22.1 二次函数的图象和性质22.1.4-2024-2025学年九年级数学上册核心要点同步题型精练（人教版）

好题精选·同步精练22.1二次函数的图象和性质 22.1.4 的图象和性质 知识点1 二次函数的图象和性质 1．（23-24八年级下·重庆江北·期末）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）对抛物线而言，下列结论正确的是（   ） A．开口向上 B．与轴的交点坐标是 C．与两坐标轴有两个交点 D．当时，有最大值 3．（2024·四川绵阳·模拟预测）关于二次函数的性质说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．函数最小值为2 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 4．（2024·四川成都·模拟预测）关于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线 B．函数图象一定经过点 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．当时，函数图象与x轴有两个交点 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）函数和函数（是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·云南昆明·开学考试）已知二次函数． (1)将其配方成的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)在如图所示的直角坐标系中画出函数图象，并指出当时x的取值范围； (3)当时，求出y的最小值及最大值． 知识点2 二次函数的图象的平移 7．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 8．（2024年上海市普陀区五校联考中考三模数学试题）将抛物线沿着方向平移3个单位后，解析式为 9．（22-23九年级上·福建莆田·期中）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得抛物线的解析式为 ． 10．（2024·吉林长春·模拟预测）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为 ． 11．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 12．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C的顶点坐标为______． (2)当时，求y的取值范围； (3)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的解析式． 知识点3 二次函数与系数的关系 13．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）二次函数的图象如图所示，给出下列四个结论： ①；②；③；④； 其中结论正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图是二次函数的图象，其对称轴为，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则其中结论正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 16．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（23-24九年级上·新疆·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤，（的实数） 其中正确的结论有 填序号 18．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2024·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．有下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y的值随x值的增大而减小；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2024·山东济宁·三模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的为 ． 21．（23-24九年级下·甘肃张掖·期中）二次函数的图象如图所，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号） 知识点4 待定系数法求二次函数的解析式 22．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 23．（2023·浙江·模拟预测）有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）若二次函数图像的顶点坐标为，且图像过点，则该二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·广东广州·二模）已知二次函数，当时有最大值8，其图象经过点，则其与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，则该抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知抛物线的开口向上，且抛物线经过原点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 28．（2024·陕西宝鸡·二模）已知二次函数（a、b、c为常数，且a≠0）中，y与x的部分对应值如下表所示，则下列结论正确的是（    ） x … 0 1 2 … y … m … A． B．该二次函数图象开口向上 C． D．m的值为 29．（23-24九年级上·辽宁·阶段练习）已知抛物线经过，两点，则该抛物线的解析式为(    ) A． B． C． D． 30．（23-24九年级下·四川眉山·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，它的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．且，则下列结论不正确的是(　　)    A． B．图象的顶点坐标D为(1,-4) C．当或时，函数值 D．当时，随的增大而增大 31．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图像过点，两点，对称轴为直线，这个二次函数的解析式为 ． 32．（23-24九年级下·安徽六安·期末）已知抛物线 经过点，它的对称轴是直线，则这条抛物线的函数表达式是 ． 33．（2024·陕西汉中·二模）二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于，两点，则二次函数的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D． 34．（2024·陕西咸阳·一模）如图，正方形的顶点D在抛物线（b为常数）上，顶点B、C的坐标分别是、，则b的值是（    ） A． B． C． D． 35．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，二次函数的函数图像经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：①；②；③；④，⑤当时，；其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）二次函数，有下列结论： ①该函数图象过定点； ②当时，函数图象与轴无交点； ③函数图象的对称轴不可能在轴的右侧； ④当时，点，是曲线上两点，若，，则． 其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．（2024·广西南宁·二模）如图，，，，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为 ．    40．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 41．（2024·安徽蚌埠·三模）已知二次函数． （1）当，时，该函数图象的顶点坐标为 ； （2）当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，则 ． 42．（23-24九年级上·云南昆明·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过、两点，且对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如果点是这抛物线上位于轴下方的一点，且△的面积是．求点的坐标． 43．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状，并证明你的结论； (3)点P是x轴上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 44．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 45．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ． 46．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C． (1)（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为________； ②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为________； ②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示） (3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练22.1二次函数的图象和性质 22.1.4 的图象和性质 知识点1 二次函数的图象和性质 1．（23-24八年级下·重庆江北·期末）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标的含义，求解代数式的值，熟练掌握抛物线与轴的交点特征是解决问题的关键．把点代入抛物线的解析式可得，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解∶抛物线与x轴的一个交点为， ， 故选C． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）对抛物线而言，下列结论正确的是（   ） A．开口向上 B．与轴的交点坐标是 C．与两坐标轴有两个交点 D．当时，有最大值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式求解，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：、∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，故此选项错误，不符合题意； 、当时，， ∴抛物线与轴交点坐标为，故此选项错误，不符合题意； 、∵， ∴抛物线与轴有个交点， 又∵抛物线与轴交点坐标为， ∴与两坐标轴有三个交点，故此选项错误，不符合题意； 、∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，为函数最大值，故此选项正确，符合题意； 故选：． 3．（2024·四川绵阳·模拟预测）关于二次函数的性质说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．函数最小值为2 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，函数的最小值为2；故A选项错误，B选项正确； ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；故C，D选项错误； 故选B． 4．（2024·四川成都·模拟预测）关于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线 B．函数图象一定经过点 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．当时，函数图象与x轴有两个交点 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：对于二次函数，对称轴是直线，A选项说法正确． 令， 则， 函数图象一定经过点，B选项说法正确． 二次项系数是， 二次函数图象开口向下． 在对称轴，即直线，的右侧，y的值随x值的增大而减小． 当时，y的值随x值的增大而减小，C选项说法错误． 当时，二次函数表达式为． 令，则． ， 一元二次方程有两个不相同的实数根． 当时，函数图象与x轴有两个交点，D选项说法正确． 故选C． 5．（2024·江苏扬州·模拟预测）函数和函数（是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与y轴的交点坐标为． 【详解】A．由函数的图象可知，即函数开口向上，与图象不符，故A选项错误； B．由函数的图象可知，即函数开口向上，对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误； C．由函数的图象可知，即函数开口向下，与图象不符，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数开口向上，对称轴为，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确． 故选：D． 6．（23-24九年级上·云南昆明·开学考试）已知二次函数． (1)将其配方成的形式，并写出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)在如图所示的直角坐标系中画出函数图象，并指出当时x的取值范围； (3)当时，求出y的最小值及最大值． 【答案】(1)，开口向上，顶点为，对称轴为：直线 (2)当时， (3)当时，y有最大值4，当时，y有最小值 【分析】本题考查的是二次函数的三种形式，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． （1）利用配方法把二次函数化为顶点式的形式，进而可得出结论； （2）根据二次函数的顶点坐标及与x轴的交点坐标画出函数图象，根据二次函数的图象可直接得出时x的取值范围； （3）直接根据二次函数的图象即可得出结论． 【详解】（1）解： ∴ ， ∴抛物线的开口向上， 顶点为， 对称轴为直线； （2）函数图象如图所示， 由图象可知当时， x的取值范围为． （3）由图象可知当时，图象的最低点为 ，最高点为， 当时，y有最大值4，当时，y有最小值． 知识点2 二次函数的图象的平移 7．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 8．（2024年上海市普陀区五校联考中考三模数学试题）将抛物线沿着方向平移3个单位后，解析式为 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的平移变换，掌握平移的规律是解题的关键．将条件中“沿着方向平移3个单位”转化为“向左平移个单位，再向上平移个单位”或者“向右平移个单位，再向下平移个单位”两种情况． 【详解】解：依题意，抛物线的顶点沿着方向平移3个单位， 当顶点平移到时，平移后的解析式为， 当顶点平移到时，平移后的解析式为， 故答案为：或 9．（22-23九年级上·福建莆田·期中）将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先把二次函数转化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的规律进行解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得抛物线的解析式为， 故答案为：． 10．（2024·吉林长春·模拟预测）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：， ∴将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为，即， 故答案为：． 11．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：2 12．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C的顶点坐标为______． (2)当时，求y的取值范围； (3)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移规律； （1）将二次函数化成顶点式，即可求解； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线，可得，，由开口方向向上时，距离对称轴越大的点对应的函数值越大，即可求解； （3）由二次函数平移规律得，即可求解； 理解“抛物线的开口方向向上时，距离对称轴越大的点对应的函数值越大；”，二次函数解析式在平移中的变化规律： “左加右减，上加下减；”是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 顶点， 故答案为：； （2）解：由（1）得抛物线的对称轴为直线， ， ， ，， ， ， ； （3）解：由题意得 ． 知识点3 二次函数与系数的关系 13．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的正半轴上，排除B选项和C选项，根据A选项和D选项中对称轴，得出，抛物线开口向上，排除D选项，即可得出A为正确答案． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的正半轴上， ∴可以排除B选项和C选项； A选项和D选项中，抛物线的对称轴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向上，可以排除D选项， 故选A． 14．（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）二次函数的图象如图所示，给出下列四个结论： ①；②；③；④； 其中结论正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点，此题要会利用图象找到所需信息．抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线上过点，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴． ∵抛物线与x轴的负半轴相交， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线经过点， ∴，故②错误； ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∵，， ∴， ∵， ∴，故③正确． 故选A． 15．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图是二次函数的图象，其对称轴为，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则其中结论正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向得到，由对称轴方程得到，由抛物线与y轴的交点位置得到，则可对①进行判断；由可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为，则可判断当时，，于是可对③进行判断；通过比较点与点到对称轴的距离可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，①结论正确； ∵， ∴，②结论正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴，③结论错误； ∵点到对称轴的距离比点对称轴的距离远， ∴，④结论正确． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于；抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 16．（23-24九年级上·新疆昌吉·期中）二次函数的图象如图，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有个（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的式子是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意． 本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：由图象可得，，，，∴，故①正确，符合题意； 图象与x轴两个交点，故，∴，故②正确，符合题意； ∵对称轴为直线，∴，∴， ∴，故③正确，符合题意； 当时，，故④正确，符合题意； 当时，，故⑤错误，不符合题意． 故选：D． 17．（23-24九年级上·新疆·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤，（的实数） 其中正确的结论有 填序号 【答案】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为，能得到：，，， ∴， ∴， ∴①错误； ②当时，由图象知， 把代入解析式得：， ∴， ∴②错误； ③∵图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为， ∴，，， ∴， ∴ ∴③正确； ④由①②知且， ∴，④正确； ⑤∵时，最大值，时，， ∵的实数， ， ∴成立． ∴⑤正确． 故答案为：③④⑤． 18．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线与轴有2个交点， ∴，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴和对应的函数值相等， ∴时，，即，所以③错误； ∵， ∴，所以④正确； ∵顶点坐标纵坐标为， ∴， ∴，所以⑤正确． 故选：D． 19．（2024·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．有下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y的值随x值的增大而减小；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系、抛物线的性质等知识点，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键． 根据抛物线开口向上可得，对称轴为可得通时判定②；与y轴交于负半轴可得，即可判定①；根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；由图象可知，当时，可推出③错误；根据函数图象即可判断④；当时，函数有最小值，进而判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，， ∴对称轴为直线，故②正确； ∵， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴， ∴，故①错误； 由图象可知，当时，， ∴当时，，故③错误； 由图象可知，当时，y的值随x值的增大而增大，故④错误； ∵且抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值， ∴当m为任意实数时，， ∴，故⑤正确． 综上所述，说法正确的是②⑤，共2个． 故选B． 20．（2024·山东济宁·三模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的为 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．根据题中二次函数的图像及可判断a、b、c的符号，进而可判读①；由二次函数的图象与x轴交于及顶点可得二次函数的图象与x轴另一个交点为当时，，即可判断②；由图象即可判断当时， x的取值范围为，即可判断③；当时，，当时，， ，即可判断④； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由图可知， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于， ∴二次函数的图象与x轴另一个交点为，即． ∴当时，，故②正确； 当时，由图及对称性可知，x的取值范围为，故③正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 正确的有：①②③④． 故答案为：①②③④. 21．（23-24九年级下·甘肃张掖·期中）二次函数的图象如图所，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．根据抛物线的开口方向、与y轴的交点和对称轴即可求出a、b、c的符号，从而判断①；然后根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；根据抛物线对称轴公式即可判断③；根据当时，，代入即可判断④． 【详解】解：由图象可知：， 又∵对称轴是直线， ∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵当时，， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 知识点4 待定系数法求二次函数的解析式 22．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，由图知抛物线顶点：，故设，又因为交轴于，代入解析式即可． 【详解】解：图知抛物线顶点：， 故设， 又抛物线交轴于， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 故选：C． 23．（2023·浙江·模拟预测）有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 由与的形状一致，设该二次函数的表达式为，把，代入可得答案． 【详解】解：由与的形状一致，设该二次函数的表达式为， 把，代入得： ， 解得， ； 故选：B． 24．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）若二次函数图像的顶点坐标为，且图像过点，则该二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次函数解析式，由二次函数图像的顶点坐标为，设二次函数顶点式，将代入，再解方程即可得到答案，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数顶点式， 图像过点， ，解得， 该二次函数的解析式是， 故选：C． 25．（2024·广东广州·二模）已知二次函数，当时有最大值8，其图象经过点，则其与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，由于已知顶点坐标，则可设顶点式，再把点代入求出a即可得到抛物线解析式，然后把顶点式化为一般式，再确定其与y轴的交点坐标即可． 【详解】解：由已知条件可得抛物线的顶点坐标为，可设解析式为， 代入点，得． 所以该二次函数的解析式为， 化成一般式为． 当时，， 所以，抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：C． 26．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，则该抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，设出合适的解析式是解本题的关键，根据题意设，再代入即可得到函数解析式． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，， 设该抛物线的表达式为． ∵与y轴交于点，代入得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为， 故选：B． 27．（23-24九年级上·福建泉州·期末）已知抛物线的开口向上，且抛物线经过原点，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，解题的关键是将代入，求出，然后根据抛物线开口向上，得出． 【详解】解：把代入得： ， 解得：， ∵抛物线的开口向上， ∴， 故选：A． 28．（2024·陕西宝鸡·二模）已知二次函数（a、b、c为常数，且a≠0）中，y与x的部分对应值如下表所示，则下列结论正确的是（    ） x … 0 1 2 … y … m … A． B．该二次函数图象开口向上 C． D．m的值为 【答案】C 【分析】先在表格中选取三个点代入中，求出抛物线的表达式，可得，然后再根据二次函数的性质依次判断各选项即可得到正确答案． 本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，及二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】由表格可知抛物线经过，，， ， 解得，，， ∴抛物线的解析式为． ， ， 故A选项错误，不符合题意； ， ∴该二次函数图像开口向下， 故B选项错误，不符合题意； ，，， ， 故C选项正确，符合题意； 时，， ， 故D选项错误，不符合题意． 故选C． 29．（23-24九年级上·辽宁·阶段练习）已知抛物线经过，两点，则该抛物线的解析式为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据已知条件得出对称轴为直线，求得，即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， 又 ∴, ∴解析式为， 故选：B． 30．（23-24九年级下·四川眉山·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，它的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．且，则下列结论不正确的是(　　)    A． B．图象的顶点坐标D为(1,-4) C．当或时，函数值 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，由抛物线过，抛物线的对称轴为直线，写出的坐标，再由交点式写出解析式逐项判断即可得答案． 【详解】解：，抛物线的对称轴为直线， 点， 抛物线的表达式为：， ，故A选项不符合题意； ， 顶点的坐标为，故B选项不符合题意； ，， 观察函数图象，可得当或时，函数值，故C选项符合题意； 抛物线对称轴为直线，开口向上 当时，随的增大而增大， 而当时，随的增大而先减小后增大，故D选项符合题意． 故选：D． 31．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图像过点，两点，对称轴为直线，这个二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式， 利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，则可设交点式，然后把代入求出的值即可．解题的关键是掌握：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 设抛物线解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为，即． 故答案为：． 32．（23-24九年级下·安徽六安·期末）已知抛物线 经过点，它的对称轴是直线，则这条抛物线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴， 故答案为∶ ． 33．（2024·陕西汉中·二模）二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于，两点，则二次函数的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 先用待定系数法求出二次函数解析式，再化成顶点式，即可求解． 【详解】解：把，分别代入，得 ， 解得：， ∴ ∵ ∴当时，y有最小值，最小值为， 故选：B． 34．（2024·陕西咸阳·一模）如图，正方形的顶点D在抛物线（b为常数）上，顶点B、C的坐标分别是、，则b的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，三角形全等，正方形的性质，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．作轴，轴，证明，进而求出点坐标，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：作轴，轴，如图所示， 四边形为正方形， ，， ，， ，又， ， ，， 、， ，， ， ， 将代入抛物线，解得． 故选：A． 35．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，二次函数的函数图像经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：①；②；③；④，⑤当时，；其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置可判断，，的符号及与的关系，从而判断①②；由图像可得时，可判断③；由及可判断④；当时，，可判断⑤．解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ，故结论①正确； 由图像可得：抛物线的对称轴在和之间， ∴， ∴，即，故结论②错误； 由图像可得： 当时，，故结论③正确； 当时，， 当时，，即， ∴， ∴，故结论④正确； ∵抛物线过点， ∴， 当时，， ∴，即， ∴，故结论⑤正确， ∴正确结论的个数是． 故选：B． 36．（23-24九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数的对称轴为可判断③；由二次函数的性质可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线对称轴为直线时，， ∴时，， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴ ∴， ∴， 故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且，则点到对称轴的距离小于到直线的距离， ∴，故④不正确． 故选：C． 37．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时， 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即故④不正确 正确的有②③ 故选：B 38．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）二次函数，有下列结论： ①该函数图象过定点； ②当时，函数图象与轴无交点； ③函数图象的对称轴不可能在轴的右侧； ④当时，点，是曲线上两点，若，，则． 其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将抛物线整理为，即可判断①，将代入并计算即可判断②，计算抛物线的对称轴并根据即可判断③；根据题意确定对称轴的范围后可确定、的位置，再根据增减性即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：， 当时，， 该函数图象过定点，故①正确； 当时，， ， 函数图象与轴无交点，故②正确； 抛物线的对称轴为：， ， ， 当时，对称轴在轴左侧，当时，对称轴在轴右侧，故③错误； ， ， ，， ，在对称轴左侧，，在对称轴右侧， ， 抛物线开口向上，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大， 当时，， 当时，， 此时，， ， ， ，故④错误， 故选：B． 39．（2024·广西南宁·二模）如图，，，，抛物线过O、A、B三点，则该抛物线的解析式为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，待定系数法求二次函数解析式．先求出，然后用待定系数法求解即可． 【详解】如图，作于点C    ∵，，， ∴， ∴， 设函数解析式为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 40．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 41．（2024·安徽蚌埠·三模）已知二次函数． （1）当，时，该函数图象的顶点坐标为 ； （2）当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、待定系数法等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）将、代入二次函数，然后再配方即可解答； （2）先把函数解析式化成顶点式确定顶点坐标，再判定抛物线开口方向向下，然后根据题意可得时，；当时，，再代入函数解析式求得m、n，最后求和即可． 【详解】解：（1）当、时， ， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）∵， ∴顶点坐标为， ∵正中，， ∴抛物线开口向下， ∵当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3， ∴该抛物线的顶点坐标在第二象限，即，解得：， ∴当时，；当时，， ∴，解得：， ∴． 故答案为：，． 42．（23-24九年级上·云南昆明·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过、两点，且对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如果点是这抛物线上位于轴下方的一点，且△的面积是．求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，图形与坐标的性质等知识． （1）根据直线方程求得点A、B的坐标；然后把点A、B的坐标代入二次函数解析式，通过方程组来求系数b、c的值； （2）如图，过Q点作轴并延长交直线于C．设点，，则．由得到：，则易求m的值．注意点Q位于第四象限． 【详解】（1）解：把代入得，； 把代入得，； ∴，， 将A、B两点的坐标代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）过Q点作轴于点D，并延长交直线于C 设点Q)，C， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴Q(舍去)，Q． 43．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状，并证明你的结论； (3)点P是x轴上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)是直角三角形．理由见解答过程 (3) 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数的方程，通过解方程求得的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点的坐标； （2）利用点的坐标来求线段的长度，得到，则由勾股定理的逆定理推知是直角三角形； （3）作出点关于轴的对称点，则．连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，一定，当的值最小时，利用待定系数法求得直线的解析式，然后把代入直线方程，求得． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：是直角三角形．理由如下： 当时，， ∴，则． 当时，， ∴，则， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：， ∴顶点的坐标为， 作出点关于轴的对称点，则． 连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，，当的值最小时，三点共线，最小值即为， 设直线的解析式为， 则：， 解得， ， 当时，，则， ∴． 【点睛】本题综合考查了待定系数法求二次函数，一次函数解析式，二次函数的性质，勾股定理的逆定理以及轴对称-最短路径等主要知识点，综合性强，能力要求极高，还考查了学生的数形结合的数学思想方法． 44．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 45．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∵，， ∴， ∴； ∵，，，， ∴， ∵存在， ∴，，且离对称轴最远，离对称轴最近， ∴，即，且， ∵，， ∴且， 解得， 故答案为：；． 46．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C． (1)（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为________； ②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为________； ②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示） (3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值． 【答案】(1)图见解析，； (2)方案一：①；②；方案二：①；②； (3)a的值为或． 【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可； （2）根据图形写出点或点B的坐标，再代入求解即可； （3）先求得，，的顶点坐标为，再求得顶点距线段的距离为，得到的顶点距线段的距离为，得到的顶点坐标为或，再分类求解即可． 【详解】（1）解：描点，连线，函数图象如图所示， 观察图象知，函数为二次函数， 设抛物线的解析式为， 由题意得， 解得， ∴y与x的关系式为； （2）解：方案一：①∵，， ∴， 此时点的坐标为； 故答案为：； ②由题意得， 解得， 故答案为：； 方案二：①∵C点坐标为，，， ∴， 此时点B的坐标为； 故答案为：； ②由题意得， 解得， 故答案为：； （3）解：根据题意和的对称轴为， 则，，的顶点坐标为， ∴顶点距线段的距离为， ∴的顶点距线段的距离为， ∴的顶点坐标为或， 当的顶点坐标为时，， 将代入得，解得； 当的顶点坐标为时，， 将代入得，解得； 综上，a的值为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$