4.3 对数函数 学案-2023-2024学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

对数函数 【学习目标】 1、掌握对数函数的概念； 2、掌握对数函数的图像及其性质； 3、应用对数函数的性质解决简单的实际问题. 【知识回顾】 在上一章中，我们学习了对数式，其中，叫做底数（其中，且），叫做真数（其中），则称为以为底的对数，并且我们已经熟悉一些简单的对数运算，比如，，等等； 【本节内容】 一、对数函数的概念 对数函数的定义：在上述的对数式中，我们把底数固定不变，将真数用变量代替，当变量在不同取值情况下通过对数运算分别得到的相应值，我们用变量来表示，这样总是随着的变化而变化，且呈现出一定的规律即，那么在数学上我们用来描述与的关系就是对数函数. 定义 当固定，且，时，以为底的对数确定了变量随变量变化的规律，称为底为的对数函数 【说明】 1、由于时，才有意义，我们把所有使得函数有意义的的全体取值集合叫做对数函数的定义域； 2、对数函数的结构特征和前面学习过的幂函数、指数函数结构类似，前面的系数是，如，都不是对数函数. 【例1】求下列函数的定义域： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）当时，该函数才有意义，而，不等式的解是或，因此该函数的定义域是； （2）求和对数函数有关的定义域时，要遵循对数函数自身的要求，一是真数部分要大于零，二是底数大于零且不等于，故此函数应满足这两点，即，这个不等式组的解集为 二、对数函数的图像和性质（1） 为了更直观的理解对数函数（，）中两个变量与之间的关系，我们从几个简单的对数函数，，，入手，考察对数函数的图像和性质.首先，我们给中的变量取几组不同值，根据对数运算分别得到相应的函数值，具体数据见下表1； …… …… 表1 用同样的方法，我们也给，和中的变量取多组数值，具体数据分别见下表2，表3，表4； …… …… 表2 …… …… 表3 …… …… 表4 然后在平面直角坐标系里，我们试着把这些点的坐标描出，并用一条光滑的曲线把它们连接起来，就可以粗略的绘出它们的图像，分别见图1，图2，图3，图4； 图1 图2 图3 图4 【说明】观察四个图像，我们可以发现以下几个图像性质特点： 特点1：四个对数函数图像都在轴右侧； 特点2：四个对数函数图像都经过点； 特点3：在图1和图2中，当时，；当时，； 在图3和图4中，当时，；当时，； 特点4：在图1和图2中，图像都是递增的，即在自变量增加时，函数值也增大； 在在图3和图4中，图像都是递减的，即在自变量增加时，函数值却减小. 后来人们通过改变底数的不同取值，总结发现所有的对数函数图像大致分为两种，即底数和两种情况；关于对数函数的图像和性质的总结见表5； 图象 图像特征 （1）图像都在轴右侧，无限趋近于轴，但永不相交 （2）过点 （3）自左向右图像下降 （3）自左向右图像上升 函数性质 （1）定义域为 （2）当时， （3）在上严格递减 （3）在上严格递增 【速记打油诗】 对数图像有思路，是增是减看底数； 底数必须大于零，等于1了可不行； 大于1时往上翘，小于1时往下掉； 无论图像增与减，图像都过点. 【例2】利用对数函数图像性质，比较下列各题中两个值的大小. （1）和； （2）和； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）因为函数的底数是大于零小于的数，故对数函数在上是严格递减的，又，所以； （2）不同底的对数需要先换成同底后才容易比较，根据换底公式得 ，，又，故. 【例3】解下列不等式 （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）当时，无解；当时，解集为. 【解析】（1）我们知道对数函数在上是严格递减的，所以要使此不等式成立，则要满足，解不等式组得：，故