专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（2个知识点+14大题型+自我检测）-2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系核心知识点，先系统梳理韦达定理基本内容（两根之和、两根之积），再延伸至根的符号判断、构造方程、参数求解等应用，构建从基础概念到综合运用的学习支架。 该资料以14大题型分层训练（基础8类+提高4类）为特色，结合即时训练与自我检测，通过构造方程求代数式值、几何图形结合等题型，培养学生抽象能力与推理意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训 （2个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、利用根与系数的关系直接求代数式的值 1 题型二、利用根与系数的关系间接求代数式的值 2 题型三、利用根与系数的关系降次求代数式的值 3 题型四、利用根与系数的关系求参数的值 5 题型五、构造一元二次方程求代数式的值 6 题型六、利用根与系数的关系判断根的情况 8 题型七、根的代入与根与系数的关系结合问题 9 题型八、根与系数的关系中新定义问题 11 题型九、根与系数关系的多结论判断问题 11 题型十、根与系数关系与几何图形结合 11 第二部分·练提高题型 题型一、利用根与系数关系判断说法正误综合 11 题型二、利用根与系数关系求参综合 11 题型三、根与系数关系的新考法 11 题型四、一元二次方程根与系数关系的综合 11 第三部分・自我检测 知识点01 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即时训练】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)； (3)． 知识点02 一元二次方程根与系数的关系的应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 【即时训练】 3．（25-26九年级下·湖南永州·单元复习）已知方程的两个实数根分别为m，n，则 ______________________． _____________________． ______________________． _______________________． _________________________； ________________________． 4．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【基础题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）若一元二次方程的两个根为，，则的值是________． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知方程的一个根是，不解方程，求此方程的另一个根； （2）已知方程的一个根是，不解方程，求此方程的另一个根． 【基础题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 5．（25-26八年级下·山东青岛·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 6．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 7．（2026·江西·模拟预测）已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 8．（2026·四川内江·二模）设m、n是方程的两实数根，则＝_____． 【基础题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为______． 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 11．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 12．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）________； （2）求代数式的值为________． 【基础题型四 利用根与系数的关系求参数的值】 13．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 14．（2026·宁夏吴忠·三模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则m的值_________． 15．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，则k的值为_________． 16．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 【基础题型五 构造一元二次方程求代数式的值】 17．（25-26九年级下·四川宜宾·期末）已知，，且，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 18．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）已知m，n满足，（m，n是实数，且），则的值为______． 19．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． (1)请参照例题解方程； (2)拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 20．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值． (2)思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值． 【基础题型六 利用根与系数的关系判断根的情况】 21．（24-25八年级下·浙江温州·阶段检测）已知一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． (2)当时，请判别方程根的情况． 22．（2025·全国·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为6，求m的值和方程的另一个根． 23．（24-25九年级上·湖南郴州·开学考试）已知关于x的一元二次方程：， (1)若此方程有一个根为1，求另一个根及k的值． (2)若k为任意实数，请判断此方程根的情况． 24．（25-26九年级上·全国·课后作业）判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 【基础题型七 根的代入与根与系数的关系结合问题】 25．（25-26八年级下·北京·期末）设m，n是方程的两实数根，则______． 26．（25-26八年级下·北京·期末）若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 27．（25-26八年级下·北京·期末）若，是方程的两根，则的值为________． 28．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当时， ①求的值； ②求的值． 【基础题型八 根与系数的关系中新定义问题】 29．（2026·四川广安·三模）对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 30．（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 31．（2026·安徽宿州·二模）已知关于的一元二次方程的两根为，定义该方程两根的关联值． （）若，则关联值为______． （）已知关于的方程（为整数，），若该方程关联值满足．则符合条件的整数的和为______． 32．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若，是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【基础题型九 根与系数关系的多结论判断问题】 33．（25-26九年级上·北京·阶段检测）关于x的方程，有下面5个说法： ①存在实数k，使得方程无实数根； ②存在实数k，使得方程恰有1个实数根； ③存在实数k，使得方程恰有2个不同实数根； ④存在实数k，使得方程恰有3个不同实数根； ⑤存在实数k，使得方程恰有4个不同实数根； 其中正确的说法有（    ）个 A．0 B．2 C．3 D．5 34．（25-26九年级上·山东聊城·期末）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（   ） A．必有两个不相等的实数根 B．当时，有两个相等的实数根 C．当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D．当a，b同号时，方程有两个异号实数根 35．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）对于关于的方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②当时，方程无实数解； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④一元二次方程有两个相等的实根，则； 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．④ 36．（25-26八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是________．（填写序号） 【基础题型十 根与系数关系与几何图形结合】 37．（2026·广东河源·二模）已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 38．（24-25九年级上·广东东莞·期中）泉泉自制了一款等腰三角形晾衣架，设计的平面图如图所示，已知该晾衣架的底边长为，另外两边长是方程的两个根，则该晾衣架三角形部分的周长为______． 39．（25-26八年级下·四川·期末）已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 40．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 【提高题型一 利用根与系数关系判断说法正误综合】 41．（25-26九年级上·重庆·期中）关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一个根是； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程的两个根为，且满足，则方程，必有实数根． 其中，正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程下列说法，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若有两个不相等的实数根，则有两个不相等实数根； ⑤若有两个不相等的实数根，则也有两个不相等的实数根； A．2 B．3 C．4 D．5 44．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）已知一元二次方程中，下列说法：①若，则；②若方程两根为和，则；③若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【提高题型二 利用根与系数关系求参综合】 45．（2026·四川宜宾·二模）已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 46．（2026·安徽合肥·一模）若关于x的方程的正数根只有一个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）满足一元二次不等式的范围是，则的值为（） A． B． C． D． 48．（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 【提高题型三 根与系数关系的新考法】 49．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现．”我们向伟人看齐，将这种勤思善学、励能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜． 【提出问题】 我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系？ 【构造关系】 将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照的比例放大或缩小，其中，我们称新方程为原方程的“系变方程”，系变倍数为． (1)当系变倍数为3时，求解一元二次方程的“系变方程”． 【自能探究】 (2)已知某一元二次方程有两个实数根、，当时，其“系变方程”也有两个实数根、，且，求的最小值． (3)已知关于的方程有四个实数根、、、，问是否存在定值，对于任意实数，都满足，若存在，请求出的值．若不存在，请说明理由． 50．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 51．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的伴随方程，其中a，b，c为常数（且a，）．根据此定义解决下列问题： (1)若是一元二次方程的伴随方程的一个根，求出c的值． (2)若m，n为一元二次方程的两个根，且． （ⅰ）若，，求一元二次方程的伴随方程． （ⅱ）求证：一元二次方程的伴随方程的两个根分别为，． 52．（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【提高题型四 一元二次方程根与系数关系的综合】 53．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 54．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 55．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 56．（25-26九年级下·山东济南·自主招生）若实数a，b，c满足：，． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·重庆·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 5．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（     ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 6．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知一元二次方程的两根为、，则_____． 7．（2026·江西南昌·模拟预测）已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 8．（2026九年级上·甘肃天水·竞赛）已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 9．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 10．（25-26八年级下·山东淄博·期末）阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 11．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 12．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 13．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 14．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． (1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． (2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训 （2个知识点+14大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、利用根与系数的关系直接求代数式的值 1 题型二、利用根与系数的关系间接求代数式的值 2 题型三、利用根与系数的关系降次求代数式的值 3 题型四、利用根与系数的关系求参数的值 5 题型五、构造一元二次方程求代数式的值 6 题型六、利用根与系数的关系判断根的情况 8 题型七、根的代入与根与系数的关系结合问题 9 题型八、根与系数的关系中新定义问题 11 题型九、根与系数关系的多结论判断问题 11 题型十、根与系数关系与几何图形结合 11 第二部分·练提高题型 题型一、利用根与系数关系判断说法正误综合 11 题型二、利用根与系数关系求参综合 11 题型三、根与系数关系的新考法 11 题型四、一元二次方程根与系数关系的综合 11 第三部分・自我检测 知识点01 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即时训练】 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）若、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2026 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴. 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ，； （2）解：， ，； （3）解：， ，． 知识点02 一元二次方程根与系数的关系的应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 【即时训练】 3．（25-26九年级下·湖南永州·单元复习）已知方程的两个实数根分别为m，n，则 ______________________． _____________________． ______________________． _______________________． _________________________； ________________________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得到与的值，再将所求代数式变形，利用整体代入法计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，． 方程的两个实数根分别为，， 由根与系数的关系得：，． 计算：． 计算：． 计算：． 计算：，． 4．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)设的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】(1)证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∵， ∴， 即， ∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）将原方程化为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式，结合绝对值的非负性证明判别式恒大于0； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解，进而得到的值． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得方程的一般形式为， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴． 【基础题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）若一元二次方程的两个根为，，则的值是________． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的两个根为，， ． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据根与系数关系得到，再利用整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）已知方程的一个根是，不解方程，求此方程的另一个根； （2）已知方程的一个根是，不解方程，求此方程的另一个根． 【答案】（1）3（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据两根之积公式，建立，再解得，即可作答． （2）根据两根之和公式，建立，再解得，即可作答． 【详解】解：（1）设方程的另一个根为m， ∵方程的一个根是， ∴ ， 解得． ∴方程的另一个根为3． （2）设方程的另一个根为t， ∵方程的一个根是， ∴， 解得． ∴方程的另一个根为． 【基础题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 5．（25-26八年级下·山东青岛·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求代数式通分变形代入计算即可求解． 【详解】∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴． 6．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 7．（2026·江西·模拟预测）已知，是一元二次方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，将所求代数式因式分解后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴由根与系数的关系可得，； 对所求代数式因式分解得， 将，代入， 得原式． 8．（2026·四川内江·二模）设m、n是方程的两实数根，则＝_____． 【答案】7 【分析】根据m、n是方程的两实数根，得到，，变形得，整体代入即可． 【详解】解：方程可化为， ∵m、n是方程的两实数根， ∴，， ∴． 【基础题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 【答案】15 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次，再根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， 由一元二次方程根的定义得，即， 由根与系数的关系得，， 将代入所求代数式得： ． 11．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】7 【分析】根据，是方程的两个实数根，利用一元二次方程解的定义得到降次关系式，再利用根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式逐步降次变形，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，且， 整理得，， 则 ． 12．（25-26八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为． （1）________； （2）求代数式的值为________． 【答案】 1 【分析】（1）设一元二次方程的另一个根为，利用根与系数的关系求得，； （2）由题意得，对原式化简，再利用整体代入求解即可． 【详解】解：（1）设一元二次方程的另一个根为， 则， ， ， ， ； （2）， ， ． 【基础题型四 利用根与系数的关系求参数的值】 13．（2026·河北·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 14．（2026·宁夏吴忠·三模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则m的值_________． 【答案】 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和，再联立已知等式求出两根，最后利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：对于一元二次方程，，，， 由根与系数的关系可得：， 联立方程组， 得， 解得， 将代入，得， 由根与系数的关系得， 因此． 15．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，则k的值为_________． 【答案】1 【分析】先根据方程有两个不相等的实数根得到k的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将变形为，即可列方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系可得，， ， ， ， 解得， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 的值为1． 16．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，突破口是计算根的判别式，因为一元二次方程，当时总有两个实数根，所以先写出该方程对应的，再计算并证明其非负． （2）突破口是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），因为已知方程的两根，所以先写出和的表达式，再将等式展开，代入和的表达式得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：在方程 中，,,, 则 ． ∵ ∴ ． ∴不论为何值，方程总有两个实数根． （2）解：在方程 中，,,, ∴ ． ∵ ∴, 解得． ∴的值为3． 【基础题型五 构造一元二次方程求代数式的值】 17．（25-26九年级下·四川宜宾·期末）已知，，且，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据已知得出，，得出，是方程的两根，进而利用根与系数的关系代入求出即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，是方程的两根， 则，， 故 ． 18．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）已知m，n满足，（m，n是实数，且），则的值为______． 【答案】 【详解】解：由m，n满足，（m，n是实数，且），可知：把m，n看作是一元二次方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：． 19．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． (1)请参照例题解方程； (2)拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 【答案】(1)， (2)2或 【分析】（1）分两种情况分析：当时，当时，分别解一元二次方程即可； （2）分两种情况分析：①当时，②当时，然后根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （2）∵， ①当时，， ②当时，m、n是方程的两根， ∴，， ∴原式． ∴的值为2或． 20．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）阅读以下材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： 已知实数a，b满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：已知实数a，b满足，，且，求的值． (2)思维拓展：已知实数a，b满足，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求得，然后对所求代数式因式分解后整体代入求值即可； （2）在方程的两边同时除以得，易得可将a，看作方程的两个不相等的实数根，则，，然后对所求代数式因式分解后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵实数a，b满足，，且， ∴可将a，b看作方程的两个不相等的实数根， ，， ∴． （2）解：在方程的两边同时除以得， 又∵实数a满足，且， ∴可将a，看作方程的两个不相等的实数根， ，， ． 【基础题型六 利用根与系数的关系判断根的情况】 21．（24-25八年级下·浙江温州·阶段检测）已知一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． (2)当时，请判别方程根的情况． 【答案】(1)，方程的另一个根为 (2)方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键． （）把，代入方程可求出的值，利用根和系数的关系可求出方程的另一个根； （）求出的值即可判断求解； 【详解】（1）解：把，代入方程，得， 解得， 设方程的另一个根为， 由根和系数的关系得，， ∴， 即方程的另一个根为； （2）解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 22．（2025·全国·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为6，求m的值和方程的另一个根． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由： 对于一元二次方程，其中，，． 根的判别式， 则 ． ， ， ，即 ． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根， 原方程有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，根据判断的正负，进而确定根的情况． （2）将已知根代入方程求出的值，再利用韦达定理（一元二次方程两根之和与系数的关系）求出另一个根 ． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，熟练掌握根的判别式判断根的情况以及韦达定理求根与系数关系是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：是方程的一个根， 把代入方程得 ， 即， ， 解得 ． 设方程的另一个根为， 在方程中，，， 已知一个根是，则 ， ． 23．（24-25九年级上·湖南郴州·开学考试）已知关于x的一元二次方程：， (1)若此方程有一个根为1，求另一个根及k的值． (2)若k为任意实数，请判断此方程根的情况． 【答案】(1)，另一根为 (2)方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查的是一元二次方程根的含义，根与系数的关系，根的判别式的应用； （1）把代入方程得到关于k的方程，求出k的值，再利用根与系数的关系可得另一根； （2）计算判别式得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】（1）解：∵方程有一根为1，则 ， 解得：． 设另一根为，则 ，即， （2）解：略． 24．（25-26九年级上·全国·课后作业）判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)有两个不相等的实数根，， (2)有两个相等的实数根，， (3)有两个不相等的实数根，， (4)有两个不相等的实数根，， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． 各个小题均根据根的判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，求出两根和与两根积． 【详解】（1）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （2）解：， ，，， △ ， 方程有两个相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （3）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （4）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ． 【基础题型七 根的代入与根与系数的关系结合问题】 25．（25-26八年级下·北京·期末）设m，n是方程的两实数根，则______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系得到两根之和，整体代入计算即可得到结果，用到的都是初中一元二次方程的基础性质． 【详解】解 是方程的实数根， ， 整理得， ，是方程的两实数根， 由根与系数的关系得， ∴． 26．（25-26八年级下·北京·期末）若2是关于x的一元二次方程的一个根，则一元二次方程的根为_____ ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，利用换元法将新方程转化为与原方程形式相同的方程，结合原方程的根与系数的关系求出换元后变量的根，再回代得到新方程的根． 【详解】解：令，则方程可化为，与原一元二次方程形式相同， 是原方程的一个根， 是方程的一个根， 设方程的另一个根为，由根与系数的关系得： ， 代入得， 解得， ， ， 当时，， 当时，， 所求方程的根为． 27．（25-26八年级下·北京·期末）若，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的值，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的值，最后代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的根， ， 整理得， 又，是方程的两根， 根据根与系数的关系可得， 将，代入代数式得． 28．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当时， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)且 (2)①；② 【分析】（1）由一元二次方程定义及根与判别式关系求解即可； （2）由一元二次方程根与系数关系及根的定义得到相关等式，对所求代数式恒等变形后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：是关于的一元二次方程， ，则， 关于的一元二次方程有两个实数根， ，解得， 综上所述，的取值范围是且； （2）解：当时，，整理得， ，是一元二次方程的两个实数根， ， ①； ②． 【基础题型八 根与系数的关系中新定义问题】 29．（2026·四川广安·三模）对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】先根据新定义代入，，整理得到一元二次方程的标准形式，再利用根与系数的关系即可得到答案. 【详解】∵ ，且， ∴ 将，代入得： ， 整理得：， ∴ ． 30．（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由得：，由根与系数的关系得；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 31．（2026·安徽宿州·二模）已知关于的一元二次方程的两根为，定义该方程两根的关联值． （）若，则关联值为______． （）已知关于的方程（为整数，），若该方程关联值满足．则符合条件的整数的和为______． 【答案】 【分析】（）利用根和系数的关系得，，再代入计算即可求解； （）利用根和系数的关系得 ，，即得，进而可得，得到取，再相加即可求解． 【详解】解：（）由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∴ ， 故答案为：； （）由一元二次方程根和系数的关系得， ，， ∴， ， ∴ ， 解得， 为整数，且， 取， ∴符合条件的整数的和为， 故答案为：． 32．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若，是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)53 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念以及根与系数的关系．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质以及根与系数关系求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； 故答案为：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，，解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵，是此方程的两个不相等实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 【基础题型九 根与系数关系的多结论判断问题】 33．（25-26九年级上·北京·阶段检测）关于x的方程，有下面5个说法： ①存在实数k，使得方程无实数根； ②存在实数k，使得方程恰有1个实数根； ③存在实数k，使得方程恰有2个不同实数根； ④存在实数k，使得方程恰有3个不同实数根； ⑤存在实数k，使得方程恰有4个不同实数根； 其中正确的说法有（    ）个 A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】设，则原方程可变形为（1），利用一元二次方程根的判别式可得，再分三种情况讨论，结合一元二次方程根与系数的关系与根的判别式，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可变形为（1）， ∴， ∴当，即时，方程（1）没有实数根， 即存在实数k，使得方程无实数根，故①正确； 当，即时，方程（1）有两个相等实数根， ∴， 解得：， 即存在实数k，使得方程恰有1个实数根，故②正确； 当，即时，方程（1）有两个不相等实数根， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴无实数根，有2个不相等的实数根， ∴存在实数k，使得方程恰有2个不同实数根，故③正确；不存在实数k，使得方程恰有3个或4个不同实数根，故④⑤错误； ∴正确的说法有3个． 故选：C 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是用换元的思想，将原方程转化为较简单的方程，本题分类比较复杂，属于较难试题． 34．（25-26九年级上·山东聊城·期末）若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（   ） A．必有两个不相等的实数根 B．当时，有两个相等的实数根 C．当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D．当a，b同号时，方程有两个异号实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，A、B通过根的判别式进行判断，C、D结合根与系数的关系得结论． 【详解】解：∵一元二次方程的各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故A错误，符合题意；B正确，不符合题意； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故C正确，不符合题意； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为， ∴方程有两个异号实数根，故D正确，不符合题意， 故选：A． 35．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）对于关于的方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②当时，方程无实数解； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④一元二次方程有两个相等的实根，则； 其中正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．④ 【答案】D 【详解】解：对于①：将代入得，若，则满足方程，即方程的根为，不是，故①错误； 对于②：当时，方程变为，若，方程有实数解，故②错误； 对于③：是方程的一个根，代入得，整理得， 或，不是一定有，故③错误； 对于④：一元二次方程有两个相等的实根， ，且判别式，即， 对两边同乘得，代入得： ， ，故④正确； 综上只有④正确． 36．（25-26八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是________．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，，故②正确； ∵， ∴， 即， ∴，故③错误； ∵， ∴方程化为， ∴， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，故④正确． 故答案为：①②④． 【基础题型十 根与系数关系与几何图形结合】 37．（2026·广东河源·二模）已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，验证三边满足三角形三边关系后，即可计算出周长． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵a，b，4分别是三角形三边的长， ∴，且， ∴三边满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴ 三角形的周长为． 38．（24-25九年级上·广东东莞·期中）泉泉自制了一款等腰三角形晾衣架，设计的平面图如图所示，已知该晾衣架的底边长为，另外两边长是方程的两个根，则该晾衣架三角形部分的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程根和系数的关键，设方程的两个根为，由等腰三角形的定义可知，进而由一元二次方程根和系数的关系得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设方程的两个根为，由题意可得， 由根和系数的关系得，， ∴， ∴该晾衣架三角形部分的周长为， 故答案为：． 39．（25-26八年级下·四川·期末）已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)证明：∵对于一元二次方程， ∴ ． ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)当时，是以为斜边的直角三角形． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，从而得到，再根据勾股定理可得关于的方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，的长是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，即， ∴ ， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵第三边的长是， ∴， 整理得，即， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，是以为斜边的直角三角形． 40．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的四条边相等，所以方程有两个相等的实数根，所以有，解方程即可求出的值； （2）四边形为矩形，所以方程一定有两个实数根，所以有，解不等式求出的取值范围，因为矩形对角线的长度为，所以，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：四边形为菱形， 方程有两个相等的实数根， ， 整理可得：， 解得：； （2）解：四边形为矩形， 一定有两个实数根， ， ， ， ，， 矩形对角线的长度为， ， 整理可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ． 【提高题型一 利用根与系数关系判断说法正误综合】 41．（25-26九年级上·重庆·期中）关于x的一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一个根是； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程的两个根为，且满足，则方程，必有实数根． 其中，正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，求根公式． 直接将代入即可判断说法①；根据根的判别式即可判断说法②；根据求根公式即可判断说法③；根据根与系数的关系得到，则方程可化为，求解方程即可判断说法④． 【详解】解：说法①：若， 则当时，， ∴是方程的根，故①正确； 说法②：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，故②正确； 说法③：∵是一元二次方程的根， ∴， ， ∴，故③正确； 说法④：∵方程两根为， ∴， ， ∴方程可化为：， 即：， ∴， ∴或，故④正确； 综上所述，四个说法都正确． 故选：D． 42．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（     ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断③；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断④． 【详解】解：①若方程的两个根为和1，则， ∴， ∴，即，故①正确； ② ， ∴将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数解， ∴由根与系数的关系可知，原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，故③正确； ④若，则都是关于的一元二次方程的实数根， ∵关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根， ∴是可以存在这种情况的，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个． 43．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程下列说法，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若有两个不相等的实数根，则有两个不相等实数根； ⑤若有两个不相等的实数根，则也有两个不相等的实数根； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的判别式，根与系数关系定理，求解即可； 【详解】解：一元二次方程的判别式为， ，， 故①正确； 是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， 故②正确； 是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 故③正确； 有两个不相等的实数根， ， ∵一元二次方程的判别式为： ， ∴方程有两个不相等实数根， 故④正确； 由有两个不相等的实数根， ， 令，得， ， 故有两个不相等的实数根， 故也有两个不相等的实数根； 故⑤正确； 44．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）已知一元二次方程中，下列说法：①若，则；②若方程两根为和，则；③若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程根的定义，根的判别式，根与系数的关系，逐个判断四个说法的正误，统计正确说法的个数即可得到答案． 【详解】解：①， 满足方程 ， 即方程存在实数根， ， 故①正确； ②若方程两根为和， 由根与系数的关系得两根之积 ， ， 整理得 ， 故②正确； ③若 有两个不相等的实数根，则 ， 当 时，由，则方程 有两个不相等的实数根， 当 时，方程 是一元一次方程 ， 方程只有一个实数根， 故③错误； ④ 是方程 的根， ， 整理得： ， 故④正确； 综上，正确的说法共个． 【提高题型二 利用根与系数关系求参综合】 45．（2026·四川宜宾·二模）已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，要求判别式非负，再利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系列方程求解，最后根据判别式范围舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式 即 解得： 由根与系数的关系，得， ∵，且 ∴ 整理得 解得或 ∵，，舍去，符合要求 ∴． 46．（2026·安徽合肥·一模）若关于x的方程的正数根只有一个，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简绝对值，分两种情况当和分别求解，当时，解出x， 不满足题意，当时，则，然后再分两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则，即， ∵， ∴或，不满足题意， 当时，则， ∴， ∵方程有实数根， ∴当时，即， 解得（舍去）或， 把代入， 得，即， 解得：（不是正数，舍去）， 当时，即， 解得或， 设和为的两根， ，， ∴两根不可能同时为正，只有一个正根， ∴，， 解得：， 综上：． 47．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）满足一元二次不等式的范围是，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程与不等式的关系，一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据一元二次不等式的范围是，可得方程的解为，，利用一元二次方程根与系数的关系即可解答本题． 【详解】解：∵一元二次不等式的范围是， ∴一元二次方程的解为，， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 48．（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）定义（，，）为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为，则的值为 （    ） A．或4 B． C． D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上公式是解题的关键． 根据特征数的定义，得出方程的原形式，利用根与系数关系及平方和条件列出方程，结合判别式求出的值． 【详解】解：∵特征数为， ∴方程为， 设两实数根为，，则， ， ， ∵， ∴， 化简得：， 解得或， 又∵方程有实数根， ∴， 即， ∴（舍去）， ∴， 故选C． 【提高题型三 根与系数关系的新考法】 49．（25-26九年级上·湖南长沙·开学考试）著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现．”我们向伟人看齐，将这种勤思善学、励能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜． 【提出问题】 我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系？ 【构造关系】 将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照的比例放大或缩小，其中，我们称新方程为原方程的“系变方程”，系变倍数为． (1)当系变倍数为3时，求解一元二次方程的“系变方程”． 【自能探究】 (2)已知某一元二次方程有两个实数根、，当时，其“系变方程”也有两个实数根、，且，求的最小值． (3)已知关于的方程有四个实数根、、、，问是否存在定值，对于任意实数，都满足，若存在，请求出的值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)“系变方程”为； (2)最小值为； (3)存在或 【分析】（1）根据“系变方程”的定义求得各项的系数，即可求解； （2）设原方程为，由，得到，“系变方程”为，推出，原式变形为配方得，据此求解即可； （3）根据因式分解法解一元二次方程得出，或，求得4个实数根，进而根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：当系变倍数为3时， 一元二次方程的“系变方程”的二次项系数为、一次项系数为、常数项为， ∴“系变方程”为； （2）解：设原方程为， 由题意得， ∴， 当时，其“系变方程”为， ∴， ∴， ∴ ， 故原式的最小值为； （3）解：∵ ∴ 即 ∴ 即 ∵原方程有个解， ∴或 解得：或或或 ∵ 又 ∴或 故存在或 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，理解“系变方程”的定义是解题的关键． 50．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2)①；②0 (3) 【分析】（1）由“师梅方程”的定义，逐一判断即可； （2）①根据题意可知该一元二次方程有两个相等实数根，结合根的判别式可知，从而求出a的值，注意一元二次方程二次项系数，要舍去的情况；②将方程的“师梅方程”，即方程 变形为：，由此可知当方程的时，方程的，且方程与的根互为相反数，从而求得； （3）先将方程化简为，写出其“师梅方程”为：，设两个方程的公共根为，将公共根代入两个方程并相减，可得，随后分析和 两种情况，最后求出k的值． 【详解】（1）解：①两组方程二次项系数均为1，一次项系数为2和，常数项均为0，符合定义，标记为√； ②两组方程常数项分别为4和，不相等，不符合定义，标记为×； ③两组方程二次项系数均为1，一次项系数为3和，常数项均为，符合定义，标记为√． （2）解：①∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴ ， 解得或， ∵一元二次方程二次项系数， ∴， ∴； ②∵，方程的“师梅方程”为方程， ∴，即， ∴当方程的时， 师梅方程的， 且方程与的根互为相反数， ∴． （3）解：∵， ∴该方程化为：， 该方程的“师梅方程”为：， 设两个方程的公共根为， 则有及， 两式相减得：， ∴或． 若， 则两个方程均为， 此时两个方程有两个公共根，不符题意， 故； 若，将其代入方程中， 解得：， 经验证，符合题意， ∴． 51．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的伴随方程，其中a，b，c为常数（且a，）．根据此定义解决下列问题： (1)若是一元二次方程的伴随方程的一个根，求出c的值． (2)若m，n为一元二次方程的两个根，且． （ⅰ）若，，求一元二次方程的伴随方程． （ⅱ）求证：一元二次方程的伴随方程的两个根分别为，． 【答案】(1) (2)（i）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）由题意得出一元二次方程的伴随方程为，将代入求解即可； （2）（ⅰ）根据一元二次方程根与系数关系得出，结合，求出．结合，即可得，．根据一元二次方程根与系数关系得出，即可求出，得出一元二次方程的伴随方程； （ⅱ）根据一元二次方程根与系数关系得出，．再根据题意得出一元二次方程的伴随方程为，设的两个根为，，根据一元二次方程根与系数关系得出，．又，，即，，即可证明； 【详解】（1）解：由题意可知一元二次方程的伴随方程为， 将代入中，得，解得． （2）解：（ⅰ）∵m，n为一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ， 解得． ， ，． ，， ， 解得， 一元二次方程的伴随方程为． （ⅱ）证明：，n为一元二次方程的两个根， ，． 一元二次方程的伴随方程为， ∴设的两个根为，，则，． ，， ，， 一元二次方程的伴随方程的两个根分别为，． 52．（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 【提高题型四 一元二次方程根与系数关系的综合】 53．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为和，设，则t的最大值为（     ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】先根据题目分别找出，，，再计算并判断正负并求出的取值范围，进而计算并求出最大值． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，t最大，． 54．（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件，利用根与系数的关系列方程求出和的值，再计算所求方程两根的和与积，构造出一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得， ∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴，， ∴，， 将代入得：， 整理得． 将代入得：， 化简得 把代入， 解得 ∵， ， ∴所求一元二次方程为． 55．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知，且，，则__________． 【答案】 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 56．（25-26九年级下·山东济南·自主招生）若实数a，b，c满足：，． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不能，理由如下： 把代入，得， 与奇偶性不同，b与奇偶性不同， 与必定同为偶数， 必定为偶数，即m必定为偶数． 【分析】（1）先求得，则，利用配方法和平方数的非负性求解即可； （2）先求得，且b，c是方程的两根，利用一元二次方程的判别式与根的关系得到，进而求得或1即可求解； （3）由已知得到，根据奇数与偶数的积是偶数，偶数与偶数的和为偶数可得结论． 【详解】（1）解：，， ∴， ． ∴当时，m的最小值为； （2）解：，， ． ∴b，c是方程的两根， ，则， ，则， ， ∵a为整数， 或1， ∴无论哪种情况都有， 或； （3）略 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． 3．（25-26八年级下·福建福州·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据“倍根方程”的定义，设出方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系建立等式，化简即可求出的值． 【详解】解：设方程的两个根分别为和，且．根据一元二次方程根与系数的关系可得： 由①得：，即． 将代入②得： 化简得：． 两边同乘（）得：． 4．（25-26八年级下·重庆·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据两根之积得到关于的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， 又∵， ∴，整理得：，解得：或， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ， 当时，，此时方程无实数根，舍去； 当时，，符合题意， ∴的值为． 5．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍，则称这样的方程为“倍方程”，以下关于倍方程的说法正确的是（     ） ①方程是2倍方程；②若为3倍方程，则；③若，满足，则关于的方程为2倍方程；④若关于的方程为倍方程，则． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据新定义“倍方程”，一元二次方程的解法与根与系数的关系，逐个验证每个说法即可得到结论． 【详解】解：①解方程， 因式分解得， 解得， ，满足2倍方程定义，①正确； ②方程的两根为， ∵方程是3倍方程， 故分两种情况讨论： 当时，，解得， 当时，，解得， 或，故②错误； ③若，则方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 由求根公式得， 即， ∴，满足2倍方程定义，故③正确； ④设方程的两根为， 由根与系数的关系得：，， 则，， 将代入得：， 两边同乘整理得：，故④正确． 6．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 7．（2026·江西南昌·模拟预测）已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 8．（2026九年级上·甘肃天水·竞赛）已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 【答案】2026 【详解】解：设a、b是方程的两根，且， ∴，ab＝， ∴，， ＝， ＝2026． 9．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再由题意确定，得出，代入得出，然后根据题意建立不等式求解即可． 【详解】解：， ，． 满足3的偏向方程的定义， ， ， ． ． 对于任意的实数m，都满足3的偏向方程的定义， ， ． 10．（25-26八年级下·山东淄博·期末）阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，则有，．创新应用：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式________． 【答案】2026 【分析】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 11．（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个实数根，得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据根与系数的关系用表示和，再代入已知等式得到关于的方程，结合（1）中的范围筛选出符合条件的值即可； 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 展开整理得， 解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 代入得， 整理得， 解得， ，， 不符合题意，舍去， ． 12．（25-26八年级下·山东济南·期末）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， （2）方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 13．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形相邻两边，的长度分别是关于的一元二次方程的两个实数根，． (1)若四边形为菱形，求的值； (2)若四边形为矩形，且该矩形对角线的长度为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的四条边相等，所以方程有两个相等的实数根，所以有，解方程即可求出的值； （2）四边形为矩形，所以方程一定有两个实数根，所以有，解不等式求出的取值范围，因为矩形对角线的长度为，所以，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：四边形为菱形， 方程有两个相等的实数根， ， 整理可得：， 解得：； （2）解：四边形为矩形， 一定有两个实数根， ， ， ， ，， 矩形对角线的长度为， ， 整理可得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ． 14．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”． (1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由． (2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根． 【答案】(1) 是，理由如下： 解： 解得， 两个根均为非零实数，且其中是的倒数，符合“逆根方程”的定义 一元二次方程是“逆根方程”； (2) 方程的两个根为和 【分析】（1）先求解给定的一元二次方程，得到两个根后，根据“逆根方程”的定义判断即可； （2）根据“逆根方程”的定义得到两根乘积为1，利用根与系数的关系求出的值，再代入原方程求解即可得到两个根． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两个根为 该方程是“逆根方程” 由一元二次方程根与系数的关系得 ， 解得 将代入原方程得： 整理得 由求根公式得 方程的两个根为和． 15．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程（）与（）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且，则这两个方程是互为“高关联方程”．例如，方程与是互为“高关联方程”． (1)若关于的一元二次方程与是互为“高关联方程”，求的值及相同的根． (2)若关于的一元二次方程①与②是互为“高关联方程”，且，求，的值． 【答案】(1)，相同根为 (2) 【分析】（1）先利用条件求出，再解方程找到唯一公共根； （2）先由得到关系式，再设公共根联立方程求出参数，并检验仅有一个公共根． 【详解】（1）解： 因式分解：， 得． 方程1：， 方程2：， 由： 把代入 因式分解：， 根为． 两个方程只有唯一公共根，满足“有且只有一个相同根”． ，相同根为 （2）解：方程①：， 方程②：， ，即， 只有一个公共根，设公共根为 两式相减： 把代入： 将代入： 化简得 已知，故， 得． 则． 检验： 方程①：，根 方程②：，根 只有唯一公共根，符合题意． 学科网（北京）股份有限公司 $