解三角形大招讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦解三角形高考核心考点，将射影定理、角平分线定理、中线长定理等九大解题方法系统整合，按“大招秘籍+真题训练”架构梳理边角关系、面积计算等高频问题，通过考点精讲、方法归纳、分层演练帮助学生构建解题框架，突破难点。 资料以“大招”形式创新提炼解题模型，如用基本不等式串法破解范围问题，培养学生数学思维与模型观念。设置2026云南模拟等真题案例，配合即时反馈练习，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

解三角形大招 大招一 第三者消失术 大招二 射影定理 大招三 解范围之基本不等式串法 大招四 边角互化 大招五 角平分线定理与张定理 大招六 中线长定理 大招七 倍角定理 大招八外接圆问题 大招九正切恒等式 大招一 第三者消失术 sin A=sin(B+C) sin C=sin(A+B) sin B=sin(A+C) cos A=-cos(B+C) cosB=-cos(4+C) cosC=-cos(A+B) sin 4+B C A+B =sin。,tan A+B C =.COS- =cot 2 2 1.(25-26高三下陕西商洛阶段检测)己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c,若c=bcosA,b=6,则△ABC面积的最大值为() 18 A.9 B.18 C.5 D.6 【答案】A 【解析】解法一：由题设c=bcosA及正弦定理可得sinC=sin BcosA, sin C=sin(+B)=sin Acos B+cos AsinB 故sin Acos B+cos Asin B=sin BcosA,化简得sin Acos B=0, A∈(0，元)，sinA≠ 因为 ,所以©0sB=0,即B=90 △ABC是直角三角形，直角在B, 由勾股定理，直角在B,故a2+c2=b2=36, △4BC的面积S=2ac,根据基本不等式a2+c2≥2ac,得：36≥2ac◆ac≤18： 11 因此S=2ac≤2×18=9，当且仅当a=C=32时取等号，即面积最大值为9 大招二 时是乡定理 大招秘籍： 结论：①a cos B+bcos A=C; ②a cos C+ccos4=b; ③cos C+ccos B=a. sin A=sin(-(B+C))=sin(B+C)=sin BcosC+cos BsinC=a=bcosC+ccos B 2.(2026云南模拟预测)△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 (2b-c)cos A=acosC ,则A= 【答案】3 (2sin B-sin C)cos A=sin Acos C 【解析】由正弦定理得 所以2 sin B cos A=sin Ccos A+sin AcosC=sinB, 因为如日≠0：所以20osA=1所以4-号 秒解：由 (2b-e)cos 4=acosC2bco-ccos+acosC 由射影定理得b=c0sA+ac0sC,所以2bc0sA=b:所以2casA=1,所以A=骨 3.(2026陕西商洛·二模)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 bcsC+cos=5:4=行，b=则e=一 【答案】2 2ab,cosB=+c2b2 【解析】由余弦定理知：cosC=。+6-c 2ac一，则： beosC+ecosB=b.d+b2-c+e+c2-B_g+-c心+a+c-=a=5. 2ab 2ac 2a 由余弦定理得：a2=b2+c2-2 becos A, 即c2-c-2=0,解得c=2或c=1(舍)， .c=2 秒解：由射影定理及beosC+ccosB=-V5,得Q=V5, ,由余弦定理得： a2=b2+c2-2bccos A, 即c2-c-2=0,解得c=2或c=1(舍)， .c=2 大招三 解范围之基本不等式串法 T Tsvabsa+b 2 a2+b2 1 2 2 a b 4在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若a2+b2=2c2,则cosC的最小值 () a2c1」 1 C. D.- 2 22 2 解：a2+6=22,则c2=a+6 2，由余弦定理 CosC=a'+b2-c2a2+b2_a2+b2 2 2ab 2ab -a2+b22ab1 1 4ab4ab2,当且仅当a=b时取等，cosC的最小值为2· 5.若△ABC的内角满足sinA+V2sinB=2sinC,则cosC的最小值是 解：sinA+2sinB=2sinC,由正弦定理，a+V2b=2c CosC=a'+b2-c2a2+b2-(a+v2b)2 2 3a2+2b2-2W2ab、2W6ab-2W2ab_V6-√2 2ab 2ab 8ab 8ab 4 当且仅当V5a=V2b时取等 6.(2025高二：河北保定开学考试)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 (a+c)2 tanB=-√3，b=V3ac,则ac() A.6 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可， 【详解】因为6=，所g=江百ae=+gc.+ -+2, ac ac ac 在A1C4,m日-5，所双8-5。放osB=, 4 由余弦定理得cosB=口+c2-b2 2ac 2,代入b2=30c得， a2+c2-3aca2+c231 2+c2 2ac 2ac22’故 =2 ac a2+2ac+c2 a2+c2 +2=2+2=4 故 ac ac 故B正确。 故选：B 大招四边角互化 等式或比例关系中的“S1角”要符合“齐次”！边角互化重点是满足“齐次”！ ■■ 7.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，且 3asin C-acosC+b-c=0 (I)证明：△ABC为钝角三角形： ②若0=3，且△MBC的面积为5，求△HBC的周长 b =C=2R 【答案】(1)由正弦定理得：sinA sin B sinC a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2RsinC, 3 sin Asin C-sin Acos C+sin B-sin C=0 代入已知条件得： sin B=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C 由三角形内角和定理得： 3 sin Asin C-sin Acos C+sin AcosC+cos Asin C-sin C=0 代入上式得： 3 sin Asin C+cos Asin C-sin C=0 化简得： 在△ABC中，sinC≠0， 两边同时除以sin C得：V5sinA+cosA=1 J π1 由辅助角公式得： A+∈π，7π 因为4∈(0，π)，所以6(6'6)， 所4+后后即4 3 所以△ABC为钝角三角形. 23+v3 【分析】(1)使用正弦定理边化角，两角和的正弦公式与辅助角公式求解： (2)使用三角形面积公式与余弦定理求解 【详解】(1)略 (②)庙三角形面积公式：Sek血4=5， A= Lhc.= -bc· 代入3得： ,解得bc=4: 由余弦定理得：a2=b2+c2-2 becosA, 代入=3,4= 3,bc=4得： 9=+c2-2x4x》=6+e5-2ae+4 所以9=(6+c-8+4.即b+c=13. 又因为b+c>0,所以b+c=i丽 所以△MBC的周长为Cac=a+b+C=3+iE 8.(25-26高三上甘肃兰州期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 满足V5 BasinC=c2+cos4) (1)求角A的大小： (2)若a=25 求△ABC 的周长的最大值 【答案】(0A=2 3 (24+25 【详解】（山）因为5 5asinC=c(2+cos4)） 所以V5 sin Asinc=sinC(2+cos4) 因为sinC≠0 所以 3sinA=2+cosA 2m4-=2 即V3sinA-cosA=2,即(" 因为4cQ.所以4吾至、。 3: （2）由余弦定理。2=6+c-260s1及4= 3 得(23=b+c2+bc,即12=6+c2+bc, 即12=6+g-灰，c≤0，即6+o了-12s9 所以（亿+c≤16，即b+c≤4，当且仅当b=c=2时，等号成立， 所以周长乙=a+b+c≤2V3+4 所以周长最大值为4+25 7 大招五角平分线与张角定理 大招秘籍： AB BD 角平分线定理：在△ABC中，AD平分∠BAC,则：ACCD B 等面积法：因为SAABD+SAACD=SAABC 张角定理：在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD. sin∠BAD,sin∠CAD sin∠BAC 那么AC AB AD 1,12coS∠BAD 当AD平分∠BAC时AC+AB AD π 9.在△MBC中，角AB,C的对边分别为a,b.c,已知B=3,b=V5,∠ABC的 平分线BD交AC于点D,求BD的取值范围. 【答案】 【分析】利用等面积法求得角平分线长度的表达式，再构造函数求解 【详解】 Sm+Sacm=S4c可知 in∠4D+aBD48D-方en4∠ac B 2accos 2accos 化简可得BD= 2二 6 V3ac a+c a+c a+c 由余弦定理可得b2=a2+c2-2 ac cos B, -ae-(aro-3c.oe-are-3 3, 令i=a+c则ac=3, 3 放⑤ 由c>0得≥3，又1=a+c>6=5, 由其本不ac≤（a+C)=3≤→4t2-3)≤32→12≤12三1≤25 44可得3 V3.1-3 所以15.2代入 BD 表越式可得0，之气-引 t 令f0=1-2由于f0在（i25]上单调递增，所以小)<f0sf么)即 0103 37 0, 故BD的取值范围为2 大招六中线长定理 中线长定理：在AABC中AD为BC的中线， 中线定理4B+4C2=2(4D2+DC) 三角形模式极化恒等式： 如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则 AB AC=IADP-IBDP. (1)推导过程：由 a.ac-aq可-a-c可-D-可-m- 向量法：.AD=AB+AC AD=(be+2bccos 4) 4 4D-(4B+AC)D(4B+4C) 推导过程：由 ，则 4 0s4 AD=+c+2bccos A) 所以 角形式， 核心技巧：∠ADB+∠ADC=π→cOS∠ADB+coS∠ADC=0 10.(25-26江西南昌期末)已知a,b,C分别为△ABC三个内角A,B,C的对边， 3bcosA-asinB=0 (1)求角A: (2)若a=2△AB 的面积为5， 7,求ABC 的周长： 3)若a= ,且△1BC为锐角三角形，D为BC的中点，求中线4D的取值范围. 10 【答案】()A= 3 (2)6 731 322 【分析】(1)利用正弦定理，可求角A (2)利用三角形的面积公式和余弦定理列式，可求三角形的周长 ③)利用平面向量和余弦定理可得D=十©，再利用正弦定理和三角函数恒等变挠】 求bc的取值范围即可. 3bcos A-asin B=0 【详解】(1) 由正弦定理可得 3 sin Bcos A-sin Asin B=0 sin B(3cos 4-sin 4)0 ∈(0，) 因为 所以sinB≠ 0,所u5cosA-s如4=0，即amA=5 又A∈(0，)，则A=3 3 2mA=6 (2)由(1)及题设可得 cosA=+c2-a21即bc=4 2bc 2 b2+c2=8 b+c)2=b2+c2+2bc=8+8=16 整理得 解得b+c4 所以△ABC的周长为a+b+C=2+4=6 (3)因为D为BC的中点，所以D=(AB+AC), 两边平方得D-aB+AC-aB+AC+2BACc2+62+bc), 在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A=b2+c2-bc,即b2+c2=3+bc, 所u而-6+2)-c 11 B b c a 3 =2 在 中，由正弦定理得sin B sinC sinA√3 △ABC 2 所以b=2sinB,c=2sinC, bc=4sin Bsin C=4sin Bsin 2-B 所以 23sin Bcos +2sinB=3sin28+1-cos2B=2sin 2D 因为A1BC为锐角三角形，所以0B<受，C=元-A-B--B, 3 则0<径-8<受，解得名<B<经， 2 <2B-<5π 1 <sin2B-π s12<2sin 28- +1≤3 所以6 66,所以2 6),则 6 即2<bc≤3， 所以4<Ds 1 73 4,所以中线AD的取值范围是2’2 大招七倍角定理 大招秘籍： ■■■ ■■■■■■■■■ ■■ ■■ ■■■■■■■■■■ 倍角定理 在△ABC中，三个内角AB、C的对边分别为ab、C, (1)如果A=2B,则有：a2=b2+bC 12 (2)如果C=2A,则有：c2=a2+ab (3)如果B=2C,则有：b2=c2+aC 倍角定理的逆运用 在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为4五C, (L)如果Q2=b2+bc,则有：A=2B。 (2)如果c2=a2+ab,则有：C=2A。 (3)如果b=c2+ac,则有：B=2C。 1在△MBC中，角4B.,C所对的边分别是a,6c.若问24，a=l,b=V ,则c= 解：由大招秒 b2=a2+ac,则3 3=1+cc=2 大招八外接圆内切圆问题 过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆.其圆心叫做三角形的外心. 外接圆半径的计算：R===. 外接圆半径与三角形面积的关系：S4sc==(R为ABC外接圆半径) 13 12.(2425高一下福建厦门期中)已知四边形ABCD的三个顶点A,B,C在某圆上， AD⊥CD,AD=4,BC=3,CD=L,AB=√2 则该圆的面积为() 13 17 5 B. C.9n D 【答案】B 【详解】连接AC, AD⊥CD,AD=4,CD=1 因为 所以AC=7 cos∠ACB=17+9-24V7 2√17×317， 所以sin∠ACB= 417 V17 17 17 D 由题意该圆即为三角形ABC的外接圆， AB 2R= sin∠ACB 234 1 设该圆的半径为R,则 17 2 所以该圆的面积为πR'= 、2 故选：B. 18，（2520离三上山西大同月考)在圆内接棉形1C0中，A81CD:乙A0C= 3 BC=2,CD=1,则其外接圆的半径为一： 14 √21 【答案】3 【分析】根据条件判断 BCD为等腰梯形，得MD=BC=2,由余弦定理求得4C=7 再由正弦定理即可求得其外接圆半径 【详解】 D 如图，梯形ABCD内接于圆O,则∠ADC+∠ABC=π， 因∠ADC=2 ,,AB1ICD,则∠DAB=∠ABC= 3 故梯形ABCD为等腰梯形，则AD=BC=2, 所求即为△ADC的外接圆的半径. 在△ACD中，由余弦定理可得 AC2=AD2+CD2-2AD.CD.cos∠ADC=4+1-2×2×1× 2R=4C=万_22i 则4C=√万，又由正弦定理得 sin2V53 132 ，即RV②7 3 21 故答案为： 3 15 解三角形 大招九 正切恒等式 大招秘籍 结论：在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tan Atan B tan C, 证明：因为1+B+C=元 tan(A+B)=-tan C ,则 tan(A+B)= tan A+tan B =-tanC 1-tan Atan B tan 4+tan B=-tan C(1-tan Atan B) 所以 整理得：tanA+tanB+tanC=tan Atan Btan C 14（2025:吉林长春·模拟预测)已知C为锐角，若存在△ABC,使得anA+tanB=tan C一 ,则tanC的取值范围是 【答案】 2√2，+0)】 【i详解】由anC=-tan(A+B）知anA+tanB=-an4+ianB 1-tan Atan B'tan 4tan B=2' 于是tanC=tanA+2 +tanA,由tanC>0,知tanA>0 2 存在△ABC使anA+anB=anC等价于关于x的方程anC=x+长在(0，+o)有解。 由+子2子-2点，当且仅当x=V万时取等号，所以nC的取值花围是[25，+树) 故答案为： [2V2,+∞) 16解三角形大招 大招一 第三者消失术 大招二 射影定理 大招三 解范围之基本不等式串法 大招四 边角互化 大招五 角平分幾定理与张角定理 大招六 中线长定理 大招七 倍角定理 大招八外接圆问题 大招九正切恒等式 大招一 第三者消失术 sin A=sin(B+C) sin C=sin(A+B) sin B=sin(A+C) cos A=-cos(B+C) cosB=-cos(4+C) cosC=-cos(A+B) 4+B C A+B sin =sin。,tan A+B =cot C 2 2 1.(25-26高三下陕西商洛阶段检测)己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c,若c=bcosA,b=6,则△ABC面积的最大值为() 18 A.9 B.18 C.5 D.6 1 大招二 射形定理 ■■■■ 大招秘籍： 结论：①acos B+bcosA=C; ②acosC+ccos A=b; ③bcos C+ccos B=a, sin A=sin(a-(B+C))=sin(B+C)=sin BcosC+cos BsinC=a=bcosC+ccos B 22026云南模拟预测△C中，内角A,B,C所对的边分别为2，么，C,若 ■■■■ (2b-c)cos A=acosC ,则A= 3.(2026陕西商洛·二模)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 bcC+e月=5,4-子为=1则e 大招三 解范围之基本不等式串法 2 a+b a2+b2 11 2 2 -十 a b ■■■■ 4在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若a2+b2=2c2,则cosC的最小值 () 3 A. B.- 2cD.- C. 2 2 5.若△4BC的内角满足sinA+√2sinB=2sinC,则cosC的最小值是 6.(2025高二河北保定开学考试)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 (a+c)2 tanB=-√5，b=V3ac,则ac,() A.6 B.4 C.3 D.2 大招四边角互化 。。。。。。。。。。8。。8。。。■。。。。。。■。。8。。。■。。= 等式或比例关系中的“S山角”要符合“齐次”！边角互化重点是满足“齐次”！ 一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 7.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，且 3asin C-acosC+b-c=0 3 (I)证明：△ABC为钝角三角形： (②若=3，且△1BC的面积为5，求△18C 的周长 8.(25-26高三上甘肃兰州期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 满足v3 asinC=-c(2+os4) (1)求角A的大小： (2)若a=2V3 ,求△AB 的周长的最大值. 大招五角平分线与张角定理 大招秘籍： AB BD 角平分线定理：在△ABC中，AD平分∠BAC,则：ACCD. B 等面积法：因为SA ABD+SAACD=SAABC ■■■■■■■■■■■■■■■■ 张角定理：在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD. sin /BAD sin /CAD_sin ZBAC 那么AC AB AD 112coS∠BAD 当AD平分∠BAC时AC'AB AD D ).在AABC中，角本么C的对边分别为ahc已知B=子，有=5：∠ABC的 平分线BD交AC于点D,求BD的取值范围. 大招六中线长定理 中线长定理：在△ABC中AD为BC的中线， 中线定理4B+AC2=2(AD2+DC) J 三角形模式极化恒等式： 如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则 AB AC=IADP-IBDI. (1)推导过程：由 .c-[a+c列[西-列-而-j西-D 力 向量法 :AD=1AB+AC D=4公+c2+2cos40 AD-(4B+AC)AD=(4B+AC) 推导过程：由 ,则 4 21 AD=(b+c+2bccos 所以 角形式，核心技巧：∠ADB+∠ADC=π→cos∠ADB+cOS∠ADC=0 10.(25-26江西南昌期末)己知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边， √3 bcosA-asinB=0 (1)求角A: (2)若a=24AB 的面积为5 ,求aABC 的周长： 6)若a=V5,且△MBC为锐角三角形，D为BC的中点，求中线4D的取值范围 6 大招七 倍角定理 大招秘籍： 倍角定理 在AABC中，三个内角A、B、C的对边分别为ab、C, (1)如果A=2B,则有：a2=b2+bC (2)如果C=2A,则有：c2=a2+ab (3)如果B=2C,则有：b2=c2+aC 倍角定理的逆运用 在△MBC中，三个内角A、B、C的对边分别为abC, )如果a2=b2+bc,则有：A=2B。 > (2)如果c2=a2+ab,则有：C=2A。 (3)如果b2=c2+ac,则有：B=2C。 ■■ ■■■■■■■■ 1.在AMBC中，角4B,C所对的边分别是a,6c.若B=24,a=l,b=V5 则c= 大招八外接圆内切圆问题 过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆.其圆心叫做三角形的外心. 外接圆半径的计算：R===· 外接圆半径与三角形面积的关系：Ssc==(R为ABC外接圆半径). 12(2425高一下福建厦门期中)已知四边形ABCD的三个顶点A,B,C在某圆上， AD⊥CD,AD=4,BC=3,CD=1,AB=√2 则该圆的面积为() 13」 1 A.2π B. 2π C.9n D. 4 8 18.（2526商三上山西大同月考)在圆内接梯形ABCD中，AB/,CD,∠ADC= 3 BC=2,CD=1,则其外接圆的半径为一 解三角形 大招九 正切恒等式 ■■■■ ■■ ■■■ 大招秘籍 结论：在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tan Atan B tan C, 证明：因为A+B+C=元则tan(A+B)=-tanC ,则 tan(4+B)=tan 4+tan B =-tanC 1-tan Atan B tan 4+tan B=-tan C(1-tan Atan B) 所以 整理得：tanA+tanB+tanC=tan Atan B tan C 4(025吉林长春模拟预对知C为镜角，若存在C,使得n7i方anC- ,则tanC的取值范围是 0