专题06 公切线·切点弦·公共弦六大典型问题（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦圆的公切线、切点弦、公共弦六大典型问题，通过分层题型构建从单一圆到两圆关系的知识网络，强化几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线长问题|10题|结合距离公式与勾股定理的计算与最值问题|从点到圆的切线长概念延伸至轨迹方程| |切点弦及其方程|10题|过圆外点引切线的切点弦方程推导与应用|体现圆的切线性质与直线方程的综合| |圆的弦长与中点弦|10题|直线与圆相交的弦长计算及中点弦性质|围绕垂径定理展开的代数化应用| |相交圆的公共弦方程|10题|两圆相交时公共弦方程的推导与应用|通过两圆方程相减实现几何关系代数化| |两圆的公共弦长|10题|公共弦长计算及与圆位置关系的综合|延续公共弦方程，深化距离公式应用| |公切线问题|10题|公切线条数判断及方程求解|从两圆位置关系过渡到公切线几何性质|

专题06 公切线·切点弦·公共弦六大典型问题 题型一 切线长问题 题型二 切点弦及其方程 题型三 圆的弦长与中点弦 题型四 相交圆的公共弦方程 题型五 两圆的公共弦长 题型六 公切线问题 题型一 切线长问题 1．过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则______． 2．（多选）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 3．已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有三个交点 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D．过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 4．（多选）已知圆，点是圆上的点，直线，则（    ） A．直线与圆相交所得弦长是 B．的最大值是 C．圆上恰有个点到直线的距离等于 D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为 5．已知的方程是的方程是，动点到和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是________． 6．已知圆，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点. (1)求四边形QAMB面积的最小值； (2)若，求Q点的坐标. 7．（多选）已知圆，点，则下列说法正确的有（    ） A．圆上有且只有两点到点的距离为 B．圆上存在点，使得 C．若为圆上一动点，则的取值范围为 D．过点可作直线与圆交于两点、，使得 8．已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 9．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为点A，B，圆C的圆心为C，当四边形的面积最小时，（    ） A． B． C． D． 10．已知圆O：，直线l：，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（    ） A．点P到圆O上的点的最小距离为 B．线段PA长度的最小值为 C．的最小值为3 D．存在点P，使得的面积为 题型二 切点弦及其方程 11．设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 12．已知圆及点和点． (1)经过点M的直线l交圆O于C、D两不同点，直线不过圆心，过点C、D分别作圆O的切线，两切线交于点E，求证：点E恒在一条定直线上； (2)设P为满足方程的任意一点，过点P作圆O的一条切线，切点为B．在平面内是否存在一点Q，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标及该定值；若不存在，说明理由． 13．已知直线是圆的对称轴.过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 14．（多选）过点作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（    ） A． B．四边形PAOB的外接圆方程为 C．直线AB方程为y=2x+1 D．三角形PAB的面积为 15．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是________． 16．已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A和B．若圆心O到直线的距离的最大值为，则实数m=________． 17．已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________. 18．过圆O:外一点作圆O的切线，切点分别为A、B，则___________ . 19．（多选）过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于点，，则（ ） A．点恒在以线段为直径的圆上 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为4 20．已知点在抛物线：上运动，圆过点，，，过点引直线，与圆相切，切点分别为，，则的取值范围为__________. 题型三 圆的弦长与中点弦 21．（多选）已知过点的直线l与圆交于A，B两点，O为坐标原点，则（   ） A．的最大值为6 B．的最小值为 C．点O到直线l的距离的最大值为 D．的面积为3 22．直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B．1 C． D．2 23．（多选）已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆相离 C．圆心到直线距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最小值为 24．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为____. 25．已知圆，直线. (1)证明：直线和圆恒有两个交点； (2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程. 26．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 27．（多选）已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线能表示平面直角坐标系内每一条直线 C．对任意实数，直线都与圆相交 D．直线被圆截得的弦长的最小值为 28．已知点在圆上． (1)求该圆的圆心坐标及半径长； (2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 29．已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 30．若圆与直线x＋y＋1＝0相交于A、B两点，则弦的长为______. 题型四 相交圆的公共弦方程 31．在平面直角坐标系中，两点，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程； (3)过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值． 32．已知圆，圆交于两点，在第二象限． (1)求以为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 33．已知圆C的圆心在直线上，且经过点，． (1)求圆C的方程； (2)求圆C与圆M：的公共弦长． 34．已知圆，圆． (1)证明两圆相交，并求两圆公共弦长； (2)已知过点的直线l与圆交于A，B两点，且，求直线l的斜率． 35．若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 36．（多选）已知圆，圆分别是圆与圆上的点，则（    ） A．若圆与圆无公共点，则 B．当时，两圆公共弦所在直线方程为 C．当时，则斜率的最大值为 D．当时，过点作圆两条切线，切点分别为，则不可能等于 37．已知圆与圆相交，则相交弦的长为______. 38．已知圆，圆． (1)讨论圆与圆的位置关系； (2)当时，求圆与圆的公切线的方程． 39．已知两圆和． (1)求两圆的公共弦所在直线的方程； (2)求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 40．过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B.求： (1)经过圆心C，切点A，B这三点的圆的方程； (2)直线的方程； (3)线段的长. 题型五 两圆的公共弦长 41．圆：与圆：相交于、两点，则_________． 42．（多选）已知圆：与圆：，下列说法正确的是（   ） A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若，分别是圆，上的动点，则 43．已知圆：和：. (1)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 44．已知圆与圆交于、两点，且四边形的面积为，则（    ） A． B． C． D． 45．（多选）已知圆：和圆：相交于A，B两点，且点A在x轴上方，则（    ） A． B．过作圆的切线，切线长为 C．过点A且与圆相切的直线方程为 D．圆的弦AC交圆于点D，D为AC的中点，则AC的斜率为 46．（多选）已知P是圆O：上的动点，点Q(1，0)，以P为圆心，PQ为半径作圆P，设圆P与圆O相交于A，B两点．则下列选项正确的是（    ） A．当P点坐标为(2,0)时，圆P的面积最小 B．直线AB过定点 C．点Q到直线AB的距离为定值 D． 47．若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（    ） A． B． C． D． 48．已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是___________． 49．（多选）圆和圆的交点为，，则有（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 C．公共弦的长为 D．圆上存在三个点到直线的距离为 50．（多选）若动点在圆上，动点在圆上，则（    ） A．两圆有3条公切线 B．两圆公共弦所在直线方程为 C．的最大值为 D．两圆公共弦长为 题型六 公切线问题 51．圆：与圆的公切线条数是______． 52．已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是______． 53．已知两圆和. (1)分析两圆位置关系并确定公切线数量； (2)求公切线所在直线方程. 54．已知圆与圆 (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; (2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; (3)若r=1，求圆与圆的公切线方程. 55．已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 56．（多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 57．（多选）已知圆和圆，分别是圆，圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．的取值范围是 C．是圆与圆的一条公切线 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得 58．已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（    ） A．6 B．36 C．10 D． 59．（多选）已知圆和圆相交于､两点，下列说法正确的为（    ） A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．线段的长为 D．圆上点，圆上点，的最大值为 60．已知圆：，圆，其中. （1）若，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程 （2）设圆与圆的公共弦所在直线为l，且圆的圆心到直线l的距离为，求直线l的方程以及公共弦长 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 公切线·切点弦·公共弦六大典型问题 题型一 切线长问题 题型二 切点弦及其方程 题型三 圆的弦长与中点弦 题型四 相交圆的公共弦方程 题型五 两圆的公共弦长 题型六 公切线问题 题型一 切线长问题 1．/ 【详解】，即，故圆心为，半径为． 如图，连接，因为，所以， 故切线长． 连接，由（等面积法）， 解得． 故答案为：. 2．ABD 3．C 4．CD 5． 【详解】设，点到和所引的切线长为， ：的圆心为，半径为 的圆心为，半径为 则，， ，，即． 故答案为： 6．(1) (2) 【详解】（1）如图所示，可得， 所以四边形的面积为， 又由 ，且， 所以，即，所以四边形的面积的最小值为. （2）解：设与交于，则，且，所以， 在直角中，可得，即，所以， 设，可得，解得，所以. 7．BCD 8．C 9．D 10．C 题型二 切点弦及其方程 11．B 12．(1)设，， ∴由，则，即，又， 故，同理， ∴直线为，又在上， ∴，故恒在直线上. (2)存在使为定值，定值为或存在使为定值，定值为. 13．A 14．BD 15． 【详解】设切点分别为，因为点在圆上，所以以为切点的切线方程分别为：，而点在两条切线上，所以，即点P满足直线. 故答案为：. 16．4 【详解】 连接，，，，设与相交于点， 易知被垂直平分，，圆心到直线的距离为， 中，有，即， ∵圆心O到直线的距离的最大值为， 则的最小值为， 依题意，知的最小值为点到直线的距离， ∴，即， ∵，∴. 故答案为：4. 17．(1，－1) 【详解】由题意可设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆O：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得nx＋ny＋4x－4＝0，则有，解得，则直线AB恒过定点(1，－1). 故答案为：(1，－1). 18． 【详解】根据题意，圆O:的圆心为，半径， 若，则， 圆O:外一点做圆O的切线，切点分别为A、B， 则， 故点A、B在以为圆心，半径为的圆上， 该圆的方程为， 联立两个圆的方程： ， 两式作差可得，则直线的方程为， 圆O的圆心O到直线的距离， 则. 故答案为： 19．BCD 20． 【详解】设圆的方程为，将，，分别代入，可得，解得，即圆：； 如图，连接，，，，易得，，， 所以四边形的面积为； 另外四边形的面积为面积的两倍，所以， 故， 故当最小时，最小， 设，则，所以当时，，当正无穷大时，趋近圆的直径4，故的取值范围为. 故答案为：    题型三 圆的弦长与中点弦 21．AD 22．C 23．AD 24． 【详解】圆的圆心，半径， 直线恒过定点，则， 设中点为M，则点M在以为直径的圆上， 设圆心到直线距离为d， 则，， 则的面积为 当即时取得最大值. 则面积的最大值为. 故答案为： 25．(1)直线，即， 联立解得所以不论取何值，直线必过定点. 圆，圆心坐标为，半径， 因为，所以点在圆内部， 则直线与圆恒有两个交点. (2)最小值为，此时直线方程为 26．（中任意一个皆可以） 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 27．ACD 28．(1)圆心坐标为，半径长为 (2) 【详解】（1）因为点在圆上， 所以，解得， 所以该圆的标准方程为， 所以该圆的圆心坐标为，半径长为； （2）因为直线过点，斜率为， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以. 29．C 30． 【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离， 故. 故答案为： 题型四 相交圆的公共弦方程 31．(1)(2)(3)． 【详解】（1）设，由可得， 化简可得， 所以点的轨迹的方程为． （2）曲线的方程为，即． 方法一：设经过两圆交点的圆系方程为， 即，所以圆心的坐标为． 又圆心在直线上，所以，解得， 所以所求圆的方程为，即． 方法二：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，，所以两圆相交. 由，两式相减得两圆的公共弦所在直线为． 由，解得 ，，所以两圆的交点为． 线段的垂直平分线所在直线的方程为， 由，得 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为． （3）如图，设直线的方程为， 联立，消去并整理可得， 则，得．    设，则， 由弦长公式可得 ． 又到直线的距离， 所以． 令，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为． 32．(1)(2) 【详解】（1）根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4，两圆方程相减得，所以直线的方程为． 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为． （2）A在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点分别在圆和圆上，易知直线的斜率存在，设直线的方程是，即，则点到直线的距离为，点到直线的距离为． 因为，所以，解得， 所以直线的方程为． 33．(1)(2) 【详解】（1）记点，线段的中垂线方程为：， 圆C经过A，B，所以圆心C在直线上，又因为圆心C在直线上， 所以圆心C的坐标为（2，－2）， 半径，所以圆C的方程为：. （2）设圆C与圆M相交与E，F两点，则直线EF的方程为： ， 即：， 圆心M到直线的距离， 所以，，即公共弦长为. 34．(1)证明见解析，(2)或． 【详解】（1）如图： 圆化成标准方程为，圆心，半径， 圆化成标准方程为，圆心，半径， 由，所以两圆相交， 两圆方程作差得． 即公共弦所在直线的方程为． 圆的圆心到公共弦所在直线的距离为：， 所以公共弦长为：. （2）由题可知，设，， ①当直线斜率不存在时，直线与交点在y轴上，显然不满足题意. ②当直线斜率存在时，设直线l方程为：， 将代入，得， 整理得，，， 由一元二次方程根与系数的关系得，， ． 由可得， 化简得，即，解得或． 35．B 36．BC 37． 【详解】设两圆相交弦所在直线为，则直线的方程为， 即到直线的距离，则相交弦的长为. 故答案为： 38．(1)当或时，圆与圆内含；当或时，圆与圆内切；当时，圆与圆相交.(2)，或. 【详解】（1）由题意知， ，两圆的半径分别为和4， ①当，即， 解得或时，圆与圆内含； ②当，即， 解得或时，圆与圆内切； ③当，即， 解得时，圆与圆相交； ④当时，，无解， 即圆与圆不可能外切也不可能外离． 综上所述，当或时，圆与圆内含； 当或时，圆与圆内切； 当时，圆与圆相交. （2）当时，由（1）得圆与圆相交，由图可知公切线的斜率存在， 法一：设圆，圆的公切线的方程为，即， 则由直线与两圆都相切可得， ，所以， 则，或 即或，分别代入， 得或（无解），解得， 所以，或. 则公切线方程为或， 即为，或. 法二：因为两圆圆心都在轴上， 则由对称性可知，两公切线关于轴对称，且交点在轴上，设为点， 如图，，则与相似， 则有，又由, 得，所以有， 解得，即， 设公切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得， 则公切线方程为或， 即为，或. 39．(1)(2) 【详解】（1）解：由圆和， 两个圆的方程相减，可得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为． （2）解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为， 由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上， 由方程组，解得， 又由方程组，解得或， 即两个圆的交点为或， 即所求圆的圆心坐标为，半径， 所以所求圆的方程为. 40．(1)(2)(3) 【详解】（1）如图所示，连接， 由平面几何知，，，点P，A，C，B共圆，且为直径.    因为，，所以所求圆的方程的圆心为中点， 即，半径为， 所以所求圆的方程为，即. （2）直线为这两个圆的公共弦所在直线， 由与相减，可得的方程为. （3）设AB，PC交于点Q， 则， 由垂径定理得. 题型五 两圆的公共弦长 41．4 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 有圆：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 42．BD 43．(1)圆和圆的公共弦所在直线的方程为：，弦长为. (2)或 【详解】（1）由题意可知：将两圆方程相减可得：， 也即，故圆和圆的公共弦所在直线的方程为， 圆：可化为， 圆心坐标，半径， 由点到直线的距离公式可得： 到公共弦的距离， 由垂径定理可知：公共弦长， （2）由（1）知：圆： ， 圆心坐标，半径， 过点作圆的切线方程，当切线斜率不存在时，切线方程为； 当切线斜率存在时，设切线方程为，也即， 由点到直线的距离公式可得：， 解得：，所以此时切线方程为：， 综上：过点且与圆相切的直线方程为或. 44．C 45．ACD 46．ACD 47．D 48． 【详解】由题意所在的直线方程为：，即. 将圆转化为标准方程得，即圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 由圆的几何性质可得． 故答案为：. 49．ABD 50．BC 题型六 公切线问题 51．3 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径． 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条． 52．3或 【详解】因为两圆有一条公切线，所以两圆内切． 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 而两圆圆心距，即， 解得的值为3或． 故答案为：3或 53．(1)两圆内切，只有一条公切线(2) 【详解】（1），圆心，半径； ，圆心，半径， ， 所以两圆内切，只有一条公切线. （2）与 ， 两圆方程相减得：，化简即为：， 所以两圆公切线直线方程：. 54．(1)；(2)；(3)，，. 【详解】（1）圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为4， 由圆与圆有两个不同的交点，得，而， 因此，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，圆，此时圆与圆相交，两圆方程相减得直线方程， 点到直线的距离， 所以. （3）当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线， 显然切线的斜率存在，设方程为，则， 整理得或，解，得 解，得或， 因此内公切线的方程为，即； 外公切线的方程为，的方程为，即， 所以圆与圆的公切线方程为，，. 55．(1)(2)相交；或 【详解】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 56．ACD 57．ABD 58．B 59．ABD 60．（1）两圆内切，；（2）直线l的方程为，公共弦长为. 【详解】（1）当时， 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 圆心距，所以两圆内切； 因为两圆内切，所以公切线只有一条， 两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到：； （2）两圆公共弦所在直线l的方程为：， 圆的圆心到直线l的距离， 于是，或舍， 所以直线l的方程为； 因为圆半径，弦心距， 由勾股定理可得半弦长为， 所以公共弦长为. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 公切线·切点弦·公共弦六大典型问题 题型一 切线长问题 题型二 切点弦及其方程 题型三 圆的弦长与中点弦 题型四 相交圆的公共弦方程 题型五 两圆的公共弦长 题型六 公切线问题 题型一 切线长问题 1．过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则______． 【答案】/ 【分析】先确定圆的圆心坐标和半径，根据图形上的几何关系和等面积法求出. 【详解】，即，故圆心为，半径为． 如图，连接，因为，所以， 故切线长． 连接，由（等面积法）， 解得． 故答案为：. 2．（多选）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 【答案】ABD 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离即可判断AB，根据圆上切线特点即可判断C，再根据切线长的计算公式可得最值，即可判断D. 【详解】A选项：如图所示，由已知圆，则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，A选项正确； B选项：由A知弦长为，B选项正确； C选项：当直线的斜率存在且不为0时，此时斜率为， 则切线斜率为，此时切线方程为， 即，即， 当直线的斜率不存在或为0时，切线方程适合上式， 故过点P的圆O的切线方程是，故C错误； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 当三点共线，且P在O，M之间时取等号， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 3．已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有三个交点 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 D．过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 【答案】C 【分析】将直线的方程化为，由可求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；判断定点与圆的位置关系，可判断B选项；求出与直线平行且距离为的直线方程，并判断所求直线与圆的位置关系，可判断C选项；求出的值，分析可知，当直线与直线垂直时，取最小值，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方程可化为， 由可得，所以，直线恒过定点，A错； 对于B选项，因为，则点在圆内， 所以，直线与圆有两个交点，B错； 对于C选项，当时，直线的方程为， 设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得， 圆心为，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 所以，直线、都与圆相交， 所以，当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于，C对； 对于D选项，因为直线与直线平行， 则，解得， 即点在直线上，连接，则， 由勾股定理可得， 当直线与直线垂直时，取最小值， 且，则，D错. 故选：C. 4．（多选）已知圆，点是圆上的点，直线，则（    ） A．直线与圆相交所得弦长是 B．的最大值是 C．圆上恰有个点到直线的距离等于 D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为 【答案】CD 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据的几何意义可得最值，再根据切线长的计算公式可得最值. 【详解】    如图所示， 由已知圆，则圆心，半径， A选项：圆心到直线的距离， 则弦长为，A错； B选项：可表示点与点连线的斜率， 易知当直线与圆相切时，斜率取得最值， 设斜率，则直线，即， 则，解得， 所以，其最大值为，B错； C选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，正确； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：CD. 5．已知的方程是的方程是，动点到和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是________． 【答案】 【分析】设，点到和所引的切线长为，表示出，，相减化简可得答案. 【详解】设，点到和所引的切线长为， ：的圆心为，半径为 的圆心为，半径为 则，， ，，即． 故答案为： 6．已知圆，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点. (1)求四边形QAMB面积的最小值； (2)若，求Q点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到四边形的面积为，结合圆的切线长公式，即可求解； （2）根据题意，得到，在直角中，得到，设，得到方程，进而求得点的坐标. 【详解】（1）如图所示，可得， 所以四边形的面积为， 又由 ，且， 所以，即，所以四边形的面积的最小值为. （2）解：设与交于，则，且，所以， 在直角中，可得，即，所以， 设，可得，解得，所以. 7．（多选）已知圆，点，则下列说法正确的有（    ） A．圆上有且只有两点到点的距离为 B．圆上存在点，使得 C．若为圆上一动点，则的取值范围为 D．过点可作直线与圆交于两点、，使得 【答案】BCD 【分析】利用原与圆的位置关系可判断A选项；过点作圆的切线，切点为点，连接，则，求出的值，可判断B选项；设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及直线与圆的位置关系可判断C选项；利用切割线定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，以点为圆心，半径为的圆的方程为， 则圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为， 所以，圆与圆外切，故圆上有且只有一点到点的距离为，A错； 对于B选项，过点作圆的切线，切点为点，连接，则，    所以，，故当直线与圆相切时，，B对； 对于C选项，设点，则，， 所以，， 令，即， 则直线与圆有公共点， 所以，，解得，C对； 对于D选项，若，设，则， 过点作圆的切线，则切线长为， 由切割线定理可得，解得， 所以，，则， 所以，过点可作直线与圆交于两点、，使得，D对. 故选：BCD. 8．已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】连接，，当最小时，最小，计算点到直线的距离得到答案. 【详解】如图所示：连接，则， 当最小时，最小，， 故的最小值为. 故选：C. 9．已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为点A，B，圆C的圆心为C，当四边形的面积最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分析得四边形的面积最小时，最小，利用圆心到直线的距离来求得的最小值，利用等面积法求得此时的长. 【详解】圆C化为，∴圆心为，半径为4. 若使四边形的面积最小，则需使的面积最小，即最小， ∴最小，即求C到直线l的距离，， 此时，， ， ∴. 故选：D 10．已知圆O：，直线l：，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（    ） A．点P到圆O上的点的最小距离为 B．线段PA长度的最小值为 C．的最小值为3 D．存在点P，使得的面积为 【答案】C 【分析】根据给定条件结合圆的性质、圆的切线长定理逐项分析各个选项，计算判断作答. 【详解】圆O：的圆心，半径，如图， 对于A，点O到直线l的距离，则点P到圆O上的点的最小距离为，A不正确； 对于B，由选项A知，，由切线长定理得，B不正确； 对于C，依题意，，在中，， 则， 由选项B知，，而函数在上单调递增，则当时，，C正确； 对于D，， ，由选项B知，显然对单调递增， 因此，当时，，D不正确. 故选：C 题型二 切点弦及其方程 11．设点P为直线l：上任意一点，过点P作圆O：的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点. 【详解】如图，连接，， 根据题意，设为直线上的一点，则， 由于为圆的切线，则有，， 则点、在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径， 则其方程为，变形可得， 联立可得直线AB：， 又由，则有AB：， 变形可得， 则有，解可得，故直线恒过定点. 故选：B. 12．已知圆及点和点． (1)经过点M的直线l交圆O于C、D两不同点，直线不过圆心，过点C、D分别作圆O的切线，两切线交于点E，求证：点E恒在一条定直线上； (2)设P为满足方程的任意一点，过点P作圆O的一条切线，切点为B．在平面内是否存在一点Q，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标及该定值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 设，， ∴由，则，即，又， 故，同理， ∴直线为，又在上， ∴，故恒在直线上. (2)存在使为定值，定值为或存在使为定值，定值为. 【分析】（1）设，，由、可得、 ，即可知的方程，再由点在直线上即可证结论，并确定所在的直线. （2）若，由题设可知，为了验证平面内是否存在一个点，使得为定值，可以假设存在使为定值，利用两点距离公式、圆的切线性质整理可得，要使多项式方程不受点位置影响，需使该多项式方程各项的系数为0，列方程求参数即可判断的存在性. 【详解】（1）略 （2）由题设，若则，整理可得， 若存在，使为定值， 而，， ∴，整理得， ∴， 整理得， 要使为定值，则，解得或. 综上，存在或，使为定值， 即存在使为定值，定值为； 或存在，使为定值，定值为. 13．已知直线是圆的对称轴.过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线l为圆C的对称轴得直线l经过圆心C，从而确定参数a的值；再求解线段AC及切线长，进而写出以点A为圆心，以切线长为半径的圆的方程，两圆作差即可得直线BD的方程. 【详解】根据题意，圆C的标准方程为，即圆心为 C(2,1)，半径为2. 点(2,1)在直线上，即 点A的坐标为(-4,-1) 过点A作圆C的切线所得切线长为 以点A为圆心，6为半径的圆A的方程为 圆A与圆C的方程作差得，即直线BD的方程为 故选：A. 14．（多选）过点作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（    ） A． B．四边形PAOB的外接圆方程为 C．直线AB方程为y=2x+1 D．三角形PAB的面积为 【答案】BD 【分析】对A，算出，进而结合勾股定理求得答案； 对B，根据可以得出PO为所求圆的直径，进而算出圆心和半径求得答案； 对C，根据即可求得答案； 对D，容易知道，进而算出直线的交点坐标，然后结合根据三角形的面积公式求出答案. 【详解】对A，，由勾股定理，.A错误； 对B，由题意可知，，则PO为所求圆的直径，线段PO的中点为，半径为，于是，所求圆的方程为：.B正确； 对C，由题意，其中一个切点的坐标为，不妨设为点B，则，而，则，于是，直线AB的方程为：.C错误； 对D，易知，因为，，联立解得两条直线的交点，则，， 所以三角形的面积为：，则三角形PAB的面积为. 故选：BD. 15．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是________． 【答案】 【分析】根据题意，设出切点，根据切点在圆上，得到两条切线方程，进而根据点P在两条切线上，最后求得答案. 【详解】设切点分别为，因为点在圆上，所以以为切点的切线方程分别为：，而点在两条切线上，所以，即点P满足直线. 故答案为：. 16．已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A和B．若圆心O到直线的距离的最大值为，则实数m=________． 【答案】4 【分析】由平面几何知识可知圆心O到直线的距离的最大时，的最小，利用点到直线的距离公式即得. 【详解】 连接，，，，设与相交于点， 易知被垂直平分，，圆心到直线的距离为， 中，有，即， ∵圆心O到直线的距离的最大值为， 则的最小值为， 依题意，知的最小值为点到直线的距离， ∴，即， ∵，∴. 故答案为：4. 17．已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________. 【答案】(1，－1) 【分析】设Q的坐标为(m，n)，根据方程，写出切点弦AB所在直线方程，利用的关系，求得动直线恒过的定点坐标. 【详解】由题意可设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆O：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得nx＋ny＋4x－4＝0，则有，解得，则直线AB恒过定点(1，－1). 故答案为：(1，－1). 18．过圆O:外一点作圆O的切线，切点分别为A、B，则___________ . 【答案】 【分析】根据题意，由切线长公式可得，则点A、B在以为圆心，半径为的圆上，求出该圆方程，与圆的方程联立可得直线的方程，结合直线与圆的位置关系可得答案. 【详解】根据题意，圆O:的圆心为，半径， 若，则， 圆O:外一点做圆O的切线，切点分别为A、B， 则， 故点A、B在以为圆心，半径为的圆上， 该圆的方程为， 联立两个圆的方程： ， 两式作差可得，则直线的方程为， 圆O的圆心O到直线的距离， 则. 故答案为： 19．（多选）过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于点，，则（ ） A．点恒在以线段为直径的圆上 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】BCD 【分析】对于A，由动点及圆的性质即可判断； 对于B，连接，利用切线的性质将四边形的面积用表示，进而利用点到直线的距离公式求解； 对于C，由点，在以为直径的圆上可求得直线的方程，进而得到该直线过定点，最后数形结合即可得解； 对于D，先由直线的方程得到点，的坐标，进而得到，最后利用基本不等式即可求解． 【详解】对于A，在四边形中，不一定是直角，故A错误； 对于B，连接，由题易知，所以四边形的面积，又的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形面积的最小值为，B正确； 设，则以线段为直径的圆的方程是，与圆的方程相减，得，即直线的方程为，又点在直线上，所以，则，代入直线的方程，得，即，令，则，得，，所以直线过定点，所以，数形结合可知的最小值为，C正确； 在中，分别令，得到点，，所以，因为点在直线上，所以且，，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，D正确． 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：与圆的切线有关的结论： （1）过圆上一点的切线方程为； （2）过圆：外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线的方程为． 20．已知点在抛物线：上运动，圆过点，，，过点引直线，与圆相切，切点分别为，，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先由已知条件求出圆的方程，然后画出图形，则由圆的性质可得，，，所以四边形的面积为，而四边形的面积为面积的两倍，从而得，进而有，由此可求出的最小值，而当当正无穷大时，趋近圆的直径4，从而可得结果 【详解】设圆的方程为，将，，分别代入，可得，解得，即圆：； 如图，连接，，，，易得，，， 所以四边形的面积为； 另外四边形的面积为面积的两倍，所以， 故， 故当最小时，最小， 设，则，所以当时，，当正无穷大时，趋近圆的直径4，故的取值范围为. 故答案为：    题型三 圆的弦长与中点弦 21．（多选）已知过点的直线l与圆交于A，B两点，O为坐标原点，则（   ） A．的最大值为6 B．的最小值为 C．点O到直线l的距离的最大值为 D．的面积为3 【答案】AD 【分析】求得圆的圆心坐标为，半径为，结合圆的性质和圆的弦长公式，三角形面积公式，即可分别求解． 【详解】 由题意，圆的圆心坐标为，半径为， 又，点在圆内部， 因为过点的直线与圆交于，两点， 所以的最大值为，所以A正确； 因为， 当直线与垂直时，此时弦取得最小值， 最小值为，所以B错误； 当直线与垂直时，点到直线的距离有最大值， 且最大值为，所以C错误； 由，可得，即， 所以的面积为，所以D正确． 故选：AD． 22．直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据圆的方程，写出圆心和半径，利用点到直线的距离公式，求得弦心距，利用弦长公式，可得答案. 【详解】由圆的方程，则其圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 则弦长. 故选：C. 23．（多选）已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆相离 C．圆心到直线距离的最大值是 D．直线被圆截得的弦长最小值为 【答案】AD 【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可. 【详解】对于A，因为：，即， 令，即，得，所以直线过定点，故A正确；    对于B，因为， 所以定点在圆：内部，所以直线与圆相交，故B错误； 对于C，因为圆：，可化为，圆心， 当圆心与定点的连线垂直于直线时，圆心到直线距离取得最大值， 此时其值为，故C错误； 对于D，由弦长公式可知，当圆心到直线距离最大时，弦长取得最小值， 所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故D正确. 故选：AD. 24．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为____. 【答案】 【分析】先求得面积的表达式，再利用二次函数的性质即可求得面积的最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 直线恒过定点，则， 设中点为M，则点M在以为直径的圆上， 设圆心到直线距离为d， 则，， 则的面积为 当即时取得最大值. 则面积的最大值为. 故答案为： 25．已知圆，直线. (1)证明：直线和圆恒有两个交点； (2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1) 直线，即， 联立解得所以不论取何值，直线必过定点. 圆，圆心坐标为，半径， 因为，所以点在圆内部， 则直线与圆恒有两个交点. (2)最小值为，此时直线方程为 【分析】（1）先求直线所过定点，然后判断定点在圆内即可得证； （2）根据直线垂直于时，有最小值可解. 【详解】（1）略 （2）直线经过圆内定点，圆心， 记圆心到直线的距离为d. 因为，所以当d最大时，取得最小值， 所以当直线时，被圆截得的弦最短， 此时， 因为，所以直线的斜率为，又直线过点， 所以当取得最小值时，直线的方程为，即， 综上：最小值为，此时直线方程为.    26．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 【答案】（中任意一个皆可以） 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 27．（多选）已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线能表示平面直角坐标系内每一条直线 C．对任意实数，直线都与圆相交 D．直线被圆截得的弦长的最小值为 【答案】ACD 【分析】A选项，变形后联立方程组，求出所过定点；B选项，在A的基础上，得到直线不能表示直线，也不能表示不过点的直线；C选项，由点到直线距离公式得到在圆内，从而得到直线都与圆相交；D选项，根据几何关系得到弦长最值. 【详解】对于A：直线的方程可化为， 联立，解得 所以直线恒过定点，∴A正确； 对于B：由A可知，直线不能表示直线，也不能表示不过点的直线，∴B错误； 对于C，因为，故直线恒过圆内一点，所以直线与圆相交，∴C正确； 对于D，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，因为， 所以最短弦长为，∴D正确． 故选：ACD． 28．已知点在圆上． (1)求该圆的圆心坐标及半径长； (2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 【答案】(1)圆心坐标为，半径长为 (2) 【分析】（1）先根据点在圆上求出参数，再将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径； （2）先写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得解. 【详解】（1）因为点在圆上， 所以，解得， 所以该圆的标准方程为， 所以该圆的圆心坐标为，半径长为； （2）因为直线过点，斜率为， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以. 29．已知直线与圆相交于M，N两点.则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】先求出圆心和半径，以及直线的定点，利用圆的几何特征可得到当时，最小 【详解】由圆的方程，可知圆心，半径， 直线过定点， 因为，则定点在圆内， 则点和圆心连线的长度为， 当圆心到直线距离最大时，弦长最小，此时， 由圆的弦长公式可得， 故选：C 30．若圆与直线x＋y＋1＝0相交于A、B两点，则弦的长为______. 【答案】 【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离为，再根据弦长公式计算得到答案. 【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离， 故. 故答案为： 题型四 相交圆的公共弦方程 31．在平面直角坐标系中，两点，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程； (3)过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）设，根据已知列方程化简可得； （2）法一：根据已知圆，利用圆系方程设出所求，根据圆心在已知圆上即可得解；法二：求出公共弦所在直线方程，然后求出交点坐标即可得解； （3）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，结合基本不等式求解可得. 【详解】（1）设，由可得， 化简可得， 所以点的轨迹的方程为． （2）曲线的方程为，即． 方法一：设经过两圆交点的圆系方程为， 即，所以圆心的坐标为． 又圆心在直线上，所以，解得， 所以所求圆的方程为，即． 方法二：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，，所以两圆相交. 由，两式相减得两圆的公共弦所在直线为． 由，解得 ，，所以两圆的交点为． 线段的垂直平分线所在直线的方程为， 由，得 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为． （3）如图，设直线的方程为， 联立，消去并整理可得， 则，得．    设，则， 由弦长公式可得 ． 又到直线的距离， 所以． 令，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为． 32．已知圆，圆交于两点，在第二象限． (1)求以为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆方程相减得公共弦所在直线方程，再根据已知两圆心得出中点坐标（即所求圆圆心坐标），求出半径后可得圆方程； （2）设直线的方程是，由几何法求弦长，再由弦长相等求得，从而得直线方程． 【详解】（1）根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4，两圆方程相减得，所以直线的方程为． 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为． （2）A在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点分别在圆和圆上，易知直线的斜率存在，设直线的方程是，即，则点到直线的距离为，点到直线的距离为． 因为，所以，解得， 所以直线的方程为． 33．已知圆C的圆心在直线上，且经过点，． (1)求圆C的方程； (2)求圆C与圆M：的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段的中垂线与圆心所在的直线的交点求出圆心坐标，再由两点间距离公式求出半径，可得圆的标准方程； （2）两圆相减得到圆的公共弦方程，再由点到直线的距离公式求出圆心M到直线的距离，最后由勾股定理求弦长即可； 【详解】（1）记点，线段的中垂线方程为：， 圆C经过A，B，所以圆心C在直线上，又因为圆心C在直线上， 所以圆心C的坐标为（2，－2）， 半径，所以圆C的方程为：. （2）设圆C与圆M相交与E，F两点，则直线EF的方程为： ， 即：， 圆心M到直线的距离， 所以，，即公共弦长为. 34．已知圆，圆． (1)证明两圆相交，并求两圆公共弦长； (2)已知过点的直线l与圆交于A，B两点，且，求直线l的斜率． 【答案】(1)证明见解析， (2)或． 【分析】（1）确定两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和差的关系确定两圆的位置关系；两圆方程相减，可得公共弦所在的直线方程，根据“几何法”可求两圆的公共弦长. （2）先讨论直线斜率不存在的情况，再研究直线斜率存在时，可设直线，代入圆的方程，根据韦达定理得到，，进而表示出，由就是可求的值. 【详解】（1）如图： 圆化成标准方程为，圆心，半径， 圆化成标准方程为，圆心，半径， 由，所以两圆相交， 两圆方程作差得． 即公共弦所在直线的方程为． 圆的圆心到公共弦所在直线的距离为：， 所以公共弦长为：. （2）由题可知，设，， ①当直线斜率不存在时，直线与交点在y轴上，显然不满足题意. ②当直线斜率存在时，设直线l方程为：， 将代入，得， 整理得，，， 由一元二次方程根与系数的关系得，， ． 由可得， 化简得，即，解得或． 35．若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断两圆相交，再将两圆方程相减即得公共弦所在直线的方程. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径 ∵，∴圆与圆相交， 两圆相减，化简得直线，即为圆与圆的公共弦所在直线，故B正确. 故选：B. 36．（多选）已知圆，圆分别是圆与圆上的点，则（    ） A．若圆与圆无公共点，则 B．当时，两圆公共弦所在直线方程为 C．当时，则斜率的最大值为 D．当时，过点作圆两条切线，切点分别为，则不可能等于 【答案】BC 【分析】对于A，当两圆内含时即可判断错误；对于B，两圆方程相减即可验算；对于C，画出公切线通过数形结合即可验算；对于D，画出圆两条切线，通过数形结合即可验算. 【详解】对于选项A，当两圆内含时，可以无穷大，所以A不正确； 当时两圆相交，两圆的方程作差可以得公共弦的直线方程为，所以B为正确选项； 对于选项B，当时如图，     和为两条内公切线，且， 由平面几何知识可知， 所以可得， 即斜率的最大值为，C选项正确； 对于D选项，如图，    点P在位置时， 点在位置时， 所以中间必然有位置使得，故D错误. 故选：BC. 37．已知圆与圆相交，则相交弦的长为______. 【答案】 【分析】运用两圆相交得到相交弦直线方程，再借助垂径定理和勾股定理计算即可. 【详解】设两圆相交弦所在直线为，则直线的方程为， 即到直线的距离，则相交弦的长为. 故答案为： 38．已知圆，圆． (1)讨论圆与圆的位置关系； (2)当时，求圆与圆的公切线的方程． 【答案】(1)当或时，圆与圆内含；当或时，圆与圆内切；当时，圆与圆相交. (2)，或. 【分析】（1）求两圆圆心距及半径，利用几何法判断两圆位置关系； （2）先判断两圆位置关系，法一，设出公切线方程，由切线分别与两圆相切建立等量关系待定系数即可；法二，由相似性质与半径比，可得到公切线与轴交点坐标，再由交点设出点斜式方程待定斜率即可. 【详解】（1）由题意知， ，两圆的半径分别为和4， ①当，即， 解得或时，圆与圆内含； ②当，即， 解得或时，圆与圆内切； ③当，即， 解得时，圆与圆相交； ④当时，，无解， 即圆与圆不可能外切也不可能外离． 综上所述，当或时，圆与圆内含； 当或时，圆与圆内切； 当时，圆与圆相交. （2）当时，由（1）得圆与圆相交，由图可知公切线的斜率存在， 法一：设圆，圆的公切线的方程为，即， 则由直线与两圆都相切可得， ，所以， 则，或 即或，分别代入， 得或（无解），解得， 所以，或. 则公切线方程为或， 即为，或. 法二：因为两圆圆心都在轴上， 则由对称性可知，两公切线关于轴对称，且交点在轴上，设为点， 如图，，则与相似， 则有，又由, 得，所以有， 解得，即， 设公切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得， 则公切线方程为或， 即为，或. 39．已知两圆和． (1)求两圆的公共弦所在直线的方程； (2)求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆的方程相减，即可得公共弦所在直线的方程； （2）根据题意，得到所求圆的圆心在直线上，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可的圆的方程. 【详解】（1）解：由圆和， 两个圆的方程相减，可得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为． （2）解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为， 由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上， 由方程组，解得， 又由方程组，解得或， 即两个圆的交点为或， 即所求圆的圆心坐标为，半径， 所以所求圆的方程为. 40．过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B.求： (1)经过圆心C，切点A，B这三点的圆的方程； (2)直线的方程； (3)线段的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作出辅助线，得到点P，A，C，B共圆，为直径，从而得到圆心和半径，得到圆的方程； （2）直线为这两个圆的公共弦所在直线，两圆相减即可求解； （3）利用点到直线距离求出，由垂径定理求出的长. 【详解】（1）如图所示，连接， 由平面几何知，，，点P，A，C，B共圆，且为直径.    因为，，所以所求圆的方程的圆心为中点， 即，半径为， 所以所求圆的方程为，即. （2）直线为这两个圆的公共弦所在直线， 由与相减，可得的方程为. （3）设AB，PC交于点Q， 则， 由垂径定理得. 题型五 两圆的公共弦长 41．圆：与圆：相交于、两点，则_________． 【答案】4 【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可. 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 有圆：，可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 故答案为：4. 42．（多选）已知圆：与圆：，下列说法正确的是（   ） A．与的公切线恰有4条 B．与相交弦的方程为 C．与相交弦的弦长为 D．若，分别是圆，上的动点，则 【答案】BD 【分析】判断出两圆的位置关系即可判断A，由两圆的方程作差，即可判断B，由圆的弦长公式即可判断C，由即可判断D. 【详解】对于A，由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ，， 故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误； 对于B，做差可得与相交弦的方程为，故B正确； 对于C，到相交弦的距离为， 故相交弦的弦长为，故C错误； 对于D，若，分别是圆，上的动点， 因为， 则，故D正确. 故选：BD 43．已知圆：和：. (1)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1)圆和圆的公共弦所在直线的方程为：，弦长为. (2)或 【分析】(1)将两圆作差可得公共弦方程，再利用垂径定理即可求解公共弦长； (2)当直线斜率不存在时符合题意，当直线斜率存在时，设其方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】（1）由题意可知：将两圆方程相减可得：， 也即，故圆和圆的公共弦所在直线的方程为， 圆：可化为， 圆心坐标，半径， 由点到直线的距离公式可得： 到公共弦的距离， 由垂径定理可知：公共弦长， （2）由（1）知：圆： ， 圆心坐标，半径， 过点作圆的切线方程，当切线斜率不存在时，切线方程为； 当切线斜率存在时，设切线方程为，也即， 由点到直线的距离公式可得：， 解得：，所以此时切线方程为：， 综上：过点且与圆相切的直线方程为或. 44．已知圆与圆交于、两点，且四边形的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，分析可知点为的中点，由四边形的面积为，可得出的长，利用勾股定理可得出关于的等式，解出的值，即可求得. 【详解】如下图所示： 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 由题意可知，，，，， 所以，，所以，， 设，则为的中点， 故四边形的面积为，则， 故，所以，， ，又因为， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 45．（多选）已知圆：和圆：相交于A，B两点，且点A在x轴上方，则（    ） A． B．过作圆的切线，切线长为 C．过点A且与圆相切的直线方程为 D．圆的弦AC交圆于点D，D为AC的中点，则AC的斜率为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求出点A，B的坐标，再结合圆的性质逐项分析、计算判断作答. 【详解】依题意，由解得，则， 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ，A正确； 过作圆的切线，切线长为，B不正确； 直线的斜率为，过点A且与圆相切的直线斜率为，该切线方程为， 即，C正确； 因D为圆的弦AC的中点，则，于是得点D在以线段为直径的圆上， 而点D在圆上，则由得直线的方程，其斜率为，D正确. 故选：ACD 46．（多选）已知P是圆O：上的动点，点Q(1，0)，以P为圆心，PQ为半径作圆P，设圆P与圆O相交于A，B两点．则下列选项正确的是（    ） A．当P点坐标为(2,0)时，圆P的面积最小 B．直线AB过定点 C．点Q到直线AB的距离为定值 D． 【答案】ACD 【分析】A由题意圆P的面积最小只需最小，结合圆的性质判断；B应用特殊点，讨论为圆O在x轴交点分别判断直线的位置即可判断；C由两圆相交弦所在直线的求法确定直线，再由点线距离公式判断；D由垂直平分，结合弦心距、半径、弦长关系得到关于圆P半径的表达式，结合二次函数性质求范围. 【详解】A：根据圆的性质知：P点坐标为(2,0)时最小，此时圆P的面积最小，正确； B：若圆P的半径为且， 如下图，当为圆O在x轴右侧交点，此时，显然直线垂直于x轴，在点右侧； 如下图，当为圆O在x轴左侧交点，此时，显然直线也垂直于x轴，在点左侧； 所以直线不可能过定点，错误； C：由对称性，不妨设，则， 所以圆P方程为，又直线为两圆相交弦， 则圆P、圆O相减并整理得：直线， 所以Q到直线AB的距离为定值，正确； D：由题意，与交于C且垂直平分， 令，则，可得，故， 所以，正确； 故选：ACD 47．若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析出AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，， 当的坐标为时，， 由余弦函数的单调性确定时，最大，此时最大，最大值为. 【详解】可化为， 故圆N的圆心为，半径为， 由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1， 所以且，故， 当的坐标为时，， 在△NAB中，， 又，在上单调递减， 故为锐角，且当时，最大， 又在上单调递增， 所以当最大时，取得最大值，且最大值为， 故选：D 48．已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是___________． 【答案】 【分析】根据两圆的方程作差可得弦所在直线方程，利用圆的几何性质求出弦长即可. 【详解】由题意所在的直线方程为：，即. 将圆转化为标准方程得，即圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 由圆的几何性质可得． 故答案为：. 49．（多选）圆和圆的交点为，，则有（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 C．公共弦的长为 D．圆上存在三个点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】求得公共弦所在直线方程判断选项A；求得到直线距离的最大值判断选项B；求得公共弦的长判断选项C；求得圆心到直线的距离进而可判断选项D. 【详解】圆的圆心，半径 选项A：由和两式怍差得 则公共弦所在直线方程为.判断正确； 选项B：圆心到直线的距离为 则圆上动点到直线距离的最大值为.判断正确； 选项C：公共弦的长.判断错误； 选项D：圆心到直线的距离为 又圆的半径， 则圆上存在三个点到直线的距离为.判断正确. 故选：ABD 50．（多选）若动点在圆上，动点在圆上，则（    ） A．两圆有3条公切线 B．两圆公共弦所在直线方程为 C．的最大值为 D．两圆公共弦长为 【答案】BC 【分析】求出圆和圆的圆心、半径，判断两圆的位置关系，再逐项分析计算作答. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ，即，因此，圆与圆相交， 圆与圆只有两条公切线，A不正确； 两圆的方程相减得：，即两圆公共弦所在直线方程为，B正确； 由圆的性质得：，C正确； 点到直线的距离，则有两圆公共弦长为，D不正确. 故选：BC 题型六 公切线问题 51．圆：与圆的公切线条数是______． 【答案】3 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径． 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条． 52．已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是______． 【答案】3或 【分析】由题意可得两圆内切，然后求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，由圆心距等于两半径的差列方程求解即可. 【详解】因为两圆有一条公切线，所以两圆内切． 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 而两圆圆心距，即， 解得的值为3或． 故答案为：3或 53．已知两圆和. (1)分析两圆位置关系并确定公切线数量； (2)求公切线所在直线方程. 【答案】(1)两圆内切，只有一条公切线 (2) 【分析】（1）通过两个圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断两个圆的位置关系，进而判断两个圆的公切线条数 （2）由（1）可知两个圆是内切关系，进而将两个圆直接作差即可得到两个圆的公切线 【详解】（1），圆心，半径； ，圆心，半径， ， 所以两圆内切，只有一条公切线. （2）与 ， 两圆方程相减得：，化简即为：， 所以两圆公切线直线方程：. 54．已知圆与圆 (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; (2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; (3)若r=1，求圆与圆的公切线方程. 【答案】(1)； (2)； (3)，，. 【分析】（1）求出两圆的圆心距，再利用两圆相交的充要条件列式求解即得. （2）求出公共弦所在直线的方程，再利用圆的弦长公式计算即得. （3）设出公切线方程，利用点到直线的距离公式列出方程组并求解即可. 【详解】（1）圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为4， 由圆与圆有两个不同的交点，得，而， 因此，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，圆，此时圆与圆相交，两圆方程相减得直线方程， 点到直线的距离， 所以. （3）当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线， 显然切线的斜率存在，设方程为，则， 整理得或，解，得 解，得或， 因此内公切线的方程为，即； 外公切线的方程为，的方程为，即， 所以圆与圆的公切线方程为，，. 55．已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【分析】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【详解】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 56．（多选）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先判断两个圆的位置关系，然后根据圆的公共切线的求法求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， ，所以两圆相离， 画出图象如下图所示， 由图可知，直线是两个圆的公切线.所以AD选项正确. 直线即直线的斜率为， 所以直线的方程为， 由解得，设， 设直线的方程为， 到直线的距离，解得， 所以，C选项正确. 由，解得，设， 设直线的方程为， 到直线的距离，解得， 所以，B选项错误. 故选：ACD    57．（多选）已知圆和圆，分别是圆，圆上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．的取值范围是 C．是圆与圆的一条公切线 D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得 【答案】ABD 【分析】对于A，根据两圆心之间的距离与半径和的比较，确定两圆的位置关系，可得答案； 对于B，根据圆外离的基本性质，可得答案； 对于C，根据公切线与圆心连线的位置关系以及距离，建立方程，可得答案； 对于D，根据直线与圆相切的性质，可得答案. 【详解】对于选项A，由题意可得，圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径， 因为两圆圆心距，所以两圆外离，有四条公切线，A正确； 对于B选项，的最大值等于，最小值为，B正确； 对于C选项，显然直线与直线平行， 因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线， 设直线为，则两平行线间的距离为2，即，故，故C不正确； 对于D选项，易知当时，四边形为正方形，故当时，，故D正确， 故选：ABD. 58．已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（    ） A．6 B．36 C．10 D． 【答案】B 【分析】由公切线条数得两圆外切，由此可得的关系，从而点在以原点为圆心，4为半径的圆上，记，由求得的最小值，平方后即得结论． 【详解】圆标准方程为，，半径为， 圆标准方程为，，半径为， 两圆有三条公切线，则两圆外切， 所以，即， 点在以原点为圆心，4为半径的圆上，记， ，所以， 所以的最小值为． 故选：B． 59．（多选）已知圆和圆相交于､两点，下列说法正确的为（    ） A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．线段的长为 D．圆上点，圆上点，的最大值为 【答案】ABD 【分析】由给定条件判断圆O与圆M的位置关系，再逐项分析、推理、计算即可作答. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，， ，显然有，于是得圆O与圆M相交， 圆O与圆M有两条公切线，A正确； 由得：，则直线的方程为，B正确； 圆心O到直线：的距离， 则，C不正确； ，当且仅当点E，O，M，F四点共线时取“=”，如图，    因此，当点E，F分别是直线OM与圆O交点，与圆M交点时，，D正确. 故选：ABD 60．已知圆：，圆，其中. （1）若，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程 （2）设圆与圆的公共弦所在直线为l，且圆的圆心到直线l的距离为，求直线l的方程以及公共弦长 【答案】（1）两圆内切，；（2）直线l的方程为，公共弦长为. 【分析】（1）由，分别得到圆和圆的圆心，半径，然后利用圆圆的位置关系判断，再由两圆方程相减得到公切线； （2）先得到两圆公共弦所在直线l的方程，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）当时， 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 圆心距，所以两圆内切； 因为两圆内切，所以公切线只有一条， 两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到：； （2）两圆公共弦所在直线l的方程为：， 圆的圆心到直线l的距离， 于是，或舍， 所以直线l的方程为； 因为圆半径，弦心距， 由勾股定理可得半弦长为， 所以公共弦长为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $