25.2.3因式分解法＆25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 2026-2027学年人教版九年级数学上册同步讲义（知识点+题型精讲+过关检测）

本初中数学讲义聚焦因式分解法解一元二次方程、换元法、可化为一元二次方程的分式方程及根与系数的关系，构建从基础解法到转化应用的递进式学习支架，先以因式分解实现降次，再通过换元法转化特殊方程，结合分式方程去分母化为整式方程，最后用韦达定理解决根的相关问题。 资料特色在于知识点与题型深度融合，通过解题技巧解析（如因式分解步骤、换元类型）和典例变式分层训练，培养学生抽象能力（将二次方程抽象为因式乘积）、推理意识（韦达定理推导代数式值），课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过综合练习查漏补缺，强化知识应用。

25.2.3因式分解法＆25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 目录 知识点1 因式分解法解一元二次方程 1 知识点2 换元法解一元二次方程 2 知识点3 可化为一元二次方程的分式方程 2 知识点4 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 2 题型1 因式分解法解一元二次方程 3 题型2 换元法解一元二次方程 5 题型3 解分式方程（化为一元二次） 8 题型4 一元二次方程的根与系数的关系 11 1. 掌握因式分解法解一元二次方程，能灵活运用提公因式法和公式法。 2. 了解换元法，能运用换元法解特殊的一元二次方程。 3. 掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，理解增根的意义。 4. 理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能运用其解决相关问题。 知识点1 因式分解法解一元二次方程 将一元二次方程的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。 原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0。 一般步骤：①将方程右边化为0；②将左边因式分解；③令每个因式分别等于0；④解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 常用因式分解方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法。 知识点2 换元法解一元二次方程 对于某些结构特殊的方程，通过引入新的未知数（换元），将原方程转化为一元二次方程来解，这种方法叫做换元法。 适用类型：倒数型（如x＋1/x）、平方型（如(x²＋x)²）、重复结构型等。 一般步骤：①观察方程结构，设新元y代替重复出现的式子；②将原方程化为关于y的一元二次方程；③解关于y的方程；④将y的值代回换元式，求出原未知数x。 注意：换元后求出的y值必须代回检验，确保能求出实数x。 知识点3 可化为一元二次方程的分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。某些分式方程通过去分母可以化为一元二次方程。 解法步骤：①去分母（方程两边同乘最简公分母），化为整式方程；②解这个整式方程；③检验（将解代入最简公分母，若不为0则是原方程的根，若为0则是增根，必须舍去）。 增根：去分母后产生的使原分式方程分母为0的根。增根不是原方程的根，必须舍去。 解分式方程必须检验，这是与解整式方程的重要区别。 知识点4 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根为x₁、x₂，则： x₁＋x₂＝－b/a（两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数） x₁·x₂＝c/a（两根之积等于常数项除以二次项系数） 这个关系叫做一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。 应用：①已知一根求另一根；②求关于两根的对称代数式的值；③已知两根求作一元二次方程；④判断根的符号等。 注意：韦达定理成立的前提是方程有实数根（Δ≥0）。 题型1 因式分解法解一元二次方程 【解题技巧】 ① 核心原理：ab＝0 ⇔ a＝0或b＝0。将二次方程降为两个一次方程。 ② 解题步骤：右边化为0 → 左边因式分解 → 每个因式等于0 → 解一次方程得两根。 ③ 提公因式法：适用于有公因式的方程。如x²－3x＝0 → x(x－3)＝0 → x₁＝0，x₂＝3。 ④ 公式法：适用于符合平方差或完全平方形式的方程。如x²－9＝0 → (x＋3)(x－3)＝0；x²－4x＋4＝0 → (x－2)²＝0。 ⑤ 十字相乘法：适用于x²＋(p＋q)x＋pq＝0型，分解为(x＋p)(x＋q)＝0。如x²－5x＋6＝0 → (x－2)(x－3)＝0。 ⑥ 优先选择：有公因式先提公因式；符合公式用公式法；二次三项式考虑十字相乘。 ⑦ 易错点：右边未化为0就分解；因式分解不彻底；解一次方程时符号错误。 【常见考法】用因式分解法解方程；选择合适的因式分解方法；判断因式分解是否正确。 【典例1】．方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 【变式1】．方程的解为_____． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ，， ，． 【变式2】．用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ，； （2）解： 或 ，． 【变式3】．解方程：． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 题型2 换元法解一元二次方程 【解题技巧】 ① 识别换元结构：方程中重复出现某个代数式，或存在倒数关系、平方关系时，考虑换元。 ② 倒数型：如(x＋1/x)²－5(x＋1/x)＋6＝0，设y＝x＋1/x，化为y²－5y＋6＝0。 ③ 平方型：如(x²＋x)²－4(x²＋x)－12＝0，设y＝x²＋x，化为y²－4y－12＝0。 ④ 解题步骤：设新元y → 化为关于y的一元二次方程 → 解y → 代回换元式求x → 检验。 ⑤ 回代注意：求出y后，要代回y＝f(x)，解出x的所有可能值。 ⑥ 检验：换元法解出的x要代回原方程检验，尤其是分式方程换元时可能产生增根。 ⑦ 易错点：换元后忘记回代；回代时漏解；未检验增根。 【常见考法】用换元法解特殊方程；识别可换元的方程结构；含倒数或平方的复杂方程。 【典例2】．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，设为x，利用平方差公式展开得，合并常数项整理得，直接开平方求出即可． 【详解】解：设， 则原方程为， ． 【变式1】．若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 【答案】 / 【分析】（1）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，再解方程即可； （2）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，化简后两边同时除以，将方程转化为，解方程即可． 【详解】解：（1）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵，为正实数， ∴． （2）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴． 【变式2】．为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 【答案】，． 【分析】设，则原方程可化为，然后求出的值，再代入解方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∴，解得或， ∵， ∴舍去， ∴， ∴， ∴，． 【变式3】．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 题型3 解分式方程（化为一元二次） 【解题技巧】 ① 核心思路：去分母，将分式方程化为整式方程（一元二次方程），解整式方程后检验。 ② 解题步骤：找最简公分母 → 两边同乘公分母去分母 → 解整式方程 → 检验（代入公分母）→ 写出原方程的根。 ③ 最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的乘积。 ④ 增根判断：将解代入最简公分母，若值为0，则是增根，舍去；若不为0，则是原方程的根。 ⑤ 已知增根求参数：增根使公分母为0，先求可能的增根，再代入去分母后的整式方程求参数。 ⑥ 注意：去分母时不要漏乘不含分母的项；解出的根必须检验，这是必要步骤。 ⑦ 易错点：漏乘常数项；忘记检验；增根未舍去；公分母找错。 【常见考法】解可化为一元二次的分式方程；已知增根求参数；判断根是否为增根；分式方程应用题。 【典例3】．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． 【变式1】．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 【答案】 【分析】将代入原方程，把原方程转化为含的分式方程，再去分母整理即可得到关于的整式方程． 【详解】解：设，则，， 原方程可化为， 两边同时乘以得， 整理得， 得到关于的整式方程是． 【变式2】．解方程：． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，则是增根，舍去； 当时，，满足方程， ∴原方程的解为． 【变式3】．已知关于的方程无解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题先分解分式分母，将分式方程去分母转化为整式方程，分式方程无解分两种情况：一是整式方程无实根，原方程无解；二是整式方程的所有实根都是原分式方程的增根，原方程无解，分别计算得到m的取值范围． 【详解】解：对分母因式分解得 ， 原分式方程若有增根，则满足， 即增根为或 方程化为整式方程得： 即 分情况讨论原方程无解： 情况1：整式方程无实根，原分式方程无解， 计算判别式得， 令，得， 解得 ； 情况2：整式方程有实根，且所有实根都是增根，原分式方程无解， 将代入整式方程得， 解得 此时整式方程另一根为，不是增根，原方程有解，不符合要求； 将代入整式方程得 ， 解得 此时整式方程为，根为，为增根，原方程无解，符合要求 综上，的取值范围是． 题型4 一元二次方程的根与系数的关系 【解题技巧】 ① 韦达定理：若ax²＋bx＋c＝0（a≠0）两根为x₁、x₂，则x₁＋x₂＝－b/a，x₁x₂＝c/a。 ② 已知一根求另一根：由x₁＋x₂＝－b/a求另一根，或由x₁x₂＝c/a求另一根。 ③ 求对称代数式的值：将代数式用x₁＋x₂和x₁x₂表示，再代入求值。 常用变形：x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂；1/x₁＋1/x₂＝(x₁＋x₂)/(x₁x₂)；(x₁－x₂)²＝(x₁＋x₂)²－4x₁x₂。 ④ 已知两根求作方程：以x₁、x₂为根的一元二次方程为x²－(x₁＋x₂)x＋x₁x₂＝0。 ⑤ 判断根的符号：x₁x₂＞0且x₁＋x₂＞0→两根均正；x₁x₂＞0且x₁＋x₂＜0→两根均负；x₁x₂＜0→一正一负。 ⑥ 前提条件：运用韦达定理前，先确认方程有实数根（Δ≥0），尤其是求参数时要综合考虑。 ⑦ 易错点：记错公式（和是－b/a不是b/a）；忘记Δ≥0的前提；对称式变形错误。 【常见考法】已知一根求另一根；求关于两根的代数式的值；已知两根作方程；判断根的符号；韦达定理与判别式综合求参数。 【典例4】．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得． 【变式1】．关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【答案】59 【分析】根据根的判别式并结合，可求出，设方程的两个整数根为，根据根与系数的关系得，则，不妨设，利用、为正整数，可得出或，或，，从而得到对应的的值，即可求解． 【详解】解：设方程的两个整数根为， 根据题意得， ∵， ∴， ， 根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数， ∴， 不妨设， ∴或，或，， 解得或或， ∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 【变式2】．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 【变式3】．若实数a，b，c满足：，． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不能，理由如下： 把代入，得， 与奇偶性不同，b与奇偶性不同， 与必定同为偶数， 必定为偶数，即m必定为偶数． 【分析】（1）先求得，则，利用配方法和平方数的非负性求解即可； （2）先求得，且b，c是方程的两根，利用一元二次方程的判别式与根的关系得到，进而求得或1即可求解； （3）由已知得到，根据奇数与偶数的积是偶数，偶数与偶数的和为偶数可得结论． 【详解】（1）解：，， ∴， ． ∴当时，m的最小值为； （2）解：，， ． ∴b，c是方程的两根， ，则， ，则， ， ∵a为整数， 或1， ∴无论哪种情况都有， 或； （3）略 1．关于的方程，下列说法错误的是（    ） A．二次项系数为1 B．常数项为0 C．一次项系数为 D．适合用因式分解法解方程 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程各项系数的定义找出二次项、一次项、常数项，再对多项式因式分解，判断解方程适用方法，选出错误说法． 【详解】解：选项A：方程的二次项系数为1，不符合题意； 选项B：方程的常数项是3，符合题意； 选项C：方程的一次项系数为，不符合题意； 选项D：∵， ∴适合用因式分解法解方程，不符合题意． 2．方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后提取公因式，用因式分解法求解． 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得． 3．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 【答案】C 【分析】把方程的解代入得到关于的一元二次方程，解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：将代入得． 整理得． 因式分解得． ∴或， ∴或． 4．已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（     ） A．10 B． C．10或8 D．10或 【答案】C 【分析】先解一元二次方程，题目未说明给出的两条边都是直角边，需要分情况讨论，结合斜边是直角三角形最长边的性质计算即可． 【详解】解：， 因式分解得， 解得， 即直角三角形的两条边长为6和8， ∵直角三角形中斜边是最长边， ∴分两种情况讨论： ①当6和8均为直角边时，斜边长为； ②当8为斜边，6为直角边时，斜边长即为8； 综上，该直角三角形的斜边长为10或8． 5．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．0或4 B．－4 C．4 D．0 【答案】A 【分析】利用方程的根的定义，将代入原方程得到关于的方程，求解后结合一元二次方程二次项系数不为的要求，确定的取值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入原方程得：， 整理化简得， 解得或． ∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数，即 ∵和都满足条件， ∴的值为或． 6．一元二次方程的解是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题用因式分解法解一元二次方程，利用“若两个数乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或． 7．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 8．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 9．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 10．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】通过因式分解求解一元二次方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义分两种情况讨论根的关系，最终求解得到的值． 【详解】解：， ， 解得，． 关于的一元二次方程是“倍根方程”， 分两种情况：①当时，即，此时， ②当时，即，此时． 综上所述，代数式的值为或． 11．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 12．已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式因式分解后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴由根与系数的关系可得，； 对所求代数式因式分解得， 将，代入， 得原式． 13．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 【答案】3 【分析】根据新定义的分段运算规则，分和两种情况列方程求解，舍去不符合分类条件的根即可得到结果． 【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论：当时，， 令， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 本情况要求， ∴ 舍去，保留； 当时，， 令， 整理得， 解得， ∵ 本情况要求， ∴舍去 综上，实数的值为． 14．完成解题过程，用因式分解法解方程． （1） 解：移项，得_____． 因式分解，得_____． 于是得_____或_____， _____，_____． （2） 解：移项，得_____． 因式分解，得_____． 于是得_____，_____． 【答案】 0 3 【分析】根据因式分解法解一元二次方程的步骤填空即可． 【详解】略 15．数学活动课上，聪明的小颖和小亮在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数a，b同时满足，，求代数式的值． 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当时，a的值是_____________． （2）当时，代数式的值是_____________． 【答案】 或1 6 【分析】（1）将替换为代入，得到关于的一元二次方程，求解即可； （2）首先把两个已知方程相减，因式分解后结合的条件，求出的值；再把两个已知方程相加，结合求出的的值，得到相关的表达式，进而求出的值；最后将变形为含有和的形式，代入计算即可． 【详解】【小题1】当时， ∴， 整理， ， 解得：或； 【小题2】联立方程组， 将得：， 整理得：， 将得：， 整理得：， ∴， 又∵， ∴，即④， 将④代入③，得，即， 又∵， ∴， ∴． 16．解方程：． 【答案】， 【详解】， ， 或， 解得：，． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解． 【答案】(1)， (2)，方程的另一个解为 【分析】（1）当时，方程为，运用因式分解法求解即可； （2）把代入方程，求出b的值，再解方程即可解答． 【详解】（1）解：当时，方程为， 因式分解，得， 所以或， 解得，． （2）解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解，得， 解得，， ∴方程的另一个解为． 18．现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． (1)若“”内填入0，请求出方程的根； (2)在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 【答案】(1)， (2)“”内的值为1，方程的根 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）设在“”内填入的数为m，利用判别式求出m的值，再解方程求出方程的根即可． 【详解】（1）解：由题意得，原方程为， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：设在“”内填入的数为m， 由题意得，， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得． 19．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，掌握基本步骤是解题的关键；方程两边同乘，化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得：， 即， ∴， 经检验是原方程的根， ∴． 20．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非负性证明判别式恒大于0； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解，进而得到的值． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 22．已知关于的方程． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)①证明：由题可得，，，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； ②． 【分析】（1）根据一元一次方程可知，求出m的值，代入求解即可； （2）①根据根的判别式证明即可； ②根据根与系数的关系得到，，根据完全平方公式得到，可知的值． 【详解】（1）解：当，即时，该方程是一元一次方程， 把代入，得， 解得， ∴该方程的解为； （2）①略； ②解：∵和是该方程的两个解， ∴，， ∴， 所以． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.3因式分解法＆25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 目录 知识点1 因式分解法解一元二次方程 1 知识点2 换元法解一元二次方程 2 知识点3 可化为一元二次方程的分式方程 2 知识点4 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 2 题型1 因式分解法解一元二次方程 3 题型2 换元法解一元二次方程 3 题型3 解分式方程（化为一元二次） 4 题型4 一元二次方程的根与系数的关系 5 1. 掌握因式分解法解一元二次方程，能灵活运用提公因式法和公式法。 2. 了解换元法，能运用换元法解特殊的一元二次方程。 3. 掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，理解增根的意义。 4. 理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），能运用其解决相关问题。 知识点1 因式分解法解一元二次方程 将一元二次方程的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。 原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0。 一般步骤：①将方程右边化为0；②将左边因式分解；③令每个因式分别等于0；④解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。 常用因式分解方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法。 知识点2 换元法解一元二次方程 对于某些结构特殊的方程，通过引入新的未知数（换元），将原方程转化为一元二次方程来解，这种方法叫做换元法。 适用类型：倒数型（如x＋1/x）、平方型（如(x²＋x)²）、重复结构型等。 一般步骤：①观察方程结构，设新元y代替重复出现的式子；②将原方程化为关于y的一元二次方程；③解关于y的方程；④将y的值代回换元式，求出原未知数x。 注意：换元后求出的y值必须代回检验，确保能求出实数x。 知识点3 可化为一元二次方程的分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。某些分式方程通过去分母可以化为一元二次方程。 解法步骤：①去分母（方程两边同乘最简公分母），化为整式方程；②解这个整式方程；③检验（将解代入最简公分母，若不为0则是原方程的根，若为0则是增根，必须舍去）。 增根：去分母后产生的使原分式方程分母为0的根。增根不是原方程的根，必须舍去。 解分式方程必须检验，这是与解整式方程的重要区别。 知识点4 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根为x₁、x₂，则： x₁＋x₂＝－b/a（两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数） x₁·x₂＝c/a（两根之积等于常数项除以二次项系数） 这个关系叫做一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。 应用：①已知一根求另一根；②求关于两根的对称代数式的值；③已知两根求作一元二次方程；④判断根的符号等。 注意：韦达定理成立的前提是方程有实数根（Δ≥0）。 题型1 因式分解法解一元二次方程 【解题技巧】 ① 核心原理：ab＝0 ⇔ a＝0或b＝0。将二次方程降为两个一次方程。 ② 解题步骤：右边化为0 → 左边因式分解 → 每个因式等于0 → 解一次方程得两根。 ③ 提公因式法：适用于有公因式的方程。如x²－3x＝0 → x(x－3)＝0 → x₁＝0，x₂＝3。 ④ 公式法：适用于符合平方差或完全平方形式的方程。如x²－9＝0 → (x＋3)(x－3)＝0；x²－4x＋4＝0 → (x－2)²＝0。 ⑤ 十字相乘法：适用于x²＋(p＋q)x＋pq＝0型，分解为(x＋p)(x＋q)＝0。如x²－5x＋6＝0 → (x－2)(x－3)＝0。 ⑥ 优先选择：有公因式先提公因式；符合公式用公式法；二次三项式考虑十字相乘。 ⑦ 易错点：右边未化为0就分解；因式分解不彻底；解一次方程时符号错误。 【常见考法】用因式分解法解方程；选择合适的因式分解方法；判断因式分解是否正确。 【典例1】．方程的解是（） A． B． C． D． 【变式1】．方程的解为_____． 【变式2】．用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【变式3】．解方程：． 题型2 换元法解一元二次方程 【解题技巧】 ① 识别换元结构：方程中重复出现某个代数式，或存在倒数关系、平方关系时，考虑换元。 ② 倒数型：如(x＋1/x)²－5(x＋1/x)＋6＝0，设y＝x＋1/x，化为y²－5y＋6＝0。 ③ 平方型：如(x²＋x)²－4(x²＋x)－12＝0，设y＝x²＋x，化为y²－4y－12＝0。 ④ 解题步骤：设新元y → 化为关于y的一元二次方程 → 解y → 代回换元式求x → 检验。 ⑤ 回代注意：求出y后，要代回y＝f(x)，解出x的所有可能值。 ⑥ 检验：换元法解出的x要代回原方程检验，尤其是分式方程换元时可能产生增根。 ⑦ 易错点：换元后忘记回代；回代时漏解；未检验增根。 【常见考法】用换元法解特殊方程；识别可换元的方程结构；含倒数或平方的复杂方程。 【典例2】．若，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【变式1】．若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 【变式2】．为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，解得，． 当时，，则，∴； 当时，，则，∴； ∴原方程的根为：，，，， 根据以上材料解方程：． 【变式3】．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 题型3 解分式方程（化为一元二次） 【解题技巧】 ① 核心思路：去分母，将分式方程化为整式方程（一元二次方程），解整式方程后检验。 ② 解题步骤：找最简公分母 → 两边同乘公分母去分母 → 解整式方程 → 检验（代入公分母）→ 写出原方程的根。 ③ 最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的乘积。 ④ 增根判断：将解代入最简公分母，若值为0，则是增根，舍去；若不为0，则是原方程的根。 ⑤ 已知增根求参数：增根使公分母为0，先求可能的增根，再代入去分母后的整式方程求参数。 ⑥ 注意：去分母时不要漏乘不含分母的项；解出的根必须检验，这是必要步骤。 ⑦ 易错点：漏乘常数项；忘记检验；增根未舍去；公分母找错。 【常见考法】解可化为一元二次的分式方程；已知增根求参数；判断根是否为增根；分式方程应用题。 【典例3】．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 【变式2】．解方程：． 【变式3】．已知关于的方程无解，求的取值范围． 题型4 一元二次方程的根与系数的关系 【解题技巧】 ① 韦达定理：若ax²＋bx＋c＝0（a≠0）两根为x₁、x₂，则x₁＋x₂＝－b/a，x₁x₂＝c/a。 ② 已知一根求另一根：由x₁＋x₂＝－b/a求另一根，或由x₁x₂＝c/a求另一根。 ③ 求对称代数式的值：将代数式用x₁＋x₂和x₁x₂表示，再代入求值。 常用变形：x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂；1/x₁＋1/x₂＝(x₁＋x₂)/(x₁x₂)；(x₁－x₂)²＝(x₁＋x₂)²－4x₁x₂。 ④ 已知两根求作方程：以x₁、x₂为根的一元二次方程为x²－(x₁＋x₂)x＋x₁x₂＝0。 ⑤ 判断根的符号：x₁x₂＞0且x₁＋x₂＞0→两根均正；x₁x₂＞0且x₁＋x₂＜0→两根均负；x₁x₂＜0→一正一负。 ⑥ 前提条件：运用韦达定理前，先确认方程有实数根（Δ≥0），尤其是求参数时要综合考虑。 ⑦ 易错点：记错公式（和是－b/a不是b/a）；忘记Δ≥0的前提；对称式变形错误。 【常见考法】已知一根求另一根；求关于两根的代数式的值；已知两根作方程；判断根的符号；韦达定理与判别式综合求参数。 【典例4】．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 【变式1】．关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【变式2】．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【变式3】．若实数a，b，c满足：，． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 1．关于的方程，下列说法错误的是（    ） A．二次项系数为1 B．常数项为0 C．一次项系数为 D．适合用因式分解法解方程 2．方程的根是（     ） A． B． C． D． 3．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C．或3 D．或1 4．已知直角三角形有两条边长分别是方程的两个根，则该直角三角形的斜边长是（     ） A．10 B． C．10或8 D．10或 5．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．0或4 B．－4 C．4 D．0 6．一元二次方程的解是（     ） A． B． C．或 D．或 7．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 8．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 9．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 10．新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 11．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 12．已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 13．对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 14．完成解题过程，用因式分解法解方程． （1） 解：移项，得_____． 因式分解，得_____． 于是得_____或_____， _____，_____． （2） 解：移项，得_____． 因式分解，得_____． 于是得_____，_____． 15．数学活动课上，聪明的小颖和小亮在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数a，b同时满足，，求代数式的值． 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当时，a的值是_____________． （2）当时，代数式的值是_____________． 16．解方程：． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解． 18．现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． (1)若“”内填入0，请求出方程的根； (2)在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 19．解方程：． 20．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 22．已知关于的方程． (1)当该方程是一元一次方程时，求出该方程的解； (2)当该方程是一元二次方程时， ①求证：该方程有两个不相等的实数根； ②已知和是该方程的两个根，求出的值．（用含的代数式表示） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $