专题17 圆拓展之最值问题的十类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以10类圆最值题型为核心，通过“通法归纳-题型精讲-变式迁移”体系，系统整合圆性质与几何变换、定理的应用，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|10题型（含知识点/易错点）|每种题型提炼核心解法（如对称转化、轨迹定位）及易错点（如运动范围、轨迹端点）|以圆的对称性、半径不变等性质为基础，结合勾股定理、瓜豆原理等构建“性质-方法-应用”逻辑链| |题型归纳|10典例+30变式|通过典例示范通法应用，变式题强化多情境迁移能力|典例覆盖中考高频考法，变式拓展运动约束、图形组合等复杂场景，深化模型意识|

专题17 圆拓展之最值问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、将军饮马 题型二、两动一定 题型三、切线与勾股定理 题型四、折叠圆 题型五、直角圆 题型六、定角定弦 题型七、四点共圆 题型八、中位线与瓜豆原理 题型九、面积最值 题型十、费马距离 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型 知识点 易错点 将军饮马 利用圆的对称性转化动点位置，根据“两点之间线段最短”求圆上动点对应的线段和最值 混淆线段和最小与差最大的结论，搞错对称点位置，忽略动点能否到达交点位置 两动一定 结合圆半径相等的性质，利用三角形三边关系推导，三点共线时取得线段最值 忽略两个动点的运动范围约束，误判最值点位置 切线与勾股定理 切线长、圆半径、圆外点到圆心的距离满足勾股数量关系，切线长的最值由圆心距的最值决定 记错三者的数量关系，混淆半径与直径，错求圆心距的最值 折叠圆 折叠后圆的半径不变，对应点关于折痕对称，转化位置后求轨迹相关最值 误认为折叠后圆半径改变，搞错折叠后圆心、对应点的位置范围 直角圆 对定线段张直角的动点轨迹，是以定线段为直径的圆（需去掉端点），结合点与圆的位置关系求最值 遗漏轨迹圆需要去掉端点，搞错轨迹圆的圆心和直径大小 定角定弦 定弦定角对应的动点轨迹是定弦对应的两段圆弧，利用圆的基本性质求距离最值 搞错动点对应优弧/劣弧，漏算另一段弧的可能性，计算最值时忘记加减半径 四点共圆 利用四点共圆的性质转化角度，确定动点轨迹后结合圆的规律求最值 错误判断四点共圆的条件，误用共圆性质，搞错动点轨迹 中位线与瓜豆原理 主动点在圆上运动时，满足定角定比关系的从动点轨迹也为圆，用中位线转化所求线段后求最值 搞错从动点轨迹圆的圆心和半径，误用中位线转化关系，忽略主动点运动范围 面积最值 将面积最值转化为底或高的最值，圆上点到定直线的距离最值为圆心距加减半径 分割图形出错，记错对角线垂直四边形面积公式的适用条件，错找高的最值 费马距离 圆上动点到两个定点的距离和最小值，利用费马点性质（三点两两夹角120°时距离和最小）求解 记错费马点适用条件，误判费马点是否在动点轨迹圆上，计算错误 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、将军饮马 典例1 如图，在中，是的直径，，，M是上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式1-1如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上的一个动点，的半径为1，则的最小值（　　） A． B． C． D． 变式1-2如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是____________． 变式1-3如图，在中，是的直径，，、为弧的三等分点，是上一动点，的最小值是______．    类型二、两动一定 典例2 如图，在正方形中，，点是平面内的一动点，且是的中点，是上一动点，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C．9 D． 变式2-1如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径的圆弧与边，分别交于点，．点在边上，点在上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 变式2-2如图，在矩形中，，，点为的中点，动点在矩形内部，连接，，且，点为上一个动点，连接，，则的最小值为________． 变式2-3如图，在边长为的正方形中，、分别为边、的动点，且，点为的中点，点为边上的一动点，则的最小值为______． 题型三、切线与勾股定理 典例3 如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．2 变式3-1如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（   ） A． B．2 C． D．4 变式3-2如图，在边长为的等边中，的半径为，点是边上的动点，过点作的一条切线，为切点，则线段长度的最小值为______． 变式3-3如图，在平面直角坐标系中，直线经过、，的半径为1（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为__________． 题型四、折叠圆 典例4 已知平行四边形中，，，，点E在边上，沿折叠得，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当落在边上时， C．当落在边上时，的面积为 D．的最小值为 变式4-1如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式4-2如图，在矩形中，，P是边上的一点，且，E是线段上的一个动点，把沿折叠，点C的对应点为F，当点E与点D重合时，点F恰好落在上，则的最小值是______． 变式4-3如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是______． 题型五、直角圆 典例5 如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 变式5-1如图，在矩形中，，．点沿折线运动，在上总有点满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式5-2如图，在平面直角坐标系中，点，点，点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接，则的最小值为________． 变式5-3如图，在矩形中，，，点E在边上运动，以为直径作圆与交于点F，连接，则线段的最小值为________． 题型六、定角定弦 典例6 如图，分别经过原点和点的动直线，，其夹角，点是中点，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式6-1如图，在中，，，，D为平面内一点，连接，，则线段的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 变式6-2如图，在中，，点为平面内一动点，连接，若，则的最小值为___________． 变式6-3如图，在一个边长为3的等边三角形中，，分别为边，上的两个动点，，连接，交于点，则 （1）___________； （2）连接，的最小值为___________． 题型七、四点共圆 典例7 在中，，，，，点P在射线上上运动，连接，交的外接圆于点D，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 变式7-1如图，在中，，，，经过点C且与边相切的动圆，与分别相交于点E、F，则线段长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．4．8 D．5 变式7-2如图，的直径，垂足为，，，点是上的动点（不与两点重合），，垂足为，点在运动过程中线段的最小值为_______ ． 变式7-3已知正方形边长为分别是上的动点，且于点，则的最小值是_____． 题型八、中位线与瓜豆原理 典例8 如图，在中，，，，E为的中点．点D在平面内运动，且满足，取的中点F，连接，则的最大值与最小值的和是（    ） A．6 B． C． D． 变式8-1如图，已知P是外一点，Q是上的动点，线段的中点为M，连接，若的半径为4，，则线段的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 变式8-2如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形所在平面作，，点为的中点，则的最小值为________． 变式8-3如图，在中，，，D是以点A为圆心，5为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为_______． 题型九、面积最值 典例9 如图，在中，，，E是边上一点，且，以A为圆心，长为半径作，P是上一动点，连接、，若 的面积为36，则 面积的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 变式9-1如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点，当C、D两点在圆上运动时，面积的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式9-2如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以为圆心，1为半径的圆上一动点，连结、，则面积的最小值是_____． 变式9-3如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，点为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是________，最小值是________． 题型十、费马距离 典例10 数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点． 现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点． 例如：菱形，是对角线上一点，、是边和上的两点，若点满足与之和最小，则称点为类费马点， (1)如图1，在菱形中，，点是上的类费马点， ①为的中点，为的中点，则________． ②为上一动点，为上一动点，且，则________． (2)如图2，在菱形中，，连接，点是的费马点，（即，，之和最小）， ①当时， ________． ②当时，你能找到的费马点吗？画图做简要说明，并求此时的值． 变式10-1阅读理解： 如图①，若所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离． 如图②，若四边形的四个顶点在同一个圆上，则有，此为托勒密定理． (1)请你直接利用托勒密定理，解决如下问题： 如图③，已知点为等边三角形ABC外接圆的上任意一点．求证：． (2)根据结论，我们有如下探寻三角形（其中均小于）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图④，在的外部以为边长作等边三角形及其外接圆； 第二步：在上取一点，连接． 易知__________； 第三步：根据（1）中定义，当在图④中找出的费马点后，线段__________的长度即为的费马距离． 知识应用： (3)已知三村庄A、B、C构成了如图⑤所示的，现选取一点打水井，使水井到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，请在图⑤中作出点（尺规作图，保留作图痕迹），并求输水管总长度的最小值． 变式10-2【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． 变式10-3【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 【理解运用】 （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，可知为_______（选“直角”或“等边”）三角形，故，又，故，由_______（选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”）可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有_______（填写角度数）；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为_______（选“A”或“B”或“C”）点； 【深入探究】 （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点为的“费马点”，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 圆拓展之最值问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、将军饮马 题型二、两动一定 题型三、切线与勾股定理 题型四、折叠圆 题型五、直角圆 题型六、定角定弦 题型七、四点共圆 题型八、中位线与瓜豆原理 题型九、面积最值 题型十、费马距离 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型 知识点 易错点 将军饮马 利用圆的对称性转化动点位置，根据“两点之间线段最短”求圆上动点对应的线段和最值 混淆线段和最小与差最大的结论，搞错对称点位置，忽略动点能否到达交点位置 两动一定 结合圆半径相等的性质，利用三角形三边关系推导，三点共线时取得线段最值 忽略两个动点的运动范围约束，误判最值点位置 切线与勾股定理 切线长、圆半径、圆外点到圆心的距离满足勾股数量关系，切线长的最值由圆心距的最值决定 记错三者的数量关系，混淆半径与直径，错求圆心距的最值 折叠圆 折叠后圆的半径不变，对应点关于折痕对称，转化位置后求轨迹相关最值 误认为折叠后圆半径改变，搞错折叠后圆心、对应点的位置范围 直角圆 对定线段张直角的动点轨迹，是以定线段为直径的圆（需去掉端点），结合点与圆的位置关系求最值 遗漏轨迹圆需要去掉端点，搞错轨迹圆的圆心和直径大小 定角定弦 定弦定角对应的动点轨迹是定弦对应的两段圆弧，利用圆的基本性质求距离最值 搞错动点对应优弧/劣弧，漏算另一段弧的可能性，计算最值时忘记加减半径 四点共圆 利用四点共圆的性质转化角度，确定动点轨迹后结合圆的规律求最值 错误判断四点共圆的条件，误用共圆性质，搞错动点轨迹 中位线与瓜豆原理 主动点在圆上运动时，满足定角定比关系的从动点轨迹也为圆，用中位线转化所求线段后求最值 搞错从动点轨迹圆的圆心和半径，误用中位线转化关系，忽略主动点运动范围 面积最值 将面积最值转化为底或高的最值，圆上点到定直线的距离最值为圆心距加减半径 分割图形出错，记错对角线垂直四边形面积公式的适用条件，错找高的最值 费马距离 圆上动点到两个定点的距离和最小值，利用费马点性质（三点两两夹角120°时距离和最小）求解 记错费马点适用条件，误判费马点是否在动点轨迹圆上，计算错误 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、将军饮马 典例1 如图，在中，是的直径，，，M是上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．作点C关于的对称点，连接与相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解． 【详解】解：如图，作点C关于的对称点，连接与相交于点M， 此时，点M为的最小值时的位置，即点M与点O重合 由垂径定理，， ∴， ∵，为直径， ∴为直径， 即 ∴的最小值是 故选：D． 变式1-1如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上的一个动点，的半径为1，则的最小值（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题结合图形的性质，考查轴对称－最短路线问题．本题是要在上找一点P，使的值最小，设是A关于的对称点，连接，与的交点即为点，此时是最小值，可证是等腰直角三角形，从而得出结果． 【详解】解：作点A关于直径的对称点，连接，交于点P，连接，，，，， ∵点A与关于对称， ∴， ∴，此时有最小值，最小值为的长， ∵点A是半圆上的一个三等分点， 由题意可得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 变式1-2如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是____________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，垂径定理，圆心角与弧之间的关系，作点A关于的对称点C，连接，则，可证明点C在上，再证明，得到三点共线，根据可得当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小，则的最小值为． 【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点C，连接， 由轴对称的性质可得垂直平分， ∴， ∵是的直径， ∴点C在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， 故答案为：10； 变式1-3如图，在中，是的直径，，、为弧的三等分点，是上一动点，的最小值是______．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆心角与弧的关系及垂径定理，作点关于的对称点，连接与相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，    此时，点为的最小值时的位置， 由题意得， 则， ∴， ，为直径， 为直径．则． 故答案是：． 类型二、两动一定 典例2 如图，在正方形中，，点是平面内的一动点，且是的中点，是上一动点，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】利用三角形中位线定理，由推导出中点的轨迹是以正方形中心为圆心、半径为1的圆．利用轴对称性质，作点关于的对称点，将转化为．根据圆外一点到圆上点的最短距离，用点到圆心的距离减去半径，即可得到的最小值． 【详解】解： 四边形是正方形，， 连接、交于点， 点为的中点． ， 点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆． 是的中点，是的中点， 连接， 是的中位线． ， ， 点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆． 作点关于的对称点，连接，，， ， ． ∴当点O，F，E，M在同一直线上时，取得最小值，为的长， 过点作于点， 是正方形对角线的交点， ，． 点与点关于对称， ，， ∴点A，B，M三点共线， ． 在中， ． 的最小值为， 的最小值为． 变式2-1如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，为半径的圆弧与边，分别交于点，．点在边上，点在上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，可得 ，利用正方形的性质得，，得到点 在同一条直线上，即得到 ，连接，与相交于点，与相交于点，此时的值最小，最小值 ，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，则， ∴， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∴， ∴点 在同一条直线上， ∴， ∴， 连接，与相交于点，与相交于点，如图， 此时的值最小，最小值 ， ∵， ∴ ， ∴的最小值为． 变式2-2如图，在矩形中，，，点为的中点，动点在矩形内部，连接，，且，点为上一个动点，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】作的外接圆，连接、、，延长到点F，使得，连接，，在优弧上取一点H，连接，，证明是等边三角形，求得圆的半径，过O作于G，连接，求得，证明O、G、E三点共线，由勾股定理求得，根据知，当O、M、N、F四点共线时，取最小值为，进而求得的最小值． 【详解】解：作的外接圆，连接、、，延长到点，使得，连接，，在优弧上取一点，连接，，如图， 则，， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 过作于，连接， ， 四边形是矩形， ，， 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， 、、三点共线， ， ， ， ， ， 当、、、四点共线时，取最小值为， 的最小值为． 变式2-3如图，在边长为的正方形中，、分别为边、的动点，且，点为的中点，点为边上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】延长到点，使，连接，证得，当，，三点共线时，的值最小，证得点的轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ， 当，，三点共线时，的值最小， ∵，点为的中点，， ， ∴点的轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上， ∴圆外一点到圆上一点距离的最小值为， ， ， ， 的最小值是． 题型三、切线与勾股定理 典例3 如图，等边三角形的边长为4，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接、，过点作于点，根据切线的性质可得，则，当，最小，则取最小值，求出的最小值即可得解． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点， ∵是的切线， ∴， 在中，， ∴当，最小，则取最小值， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 变式3-1如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为，此时切线长最小，求出相关点的坐标，利用全等三角形得出相等的边，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，作垂直直线，垂足为，作的切线，切点为， ∵的坐标为， 设直线与轴，轴分别交于， 当时，；当时，， 解得； ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵恒成立，且根据垂线段最短， ∴此时，值最小，则的值也最小， ∴切线长的最小值为． 变式3-2如图，在边长为的等边中，的半径为，点是边上的动点，过点作的一条切线，为切点，则线段长度的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，切线的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，连接，作于点，由等边三角形的性质得，则，所以 ，由切线的性质得，则 ，可知当的值最小时，则的值最小，所以当时，，于是得到问题的答案，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，作于点，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵与相切于点，， ∴， ∴， ∴， ∵，且当的值最小时则的值最小， ∴当时，， ∴线段长度的最小值为， 故答案为：． 变式3-3如图，在平面直角坐标系中，直线经过、，的半径为1（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为__________． 【答案】1 【分析】连接、，由切线性质得，根据勾股定理，半径为定值，因此要使最小，只需长度最小，点在直线上，根据“垂线段最短”，当时，取得最小值，再代入勾股定理计算最小值． 【详解】解：连接、， 是的切线，为切点， ，， 由勾股定理得： ， 已知半径，则， 要让最小，只需最小， 作， ， 又， ， 根据“垂线段最短”，当时，取得最小值，为的长，等于， 则的最小值为． 题型四、折叠圆 典例4 已知平行四边形中，，，，点E在边上，沿折叠得，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当落在边上时， C．当落在边上时，的面积为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】先根据平行四边形的性质求出，，的度数，利用折叠的性质得到，； 对于A：计算，的长，确定的位置求解； 对于B：直接利用折叠性质判断角度； 对于C：确定的运动轨迹，推导出的形状求面积； 对于D：确定的轨迹是以B为圆心的圆，转化为求点D到圆上一点的最小距离问题，即． 【详解】解：A项：如图，当时，为B到的距离， 在平行四边形中，，，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴，即平行四边形中，以为底边的高为1， ∵沿折叠得， ∴， ∴，， 即点落在边上， ∴，A项错误； B项：由A项可知，当落在边上时，， ∴，B项错误； C项：∵沿折叠得，点E在上运动， ∴点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆上运动， 如图，作以点B为圆心，为半径的圆，与交点，连接，过点E作， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， 由A项可知，平行四边形中，以为底边的高为1， ∴， ∴，C项错误； D项：∵点的运动轨迹是以点B为圆心，为半径的圆上运动， 如图，当D，，B三点共线时，有最小值， 过点D作， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即的最小值为，D项正确． 变式4-1如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选：C． 变式4-2如图，在矩形中，，P是边上的一点，且，E是线段上的一个动点，把沿折叠，点C的对应点为F，当点E与点D重合时，点F恰好落在上，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】当点E与点D重合时，点F恰好落在边上，画出图形，由勾股定理解，求出的长，再根据，点P为定点，可知点F和点C在以点P为圆心，5为半径的圆上，连接，与交点即为所求点F． 【详解】解：矩形中，，， ，，，， 当点E与点D重合时，点F恰好落在边上，如下图所示： 设， 由折叠的性质可知：，， 在中，由勾股定理得， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． ，点P为定点， 点F和点C在以点P为圆心，5为半径的圆上， 如图，连接，与交点即为所求点F， ，， ， ， 即的最小值是． 变式4-3如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，一点到圆上一点的距离的最值问题、折叠问题、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，确定点F在以E为圆心，为半径的半圆上是解题的关键． 根据中点的定义以及折叠的性质可求得，如图：当D、E、F在同一直线上时，最短，过点E作于点H，依据，，即可得到的长度，进而得出的最小值． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠得到， ∴， ∴点F在以E为圆心，为半径的半圆上， ∵， ∴当F在上时，有最小值，最小值为； 如图，过点E作交于延长线点H，连接， ∵在边长为4的菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴的最小值． 故答案为：． 题型五、直角圆 典例5 如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题；连接，根据得出点在以为直径的上，进而勾股定理求得，当点在线段上时，最小，即可求解． 【详解】解：如解图①，连接， ，，， ， 为直径， ， ， 点在以为直径的上， 的半径为， 连接，， ， 在中， ，， ， 如解图②，当点在线段上时，最小， ，即线段长度的最小值为． 故选D． 变式5-1如图，在矩形中，，．点沿折线运动，在上总有点满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质．由，知点在以为直径的上，当三点共线时，取得最小值，进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． ∵， ∴点Q在以为直径的上， ∴当三点共线时，取得最小值，如图， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 变式5-2如图，在平面直角坐标系中，点，点，点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先求出，再根据圆周角定理可得在点P的运动过程中，点Q的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上，设的中点为点，连接，从而可得当点共线时，取得最小值． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∵， ∴在点P的运动过程中，始终有， ∴如图，在点P的运动过程中，点Q的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上， 设的中点为点，连接， ∴，，即， ∴， 由三角形的三边关系得：，当且仅当点共线时，等号成立， 即当点共线时，取得最小值， ∴此时． 变式5-3如图，在矩形中，，，点E在边上运动，以为直径作圆与交于点F，连接，则线段的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查定弦定角的四点共圆求最值问题， 根据圆周角定理可知，，故，因此可推出点F在以为直径的圆上，通过点圆最值的求解方法计算即可． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，，， ∵点F在以为直径的圆上， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的圆上，半径， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，，即， ∴，的最小值为． 题型六、定角定弦 典例6 如图，分别经过原点和点的动直线，，其夹角，点是中点，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，则点在的外接圆上运动，在轴上截取，则，当取最小值时，取最小值，连接交于点，此时的长度最小． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∴点在的外接圆上运动， 在轴上截取，连接， ∵点是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取最小值时，取最小值， 连接交于点， 则，当点与点重合时，取得最小值， 此时长度的最小值为， ∵在中，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 此时， ∴的最小值是． 变式6-1如图，在中，，，，D为平面内一点，连接，，则线段的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】过点作圆，圆心为，交于点，连接，根据直径定理以及含角的直角三角形的性质得出圆的半径长度，过点作于点，连接，连接交于点，得出此时的值最小，然后利用勾股定理和垂径定理求解． 【详解】解：如图所示，过点作圆，圆心为，交于点 连接， ∵， ∴为直径， ∴点共线， 此时，， ∴， ∴的半径为2， 过点作于点，连接，连接交于点， 此时，的值最小， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即线段的最小值为． 变式6-2如图，在中，，点为平面内一动点，连接，若，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】作的外接圆，连接交于点，根据圆周角定理可知，即是等腰直角三角形，则，作于点，则是等腰直角三角形，由勾股定理可得，同理可得，根据勾股定理求出，当点三点共线时，最小为． 【详解】解：作的外接圆，连接交于点， 则，则是等腰直角三角形， 则， 作于点，则是等腰直角三角形． ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 当点三点共线时，最小为． 变式6-3如图，在一个边长为3的等边三角形中，，分别为边，上的两个动点，，连接，交于点，则 （1）___________； （2）连接，的最小值为___________． 【答案】 120 【分析】（1）先证明，推出，再由三角形外角的性质得，，最后通过等量代换可得； （2）作的外接圆，设圆心为O，在优弧上取一点H，连接，，连接交于N，连接，由圆内接四边形的性质可得，由圆周角定理可得，进而证明，再证，推出，设半径，则，解求出，根据，可得点F在线段上，即与点N重合时，有最小值． 【详解】解：（1）是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， 故答案为：120； （2）如图所示，作的外接圆，设圆心为O，在优弧上取一点H，连接，，连接交于N，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设半径，则， 在中，， ， 解得， ， ， ∴当点F在线段上，即与点N重合时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质等等，求出是解题的关键． 题型七、四点共圆 典例7 在中，，，，，点P在射线上上运动，连接，交的外接圆于点D，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 连接，得出是等腰直角三角形，求出，连接交劣弧于点，此时的长即为长的最小值．中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 点在以点为圆心，长为半径的劣弧上运动， ， 劣弧所对的圆周角为， 是等腰直角三角形， ， ， 连接交劣弧于点，此时的长即为长的最小值． ， ， ， ， 长的最小值为2． 故选：A． 变式7-1如图，在中，，，，经过点C且与边相切的动圆，与分别相交于点E、F，则线段长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．4．8 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，90度的圆周角所对的弦是直径，过点C作于H，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，则是经过点C且与边相切的动圆的直径，故当为直径且时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于H，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是经过点C且与边相切的动圆的直径， ∵， ∴当为直径且时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴， ∴有最小值4， 故选B． 变式7-2如图，的直径，垂足为，，，点是上的动点（不与两点重合），，垂足为，点在运动过程中线段的最小值为_______ ． 【答案】/ 【分析】由可判断点的轨迹是以为直径的圆弧，则当、、三点共线时，最短．根据垂径定理和勾股定理计算出和，作差即可． 【详解】解：如图，连接，，以为直径作， ∵， ∴， ∴点在上， ∴当、、三点共线时，最短， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵点为中点， ∴，且， 在中，， ∴最小为． 变式7-3已知正方形边长为分别是上的动点，且于点，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】连接，先求得，证明得出，设，根据已知条件证明四点共圆，得出，进而可得，则在以为圆心为半径的圆弧上运动，进而可得当在上时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，正方形边长为 ∴，， ∵ ∴， ∴ 设 ∴， ∵ ∴ ∴四点共圆 ∴ ∴ ∴ ∴在以为圆心为半径的圆弧上运动， ∴当在上时，取得最小值，最小值为 题型八、中位线与瓜豆原理 典例8 如图，在中，，，，E为的中点．点D在平面内运动，且满足，取的中点F，连接，则的最大值与最小值的和是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理、点的轨迹（圆）以及线段最值问题．掌握中位线性质将转化为，并利用点D在以A为圆心、为半径的圆上运动，通过几何位置关系求的最值是解题的关键． 【详解】解：如图1，作于G点， ∵，， ∴，， ∴，． ∵点D在平面内运动，且满足， ∴点D的运动轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆上， 图2中最小等于， 图3中最大等于， ∴则的最大值与最小值的和是， 故选B． 变式8-1如图，已知P是外一点，Q是上的动点，线段的中点为M，连接，若的半径为4，，则线段的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查的是点与圆的位置关系、三角形的中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 设与交于点N，连接，如图，由题意可知ON＝OP，从而可知MN为△POQ的中位线，由三角形中位线的性质可知；当点M、O、N在一条直线上时，有最小值，接下来依据求解即可． 【详解】解：设与交于点N，连接，如图， ∵，， ∴N是的中点． ∵M是的中点，N是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点M在以N为圆心，2为半径的圆上． ∵当点M在上时，最小， ∴线段的最小值为． 故选：A． 变式8-2如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形所在平面作，，点为的中点，则的最小值为________． 【答案】1 【分析】取的中点，连接，，，先求出的长，再得出点的运动轨迹，利用圆的性质求最值即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴在中，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∵在中，，点为斜边的中点， ∴， ∴点在以点为圆心、长为半径的圆上， ∴当点与和线段的交点重合时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题的难点在于正确找出点的运动轨迹． 变式8-3如图，在中，，，D是以点A为圆心，5为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为_______． 【答案】4 【分析】取的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，即可求解． 【详解】解：取的中点E，连接，如图所示： 在直角中，， ∵E是直角斜边上的中点， ∴， ∵M是的中点，E是的中点， ∴， M轨迹为以E为圆心，为半径的圆， ∴当点M在线段上时，最小，且线段长度的最小值为． 题型九、面积最值 典例9 如图，在中，，，E是边上一点，且，以A为圆心，长为半径作，P是上一动点，连接、，若 的面积为36，则 面积的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】先求出边上的高，确定点P到距离的最小值，再可利用平行四边形面积公式求出边上的高．因为点P在上，所以要先确定点A到的距离，再结合的半径，得到点P到的最小距离，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】如图，作，， 在中，，， ∴面积最小等价于最小． ∵面积为， ∴ ， ∵是上的动点，的半径， ∴圆上点到的最小距离为： ， 代入面积公式得最小面积： ． 变式9-1如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点，当C、D两点在圆上运动时，面积的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先根据直线解析式求出点、的坐标，进而得到的长度以及点到直线的距离；然后根据垂径定理和勾股定理求出的长度，确定点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆；最后根据点到直线的距离性质，当点在线段上时，点到的距离最小，的高最小，面积最小，计算即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接，， 令，则， ，； 令，则，解得， ，； ． ，， 是等腰直角三角形， ． 为弦的中点，， ，， 在中，， 点在以为圆心，为半径的圆上运动． 要使面积最小，则点到的距离最小， ， 当点在线段上时，点到的距离最小，最小值为， 面积的最小值为． 变式9-2如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以为圆心，1为半径的圆上一动点，连结、，则面积的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，一次函数图象与坐标轴的交点问题，圆与三角形的综合(圆的综合问题)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据一次函数求出点A、B的坐标，然后利用等面积即可求出CM的值，根据圆上距离直线最近的点为与的交点，从而求出面积的最小值． 【详解】解：过作于，连接， 将，代入中，得， 将代入中，得， 解得：， ∴点B的坐标为点A的坐标为， ∴，，， 根据勾股定理可得， 则由三角形面积公式得，， ∴， ∴， ∴圆上点到直线的最小距离是， 即点为与的交点时， ∴面积的最小值是， 故答案是：． 变式9-3如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，点为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是________，最小值是________． 【答案】 3 1 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、垂径定理、勾股定理、三角形的三边关系等知识，正确找出的面积取最值时，点的位置是解题关键．过点作于点，连接，先利用垂径定理和勾股定理可得，再根据一次函数的解析式求出，，利用勾股定理可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，则要使的面积最大或最小，只需最大或最小，最后利用三角形的三边关系可得当点共线时，的最大值为，最小值为，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵的半径为1， ∴， ∵点为弦的中点，， ∴，， ∴， 对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，解得， ∴在中，，， ∴的面积为， ∴要使的面积最大或最小，只需最大或最小， 又∵，（当且仅当，点共线时，等号成立）， ∴的最大值为，最小值为，此时点共线， ∴此时， ∴的最大值为，最小值为， ∴面积的最大值是，最小值是， 故答案为：3，1． 题型十、费马距离 典例10 数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点． 现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点． 例如：菱形，是对角线上一点，、是边和上的两点，若点满足与之和最小，则称点为类费马点， (1)如图1，在菱形中，，点是上的类费马点， ①为的中点，为的中点，则________． ②为上一动点，为上一动点，且，则________． (2)如图2，在菱形中，，连接，点是的费马点，（即，，之和最小）， ①当时， ________． ②当时，你能找到的费马点吗？画图做简要说明，并求此时的值． 【答案】(1)①；② (2)①； ②如图，将绕点顺时针旋转得，连接， ，，，， 是等边三角形， ， ， 当、在线段上时，的值最小，为的长，且点是的费马点， ，， ， 此时的最小值为． 【分析】（1）①取的中点，连接，根据菱形的定义和线段中点的定义可证明，得到，则，当、、三点共线时，有最小值，为，证明四边形是平行四边形，得到，即可求解；②由①知，，则的最小值为与之间的距离，过点作于，求出即可； （2）①将绕点顺时针旋转得，连接，根据旋转的性质得到是等边三角形，推出，则，当、在线段上时，的值最小，为的长，连接，与的交点为点，与交于点，根据等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理得到，，，则，根据勾股定理以及三线合一求出，即可求解；②将绕点顺时针旋转得，连接，根据旋转的性质得到得到是等边三角形，推出，则，当、在线段上时，的值最小，为的长，且点是的费马点，推出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，取的中点，连接， 四边形是菱形， ，， 为的中点，为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，为， ，， 四边形是平行四边形， ， ； ②由①知，， 、分别为、上的动点， 的最小值为与之间的距离， 如图，过点作于， ， ， ， ， 点是上的类费马点， ； （2）解：①如图，将绕点顺时针旋转得，连接， ，，，， 是等边三角形， ， ， 当、在线段上时，的值最小，为的长， 连接，与的交点为点，与交于点， ，， ， ，， ，， ， ， 同理，， ； ②略 变式10-1阅读理解： 如图①，若所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离． 如图②，若四边形的四个顶点在同一个圆上，则有，此为托勒密定理． (1)请你直接利用托勒密定理，解决如下问题： 如图③，已知点为等边三角形ABC外接圆的上任意一点．求证：． (2)根据结论，我们有如下探寻三角形（其中均小于）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图④，在的外部以为边长作等边三角形及其外接圆； 第二步：在上取一点，连接． 易知__________； 第三步：根据（1）中定义，当在图④中找出的费马点后，线段__________的长度即为的费马距离． 知识应用： (3)已知三村庄A、B、C构成了如图⑤所示的，现选取一点打水井，使水井到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，请在图⑤中作出点（尺规作图，保留作图痕迹），并求输水管总长度的最小值． 【答案】(1) 证明：如图，延长至点，使， ∵在圆内接四边形中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， , ∴, ∴， 即． (2)； (3)输水管总长度的最小值为 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆的基本性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点的融合是解题的关键． （1）延长至点，使，根据角度和边长关系，证出为等边三角形，由两个等边三角形，易证，即可得； （2）根据（1）中的结论进行填空判断即可； （3）以BC为边在的外部作等边，连接，结合角度关系，得出直角三角形，利用勾股定理可得出输水管总长度的最小值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得出，第一步：如图，在的外部以为边长作等边三角形及其外接圆； 第二步：在上取一点，连接． 易知； 第三步：根据（1）中定义，当在图④中找出的费马点后，线段的长度即为的费马距离． （3）解：如图，以为边在的外部作等边，连接， ∴的长就是的费马距离， 可得， ∴， ∴输水管总长度的最小值为． 变式10-2【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． 【答案】 第一步： 证明：∵等边、等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 第二步： 证明：如图②，连接，在线段上取一点Q，使， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （1）证明：由第二步可知：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）的费马距离为 【分析】作图原理：第一步：先证明，进而得出；第二步：连接，并在线段上取一点Q，使；进而得出，即可解决问题； （1）由第二步可得，所以，根据是等边三角形，即可解决问题； （2）过点D作交延长线于点G，证明，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作图原理：证明：第一步：略 第二步：略 （1）略 （2）解：如图②，过点D作交延长线于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的费马距离为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是理解费马距离定义． 变式10-3【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 【理解运用】 （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，可知为_______（选“直角”或“等边”）三角形，故，又，故，由_______（选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”）可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有_______（填写角度数）；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为_______（选“A”或“B”或“C”）点； 【深入探究】 （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点为的“费马点”，求的值． 【答案】（1）等边；两点之间，线段最短；；A；（2）5 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，将三角形进行旋转是解题的关键： （1）根据等边三角形的判定和性质，以及两点之间线段最短，以及旋转的性质和全等三角形的性质，进行作答即可； （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，进而得到当在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：①等边；②两点之间，线段最短；③；④A． 分析如下：， 为等边三角形； ， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ， ， 由旋转可知， ， ， ； ， ， ， 三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又已知当有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点． 该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间，线段最短；③；④A． （2）将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ， ， 又， ， 由旋转性质可知：， ， 最小值为5． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $