得坐标为， 故可设此函数解析式为， 由米，得出B点坐标为，代入解析式得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． 任务二：设E的坐标为，其中， 则，． 由已知得：， 即， 解得：（不合题意，舍去）， 把代入． ∴， 而， ∴该“脚手架”的安装不符合要求， 脚手架至少应调低（米）． 3．在某一风景如画的景区内，横跨着一座优雅的拱桥，其横截面顶部轮廓宛若一条流畅的抛物线，展现了拱桥独特的建筑美学与力学之魅．我们以桥的一端作为起点，标记为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示．已知在距离原点恰好4米的位置，桥拱攀升至其最高点，距离地面2米． (1)求该抛物线的表达式． (2)若工人师傅在桥下放置两个同样大小的正方形“脚手架”（正方形和正方形），如图2所示，其中点、点恰好在抛物线上．已知边长为1.5米，则两个正方形“脚手架”的距离（的长）为多少？ (3)若工人师傅想在拱桥下摆放4个同样大小的正方形“脚手架”，则这个“脚手架”的边长最大为多少？（结果精确至0.01米，参考数据：，） 【答案】(1) (2)1米 (3)1.24米 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）设该抛物线表达式为，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入可得，解方程得出，，由此即可得解； （3）分三种情况，分别画出四个正方形“脚手架”不同的摆放方式，分别求解并比较即可． 【详解】（1）解：设该抛物线表达式为． 将代入，得， 解得， ∴． （2）解：把代入可得：， 解得，， ∴，， ∴（米）， ∴两个正方形“脚手架”的距离为1米． （3）解：①当四个正方形“脚手架”如图1所示放置时， 设正方形的边长为， 把代入，得， 解得（负值舍去）， ∴正方形“脚手架”的边长为米． ②当四个正方形“脚手架”如图2所示放置时， 设正方形“脚手架”的边长为， 把代入，得， 解得（负值舍去）， ∴正方形“脚手架”的边长为米． ③当四个正方形“脚手架”如图3所示放置时，由图形可得其边长明显小于图2中正方形“脚手架”的边长． ∵，，， ∴在拱桥下摆放个同样大小的正方形“脚手架”，正方形“㑢手架”的边长最大约为1.24米． 4．一座拱桥其中一段的横截面为抛物线型，如图所示，线段表示水面，桥墩跨度为，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：左右两边的桥墩相同，高度，抛物线的顶点到轴的距离是． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)节日为了庆祝，决定在该桥上共挂三串彩灯，第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上，另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面，求挂设的三串彩灯，，长度和的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为31.6米 【分析】（1）先理解题意，则设该抛物线的函数表达式，再把代入，进行计算得，即可作答． （2）设点，，则，将转化为，利用二次函数最值解答即可． 本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的线段综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵线段表示水面，桥墩跨度为，抛物线的顶点到轴的距离是． ∴，抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式， ∵高度， ∴把代入， 得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式， （2）解：由（1）得，对称轴为直线， ∵第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上， 设点， ∵点，关于对称轴对称， 则， ∴， ∵另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面， ∴， ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大值为31.6米． 5．如图，这是型滑板场地轨道示意图，两侧和是各自所在抛物线的一部分，分别为其所在抛物线的最低点，且轨道和所在抛物线的形状相同，其中．为了确保场地安全，需在轨道左侧和右侧进行加固，安装统一规格的支架，两侧的支架完全一致，其中左侧的支架由四段构成，右侧的支架由四段构成．以线段所在直线为轴，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求轨道所在抛物线的函数表达式． (2)支架的要求为垂直于线段所在的直线，平行于线段所在的直线，且．请通过计算，确定轨道两侧需要的支架材料的最短长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用顶点式求抛物线的解析式，二次函数和几何图形，利用二次函数解决最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用顶点式求抛物线的解析式即可； （2）根据给出的条件分析几何图形，找出边之间的数量关系，根据求出的二次函数的解析式设点，则点，最后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得点，且为轨道AB所在抛物线的顶点， 可设该抛物线的表达式为，代入点， ， 解得， 轨道AB所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）得． 由题意，易得． ， ， ． 设点，则点， ． 设轨道两侧需要的支架材料的长度为， ． 当时，的最小值为． 答：轨道两侧需要的支架材料的最短长度为15.5m． ◆题型4 投球问题（实际问题与二次函数） 一、解答题 1．投壶  投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． (3)在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)米 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据实际情况设出相应的函数解析式是解题的关键． （1）由题可知抛物线的顶点为，则，将点代入，即可求函数的解析式即可； （2）令，求出，则（米）； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为，将代入，求得，则函数解析式为，由此可得． 【详解】（1）解：∵箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：令， 解得或（舍）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴（米）， ∴人离壶的距离为米； （3）解：设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为， 当箭刚好由点处擦边投入壶中时，将代入， 得， 解得， ∴， ∴． 2．在一次足球训练中，小明练习射门，球射向球门的路线呈抛物线． 如图所示，小明从球门底部正前方的处射门，现以为原点，以所在直线为轴，以球门高所在直线为轴建立平面直角坐标系．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高为． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (2)对本次训练结果进行分析，若球射向球门的路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处射进球门？ 【答案】(1)，不能射进球门 (2) 【分析】（）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，利用待定系数法可得，再把代入求出的值即可判断求解； （）小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线为，把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的应用，理解题意，列出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得 ， ， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线为， 将点代入，得， 解得（不合题意，舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处射进球门． 3．某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 【答案】(1)，； (2)能避开障碍物和暗礁； (3)． 【分析】将，代入，求得的坐标，将，代入，即可求得的坐标； 先根据对称轴为得出，代入求得，得出，分别计算和的函数值，结合题意，即可求解； 设，根据已知得出，将代入，得出，将代入，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， 当时，， 解得：，， ∴； （2）解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴， 解得：， ∴， ∵过点， ∴当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， ∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； （3）解：∵点的坐标， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵要避开暗礁， ∴， ∴，即， ∵过点， 当时，，即， ∴当时，， ， 即， ∵， ∴， 解得：． 4．综合与实践 【问题情境】 如图1，大连英博足球队在一次队内训练中，球员从斜坡底端处向斜坡上传球，进行长传球练习，足球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分． 【建模分析】 助理教练将队内16号球员的某次长传球在电脑中建立模型，进行数据分析． 如图2，根据足球飞行路线，以过点的水平直线为轴，过点的垂线为轴建立平面直角坐标系．足球飞行的水平距离与足球飞行的高度的变化规律如下表： 0 10 12 14 16 18 20 …… 0 8 …… 【问题解决】 (1)求足球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)如图3，设足球落在斜坡的点为，点的横坐标为24． ①助理教练在距点水平距离为8米处的斜坡上放置一个高度为的模拟人墙，模拟人墙与水平直线垂直，求当足球飞行到模拟人墙上方时，足球到模拟人墙顶端的距离； ②求足球在飞行过程中距斜坡的最大铅直高度． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）由表中数据可得，抛物线的顶点为，不妨设与的函数表达式为，然后运用待定系数法求解即可； （2）先求出点坐标，然后用待定系数法求得直线的表达式，然后求得点的纵坐标以及时足球的高度，最后求得答案； （3）建立新的函数，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由表中数据可得，抛物线的顶点为，不妨设与的函数表达式为， 代入得，， 解得， ∴； （2）解：①当时，， ∴， 设直线的函数表达式为，代入， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， 将代入中，得； ， 将代入中，得， ∴足球到模拟人墙顶端的距离为：米； ②设足球飞行过程中距斜坡的铅直高度为，则 ∵， ∴有最大值，当时，的最大值为， ∴足球在飞行过程中距斜坡的最大铅直高度为． 5．篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备．发球机经设置按某一角度发球后，把球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度h（单位：m）与水平距离s（单位：m）之间的关系，测得一些数据如表： （m） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … h（m） 0.45 1.1 1.65 2.1 2.45 2.7 2.85 2.9 2.85 … 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标，为纵坐标，插出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)发球机出口点的离地高度为 ； (2)求出该抛物线的解析式； (3)小亮在训练时发现，当球离地高度的取值范围是时，接球较为舒适．已知标准篮球场地罚球线距离发球机出口的水平距离为5.8米，此时小亮站在罚球线处，他 （填“能”或“不能”）舒适地接到球． 【答案】(1) (2) (3)不能． 【分析】本题考查了二次函数的应用，本题的关键是理解题意，求出二次函数解析式． （1）根据表中的数据即可得的答案； （2）根据表中的数据利用待定系数法求出二次函数解析式； （3）把代入函数解析式求解，比较即可得的答案． 【详解】（1）解：根据表中的数据知，时，， ， 故答案为：； （2）解：小亮站在罚球线处，不能舒适地接到球，理由如下： 设抛物线的解析式为， 把时，；时， 代入得， 解得， 抛物线的解析式为， （3）当时，米， 当球离地高度h的取值范围是时，接球较为舒适，不能舒适地接到球， 故答案为：不能． ◆题型5 喷水问题（实际问题与二次函数） 一、解答题 1．如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 【答案】(1) (2)①高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到；②不会． 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法，将点，代入抛物线解析式求解即可； （2）①令，求出对应的自变量取值，即可求解；②令，求出对应的函数值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，水流所在抛物线经过点，， 将其分别代入得： ，解得， 水流所在抛物线的函数表达式为：； （2）解：①令，则， 解得，， 高度为的雕塑，其与喷灌嘴的水平距离在时，才不会被水流直接喷到； ②令，则， ， 不会被水流直接喷到． 2．一款可以任意扭动方向的水龙头，平鑫同学把它喷头扭向上方，如图1所示，喷头A离立杆水平距离，离台面高度为，打开水龙头，喷出的水成抛物线型，水在离立杆处达到最大高度．平鑫同学以底座O为坐标原点，立杆所在直线为y轴，建立如图2所示的坐标系． (1)写出水流抛物线的解析式； (2)计算水流喷出的最远距离（结果保留根号）； (3)已知水杯，水杯高度，直径，水杯离O点水平距离为，手拿水杯沿射线方向平推m厘米，试问m在什么样的取值范围内，水杯可以接到水． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，准确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）当时，，解方程并根据题意取舍即可得到答案； （3）分当抛物线经过点F时和当抛物线经过点E时，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点A的坐标为，点B的坐标为， 设水流抛物线的解析式为， 把代入得到，， 解得， ∴水流抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得（不合题意舍去）， ∴， ∴水流喷出的最远距离为 （3）解：令得， 解得，，（舍去） ∴当抛物线经过点F时， 此时点C的横坐标为， ∴， 当抛物线经过点E时， 此时点C的横坐标为， ∴， 综上可知，时，水杯可以接到水． 3．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷灌器喷水口的升降方案 素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．                      素材2 为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种花，矩形是花坛截面，花坛高，宽，侧面用大理石包围，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同且随之上下平移，使花坛的上方从到的区域刚好都能被水柱浇灌（大理石厚度不计），从而达到给花坛喷灌的效果．          问题解决 任务1 确定水柱的形状 在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2 确定喷灌器的位置 求出喷灌器与围墙的水平距离； 任务3 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使花坛的上方边上刚好都能被水柱喷灌，直接写出喷水口距离地面高度的取值范围． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题中的数量关系并结合实际分析是解题的关键． （1）建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的函数表达式； （2）令，求得方程的解，根据问题的实际意义做出取舍即可； （3）由题意可得：，分别代入和，求得的最小值和最大值，再令，即可分别求得的最小值和最大值． 【详解】任务1：解：以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设抛物线解析式为，把代入得：，解得：， 抛物线的表达式为； （2）令，得， 解得：， ∴， 得到， 喷灌器与围墙的水平距离为； （3）如图所示：，花坛高，宽， ， ∴ ∴， 设，把代入得，解得：， ∴， 当时，， ， 设，把代入得，，解得：， ∴， 当时，， ∴， 即喷水口距离地面高度的取值范围为． 4．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 5．如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．若当，时，解答下列问题． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围________． 【答案】(1)6 (2)2 (3) 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标，根据上下边缘抛物线的增减性可得结果； （3）根据，求出点的坐标，利用增减性可得的最大值为最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， 喷出水的最大射程为； （2）对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 点的坐标为， ∵上边缘抛物线在时，y随x的增大而增大， 下边缘抛物线在时，y随x的增大而减小， ∴当时，上、下边缘两个抛物线高度差的最大值为2； （3）， 点的纵坐标为0.5， ， 解得， ， ， 当时，随的增大而减小， 当时，要使， 则， 当时，随的增大而增大，且时，， 当时，要使，， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键． 6．安阳市水冶镇附近有一个马氏庄园，庄园中的建筑房顶为悬山顶式构造，独特的屋顶线条设计可以在下雨时保证雨水流下时流到院中地面某处．如图为一栋建筑的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶，经走廊顶部水平管道流出，呈抛物线落到院中地面上点（可视为抛物线顶点）．若走廊和顶部的宽度均为，屋高为，雨水落点距屋子的水平距离为，请根据题意，解决下列问题． (1)建立合适的坐标系，求出雨水从顶点落到地面点的抛物线表达式； (2)现计划在院中安放一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，可以对水资源重复利用，为使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点，请按设计计算雨水池的底面中心到墙面的距离的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用： （1）以点为原点，所在直线为轴，方向为正方向建立平面直角坐标系，求得，设抛物线解析式为，运用待定系数法求解即可； （2）求出点与之间的距离即可解决问题． 【详解】（1）解：以点为原点，所在直线为轴，方向为正方向建立平面直角坐标系， ，，， ∴ ，. 设抛物线解析式为， 将点代入解析式可得，， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：若想让雨滴正好落在点，则点需在所在的抛物线上， ，，则与的距离为， 可设，， 将代入解析式可得， ， 解得， ◆题型6 增长率及其他（实际问题与二次函数） 一、单选题 1．最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是掌握增长率的公式． 已知初始值、年均增长率和增长年数、最终量，利用增长率模型公式即可求解． 【详解】解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长． 第一年（年）：市场规模增长到． 第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即． 因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为， 对应选项C． 其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除． 故选：C． 2．如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题意可设，且，然后分别求出当，，时，路程与运动时间之间的函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据图象②，可设，且， 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向上； 当时，， 此时的函数图象为直线的一段； 当时，， 此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向下； ∴该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是 ． 故选：D． 二、解答题 3．在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）点B的坐标为；（Ⅱ）①， t的取值范围是；②． 【分析】(I)过点B作，垂足为H，由等腰三角形的“三线合一”性质得到，再由∠BOH=45°得到△OBH为等腰直角三角形，进而，由此求得B点坐标； (II)①由平移知，四边形是矩形，得，进而得到，再由重叠部分面积即可求解； ②画出不同情况下重叠部分的图形，分和和两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解． 【详解】解：(I)如图，过点B作，垂足为H． 由点，得． ∵， ∴． 又∠BOH=45°， ∴△OBH为等腰直角三角形， ∴． ∴点B的坐标为． (II)①由点，得．由平移知，四边形是矩形，得． ∴，． ∵，， ∴． ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． 整理后得到：． 当与A重合时，矩形与重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时， 当与B重合时，矩形与重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到与A点重合，如下图(2)所示： 此时， ∴t的取值范围是， 故答案为：，其中：； ②当时，矩形与重叠部分的面积如下图3所示： 此时，∠BAO=45°，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， 故将代入， 得到最大值， 将代入， 得到最小值， 当时，矩形与重叠部分的面积如下图4所示： 此时， 和均为等腰直角三角形， ∴， ， ∴重叠部分面积， ∴是关于的二次函数，且对称轴为，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将代入，得到最大值， 将代入， 得到最小值， ∴的最小值为，最大值为， 故答案为：． 当时，由①知 ∴当时，S有最大值为，当时，S有最小值为 ∴的最小值为，最大值为， 综上，S的取值范围为， ∴S的取值范围为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论． 4．综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 (2)的值为或，收入与的新关系式为 (3)，理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； （2）解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； （3）略 5．滑雪项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡与水平地面的夹角为，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其表达式为．    (1)问该运动员从A处跳出到B处着陆垂直下降了多少米？ (2)求运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间的函数表达式． (3)进一步研究发现：运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；在空中飞行后着陆．问当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大？最大是多少？ 【答案】(1)50米 (2) (3)；31.25米 【分析】本题考查用二次函数及一次函数解决实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键． （1）过作于，于，根据题意得出，即可求解； （2）根据题中所给信息，得出，，利用待定系数法列出关于的二元一次方程组求解即可得出结论； （3）作轴交抛物线于，交于，利用待定系数法确定直线的函数表达式，再由（1）得出抛物线表达式，求出，表示出运动员离着陆坡的竖直距离，根据抛物线的性质得出当时，有最大值为． 【详解】（1）解：过作于，于，如图所示：   ， 着陆坡的坡角为，即， ， 在中，， 则， ∴垂直下降了50米； （2）， ，即，， 将，代入得， 解得， ∴； （3）作轴交抛物线于，交于，如图所示：    设直线的表达式为，将，代入得，解得， 即直线的表达式为， 由（1）知抛物线表达式为， ， 运动员离着陆坡的竖直距离， 由可知抛物线开口向下，当时，有最大值为． 6．【问题背景】我国利用“大数据农业”思维构建标准化、智能化育种体系，将数据采集、智能温控等信息技术引入农业生产，实现标准化管理，提高农业生产的质量和效益． 【素材1】如图-1，某种植基地的大棚的横截面是由抛物线和矩形构成，已知矩形长16米，宽1米．抛物线最高点到地面的距离为5米． 【素材2】种植某农作物时，每棵农作物高大约，为了保证生长空间，相邻两棵农作物种植点之间间隔，农作物顶部不触碰大棚，且种植后农作物成轴对称分布． 【解决问题】 (1)如图-2，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数表达式（无需写出自变量的取值范围）； (2)在图-2的平面直角坐标系中，在不影响农作物生长的情况下（），确定种植点的横坐标的取值范围，并求出最前排符合所有种植条件的农作物最大数量； (3)为了安全，需安装“支撑架”对大棚进行加固，“支撑架”由三根支架构成，其中垂直于地面，平行于地面，且点均在抛物线上．经考察，当“支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强，此时为最安全的状态．请通过计算说明最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是多少米． 【答案】(1) (2)，14棵 (3)米 【分析】（1）根据题意，求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出的值，进而求出种植点的横坐标的取值范围，由题意可得在距离轴的两侧开始种植，进而求出最前排可种植的棵数即可． （3）根据题意，易得，设，代入函数解析式进行求解，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，， 设抛物线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴； （2）解：当时，解得， ∵， ∴； ∵相邻两棵农作物种植点之间间隔，农作物顶部不触碰大棚，且种植后农作物成轴对称分布 ∴在距离轴的两侧开始种植，最前排可种植（棵）； （3）解：∵平行于地面，且点均在抛物线上， ∴关于轴对称， ∵垂直于地面， ∴关于轴对称， ∴， ∵“支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强， ∴， ∴， ∴设，则， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ 故最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是米． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平均每次降价的百分率是x，，第一次降价后的价格为，第二次降价的价格为，根据题意列出函数关系式即可求解． 【详解】解：设平均每次降价的百分率是x，，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 2．“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒，水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米/秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（   ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用．易得抛物线的开口向下，那么当时，函数有最大值，即可求得相应的运动时间． 【详解】解：∵，， ∴当秒时，水火箭达到最高点． 故选：B． 二、填空题 3．飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行________才能停下来． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，飞机停下来时，滑行的距离最远，即此时s有最大值，据此求解即可． 【详解】解： ， 当飞机着陆后滑行，才能停下来； 故答案为：． 4．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 5．甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是______________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 因为，所以抛物线的顶点坐标为， 得到当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是， 故答案为：． 6．如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    【答案】6 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 7．一个横断面是抛物线的渡槽如图所示，根据图中所给的数据求出水面的宽度是____cm． 【答案】2 【分析】首先建立平面直角坐标系，然后根据图中数据确定点A和点B的坐标，从而利用待定系数法确定二次函数的解析式，然后求得C、D两点的坐标，从而求得水面的宽度． 【详解】如图建立直角坐标系． 则点A的坐标为（-2，8），点B的坐标为（2，8）， 设抛物线的解析式为y=ax2， 代入点A的坐标得8=4a， 解得：a=2， 所以抛物线的解析式为y=2x2， 令y=6得：6=2x2， 解得：x=±， 所以CD=-（-）=2（cm）． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出二次函数模型，并建立正确的平面直角坐标系． 8．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点． 【答案】8 【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5， 将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①， 喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4， 将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②， 联立可求出，， 设喷头高为h时，水柱落点距O点4m， ∴此时的解析式为， 将（4，0）代入可得， 解得h=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键． 9．如图，抛物线的顶点为M，点A是抛物线上异于点M的一动点，连接，过点M作交抛物线于点B，则点M到直线的距离的最大值为________． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数的最值，解题的关键是灵活运用相关知识． 如图，轴于轴于于，设4)，直线的解析式为：，利用待定系数法得到，又因为，则，推出，则，所以，则，得到，当时，即2时，，则直线必过定点，根据垂线段最短可知，点到直线的距离小于等于，故点到直线的最大距离为1． 【详解】解：如图，轴于轴于于， ∵ ∴ 设，直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 当时，即时，， ∴直线必过定点，根据垂线段最短可知，点到直线的距离小于等于，故点到直线的最大距离为1． 故答案为：1． 三、解答题 10．国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 【答案】(1) (2)x的值为1 (3)改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为 【分析】（1）利用长方形的面积计算公式得出y与x的函数关系式； （2）将代入函数解析式求出x的值； （3）利用配方法将函数配成顶点式，然后根据函数的增减性得出最值． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：由题意可得：， 则， 即， 解得：，， 经检验得：不合题意，舍去， 答：x的值为1； （3）解： ， 当时，y随x的增大而减小， 故当时，y最大，， 即改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为． 11．如图，在中，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动．当点不与点、重合时，取线段的中点，过点作，在的上方取线段，使，以、为边作矩形．设点的运动时间为秒． (1)线段的长为________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上时，求的值； (3)设矩形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当4时， 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，二次函数的应用， 对于（1），根据时间乘以速度得，可得，再根据得出答案； 对于（2），说明，可得答案； 对于（3），分三种情况当时，当时，当时，画出图形，再求出面积即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∵点Q是的中点， ∴， ∴； 矩形中， 故答案为：； （2）解：如图，当点N在边上时， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：当时，； 当点M在上时，可知， ∴， 即， 解得． 当时， 根据题意可知， ∴， ； 当时， 根据题意，得，， ∴． 12．综合与实践 【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系． 【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和矩形构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为5米，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知米，米． （1）求抛物线的表达式； 【应用模型】 （2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上，如图2所示），通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？ （3）为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线内部建两个正方形的窗户，（正方形的边和正方形的边都在上，点，都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1米，如图3），求两个窗户的面积的和．（精确到1米，参考数据：，，） 【答案】（1）；（2）当“支撑架”，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米；（3）5平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，点代入求解即可； （2）设点的坐标为，由题意得点坐标，点坐标，点的坐标，得到，， 则 “支撑架”的长度为：，得出答案； （3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点的坐标为，，求解即可得出答案． 【详解】解：（1）设抛物线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）设点的坐标为， 由题意得点坐标，点坐标，点的坐标，，， “支撑架”的长度为：， ，， 当时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米． 即当“支撑架”，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米； （3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点的坐标为， 点在抛物线上， ， 整理得， 解得或（舍去）， 两个窗户的面积和（平方米）． 13．某数学兴趣小组学习了二次函数之后，对园林绿化中喷水装置喷出的水珠运动轨迹展开探究，发现水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线． 有一个喷水装置，此装置由竖直安装在地面的一根水管和顶端可调节高度的喷水头组成．现以水管和水平地面的交点为原点，水平方向为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，点为水珠的落地点，如图1． 在一次浇灌草坪的喷水作业中，测得此喷水装置喷出水珠的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 3 4 5 竖直高度 根据以上信息，解答下列问题． (1)求出此次作业中水珠运动形成的抛物线关于的函数表达式； (2)在线段上有一移动盆景高为米，该盆景到点的距离为米（），水珠能否碰到该盆景最高点？若能，求出的值；若不能，则喷水口的竖直高度至少向上调节多少米，水珠可以碰到该盆景的最高点？并求出此时的值；（在调节的过程中，抛物线的形状和对称轴保持不变） (3)在此次喷水作业中，该装置还浇灌了另一方向斜坡处草坪，如图2，其中水珠形成的抛物线及的高度与（1）中的一致，水珠的落地点为点，斜坡所在直线为，现准备在斜坡段安放一块垂直于水平面的警示牌，为了使水珠不碰到，则的高度应低于多少米？ 【答案】(1) (2)水珠不能碰到该盆景最高点，喷水头需要调高， (3)米 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出抛物线的顶点坐标为，即水珠离地面最高，可得水珠不能直接碰到盆景最高点．从而得到喷水头需要调高，可得调节后抛物线的解析式，即可求解； （3）求出在同一水平位置处，水珠高度与斜坡高度的差值关于x的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线关于的函数表达式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线函数表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 即水珠离地面最高， ∵， ∴水珠不能直接碰到盆景最高点． ∵， ∴喷水头需要调高， ∴调节后抛物线的解析式为：， 令，整理得：， 解得； （3）解：∵斜坡所在直线为， ∴在同一水平位置处，水珠高度与斜坡高度的差值为： 即在同一水平位置处，水珠高度与斜坡高度的差值最大为米， ∵为使水珠不碰到警示牌， ∴警示牌高度应低于最大高度差，即米． 14．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计安阳麦秆画的销售方案 素材1 麦秆画是中国独有的特色工艺品之一，是河南安阳市民间剪贴画的一种，被称为“中华一绝”“中国手工艺术精品”，具有极高的收藏价值．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅． 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出幅． 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上销售的影响，平均每天的销售量为幅． 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式；［毛利润日销量（销售单价成本单价）］ 任务2 拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？ 【答案】任务1：；任务2：当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元． 【分析】本题主要考查实际问题与二次函数； 任务1：明确日销量和销售单价随降价的变化关系，根据毛利润日销量（销售单价成本单价）列出函数表达式即可； 任务2：根据网上和实体店的毛利润，构建总毛利润函数，将两个独立的利润表达式合并，再转化为二次函数求最大值即可． 【详解】解：任务1：． 任务2：设总毛利润为元． ， ， 当时，最大，最大值为4440，此时网上销售价为（元）． 当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元． 15．钱塘江涌潮为世界一大自然奇观，它是天体引力和地球自转的离心作用，加上钱塘江州湾喇叭口的特殊地形所造成的特大涌潮．某日钱塘江的观测信息如下： ×年×月×日  天气：阴  能见度：1.8千米 11：40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地； 12：10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续奔向丙地； 12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”． 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的函数关系用图3表示．其中，“11：40时，甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B的坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数：（b，c是常数）刻画． (1)求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度． (2)11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分钟的速度往甲地方向行驶，问她几分钟后与潮头相遇？ (3)小红与潮头相遇后，立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车的最高速度为0.48千米/分钟，小红逐渐落后．求潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离．（潮水加速阶段的速度，是加速前的速度） 【答案】(1)，千米/分钟 (2)小红5分钟后与潮头相遇 (3)潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，这种阅读型的题目，弄懂题意、按照题设的顺序求解是解题的关键． （1）到的时间是30分钟，则，潮头从甲地到乙地的速度 (干米/分钟)； （2）潮头的速度为0.4千米/分钟，故到 时，潮头已前进 (千米)，则此时潮头离乙地 (干米)，进而求解； （3）把，代入，求出，当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，从即可求解． 【详解】（1）解：∵到经过的时间是30分钟， ∴点，即， ∴潮头从甲地到乙地的速度为（千米/分钟）． （2）解：∵潮头的速度为0.4千米/分钟， 时，潮头已前进（千米）． 此时潮头与乙地之间的距离为（千米）． 设小红出发x分钟后与潮头相遇． 依题意，得， 解得， ∴小红5分钟后与潮头相遇． （3）解：把点，代入， 得， 解得，， ∴． 又∴， ∴． 当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，即时， ， 解得， 则当时，， 即潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离为千米． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数的实际应用 常考题型·精准突破 考点一二次函数的实际应用 题型1 图形问题（实际问题与二次函数） 题型2 销售问题（实际问题与二次函数） 题型3 拱桥问题（实际问题与二次函数） 题型4 投球问题（实际问题与二次函数） 题型5 喷水问题（实际问题与二次函数） 题型6 增长率及其他（实际问题与二次函数） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的实际应用 ◆题型1图形问题（实际问题与二次函数） 1．如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 2．阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 3．综合与实践 小刚家的新家装修到了安装射灯，设计沙发背景墙的阶段，他和爸爸到了装饰城，看到了如图1中的某种型号的射灯投射下的背景样板墙，4盏射灯的光照的区域“覆盖”了整个墙面．光照的区域边缘可近似的看为抛物线，相同型号的射灯光照区域的形状完全一样．小刚抽象出了如图2中的示意图，测量后得到相关数据，左侧第一盏灯最高点C距离地面高度为290cm，与左墙面的水平距离为30cm，光线与墙的交点A距离地面245cm，点B，D，E均为两条光线的交点，点F且A，B，D，E，F在同一高度的水平线上． (1)数学建模 如图3，以墙面OA所在的直线为y轴，垂直于OA的地面所在直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设光线距离地面的高度为，距墙面OA水平距离为，求y与x之间的函数关系式． (2)问题解决 小刚家沙发背景墙和装饰城的样板墙高度一致，墙面长为420cm，按照样板墙的方式安装射灯，请帮小刚计算需要安装的射灯数量至少为多少时，光照区域才能如样板墙那样实现全“覆盖”？ (3)如图4，小刚妈妈还计划在这每一盏射灯的光照区域内安装一幅矩形的家庭照片，照片的底部安装高度距离地面145cm，请直接写出如图4中，左侧第一盏灯的光照区域内矩形照片的周长的最大值． ◆题型2 销售问题（实际问题与二次函数） 1．某厂商投产一种新型科技产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数． (1)写出每月的利润L（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少? 2．综合与实践 某镇黄金梨种植基地迎来丰收季，黄澄澄的梨果挂满枝头，果农们忙碌采摘，洋溢着喜悦．该镇以“兴产业、促就业、带民富”为思路，立足资源禀赋，优化农业结构，发展特色林果经济，创新“合作社+基地+种植户”模式，带动农户抱团发展．某合作社以12元/千克的价格购进一批黄金梨，如果以20元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克；如果以25元/千克的价格销售，那么每天可售出200千克．根据销售经验可以知道，每天的销售量（单位：千克）与销售价格（，且为整数，单位：元/千克）存在一次函数关系． (1)与之间的函数表达式为_____（不用写出自变量的取值范围） (2)设该合作社销售黄金梨每天获得的利润为w，则当销售价格为多少元/千克时，每天获得的利润w最大?最大利润是多少? (3)若物价局规定商品的利润率不能高于100%，而该合作社每天销售黄金梨的利润为2520元，请直接写出的值． 3．根据以下素材解决问题 人形机器人销售盈利方案 素 材 1 随着智能科技快速发展，某科技公司研发出甲、乙两种型号人形商用服务机器人． 调研显示：制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元；制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元．    素 材 2 两种型号机器人的总销售量（台）与甲型机器人每台销售单价（万元/台）之间的关系如下表所示 甲型机器人每台销售单价（万元/台） 两种型号机器人的总销售量（台） 根据以上信息解决下列问题 (1)求甲、乙两款机器人制造成本； (2)求总销量与之间的关系； (3)若总销量不低于250台，乙型机器人每台利润为5万元，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍，请尝试表示出总利润关于的函数关系式，并求出最大利润及此时甲型机器人的销售单价． 4．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． ◆题型3 拱桥问题（实际问题与二次函数） 1．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为10米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为8米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 2．探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥， 其横截面如图所示， 量得该拱桥占地面最宽处米， 最高处点C距地面5米 (即米) ． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E、F， 两灯直射地面分别形成反光点H、G（E、F分别在抛物线上且关于对称， H、G在线段上) ， 量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修， 在点H、G处搭建一个高3.55米的矩形“脚手架”． 已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？ 如果符合， 请说明理由； 如果不符合， 求出脚手架至少应调低多少米？ 3．在某一风景如画的景区内，横跨着一座优雅的拱桥，其横截面顶部轮廓宛若一条流畅的抛物线，展现了拱桥独特的建筑美学与力学之魅．我们以桥的一端作为起点，标记为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示．已知在距离原点恰好4米的位置，桥拱攀升至其最高点，距离地面2米． (1)求该抛物线的表达式． (2)若工人师傅在桥下放置两个同样大小的正方形“脚手架”（正方形和正方形），如图2所示，其中点、点恰好在抛物线上．已知边长为1.5米，则两个正方形“脚手架”的距离（的长）为多少？ (3)若工人师傅想在拱桥下摆放4个同样大小的正方形“脚手架”，则这个“脚手架”的边长最大为多少？（结果精确至0.01米，参考数据：，） 4．一座拱桥其中一段的横截面为抛物线型，如图所示，线段表示水面，桥墩跨度为，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：左右两边的桥墩相同，高度，抛物线的顶点到轴的距离是． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)节日为了庆祝，决定在该桥上共挂三串彩灯，第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端，皆在抛物线上，另外两串彩灯，都垂直于水面挂设，且点，距离水面，求挂设的三串彩灯，，长度和的最大值． 5．如图，这是型滑板场地轨道示意图，两侧和是各自所在抛物线的一部分，分别为其所在抛物线的最低点，且轨道和所在抛物线的形状相同，其中．为了确保场地安全，需在轨道左侧和右侧进行加固，安装统一规格的支架，两侧的支架完全一致，其中左侧的支架由四段构成，右侧的支架由四段构成．以线段所在直线为轴，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求轨道所在抛物线的函数表达式． (2)支架的要求为垂直于线段所在的直线，平行于线段所在的直线，且．请通过计算，确定轨道两侧需要的支架材料的最短长度． ◆题型4 投球问题（实际问题与二次函数） 1．投壶  投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线的一部分，且当箭的最大高度为时，距离投出点的水平距离为．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离． (3)在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出的取值范围． 2．在一次足球训练中，小明练习射门，球射向球门的路线呈抛物线． 如图所示，小明从球门底部正前方的处射门，现以为原点，以所在直线为轴，以球门高所在直线为轴建立平面直角坐标系．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高为． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (2)对本次训练结果进行分析，若球射向球门的路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处射进球门？ 3．某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 4．综合与实践 【问题情境】 如图1，大连英博足球队在一次队内训练中，球员从斜坡底端处向斜坡上传球，进行长传球练习，足球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分． 【建模分析】 助理教练将队内16号球员的某次长传球在电脑中建立模型，进行数据分析． 如图2，根据足球飞行路线，以过点的水平直线为轴，过点的垂线为轴建立平面直角坐标系．足球飞行的水平距离与足球飞行的高度的变化规律如下表： 0 10 12 14 16 18 20 …… 0 8 …… 【问题解决】 (1)求足球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)如图3，设足球落在斜坡的点为，点的横坐标为24． ①助理教练在距点水平距离为8米处的斜坡上放置一个高度为的模拟人墙，模拟人墙与水平直线垂直，求当足球飞行到模拟人墙上方时，足球到模拟人墙顶端的距离； ②求足球在飞行过程中距斜坡的最大铅直高度． 5．篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备．发球机经设置按某一角度发球后，把球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度h（单位：m）与水平距离s（单位：m）之间的关系，测得一些数据如表： （m） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … h（m） 0.45 1.1 1.65 2.1 2.45 2.7 2.85 2.9 2.85 … 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标，为纵坐标，插出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)发球机出口点的离地高度为 ； (2)求出该抛物线的解析式； (3)小亮在训练时发现，当球离地高度的取值范围是时，接球较为舒适．已知标准篮球场地罚球线距离发球机出口的水平距离为5.8米，此时小亮站在罚球线处，他 （填“能”或“不能”）舒适地接到球． ◆题型5 喷水问题（实际问题与二次函数） 1．如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴，将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线．当水流距离地面时，距喷灌嘴的水平距离为，水流落地点距喷灌嘴的水平距离． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)为了给公园增添艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑． ①若雕塑的高度为，求与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到； ②若在距喷灌嘴水平距离为处有一高度为的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 2．一款可以任意扭动方向的水龙头，平鑫同学把它喷头扭向上方，如图1所示，喷头A离立杆水平距离，离台面高度为，打开水龙头，喷出的水成抛物线型，水在离立杆处达到最大高度．平鑫同学以底座O为坐标原点，立杆所在直线为y轴，建立如图2所示的坐标系． (1)写出水流抛物线的解析式； (2)计算水流喷出的最远距离（结果保留根号）； (3)已知水杯，水杯高度，直径，水杯离O点水平距离为，手拿水杯沿射线方向平推m厘米，试问m在什么样的取值范围内，水杯可以接到水． 3．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷灌器喷水口的升降方案 素材1 随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．图1中某庭院内有一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱成抛物线形．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．                      素材2 为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建花坛种花，矩形是花坛截面，花坛高，宽，侧面用大理石包围，如图3．调整喷水口的高度，喷出的水柱形状与原来相同且随之上下平移，使花坛的上方从到的区域刚好都能被水柱浇灌（大理石厚度不计），从而达到给花坛喷灌的效果．          问题解决 任务1 确定水柱的形状 在图2中，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2 确定喷灌器的位置 求出喷灌器与围墙的水平距离； 任务3 拟定喷头升降方案 调整喷水口的高度，使花坛的上方边上刚好都能被水柱喷灌，直接写出喷水口距离地面高度的取值范围． 4．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 5．如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：），如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．若当，时，解答下列问题． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围________． 6．安阳市水冶镇附近有一个马氏庄园，庄园中的建筑房顶为悬山顶式构造，独特的屋顶线条设计可以在下雨时保证雨水流下时流到院中地面某处．如图为一栋建筑的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶，经走廊顶部水平管道流出，呈抛物线落到院中地面上点（可视为抛物线顶点）．若走廊和顶部的宽度均为，屋高为，雨水落点距屋子的水平距离为，请根据题意，解决下列问题． (1)建立合适的坐标系，求出雨水从顶点落到地面点的抛物线表达式； (2)现计划在院中安放一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，可以对水资源重复利用，为使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点，请按设计计算雨水池的底面中心到墙面的距离的长． ◆题型6 增长率及其他（实际问题与二次函数） 1．最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点B在第一象限，矩形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标； （Ⅱ）将矩形沿x轴向右平移，得到矩形，点O，C，D，E的对应点分别为，，，，设，矩形与重叠部分的面积为S． ①如图②，当点在x轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 4．综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 5．滑雪项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡与水平地面的夹角为，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其表达式为．    (1)问该运动员从A处跳出到B处着陆垂直下降了多少米？ (2)求运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间的函数表达式． (3)进一步研究发现：运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；在空中飞行后着陆．问当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大？最大是多少？ 6．【问题背景】我国利用“大数据农业”思维构建标准化、智能化育种体系，将数据采集、智能温控等信息技术引入农业生产，实现标准化管理，提高农业生产的质量和效益． 【素材1】如图-1，某种植基地的大棚的横截面是由抛物线和矩形构成，已知矩形长16米，宽1米．抛物线最高点到地面的距离为5米． 【素材2】种植某农作物时，每棵农作物高大约，为了保证生长空间，相邻两棵农作物种植点之间间隔，农作物顶部不触碰大棚，且种植后农作物成轴对称分布． 【解决问题】 (1)如图-2，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数表达式（无需写出自变量的取值范围）； (2)在图-2的平面直角坐标系中，在不影响农作物生长的情况下（），确定种植点的横坐标的取值范围，并求出最前排符合所有种植条件的农作物最大数量； (3)为了安全，需安装“支撑架”对大棚进行加固，“支撑架”由三根支架构成，其中垂直于地面，平行于地面，且点均在抛物线上．经考察，当“支撑架”与地面构成正方形时，承受能力最强，此时为最安全的状态．请通过计算说明最安全时，这样的一组“支撑架”的总长度是多少米． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒，水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米/秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（   ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 二、填空题 3．飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行________才能停下来． 4．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 5．甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是______________． 6．如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    7．一个横断面是抛物线的渡槽如图所示，根据图中所给的数据求出水面的宽度是____cm． 8．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点． 9．如图，抛物线的顶点为M，点A是抛物线上异于点M的一动点，连接，过点M作交抛物线于点B，则点M到直线的距离的最大值为________． 三、解答题 10．国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 11．如图，在中，，．动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动．当点不与点、重合时，取线段的中点，过点作，在的上方取线段，使，以、为边作矩形．设点的运动时间为秒． (1)线段的长为________（用含的代数式表示）； (2)当点在边上时，求的值； (3)设矩形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式． 12．综合与实践 【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系． 【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和矩形构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为5米，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知米，米． （1）求抛物线的表达式； 【应用模型】 （2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上，如图2所示），通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？ （3）为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线内部建两个正方形的窗户，（正方形的边和正方形的边都在上，点，都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1米，如图3），求两个窗户的面积的和．（精确到1米，参考数据：，，） 13．某数学兴趣小组学习了二次函数之后，对园林绿化中喷水装置喷出的水珠运动轨迹展开探究，发现水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线． 有一个喷水装置，此装置由竖直安装在地面的一根水管和顶端可调节高度的喷水头组成．现以水管和水平地面的交点为原点，水平方向为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，点为水珠的落地点，如图1． 在一次浇灌草坪的喷水作业中，测得此喷水装置喷出水珠的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 3 4 5 竖直高度 根据以上信息，解答下列问题． (1)求出此次作业中水珠运动形成的抛物线关于的函数表达式； (2)在线段上有一移动盆景高为米，该盆景到点的距离为米（），水珠能否碰到该盆景最高点？若能，求出的值；若不能，则喷水口的竖直高度至少向上调节多少米，水珠可以碰到该盆景的最高点？并求出此时的值；（在调节的过程中，抛物线的形状和对称轴保持不变） (3)在此次喷水作业中，该装置还浇灌了另一方向斜坡处草坪，如图2，其中水珠形成的抛物线及的高度与（1）中的一致，水珠的落地点为点，斜坡所在直线为，现准备在斜坡段安放一块垂直于水平面的警示牌，为了使水珠不碰到，则的高度应低于多少米？ 14．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计安阳麦秆画的销售方案 素材1 麦秆画是中国独有的特色工艺品之一，是河南安阳市民间剪贴画的一种，被称为“中华一绝”“中国手工艺术精品”，具有极高的收藏价值．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅． 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出幅． 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上销售的影响，平均每天的销售量为幅． 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式；［毛利润日销量（销售单价成本单价）］ 任务2 拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？ 15．钱塘江涌潮为世界一大自然奇观，它是天体引力和地球自转的离心作用，加上钱塘江州湾喇叭口的特殊地形所造成的特大涌潮．某日钱塘江的观测信息如下： ×年×月×日  天气：阴  能见度：1.8千米 11：40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地； 12：10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续奔向丙地； 12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”． 按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的函数关系用图3表示．其中，“11：40时，甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B的坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数：（b，c是常数）刻画． (1)求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度． (2)11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分钟的速度往甲地方向行驶，问她几分钟后与潮头相遇？ (3)小红与潮头相遇后，立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车的最高速度为0.48千米/分钟，小红逐渐落后．求潮头从开始加速到刚好超过小红时离乙地的距离．（潮水加速阶段的速度，是加速前的速度） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $