专题6.5 多边形（7题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本讲义聚焦多边形核心知识点，系统梳理定义、顶点边内角外角对角线等要素，明确凸凹多边形分类及正多边形“边等角等”双条件，通过对角线条数公式及分割三角形规律构建知识脉络，以概念辨析、例题变式为学习支架。 资料特色在于结合定州开元寺塔等生活实例培养数学眼光，通过对角线分割多边形渗透转化思想发展数学思维，题型覆盖截角、网格面积等实际问题强化应用意识。课中助力教师分层教学，课后练习题梯度设计帮助学生查漏补缺。

专题6.5 多边形 教学目标 1. 了解多边形的定义，认识多边形的顶点、边、内角、外角与对角线等基本要素。 2. 能用字母表示多边形，掌握多边形的外角与相邻内角互为补角，能进行相关计算。 3. 通过观察与操作发现多边形可分割为三角形，感悟“复杂图形转化为简单图形”的研究思路。 教学重难点 教学重点 1. 理解多边形定义及其顶点、边、内外角、对角线等概念，能正确表示并分析多边形性质。 2. 了解正多边形（各边相等、各角相等）的概念，能识别生活中的应用实例。 教学难点 1. 灵活运用对角线将多边形分割成三角形，探究图形的内在联系，形成转化与化归的数学思想。 2. 从具体图形操作中抽象归纳多边形定义，以及理解正多边形“各边相等”与“各角相等”两个条件缺一不可。 知识点01 多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 【即学即练1-1】（25-26八年级下·青海西宁·期末）在下列图形中，不属于多边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：三角形、四边形、八边形都是多边形，圆不是多边形． 【即学即练1-2】（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）如图，定州开元寺塔（料敌塔）共十一层，高米，被誉为“中华第一塔”．塔身平面呈正八边形，是宋代砖塔的杰出代表．下列同为正八边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，据此求解即可. 【详解】解：根据题意可得：图形为正八边形的是选项B. 【即学即练1-3】（25-26八年级下·全国·期末）在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 题型01 多边形的概念与分类 【典例1】（25-26八年级下·云南怒江·期中）下列图形中，是四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是由四条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形， ∴是四边形的是选项． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）下列图形中，属于凸多边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据凸多边形的定义判断，满足两点：一是多边形，各顶点首尾顺次相接；二是整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧． 【详解】解：画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫作凸多边形， 因此选项A、D都不符合题意，选项C符合题意； 多边形各顶点要首尾顺次相接，因此选项B不符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）下列图形属于多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形的定义，逐一判断选项是否符合“平面内由线段首尾顺次相接组成的封闭图形”这一条件，从而选出正确答案． 【详解】解：A选项：是一条线段，不是封闭图形，不属于多边形． B选项：是一个角，不是封闭图形，不属于多边形． C选项：是由线段首尾顺次相接组成的封闭图形，属于多边形． D选项：是由曲线围成的封闭图形，不属于多边形． 【变式3】（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，图中的凸四边形有________个． 【答案】 【详解】解：图中的凸四边形为四边形，四边形，四边形，共3个． 题型02 正多边形概念辨析 【典例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形为正多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 根据正多边形的定义，各边相等，各角相等的多边形，逐一判断即可求解． 【详解】解：根据正多边形的定义，选项D是正五边形， 只有选项D符合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形中，一定是正多边形的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．正方形 【答案】D 【分析】正多边形需所有边相等且所有角相等. 三角形、四边形、平行四边形不一定满足条件，而正方形一定满足． 本题考查了正多边形的定义，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 【详解】解： 正多边形定义：各边相等，各角相等． A.、三角形不一定各边相等（如不等边三角形），不一定是正多边形，不符合题意． B、四边形不一定各边相等或各角相等（如梯形）， 不一定是正多边形，不符合题意． C、平行四边形对边相等，但邻边不一定相等，角不一定相等，不一定是正多边形，不符合题意． D、正方形所有边相等，所有角均为90°， 一定是正多边形，符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·山东青岛·周测）下列图形中，是正多边形的是（   ） A．等腰三角形 B．长方形 C．正方形 D．五边都相等的五边形 【答案】C 【分析】该题考查了正多边形的定义，正多边形需所有边相等且所有角相等．据此解答即可． 【详解】解：∵正多边形定义：各边相等，各角相等； A．等腰三角形不一定各边都相等，各角也不一定都相等，不是正多边形，不符合题意； B．长方形角相等但边不一定相等，不是正多边形，不符合题意； C．正方形四边相等且四角均为，是正多边形，符合题意； D．五边都相等的五边形边相等但角不一定相等，不是正多边形，不符合题意； 故选：C． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．正三角形不是正多边形 B．平行四边形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，牢记各边相等且各角相等是解题关键． 根据正多边形的定义逐一分析即可． 【详解】解：正多边形需同时满足各边相等和各角相等． ∵正三角形各边相等、各角相等， ∴是正多边形，故A错误； ∵平行四边形邻边不一定相等，邻角也不一定相等， ∴不一定是正多边形，故B错误； ∵正方形各边相等、各角相等， ∴是正多边形，故C正确； ∵各角相等的多边形边不一定相等（如矩形）， ∴不一定是正多边形，故D错误． 故选：C． 题型03 多边形截角后的边数问题 【典例3】．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【答案】D 【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果． 【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，    ∴剩下纸片的角的个数为3或4或5； 故选D． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ）    A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】沿对角线剪，沿一个角剪，沿一个角下方一点剪，进而得出结论． 【详解】解：如图所示，    故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·期中）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形； 所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5． 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·重庆綦江·期中）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为______． 【答案】6或7或8 【分析】存在三种情况，根据图示进行分析． 【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图 一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8， 故答案为：6或7或8． 题型04 多边形的周长 【典例4】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是______． 【答案】6 【分析】本题考查了多边形的周长，根据正多边形的每条边都相等，求出正六边形的周长即可． 【详解】解：正六边形的边长是1， 这个正六边形的周长是：， 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于_______． 【答案】4； 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案； 【详解】解：∵正八边形的周长是， ∴这个多边形的边长为：， 故答案为：4． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元复习）如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于_______． 【答案】4 【分析】本题考查正多边形，正六边形的周长除以6，可得正六边形的边长． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个正六边形的边长是， 故答案为：4． 【变式3】（24-25八年级上·吉林长春·期中）一个正八边形的边长为5．则它的周长为__________． 【答案】40 【分析】本题主要考查正多边形的性质，根据正八边形边长相等，用边长乘以8即可得出答案． 【详解】解：由题意得周长为：． 故答案为：40． 题型05 网格中多边形面积比较 【典例5】（25-26七年级下·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【变式2】（2026·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为：_____（填“＞”“＝”或“＜”）， 【答案】= 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， 故答案为：=． 【变式3】（2026·北京平谷·一模）如图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为：_____(填“>”，“=”或“<”) . 【答案】= 【分析】根据图形可知=，=，然后由图易知△ABC和△ADC同底等高，所以△ABC和△ADC面积相等从而得到△ABO和△DCO的关系． 【详解】解：由图易有：=，=， ∵△ABC和△ADC同底等高， ∴， ∴=． 故答案为：= 题型06 多边形对角线的条数问题 【典例6】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）河北易县博物馆收藏的绿釉陶瓮中出土了带有正六边形的几何纹饰，体现了古代工匠对正多边形的熟练运用．右图是从中抽象出的正六边形的几何图，则仅从一个顶点出发，最多能引出对角线的条数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：如图所示： 仅从一个顶点出发，最多能引出对角线的条数是． 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·期末）若从多边形的一个顶点可以引出6条对角线，则这个多边形是（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】C 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵从边形的一个顶点出发，可引出条对角线， ∴由题意得， 解得， ∴这个多边形是九边形． 【变式2】（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________． 【答案】6 【详解】解：从一个多边形的一个顶点引对角线，可以作条对角线， ∴从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数为． 【变式3】（23-24七年级下·陕西西安·期中）真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下： 多边形的边数n 3 4 5 6 … 对角线的条数y 0 2 5 9 … (1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）； (2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y． (3)求一个十边形的对角线的条数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了对角线的条数与多边形的边数的关系，理解题意、得出对角线的条数与多边形的边数的关系是解题的关键． （1）根据“一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线”，得出答案即可； （2）根据“n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次”，得出答案即可； （3）把代入，计算得出答案即可． 【详解】（1）解：∵一个顶点可向除自己和相邻两顶点外的其它顶点连线，得到对角线， ∴过n边形的每一个顶点的对角线条数为， 故答案为：； （2）解：∵n边形有n个顶点，所以所有对角线有条．但每条对角线重复一次， ∴n边形所有对角线的条数为； （3）解：把代入，得， ∴一个十边形的对角线的条数为． 题型07 对角线分成的三角形个数问题 【典例7】（2026·陕西咸阳·一模）从多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的边数是______． 【答案】5 【分析】从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个多边形分成个三角形，据此求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为5． 【变式1】（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）已知从九边形的一个顶点出发，可引出m条对角线，这些对角线可以把这个九边形分成n个三角形，则_______ ． 【答案】 【分析】多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为条；组成的三角形的个数为个，分别求出m、n的值即可得出． 【详解】解：从九边形的一个顶点出发，可引出条对角线，这些对角线可以把这个九边形分成个三角形， ∴， ∴． 【变式2】（23-24七年级上·安徽宿州·阶段检测）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 【答案】(1)， (2)一个十二边形总共有54条对角线 (3) 解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得，， 因为多边形的边数必须是整数，所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2016． 【分析】本题考查n边形对角线的总条数，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． （1）由表格中的数据探求得出最终结果； （2）把代入求值即可； （3）设这个多边形的边数为，则，进行计算即可得． 【详解】（1）解：由表格中的数据得： 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数为：条， 多边形对角线的总条数为：条； 故答案为：，； （2）解：把代入计算得：. 故一个十二边形总共有54条对角线； （3）略 【变式3】（25-26八年级上·河南新乡·阶段检测）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】(1)1；2 (2)2；3 (3)； (4)103 【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究． （1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论； （4）将100代入（3）的结论中即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，经过1个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：如图所示，经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 故答案为：2，3． （3）解：∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形； 经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形； 经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形； 经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形； …… ∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形； 故答案为：，． （4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线， ∴根据（3）中结论可得，， ∴， 故答案为：103． 一、单选题 1.（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）白塔寺是廊坊永清县辽代时期典型的历史文化风貌体现，塔体平面为八边形．下列同为八边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据图形可得： A是七边形；B是八边形；C是九边形；D是五边形． 2．（25-26八年级下·宁夏固原·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】C 【分析】根据正多边形的定义逐一判断选项即可，正多边形定义为各边相等、各角也相等的多边形． 【详解】A、∵多边形是由三条或三条以上线段首尾顺次连接围成的封闭图形，正三角形符合多边形定义， ∴A错误； B、∵正多边形需要同时满足各边相等、各角相等，长方形四个角相等但四条边不一定都相等， ∴B错误； C、∵正方形的四条边相等，四个角也相等，满足正多边形的定义， ∴C正确； D、∵各角相等的多边形各边不一定相等，例如长方形各角相等但不是正多边形，不满足正多边形定义， ∴D错误． 3．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 【答案】C 【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故选C 4．（25-26八年级下·河北沧州·期末）从一个边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则的值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【详解】解：从边形的一个顶点出发，最多可引出的对角线数量为条， ∵从一个边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线， ∴， 解得． 二、填空题 5．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为_________． 【答案】4 【分析】根据直线DE将△ABC分成等周长的两部分得AD+AE＝BD+CE+BC=2，进而可求解． 【详解】解：由题意得：AD+AE＝BD+CE+BC． ∵AD+AE＝2， ∴BD+CE+BC＝2． ∴C△ABC＝AB+AC+BC ＝（AD+BD）+（AE+CE）+BC ＝（AD+AE）+（BD+CD+BC） ＝2+2 ＝4． 故答案为：4． 6．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 7．（25-26八年级下·上海金山·期中）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有5条，那么它的边数是__________ 【答案】 8 【分析】从边形的一个顶点出发，可以引条对角线，根据题目条件列方程求解边数． 【详解】解：设多边形的边数为． 从边形的一个顶点出发的对角线条数为， ， 解得 ． 8．（25-26八年级下·云南昭通·期中）从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 【答案】 3 4 【详解】解：对于边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为． 本题中六边形，因此可以作对角线条数为． 从一个顶点引出条对角线后，可将边形分成个三角形，因此六边形分成三角形的个数为． 三、解答题 9．（25-26六年级下·全国·课后作业）将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下几个角？画图说明． 【答案】 如图，分三种情况： 第一种情况剩下的角的个数是3个，第二种情况剩下的角的个数是4个，第三种情况剩下的角的个数是5个， 综上，还剩下3个或4个或5个角． 【分析】本题考查基本几何图形，分三种情况，画出图形，即可求解． 【详解】 10．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段检测）计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【详解】解：由图形可知，， ． 11.（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）画图题： (1)如图①从多边形的一个顶点出发画对角线，把多边形分割成三角形； (2)如图②从多边形的一条边上的一点出发画对角线，把多边形分割成三角形； (3)如图③从多边形的内部一点出发画对角线，把多边形分割成三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接两个不相邻的顶点即可； （2）在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可； （3），在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可； 【详解】（1）解：如图①所示，连接一组不相邻的顶点即可； （2）解：如图②所示，在一边上找一点，分别跟与这条边不相邻的两个顶点相连即可； （3）解：如图③所示，在四边形内取一点，分别与四个顶点相连即可； 12．（24-25七年级上·天津河西·期中）（1）如图①，从一个五边形的一个顶点出发，除去这个顶点本身及与它相邻的两个顶点，能画出条对角线．这样依次从五边形的5个顶点去画，可以画条对角线，但发现其中每一条对角线都重复画了一次，所以，五边形共有______条对角线； （2）同理，从一个n边形的一个顶点出发，除去它本身及与它相邻的两个顶点，有条对角线．这样，从n个顶点出发，可以有条对角线，但每一条对角线都重复算了一次，所以，n边形共有______条对角线； （3）如图②，当时，求这个十边形的对角线条数． 【答案】（1）5；（2）；（3）35 【分析】本题主要考查多边形对角线条数问题，代数式求值，解题的关键是理解题意，根据题意总结规律，得出答案． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据题意得出答案即可； （3）把代入解（2）中的代数求出结果即可． 【详解】解：（1）根据题意得五边形共有条对角线； （2）n边形共有条对角线； （3）把代入得：（条）， 即这个十边形的对角线条数为35条． 1、 单选题 1.（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】根据截线经过的位置不同分三种情况讨论，即可得到剩下多边形的形状。 【详解】解：分三种情况讨论： ∵当截线经过四边形的两个不相邻顶点，即沿对角线截去一个角时，剩余多边形为三角形； 当截线经过四边形的一个顶点和不与该顶点相邻的边上的一点时，剩余多边形为四边形； 当截线经过四边形相邻两条边上非顶点的两点时，剩余多边形为五边形； ∴剩下的多边形是三角形或四边形或五边形． 2．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如下图，圆形扇面中间的图案是正多边形，那么该正多边形的对角线条数共有（     ） A．6条 B．9条 C．12条 D．18条 【答案】B 【分析】观察图形可知该多边形为正六边形，根据正多边形的对角线条数为 ， 代入计算即可． 【详解】解：由图可知，该正多边形为正六边形，即边数， 根据正多边形的对角线条数，得 （条）． 3.（25-26九年级下·浙江绍兴·阶段检测）下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据多边形、正多边形、对角线的定义，逐一判断说法正误即可． 【详解】解：①∵多边形是由至少3条线段首尾顺次围成的封闭图形， ∴三角形是边数最少的多边形，①正确； ②∵正多边形的定义是各边相等、各内角也相等的多边形，长方形四条边不都相等，不是正多边形， ∴②错误； ③∵根据多边形的性质，n边形有n条边、n个顶点、n个内角， ∴③正确. ④∵六边形边数，从一个顶点出发的对角线条数为，所有对角线总条数为， ∴④正确. 综上，正确的说法共有3个，故C正确． 4．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解． 【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为； 五边形可以分成三角形的个数为； 六边形可以分成三角形的个数为； ； ∴边形可以分成三角形的个数为； 当，则可以分成三角形的个数为． 5．（25-26七年级上·河南郑州·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【分析】本题考查图形的分割，根据题意列举即可． 【详解】解：如下图，共有10种， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 7．（25-26七年级下·重庆·自主招生）用个边长为的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是______． 【答案】 【分析】根据小正方形总面积得到大长方形的面积，找出所有符合条件的长和宽的组合，利用长方形周长公式计算各组合对应的周长，比较得到最短周长． 【详解】解：∵边长为的小正方形面积为，个小正方形的总面积为， ∴拼成的大长方形面积为， 设大长方形的长为，宽为，且，，为正整数，可得， 所有符合条件的组合如下： 当时，，周长为， 当时，，周长为， 当时，，周长为， 比较得， 因此最短周长为． 8．（23-24九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 9．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形共有______条对角线． 【答案】 【分析】根据任意多边形的外角和为，可求出该多边形的边数，再利用多边形对角线条数公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都为， ∴该多边形的边数， 将代入多边形对角线条数公式得：． 10．（25-26七年级上·山东青岛·周测）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是______边形，该多边形有______条对角线． 【答案】 七 14 【分析】本题考查了多边形的对角线，多边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点得出，求出n的值，再代入，计算即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得， 解得， 所以． 即这个多边形是七边形，该多边形有14条对角线． 故答案为：七；14． 三、解答题 11．（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养•推理能力 如图，用三种方法分割五边形． (1)三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？ (2)若是边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数． 【答案】(1)有关系．题图①中，三角形的个数多边形的边数；题图②中，三角形的个数多边形的边数；题图③中，三角形的个数多边形的边数 (2)用上述三种方法分割边形所得三角形的个数分别为：，， 【分析】本题主要考查了多边形的对角线、图形规律等知识点，掌握从特殊中发现规律，进而推广到一般成为解题的关键． （1）观察图形即可解答； （2）根据（1）所得的规律进行归纳即可解答． 【详解】（1）解：有关系，关系如下： 如图①中，三角形的个数多边形的边数； 如图②中，三角形的个数多边形的边数； 如图③中，三角形的个数多边形的边数． （2）解：结合特殊图形，可以发现： 如图①中，三角形的个数； 如图②中，三角形的个数； 如图③中，三角形的个数． 12．（24-25七年级下·河南南阳·阶段检测）某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能，这个多边形的边数为． 【分析】本题考查边形从多边形的一个顶点引出对角线的条数，从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数，一元一次方程的应用，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题的关键． （）由表格中的数据探求得出最终结果； （）把代入求出的值即可判断． 【详解】（1）解：由表格可知，，， 故答案为：，， （2）解：能，理由， 由题意得，， 当时，即， 解得：， ∴这个多边形的边数为． 13.（25-26七年级下·山东淄博·期中）探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 【答案】(1)2 (2)2，5，9 (3) (4)共握54次手 【分析】（1）按照题干的分析方法完成即可； （2）按照题干的分析方法完成即可； （3）按照题干的分析方法完成即可； （4）利用前面（3）的结论即可完成． 【详解】（1）解：由题意得：（条）； （2）解：图②，从每一个顶点出发可以作2条对角线，可以作10条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 图③，从每一个顶点出发可以作3条对角线，可以作18条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 故答案分别为：2；5；9； （3）解：对于n边形（），从每一个顶点出发可以作条对角线，可以作条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； （4）解：12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，相当于十二边形的对角线条数问题，由（3）知，每不相邻的人都握一次手，共握手（次）． 14．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）小明在自主探究多边形的边数与多边形的对角线条数的关系过程中，记录的数据如下： 多边形的边数 3 4 5 6 对角线的条数 0 2 5 9 (1)直接写出过边形的每一个顶点有几条对角线（用含的式子表示）； (2)多边形的对角线条数随着多边形的边数（为正整数）的变化而变化．请你用含的式子表示； (3)直接写出十二边形的对角线的条数． 【答案】(1) (2) (3)54 【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是． （1）根据从n边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为条即可得出答案； （2）根据正n边形每个顶点可引出的对角线的条数为，正n边形对角线的总条数为即可得出答案； （3）根据（2）中的关系表达式，将代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：从n边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为； （2）解：边形有个顶点， 所有对角线有条，但每条对角线重复一次， 边形所有对角线的条数为； （3）解：将代入，得： ， ∴十二边形的对角线的条数为54． 15．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在学习数学知识的过程中，我们经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．数学活动课上，同学们利用“归纳”策略探究“十二边形内有30个点（任意三点不共线），将这30个点与十二边形的顶点相连可以把十二边形分割成多少个三角形（互相不重叠）”的问题．小明认为可以先从最简单的三角形进行研究，先研究三角形内有1个点、2个点、3个点…的情形（如下图）： 填写数据： 三角形内点的个数 1 2 3 4 5 … 分割成的三角形的个数 3 5 7 a 11 … 再分别研究四边形、五边形、六边形…内有1个点、2个点、3个点…的情形．根据小明的研究思路，解答下列问题： (1)表中 ； (2)发现规律，当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加 个：当三角形内有n个点时，分割成 个三角形； (3)当三角形内有30个点时，分割成多少个三角形？原三角形被若干个点分割成三角形的个数可以是2024个吗？为什么？ (4)直接写出当四边形内有30个点时，分割成多少个三角形？当十二边形内有30个点时，分割成多少个三角形？ 【答案】(1)9 (2)2， (3) 由（2）得当三角形内有n个点时，分割成个三角形； ∴把代入，得， 原三角形被若干个点分割成三角形的个数不可以是2024个，理由如下： ， 解得，不是正整数， ∴原三角形被若干个点分割成三角形的个数不可以是2024个； (4)62；70 【分析】本题考查了图形规律，列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）研究表格数据得，即可作答． （2）研究表格数据得当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加2个：与（1）同理得当三角形内有n个点时，分割成个三角形，即可作答． （3）依题意，列式，则不是正整数，即可作答． （4）模仿题干过程，然后结合三角形以及四边形来研究：得出当点数相同，边形分割成的三角形的个数是三角形分割成的三角形的个数，故，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，根据表格数据得 ， ， ∴， 故答案为：9； （2）解：发现规律，当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加2个： 与（1）同理得当三角形内有n个点时，分割成个三角形； 故答案为：2，； （3）略 （4）解：如图，四边形内部有若干个点，用这些点以及四边形的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）： 四边形内点的个数 1 2 3 4 … n 分割成的三角形的个数 4 6 8 10 … 则把代入，得（个）， 观察题干的表格数据，用三角形以及四边形来研究： 得出当点数相同，边形分割成的三角形的个数是三角形分割成的三角形的个数 即， 当十二边形内有30个点时，分割成个三角形． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.5 多边形 教学目标 1. 了解多边形的定义，认识多边形的顶点、边、内角、外角与对角线等基本要素。 2. 能用字母表示多边形，掌握多边形的外角与相邻内角互为补角，能进行相关计算。 3. 通过观察与操作发现多边形可分割为三角形，感悟“复杂图形转化为简单图形”的研究思路。 教学重难点 教学重点 1. 理解多边形定义及其顶点、边、内外角、对角线等概念，能正确表示并分析多边形性质。 2. 了解正多边形（各边相等、各角相等）的概念，能识别生活中的应用实例。 教学难点 1. 灵活运用对角线将多边形分割成三角形，探究图形的内在联系，形成转化与化归的数学思想。 2. 从具体图形操作中抽象归纳多边形定义，以及理解正多边形“各边相等”与“各角相等”两个条件缺一不可。 知识点01 多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 【即学即练1-1】（25-26八年级下·青海西宁·期末）在下列图形中，不属于多边形的是（     ） A． B． C． D． 【即学即练1-2】（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）如图，定州开元寺塔（料敌塔）共十一层，高米，被誉为“中华第一塔”．塔身平面呈正八边形，是宋代砖塔的杰出代表．下列同为正八边形的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练1-3】（25-26八年级下·全国·期末）在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 题型01 多边形的概念与分类 【典例1】（25-26八年级下·云南怒江·期中）下列图形中，是四边形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）下列图形中，属于凸多边形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）下列图形属于多边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，图中的凸四边形有________个． 题型02 正多边形概念辨析 【典例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形为正多边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形中，一定是正多边形的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．平行四边形 D．正方形 【变式2】（25-26七年级上·山东青岛·周测）下列图形中，是正多边形的是（   ） A．等腰三角形 B．长方形 C．正方形 D．五边都相等的五边形 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．正三角形不是正多边形 B．平行四边形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 题型03 多边形截角后的边数问题 【典例3】．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【变式1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ）    A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·期中）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【变式3】（25-26八年级上·重庆綦江·期中）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为______． 题型04 多边形的周长 【典例4】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）正六边形的边长是1，则这个正六边形的周长是______． 【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于_______． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元复习）如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于_______． 【变式3】（24-25八年级上·吉林长春·期中）一个正八边形的边长为5．则它的周长为__________． 题型05 网格中多边形面积比较 【典例5】（25-26七年级下·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【变式2】（2026·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为：_____（填“＞”“＝”或“＜”）， 【变式3】（2026·北京平谷·一模）如图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为：_____(填“>”，“=”或“<”) . 题型06 多边形对角线的条数问题 【典例6】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）河北易县博物馆收藏的绿釉陶瓮中出土了带有正六边形的几何纹饰，体现了古代工匠对正多边形的熟练运用．右图是从中抽象出的正六边形的几何图，则仅从一个顶点出发，最多能引出对角线的条数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（25-26八年级下·浙江金华·期末）若从多边形的一个顶点可以引出6条对角线，则这个多边形是（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【变式2】（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是________． 【变式3】（23-24七年级下·陕西西安·期中）真正的学习是自主学习，主动探究，小兰同学在自主探究多边形的边数n与多边形的对角线的条数y的关系的过程中，记录了数据如下： 多边形的边数n 3 4 5 6 … 对角线的条数y 0 2 5 9 … (1)直接写出过n边形的每一个顶点有几条对角线 （用含n的式子表示）； (2)多边形的对角线的条数y随着多边形的边数n（，n为正整数）的变化而变化，请你用含n的式子表示y． (3)求一个十边形的对角线的条数． 题型07 对角线分成的三角形个数问题 【典例7】（2026·陕西咸阳·一模）从多边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的边数是______． 【变式1】（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）已知从九边形的一个顶点出发，可引出m条对角线，这些对角线可以把这个九边形分成n个三角形，则_______ ． 【变式2】（23-24七年级上·安徽宿州·阶段检测）某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 【变式3】（25-26八年级上·河南新乡·阶段检测）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 一、单选题 1.（23-24八年级上·河北邢台·阶段检测）白塔寺是廊坊永清县辽代时期典型的历史文化风貌体现，塔体平面为八边形．下列同为八边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·宁夏固原·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．正三角形不是多边形 B．长方形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 3．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 4．（25-26八年级下·河北沧州·期末）从一个边形的一个顶点出发，最多可以引6条对角线，则的值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 二、填空题 5．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，直线DE将△ABC分成等周长的两部分，若AD+AE＝2，则△ABC的周长为_________． 6．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 7．（25-26八年级下·上海金山·期中）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有5条，那么它的边数是__________ 8．（25-26八年级下·云南昭通·期中）从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 三、解答题 9．（25-26六年级下·全国·课后作业）将一个正方形桌面砍下一个角后，桌子剩下几个角？画图说明． 10．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段检测）计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 11.（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）画图题： (1)如图①从多边形的一个顶点出发画对角线，把多边形分割成三角形； (2)如图②从多边形的一条边上的一点出发画对角线，把多边形分割成三角形； (3)如图③从多边形的内部一点出发画对角线，把多边形分割成三角形． 12．（24-25七年级上·天津河西·期中）（1）如图①，从一个五边形的一个顶点出发，除去这个顶点本身及与它相邻的两个顶点，能画出条对角线．这样依次从五边形的5个顶点去画，可以画条对角线，但发现其中每一条对角线都重复画了一次，所以，五边形共有______条对角线； （2）同理，从一个n边形的一个顶点出发，除去它本身及与它相邻的两个顶点，有条对角线．这样，从n个顶点出发，可以有条对角线，但每一条对角线都重复算了一次，所以，n边形共有______条对角线； （3）如图②，当时，求这个十边形的对角线条数． 1、 单选题 1.（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 2．（25-26六年级下·山东泰安·期末）如下图，圆形扇面中间的图案是正多边形，那么该正多边形的对角线条数共有（     ） A．6条 B．9条 C．12条 D．18条 3.（25-26九年级下·浙江绍兴·阶段检测）下列说法中，正确的有（　　） ①三角形是边的数量最少的多边形； ②等边三角形和长方形都是正多边形； ③n边形就有n条边，n个顶点，n个内角； ④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·河南郑州·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 二、填空题 6．（25-26七年级上·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________． 7．（25-26七年级下·重庆·自主招生）用个边长为的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是______． 8．（23-24九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 9．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形共有______条对角线． 10．（25-26七年级上·山东青岛·周测）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是______边形，该多边形有______条对角线． 三、解答题 11．（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养•推理能力 如图，用三种方法分割五边形． (1)三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？ (2)若是边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数． 12．（24-25七年级下·河南南阳·阶段检测）某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 13.（25-26七年级下·山东淄博·期中）探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 14．（24-25八年级上·河南周口·阶段检测）小明在自主探究多边形的边数与多边形的对角线条数的关系过程中，记录的数据如下： 多边形的边数 3 4 5 6 对角线的条数 0 2 5 9 (1)直接写出过边形的每一个顶点有几条对角线（用含的式子表示）； (2)多边形的对角线条数随着多边形的边数（为正整数）的变化而变化．请你用含的式子表示； (3)直接写出十二边形的对角线的条数． 15．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在学习数学知识的过程中，我们经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．数学活动课上，同学们利用“归纳”策略探究“十二边形内有30个点（任意三点不共线），将这30个点与十二边形的顶点相连可以把十二边形分割成多少个三角形（互相不重叠）”的问题．小明认为可以先从最简单的三角形进行研究，先研究三角形内有1个点、2个点、3个点…的情形（如下图）： 填写数据： 三角形内点的个数 1 2 3 4 5 … 分割成的三角形的个数 3 5 7 a 11 … 再分别研究四边形、五边形、六边形…内有1个点、2个点、3个点…的情形．根据小明的研究思路，解答下列问题： (1)表中 ； (2)发现规律，当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加 个：当三角形内有n个点时，分割成 个三角形； (3)当三角形内有30个点时，分割成多少个三角形？原三角形被若干个点分割成三角形的个数可以是2024个吗？为什么？ (4)直接写出当四边形内有30个点时，分割成多少个三角形？当十二边形内有30个点时，分割成多少个三角形？ 四边形内点的个数 1 2 3 4 … n 分割成的三角形的个数 4 6 8 10 … 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $