第4章 幂函数、指数函数与对数函数概念清单速记表（知识清单）数学沪教版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了第4章幂函数、指数函数与对数函数内容，涵盖三种函数的定义、定义域、图像特征、单调性及应用等核心范畴，为学生搭建了从基础概念理解到性质分析再到实际应用的递进式学习支架。 清单通过分章节细化知识模块，以“概念-定义-相关概念”关联呈现体系，如幂函数公共图像特征强调定点(1,1)及定义域随指数变化，对数函数突出指数式与对数式互化及换底公式应用，培养学生的数学思维与数学语言表达能力。相关概念标注帮助知识串联，不同层次学生可高效掌握要点，教师可据此优化教学逻辑，提升复习针对性。

第4章 幂函数、指数函数与对数函数清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 4.1 幂函数 幂函数的定义 当指数 为常数时，形如 的函数称为幂函数。自变量 的取值必须使 有意义，这些取值组成该幂函数的定义域，定义域随指数 的取值而变化。 幂的运算、函数定义域、函数图像 常见幂函数及定义域 常见幂函数包括 、、、、 等。（ 为正整数）的定义域为 ； 的定义域为 ； 的定义域为 。 定义域、奇偶性、反比例函数 幂函数的公共图像特征 对任意实数指数 ，幂函数在 时均有定义且函数值为正，图像均经过定点 ；当定义域包含 0 且 时，图像还经过原点 。幂函数图像的形状和定义域与指数 有关。 定点、第一象限、函数图像 幂函数的单调性 在区间 上，当 时， 是严格增函数；当 时， 是严格减函数。特别地， 时增长较缓， 时增长较快。 单调函数、指数大小比较、函数图像 4.2 指数函数 指数函数的定义 一般地，函数 （ 且 ）叫作指数函数，其中 是底数， 是自变量。指数函数的定义域为 ，值域为 。 指数运算、定义域和值域、函数图像 指数函数的图像与性质 指数函数 的图像恒经过定点 ，且图像位于 轴上方。当 时，函数在 上是严格增函数，且 增大时 增大；当 时，函数在 上是严格减函数，且 增大时 减小。 单调性、定点 、水平渐近趋势 指数函数的图像变换 函数 的图像可由 的图像先向左平移 个单位（ 时），再向上平移 个单位得到；函数 的图像还受到纵向伸缩及关于坐标轴对称变换的影响。 平移变换、伸缩变换、函数图像 指数函数模型 许多实际变化可用指数模型表示，例如 或 。其中 表示初始量，底数（或参数）决定增长或衰减的快慢； 表示增长， 表示衰减。 数学建模、增长率、衰减模型 4.3 对数函数 对数的定义 若 且 ，，并且 ，则称 是以 为底 的对数，记作。其中 是底数， 是真数，且必须满足底数大于 0 且不等于 1、真数大于 0。 指数式与对数式互化、底数、真数 对数的基本性质 对任意合法的 、，有，，，。对数运算必须保证每个真数和底数均满足定义条件。 指数运算、逆运算、定义域 对数的运算法则 当各式有意义时，，，。这些法则把乘法、除法和乘方运算分别转化为加法、减法和乘法运算。 积的对数、商的对数、幂的对数 换底公式 当 、、 且 、 时，换底公式为 。特别地，常用换底形式为。 常用对数、自然对数、计算器求值 对数函数的定义 函数 （ 且 ）叫作对数函数。其定义域为 ，值域为 ，图像恒经过定点 ，并且是指数函数 的反函数。 反函数、指数函数、定义域和值域 对数函数的图像与性质 当 时，在 上是严格增函数；当 时，在 上是严格减函数。两类图像均经过 ，并与对应指数函数的图像关于直线 对称。 单调性、反函数图像、对称性 指数方程与对数方程 利用指数式与对数式的互化、指数函数和对数函数的单调性，可以求解指数方程和对数方程。解对数方程时必须检查真数大于 0；解指数或对数不等式时，要根据底数 或 判断不等号方向。 等价变形、定义域限制、单调性 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $