精品解析：湖北武汉市育才高级中学2026-2027学年高三上学期8月学业检测数学试卷

2026―2027学年度上学期武汉市育才高级中学8月学业检测 高三数学试卷 考试时间：2026年8月10日　　试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则（ ） A. 是假命题，， B. 是假命题，， C. 是真命题，， D. 是真命题，， 3. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2或 D. 或4 4. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式有（　　） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 96种 5. 已知单位向量满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A. B. C. 2 D. 7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A. 函数的一个对称中心是 B. 是偶函数 C. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D. 函数在上有5个零点．则的取值范围为 10. 定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A. B. C. 的图象关于对称 D. 8为的一个周期 11. 在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 异面直线，所成的角为 D. 与平面所成角的余弦值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上） 12. 已知，则________． 13. 在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为_________．（用数字作答） 14. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面. （1）证明：； （2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． （1）若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； （2）若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 17. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，． （1）求角的大小； （2）求的取值范围； （3）设是的重心，求的最小值． 18. 已知椭圆的右焦点为F，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）过点F作直线l（与x轴不垂直）与椭圆C交于A、B两点，在直线上取点P，使，证明：直线PB恒过定点； （3）设点Q为椭圆上异于其左右顶点的一点，过Q分别作椭圆C的两条切线QM、QN，切点分别为M、N，设直线QM、QN的斜率分别为、，证明：为定值. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在两个极值点，，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）已知函数有三个零点，分别记为，，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026―2027学年度上学期武汉市育才高级中学8月学业检测 高三数学试卷 考试时间：2026年8月10日　　试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】全集， 又因为， 所以. 故选：C. 2. 已知命题，，则（ ） A. 是假命题，， B. 是假命题，， C. 是真命题，， D. 是真命题，， 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，结合导数与单调性及最值的关系判断命题的真假，根据全称命题的否定形式判断即可. 【详解】 令，定义域为，求导得. 当时，，故，因此在上单调递增. 所以，即对任意，，也即恒成立， 故命题是真命题，A，B错误. 命题的否定为：，C正确，D错误. 3. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2或 D. 或4 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行得到，求出的值，再检验即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或， 当时直线与直线重合，不符合题意； 当时直线与直线平行. 故选：B 4. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则不同的播放方式有（　　） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 96种 【答案】C 【解析】 【详解】有2个不同的公益广告，首尾位置各放一个；先从2个公益广告中选1个放在首位，有种选法，剩下1个公益广告自动放在末位. 中间4个位置放4个不同的商业广告，全排列，共有种排法. 因此总播放方式数为种. 5. 已知单位向量满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律可得，再由向量夹角公式可求夹角的大小. 【详解】因为， 所以，即，故， 所以，故向量与的夹角为. 故选：B. 6. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求的最大值即可. 【详解】表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心C到点的距离， 则的最大值为. 故选：A 7. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，将三棱锥补成长方体，再利用长方体的性质求出外接球的半径，即可求解. 【详解】如图，将三棱锥补成长方体， 设，又， 则，，，将三式相加得， 因为三棱锥的顶点全在长方体的顶点上，所以长方体的外接球也是三棱锥的外接球， 由长方体的性质知，长方体的外接球球心在体对角线的中点处，且体对角线长为， 所以三棱锥的外接球的半径为，则球的表面积为. 故选：D. 8. 若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得， 假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 故选：C． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A. 函数的一个对称中心是 B. 是偶函数 C. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D. 函数在上有5个零点．则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象利用五点法求函数的解析式.对于AB：代入检验即可；对于C：根据图象变换结合诱导公式分析判断；对于D：整理可得，以为整体，结合正弦函数图象运算求解即可. 【详解】由图可得：，解得， 设函数的最小正周期为， 则，即， 且，可得，解得，则， 因为，可得， 且，则， 可得，解得， 所以. 对于选项A：因为， 所以函数的一个对称中心是，故A正确； 对于选项B：因为不为偶函数，故B错误； 对于选项C：将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到， 再向右平移个单位长度，得到， 即为函数，故C正确； 对于选项D：令，可得， 因为，则， 由正弦函数图象可知，解得，故D正确. 故选：ACD. 10. 定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A. B. C. 的图象关于对称 D. 8为的一个周期 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：由为奇函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对B：由为偶函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对C：借助B中所得，结合赋值法计算即可得；对D：结合A中所得及为偶函数计算即可得. 【详解】对A：由为奇函数，则， 故，由， 则，且有， 即，则， 令，则，即，故A错误； 对B：由为偶函数，则， 由，则、， 故，又， 则，则，则， 由，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则的图象关于对称，故C正确； 对D：由，则， 又，则，则， 则，即， 即8为的一个周期，故D正确. 故选：BCD. 11. 在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 异面直线，所成的角为 D. 与平面所成角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法证明线面关系即可判断选项；用向量法分别表示向量，以及求出平面的法向量，代入异面直线所成的角的向量公式可判断选项，代入直线与平面所成角的余弦公式即可判定选项. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，. 对于A，因为，平面的一个法向量为， 所以，所以平面，故A正确. 对于B，因为，， 所以， 所以DP，EC不垂直，故B错误. 对于C，因为，， 所以， 所以异面直线，所成的角为，故C正确. 对于D，设平面的法向量为， 因为，， 所以令，得. 设与平面所成的角为，因为， 所以， ，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上） 12. 已知，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题先求出、，再化简代入求值即可. 【详解】解：∵ ，，， ∴ 或 ①当且时， ； ②当且时， . 故答案为：1. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式，是基础题. 13. 在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为_________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件求出的值，写出二项展开式的通项，即可求解. 【详解】由于的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中共有7项，故， 所以的展开式通项为，, 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：. 14. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为在上恒成立,然后构造函数，利用单调性，得到，再构造函数，求出最小值即可得解. 【详解】由题意可知,由，变形得， 即等价于，即； 令，因为，所以在上单调递增， 由，可得， 所以，等价于， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，因此，即得， 即实数的最大值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面. （1）证明：； （2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：连接， 是菱形，是对角线， ， 又平面平面， ， 又平面平面， 平面， 又平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直以及线面垂直的性质，通过线面垂直的判定定理证明平面，进而得到； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及向量，再根据线面角的向量公式（其中为直线的方向向量，为平面的法向量，为直线与平面所成角）求出线面角的正弦值。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，则， 以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系， 令，则， ， 设平面的法向量为， 由，得，得， . 16. 为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． （1）若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； （2）若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【小问1详解】 设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为； 【小问2详解】 由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 17. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，． （1）求角的大小； （2）求的取值范围； （3）设是的重心，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求得角； （2）利用正弦定理与和角公式求得，结合锐角三角形求得，利用正切函数的性质即可求得边的取值范围； （3）利用三角形的重心性质和余弦定理，借助于二次函数的性质即可求得答案. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 去分母得，即， 由余弦定理，可得．又，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，可得． 因为三角形为锐角三角形，所以，解得．则， 则，故． 【小问3详解】 设的中点为，因是的重心，则， 由余弦定理，， 故当时，取得最小值，此时的最小值为 18. 已知椭圆的右焦点为F，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）过点F作直线l（与x轴不垂直）与椭圆C交于A、B两点，在直线上取点P，使，证明：直线PB恒过定点； （3）设点Q为椭圆上异于其左右顶点的一点，过Q分别作椭圆C的两条切线QM、QN，切点分别为M、N，设直线QM、QN的斜率分别为、，证明：为定值. 【答案】（1） （2）证明如下： 当时，设直线AB的方程为：， 且交椭圆C分别为点、，则， 联立，有， ， 故，，故， 由图形的对称性知，直线恒过的定点在x轴上， 设定点为， 则有，即， 故， 即直线BP恒过定点； 当时，直线BP方程为：，此时直线BP亦过定点； 综上，直线BP恒过定点； （3）证明如下： 设，设切线为：， 联立，有， 由， 得， 即，即， 故，又Q在椭圆E上，即①， 将①代入得， 故为定值. 【解析】 【分析】（1）利用离心率计算即可得； （2）分与进行讨论，当时，设出直线AB的方程，联立椭圆方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，利用对称性可得直线恒过的定点在x轴上，则可设该点为，则有，解出即可得，最后验证时，该点也在直线上即可得； （3）设出点及其切线方程，联立椭圆方程，可得与有关一元二次方程，利用切线性质可得，则可得两切线方程斜率有关一元二次方程，即可表示出斜率之积，再利用点Q在椭圆E上，代入计算即可得解. 【小问1详解】 由题意可知：，又，故 解得：，故椭圆C的方程为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若存在两个极值点，，且． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）已知函数有三个零点，分别记为，，，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（2）知在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 又，不妨设，显然， 又，且， 则，即，所以， 则要证，只需证． 因为存在两个变号零点，，所以， 得到， 令，则，又， 所以在上单调递增，在上单调递减，且有， 构造函数，， 因为，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 又因为，，且在上单调递减， 则，所以， 又因为在上单调递增，所以， 故． 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义求出函数在点处切线的斜率，再由直线的点斜式，即可求解； （2）（i）根据条件，将问题转化成存在两个变号零点，，利用导数，分和两种情况，分别求出函数的单调区间，再结合条件，即可求解；（ii）利用（i）中结果，结合条件可得，从而将问题转化成证明，构造及，，利用导数与函数单调性间的关系可得，再由的单调性，即可求解. 【小问1详解】 当时，，则，所以， 又，故函数在点处切线方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）因为，恒成立，令， 由题知存在两个极值点，，等价于存在两个变号零点，． 因为，则当时，，单调递增，此时最多一个零点，不合题意； 当时，令，得， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 由题意得，解得， 当时，因为，， 由零点存在性原理及函数的单调性知，当时，存在唯一，使得， 令，则，当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号， 则，所以当时，， 则当时，，所以， 由零点存在性原理及函数的单调性知，当时，存在唯一，使得， 综上所述，实数的取值范围为． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $