专题07 对称问题（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题07 对称问题 常考题型·精准突破 题型1 点关于点对称 题型2 直线关于点对称 题型3 点关于直线对称 题型4 直线关于直线对称 题型5 圆关于点的对称 题型6 圆关于直线的对称 题型7 对称解决光线反射问题 题型8 对称性求距离的最值问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 点关于点对称 ( 解题贴士 ： 解决点关于点对称问题的方法 点 P （ x 0 ， y 0 ） 关于点 A （ m ， n ） 的对称点 P' （ x' ， y' ） 可利用中点坐标公式求得 ， 由 得 ) 【例1】（25-26高二上·四川遂宁·期中）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·福建厦门·期中）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【变式2】点关于点的对称点的坐标是__________. 【变式3】点关于点对称，则________． ◆题型2 直线关于点对称 ( 解题贴士 ： 解决直线关于点对称问题的方法 方法一 ： 在已知直线上取两点 ， 根据点的中心对称的方法求出对称点 ， 再由对称点确定对称直线 ； 方法二 ： 在已知直线上取一点 ， 求出它关于已知点的对称点 ， 再利用对称直线与原直线平行求直线方程 ； 特别地 ， 直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 关于原点对称的直线方程是 A （ － x ） ＋ B （ － y ） ＋ C ＝ 0. ) 【例2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______. ◆题型3 点关于直线对称 ( 解题贴士 ： 解决点关于直线对称问题的方法 已知 P （ x ， y ）， 直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ， 求点 P 关于直线 l 的对称点 P' （ x' ， y' ） 可以分三步来求 ： 第一步 ， 直线 PP' 和 l 垂直 ， 故 k PP' · k l ＝－ 1 （ k l ≠ 0 ）； 第二步 ， PP' 的中点在直线 l 上 ， 即 （ ， ） 满足直线方程 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ， 得到 A · ＋ B · ＋ C ＝ 0 ； 第三步 ， 联立两式可解出 x' ， y' . ) 【例3】（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·重庆渝中·阶段检测）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【变式2】已知点与关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. ◆题型4 直线关于直线对称 ( 解题贴士 ： 解决点关于直线对称直线关于直线对称问题的方法 已知直线 l 1 ： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 ， l 2 ： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0 ， 求直线 l 1 关于直线 l 2 的对称直线的方程 ： （ 1 ） 如果 l 1 ∥ l 2 ， 则设所求直线方程为 A 1 x ＋ B 1 y ＋ m ＝ 0 （ m ≠ C 1 ）， 然后在 l 1 上找一点 P ， 求出点 P 关于直线 l 2 的对称点 P' （ x' ， y' ）， 再代入 A 1 x ＋ B 1 y ＋ m ＝ 0 即可解出 m ； （ 2 ） 如果 l 1 不平行于 l 2 ， 则先找出 l 1 与 l 2 的交点 P ， 然后在 l 1 上确定一点 （ 不同于交点 ）， 找出这一点关于 l 2 的对称点 P' ， 由直线方程的两点式确定所求直线方程 . ) 【例4】（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式1】（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． ◆题型5 圆关于点的对称 【例5】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）求圆关于点对称的圆的方程． 【变式2】（25-26高一下·江苏南京·开学考试）圆关于点对称的圆的方程是________. 【变式3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为________． ◆题型6 圆关于直线的对称 【例6】（25-26高二上·山西太原·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为______． 【变式2】（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·广东江门·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． ◆题型7 对称解决光线反射问题 ( 解题贴士 ： 利用对称解决光线反射问题的方法 根据平面几何知识和光学知识 ， 入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称 ， 即入射光线、反射光线上对应的点关于法线对称 . 利用点的对称关系可以求解 . ) 【例7】（25-26高二上·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·吉林松原·期中）一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______. 【变式3】（25-26高二上·河北·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为___________． ◆题型8 对称性求距离的最值问题 ( 解题贴士 ： 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识 （ 三角形任意两边之和大于第三边 ， 任意两边之差的绝对值小于第三边 ） 可知 ， 要解决在直线 l 上求一点 ， 使这点到两定点 A ， B 的距离之差最大的问题 ， 若这两点 A ， B 位于直线 l 的同侧 ， 则只需求出直线 AB 的方程 ， 再求它与已知直线的交点 ， 即得所求的点的坐标 ； 若 A ， B 两点位于直线 l 的异侧 ， 则先求 A ， B 两点中某一点 ， 如 A 关于直线 l 的对称点 A' ， 得直线 A'B 的方程 ， 再求其与直线 l 的交点即可 . 对于在直线 l 上求一点 P ， 使 P 到平面上两点 A ， B 的距离之和最小的问题可用类似方法求解 . ) 【例8】（25-26高二上·新疆塔城·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为______. 【变式1】（25-26高二上·贵州安顺·阶段检测）已知直线和两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标和的最小值. 【变式2】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【变式3】（25-26高二上·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______. 综合攻坚·知能拔高 1.（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 2.（25-26高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 4.若直线l1：y－2＝（k－1）x和直线l2关于直线y＝x＋1对称，则直线l2恒过定点（　　） A.（2，0） B.（1，－1） C.（1，1） D.（－2，0） 5.直线2x＋3y－6＝0关于点（1，－1）对称的直线方程是（　　） A.2x＋3y＋7＝0 B.3x－2y＋2＝0 C.2x＋3y＋8＝0 D.3x－2y－12＝0 6．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 7．台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．已知圆与圆关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 9．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，当直线关于对称时，线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 10.〔多选〕（2025·定州联考）若点A（m，4）和点B（－1－m，3）关于直线l：x＋ny－3＝0对称，则（　　） A.m＝0 B.m＝1 C.n＝1 D.n＝－1 11.〔多选〕一条光线从点A（－2，3）射出，射向点B（1，0），经x轴反射后过点C（a，1），则下列结论正确的是（　　） A.直线AB的斜率是－1 B.AB⊥BC C.a＝3 D.｜AB｜＋｜BC｜＝4 12.已知，C是关于直线的对称点，则 A． B． C． D． 13.已知点P（－3，4）关于直线x＋y－2＝0的对称点为Q，点Q关于直线x＝1的对称点为R，则△PQR的面积为 . 14．若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________． 15．已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________． 16．已知直线，点．求： (1)直线关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 对称问题 常考题型·精准突破 题型1 点关于点对称 题型2 直线关于点对称 题型3 点关于直线对称 题型4 直线关于直线对称 题型5 圆关于点的对称 题型6 圆关于直线的对称 题型7 对称解决光线反射问题 题型8 对称性求距离的最值问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 点关于点对称 ( 解题贴士 ： 解决点关于点对称问题的方法 点 P （ x 0 ， y 0 ） 关于点 A （ m ， n ） 的对称点 P' （ x' ， y' ） 可利用中点坐标公式求得 ， 由 得 ) 【例1】（25-26高二上·四川遂宁·期中）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点坐标公式即可求解. 【详解】解：设，由题知，点和点的中点为，则 解得：，，所以点的坐标为故选：B. 【变式1】（25-26高二上·福建厦门·期中）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【解析】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上.故选：C. 【变式2】点关于点的对称点的坐标是__________. 【答案】 【分析】设点，由题意可知为线段的中点，利用中点坐标公式可求出点的坐标. 【详解】设点，由题意可知为线段的中点， 由中点坐标公式可得，解得， 因此点关于点的对称点的坐标是. 【变式3】点关于点对称，则________． 【答案】 【分析】由中点坐标公式得出，再有距离公式求解即可. 【详解】由已知得，解得，即， ◆题型2 直线关于点对称 ( 解题贴士 ： 解决直线关于点对称问题的方法 方法一 ： 在已知直线上取两点 ， 根据点的中心对称的方法求出对称点 ， 再由对称点确定对称直线 ； 方法二 ： 在已知直线上取一点 ， 求出它关于已知点的对称点 ， 再利用对称直线与原直线平行求直线方程 ； 特别地 ， 直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 关于原点对称的直线方程是 A （ － x ） ＋ B （ － y ） ＋ C ＝ 0. ) 【例2】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行，即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得.故选：C 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为．故选：D． 【变式2】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点.故选：C. 【变式3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______. 【答案】 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. ◆题型3 点关于直线对称 ( 解题贴士 ： 解决点关于直线对称问题的方法 已知 P （ x ， y ）， 直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ， 求点 P 关于直线 l 的对称点 P' （ x' ， y' ） 可以分三步来求 ： 第一步 ， 直线 PP' 和 l 垂直 ， 故 k PP' · k l ＝－ 1 （ k l ≠ 0 ）； 第二步 ， PP' 的中点在直线 l 上 ， 即 （ ， ） 满足直线方程 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 ， 得到 A · ＋ B · ＋ C ＝ 0 ； 第三步 ， 联立两式可解出 x' ， y' . ) 【例3】（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对称点的坐标为，由题意可得，求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为.故选：C 【变式1】（24-25高二上·重庆渝中·阶段检测）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解. 【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得.故选：D. 【变式2】已知点与关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析 ，，则．故选B． 【变式3】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 【答案】 【分析】设出点的坐标，再利用轴对称列出方程求解. 【详解】设点，由点与点关于直线对称， 得，解得，所以点的坐标为. ◆题型4 直线关于直线对称 ( 解题贴士 ： 解决点关于直线对称直线关于直线对称问题的方法 已知直线 l 1 ： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 ， l 2 ： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0 ， 求直线 l 1 关于直线 l 2 的对称直线的方程 ： （ 1 ） 如果 l 1 ∥ l 2 ， 则设所求直线方程为 A 1 x ＋ B 1 y ＋ m ＝ 0 （ m ≠ C 1 ）， 然后在 l 1 上找一点 P ， 求出点 P 关于直线 l 2 的对称点 P' （ x' ， y' ）， 再代入 A 1 x ＋ B 1 y ＋ m ＝ 0 即可解出 m ； （ 2 ） 如果 l 1 不平行于 l 2 ， 则先找出 l 1 与 l 2 的交点 P ， 然后在 l 1 上确定一点 （ 不同于交点 ）， 找出这一点关于 l 2 的对称点 P' ， 由直线方程的两点式确定所求直线方程 . ) 【例4】（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求得关于直线的对称点，代入点的坐标于的方程，由此可求的值. 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得，故选A. 【变式1】（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 【变式2】（25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示） 【答案】 【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 故答案为： 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得，所以直线的方程为. ◆题型5 圆关于点的对称 【例5】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为．故选B. 【变式1】（25-26高三·全国·一轮复习）求圆关于点对称的圆的方程． 【答案】 【分析】将圆的方程配成标准式，得到圆心坐标与半径，求出圆心关于点对称的点的坐标，即可求出对称的圆的方程. 【详解】圆，即，圆心，半径， 圆心关于点对称的点为，即， 所以圆关于点对称的圆的方程为.    【变式2】（25-26高一下·江苏南京·开学考试）圆关于点对称的圆的方程是________. 【答案】 【解析】先将圆，化为标准方程得到圆心，再求圆心关于点的对称点，即为所求的圆的圆心. 【详解】圆，化为标准方程：， 设关于点对称的圆的圆心为， 则，解得， 所以圆关于点对称的圆的方程是： ， 【变式3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）圆关于原点对称的圆的方程为________． 【答案】 【分析】先根据圆的方程得出圆心及半径，再得出对称点，进而得出圆的标准方程. 【详解】圆圆心为半径为1， 所以圆关于原点对称的圆的圆心为半径为1， 所以圆关于原点对称的圆的方程为. ◆题型6 圆关于直线的对称 【例6】（25-26高二上·山西太原·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出已知圆的圆心关于直线的对称点，即为对称圆的圆心，从而得到答案． 【详解】圆的圆心为，半径为1， 设所求圆的圆心为，则与关于直线对称， 故， 则所求圆的圆心为，半径为1， 所以所求圆的方程为．故选：A 【变式1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为______． 【答案】 【分析】求得圆心关于直线的对称点，进而可求对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 设对称圆的圆心坐标为， 由题意得，，解得， 对称圆的圆心坐标为，半径为2，对称圆的方程为． 【变式2】（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得圆的圆心与半径，利用对称求得圆心关于直线的对称点，可求对称圆的方程. 【详解】方程，可化为， 则圆心的坐标为，半径， 设圆关于直线对称的圆的圆心为，则半径仍为， 则，解得． 所以圆的方程为，故选C． 【变式3】（25-26高二上·广东江门·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算圆心关于直线对称的点是，得到圆方程. 【详解】圆，圆心为，半径为2， 设圆心关于直线对称的点是， 则，解得. 则所求圆的方程为，故选D ◆题型7 对称解决光线反射问题 ( 解题贴士 ： 利用对称解决光线反射问题的方法 根据平面几何知识和光学知识 ， 入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称 ， 即入射光线、反射光线上对应的点关于法线对称 . 利用点的对称关系可以求解 . ) 【例7】（25-26高二上·云南昭通·期末）一条光线从点射出后，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：可知反射光线所在直线的斜率为，且经过点，结合直线的点斜式方程运算求解；法二：根据对称性可知反射光线所在直线经过点和点，结合直线的两点式方程运算求解. 【详解】法一：由题可知：直线的斜率，则反射光线所在直线的斜率为， 且反射光线所在直线经过点，所以反射光线所在直线方程为，即； 法二：因为点关于轴的对称点在反射光线所在直线上，可知反射光线所在直线经过点和点， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：D． 【变式1】（25-26高二上·吉林松原·期中）一束光线从点射出，与轴相交于点．经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出点关于轴对称的点，依题意反射光线所在直线过点与，求出直线的斜率，再由斜截式计算可得. 【详解】点关于轴对称的点为， 依题意反射光线所在直线过点与，则斜率， 所以反射光线所在直线的方程为，即，故选C 【变式2】（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______. 【答案】 【分析】求出点关于轴的对称点的坐标，可知反射光线所在直线为直线，求出该直线的方程即可. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由题意可知，反射光线所在直线为直线，且该直线的斜率为， 故反射光线所在直线的方程为，即. 【变式3】（25-26高二上·河北·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为___________． 【答案】 【分析】先设点B的对称点，应用对称性得出对称点，再应用点斜式得出直线方程. 【详解】设关于直线的对称点， 所以，所以，所以， 由题意知：入射光线所在的直线经过和，而斜率， 所以入射光线所在的直线方程为． ◆题型8 对称性求距离的最值问题 ( 解题贴士 ： 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识 （ 三角形任意两边之和大于第三边 ， 任意两边之差的绝对值小于第三边 ） 可知 ， 要解决在直线 l 上求一点 ， 使这点到两定点 A ， B 的距离之差最大的问题 ， 若这两点 A ， B 位于直线 l 的同侧 ， 则只需求出直线 AB 的方程 ， 再求它与已知直线的交点 ， 即得所求的点的坐标 ； 若 A ， B 两点位于直线 l 的异侧 ， 则先求 A ， B 两点中某一点 ， 如 A 关于直线 l 的对称点 A' ， 得直线 A'B 的方程 ， 再求其与直线 l 的交点即可 . 对于在直线 l 上求一点 P ， 使 P 到平面上两点 A ， B 的距离之和最小的问题可用类似方法求解 . ) 【例8】（25-26高二上·新疆塔城·阶段检测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为______. 【答案】4 【分析】利用“将军饮马”模型，应用点关于直线对称求对称点，再由两点距离最短求最短总路程. 【详解】如图，    设点关于直线对称的点为， 则，解得， 则“将军饮马”的最短总路程为． 【变式1】（25-26高二上·贵州安顺·阶段检测）已知直线和两点，若直线上存在点使得最小，求点的坐标和的最小值. 【答案】，12 【分析】利用对称关系求出点的对称点为，则最小值为之间的距离，联立直线方程求得点的坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，，所以直线的方程为， 联立，解得，所以点. 故P的坐标为时，取到最小值为12. 【变式2】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 【变式3】（25-26高二上·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______. 【答案】 【分析】设点关于的对称点的坐标为，根据两点关于直线对称求出点的坐标，数形结合可知当、、三点共线时，取最大值，即可得解. 【详解】设点关于的对称点的坐标为，连接，    则，即，所以①． 因为的中点在直线上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 又， 当且仅当、、三点共线时，取最大值. 故的最大值为. 综合攻坚·知能拔高 1.（25-26高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称点的性质确定参数，即得答案. 【详解】由与关于坐标原点对称，则， 所以. 故选：B 2.（25-26高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程中的换为，换为，即可得到关于原点对称的直线方程. 【详解】解：对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 3．已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 4.若直线l1：y－2＝（k－1）x和直线l2关于直线y＝x＋1对称，则直线l2恒过定点（　　） A.（2，0） B.（1，－1） C.（1，1） D.（－2，0） 【答案】C 【详解】因为直线l1：y－2＝x过定点，点关于直线y＝x＋1对称的点为，故直线l2恒过定点，故选C. 5.直线2x＋3y－6＝0关于点（1，－1）对称的直线方程是（　　） A.2x＋3y＋7＝0 B.3x－2y＋2＝0 C.2x＋3y＋8＝0 D.3x－2y－12＝0 【答案】C 【详解】∵直线2x＋3y－6＝0关于点（1，－1）对称的直线斜率不变，∴设对称后的直线方程l'为2x＋3y＋c＝0，又点（1，－1）到两直线的距离相等，∴＝，化简得｜c－1｜＝7，解得c＝－6或c＝8，∴l'的方程为2x＋3y－6＝0（舍）或2x＋3y＋8＝0，即直线2x＋3y－6＝0关于点（1，－1）对称的直线方程是2x＋3y＋8＝0. 6．已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即. 连接与直线相交于点，则的最小值为，故选A. 7．台球是一项在球桌上用球杆击打主球以撞击目标球的体育运动，假设主球（体积忽略不计，看作一个点）在球桌上均做直线运动，碰撞到球桌壁后反弹时满足反射角等于入射角.如图，现击打主球在球桌壁点反弹后，经过点，再在球桌壁点反弹后，击中目标球.以球桌壁所在直线分别为，轴，建立如图所示的直角坐标系，发现点的坐标为，目标球的坐标为，则在该坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由点关于轴的对称点为，则点在直线上， 点关于轴的对称点为，则关于轴的对称点为， 所以点在直线上，则， 所以直线的方程为， 令，解得，则点的坐标为. 故选：D. 8．已知圆与圆关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆，圆心为，半径， 圆的标准方程为， 圆心为，半径， 由题可知与关于直线对称， 所以解得， 又，所以，故，故选：A. 9．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，当直线关于对称时，线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，圆心，连接， 因为直线关于直线对称， 所以垂直于直线， 故，而， 则，故选D 10.〔多选〕（2025·定州联考）若点A（m，4）和点B（－1－m，3）关于直线l：x＋ny－3＝0对称，则（　　） A.m＝0 B.m＝1 C.n＝1 D.n＝－1 【答案】AC 【详解】AB的中点为，即（－，）在直线l上，则可得－＋n－3＝0，解得n＝1，则直线l：x＋y－3＝0，斜率为－1，又直线AB与直线l垂直，则可得kAB＝1＝，解得m＝0，故选A、C. 11.〔多选〕一条光线从点A（－2，3）射出，射向点B（1，0），经x轴反射后过点C（a，1），则下列结论正确的是（　　） A.直线AB的斜率是－1 B.AB⊥BC C.a＝3 D.｜AB｜＋｜BC｜＝4 【答案】ABD 【详解】对于A，由于A（－2，3），B（1，0），由斜率公式得：kAB＝＝－1，A正确；对于B，点A（－2，3）关于x轴的对称点A1的坐标为（－2，－3），经x轴反射后直线BC的斜率为：kBC＝＝＝1，且kBC·kAB＝－1，所以AB⊥BC，B正确；对于C，直线BC即直线A1B的方程为：y－0＝1×（x－1），即y＝x－1，将y＝1代入得：x＝2，所以点C（2，1），a＝2，C不正确；对于D，由两点间距离公式得：｜AB｜＋｜BC｜＝＋＝4，选项D正确；故选A、B、D. 12.已知，C是关于直线的对称点，则 A． B． C． D． 【答案】 【解析】设，因为C是关于直线的对称点， 故，解得，即， 又，，故 13.已知点P（－3，4）关于直线x＋y－2＝0的对称点为Q，点Q关于直线x＝1的对称点为R，则△PQR的面积为 . 【答案】3 【解析】P（－3，4）关于直线x＋y－2＝0的对称点Q（－2，5）， 点Q（－2，5）关于直线x＝1的对称点R（4，5），又｜QR｜＝4－（－2）＝6， P点到直线QR的距离d＝1，所以S△PQR＝×6×1＝3. 14．若圆的半径是3，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为________． 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，，解得，则圆心坐标为， 则圆的标准方程为. 15．已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________． 【答案】 【解析】由题，，联立 解得直线过定点， 设点关于直线对称点为，则 点在以点为圆心，2为半径的圆上． 题目条件等价于：圆与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， ∴，解得．所以的取值范围为． 16．已知直线，点．求： (1)直线关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【解】（1）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 则在直线上，， 即． （2）在直线上取一点， 则关于直线的对称点必在上． 设对称点为， 则解得． 设与的交点为，则由得， 则经过点， 直线的方程为，即． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $