第5章 函数的概念、性质及应用（9知识10题型）（期末复习知识清单）高一数学上学期沪教版

该高中数学函数单元知识清单全面梳理了函数的概念、性质、零点、反函数等核心内容，以“9知识清单+10类题型”的架构，搭建从定义理解到性质应用再到综合解题的递进式学习支架。 清单通过知识清单系统梳理定义域、奇偶性等基础概念，题型分类覆盖概念辨析、实际应用等场景，如“函数单调性”清单标注区间判定的关键步骤，例题配变式题梯度训练，培养数学思维与逻辑推理能力。帮助学生自主构建知识网络，教师可精准设计教学活动，提升课堂实效。

第5章 函数的概念、性质及应用（9知识10题型） 【清单01】函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 一般地，设D是非空的实数集，且对D中任意给定的实数x，按照某种确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合D上的一个函数；记作：y＝f(x)，x∈D. 其中x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为 该函数的定义域； 值域 对于自变量x0,由法则f所确定的x0所对应的值y0，称为函数在x0处的函数值，记作y0=f(x0)； 所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈D}称为这个函数的值域； 【清单02】 函数的表示方法 函数的解析法 用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种表示函数的方法称为解析法； 函数的列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法 函数的图像法 对于函数；由（其中）的全体组成的集合叫做函数图像； 【清单03】函数的奇偶性 1.奇函数：如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 2.偶函数：如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 3.奇、偶函数图像的特征 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 【清单04】函数的单调性 1.函数的单调性概念 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 2.函数的单调区间 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 3.具备奇偶性的函数的单调性的特点 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 【清单05】函数的最值 1.图象法求函数最值的一般步骤 2.利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性．②利用单调性写出最值． 3.函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 【清单06】函数的零点 1.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2.二次函数的零点 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 3.二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 4.函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 【清单07】一元二次方程根的分布与方程系数的关系 设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有； ②当k＜x1＜x2时，有； ③当x1＜k＜x2时，； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有； ⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有． 【清单08】用二分法求函数的零点 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 【清单09】反函数 1、反函数定义 一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数y=f(x)与图像关于直线y=x对称；若点M（a，b）在y=f(x)的图像上，则点(b,a)必在图像上； （3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,除外，其中c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如； （5）y=f(x)与互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则有f[]=x, ; （6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), ,与函数y=f(x)的比较； 函数 自变量 图像 x=f(y) y是自变量 与y=f(x)的图像关于y=x 对称 y是自变量 和y=f(x)的图像相同 x是自变量 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称 （9）y=f(x)与图像若有公共点，并非一定在y=x上，例如：f(x)=与有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x对称 3、求反函数的步骤 （1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出； （3）改写：在中，将x,y互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 【题型一】函数的概念 【例1】（24-25高一上·上海长宁·期末）下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为 . 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数，若，则的取值范围是 ． 【题型二】函数的奇偶性 【例2-1】（24-25高一上·上海·期末）已知，关于的函数不是奇函数也不是偶函数，那么的取值范围是 . 【例2-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则 . 【变式2-1】（24-25高一上·上海静安·期末）设函数是定义在上的奇函数，当时,，则不等式的解集为（    ） A．() B．[] C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·上海长宁·期末）偶函数在区间上的最大值为，则实数 ． 【变式2-3】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【题型三】函数的单调性 【例3-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【例3-2】（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 【变式3-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）不等式的解集是 ． 【变式3-2】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数在上满足：对任意都有，且，，对任意，均有，则 ． 【变式3-3】（24-25高一上·上海宝山·期末）设实数、、、满足条件：，，，，则的取值范围是 . 【题型四】函数的最值 【例4】（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的最大值为 ． 【变式4-1】（24-25高一上·上海闵行·期末）雅各布·伯努利（Jakob Bemoulli）是17世纪著名的数学家，他在概率论、数学分析及无穷级数等多个领域作出了重大的贡献，对后世数学的发展产生了深远的影响．1689年，他提出了一个著名的不等式称为伯努利不等式，其内容如下：设，且，n为大于1的正整数，则．由此可知，函数在区间上的最小值是 【变式4-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 【题型五】函数不等式恒成立 【例5-1】（24-25高一上·上海金山·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.其中a，m为实数，且.若对任意，恒成立，求实数a的取值范围 . 【例5-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为 【变式5-1】（24-25高一上·上海宝山·期末）已知.若任取、，均有成立，则实数的取值范围是 . 【变式5-2】（24-25高一上·上海普陀·期末）幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的表达式； (2)求函数的单调区间（只写结果，不要证明）； (3)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【题型六】函数的实际问题 【例6】（24-25高一上·上海·期末）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价-供货价格）销售量； (1)当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？ (2)每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？ 【变式6-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知某线路运行的地铁发车时间间隔（单位：分钟）满足：．经测算，该地铁每班平均载客人次（单位：人次）与发车时间间隔满足：． (1)计算的值，并说明其的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 【变式6-2】（25-26高一上·上海·期末）上海某工厂以x吨/天的速度匀速生产某种产品，每天可获得的利润是万元，其中． (1)要使生产该产品2天获得的利润不低于30万元，求x的取值范围； (2)要使生产900吨该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润． 【题型七】函数的零点 【例7-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（   ） A． B． C． D．不能确定 【例7-2】（24-25高一上·上海·期末）函数的零点为 . 【例7-3】（24-25高一上·上海宝山·期末）关于x的方程有两个不同的正实数根，则实数a的取值范围是 ． 【例7-4】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则= ． 【变式7-1】（24-25高一上·上海杨浦·期末）定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数” C．“2025相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点 【变式7-2】（24-25高一上·上海奉贤·期末）某同学利用二分法求函数零点时，利用计算器分别计算了三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算的值为 ． 【变式7-3】（24-25高一上·上海长宁·期末）设，若关于的方程在区间上有两个不同的解，则实数的取值范围为 ． 【题型八】反函数 【例8】（24-25高一上·上海·期末）已知，则 . 【变式8-1】（24-25高一上·上海·期末）若函数的反函数是，则 . 【变式8-2】（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数的反函数为，且函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 . 【题型九】函数性质综合应用 【例9-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，那么“函数的图象关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【例9-2】（24-25高一上·上海金山·期末）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在上的最大值为 . 【例9-3】（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数． (1)用定义法证明函数在区间上是严格减函数； (2)写出函数在区间上的最值，以及相应的的值． 【例9-4】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数． (1)求的值，并证明：是上的严格增函数； (2)判断函数是否一定是上的严格增函数．如果是，给与证明：如果不是，举出反例，并说明理由． 【变式9-1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·上海·期末）设常数，． (1)根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由; (2)设，,写出的表达式. 若对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当，总有，给出一个区间，并证明结论; (3)当为正整数时，如果对于任意，总有成立，求的值． 【变式9-3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 【变式9-4】（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式． 【题型十】函数新定义 【例10-1】（24-25高一上·上海杨浦·期末）如果函数满足对任意实数x都有成立，则称为定义在上的“Y函数”，若存在整数，使得为整数，则称为的“Y点”，则对于所有的“Y函数”，它们不同的“Y点”个数之和为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．至少3个 【例10-2】（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围； (3)若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 【变式10-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，值域为，即若则称在上封闭． (1)分别判断函数，在上是否封闭，说明理由； (2)函数的定义域为且存在反函数若函数在上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围． 【变式10-2】（24-25高一上·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”． (1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由 ①，； ②，； (2)设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围 (3)设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个． 【变式10-3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的图像绕着原点旋转角后，与原来图像重合，则称函数为角旋转周期函数. (1)判断奇函数是否是角旋转周期函数，若是，求出；若不是，说明理由； (2)若是角旋转周期函数，判断以下四个点，哪个点可能在的图像上； (3)若是角旋转周期函数且上的点除原点外必不在的图像上，求所有满足要求的（可用三角比或具体数值表示）. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数的概念、性质及应用（9知识10题型） 【清单01】函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 一般地，设D是非空的实数集，且对D中任意给定的实数x，按照某种确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合D上的一个函数；记作：y＝f(x)，x∈D. 其中x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为 该函数的定义域； 值域 对于自变量x0,由法则f所确定的x0所对应的值y0，称为函数在x0处的函数值，记作y0=f(x0)； 所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈D}称为这个函数的值域； 【清单02】 函数的表示方法 函数的解析法 用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种表示函数的方法称为解析法； 函数的列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法 函数的图像法 对于函数；由（其中）的全体组成的集合叫做函数图像； 【清单03】函数的奇偶性 1.奇函数：如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 2.偶函数：如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 3.奇、偶函数图像的特征 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 【清单04】函数的单调性 1.函数的单调性概念 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 2.函数的单调区间 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 3.具备奇偶性的函数的单调性的特点 对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称． 【清单05】函数的最值 1.图象法求函数最值的一般步骤 2.利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性．②利用单调性写出最值． 3.函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值． 【清单06】函数的零点 1.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 2.二次函数的零点 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 3.二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 4.函数零点的判定 （1）利用函数零点存在性的判定定理 如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根. （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点． （3）利用数形结合法 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标． 【清单07】一元二次方程根的分布与方程系数的关系 设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两实根，则x1、x2的分布范围与一元二次方程的系数之间的关系是： ①当x1＜x2＜k时，有； ②当k＜x1＜x2时，有； ③当x1＜k＜x2时，； ④当x1，x2∈（k1，k2）时，有； ⑤当x1、x2有且仅有一个在（k1，k2）时，有． 【清单08】用二分法求函数的零点 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中. 第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令 第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算和，并判断： ①如果，则就是的零点，计算终止； ②如果，则零点位于区间中，令； ③如果，则零点位于区间中，令； …… 继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度. 【清单09】反函数 1、反函数定义 一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为 2、关于反函数的结论 （1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域， （2）互为反函数的两个函数y=f(x)与图像关于直线y=x对称；若点M（a，b）在y=f(x)的图像上，则点(b,a)必在图像上； （3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,除外，其中c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数； （4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如； （5）y=f(x)与互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则有f[]=x, ; （6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身； （7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应； （8）x=f(y), ,与函数y=f(x)的比较； 函数 自变量 图像 x=f(y) y是自变量 与y=f(x)的图像关于y=x 对称 y是自变量 和y=f(x)的图像相同 x是自变量 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称 （9）y=f(x)与图像若有公共点，并非一定在y=x上，例如：f(x)=与有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x对称 3、求反函数的步骤 （1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)； （2）反解：由y=(x)解出； （3）改写：在中，将x,y互换得到； （4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。 【题型一】函数的概念 【例1】（24-25高一上·上海长宁·期末）下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为， 对于A：易知，定义域为，错； 对于B: ，定义域为，对； 对于C：，定义域为，错； 对于D：，错； 故选：B 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为 . 【答案】； 【详解】函数的定义域应满足： ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】． 【详解】由题意，函数的定义域为， 令，解得或， ①若，当时，，且， 此时，不符合题意； ②若，当时，，且， 此时，不符合题意； ③若，当或时，，且， 此时， 当时，，故，符合题意； ④若，当时，，且， 此时，不符合题意； 综上所述，，即， 则， 所以当时，有最小值，则. 故答案为：. 【题型二】函数的奇偶性 【例2-1】（24-25高一上·上海·期末）已知，关于的函数不是奇函数也不是偶函数，那么的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】分奇函数和偶函数两种情况来进行求解的值，即可得到结果. 【详解】若函数为奇函数，则，即，解得； 若函数为偶函数，则，即，解得， 故函数不是奇函数也不是偶函数时，的取值范围为. 故答案为： 【例2-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则 . 【答案】 【详解】因为是偶函数，是奇函数， 所以，， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式2-1】（24-25高一上·上海静安·期末）设函数是定义在上的奇函数，当时,，则不等式的解集为（    ） A．() B．[] C． D． 【答案】C 【详解】设，则,故， 故， 当且，即，则，解得， 当且时，即， ，解得， 当且时，即， ，解得， 当且，此时不存在， 综上可得， 故选：C 【变式2-2】（24-25高一上·上海长宁·期末）偶函数在区间上的最大值为，则实数 ． 【答案】 【详解】因为是偶函数，则，则， 又在区间上的最大值为，且当时，， 所以，解得， 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【答案】 【详解】因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，， 因为①， 所以， 即②， 则①②两式相加可得， 即. 故答案为：. 【题型三】函数的单调性 【例3-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据二次函数性质，在上递增，在上递减. 所以. 故答案为：. 【例3-2】（23-24高一上·上海·期末）函数的严格递减区间为 ． 【答案】 【详解】由题意指数函数在定义域内严格单调递减， 若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可， 而二次函数对称轴为，且开口向上， 故它的严格单调递增区间为，即函数的严格递减区间为. 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】令，因为均在上严格单调递增， 所以在上严格单调递增，又， 所以当时，，所以不等式的解集是. 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数在上满足：对任意都有，且，，对任意，均有，则 ． 【答案】 【详解】因为，那么. 已知函数是上的增函数，且，. 因为，令，可得. 令，则，所以. 由于函数在上单调递增，且，所以当时，. 又因为，所以. 将代入，可得. 故答案为：1. 【变式3-3】（24-25高一上·上海宝山·期末）设实数、、、满足条件：，，，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】令. 因为，所以或. 又. 因为，所以， 因为，所以. 又. 因为，，所以， 所以.所以原式的取值范围为. （当，，，时取到最小值0，当，，，时取到最大值2）. 故答案为：. 【题型四】函数的最值 【例4】（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的最大值为 ． 【答案】4 【详解】由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 故的最大值为4， 故答案为：4 【变式4-1】（24-25高一上·上海闵行·期末）雅各布·伯努利（Jakob Bemoulli）是17世纪著名的数学家，他在概率论、数学分析及无穷级数等多个领域作出了重大的贡献，对后世数学的发展产生了深远的影响．1689年，他提出了一个著名的不等式称为伯努利不等式，其内容如下：设，且，n为大于1的正整数，则．由此可知，函数在区间上的最小值是 【答案】1 【详解】由题意得，当且时，，故， 当时，，当时，， 综上，在上的最小值为1，此时. 故答案为：1 【变式4-2】（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 【答案】或3 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 【题型五】函数不等式恒成立 【例5-1】（24-25高一上·上海金山·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.其中a，m为实数，且.若对任意，恒成立，求实数a的取值范围 . 【答案】 【详解】，由题意得，解得， 当时， 画出上的函数的图象，   是由向右平移1个单位得到， 结合图象，要想恒成立， 只需，解得 又，故， 所以a的取值范围为. 故答案为: 【例5-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为 【答案】 【详解】由题意得在上恒成立， 故， ， 故只需求出， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 且或2时，，故的最大值为3， 故， 故， 另外，在上有根， 即，， 故在上有根， 根据的单调性可知，在处取得最小值， 故，， 要想在上有根， 需满足， 综上，. 故答案为： 【变式5-1】（24-25高一上·上海宝山·期末）已知.若任取、，均有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】原题等价于存在，，使得. 在同一坐标系中画出，图像， 如图，当时，显然成立. 当或时，显然不成立. 下面讨论时.令，. 当时，，对称轴，区间中点， 所以. 又在单调递减，在单调递增，所以 ， 所以， 综上， 故答案为： 【变式5-2】（24-25高一上·上海普陀·期末）幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的表达式； (2)求函数的单调区间（只写结果，不要证明）； (3)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由函数图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数， 所以，则，且为偶数，，则， 所以； （2）当，对于、在上都是单调递增， 且在和处相交，如下图示，    由图分析知，从变化到过程中，从接近于0的值逐渐变大，再变小到0， 从变化到过程中，从0逐渐变小，再变大到0， 从变化到过程中，从0逐渐变大并趋向于， 所以，， 使在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当，令，则， 显然，，，即，故， 所以在上单调递减， 综上，，，使的单调增区间为、，单调减区间为、. （3）由题设在上恒成立，即在上恒成立， 由（2）知在上单调递减，则， 所以. 【题型六】函数的实际问题 【例6】（24-25高一上·上海·期末）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价-供货价格）销售量； (1)当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？ (2)每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？ 【详解】（1）由题意，当单价售价为85元时，销售量为10万件，浮动价格为0.5元，供货价格为元， 故总利润为：万元； （2）当时，销售量为10万件，供货价为60.5元， 则，且， 因而，当时，单价利润， 即单价利润最大为39.5元； 当时，销售量为（万件）， 同时，，解得，且， 此时单价利润为： ， 当且仅当，即时，取等号 因为， 故当每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元． 【变式6-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知某线路运行的地铁发车时间间隔（单位：分钟）满足：．经测算，该地铁每班平均载客人次（单位：人次）与发车时间间隔满足：． (1)计算的值，并说明其的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益． 【详解】（1）由函数的解析式可得：， 其实际意义是：当地铁的发车时间隔为10分钟时，地铁载客量为1200，这也是地铁的最大载客量； （2）①当时， 当且仅当，即时，等号成立， ②当时，. 当且仅当时等号成立， 故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的净收益最大为120元． 【变式6-2】（25-26高一上·上海·期末）上海某工厂以x吨/天的速度匀速生产某种产品，每天可获得的利润是万元，其中． (1)要使生产该产品2天获得的利润不低于30万元，求x的取值范围； (2)要使生产900吨该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润． 【详解】（1）根据题意，， 得，即解得或， 又，可得． （2）设利润为y万元，则， ， 故时，万元． 【题型七】函数的零点 【例7-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）设，现用二分法求方程在区间内的近似解，计算得，则近似解所在的区间为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】因为函数为增函数且在区间内连续，又， 所以方程的近似解在区间. 故选：B. 【例7-2】（24-25高一上·上海·期末）函数的零点为 . 【答案】和6 【知识点】求函数的零点 【分析】分和两种情况计算求解时的解，即可得解. 【详解】当时，令即，解得（舍去）或； 当时，令即. 综上可得函数的零点为和. 故答案为：和6 【例7-3】（24-25高一上·上海宝山·期末）关于x的方程有两个不同的正实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】对于一元二次方程，因为方程有两个不同的根， 所以，且，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 【例7-4】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算、的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则= ． 【答案】 【详解】由于，， 故，故零点位于 因此， 故答案为： 【变式7-1】（24-25高一上·上海杨浦·期末）定义在R上且图像连续不断的函数，若存在实数使得任意实数x都成立，我们称是R上“m相依函数”．下列关于“m相依函数”的描述正确的是（    ） A．存在唯一的常值函数是“m相依函数” B．是“m相依函数” C．“2025相依函数”至少有一个零点 D．“相依函数”至少有一个零点 【答案】C 【详解】对于A，设，则， 当，满足，则是“相依函数”，不唯一，故A错误； 对于B，当时，对任意都成立， 化为， 则有，无解，则不是“相依函数”，故B错误； 对于C，若， 令，则， 当时，有实根， 当时，， 根据零点存在性定理知，在区间上必有实根， 所以“2025相依函数”至少有一个零点，故C正确； 对于D，， 当，， 若，则， 不能判定方程在内有根， 根据实数的任意性，不能确定在上有无零点，故D错误， 故选：C. 【变式7-2】（24-25高一上·上海奉贤·期末）某同学利用二分法求函数零点时，利用计算器分别计算了三处的函数值，为了寻求函数零点更精准的近似值，则下一次需计算的值为 ． 【答案】2.75 【详解】， ，， 故由零点存在性定理知，内存在零点，下一步需计算. 故答案为：2.75 【变式7-3】（24-25高一上·上海长宁·期末）设，若关于的方程在区间上有两个不同的解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】先分析函数在区间上的图象，已知， 方程在区间上有两个不同的解，意味着直线与函数在区间上的图象有两个不同的交点. 由上述分析可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个不同的交点. 实数的取值范围为. 故答案为：. 【题型八】反函数 【例8】（24-25高一上·上海·期末）已知，则 . 【答案】； 【详解】，其图象是开口向上的抛物线， 对称轴为 ，所以在上单调递减， 所以， 当时，；即当趋向于时，趋向于， 因此，函数的值域为. 令，求解方程，得， 因为原函数的定义域为， 因此当时，解在定义域内，而不在定义域内， 故只取. 将和互换，得到反函数为，其定义域为. 故答案为：. 【变式8-1】（24-25高一上·上海·期末）若函数的反函数是，则 . 【答案】0 【详解】令可得，即， 解得； 即在函数的图象上，由反函数性质可得在函数的图象上， 因此可得. 故答案为：0 【变式8-2】（24-25高一上·上海虹口·期末）设，若函数的反函数为，且函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由函数的图象经过点，得函数的图象过点， 则，解得，即， 而函数都是R上的增函数， 因此函数在R上单调递增，不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故答案为： 【题型九】函数性质综合应用 【例9-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，那么“函数的图象关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为， 若函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数， 故对任意，都存在且，使得； 若对任意，都存在，使得， 不妨取，则， 即，即函数的图象关于点对称， 即对任意的，存在，使得， 但函数不是奇函数. 因此，“函数的图象关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的充分非必要条件. 故选：A. 【例9-2】（24-25高一上·上海金山·期末）若函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在上的最大值为 . 【答案】 【详解】由题意知，当时，在时取到最小值， 则由奇偶性可知函数在上的最大值为. 故答案为：. 【例9-3】（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数． (1)用定义法证明函数在区间上是严格减函数； (2)写出函数在区间上的最值，以及相应的的值． 【详解】（1）任取、且，则且， 所以， ，即， 所以，函数在区间上是严格减函数. （2）因为函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，当时，函数取最小值，且最小值为， 又因为，， 所以，当时，函数取最大值，且最大值为. 【例9-4】（24-25高一上·上海长宁·期末）已知是定义域为的奇函数，且在上是严格增函数． (1)求的值，并证明：是上的严格增函数； (2)判断函数是否一定是上的严格增函数．如果是，给与证明：如果不是，举出反例，并说明理由． 【详解】（1）由是定义域为的奇函数，则， 任取，则，又在上是严格增函数， 由，即， 所以是上的严格增函数，得证； （2）函数不一定是上的严格增函数，理由如下： 对于， 由在、上都单调递增，且，函数满足题设， 但在上，在上，显然不满足是上的严格增函数， 所以函数不一定是上的严格增函数. 【变式9-1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上为严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，的定义域为，又，故为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为R，且，故为偶函数，当时，单调递增，B错误； 对于C，的定义域为，又，故为偶函数，当时，在上单调递增，所以在上单调递减，C正确； 对于D，的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，D错误. 故选：C. 【变式9-2】（24-25高一上·上海·期末）设常数，． (1)根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由; (2)设，,写出的表达式. 若对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当，总有，给出一个区间，并证明结论; (3)当为正整数时，如果对于任意，总有成立，求的值． 【详解】（1）易知函数的定义域为， 当时，，且， 此时既不是奇函数也不是偶函数； （2）①． ②所取，例如等等． ． 由于，由幂函数的单调性可得， 所以，即． （3）当时，， 所以在上是严格增函数，由得恒成立. 当时，即恒成立， 化简得恒成立，由于的取值范围为，所以，可得； 由于为正整数，所以或． 若，当时，． 当时，，不成立，舍去． 若，当时，恒成立． 综上，． 【变式9-3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的表达式为，且（）. (1)求实数的值，并判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)解关于的不等式. 【详解】（1）， 故，即． ，为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， 所以为偶函数. （2）在上单调递减．在上单调递增．下面证明： 设，，且.计算： 因为，，且，所以，，，. 那么，即，所以. 根据函数单调性的定义可知，函数在上单调递减. 又因为是偶函数，所以在上单调递增． （3）因为，所以， 由得， 由函数的性质得：， 则， 解得：． 故该不等式的解集为． 【变式9-4】（24-25高一上·上海普陀·期末）已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式． 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由定义域为，且， 所以为奇函数，得证； （2）令，则 ，而， 所以，即，故函数在区间上是增函数； （3）由，且函数在区间上是增函数， 所以，可得，解集为 【题型十】函数新定义 【例10-1】（24-25高一上·上海杨浦·期末）如果函数满足对任意实数x都有成立，则称为定义在上的“Y函数”，若存在整数，使得为整数，则称为的“Y点”，则对于所有的“Y函数”，它们不同的“Y点”个数之和为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．至少3个 【答案】A 【详解】假设存在“Y点”即，其中k为整数，又任意的实数x，都有成立，则， 又因为，，所以， 得若是“Y点”，则，也是“Y点”， 所以所有的“Y点”构成以公差为1 的等差数列，故若存在一个“Y点”，就会有无数个“Y点”， 若不存在“Y点”，自然“Y点”个数为0. 故选：A. 【例10-2】（24-25高一上·上海金山·期末）已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围； (3)若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 【详解】（1）因为函数是增函数，所以值域， 当时，函数在区间上单调递减，所以值域， 因为不是的子集，所以函数在区间上不具有性质. （2）①当时，函数， 此时函数在区间上单调递减，所以值域为， 又，函数在上单调递减，所以值域为， 此时，，，不符合，故舍去； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以值域为， 又函数在上的值域为， 此时，，，不符合，故舍去； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以值域为， 又函数在上的值域为， 此时，，，因为， 所以，解得， 因此，a的取值范围为. （3）由题意得，的值域为，即， 的对称轴，且开口向下， ①当时，在上单调递减，又，， 则值域为，由，得， 解得，不满足，故舍去； ②当时，在上单调递增，又，， 则值域为，由，得， 解得，不满足，故舍去； ③当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，又，， （i）当，即时，的值域， 由，得，解得，，符合题意； （ii）当，即时，的值域， 由，得，解得，所以符合题意， 综上所述，t的取值为，. 【变式10-1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，值域为，即若则称在上封闭． (1)分别判断函数，在上是否封闭，说明理由； (2)函数的定义域为且存在反函数若函数在上封闭，且函数在上也封闭，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为和在均为增函数， 所以在上单调递增，且，即， 因为不是的子集，所以函数在不封闭. 对，. 设，则. 因为，所以，即. 所以函数在上单调递增. 又，，所以，因为， 所以在上封闭. （2）因为函数在区间上封闭，所以； 又因为函数在区间上封闭，所以. 所以. 因为函数在区间上单调递增，所以， 即关于的方程在上有两个不同的解. 令（），则. 所以在上有两个不同的解. 所以 【变式10-2】（24-25高一上·上海·期末）对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”． (1)分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由 ①，； ②，； (2)设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围 (3)设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个． 【详解】（1）①不是，②是，理由如下： 对于①，，取，则， 所以两个函数不是“在上的函数对”； 对于②，在上是严格减函数， 当时，，则，故此时的函数值恒大于零， 所以这两个函数是“在上的函数对”. （2）由题意函数在上是严格减函数，且在上恒成立， 故有在上恒成立， 当时，，因此，解得， 所以的取值范围为． （3）证明：当时， ， 因为函数、在上是严格增函数， 所以函数在上是严格增函数， 得在上是严格减函数，且对任意恒成立. 当时， 在上恒成立， 取，得，不成立； 此时函数和不是“在上的函数对”． 当时，则， 当时，， 取，得， 所以函数在上不是减函数， 此时函数和不是“在上的函数对”． 综上，的值有且仅有一个. 【变式10-3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数的图像绕着原点旋转角后，与原来图像重合，则称函数为角旋转周期函数. (1)判断奇函数是否是角旋转周期函数，若是，求出；若不是，说明理由； (2)若是角旋转周期函数，判断以下四个点，哪个点可能在的图像上； (3)若是角旋转周期函数且上的点除原点外必不在的图像上，求所有满足要求的（可用三角比或具体数值表示）. 【详解】（1）是， （2）将每个点旋转，旋转5次得到 ，，，，，， 这六个点构成正六边形都有两种取值，所以不可能在的图像上；      同理，两点也不可能在的图像上； 旋转得到的正六边形每个顶点和原点连线作为终边的角分别是 ，没有两点的横坐标相同，所以可能在的图像上 （3）和（2）类似，可以将点绕原点旋转12次，每次旋转，这样可得到一个正十二边形， 如果这个正十二边形有两个顶点关于轴对称，那么这样的点必然不能在的图像上， 反之如果没有任何两个顶点关于轴对称，那么这样的点可能会在的图像上. 设正十二边形所对应的十二个角为， 当会出现上述关于轴的对称顶点.所以当起始点位于或的终边上时，会出现有两个顶点关于轴对称， 所以（这里后两种情况可用表示）      学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $