专题6.5 多边形（高效培优讲义）数学苏科版2024七年级上册

本初中数学讲义聚焦多边形核心知识点，系统梳理多边形的定义、边、顶点、内角、外角、对角线等基础概念，明确正多边形的判定条件，衔接内角和与外角和公式的推导及应用，构建从概念辨析到边数确定、角度计算、对角线条数等问题的学习支架。 资料设计注重数学眼光与思维培养，通过即学即练夯实基础，结合网格面积计算（如皮克定理应用）、步道行程问题等实例引导学生观察现实世界，规律探究题（如对角线条数公式推导）提升推理能力，课中助力分层教学，课后便于学生查漏补缺。

专题6.5 多边形 教学目标 1.熟知多边形的各类基础概念，牢记内角和与外角和公式并理解推导过程。 2.会灵活运用多边形知识进行角度计算、边数确定以及解决几何证明问题。 3.感受多边形在几何图形世界中的丰富性与实用性，提升对数学几何学习的兴趣。 教学重难点 1.重点 （1）掌握多边形的概念，牢记多边形内角和与外角和公式； （2）学会利用多边形的知识进行角度计算、边数确定问题； 2.难点 （1）掌握多边形的综合应用； 知识点01 多边形及其概念 1. 多边形的定义：在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连接，组成的图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： （1） 边：组成多边形的各条线段； （2） 顶点：相邻两条边的公共端点； （3） 内角：多边形相邻两条边组成的角； （4） 外角：多边形的边与它邻边的延长线组成的角； （5） 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段. 3. 多边形的分类：根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、六边形、n边形等. 4. 多边形的表示方法：先写出多边形的名称，然后按顺（逆）时针的顺序依次写出表示它的各个顶点的大写字母； 5. 多边形的外角与它相邻的内角互为补角. 【即学即练】 1．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 知识点02 正多边形 1、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 2、判断一个多边形是否是正多边形（），必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 【即学即练】 2．数学中规定：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 正多边形 …… 边数 4 5 6 … 一个顶点可画对角线数量 1 2 3 … 对角线总数量 2 5 9 … 聪聪是个喜欢思考的学生，他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律（如图），照这样的规律，正七边形共有 条对角线，正n边形共有 条对角线． 题型01 多边形的概念与分类 1．下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 2．用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．下列图形中，属于多边形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．在如图所示的图形中，是多边形的有 ；是凸多边形的有 ． 5．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 个． 题型02 正多边形概念辨析 6．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 7．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 8．下列说法中，正确的有 ． ①线段就是点与点的距离； ②直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ③各边相等的边形是正边形； ④从直线外一点作点到直线的垂线段，叫做点到直线的距离． 9．一个正多边形的边长是8，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是 ． 10．下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 题型03 多边形截角后的边数问题 11．若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 12．下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 14．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 15．一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ． 题型04 多边形的周长 16．【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 17．如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于 ． 18．在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过 时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 19．已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 20．如图，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形，然后将余下的部分剪开拼成如图所示的长方形，若记大正方形的周长为，拼成的长方形的周长为，则与的大小关系是 ． 题型05 网格中多边形面积比较 21．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 22．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 23．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 24．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 25．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 题型06 多边形对角线的条数问题 26．一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 27．从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 28．若从一个边形的一个顶点出发，最多可以引2条对角线，则 ． 29．过m 边形的一个顶点有4条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，则 ． 30．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 题型07 对角线分成的三角形个数问题 31．从边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其他顶点，可以得到2023个三角形，则等于（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 32．从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 33．从多边形的一个顶点出发的对角线，把这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数是 ． 34．在研究多边形的几何性质时，我们通常把它分割成几个三角形进行研究．从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是 ． 35．某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格．请你完成探究过程并解决问题：    多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形的一个顶点出发 1 2 ______ … _____ 多边形对角线的总条数 2 5 ______ … _____ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)十边形有__________条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2023吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 1．从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成（   ）个三角形． A．9 B．8 C．6 D．7 2．下列图形中不是多边形的是（   ） A． B． C． D． 3．过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 4．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 5．若一个凸多边形的对角线共有20条，这个多边形是（   ） A．八边形 B．十边形 C．十二边形 D．二十边形 6．下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 7．边形所有对角线的条数有（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 8．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．若边形的对角线共有条，则这个多边形是 边形． 10．过某一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形的边数是 ． 11．过n边形的一个顶点的所有对角线，把n边形分成了6个三角形，则n的值是 ． 12．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． （1）根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割三角形的个数是 ； （2）若已知一个多边形，按以上方法可分割成120个小三角形，则多边形的边数 ． 13．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则的值为 ． 14．数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形(不计被分割的三角形)．当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为 ． 15．学科素养•推理能力 如图，用三种方法分割五边形． (1)三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？ (2)若是边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数． 16．探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 17．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 18．【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 19．某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 20．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： (1)如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． (2)已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.5 多边形 教学目标 1.熟知多边形的各类基础概念，牢记内角和与外角和公式并理解推导过程。 2.会灵活运用多边形知识进行角度计算、边数确定以及解决几何证明问题。 3.感受多边形在几何图形世界中的丰富性与实用性，提升对数学几何学习的兴趣。 教学重难点 1.重点 （1）掌握多边形的概念，牢记多边形内角和与外角和公式； （2）学会利用多边形的知识进行角度计算、边数确定问题； 2.难点 （1）掌握多边形的综合应用； 知识点01 多边形及其概念 1. 多边形的定义：在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连接，组成的图形叫做多边形. 2. 多边形的相关概念： （1） 边：组成多边形的各条线段； （2） 顶点：相邻两条边的公共端点； （3） 内角：多边形相邻两条边组成的角； （4） 外角：多边形的边与它邻边的延长线组成的角； （5） 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段. 3. 多边形的分类：根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、六边形、n边形等. 4. 多边形的表示方法：先写出多边形的名称，然后按顺（逆）时针的顺序依次写出表示它的各个顶点的大写字母； 5. 多边形的外角与它相邻的内角互为补角. 【即学即练】 1．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的概念，多边形的对角线分成的三角形个数问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据多边形的概念逐个判断即可． 【详解】解：因为由许多条线段首尾顺次连接而成的封闭平面图形叫做多边形，所以①错误； 因为多边形的边数是不小于3的自然数，所以②错误； 因为从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形，所以③正确； 因此正确的说法只有1个， 故选：B． 知识点02 正多边形 1、各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 2、判断一个多边形是否是正多边形（），必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 【即学即练】 2．数学中规定：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 正多边形 …… 边数 4 5 6 … 一个顶点可画对角线数量 1 2 3 … 对角线总数量 2 5 9 … 聪聪是个喜欢思考的学生，他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律（如图），照这样的规律，正七边形共有 条对角线，正n边形共有 条对角线． 【答案】 14 【分析】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握计算公式；观察题意可知，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，从n个顶点出发每个引出条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为（，且n为整数） 【详解】解：根据分析可知，n边形从一个顶点出发可引出条对角线， ∴正n边形共有条对角线。 当时， 所以从正七边形的有条对角线， 故答案为：， 题型01 多边形的概念与分类 1．下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键． 根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形． 【详解】解：不是凸多边形的是选项C中的多边形． 故选：C． 2．用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的概念，将正多边形补齐即可解答，熟知正多边形的概念是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形的意义将图形补充完整如图． ， 由图形可得这个正多边形是八边形． 故选：D． 3．下列图形中，属于多边形的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的定义，根据多边形的定义进行判断即可，正确理解多边形的定义，平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形． 【详解】解：根据多边形的定义，平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形， ∴是多边形，共个， 故选：． 4．在如图所示的图形中，是多边形的有 ；是凸多边形的有 ． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 5．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查多边形，理解“邻等四边形”的定义是正确解答的关键． 据“邻等四边形”以及网格点的意义在网格中找出符合条件的点D的位置即可． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格点的意义可知， 所有符合条件的点D共有3个，即图形中的， 故答案为：3 题型02 正多边形概念辨析 6．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 7．已知某正八边形的一边长为2，则该正八边形的周长为（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】C 【分析】此题主要考查正多边形的性质．根据正八边形的八条边长相等即可得出正八边形的周长． 【详解】解：正八边形八条边长相等，， 故选：． 8．下列说法中，正确的有 ． ①线段就是点与点的距离； ②直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ③各边相等的边形是正边形； ④从直线外一点作点到直线的垂线段，叫做点到直线的距离． 【答案】② 【分析】本题考查了两点间的距离、垂线段最短、正边形的定义、点到直线的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据两点间的距离、垂线段最短、正边形的定义、点到直线的距离进行判断即可． 【详解】解：①线段的长度就是点与点的距离，故原说法错误，不符合题意； ②直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；故原说法正确，符合题意； ③各边相等，各角都相等的边形是正边形，故原说法错误，不符合题意； ④从直线外一点作点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原说法错误，不符合题意． 故答案为：②． 9．一个正多边形的边长是8，从一个顶点可以引出4条对角线，则这个正多边形的周长是 ． 【答案】56 【分析】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．熟记n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键． 由n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可求出多边形的边数即可解答． 【详解】解：∵从一个顶点可以引出4条对角线， ∴这个多边形有条边， ∴此正多边形的周长为． 故答案为：56． 10．下列关于正多边形的说法中，正确的是（    ） A．各边都相等的多边形是正多边形 B．各内角都相等的多边形是正多边形 C．过正n边形一个顶点的对角线有条 D．正多边形的各边相等 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的定义，以及对角线数量问题，注意各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立． 根据正多边形的定义即可判断A、B、D，根据多边形从一个顶点出发可以作条对角线判断C． 【详解】解：A、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A错误，不符合题意； B、各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项B错误，不符合题意； C、过正n边形一个顶点的对角线有条，故选项C错误，不符合题意； D、正多边形的各边相等，正确，符合题意， 故选：D． 题型03 多边形截角后的边数问题 11．若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形 A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：若一个四边形截去一个角后，可能为3或4或5边形． 故选：C． 12．下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体．根据正方体的截面形状判断即可． 【详解】解：正方体的截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形， ∴上列图形中，能通过切正方体得出来的共有：4个， 故选：D． 13．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【答案】D 【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果． 【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，    ∴剩下纸片的角的个数为3或4或5； 故选D． 【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 14．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 15．一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为 ． 【答案】6或7或8 【分析】存在三种情况，根据图示进行分析． 【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图 一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8， 故答案为：6或7或8． 【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解． 题型04 多边形的周长 16．【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了周长的求解，原正方形边长为30厘米，剪去四个角的小正方形后，虽然原边长被截短，但新增了与原截短部分等长的边，故周长不变． 【详解】解：如图：    因为剪去一个小正方形后，剪掉了与的长度，但又多出了与的长度，并且， 同样在其它的三个角剪正方形也是这样的，所以它的周长与原来相比不变， 故选：B． 17．如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查正多边形，正六边形的周长除以6，可得正六边形的边长． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个正六边形的边长是， 故答案为：4． 18．在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过 时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 【答案】分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的购进． 根据题意求出正五边形 的主题公园步道的边长米，设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米，列方程得，解方程再进一步即可得到答案． 【详解】解：正五边形 的主题公园步道的边长为米， 设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米， 根据题意得：， 解得：， 从出发开始计时，经过分钟，小李行进， 小张行进， ， ， 如图所示，小李位于点M处，小张位于点N处， 此时，点、分别是边、的中点， 小李从到用时 ， 小张从N到E用时， ， 小李先到达点D，此时两人首次处于同一段步道上， 小李和小张首次处于同一段步道上，用时， 故答案为：分钟． 19．已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】4； 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案； 【详解】解：∵正八边形的周长是， ∴这个多边形的边长为：， 故答案为：4． 20．如图，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形，然后将余下的部分剪开拼成如图所示的长方形，若记大正方形的周长为，拼成的长方形的周长为，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据周长公式进行计算即可． 【详解】解：左图的周，右图的周长， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查计算图形周长，理解周长的定义以及长方形周长的计算方法是正确解答的前提． 题型05 网格中多边形面积比较 21．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【详解】解：由图形可知，， ． 22．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 23．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 24．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 25．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】由图可得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 【详解】解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC= 故答案为： 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割． 题型06 多边形对角线的条数问题 26．一个多边形从一个顶点处可以引出条对角线，这个多边形的边数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握对角线条数的计算方法是解题的关键． 一个边形从一个顶点处可以引出条对角线，由此计算即可． 【详解】解：一个边形从一个顶点处可以引出条对角线， ， ， 故选：． 27．从五边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将五边形分成n个三角形，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查多边形的对角线，边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把边形分成个三角形，由此即可计算． 【详解】解：∵从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形， ， ∴的值为． 故选：A． 28．若从一个边形的一个顶点出发，最多可以引2条对角线，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引条对角线，进行求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：5． 29．过m 边形的一个顶点有4条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了多边形对角线的性质及代数运算，关键在于正确建立方程求解的值．首先根据各边形的对角线数量建立方程，解方程得到各边数后代入计算即可． 【详解】解：过m边形的一个顶点有4条对角线，每个顶点的对角线数为（因为不能与自身及相邻两个顶点连对角线）， ，即； n边形没有对角线， ； 边形有p条对角线， ， 解得（舍去）或， ； , 故答案为：8． 30．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格： 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数 1 2 3 … __ 多边形对角线的总条数 2 5 9 … __ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)求十二边形总共有多少条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2016吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由. 【答案】(1)， (2)一个十二边形总共有54条对角线 (3)三角形个数的和不可能为2016，理由见解析 【分析】本题考查n边形对角线的总条数，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． （1）由表格中的数据探求得出最终结果； （2）把代入求值即可； （3）设这个多边形的边数为，则，进行计算即可得． 【详解】（1）解：由表格中的数据得： 从多边形一个顶点出发可引起的对角线条数为：条， 多边形对角线的总条数为：条； 故答案为：，； （2）解：把代入计算得：. 故一个十二边形总共有54条对角线； （3）解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得，， 因为多边形的边数必须是整数，所以过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2016． 题型07 对角线分成的三角形个数问题 31．从边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其他顶点，可以得到2023个三角形，则等于（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查基本平面图形的认识．从n边形的一个顶点出发，连接所有其他顶点（实际画对角线），将多边形分割成三角形的数量为个，据此即可计算． 【详解】解：从n边形的一个顶点出发，连接所有其他顶点（画对角线），可得到个三角形， 由题意得， ∴． 故选：D． 32．从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形对角线分割三角形的个数问题，根据从边形的一个顶点出发，可以将多边形分为个三角形，进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为， 故选：A． 33．从多边形的一个顶点出发的对角线，把这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的对角线分成的三角形的问题，经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数． 【详解】解：设多边形有n条边， 则， 解得：． 所以这个多边形的边数是． 故答案为：． 34．在研究多边形的几何性质时，我们通常把它分割成几个三角形进行研究．从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握从n多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成个三角形是解题的关键． 从n多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成个三角形，由此计算即可． 【详解】解：从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是， 故答案为：7． 35．某中学八年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格．请你完成探究过程并解决问题：    多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形的一个顶点出发 1 2 ______ … _____ 多边形对角线的总条数 2 5 ______ … _____ (1)请在表格中的横线上填上相应的结果； (2)十边形有__________条对角线； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2023吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)3；9；； (2) (3)能， 【分析】（1）根据从边形的一个顶点出发的对角线有条，对角线的总条数为：进行计算即可得： （2）根据从边形对角线的总条数为：进行计算即可得： （3）设这个多边形的边数为，则，进行计算即可得． 【详解】（1）解：如图所示，    从六边形的一个顶点出发的对角线有：（条）， 则从n边形的一个顶点出发的对角线有：条， 六边形对角线的总条数为：（条）， n边形对角线的总条数为：， 多边形的边数 4 5 6 … n 从多边形的一个顶点出发 1 2 3 … 9 多边形对角线的总条数 2 5 … 故答案为：3；9；；； （2）解：十边形对角线的总条数为：（条）， 故答案为：； （3）能，理由： 解：设这个多边形的边数为， ， ， 解得：， 则这个多边形的边数为． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题的关键是掌握多边形的对角线形成的规律． 1．从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成（   ）个三角形． A．9 B．8 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形的对角线，熟练掌握从一个边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成个三角形是解题的关键．根据从一个边形的一个顶点出发的对角线把这个多边形分割成个三角形即可得到答案． 【详解】解：由题可得． 故选D． 2．下列图形中不是多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案． 【详解】 解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意； 是四边形，是多边形，故选项B不符合题意； 不是多边形，故选项C符合题意； 是六边形，是多边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．过边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是掌握：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形．据此列式求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以画出条对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 故选：C． 4．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 5．若一个凸多边形的对角线共有20条，这个多边形是（   ） A．八边形 B．十边形 C．十二边形 D．二十边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形．熟知多边形的对角线条数和边数的关系，是解决问题的关键． 根据n边形的对角线条数是，列方程可以求出多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边为n， 根据题意，得， 即， 解得或 (不合题意，舍去)， ∴这个多边形是八边形． 故选：A． 6．下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角、个外角，该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 故选：． 7．边形所有对角线的条数有（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线条数的计算公式，根据即可求解过边形的一个顶点可以作条对角线，得到过个顶点可以作条对角线，但每条对角线重复一次， 由此可得为的一半，即可求解，掌握多边形的对角线计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以作条对角线， ∴过个顶点可以作条对角线， 但每条对角线重复一次， ∴边形所有对角线的条数有条， 故选：． 8．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 9．若边形的对角线共有条，则这个多边形是 边形． 【答案】八 【详解】本题考查了多边形对角线的条数问题，利用多边形对角线条数公式建立方程，即有，然后根据因数求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：根据题意得， 所以， 因为， 所以， 故答案为：八． 10．过某一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形的边数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查多边形的对角线规律，解题的关键是利用多边形的对角线把多边形分成个三角形． 边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，然后即可求解． 【详解】解：，即， 故答案为：6； 11．过n边形的一个顶点的所有对角线，把n边形分成了6个三角形，则n的值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列出方程是解题的关键． 经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵过n边形的一个顶点的所有对角线，把n边形分成了6个三角形， ∴，解得：． 故答案为：8． 12．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． （1）根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割三角形的个数是 ； （2）若已知一个多边形，按以上方法可分割成120个小三角形，则多边形的边数 ． 【答案】 122 【分析】本题主要考查多边形的性质、图形的规律等知识，发现从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为成为解题的关键． （1）由所给图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可解答； （2）根据（1）得到的规律求得n的值即可． 【详解】解：（1）由图中可以看出： 四边形被分为个三角形， 五边形被分为个三角形， 六边形被分为个三角形， ， 边形被分为个三角形． 故本题答案为：． （2）当时，． 故答案为：122． 13．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把n边形分成个三角形，由此即可计算． 【详解】解：由题可得，， ∴， 故答案为：． 14．数学实践课上，小郑将五边形区域分割成若干个三角形，他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如图当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形(不计被分割的三角形)．当五边形内有个点时，可分得三角形的个数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形个数变化的规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为个，即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为：； ， 所以当五边形内有个点时，可分得的三角形的个数为个． 故答案为：． 15．学科素养•推理能力 如图，用三种方法分割五边形． (1)三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？ (2)若是边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数． 【答案】(1)有关系．题图①中，三角形的个数多边形的边数；题图②中，三角形的个数多边形的边数；题图③中，三角形的个数多边形的边数 (2)用上述三种方法分割边形所得三角形的个数分别为：，， 【分析】本题主要考查了多边形的对角线、图形规律等知识点，掌握从特殊中发现规律，进而推广到一般成为解题的关键． （1）观察图形即可解答； （2）根据（1）所得的规律进行归纳即可解答． 【详解】（1）解：有关系，关系如下： 如图①中，三角形的个数多边形的边数； 如图②中，三角形的个数多边形的边数； 如图③中，三角形的个数多边形的边数． （2）解：结合特殊图形，可以发现： 如图①中，三角形的个数； 如图②中，三角形的个数； 如图③中，三角形的个数． 16．探究归纳题： 【试验分析】 （1）如图①，过点可以作1条对角线；同样，经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；经过点可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有________条对角线； 【拓展延伸】 （2）运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有________条对角线，共有________条对角线；图③共有________条对角线； 【探索归纳】 （3）对于边形，共有________条对角线（用含的代数式表示）； 【特例验证】 （4）十边形共有________条对角线． 【答案】（1）2；（2）2，5，9；（3）；（4）35． 【分析】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式是解题关键． （1）根据对角线的定义，可得答案； （2）根据对角线的定义，可得答案； （3）根据探索，可发现规律； （4）根据对角线的公式，可得答案． 【详解】解：（1）四边形有4个顶点，每个顶点可作1条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线）； 由于每条对角线被两个顶点各计算一次，因此总对角线数为条； （2）过五边形每个顶点可作条对角线，共有5个顶点，总对角线数为条； 过六边形每个顶点可作条对角线，共有6个顶点，总对角线数为条； （3）对于边形，每个顶点可作条对角线（不能与自身、相邻两个顶点连线），总顶点数为； 由于每条对角线被两个顶点重复计算，因此总对角线数为：； （4）将代入计算，得， 故十边形共有35条对角线． 17．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分． 【初步探究】如图所示，从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形． （1）若多边形是一个五边形，则可以分割成______个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成______个三角形，…，则n边形可以分割成______个三角形； （2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2026个三角形，那么此多边形的边数为______； 【深入探究】创新小组的小梦同学想到了另一种剖分方法，如下图所示： （1）按照图中所示的方法将多边形分割成三角形，图1中四边形可分割出4个三角形；图2中五边形可分割出______个三角形；图3中六边形可分割出______个三角形； （2）你能由（1）的结论归纳出分割成三角形的个数n与多边形边数m之间的关系吗？ 【答案】初步探究：（1）3，4，；（2）2028；深入探究：（1）5，6；（2） 【分析】本题考查多边形对角线或多边形内一点分多边形的三角形个数问题，根据前几个图形的特点寻找规律是关键． 初步探究：（1）分别求出三角形，四边形，五边形和六边形可以分割的三角形的个数，然后总结出规律求解即可； （2）设此多边形的边数为n，根据题意得到，进而求解即可； 深入探究：（1）根据图中的分割方法求解即可； （2）由（1）的结论总结出规律即可． 【详解】初步探究：（1）根据题意得，若多边形是一个三角形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个四边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个五边形，则可以分割成个三角形； 若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形 …， ∴n边形可以分割成个三角形； （2）设此多边形的边数为n 根据题意得， ∴ ∴此多边形的边数为2028； 深入探究：（1）图1中四边形可分割出4个三角形； 图2中五边形可分割出5个三角形； 图3中六边形可分割出6个三角形； （2）由（1）可得，三角形的个数n与多边形边数m之间的关系． 18．【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 【答案】(1)2，3， (2)5 (3) 【分析】（1）根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线，解答即可； （2）根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线，解答即可； （3）根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线，解答即可． 本题考查了多边形的对角线的规律探索，熟练掌握从特殊到一般的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线， 故答案为：2，3，． （2）解：根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线， 故答案为：5． （3）解：根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线， 故答案为：． 19．某中学七年级数学兴趣小组在探究“边形的相关性质”这一知识点时，设计了如下表格： 多边形的边数 从多边形的一个顶点引出对角线的条数 从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 (1)填空：______，______．（用含的式子表示） (2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能，这个多边形的边数为． 【分析】本题考查边形从多边形的一个顶点引出对角线的条数，从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数，一元一次方程的应用，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题的关键． （）由表格中的数据探求得出最终结果； （）把代入求出的值即可判断． 【详解】（1）解：由表格可知，，， 故答案为：，， （2）解：能，理由， 由题意得，， 当时，即， 解得：， ∴这个多边形的边数为． 20．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： (1)如图2，是的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是______． (2)已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数是内部点数的3倍，则______． 【答案】(1)21 (2)32 【分析】本题考查了多边形，解一元一次方程等知识，理解正方形网格纸中多边形面积的公式是解决问题的关键． （1）观察图形，得到，，再代入计算即可得到答案； （2）由题意，然后列出关于的方程，求出，再求出答案即可； 【详解】（1）解：由题意，如图： 多边形内部的点数为：， 多边形边界的点数为：， ∴； 故答案为：21； （2）解：设内部点数是，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：32． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $