专题02 降次—解一元二次方程重难点题型专训（4个知识点+14大题型+自我检测）-2026-2027学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学讲义以“降次”为核心，通过知识框架图系统梳理直接开方法、配方法、公式法、因式分解法4个知识点，按“基础概念-解题步骤-易错提醒”分层呈现，用对比表格归纳不同解法的适用场景与关键步骤，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，14大题型涵盖基础（如换元法解含绝对值方程）与提高（如配方法求最值、新定义“好根方程”计算），通过即时训练与综合题培养运算能力和推理意识。自我检测含典型错题，基础生可巩固方法，优生能拓展思维，助力教师实施精准分层教学。

专题02 降次—解一元二次方程重难点题型专训 （4个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、直接开方法解一元二次方程、 1 题型二、配方法解一元二次方程 2 题型三、配方法的应用 3 题型四、公式法解一元二次方程 4 题型五、根据判别式判断一元二次方程根的情况 5 题型六、根据一元二次方程根的情况求参数 6 题型七、因式分解法解一元二次方程 7 题型八、换元法解一元二次方程 8 题型九、含绝对值的一元二次方程的解法 9 第二部分·练提高题型 题型一、配方法求最值 10 题型二、一元二次方程解法的新定义计算 11 题型三、一元二次方程的解含参综合 12 题型四、换元法综合 13 题型五、一元二次方程解法与几何问题 14 第三部分・自我检测 知识点01 直接开方法解一元二次方程 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 1. 直接开平方法（基础） 例：形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）方程的解为___________． 2．（26-27八年级·上海·暑假作业）利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 知识点02 用配方法解一元二次方程 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. 【即时训练】 3．（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段检测）解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）用配方法解方程：． 知识点03 用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 【即时训练】 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）用公式法解一元二次方程：． 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程： 知识点04 用因式分解法解一元二次方程 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 步骤： 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 【即时训练】 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 8．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 【基础题型一 直接开方法解一元二次方程】 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）若一元二次方程的两个根分别是与，则 ____． 4．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)； (3) (4) 【基础题型二 配方法解一元二次方程】 5．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 7．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）将方程化成（为常数）的形式，则___________． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【基础题型三 配方法的应用】 9．（25-26八年级下·浙江·期中）对于实数x，y，存在正整数n和常数，满足，且．甲和乙两位同学给出了以下看法：甲同学：当，时，则；乙同学：若对于任意的正整数n，都有，则常数k的取值范围是．其中正确的结论有（） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 10．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·上海·期末）定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 12．（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【基础题型四 公式法解一元二次方程】 13．（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 14．（26-27九年级·全国·暑假作业）若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 15．（2026·浙江台州·二模）一道作业题，要求用多种方法解方程． 有一位同学出现了如下解法： 解：观察方程可知，是这个方程的一个解， 所以可设原方程为， 即， 所以，，， 求得，， 即原方程为， 可得方程的两个根是，． 请分析这位同学的解法，写出方程所有的根_________． 16．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 【基础题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 18．（2025·河南信阳·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 20．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根． 【基础题型六 根据一元二次方程根的情况求参数】 21．（25-26八年级下·广东广州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级下·山东烟台·期末）等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 23．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 24．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知：关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 【基础题型七 因式分解法解一元二次方程】 25．（26-27九年级上·全国·单元复习）方程的根是（     ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级下·浙江台州·期末）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 27．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 28．（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【基础题型八 换元法解一元二次方程】 29．（2025·福建南平·模拟预测）若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 30．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 31．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）若，其中为实数且，，则____________． 32．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）综合与实践 我们把利用方程根的代换求新方程的方法称为换根法，核心解题步骤为：设新方程的根为y，根据根的对应关系，用含y的代数式表示原方程的根x；将x代入原方程，化简后得到关于y的新方程． 例：已知方程，求根为原方程根2倍的新方程． 解：设新方程的根为y，则，即，代入原方程得，化简得，即为所求方程． (1)基础应用 已知方程，用换根法求一个一元二次方程，使它的根是原方程根的相反数； (2)能力提升 已知方程，用换根法求一个新的一元二次方程，使它的根分别比原方程的根大1； (3)综合拓展 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为1和3，求一元二次方程的两实数根． 【基础题型九 含绝对值的一元二次方程的解法】 33．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 34．（25-26九年级上·重庆万州·阶段检测）阅读下面的例题与解答过程： 例．解方程： 解：当时，原方程可化为，解得（不合题意，舍去）； 当时，原方程可化为，解得（不合题意，舍去）； 原方程的解是． 在上面的解答过程中，我们对进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： (1)； (2)． 35．（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 36．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：．解：分两种情况： ①当x≥0时，原方程化为解得（舍去）； ②当x<0时，原方程化为，解得（舍去）． 综上所述，原方程的解是． 请参照上述方法解方程． 【提高题型一 配方法求最值】 37．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 38．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 39．（25-26九年级上·江西九江·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；    ②34；    ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 40．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 【提高题型二 一元二次方程解法的新定义计算】 41．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (3)若关于的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于的方程是常数根一元二次方程． 42．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 43．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）定义：对于一元二次方程，如果a、b、c满足，那么该一元二次方程称为“零点方程”． (1)下列一元二次方程是“零点方程”的是________；（填序号） ①；②；③． (2)求证：当时，“零点方程”总有两个不相等的实数根； (3)若某“零点方程”的一个根为，则这个方程可以是________． (4)关于x的方程是“零点方程”，且是这个方程的一个根，求p的值． 44．（25-26九年级上·广东茂名·期中）新定义：对于关于x的一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（） ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②若，，求m的取值范围； ③是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【提高题型三 一元二次方程的解含参综合】 45．（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 46．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 47．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________． 48．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 【提高题型四 换元法综合】 49．（2025九年级上·上海奉贤·竞赛）已知，则方程的解集是_______； 50．（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）将正方形沿虚线（其中）剪成①、②、③、④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个如图所示的矩形，则_____． 51．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为_____． 52．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍． 解：设所求方程的根为，则， 把代入，得，化简得， 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题． (1)已知方程的两个根分别为和，求一个关于的方程，使得它的两个根分别为：，，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）． (2)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【提高题型五 一元二次方程解法与几何问题】 53．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，，的长度是的两根，． (1)求点的坐标． (2)把沿对折，点落在点处，线段与轴交于点，在平面上是否存在点，使、、、四点形成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 54．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点、分别在菱形的边、上，为等边三角形，是的中点，延长交于点，已知，四边形的面积是的面积的倍，则的长为_____． 55．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，A为坐标原点，和分别在x轴、y轴上，点E是边的中点，过点A的直线交线段（不经过C，D两点）于点F，连接，若平分，则k的值为_______． 56．（25-26八年级下·吉林长春·期末）数学兴趣小组利用一个直角三角尺（含有）和一个正方形卡纸进行探究活动．将等腰直角三角形的直角顶点与正方形的顶点A重合，从图①所示的位置开始（即点B在上时），绕点A逆时针旋转，旋转角度为． (1)当时，如图②，若点E恰好落在射线上，发现此时点F落在正方形的边上．证明过程如下： 证明：连结、． 在正方形及等腰直角三角形中， 证明过程缺失 ∴． ∵点E 在直线 上， ∴， ∴． ∵， ∴点F在 上． 补全上述证明过程缺失部分． (2)当时， 如图③，若斜边恰好经过点 B， 连结． 求的度数； (3)当时，若斜边恰好经过点B，连结． 延长、交于点 G，连结．若， ，直接写出的长 ． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于的方程，下列说法错误的是（    ） A．二次项系数为1 B．常数项为0 C．一次项系数为 D．适合用因式分解法解方程 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃嘉峪关·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 4．（2025·河南商丘·模拟预测）下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 7．（2025·湖南益阳·模拟预测）方程的解为_____． 8．（2025·贵州黔西南·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 9．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 10．（2026·河南平顶山·三模）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (3)（用公式法）； (4)（用适当的方法）． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)（用因式分解法）； (4)（用适当的方法）． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 15．（25-26八年级下·吉林·期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 降次—解一元二次方程重难点题型专训 （4个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、直接开方法解一元二次方程、 1 题型二、配方法解一元二次方程 2 题型三、配方法的应用 3 题型四、公式法解一元二次方程 4 题型五、根据判别式判断一元二次方程根的情况 5 题型六、根据一元二次方程根的情况求参数 6 题型七、因式分解法解一元二次方程 7 题型八、换元法解一元二次方程 8 题型九、含绝对值的一元二次方程的解法 9 第二部分·练提高题型 题型一、配方法求最值 10 题型二、一元二次方程解法的新定义计算 11 题型三、一元二次方程的解含参综合 12 题型四、换元法综合 13 题型五、一元二次方程解法与几何问题 14 第三部分・自我检测 知识点01 直接开方法解一元二次方程 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 1. 直接开平方法（基础） 例：形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）方程的解为___________． 【答案】， 【分析】运用直接开平方法即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 2．（26-27八年级·上海·暑假作业）利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 直接开平方，得， ，； （2）解： 移项，得， 直接开平方，得， ，． 知识点02 用配方法解一元二次方程 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. 【即时训练】 3．（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段检测）解方程： 解：两边同时加______，得 则方程可化为______ 两边直接开平方得______ 即______或______ 所以______，______． 【答案】 ；；；；；；；；； 【分析】按照配方法的步骤，在等式两边加上一次项系数一半的平方，将方程左侧化为完全平方式，再开平方即可求解． 【详解】 解：原方程为 一次项系数为， 一次项系数一半的平方为 ， 两边同时加，得 方程可化为 两边直接开平方得 即或 ，． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 知识点03 用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 【即时训练】 5．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程： 【答案】， 【分析】用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】解： 知识点04 用因式分解法解一元二次方程 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 步骤： 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 【即时训练】 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 【答案】 【详解】解：， ∴或， 解得，， ∵方程的两个根分别是和， ∴． 8．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 【答案】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 正确解答： ， ， 或 解得，． 【详解】略 【基础题型一 直接开方法解一元二次方程】 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 2．（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 3．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）若一元二次方程的两个根分别是与，则 ____． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有． 【详解】解：∵， ∴ ， 解得， ∴两根互为相反数， ∵一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴一元二次方程的两个根分别是和， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)； (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时乘以2，接着把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先去括号，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案； （3）（4）把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， ， 解得，； （2）解： ， ， ， 解得，； （3）解： ，即或， 解得，； （4）解： ，即或， 解得，． 【基础题型二 配方法解一元二次方程】 5．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）用配方法解方程，则配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方式，即可得到正确结果． 【详解】解： ． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 7．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【答案】1 【分析】利用配方法将原方程变形为的形式，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即 ，整理为 的形式得， ，， 则， 因此． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)解：配方，得 ， 即， 移项，得 ， 两边开平方，得 ， 即，或， ∴，． 【分析】（1）步骤②中，等式左边加了1，没有同时减1，导致等式不成立； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型三 配方法的应用】 9．（25-26八年级下·浙江·期中）对于实数x，y，存在正整数n和常数，满足，且．甲和乙两位同学给出了以下看法：甲同学：当，时，则；乙同学：若对于任意的正整数n，都有，则常数k的取值范围是．其中正确的结论有（） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】C 【分析】根据已知条件推导x关于的表达式，再代入y的表达式，分别验证甲、乙的看法，判断结论正确性． 【详解】由， 可得， 两边平方得， ， 代入得， 验证甲的看法： ∵，，代入得，整理得， 解得或， ∵是正整数， ∴， 计算得，∴甲错误； 验证乙的看法： 设， 若对任意正整数，都有， ， 解得，∴乙正确． 综上，甲错误，乙正确． 10．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，即得，进而即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 11．（25-26八年级上·上海·期末）定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 【答案】2026 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值． 【详解】解：由“同族二次方程”定义，方程可写为， 展开得，与比较系数， 得，解得，。 ， ， 最小值为2026． 故答案为：2026． 12．（25-26八年级下·山东烟台·期末）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ． (2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围． (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ． 【答案】(1)；； (2) (3)8 【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可； （2）把化为，再利用三角形三边关系进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，有最小值，最小值是． 分解因式，原式． （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 【基础题型四 公式法解一元二次方程】 13．（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 14．（26-27九年级·全国·暑假作业）若记方程的两个不相等的实数根为，则的值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】先解出方程的两个根，再利用平方差公式化简所求代数式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：解方程得，， ∴ ． 15．（2026·浙江台州·二模）一道作业题，要求用多种方法解方程． 有一位同学出现了如下解法： 解：观察方程可知，是这个方程的一个解， 所以可设原方程为， 即， 所以，，， 求得，， 即原方程为， 可得方程的两个根是，． 请分析这位同学的解法，写出方程所有的根_________． 【答案】，， 【分析】仿照题干给出的因式分解方法，先通过试根找出方程的一个根，再利用多项式相等的条件分解三次多项式为一次因式与二次因式的乘积，最后求解一元二次方程得到所有根. 【详解】将代入方程左边 ，得 ， 因此是原方程的一个根. 设原方程可写为 ，展开得： 对比原方程 的系数， 根据多项式相等对应系数相等，可得， 解得， 因此原方程可化为 ， 可得或， 解得， 对于一元二次方程，判别式 ，由求根公式得：， 综上，方程的所有根为，，. 16．（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可； （2）先找出，，并判断的正负，再代入公式求解即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴，即，． （2）解：∵，，，且， ，即，． 【基础题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 18．（2025·河南信阳·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：方程整理为，，有实数根． B选项：方程整理为，，有实数根． C选项：，，没有实数根． D选项：，，有实数根． 19．（25-26八年级下·安徽池州·期末）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】证明： ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【详解】略 20．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根． 【答案】(1) (2)对于一元二次方程， 根的判别式为 将代入得 任意实数的平方是非负数 ，即 此方程至少有一个实数根 【分析】（1）将代入原方程，解一元二次方程即可得到结果； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合已知条件变形配方，证明判别式大于等于0，即可证明结论． 【详解】（1）解： 原方程为 配方得 开方得 解得； （2）略． 【基础题型六 根据一元二次方程根的情况求参数】 21．（25-26八年级下·广东广州·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列不等式求解参数范围即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 22．（25-26八年级下·山东烟台·期末）等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（     ） A．12 B．16 C．2或4 D．12或16 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 23．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 24．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知：关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）先求出k的值，再解一元二次方程，将两个解分别代入求出m的值，结合一元二次方程的定义取合适的m的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根 ∴， 解得； （2）解：∵k是符合条件的最大整数， ∴， 方程变形为， 解得：，， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得； ∵， ∴， ∴m的值为． 【基础题型七 因式分解法解一元二次方程】 25．（26-27九年级上·全国·单元复习）方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后提取公因式，用因式分解法求解． 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得． 26．（25-26八年级下·浙江台州·期末）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原一元二次方程变形因式分解，得到方程的两个根，再结合题目给出的根的大小关系和倍数关系列方程，求解得到的值． 【详解】解：∵ 原方程可变形为， 由平方差公式因式分解得 ， ∴ 方程的两个根为和， ∵ ，， ∴ ，，代入关系式得 ， 展开整理得 ， 因此的值为． 27．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】由题意可知、是一元二次方程的两个不相等实根，先求解方程得到两个根，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵实数m、n分别满足方程，，且， ∴、是一元二次方程的两个不相等实根， 解得，， ∴． 28．（26-27九年级上·全国·课后作业）用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ，； （2）解： 或 ，． 【基础题型八 换元法解一元二次方程】 29．（2025·福建南平·模拟预测）若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，设为x，利用平方差公式展开得，合并常数项整理得，直接开平方求出即可． 【详解】解：设， 则原方程为， ． 30．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程变形为，对照已知方程及其根得出或，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的根是， ∴关于的方程，即满足或， 解得：． 31．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）若，其中为实数且，，则____________． 【答案】 【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和． 【详解】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 32．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）综合与实践 我们把利用方程根的代换求新方程的方法称为换根法，核心解题步骤为：设新方程的根为y，根据根的对应关系，用含y的代数式表示原方程的根x；将x代入原方程，化简后得到关于y的新方程． 例：已知方程，求根为原方程根2倍的新方程． 解：设新方程的根为y，则，即，代入原方程得，化简得，即为所求方程． (1)基础应用 已知方程，用换根法求一个一元二次方程，使它的根是原方程根的相反数； (2)能力提升 已知方程，用换根法求一个新的一元二次方程，使它的根分别比原方程的根大1； (3)综合拓展 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为1和3，求一元二次方程的两实数根． 【答案】(1) (2) (3)3和5 【分析】（1）用题干提供的方法进行求解即可； （2）用题干提供的方法进行求解即可； （3）将新方程变形为，对比原方程得出，根据原方程的两根为1和3，得出新方程的两个根即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为y，则， 即， 将代入原方程，得， 化简得：； （2）解：设所求方程的根为y，则， 即， 将代入原方程，得， 展开化简得：； （3）解：将新方程变形整理：， ， ， 对比原方程，可得代换关系： ，即， ∵原方程的两根为1和3， ∴新方程的两根为，， 即所求两根为3和5． 【基础题型九 含绝对值的一元二次方程的解法】 33．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： (1)用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； (2)①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 【答案】(1)的算术平方根等于 (2)①；②或 【分析】本题考查算术平方根的定义，绝对值，解一元二次方程． （1）根据算术平方根的定义即可解答； （2）①将文字语言转化为数学语言即可；②利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：“”的等式含义为的算术平方根等于， 故答案为：的算术平方根等于； （2）解：①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值” 设这个数为， 则可以用数学符号语言描述为， 故答案为：； ②解：， 令， 由①得，， 则原方程为：，即， 或， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴或． 34．（25-26九年级上·重庆万州·阶段检测）阅读下面的例题与解答过程： 例．解方程： 解：当时，原方程可化为，解得（不合题意，舍去）； 当时，原方程可化为，解得（不合题意，舍去）； 原方程的解是． 在上面的解答过程中，我们对进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）分和两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可； （2）分和两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 综上所述，原方程的解为或或； （2）解：当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，原方程的解为或． 35．（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 【答案】，（舍去）；，；， 【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：②当时，原方程化为， 或 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，； ①当时，即时，原方程化为： ∴ 或 解得，（舍去）； ②当时，即时，原方程化为 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，． 36．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：．解：分两种情况： ①当x≥0时，原方程化为解得（舍去）； ②当x<0时，原方程化为，解得（舍去）． 综上所述，原方程的解是． 请参照上述方法解方程． 【答案】 【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：分两种情况： ①当，即时，原方程化为，解得； ②当，即时，原方程化为，解得（舍去），（舍去）． 综上所述，原方程的解是． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 【提高题型一 配方法求最值】 37．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 38．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 39．（25-26九年级上·江西九江·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题，我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．再如：，（，是整数），所以也是“完美数”． 例如，把二次三项式进行配方，可求其最值． 解： 当时，的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（只填序号）； ①11；    ②34；    ③60． （2）若可配方成（，为正整数），则的值为________； （3）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）②；（2）5；（3）2025． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将配方成的形式，即可得解； （3），据此求解即可． 【详解】解：（1）由于②，所以②是完美数， ；； 所以，不能表示成（a，b是整数）的形式，不是完美数； 故答案为：②； （2）由， 可配方成， ，， ， 故答案为：5； （3）解：因为， ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最小值为2025． 40．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)； 【分析】本题考查了一元二次方程的解，配方法的应用； （1）根据“方程”的定义进行判断； （2）①根据“方程”的定义把代入方程可得、的关系式； ②把代入后进行配方得到，然后根据非负数的性质解决问题． 【详解】（1）解：当时，， 一元二次方程是方程； 故答案为：是； （2）①该方程是方程， 即为方程的解， ， ； ②， ， ， 时，代数式有最小值，最小值为． 【提高题型二 一元二次方程解法的新定义计算】 41．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． (1)已知关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (2)如果关于的方程是常数根一元二次方程，求的值； (3)若关于的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于的方程是常数根一元二次方程． 【答案】(1)的值为0或； (2)或； (3) ∵关于x的常数根一元二次方程中不含零根， ∴方程的一个根为，且， 将代入方程，得，即， ∵， ∴， ∴把代入方程，得左边右边， ∴是关于y的方程的一个根， ∴关于y的方程是常数根一元二次方程． 【分析】（1）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于c的方程即可； （2）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，解关于m的方程即可； （3）根据常数根一元二次方程的定义，把代入方程，得到，因此是关于y的方程的一个根，从而得证结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，，即， 解得或； （2）解：∵关于x的方程是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为， 代入方程得，， 整理得，， 解得或； （3）解：略． 42．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 【答案】(1)①③ (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“好根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“好根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“好根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“好根方程”的定义求解关于的方程即可． 【详解】（1）解：①③是“好根方程” 解方程得， ，， 因为， 所以方程①是“好根方程”． 解方程得， ， 因为， 所以方程②不是“好根方程”． 解方程得， ，， 因为， 所以方程③是“好根方程”． （2）解方程得， ，． 因为此方程是“好根方程”， 所以或， 解得或， 所以的值为或． （3）解方程（为常数）得， ， 因为此方程是“好根方程”， 所以， 整理得， 所以． 43．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）定义：对于一元二次方程，如果a、b、c满足，那么该一元二次方程称为“零点方程”． (1)下列一元二次方程是“零点方程”的是________；（填序号） ①；②；③． (2)求证：当时，“零点方程”总有两个不相等的实数根； (3)若某“零点方程”的一个根为，则这个方程可以是________． (4)关于x的方程是“零点方程”，且是这个方程的一个根，求p的值． 【答案】(1)①③ (2) 证明：一元二次方程是“零点方程”， ， ， ， ， ， 当时，“零点方程”总有两个不相等的实数根； (3)（答案不唯一） (4)或 【分析】本题考查了根的判别式和新定义，关键是掌握新定义的应用． （1）根据“零点方程”定义判断即可； （2）根据“零点方程”定义和判别式△证明即可； （3）根据方程的根为和，构造方程即可； （4）根据“零点方程”定义和解方程即可． 【详解】（1）解：根据“零点方程”定义可知，是“零点方程”的一个根， 当时，①，是“零点方程”； ②，不是“零点方程”； ③，是“零点方程”； 故答案为：①③； （2）略 （3）解：“零点方程”的一个根为，另一个根为1， ∴这个方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）； （4）解：关于的方程是“零点方程”， ， ， 是方程的一个根， ， ， ， 解得或． 44．（25-26九年级上·广东茂名·期中）新定义：对于关于x的一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（） ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②若，，求m的取值范围； ③是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③ (2) ①证明： ，，， ∴， ∴此方程一定是“美好方程”； ②； ③存在， 【分析】（1）分别计算每个方程的判别式，再根据“美好方程”的定义即可判断； （2）①计算方程的判别式，再根据“美好方程”的定义即可证明； ②根据公式法求解方程，得到，，再结合题意列出不等式组，即可求解； ③代入点到，即可求出k的值． 【详解】（1）解：①对于， ，，， ∴， ∴是“美好方程”； ②对于， ，，， ∴， ∵41不是整数的平方， ∴不是“美好方程”； ③对于， ，，， ∴， ∴是“美好方程”； 综上，一定是“美好方程”是①③； （2）①略 ②解：由①得，， ∴此方程的解为， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 解得； ③解：由②得，，， ∴， 代入点到，得， 整理得：， ∵不恒为0， ∴， 解得， 综上，存在实数，． 【提高题型三 一元二次方程的解含参综合】 45．（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 【答案】 【分析】将原方程分解为两个一元二次方程，原方程有三个不同实根，说明一个方程有重根、另一个方程有两个不等实根，计算判别式即可得到、的关系式． 【详解】解：利用平方差公式分解得， 因此原方程等价于两个一元二次方程，， 分别计算两个方程的判别式 ，， ∵原方程有且仅有三个不同实数根，说明两个方程中一个有两个不等实根，一个有两个相等实根， ， ∴若，则，此时只有2个实根，不符合要求， 只能，此时，符合要求， 整理得， 假设两个方程有公共根，两式相减得，矛盾，因此三个根互不相同，满足条件， 故所求关系式为． 46．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． (2)若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】(1)证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； (2)整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 47．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知二次方程的两根一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围为________． 【答案】 【分析】由二次方程和根的判别式解不等式组得出实数m的取值范围． 【详解】解：是二次方程， ，解得． 二次方程有两根， ． 即． 或． 解，得． 解，得且，不合题意舍去． 实数m的取值范围为． 48．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）设m满足不等式，且关于x的一元二次方程有两个整数根，则符合条件的整数m的个数为______． 【答案】7 【分析】首先把方程进行整理，根据一元二次方程的求根公式得，再根据x，m均是整数且，得m为完全平方数，即可求解． 【详解】解：将方程整理得：， ∴， ∴当时，方程根为，     ∵，均是整数且， ∴为完全平方数， ∴，1、4、9、16、25、36． ∴符合条件的整数m的个数为7． 【提高题型四 换元法综合】 49．（2025九年级上·上海奉贤·竞赛）已知，则方程的解集是_______； 【答案】 【分析】利用换元法将原方程转化为整式方程，整理后换元求解，结合的范围舍去增根，检验后得到原方程的解集． 【详解】设，由得， 原方程可化为， 因为，方程两边均为正数，两边同时平方得：展开整理得：， 因为，方程两边同时除以得：整理得： ， 由，令，代入得：整理得一元二次方程， 解得或， 因为 ，所以，舍去，得即， 两边同乘得， 解得，由， 得检验：将代入原方程，左边，右边，左边等于右边， 是原方程的解． 50．（25-26八年级上·上海浦东新·阶段检测）将正方形沿虚线（其中）剪成①、②、③、④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个如图所示的矩形，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算与图形面积，一元二次方程的根的计算，理解图示，掌握整式的运算，求根公式的计算是关键． 根据图示，把正方形面积，拼接矩形的面积运用整式的混合运算表示出来，再根据一元二次方程的求根公式的计算即可求解． 【详解】解：根据题意，正方形的面积为， 拼成一个矩形（非正方形）如下图， ∴矩形的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴等式两边同时除以，整理得，， 令，则， 解得，， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 51．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为_____． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；通过观察方程，发现含有重复表达式，因此采用换元法，设，将原方程转化为关于的一元二次方程，求解后再代回求解． 【详解】解：设，则原方程可化为． 展开得，即． 因式分解得，解得，． 当时，，即，解得，． 当时，，即，判别式，解得，即，． 经检验，所有解均满足原方程． 故答案为：，，，． 52．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍． 解：设所求方程的根为，则， 把代入，得，化简得， 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题． (1)已知方程的两个根分别为和，求一个关于的方程，使得它的两个根分别为：，，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）． (2)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1) (2)所求方程为 (3)关于的一元二次方程的两个实数根为 【分析】本题主要考查了定义新运算，一元二次方程的计算，理解定义新运算的概念及计算，掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）根据题意得到，结合题意的计算即可求解； （2）令方程的根为，设所求方程的根为，结合题意的计算即可求解； （3）根据题意变形得到关于的一元二次方程为，结合题意的计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的方程，两个根分别为：，， ∴， 关于的方程的两个根分别为和， ∴， 解得，， ∴所求方程为， 故答案为：； （2）解：令方程的根为，设所求方程的根为， ∴，则， ∴， 整理得，，即， ∴所求方程为； （3）解：关于的一元二次方程变形得， ， 由（2）可知，关于的一元二次方程与关于的一元二次方程的两根互为倒数， ∴与互为倒数或与互为倒数， ∴或， 解得，或， ∴关于的一元二次方程的两个实数根为． 【提高题型五 一元二次方程解法与几何问题】 53．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，，的长度是的两根，． (1)求点的坐标． (2)把沿对折，点落在点处，线段与轴交于点，在平面上是否存在点，使、、、四点形成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或或 【分析】（1）先求解出方程的两根，再结合勾股定理求出的长度，由此可得点的坐标． （2）根据翻折的性质可得，再由矩形的性质可得，即可得，利用角的关系得到，设，利用勾股定理以及对应边相等求解出点的坐标，再分类讨论以为平行四边形的对角线，以为平行四边形的对角线，以及以为平行四边形的对角线，利用点的平移的特征求解点坐标即可． 【详解】（1）解：方程可因式分解为， 解得，， ∵． ∴，， 在中，， 在矩形中，， ∴点的坐标为． （2）解：存在，点坐标为或或 由翻折的性质可得， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∵， ∴，即， 则，解得， ∴点坐标为， ∵， ∴点坐标为， 当以为、、、四点形成的平行四边形的对角线，如图， 则点向下平移4个单位长得到点， ∴点向下平移4个单位长即可得到点； ∴点坐标为； 当以为、、、四点形成的平行四边形的对角线，如图， 则点向上平移4个单位长得到点， ∴点向上平移4个单位长即可得到点； ∴点坐标为； 当以为、、、四点形成的平行四边形的对角线，如图， 则点向右平移个单位长得到点， ∴点向右平移个单位长即可得到点； ∴点坐标为； 综上，在平面上存在点，使、、、四点形成的四边形为平行四边形， 则点坐标为或或． 54．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点、分别在菱形的边、上，为等边三角形，是的中点，延长交于点，已知，四边形的面积是的面积的倍，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作的垂线，交的延长线于点，连接、，交于点，设，由等边三角形的性质与菱形的性质可得，．容易判断是含角的直角三角形，结合勾股定理可得，，，进而计算出．分别计算出和的面积，结合是的中点可表示出和的面积．容易证明，则，利用割补法将菱形拆分，利用面积相等构造方程，求解出，并计算出即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，连接、，交于点，设， ∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， 在中，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ， ， ， ， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∵四边形的面积是的面积的倍， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得 解得或， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 55．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，A为坐标原点，和分别在x轴、y轴上，点E是边的中点，过点A的直线交线段（不经过C，D两点）于点F，连接，若平分，则k的值为_______． 【答案】 3 【分析】设，得，，连接，过点作于点，在中，根据勾股定理得，根据角平分线性质得，根据列关于的方程，解得的值即可得，将其代入直线得k的值． 【详解】解：设， ， ， 是中点， ， ， 如图，连接，过点作于点， 在中，， 平分， ， ， ， 即， ， 两边平方得，， 整理得，， 因式分解得，， 解得，， ，， ， 将代入直线， 得，， 解得，． 56．（25-26八年级下·吉林长春·期末）数学兴趣小组利用一个直角三角尺（含有）和一个正方形卡纸进行探究活动．将等腰直角三角形的直角顶点与正方形的顶点A重合，从图①所示的位置开始（即点B在上时），绕点A逆时针旋转，旋转角度为． (1)当时，如图②，若点E恰好落在射线上，发现此时点F落在正方形的边上．证明过程如下： 证明：连结、． 在正方形及等腰直角三角形中， 证明过程缺失 ∴． ∵点E 在直线 上， ∴， ∴． ∵， ∴点F在 上． 补全上述证明过程缺失部分． (2)当时， 如图③，若斜边恰好经过点 B， 连结． 求的度数； (3)当时，若斜边恰好经过点B，连结． 延长、交于点 G，连结．若， ，直接写出的长 ． 【答案】(1)在正方形及等腰直角三角形中， ，， ∴，即， 在与中， ， (2) (3)或 【分析】（1）由正方形和等腰直角三角形性质，利用边角边证明即可； （2）由（1）同理可得，则，故； （3）由旋转全等得，设，由勾股定理，解得或，结合图形位置取，延长与交于，由角度关系得为等腰直角三角形，故，．作，由得．作，利用面积法求，再由勾股定理求，，最后在由勾股定理得．另一位置同理可得结果为． 【详解】（1）略 （2）解：∵等腰， ， 由（1）同理可得，， ， ． （3）解：如图，当斜边恰好经过点B，连结． 延长、交于点 G，连结， 过作，交于，过作交于，交于， 由（1）可得，， ， 由（2）可得，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 在正方形及等腰直角三角形中， ， 设， 在中， ，即， 解得或， 由图可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中， ； 如图，当斜边恰好经过点B，连结． 延长、交于点 G，连结， 过作，交的延长线于，过作交的延长线于，交延长线于， 同理可得，，， ， ， ， ， 在中， ； 综上，的长为或． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于的方程，下列说法错误的是（    ） A．二次项系数为1 B．常数项为0 C．一次项系数为 D．适合用因式分解法解方程 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程各项系数的定义找出二次项、一次项、常数项，再对多项式因式分解，判断解方程适用方法，选出错误说法． 【详解】解：选项A：方程的二次项系数为1，不符合题意； 选项B：方程的常数项是3，符合题意； 选项C：方程的一次项系数为，不符合题意； 选项D：∵， ∴适合用因式分解法解方程，不符合题意． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的方程有实数根，则k的值可以是下列哪个数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况讨论，结合方程有实数根的条件确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：当时，方程为，解得，故方程有实数根，符合题意； 当时，∵ 方程有实数根， ∴，即，解得且， 综上，的取值范围是，故选项A符合题意． 3．（2026·甘肃嘉峪关·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 4．（2025·河南商丘·模拟预测）下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，逐一验证三个说法的正误即可． 【详解】解：①对于方程，，当时，，方程有两个相等的实数根，即有实数解，故①错误； ②对于方程，， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程都有两个不相等的实数根，故②正确； ③对于方程，由方程有两个不相等的实数根得，即，解得， 当时，方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，故错误，③错误； 综上，正确的说法有1个． 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】由题意可知、是一元二次方程的两个不相等实根，先求解方程得到两个根，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵实数m、n分别满足方程，，且， ∴、是一元二次方程的两个不相等实根， 解得，， ∴． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程没有实数根，请你写出一个满足条件的k的值：_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和方程无实数根的条件，求出k的取值范围，再在范围内取一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴． ∵原方程没有实数根， ∴根的判别式． 即， ∴， 解得， 故满足条件的可以为． 7．（2025·湖南益阳·模拟预测）方程的解为_____． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ，， ，． 8．（2025·贵州黔西南·模拟预测）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 【答案】且/且 【分析】需满足两个条件，一是一元二次方程要求二次项系数不为0，二是方程有两个不相等实数根要求根的判别式大于0，据此列不等式求解． 【详解】解：∵该方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式计算得， ∴， 解得， 综上，m的取值范围是且． 9．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 10．（2026·河南平顶山·三模）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据题意得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (3)（用公式法）； (4)（用适当的方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：直接开平方，得， 或， ，； （2）解：移项，得， 配方，得， 直接开平方，得， ，； （3）解：移项，得． ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ，． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)（用因式分解法）； (4)（用适当的方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ， 此时，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （3）解： ∴或， 解得，； （4）解： 解得，． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 【答案】无论取何实数，二次三项式有最大值23 【分析】将配方成，然后结合平方的非负性求解即可． 【详解】解： ， 无论取何实数，总有， ， ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）操作与实践 【示范操作】 古代数学家赵爽著《勾股圆方图注》中的配方方法更加简捷，只用了“拼”完成了配方，用4个长为，宽为x，面积为24的长方形，拼成如图1的大正方形，利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加中空的小正方形面积得：． 【模仿实践】 (1)仿例题配方解，先变形为________，如图2，每个小长方形的长为________，宽为________，利用图形的面积关系得配方后的方程为________，解为________． 【深入探究】 (2)配方解，自己画图分析，写出解题过程． 【总结提升】 小敏同学质疑方法的局限性：，变形为，没法拼图了呀？ 小聪同学发现：方法中的拼图就是模型，于是有了另一种方法，设，，则有，，，配方成功，从数到形，又从形回归到数． (3)请你用小聪的方法配方解，写出解题过程． 【答案】(1)，，，，， (2)由题意，先变形为， 如图， 每个小长方形的长为，宽为， ∴利用图形的面积关系得配方后的方程为， 即． 解得，； (3)， 【分析】（1）仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （2）先变形为，再仿照例题，根据面积关系列方程求解即可； （3）先变形为，设，，再仿照例题，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，先变形为， 如图2， 每个小长方形的长为，宽为，利用图形的面积关系得配方后的方程为， 解为，； （2）略 （3）解：由题意，先变形为， 设，， ． ， ． ． 解得，． 15．（25-26八年级下·吉林·期末）如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定，例如有整数解3和4，所以属于同族方程，所以． (1)以下一元二次方程中是同族方程的是________(填写序号) ①；②；③；④． (2)如果同族方程中有两个相等的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (3)关于x的一元二次方程属于同族方程，求正整数k的值． 【答案】(1)①④ (2)证明：∵ 完美方程是有两个相等解的同族方程，即有两个相等的实数解， ∴ ，即． ∵ 有意义， ∴ ． ∴ ． 故对任意一个完美方程，总有 (3)正整数的值为1或3 【分析】（1）分别解四个方程即可得解； （2）由题意可知根的判别式，从而求出； （3）求解这个一元二次方程，再根据同族方程定义即可得解． 【详解】（1）解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故①是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故②不是同族方程； 解方程得：，不满足两个实数解都为整数解， 故③不是同族方程； 解方程得：，满足两个实数解都为整数解， 故④是同族方程； 故是同族方程的是①④； （2）略 （3）由一元二次方程得：，， 解得：， ∵一元二次方程属于同族方程， ∴是整数， ∴正整数k的值为1或3． 学科网（北京）股份有限公司 $