专题25.2.2公式法（4大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年数学人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦公式法解一元二次方程核心知识点，系统梳理从定义、根的判别式（Δ=b²-4ac及Δ＞0、=0、＜0的根的情况）、求根公式到解题四步（化标准、定系数、算判别式、代公式）的完整脉络，作为开平方法、配方法后的万能解法学习支架。 资料通过易错点（a,b,c带符号、未化标准式等）精准指导，技巧口诀（先化标准等）规范步骤，四类题型（判断根、求参数、解方程、新定义）覆盖应用，培养学生运算能力与推理意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题25.2.2公式法 【新人教版】 【题型1 判断一元二次方程根的情况】...............................................................................................................2 【题型2 根据一元二次方程根的情况求参数】...................................................................................................4 【题型3 公式法-解一元二次方程】.....................................................................................................................6 【题型4 新定义运算】...........................................................................................................................................8 1. 公式法定义 把各系数代入求根公式，直接得出方程的根，这种解一元二次方程的解法叫作公式法。 2. 根的判别式 对于ax²+bx+c=0 (a≠0)，判别式：Δ=b²-4ac 1 Δ＞0：方程有两个不相等的实数根； ② Δ＝0：方程有两个相等的实数根； ③ Δ＜0：无实数根。 3. 求根公式 当Δ≥0 时， 4. 公式法标准解题四步 步骤 1：化标准：整理为ax²+bx+c=0 (a≠0)； 步骤 2：定系数：准确找出a、b、c（带符号）； 步骤 3：算判别式：计算Δ，判断根的情况； 步骤 4：代公式求解：Δ≥0时代入公式，化简得根。 5. 适用场景 无法直接开方、配方繁琐、系数复杂的一元二次方程，属于万能解法。 易错1：a、b、c取值不带符号 a、b、c必须包含前方正负号，负数系数代入最容易算错，是高频丢分点。 易错2：未化标准式直接代值 没有整理成“右边=0”的标准形式，系数取值完全错误，解题直接失分。 易错3：Δ＜0强行求解 未先判断判别式，负数平方无意义，Δ＜0 直接判定无实数根，无需计算。 易错4：最终结果不化简 根式未化简、分数未约分、分母带根号，答案不规范扣分。 技巧1：公式法口诀 先化标准，再找系数，先算Δ，再代公式，最后化简 技巧2：缺项系数判定 方程右侧必须为0，缺x项则b=0，缺常数项则c=0。 技巧3：解题预判技巧 先算Δ，再解题：有根再代公式，无根直接写无实数根，节省时间。 技巧4：解方程方法优先级 能开方用开平方法、整齐式子用配方法、复杂系数直接用公式法题型一 判断一元二次方程根的情况 【例1】（2026·河南平顶山·三模）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据根的判别式进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 【变式1-1】（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 【变式1-2】（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用．根据确定方程是一元二次方程，再计算判别式判断符号即可得出根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，方程是一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． ()根据根的判别式即可求出答案； ()把代入方程中即可求出答案． 【小问1】 证明： ， ， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2】 解：该方程有一个根为， ， 解得：； 的值为． 题型二 根据一元二次方程根的情况求参数 【例2】（2026·北京通州·三模）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式 ”列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ∴根的判别式 ， 其中，， 代入得 ， 解不等式得． 【变式2-1】（25-26九年级上·河南许昌·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式性质，当方程有两个相等的实数根时，判别式，代入方程系数计算即可求出m的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，由方程有两个相等的实数根可得根的判别式，联立求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， 整理得， 解得． 【变式2-3】（2026·上海·模拟预测）已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________． 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意知，， 又∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且． 【变式2-4】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【答案】(1)且 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，根据判别式大于零列出不等式求解即可； （2）根据k 的取值范围和k 为正整数确定的值，代入方程后求解方程的根． 【详解】（1）解：判别式且， 解得且； （2）解：根据题意得，k为最小正整数， 则， 方程为 解得，． 题型三 公式法-解一元二次方程 【例3】（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 【变式3-1】（25-26九年级上·河南周口·期末）解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ，，， ， ， ∴，． 【变式3-2】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，； （2）解：， 移项，得， 化二次项系数为1，得， ， ， ， 解得． 【变式3-3】（25-26九年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）运用公式法解方程即可； （2）先将方程化成一般形式，然后运用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ，； （2）解：把方程化成一般形式，得 ， ，，， ， ， ，． 题型四 新定义运算 【例4】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程．理解新定义运算是解题的关键． 根据新定义运算，将给定表达式转化为关于 的方程，然后求解二次方程，并根据 的条件选取合适的根． 【详解】由定义和，得则 即 ， 由于 ，故取 故答案为：． 【变式4-1】（2026·辽宁盘锦·模拟预测）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于实数，定义新运算：， ∴， ∴， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【变式4-2】（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，． （1）______； （2）若，则的值是______． 【答案】 或 【分析】（1）通过平方比较法判断与的大小，从而确定二者中的最大值； （2）根据的正负分类讨论的取值，分别建立方程求解并结合前提条件筛选出符合要求的解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）由题意得，，即， 当时，，即， 解得，， ∵，， ∴x的值为； 当时，， 即，解得，， ∵，， ∴． 综上，的值是或． 【变式4-3】（25-26九年级上·江西上饶·期末）我们规定：对于任意实数有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】(1)10 (2)且 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意求值即可； （2）根据一元二次方程的判别式得，解题即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ， 此方程有两个实数根， ， 解得且． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.2.2公式法 【新人教版】 【题型1 判断一元二次方程根的情况】...............................................................................................................2 【题型2 根据一元二次方程根的情况求参数】...................................................................................................3 【题型3 公式法-解一元二次方程】......................................................................................................................3 【题型4 新定义运算】...........................................................................................................................................4 1. 公式法定义 把各系数代入求根公式，直接得出方程的根，这种解一元二次方程的解法叫作公式法。 2. 根的判别式 对于ax²+bx+c=0 (a≠0)，判别式：Δ=b²-4ac 1 Δ＞0：方程有两个不相等的实数根； ② Δ＝0：方程有两个相等的实数根； ③ Δ＜0：无实数根。 3. 求根公式 当Δ≥0 时， 4. 公式法标准解题四步 步骤 1：化标准：整理为ax²+bx+c=0 (a≠0)； 步骤 2：定系数：准确找出a、b、c（带符号）； 步骤 3：算判别式：计算Δ，判断根的情况； 步骤 4：代公式求解：Δ≥0时代入公式，化简得根。 5. 适用场景 无法直接开方、配方繁琐、系数复杂的一元二次方程，属于万能解法。 易错1：a、b、c取值不带符号 a、b、c必须包含前方正负号，负数系数代入最容易算错，是高频丢分点。 易错2：未化标准式直接代值 没有整理成“右边=0”的标准形式，系数取值完全错误，解题直接失分。 易错3：Δ＜0强行求解 未先判断判别式，负数平方无意义，Δ＜0 直接判定无实数根，无需计算。 易错4：最终结果不化简 根式未化简、分数未约分、分母带根号，答案不规范扣分。 技巧1：公式法口诀 先化标准，再找系数，先算Δ，再代公式，最后化简 技巧2：缺项系数判定 方程右侧必须为0，缺x项则b=0，缺常数项则c=0。 技巧3：解题预判技巧 先算Δ，再解题：有根再代公式，无根直接写无实数根，节省时间。 技巧4：解方程方法优先级 能开方用开平方法、整齐式子用配方法、复杂系数直接用公式法题型一 判断一元二次方程根的情况 【例1】（2026·河南平顶山·三模）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式1-1】（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式1-2】（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定 【变式1-3】（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为，求的值． 题型二 根据一元二次方程根的情况求参数 【例2】（2026·北京通州·三模）若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·河南许昌·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（   ） A． B．1 C．0 D． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________． 【变式2-3】（2026·上海·模拟预测）已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________． 【变式2-4】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 题型三 公式法-解一元二次方程 【例3】（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·河南周口·期末）解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法）． 【变式3-2】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）解方程 (1)； (2)． 【变式3-3】（25-26九年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 题型四 新定义运算 【例4】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）对于实数a，b，定义：，．若，且满足，则____________________ ． 【变式4-1】（2026·辽宁盘锦·模拟预测）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【变式4-2】（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，． （1）______； （2）若，则的值是______． 【变式4-3】（25-26九年级上·江西上饶·期末）我们规定：对于任意实数有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $