第十九章 实数（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 八年级上册数学第十九章实数基础通关单元卷，覆盖无理数、平方根等核心知识，通过光刻机波长科学记数法、A系列纸估算等情境，培养抽象能力、几何直观与应用意识，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|无理数识别、平方根性质|基础概念辨析，如无理数判断| |填空题|11/22|科学记数法、程序计算|科技情境融入，如光刻机波长表示| |解答题|7/60|实数运算、方程求解、项目探究|项目式学习设计，如A系列纸长宽估算，培养创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十九章 实数·基础通关 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．在实数，，，1.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，，中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列说法正确的是（   ） A．只有正数才有平方根 B．的立方根是 C．是的一个平方根 D．的算术平方根是 3．下列说法正确的是（   ） A．的算术平方根是9 B．无理数和有理数统称为实数 C．立方根等于它本身的数是0和1 D．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 4．下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 5．的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 6．两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共11小题，每小题2分，共22分） 7．的算术平方根是______． 8．的平方根是___________． 9．立方根等于它本身的数是________ 10．比较大小：________． 11．计算：_____． 12．某公司的光刻机使用极紫外光()技术制造芯片，其光源波长为米．数据“”用科学记数法可表示为______． 13．若，则的算术平方根为_____________． 14．已知，，，，则的立方根是________． 15．如图，是一个计算程序，若输入x的值为64，则输出y的结果为__________． 16．设表示最接近的整数，则________． 17．如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_________． 三、解答题（共7小题，共60分） 18．（本题8分）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（本题4分）计算：． 20．（本题6分）解方程 (1) (2) 21．（本题8分）已知的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)如果的整数部分为，求的平方根与的小数部分的差． 22．（本题10分）在装修房屋时，设计师小王负责为一个房间设计墙面装饰．她打算用长方形壁纸来装饰墙面，其中一块长方形壁纸面积为，且长与宽的比例是． (1)该长方形壁纸的长与宽分别是多少？ (2)她还计划在这块壁纸上裁出一个半径为的圆形区域，用于嵌入一个装饰性的圆形挂件，以此来增添墙面的美感，她的裁剪方案能否实现？请说明理由． 23．（本题12分）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 24．（本题12分）项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____； 【项目素材】 如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，变成纸⋯⋯． 【任务探究】 (2)将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点E恰好和点D重合，则纸的长与宽之比为____； (3)根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）（参考数据：，，，，，，，） (4)在纸中能裁剪出面积为的圆吗？若能，请你设计裁剪方案；若不能，请说明理由（取3）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十九章 实数·基础通关 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．在实数，，，1.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，，中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列说法正确的是（   ） A．只有正数才有平方根 B．的立方根是 C．是的一个平方根 D．的算术平方根是 3．下列说法正确的是（   ） A．的算术平方根是9 B．无理数和有理数统称为实数 C．立方根等于它本身的数是0和1 D．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 4．下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 5．的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 6．两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共11小题，每小题2分，共22分） 7．的算术平方根是______． 8．的平方根是___________． 9．立方根等于它本身的数是________ 10．比较大小：________． 11．计算：_____． 12．某公司的光刻机使用极紫外光()技术制造芯片，其光源波长为米．数据“”用科学记数法可表示为______． 13．若，则的算术平方根为_____________． 14．已知，，，，则的立方根是________． 15．如图，是一个计算程序，若输入x的值为64，则输出y的结果为__________． 16．设表示最接近的整数，则________． 17．如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_________． 三、解答题（共7小题，共60分） 18．（本题8分）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（本题4分）计算：． 20．（本题6分）解方程 (1) (2) 21．（本题8分）已知的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)如果的整数部分为，求的平方根与的小数部分的差． 22．（本题10分）在装修房屋时，设计师小王负责为一个房间设计墙面装饰．她打算用长方形壁纸来装饰墙面，其中一块长方形壁纸面积为，且长与宽的比例是． (1)该长方形壁纸的长与宽分别是多少？ (2)她还计划在这块壁纸上裁出一个半径为的圆形区域，用于嵌入一个装饰性的圆形挂件，以此来增添墙面的美感，她的裁剪方案能否实现？请说明理由． 23．（本题12分）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 24．（本题12分）项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____； 【项目素材】 如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，变成纸⋯⋯． 【任务探究】 (2)将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点E恰好和点D重合，则纸的长与宽之比为____； (3)根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）（参考数据：，，，，，，，） (4)在纸中能裁剪出面积为的圆吗？若能，请你设计裁剪方案；若不能，请说明理由（取3）． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十九章 实数·基础通关 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．在实数，，，1.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，，中，无理数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】解：，， 则，，，是有理数， ，1.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），，是无理数，共3个； 故选：D． 2．下列说法正确的是（   ） A．只有正数才有平方根 B．的立方根是 C．是的一个平方根 D．的算术平方根是 【答案】C 【详解】解：A、平方根定义：正数有两个平方根，的平方根是，负数没有平方根，所以也有平方根，故此选项错误，不符合题意； B 、立方根定义：一个数的立方根唯一，的立方根是，故此选项错误，不符合题意； C 、是的算术平方根，是的一个平方根，故此选项正确，符合题意； D、，的算术平方根是，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 3．下列说法正确的是（   ） A．的算术平方根是9 B．无理数和有理数统称为实数 C．立方根等于它本身的数是0和1 D．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 【答案】B 【详解】解：，9的算术平方根是3，不是9，A错误； 有理数和无理数统称为实数，B正确； 立方根等于本身的数有，0，1，C错误； 数轴上的点与实数一一对应，D错误； 故选：B． 4．下列各组数中互为相反数的是() A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：A：∵=，∴与相等，不互为相反数． B：∵，∴，∴与相等，不互为相反数． C：∵=，∵=．∴与互为相反数， D：∵，∴不互为相反数． 故选：C． 5．的整数部分和小数部分分别是（    ） A．0和 B．3和 C．3和 D．3和 【答案】B 【详解】解：∵ ，即， ∴， ∴整数部分为3， ∴小数部分为． ∴的整数部分为3，小数部分为． 故选B． 6．两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 二、填空题（本大题共11小题，每小题2分，共22分） 7．的算术平方根是______． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 8．的平方根是___________． 【答案】 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 9．立方根等于它本身的数是________ 【答案】0，1， 【详解】解：立方根等于它本身的数是0，1，， 故答案为：0，1，． 10．比较大小：________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 11．计算：_____． 【答案】 【详解】解：原式． 12．某公司的光刻机使用极紫外光()技术制造芯片，其光源波长为米．数据“”用科学记数法可表示为______． 【答案】 【详解】解：． 13．若，则的算术平方根为_____________． 【答案】5 【详解】解：由题意可得， 解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5． 故答案为：5． 14．已知，，，，则的立方根是________． 【答案】 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 15．如图，是一个计算程序，若输入x的值为64，则输出y的结果为__________． 【答案】 【详解】解：输入， 第一步：求64的立方根，，是有理数，不输出； 第二步：求4的算术平方根，，2是有理数，不输出； 第三步：求2的立方根，是无理数，输出y． 故答案为：． 16．设表示最接近的整数，则________． 【答案】 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴原式． 故答案为：． 17．如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_________． 【答案】 【详解】解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴表示的数为3， ∴， 同理可得； ； ； ； ， 以此类推可得，当为奇数时， 当为偶数时； ∴； 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共60分） 18．（本题8分）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：；.................................2分 （2）解：；.................................4分 （3）解：；.................................6分 （4）解：；..................................8分 19．（本题4分）计算：． 【答案】 【详解】解： ．.................................4分 20．（本题6分）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴或；.................................3分 （2）解：∵ ∴ ∴ ∴．.................................6分 21．（本题8分）已知的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)如果的整数部分为，求的平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为2， ∴，， 解得，，.................................3分 （2）∵ ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴的小数部分为， 由（1）得，， ∴， ∴16的平方根为， ∴的平方根与的小数部分的差为 或．.................................8分 22．（本题10分）在装修房屋时，设计师小王负责为一个房间设计墙面装饰．她打算用长方形壁纸来装饰墙面，其中一块长方形壁纸面积为，且长与宽的比例是． (1)该长方形壁纸的长与宽分别是多少？ (2)她还计划在这块壁纸上裁出一个半径为的圆形区域，用于嵌入一个装饰性的圆形挂件，以此来增添墙面的美感，她的裁剪方案能否实现？请说明理由． 【答案】(1)长为，宽为（2）见详解 【详解】（1）解：设该长方形壁纸的长为，宽为． 根据题意，得， ∴， ∴． ， ， ． 答：该长方形壁纸的长为，宽为．.................................5分 (2)她的裁剪方案不能实现．理由如下： 圆的半径为， 圆的直径为．· ，· ． 她的裁剪方案不能实现．.................................10分 23．（本题12分）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； 故答案为：．.................................4分 （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为；.....................6分 （3）根据规律可化简 ．.................................12分 24．（本题12分）项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 (1)如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____； 【项目素材】 如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，变成纸⋯⋯． 【任务探究】 (2)将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点E恰好和点D重合，则纸的长与宽之比为____； (3)根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）（参考数据：，，，，，，，） (4)在纸中能裁剪出面积为的圆吗？若能，请你设计裁剪方案；若不能，请说明理由（取3）． 【答案】(1) (2) (3)纸的宽约为，长约为． (4)在纸中不能裁剪出面积为的圆；理由见解析. 【详解】（1）解： 两个边长为1的小正方形 ，拼成一个大正方形面积为2， 大正方形的边长为..................................2分 （2）解：由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中， ，即纸的长宽之比为；.................................4分 （3）解：由（2）可知：纸的长与宽之比是， 设纸的宽为，则长为， 纸的面积为， ， ， ， ； 故纸的宽约为，长约为．.................................8分 （4）解：设圆的半径为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴直径为， ∵，， ∴在纸中不能裁剪出面积为的圆..................................12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十九章实数·基础通关 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共22分） 题号 1 5 答案 D C B C B A 二、填空题（本大题共11小题，每小题2分，共24分） 7.2 9.0.1,-1 8.± 10.< 11.7 5 12.1.35×10-8 13.5 14.5.981 15 16.100 17,2-1 三、解答题（共7小题，共60分） 18.(本题8分)(1)解： V0.49=0.7 2分 6,4 (2)解： ±V49 =士 7；4分 1255 (3)解：64 4;6分 /0.729=0.9 (4)解： 8分 19.(本题4分)解：、 -3}+-27-3-2 =-3到+(-27)-(2-⑤) =3-3-2+V5 =5-2 .4分 20.（本题6分)(1)解：25x2-36=0, 115 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :25x2=36 2=36 25 9政5=g 5;3分 2解：：-少旷=3 :x-0=6 -1=6 =6+1 6分 21.(本题8分)(1)解：4a+1的平方根是±3，b-1的立方根为2， .4a+1=9,b-1=8, 解得a=2,b=9,3分 2)9<5<i6 :3c5<4 :5 的整数部分为3，即C=3 :5 的小数部分为5-3 由(1)得a=2,b=9, ….2a+b+c=2×2+9+3=16. .16的平方根为±4， :.2a+b+C的平方根与 15 的小数部分的差为 4-(5-3列4-5+3=7-政4-(5-34-+3=1-5 8分 22.(本题10分)(1)解：设该长方形壁纸的长为5xcm,宽为4xcm. 根据题意，得5x4x=700, 215 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .20x2=700, .x2=35 x>0, x=V35 .5x=5V35,4x=4v35 5v35cm 4v35cm 答：该长方形壁纸的长为 “,宽为 。.5分 (2)她的裁剪方案不能实现.理由如下： ~圆的半径为l2cm, .圆的直径为24cm.· .5<V35<6 .20<4V35<24 她的裁剪方案不能实现.10分 11 1+ 1_1= 23.(本题12分)(1)：第一个等式1+下+2=1+ 122: 11 第二个等式1+2+京1+ ，11 11,1 第三个等式1+京+平=1+3 -=1 3412: 牧根据捉律可猜测第五个等式为安+石1+兮名0： 11 1111 故答案为：1+写6l30.4分 11 (2根据总结规律可得：第个等式为+京+n+少l+7n中1+n+0；6分 1+ 315 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 )照据化+宁写+小+写+++小+0 1,1 11 f-8f-币a 十…十 2023×2024 m1兮 11 +…+ 20232024 =2023+1-,1] 2024 =20232023 2024 =2023 12分 24.(本题12分)(1)解：两个边长为1的小正方形，拼成一个大正方形面积为2， 大正方形的边长为万 2分 (2)解：由折叠的性质可知AD=AE,由(1)可知在正方形中AE:AB=√2：1， 六D:B=5:1,即4纸的k长宽之比为5：1， 4分 (3)解：由(2②)可知：A0纸的长与宽之比是 2:1 设40纸的宽为mm,则长为V2mm 40 .40 m2=10°mm2 纸的面积为 ∴V2xx=106 ,2、106 1 =≈707100 .x≈V707100≈840.9≈841 415 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .V2x≈√2x841≈1189 故A0纸的宽约为841mm,长约为1189mm..8分 (4)解：设圆的半径为m, .2=0.75, 3r2=0.75, .2=0.25, 解得：r=0.5m=500mm, ∴.直径为2×500mm=1000mm, 1000>841,1000<1189, .在40纸中不能裁剪出面积为0.75m的圆12分 515