专题6.4 平行线（14题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本讲义聚焦平行线的判定与性质核心知识点，先梳理同位角、内错角、同旁内角的概念，再通过平行公理及推论构建逻辑基础，最后整合判定方法与性质，形成从概念到应用的完整学习支架。 资料特色是分层设计题型与情境化实例，如折叠道闸、潜望镜等，通过“即学即练”强化推理能力，规范几何语言培养数学表达，课中助力教师系统教学，课后帮助学生多样练习查漏补缺，提升应用意识。

专题13.1 与三角形有关的线段 教学目标 1. 在现实情境中理解平行线的概念，能用符号表示两条直线互相平行，发展抽象能力。 2. 会用三角尺、直尺或方格纸过直线外一点画已知直线的平行线，掌握“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”的基本事实。 3. 在操作活动中理解平行线的有关性质，提高动手实践与有条理的表达能力。 教学重难点 教学重点 1. 理解平行线的定义及“在同一平面内，不相交的两条直线”这一核心要素。 2. 掌握平行线基本事实1：“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。 教学难点 1. 平行线概念中“同一平面内”“不相交”等条件的准确理解，以及与射线、线段平行的辨析。 2. 利用方格纸过直线外一点画平行线的方法[2]，以及平行线画法背后的道理理解。 知识点01 同位角、内错角、同旁内角的概念 填空：(1)如图，∠1和∠5，分别在直线AB，CD的上方（同一方），在直线EF的右侧（同侧）.具有这种位置关系的一对角是同位角. (2)如图，∠3和∠5，在直线AB，CD之间，在直线EF的两侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角. (3)如图，∠3和∠6，在直线AB，CD之间，在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角. 【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角. (2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角. (3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角. 【即学即练1-1】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，给出以下结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是对顶角．其中说法正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由图可知，与都在截线（水平线）上方，且在两被截线之间，是同旁内角，故①正确； 与都在截线（水平线）上方，且都在被截线右侧，是同位角，故②正确； 在截线上方，在截线下方，但在被截线外侧，与不是内错角，故③错误； 与没有公共截线，不是同位角，故④错误； 与互为邻补角，不是对顶角，故⑤错误； 综上所述，正确的结论有2个. 知识点02 平行公理及推论 (1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 【注意】平行公理 (1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性. (2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线. 【即学即练2-1】（25-26七年级下·广西防城港·期末）已知三条直线a，b，c两两互不重合，若，，则下面的结论正确的是（     ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【分析】平行线的基本性质，即平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【详解】解：∵平行于同一条直线的两条直线互相平行，且题目中三条直线两两互不重合， 又∵，， ∴． 知识点03 平行线的判定方法 平行线的判定方法1： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角 相等，两直线平行. (2)几何语言： ∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)， ∴AB∥CD. 平行线的判定方法2： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角 相等，两直线平行. (2)几何语言： ∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)， ∴AB∥CD. 平行线的判定方法3： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内 角互补，两直线平行. (2)几何语言： ∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)， ∴AB∥CD. 平行线的其他判定方法： (1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行. (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 【总结】判定两直线平行的方法 方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线. 方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 方法三：同位角相等，两直线平行. 方法四：内错角相等，两直线平行. 方法五：同旁内角互补，两直线平行. 方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 【即学即练3-1】（25-26七年级下·湖南永州·期末）如图， 与相交于点，若， ，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由， 得，再根据平行线的性质得． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【即学即练3-2】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，，，，求的度数．请将解题过程填写完整． 解：（已知）， ________（________________________） 又（已知）， （________________________）， ________（________________________）， ________（________________________）， （已知）， ________． 【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】根据题干信息逐步完善推理过程与推理依据即可. 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） （已知）， 【即学即练3-3】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同旁内角互补两直线平行可得答案； （2）先说明，再得出的度数，再根据平行线的性质得出答案． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：∵， ∴． ， ， ． ， ， ． 知识点04 平行线的性质 (1)文字表达：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补； ②简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错家相等；两直线平行，同旁内角互补； (2)几何语言表述：已知，如图所示，若AB∥CD， 则①同位角：∠1=∠5(或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)； ②内错角：∠2=∠8(或∠3=∠5)； ③同旁内角：∠2+∠5=180°(或∠3+∠8=180°). 【即学即练4-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，． (1)线段与平行吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 【答案】(1)线段与平行，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）先由平行线求出，则，再由，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 【即学即练4-2】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）已知，点E，F分别在直线，上，点M在和之间，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，，和的平分线交于点N，求的度数． 【答案】(1)证明：如图1，过点向右作， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）过点向右作，则可得，再根据平行线的性质证明即可； （2）先由角平分线得到，，然后过点向右作，则，再由平行线的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，和的平分线交于点N， ∴， 过点向右作， ∵ ∴ ∴ ∴． 题型01 同位角、内错角、同旁内角的辨别 【典例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，直线、相交于点，连接，的内错角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据内错角定义即可解答． 【详解】解：根据内错角的定义，可得． 【变式1】（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）下列各图中，和为同位角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知同位角的定义：两条直线被第三条直线所截时，在截线同侧，且在被截两直线同一方向的位置上形成的两个角， A、和不是同位角，不符合题意； B、和是同位角，符合题意； C、和不是同位角，不符合题意； D、和不是同位角，不符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（     ） A．与互余 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是内错角 【答案】C 【详解】解：与互补，故A错误； 与不是同旁内角，故B错误； 与是内错角，故C正确； 与是同位角，故D错误． 【变式3】（25-26七年级下·四川凉山·期末）如图，下列种说法：①与是内错角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同旁内角；⑤与是同位角；⑥与是内错角．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：①与不是内错角，故①错误； ②与是同位角，故②正确； ③与不是内错角，故③错误； ④与是同旁内角，故④正确； ⑤与不是同位角，故⑤错误； ⑥与是内错角，故⑥正确； 综上所述，正确的有②④⑥，共3个． 题型02 平行公理及推论应用 【典例2】（25-26七年级下·山东威海·期末）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则_________度 【答案】 【分析】过点A作，根据平行公理的推论得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·福建厦门·阶段检测）三条直线，若，则与的位置关系是______． 【答案】 【分析】根据如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即可判断与的位置关系． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式2】（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是___________从下列选项中选取合适的填写，只填序号①同位角相等，两直线平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两点确定一条直线． 【答案】② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：∵当时，时，． 点在同一直线上，其依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：②． 【变式3】（25-26七年级下·河北·期末）如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是_______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据已知的平行关系，利用平行公理的推论来判断直线间的平行关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 题型03 同位角相等，两直线平行 【典例3】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，直线，被直线所截，为与的交点， ，垂足为点．若，，直线与平行吗？ 阅读下面的解答过程，并填空． 解: (已知) ， （______）． 又 (已知)， ____________(等式的性质)． ______ ______ （______）． 又 (已知) ， （______）． （______） ． 【答案】垂直的定义；；；；；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】根据垂直的定义得出 ，利用角的和差关系求出 的度数，根据对顶角相等求出 的度数，进而得到 ，最后根据同位角相等，两直线平行进行判定． 【详解】解： (已知) ， （垂直的定义）， 又 (已知)， (等式的性质)， （对顶角相等）， 又 (已知) ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）如图所示，已知，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查“同位角相等，两直线平行”的判定定理，根据已知条件和对顶角相等得到，进而得到结论． 【详解】证明：（已知），（对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 【变式2】（25-26七年级下·新疆和田·阶段检测）请将解题过程补充完整． 如图，，求证：． 证明：（已知）， （________）， ∴________（等量代换）， ∴（________）． 【答案】见解析 【分析】根据对顶角相等结合已知证明，进一步可得结论. 【详解】证明：（已知）， （对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【变式3】（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，已知，平分，平分，且，说明的理由． 解：因为平分，根据__________， 得；同理， 因为，根据等量代换，得____________， 又因为，根据等量代换，得______， 再根据__________，得． 【答案】角平分线定义；1；3；3；同位角相等，两直线平行 【分析】先根据角平分线定义得出，再根据，得出，最后根据平行线的判定，即可得出答案． 【详解】解：因为平分，根据角平分线定义， 得；同理， 因为，根据等量代换，得， 又因为，根据等量代换，得， 再根据同位角相等，两直线平行，得． 题型04 内错角相等，两直线平行 【典例4】（25-26七年级下·山东德州·期末）把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 如图，点A，B，C在同一条直线上，已知平分，，，求证． 证明：（已知） _________（垂直的定义） ， 平分（已知） _________（角平分线定义） （已知） 又， _________（_________）， （_________）． 【答案】；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】根据角平分线以及垂线的定义、余角的性质进行求证即可． 【详解】略 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由，用“内错角相等，两直线平行”或“同位角相等，两直线平行”进行说理的过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平角的定义可求出的度数，根据内错角相等，两直线平行即可推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知平分，，求证：． 【答案】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】此题考查了平行线的判定和角平分线的定义．根据角平分线定义和等量代换得到，即可证明． 【详解】略 【变式3】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）请补全下面推理过程： 已知：如图，．求证：． 证明：，（______________） ______________________（等式性质）， 即∠_________=∠_________ （______________） 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，先根据，则，即，结合内错角相等，两直线平行，得，即可作答． 【详解】证明：（已知）， （等式性质）， 即． （内错角相等，两直线平行）． 题型05 同旁内角互补，两直线平行 【典例5】（2025八年级上·全国·专题练习）证明：（已知）， _______________． （已知）， （等量代换）， ______________________． 【答案】 证明：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）． 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利用两直线平行，可得同旁内角互补，利用同旁内角互补，可得两直线平行，即可求解． 【详解】略 【变式1】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，已知，直线与有什么位置关系？说明理由． 【答案】 解： 理由：∵，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了对顶角的性质，平行线的判定等知识，根据对顶角的性质并结合已知可得出，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得出结论． 【详解】略 【变式2】（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，． (1)求证：． (2)探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴； (2) ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键： （1）求出，即可得出结论； （2）根据，得到，进而得到，得到，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，平分平分，且．求证：． 证明：平分 （ ①）． 平分（已知）， ②（角的平分线的定义）． （等式性质） 即． （已知）， ③（等量代换） （ ④）． 【答案】①角的平分线的定义；②；③；④同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查了角平分线定义，平行线的判定，根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定，得出．解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法， 【详解】证明：平分 （角的平分线的定义①）． 平分（已知）， ②（角的平分线的定义）． （等式性质） 即． （已知）， ③（等量代换） （同旁内角互补，两直线平行④）． 题型06 添加一条件使两直线平行 【典例6】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图，直线分别与、交于点F、C，在不添加辅助线的情况下，请添加一个条件，使得，你添加的是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加：． ∵， ∴． 添加：． ∵， ∴． 添加：． ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一，正确即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法即可求解． 【详解】解：添加的条件，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得． 故答案为：（答案不唯一） 【变式2】（25-26七年级下·广东惠州·期末）如图，若仅添加一个条件使成立，则可添加条件：________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据内错角相等，两直线平行即可得出答案． 【详解】解：∵根据内错角相等，两直线平行，若，则， ∴仅添加一个条件为．（答案不唯一） 【变式3】（25-26七年级上·全国·单元测试）张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线被直线所截，其中，请你再添加一个条件，使，并注明判定依据．”三人所做答案如下： 甲：添加，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加，依据：内错角相等，两直线平行； 对三位同学的答案判断正确的是_____． 【答案】乙、丙 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：， 若添加，则，即同旁内角不互补，所以不能判断，则甲的答案错误； 若添加，则，根据同位角相等，两直线平行，可得，则乙的答案正确； 若添加，则，根据内错角相等，两直线平行，可得，则丙的答案正确． 故答案为：乙、丙 题型07 垂直于同一条直线的两条直线平行 【典例7】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）补全下列证明过程及括号内的推理依据： 如图，已知，于D，于F，，求证：平分． 证明：∵，（已知）． ∴ （在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴（ ） （ ）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴平分（ ） 【答案】；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义 【详解】证明：∵，（已知）． ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴平分（角平分线的定义） 【变式1】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）已知．请根据下列语句依次画出图形或解答问题． (1)画出的对顶角； (2)点P为内一点，画出直线交于点N，直线交于点M； (3)若，则 （直接写出答案）． 【答案】(1)则即为所求， ． (2) 则直线即为所求． (3) 【分析】（1）根据对顶角的定义，反向延长分别到点C和点D，则即为所求． （2）根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，画图即可． （3）根据平行线的性质解答即可． 本题考查了基本作图，平行线的判定和性质，对顶角的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：反向延长分别到点C和点D． （2）解：根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，画图如下： 则直线交于点N，直线交于点M； （3）解：根据，， 故，， 则， 又， 故． 【变式2】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）解答下列问题，写出过程，并注明每一步的依据；如图，已知，于点，于点．    (1)试证，． (2)试判断与的关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行）； ∵，（已知） ∴（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行）． (2)，理由： ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） ∴（等量代换）． 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质和判定． （1）根据平行线的判定，同位角相等，两直线平行，则，再根据，，则，即可； （2）根据，则，根据，则，等量代换，即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，点在一条直线上，与交于点． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，说明． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）根据垂直于同一直线的两直线平行即可得到结论； （2）先由平行线的性质得到，进而推出，则可证明，进而证明． 【详解】（1）略 （2）略 题型08 平行线的判定去判断两线的位置关系 【典例8】（25-26六年级下·山东泰安·期末）如图，已知，． (1)与平行吗？说说你的理由； (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ， ， 又， ， ； (2) 【分析】（1）由已知可证得，根据平行线的判定得到； （2）由角平分线的定义可得，再根据平行线的性质以及垂直的定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：平分， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·河北邢台·期中）如图，． (1)求证：． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴； (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据对顶角相等，结合已知条件得到，即可得证； （2）证明，进而得到，即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，在四边形中，E是延长线上的一点，连接交于点F，若，． (1)求证； (2)求证； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据，，推出，即可得证； （2）借助（1）可得，推出，即可得证； （3）借助（2）结论，可得两直线平行，内错角相等，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·北京·期末）【问题背景】光线照射到镜面上会发生反射现象，当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面的夹角对应相等，如在图中，． 【数学探究】镜面、的一端重合放置，表示入射光线，表示入射光线两次反射后的反射光线．     (1)如图，当镜面、的一端、重合放置时，若镜面夹角，求证：； (2)如图，固定镜面，若，调整镜面的位置，使得，画出满足条件的图形，并直接写出此时镜面夹角的大小．（） 【答案】(1)证明：如图2所示，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)； 【分析】（1）过点作，由平行线的性质得到，则可求出，由题意得，由平角的定义可推出，则可证明，进而可证明； （2）先根据题意画出图形，由题意得，，根据平行线的性质得到，，由平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：画图 ， 由题意得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 题型09 利用平行线的性质求角度 【典例9】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数是________． 【答案】 【详解】解：如图， ∵直尺的两边互相平行，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）如图所示的网格是正方形网格，点、、、、都是网格线交点，，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】根据网格特点可知与均为竖直方向的网格线，从而，利用两直线平行同旁内角互补，结合已知条件即可求解． 【详解】解：如图， 由网格可知，． (两直线平行，同旁内角互补)． ∵， ， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，平分，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵平分， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）首先由角平分线的定义得到，然后等量代换得到，即可证明； （2）首先由平行线的性质得到，然后由角平分线的定义求出，然后结合平行线的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ∵平分， ， ∵， ∴，， ． 【变式3】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在三角形中，D，E分别是边，上的点，连接，，点F在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）根据平行线的性质，角平分线的定义以及角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 题型10 利用平行线的性质求生活中的应用 【典例10】（2026·广西柳州·二模）如图，有一段之字形路段，经过两次转弯后的路段与初始路段保持平行，若第一次转弯时，则__________． 【答案】/度 【详解】解：由题意得， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·山东济南·阶段检测）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为___________ 【答案】/50度 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由反射定律得到，因此． 【详解】解：∵入射光线是平行光线， ∴， 由反射定律得：， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·北京丰台·期末）某地规划由西向东修建一条公路．如图，从地修到地后，为了绕开古建筑物，改为沿南偏东方向修建段，然后从地改变方向修建段，测得，到处后仍按正东方向继续施工． (1)在图中画出继续施工的路线，并求的大小； (2)在的延长线上由西向东依次修建两个公交站和（均在右侧），连接，，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到是解题的关键． （1）补全即可，设的延长线交于点F，过点C，D分别作直线l，m垂直于直线，垂足分别为G，H，则，由平行线性质可得到，又，从而可得的度数； （2）设，由于，可得，即可解答． 【详解】（1）解：补全施工路线如图所示．设的延长线交于点F，过点C，D分别作直线l，m垂直于直线，垂足分别为G，H，则， 根据平行线的性质得：， 又， ∴． （2）解：如图，设， 根据题意得， ∴， 又， ∴°，即． 【变式3】（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】(1) 解：结论：， 证明：如图，过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质及其应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）过点F作，则，再证，根据平行线的性质，通过等量代换可得； （2）过点C作，则，进而求出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过点C作， ∴， ∵， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∴． 题型11 平行线的判定与性质多结论问题 【典例11】（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，若，，给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据内错角相等，两直线平行结合两直线平行，同旁内角互补，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴；故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴；故③错误，④正确； 故选D． 【变式1】（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，，，有下列4个结论：①；②；③；④中．则正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴，故③正确； ∵ ∴，故②正确； ∴，故①正确； 根据题意无法证明，故④错误． 综上所述，正确结论的个数是3． 【变式2】（24-25七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①；②平分；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分的定义，先由平行线的性质得到，，再由角平分线的定义推出，据此可判断①；通过证明可判断②；由不一定成立可判断③；根据，可判断④． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴平分；故②正确； ∵，，但不一定成立， ∴不一定成立，即③错误； ∵，， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【变式3】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的性质，结合直线，得，，，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，，， 其中所有正确结论的序号是①③④， 故答案为：①③④． 题型12 根据平行线的判定与性质求角度 【典例12】（2026·宁夏银川·三模）如图，糖画是我国的一种民间传统手工艺，它以糖为墨、以勺为笔，造型精美．图2是从糖画线条中抽象出的几何图形．已知，，，则的度数是_____． 【答案】/度 【分析】过点M作，则，根据平行线的性质求出，，再由角的和差即可求解． 【详解】解∶过点M作， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 【变式1】（2026·山东济南·二模）如图：，且，则的度数是_____． 【答案】/40度 【分析】过点A作直线，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作直线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·福建厦门·期末）完成下面的求解过程． 如图，，，，，求的度数． 解：，， ． ∴____________________________________①． ， （____________________________________②）． ∴____________________________________③． ， （____________________________________④）． ． ． 【答案】；平行于同一直线的两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】略 【变式3】（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）已知，点，分别是，上的动点，，垂足为点，作的平分线，． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，点在上移动的过程中，若．求的度数； (3)如图3，在点移动的过程中，当点在直线上方时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点G作，则，由平行线的性质得到，由垂线的定义得到，则可求出，由平角的定义得到，再由角平分线的定义可得答案； （2）同（1）可推出，结合建立方程求解即可； （3）过点G作，则，由平行线的性质得到，由垂线的定义得到，则可求出，由平角的定义得到，再由角平分线的定义可得答案． 【详解】（1）解：如图1所示，过点G作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：如图2所示，过点G作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图3所示，过点G作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 题型13 根据平行线的判定与性质证明 【典例13】（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）如图，点是上一点，过点作，交于点，点是延长线上一点，连接，．求证：．完成下面证明过程并注明推理依据． 证明： （已知）， _________（两直线平行，同位角相等）． （已知）， _________（等量代换）． ∴__________________（_________________________）． （_________________）． 【答案】 ；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】找出上下的逻辑关系，根据平行线的性质和判定填空即可． 【详解】略 【变式1】（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，直线l与直线a、b分别交于点A、B，点E在直线a上，点C和点D在直线b上，连接、．若，，则与平行吗？阅读下面的解答过程，并完成下面的证明． 解：（已知），（____________________）， __________（____________________）． __________（____________________）， （____________________）． （已知）， __________（等量代换）， （____________________）． 【答案】邻补角互补；；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行 【详解】略 【变式2】（25-26七年级下·江西南昌·期末）如图，点在直线上，，与互余，是上一点，连接． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）先由垂直的定义得到，推导出；再结合互余的条件得到，利用同角的余角相等证得，依据内错角相等，两直线平行证明． （2）根据角平分线定义求出的度数；再利用两直线平行，内错角相等得到，最后通过角的差运算求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·贵州安顺·期末）如图，，． (1)延长线段，交于点，请根据题意补全图形； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)在（2）的条件下，若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)补全图形如图所示； (2)证明：， ． ， ， ． (3) 【分析】（1）按照题目要求延长线段与交于点，补全几何图形即可． （2）根据已知得到同旁内角互补，结合进行等量代换得到内错角相等，进而证明． （3）利用平行线的性质得到对应角相等，结合角平分线定义、垂直的定义，通过角的和差计算求出的度数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，， ，． 平分， ． ， ． ， ， ， ． 题型14 根据平行线的判定与性质探究角的关系 【典例14】（25-26七年级下·北京·期中）请根据下面的证明过程，在括号内注明理由． 已知：如图，D是平分线上一点，交于点E．求证： 证明：， （①____________________________________） （②___________________________________） 又平分， （③___________________________________） ． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，进行作答即可． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） 又平分， （角平分线的定义） ． 【变式1】（24-25七年级下·江西吉安·阶段检测）如图，已知，，． (1)与平行吗？为什么？ (2)根据以上结论，你能确定与的大小关系吗？请说明理由． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 解：，理由如下： 由（1）已得：， ∴． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）先求出，则可得，再根据内错角相等，两直线平行即可得； （2）根据两直线平行，同位角相等即可得． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，直线，将一直角三角板放置在与之间，顶点在直线上，顶点在直线上，．直线分别交，于点，的平分线交直线于点． (1)试判断和的数量关系，并说明理由； (2)若直线，将三角板沿向左平移，点与点不重合，设．求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) 解：，理由如下， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； (2)的度数为或 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义求角的度数，掌握平行线的性质是关键． （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）根据题意，分类讨论，数学结合分析即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 如图所示， 同理，， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【变式3】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，点分别在直线上，点在之间．过点作，利用平行线的性质可以得出之间的数量关系为______； (2)用同样的辅助线还可以得到图1中之间的数量关系，请写出此关系并说明理由； (3)图2为北斗七星的位置图．将北斗七星从摇光到天枢依次标为，并将顺次首尾连接，如图3．若恰好经过点，且在一条直线上，，，，求的度数． 【答案】(1) (2) ， 理由：， ， ，， ， ， ， ． (3) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． （1）根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，即可求解； （2）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可求解； （3）根据（1）可知，，结合图形得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：根据（1）可知，， ， ， ， ， ． 一、单选题 1.（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，与是直线、被第三条直线所截形成的同位角， （同位角相等，两直线平行）， ， 与是同旁内角，需互补才能判定平行， 与 是对顶角，与 是邻补角，它们的相等关系均不能判定 ． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将生活中的竹篱笆（图1）局部抽象为几何图形（图2），下列条件中，能判定直线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．能判定直线，故该选项符合题意， B．不能判定直线，故该选项不符合题意， C．不能判定直线，故该选项不符合题意， D．不能判定直线，故该选项不符合题意． 3．（25-26七年级下·西藏昌都·期末）如图，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、， ， ， ，故该选项错误，不符合题意； B、， ， ， ，故该选项错误，不符合题意； C、， ，故该选项错误，不符合题意； D、， ， ， ，故该选项正确，符合题意． 4．（24-25七年级下·北京延庆·期中）如图，，则下列结论：①，②，③，④，其中一定成立的是（   ） A．①②③④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，涉及两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、两直线平行同位角相等等知识．熟记平行线的性质逐项验证是解决问题的关键． 【详解】解：， ，故①一定正确； 与是否平行不确定， 不一定与相等，故②不一定成立； ， ，故③一定正确； ， ，故④一定正确； 综上所述，结论一定正确的是①③④， 故选：D． 二、填空题 5．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图所示，请添加一个条件，使．则添加的条件为__________． 【答案】或或（答案不唯一） 【详解】解：添加，则； 添加，则； 添加，则． 6．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过点作的垂线，则直线与的位置关系是________． 【答案】 【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”解答即可得． 【详解】解：∵在同一平面内，，， ∴． 7．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，直线，交于点，交于点，，则的度数为______． 【答案】/度 【详解】解：，， ． 8．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，，则________． 【答案】 【分析】作平行线，根据平行线的性质构造等量关系即可求解． 【详解】解：分别过点，，作，，， 则， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵ ， ， ． 三、解答题 9．（25-26七年级下·重庆云阳·期末）补全解答过程： 已知：如图，直线，直线与直线、分别交于点、；平分，．求的度数． 解：∵与交于点，（已知） ∴．（①_______） ∵，（已知） ∴②______．（等量代换） ∵，与，交于点、，（已知） ∴．（③______） ∴④_______． ∵平分，（已知） ∴⑤______．（角平分线的定义） 【答案】解：∵与交于点，（已知） ∴．（对顶角相等） ∵，（已知） ∴．（等量代换） ∵，与，交于点、，（已知） ∴．（两直线平行，同旁内角互补） ∴． ∵平分，（已知） ∴．（角平分线的定义） 【分析】根据对顶角相等得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得出答案． 【详解】解：略 10．（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质． （1）利用平行线的性质即可证明结论成立； （2）利用垂直的定义求得，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图1，光线经过镜子反射时，，，那么和有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？先画几何图形，如图2，再写已知未知． 如图，， （1）猜想和有什么关系，并进行证明； （2）求证：． 【答案】（1），证明见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据两面镜子是互相平行放置的可知，再根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可直接证明． （2）结合题意可证明，再由，，即可证明，最后由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），即可证明． 【详解】解：（1）根据题意可知， ∴ （两直线平行，内错角相等）. （2）∵， ∴； ∵，， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 12.（25-26七年级下·四川成都·期末）周末的天府公园里，天幕错落，市民露营野炊、休闲小聚，暂别城市喧嚣，尽享自在时光．如图1，在露营椅侧面结构示意图中，与均平行于地面，若． (1)和平行吗？请说明理由． (2)如图2，点是线段上一点，连接，，若平分，，求的度数． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵与均平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由平行线的性质可得，再结合题意得出，即可得证； （2）作，则，，求出，由角平分线的定义得出，从而可得，结合题意可得，从而得解． 【详解】（1）略； （2）解：如图，作， 则，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 一、单选题 1.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，直线被直线所截，点B在直线上，连接，下列条件能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行） 故D选项符合题意， 其他选项都不能判定． 2．（25-26七年级下·天津·阶段检测）下列各图中，能画出的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可得①能画出； 根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，可得②能画出； 根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，可得能画出； 根据内错角相等，两直线平行，可得④能画出； 综上所述，能画出的是①②③④． 3．（2026·辽宁·中考真题）如图，，直线分别与，相交于点，，的平分线交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行内错角相等，求出的度数，再利用角平分线的定义与两直线平行内错角相等求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 4．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，结合角的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：纸条的两对边平行， （两直线平行同位角相等），（两直线平行，同旁内角互补），故①②正确； 直角三角尺的直角顶点在上， ，，故④正确； ， ，故③正确． 故选A． 5．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图1是一盏可折叠的护眼台灯，图2是其平面示意图，若保持不变为，此时，底座与灯臂的夹角可通过绕点转动调节照明，当灯体调节到平行于桌面时，的大小变化为（     ） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 【答案】D 【分析】过点作，利用平行线的性质求出与的夹角，从而确定旋转角度，进而得出的变化量． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， 即此时与的夹角为 ， 当时，需将灯体绕点（整体绕）顺时针旋转 ， 灯臂也顺时针旋转 ， 增大 二、填空题 6．（25-26七年级下·北京石景山·期末）如图，四边形中，点是延长线上一点．请你添加一个条件，能判定．这个条件可以是___________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：添加条件，可以根据内错角相等，两直线平行判定． 添加条件，可以根据同位角相等，两直线平行判定． 添加条件，可以根据同旁内角互补，两直线平行判定 ∴添加的条件可以是 （答案不唯一）． 7．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图，直线 和直线 被直线所截，交于点和点，在下列条件中①，②，③，可以判定的是________（写出所有符合条件的序号）． 【答案】②③/③② 【分析】根据平行线的判定定理，对给出的三个条件逐一判断，即可得到结果. 【详解】直线与直线被直线所截，交于点和点， ①， 与是同位角，由，无法判定，故无法判定，故①不符合条件. ② 与是内错角，由，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定，故②符合条件. ③ 与是同旁内角，，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定，故③符合条件. 8．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，容器水平放置（液面），平行光线、从空气中射向某种液体时发生折射，折射光线，已知，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据“两直线平行，同位角相等”得，根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再根据可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 9．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，交于点O， ，若，则的度数是______度． 【答案】 【分析】根据对顶角相等及平行线的性质即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 10．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图1，糖画是我国的一种民间传统手工艺，它以糖为墨、以勺为笔，造型精美．图2是从糖画线条中抽象出的几何图形．已知，，，则的度数是______． 【答案】 【分析】过点E作，则，根据平行线的性质求出的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3、 解答题 11．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在三角形中，点在边上，连接，点为三角形外一点，连接、，已知，，试说明：．请补全推理过程及依据： 解：因为，（已知） 所以____________，（____________________________） 所以____________，（两直线平行，内错角相等） 因为，（已知） 所以____________，（____________________________） 所以____________，（内错角相等，两直线平行） 所以．（____________________________） 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；；等量代换；；两直线平行，同位角相等 【详解】略 12．（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，，点为两平行线间的一点，请证明两个结论． (1)； (2)． 【答案】(1)证明：如图，过点向右作， ∴（内错角相等）， ∵， ∴， ∴（内错角相等）， ∵， ∴． (2)如上图，过点向右作， ∴（同旁内角互补）， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补）， ∵， ∴． 【分析】（1）过点向右作，根据平行线内错角相等的性质，将和替换为内的角即可证明． （2）过点向右作，根据平行线同旁内角互补的性质，将拆分为和，进而证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 13．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知，点、在直线与之间，连接、、，，． (1)【问题初探】如图1，过点作，过点作，探索与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)【衍生拓展】如图2，平分，平分，延长交于点，过点作，求的度数． 【答案】(1)解：（其他形式正确也可），理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由，得，拆分、，利用两直线平行内错角相等得到、，再依据推出，两直线平行同旁内角互补算出，整合角度式子整理出和的数量关系； （2）依据第一问结论设，用含的式子表示，结合角平分线定义写出与的代数式，根据进行等角代换，用减去消去，即可求得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， 设，则， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 【答案】(1) 证明：①， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·陕西西安·期末）综合实践 (1)【问题探究】如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交，于点，点，平分交于点，且．判断直线与直线是否平行，并说明理由； (2)【问题延伸】如图2，小区内部有两条相互平行的笔直主干道，，为优化通行路线，物业规划了一段支路，点，分别在，上，工作人员为精准规划路口角度：作的平分线，与主干道交于路口，在上设置休憩点，修建平行于支路的便民小路，小路与主干道交于点，连接，为区分通行区域，作的平分线与交于点，过点修建平行于主干道的隔离护栏，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平行．理由如下： 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）由平分推出，再由平行线的判定证明即可； （2）利用平行线的性质，角平分线的定义，外角的性质以及平角的定义即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13.1与三角形有关的线段 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01同位角、内错角、同旁内角的概念 知识点02平行公理及推论 2.知识清单 知识点03平行线的判定方法 知识点04平行线的性质 题型01同位角、内错角、同旁内角的辨别 题型02平行公理及推论应用 题型03同位角相等，两直线平行 题型04内错角相等，两直线平行 题型05同旁内角互补，两直线平行 平行线 题型06添加一条件使两直线平行 题型07垂直于同一条直线的两条直线平行 3.题型精讲 题型08平行线的判定去判断两线的位置关系 题型09利用平行线的性质求角度 题型0利用平行线的性质求生活中的应用 题型1平行线的判定与性质多结论问题 题型12根据平行线的判定与性质求角度 题型13根据平行线的判定与性质证明 题型14根据平行线的判定与性质探究角的关系 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 教学目标 1.在现实情境中理解平行线的概念， 能用符号表示两条直线互相平行，发展抽象能 1/32 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 力。 2.会用三角尺、直尺或方格纸过直线外一点画已知直线的平行线，掌握“过直线外一 点有且只有一条直线与这条直线平行”的基本事实。 3.在操作活动中理解平行线的有关性质，提高动手实践与有条理的表达能力。 教学重点 1.理解平行线的定义及“在同一平面内，不相交的两条直线”这一核心要素。 2.掌握平行线基本事实1：“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。 教学重难点 教学难点 1.平行线概念中“同一平面内”“不相交”等条件的准确理解，以及与射线、线段平 行的辨析。 2.利用方格纸过直线外一点画平行线的方法2]，以及平行线画法背后的道理理解。 知识清单 知识点01同位角、内错角、同旁内角的概念 填空：(1)如图，∠1和∠5，分别在直线AB,CD的上方（同一方），在直线F的右侧（同侧）.具有这种 位置关系的一对角是同位角 (2)如图，∠3和∠5，在直线AB,CD之间，在直线EF的两侧具有这种位置关系的一对角叫做内错角. (3)如图，∠3和∠6，在直线AB,CD之间，在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角. 【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角， (2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角 (3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角 【即学即练1-1】(25-26七年级下·陕西商洛·期中)如图，给出以下结论：①∠1与∠2是同旁内角；② ∠1与∠3是同位角：③∠1与∠4是内错角：④∠1与∠5是同位角：⑤∠2与∠3是对顶角.其中说法正确的 有() 2/32 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点02平行公理及推论 (1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. (2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a,c∥a,那么b∥c. 【注意】平行公理 (1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性 (2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线 【即学即练2-1】(25-26七年级下广西防城港期末)已知三条直线a,b,c两两互不重合，若ab, c∥b,则下面的结论正确的是() A.a⊥c B.b⊥c c.a∥c D.a与C相交 知识点03 平行线的判定方法 平行线的判定方法1： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单说成：同位角 相等，两直线平行 (2)几何语言： E 4 B ,∠1=∠5（或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7）， '.AB∥CD 平行线的判定方法2： ()文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角 相等，两直线平行。 3/32 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)几何语言： ,∠2=∠8（或者∠3=∠5）， ∴.AB∥CD 平行线的判定方法3： (1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内 角互补，两直线平行 (2)几何语言： ∠2+∠5=180（或者∠3+∠8-180）， .AB∥CD 平行线的其他判定方法： (1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行， (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 【总结】判定两直线平行的方法 方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线 方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 方法三：同位角相等，两直线平行. 方法四：内错角相等，两直线平行 方法五：同旁内角互补，两直线平行 方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【即学即练3-1】(25-26七年级下·湖南永州：期末)如图，AB与CD相交于点0，若∠A=∠B=30°， ∠D=50°，则∠C=() O D B A.20° B.30° C.40° D.50° 【即学即练3-2】(25-26七年级下安徽宿州期中)如图，EF∥AD,I=∠2，∠BAC=75°，求∠AGD 的度数.请将解题过程填写完整， 4/32 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 解：EF∥AD(已知)， ∠2= ( 又：∠1=∠2（已知）， ∴.∠1=∠3( .AB∥ .∠BAC+ =180°( :∠BAC=75°（已知）， ∴.∠AGD= 【即学即练3-3】(25-26七年级下·广东佛山期中)如图，己知∠DFB=120°，∠ACB=60°」 E B (I)求证：AC∥DE: (2)若∠D=∠A,∠ACD=130°，求∠B的度数. 知识点04平行线的性质 ()文字表达：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补： ②简单说成：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错家相等；两直线平行，同旁内角互补： (2)几何语言表述：己知，如图所示，若AB∥CD, E (4 2 B 6 D 则①同位角：∠1=∠5（或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7）： 5/32 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②内错角：∠2=∠8（或∠3=∠5）： ③同旁内角：∠2+∠5=180（或∠3+∠8-180）， 【即学即练4-1】(25-26七年级下·陕西咸阳期末)如图，己知∠EFC=∠BDE,∠B+∠DCF=180°」 (1)线段AB与CD平行吗？为什么？ (2)若∠A=100°，∠ECF=40°，求∠B的度数. 【即学即练42】(25-26七年级下·陕西商洛期中)已知AB‖CD,点E,F分别在直线AB,CD上，点 M在AB和CD之间，连接EM,FM B B M D -D 图1 图2 (1)如图1，求证：∠BEM+∠EMF+∠MFD=360°： (2)如图2，若∠AEM=70°，∠CFM=30°，∠AEM和LCFM的平分线交于点N,求∠N的度数. 题型精讲 题型01同位角、内错角、同旁内角的辨别 【典例1】(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)如图，直线AB、CD相交于点O,连接BC,∠B的内 错角是() A D B 6/32 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.∠AOD B.∠AOC C.∠BOD D.∠BOC 【变式1】(25-26七年级下浙江金华阶段检测)下列各图中，∠1和∠2为同位角的是() D 【变式2】(25-26七年级下山西吕梁期末)如图，直线4，b被直线c所截，下列说法正确的是() 2 A.∠1与∠2互余 B.∠1与∠5是同旁内角 C.∠2与∠3是内错角 D.∠2与∠4是内错角 【变式3】(25-26七年级下·四川凉山·期末)如图，下列6种说法：①∠1与∠4是内错角：②∠1与∠2是 同位角；③∠2与∠4是内错角；④∠4与∠5是同旁内角：⑤∠3与∠5是同位角：⑥∠2与∠5是内错角.其 中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型02平行公理及推论应用 【典例2】(25-26七年级下·山东威海·期末)图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道 闸由垂直于地面的立柱AB、CD和折叠杆“AE-EF”组成.道闸工作时，折叠杆“AE-EF”可绕点A 7/32 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在一定范围内转动，且杆EF始终与地面BD保持平行，则∠BAE+∠AEF=】 度 A C 图① 图② 【变式1】(25-26七年级下福建厦门阶段检测)三条直线，2,4，若4‖12,4‖，则2与1的位置关系是 【变式2】(2025七年级上江苏连云港专题练习)如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上， 图②是其侧面示意图，其中AB是地面，当A=∠2时，PM∥AB;∠3=∠4时，PN‖AB.同时满足上述条 件时，一定有N,P,M三点在同一条直线上，其依据是 从下列选项中选取合适的填写，只填 序号①同位角相等，两直线平行.②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.③两点确定一条直 线 Q A ② 【变式3】(25-26七年级下·河北期末)如图，张萌的手中有一张正方形纸片ABCD(AD∥BC),点E, F分别在AB和CD上，且EF∥AD,此时张萌判断出EF∥BC,则张萌判断出该结论的理由是 题型03 同位角相等，两直线平行 【典例3】(25-26七年级下'广东广州期中)如图，直线AB,CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点， GH⊥CD,垂足为点H.若∠2=35°，∠I=5S°，直线AB与CD平行吗？ 阅读下面的解答过程，并填空 8/32 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A H4 C 解：~GH⊥CD(已知)， ∴.∠CHG=90°(）. 又∠2=35°（已知）， .∠3=∠CHG-∠= (等式的性质). .∠4=∠ =。() 又∠1=55°（已知）， ∴∠4=∠1(). AB∥CD(). 【变式1】(25-26六年级下全国课后作业)如图所示，已知∠1=∠2，试说明：a‖b 27 【变式2】(25-26七年级下·新疆和田阶段检测)请将解题过程补充完整. 1 3 如图，I=∠2，求证：ab」 证明：：∠1=∠2（已知）， ∠2=∠3()， (等量代换)， ..allb () 【变式3】(25-26七年级下浙江金华期中)如图，已知∠CDA=∠CBA,DE平分∠CDA,BF平分 9/32 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CBA,且∠I=∠2，说明DE∥BF的理由. D F C 3入 E B 解：因为DE平分∠CDA,根据 得1=)∠CDA:同理3=)∠CBA 2 因为∠CDA=∠CBA,根据等量代换，得∠=∠ 又因为1=∠2，根据等量代换，得∠2=∠ 再根据 得DE∥BF 题型04内错角相等，两直线平行 【典例4】(25-26七年级下·山东德州·期末)把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由. 如图，点A,B,C在同一条直线上，已知BF平分∠EBC,∠D+∠CBF=9O°，DB⊥BF,求证AD∥BE B 证明：：DB⊥BF(已知) .∠DBF= (垂直的定义) ∴.∠DBE+∠EBF=90°， :BF平分∠EBC(已知) .∠ =∠FBC(角平分线定义) :∠D+∠CBF=90°（已知） .∠D+∠EBF=90° 又∠DBE+LEBF=90°， .∠ =∠DBE(） .AD∥BE( 【变式1】(25-26七年级下全国课后作业)如图，己知直线AB,CD被直线EF所截，∠I=60°，∠2=120° 请说明AB∥CD的理由，用“内错角相等，两直线平行”或“同位角相等，两直线平行”进行说理的过程 10132 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26七年级上·黑龙江绥化阶段检测)已知AC平分∠DAB,I=∠2，求证：AB∥CD D 【变式3】(24-25七年级下陕西宝鸡期末)请补全下面推理过程： 己知：如图，∠BAD=∠DCB,∠I=∠3.求证：ADI‖BC 证明：∠BAD=∠DCB,∠I=∠3( ) ∴.∠BAD-∠ =∠DCB-∠ (等式性质)， 即∠ .AD∥BC( D 2 C 题型05 同旁内角互补，两直线平行 【典例5】(2025八年级上全国专题练习)证明：：AD‖BC(已知)， ∴.∠A+∠B=180° :∠AEF=∠B(已知)， :∠A+∠AEF=180°（等量代换）， .AD∥EF A E 【变式1】(24-25七年级下·宁夏银川期中)如图，己知∠A0D+∠C=180°，直线AB与CE有什么位置关 系？说明理由. 11/32 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 【变式2】(24-25七年级下·广东汕头期末)如图，∠1=52°，∠2=128°，∠C=∠D D E (I)求证：BD∥CE (2)探索∠A与∠F的数量关系，并说明理由. 【变式3】(24-25七年级下·河北秦皇岛·期中)请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,且∠Q+∠B=90°.求证：AB∥CD. B D 证明：：CE平分∠ACD ∠ACD=2La(①). :AE平分∠BAC(已知)， ·∠BAC=②（角的平分线的定义）· .∠ACD+∠BAC=2La+2∠B(等式性质) 即∠ACD+∠BAC=2(∠a+∠p) .∠a+∠B=90°（已知）， ∠ACD+∠BAC=③（等量代换） AB∥CD(④). 题型06 添加一条件使两直线平行 【典例6】(25-26七年级下·陕西咸阳期中)如图，直线CE分别与AB、CD交于点F、C,在不添加辅助 12132 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线的情况下，请添加一个条件，使得AB∥CD,你添加的是 一·（写出一个即可） E F 【变式1】(24-25七年级下陕西咸阳·期末)如图，直线AB、CD被直线DE所截，交点分别为点F、 D,添加一个条件，使得AB∥DC,你添加的是一，（添加一个即可） D 【变式2】(25-26七年级下广东惠州期末)如图，若仅添加一个条件使AD/CE成立，则可添加条件： (写出一个即可) D 5 B E 【变式3】(25-26七年级上全国单元测试)张老师在黑板上留了一道作业题：“如图，直线4b被直线 c所截，其中∠1=89°，请你再添加一个条件，使a∥b,并注明判定依据.”三人所做答案如下： 甲：添加∠2=89°，依据：同旁内角相等，两直线平行； 乙：添加∠3=89°，依据：同位角相等，两直线平行； 丙：添加∠4=89°，依据：内错角相等，两直线平行： 对三位同学的答案判断正确的是一 a 42 0 3 题型07垂直于同一条直线的两条直线平行 【典例7】(25-26七年级下浙江杭州期中)补全下列证明过程及括号内的推理依据： 13132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，己知，AD⊥BC于D,EF⊥BC于F,∠3=∠E,求证：AD平分∠BAC, E B F D 证明：AD⊥BC,EF⊥BC(已知)· ∴一（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行)， .1=∠E() ∠2=∠3()， 又：3=∠E(已知)， .∠1=∠2（等量代换）， .AD平分∠BAC() 【变式1】(24-25七年级下湖北孝感期中)已知∠AOB.请根据下列语句依次画出图形或解答问题. A、 (1)画出∠AOB的对顶角∠COD (2)点P为∠AOB内一点，画出直线PNI‖OB交OA于点N,直线PM∥OA交OB于点M; (3)若∠COD=60°，则∠MPN=_(直接写出答案)· 【变式2】(25-26七年级下·山东潍坊期中)解答下列问题，写出过程，并注明每一步的依据；如图，已 知∠CDG=∠B,AD⊥BC于点D,EF⊥BC于点F. D B E A (I)试证DG∥AB,AD∥EF (2)试判断∠1与∠2的关系，并说明理由. 14132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【变式3】(25-26七年级下·陕西西安阶段检测)如图，点A,B,C,D在一条直线上，CE与BF交于点 G,EC⊥AD,FD⊥AD (I)判断DF与CE的位置关系，并说明理由； (2)若∠E=∠F,说明∠A=∠FBC. 题型08 平行线的判定去判断两线的位置关系 【典例8】(25-26六年级下山东泰安期末)如图，已知AC‖EF,∠1+∠2=180°. 2 A D (1)AF与CD平行吗？说说你的理由； (2)若AC平分∠FAD,AC⊥BE于点C,∠FAD=78°，求∠BCD的度数. 【变式1】(25-26七年级下河北邢台期中)如图，∠A+∠DEF-180°. (1)求证：AB∥CD (2)若∠A+∠ECG=180°，求证：∠1=∠2， 【变式2】(25-26七年级下·广东佛山期中)如图，在四边形ABCD中，E是BC延长线上的一点，连接 AE交CD于点F,若∠B=∠D,∠I+∠2=180°. 15132 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B C E (I)求证ABICD (2)求证AD∥BE: (3)若∠E=27°，求∠DAE的度数. 【变式3】(25-26七年级下·北京期末)【问题背景】光线照射到镜面上会发生反射现象，当光线经过镜 面反射时，入射光线、反射光线与镜面的夹角对应相等，如在图1中，∠1=∠2 【数学探究】镜面EF、MN的一端重合放置，AB表示入射光线，CD表示入射光线两次反射后的反射光 线 F M E(0 l分分777 图1 图2 图3 备用图 ()如图2，当镜面EF、MN的一端E、M重合放置时，若镜面夹角∠FEN=9O°，求证：ABIICD (②)如图3，固定镜面MN,若∠ABN=70°，调整镜面EF的位置，使得CD‖MN,画出满足条件的图形， 并直接写出此时镜面夹角8的大小.(0°<0≤90°) 题型09 利用平行线的性质求角度 【典例9】(25-26七年级下·湖北武汉·期末)如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=65°， 则∠2的度数是 【变式1】(25-26七年级下·宁夏中卫期末)如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是 网格线交点，∠1+∠2=90°，则∠ABC的度数为 16132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26七年级下·海南省直辖县级单位期末)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,点F在BC 的延长线上，且∠BCD=∠CAE. 4 (I)求证：CD∥AE: (2)若ACI‖EF,∠F=82°，∠BDC=76°，求∠BAC的度数. 【变式3】(25-26七年级下·陕西西安·期中)如图，在三角形ABC中，D,E分别是边AC，,AB上的点， 连接BD,DE,点F在线段BD上，连接EF,已知∠I+∠2=I8O°，DE∥BC. D E 62 C B ()求证：EF‖AC, (2)若∠ABC=60°，BD平分∠ABC,∠DEF=∠FEB-10°，求∠I的度数. 题型10 利用平行线的性质求生活中的应用 【典例10】(2026广西柳州·二模)如图，有一段之字形路段，经过两次转弯后的路段与初始路段保持平 行，若第一次转弯时∠ABC=35°，则∠BCD= -B D 【变式1】(24-25八年级上山东济南阶段检测)如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与 17132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平面镜夹角∠1=50°，则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为， 【变式2】(24-25七年级下北京丰台期末)某地规划由西向东修建一条公路.如图，从A地修到B地后， 为了绕开古建筑物，改为沿南偏东25°方向修建BC段，然后从C地改变方向修建CD段，测得∠BCD=70°， 到D处后仍按正东方向继续施工· 125° 709 (I)在图中画出继续施工的路线DE,并求∠CDE的大小： (2)在AB的延长线上由西向东依次修建两个公交站M和N(均在CD右侧)，连接DM,DN,直接写出 ∠CDM与∠DMN的数量关系. 【变式3】(24-25七年级下·湖北荆州期中)在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓 厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能 工作篮 A3 G 支撑平台 E E 图1 图2 (I)问题情景：如图1，己知AD∥BC,∠CDF=∠AFD,试探究∠ADF,∠C与∠DFE之间的数量关系？ 小智同学经过思考发现，过点F作FG∥AD即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程： (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台DE平行.若 ∠1=35°，∠2=65°，求∠3的度数. 题型11平行线的判定与性质多结论问题 【典例11】(2425七年级上·吉林长春·期末)如图，若∠1=∠2，∠3=∠4，给出下面四个结论：① 18132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB‖CD；②AD‖BC:③∠B=∠BCD;④∠B+∠BCD=I80°.上述结论中，所有正确结论的序号是 () D B A.①③ B.②③ C.①②③ D.①②④ 【变式1】(25-26七年级下'内蒙古乌兰察布期中)如图，∠1+∠B=180°，∠2=∠D,有下列4个结论： ①AD∥EF:②ADI‖BC:③EF∥BC;④AB∥DC中.则正确结论的个数是() G A.1 B.2 C.3 D.4 【变式2】(24-25七年级下·吉林长春阶段检测)如图，AC∥EG,点B在AC上，点F在EG上，连接 BF,BD平分∠ABE,EH平分∠BEF交BF于点H,∠EBF=∠EFB.给出下面四个结论： ①BD∥EH:②BF平分∠EBC:③∠BFE=∠ABE:④∠EBF+∠BFG=I80° 上述结论中，正确结论的序号有一 A B C 【变式3】(24-25七年级上江苏南京期末)如图，直线∥.下列结论：①∠1=∠3；②∠2=∠3；③ ∠4=∠5；④∠2+∠4=180°.其中所有正确结论的序号是 题型12根据平行线的判定与性质求角度 【典例12】(2026宁夏银川三模)如图，糖画是我国的一种民间传统手工艺，它以糖为墨、以勺为笔， 19132 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 造型精美.图2是从糖画线条中抽象出的几何图形.己知AB∥CD,∠BAM=100°，∠DCM=130°，则 ∠M的度数是 M B D 图1 图2 【变式1】(2026山东济南二模)如图：m⊥n,a‖b且∠1=50°，则∠2的度数是 【变式2】(25-26七年级下福建厦门期末)完成下面的求解过程. 如图，∠B=70°，∠C=70°，ABEF,BCIDE,求∠E的度数. B F D 解：∠B=70°，∠C=70°， ∠B=∠C. ①. :ABMEF, :.CDIEF ②)· ③. .BCIDE, .∠C+∠D=180°( ④). ∴.∠D=180°-∠C=110° .∠E=110° 【变式3】(25-26七年级下重庆荣昌期末)已知AB∥CD,点E,F分别是CD,AB上的动点， EG⊥FG,垂足为点G,作LGED的平分线EH,∠BFG=a. 20132 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图3 (1)如图1，当C=20°时，求∠HED的度数； (2)如图2，点F在AB上移动的过程中，若∠HED=2a.求C的度数： (3)如图3，在点F移动的过程中，当点G在直线CD上方时，请直接写出∠HED的度数（用含a的式子表 示)· 题型13 根据平行线的判定与性质证明 【典例13】(25-26七年级下·重庆荣昌·期末)如图，点E是AB上一点，过点E作EF∥BC,交AC于点 F,点G是EF延长线上一点，连接CG,∠G=∠B.求证：∠GCF=∠A.完成下面证明过程并注明推理 依据。 A F E 证明： :EF∥BC(已知)， ∠B= (两直线平行，同位角相等)· :∠G=∠B(已知)， .∠G=∠ (等量代换). ∴∠GCF=∠A( 【变式1】(25-26七年级下山东临沂期末)如图，直线1与直线a、b分别交于点A、B,点E在直线a上， 点C和点D在直线b上，连接AC、DE.若∠I+∠2=180°，∠3=∠4，则AC与DE平行吗？阅读下面的 解答过程，并完成下面的证明。 21132 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 62 B 解：：∠1+∠2=180°（已知），∠1+∠5=180°( .∠2= ( .AE∥ ∠3=∠ACB( ∠3=∠4（已知）， .∠ACB= (等量代换)， .AC∥ED( 【变式2】(25-26七年级下·江西南昌期末)如图，点0在直线AB上，0C⊥0D,∠CD0与∠I互余， F是DC上一点，连接OF D (I)求证：AB∥CD (2)若OF平分∠COD,∠OFD=75°，求∠1的度数. 【变式3】(25-26七年级下贵州安顺期末)如图，AC‖EF,∠1+∠2=180° E F D B (I)延长线段AF,BE交于点M,请根据题意补全图形： ()②在(1)的条件下，求证：AMIICD； (3)在(2)的条件下，若AC平分∠FAD,AC⊥BE于点C,∠BDC=78°，求∠M的度数. 题型14根据平行线的判定与性质探究角的关系 【典例14】(25-26七年级下北京·期中)请根据下面的证明过程，在括号内注明理由. 22132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 己知：如图，D是∠ABC平分线上一点，DE∥BC交AB于点E.求证：∠I=2∠2 B C 证明：DE∥BC, ∴∠I=∠ABC(① ∠2=∠DBC(② 又BD平分∠ABC, :.∠ABC=2∠DBC(③】 ∴.∠1=2∠2 【变式1】(24-25七年级下江西吉安·阶段检测)如图，已知∠I=∠2，∠BAC=20°，∠ACF=80°」 B D (1)FC与AD平行吗？为什么？ (2)根据以上结论，你能确定∠ADB与∠FCB的大小关系吗？请说明理由. 【变式2】(24-25七年级下·山东潍坊期末)如图，直线AB/CD,将一直角三角板PMN放置在AB与 CD之间，顶点M在直线CD上，顶点N在直线AB上，∠PMN=60°.直线I分别交AB,CD于点E,F, ∠MNE的平分线NO交直线CD于点O, B M 备用图 (1)试判断∠MON和∠MNE的数量关系，并说明理由； (2②)若直线‖PM,将三角板PMN沿DC向左平移，点N与点E不重合，设∠EFD=a(O°<a<90).求 ∠MON的度数.（用含a的代数式表示） 【变式3】(24-25七年级下·陕西榆林·期末)经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题 的常用思路. 23132 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 天枢 M -------P 开阳 。天权 玉衡 2 摇光 F D 天玑 天璇 图1 图2 图3 (I)如图I,AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上，点M在AB,CD之间.过点M作MP∥AB,利用平 行线的性质可以得出∠1，∠2，∠EMF之间的数量关系为一： (2②)用同样的辅助线还可以得到图1中∠BEM,∠EMF,∠MFD之间的数量关系，请写出此关系并说明理由： (③)图2为北斗七星的位置图.将北斗七星从摇光到天枢依次标为4，B,C,D,E,F,G,并将A,B,C,D,E,F,G 顺次首尾连接，如图3.若AG恰好经过点C,且B,C,D在一条直线上，AG∥EF,∠B=∠D+18°， ∠E=100°，求∠B-∠DCG的度数. 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26七年级下四川成都期末)如图，能判定AB川CD的是() 3人 A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠1=∠4 D.∠2=∠3 2.(25-26七年级下·辽宁沈阳·期末)如图，将生活中的竹篱笆（图1）局部抽象为几何图形（图2），下 列条件中，能判定直线ab的是() 24132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.∠2=∠3 B.∠3+∠5=180°C.∠2=∠4 D.∠4=∠5 3.(25-26七年级下西藏昌都期末)如图，已知a‖b,∠2=60°，则() 5 8 67 A.∠5=60° B.∠6=120° C.∠7=60° D.∠8=60° 4.(24-25七年级下北京延庆期中)如图，AB川CD,则下列结论：①1=∠2，②∠3=∠4，③ ∠B+∠BCD=180°，④∠B=∠5，其中一定成立的是() A 3 2 45 C E A.①②③④ B.②③ C.①②③ D.①③④ 二、填空题 5.(25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末)如图所示，请添加一个条件，使AB∥CE.则添加的条件为 B D 6.(25-26七年级下·甘肃平凉期中)在同一平面内，过直线1外一点P作1的垂线m,再过点P作m的垂 线n,则直线l与n的位置关系是 7.(25-26七年级下广东广州期末)如图，直线AB∥CD,EF交AB于点E,交CD于点F, ∠BEF=120°，则∠CFE的度数为. 25132 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D F 8.(25-26七年级下浙江宁波阶段检测)如图，ABI川CD,则x+y= 135° —B r 30 y C 30° D 三、解答题 9.(25-26七年级下·重庆云阳期末)补全解答过程： 已知：如图，直线ABI‖CD,直线EF与直线AB、CD分别交于点G、H;GM平分∠FGB,∠3=60°. 求∠1的度数. E A 2 1 64 M F 解：，EF与CD交于点H,(已知) .∠3=∠4. (①) .∠3=60°，（已知） ② (等量代换) :ABIICD,EF与AB,CD交于点G、H,(已知) .∠4+∠FGB=180°.（③） .∠FGB=④ ,GM平分∠FGB,(已知) “∠I=⑤°.（角平分线的定义） 10.(24-25七年级下·江西赣州期末)如图，AB∥CD,AC∥DE, 26132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D (1)求证：∠1+∠CDE=180°： (2)若AD⊥CD,∠I=40°，求∠ADE的度数. 11.(25-26七年级上·全国课后作业)潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图1，光线经过镜子反 射时，4=∠2，∠3=∠4，那么∠2和∠3有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平 行的？先画几何图形，如图2，再写已知未知. 光 M/1 0 B5 6/3C 47 图1 图2 如图，ABIICD,∠1=∠2，∠3=∠4 (1)猜想∠2和∠3有什么关系，并进行证明： (2)求证：PMIINO 12.(25-26七年级下·四川成都期末)周末的天府公园里，天幕错落，市民露营野炊、休闲小聚，暂别城市 喧嚣，尽享自在时光.如图1，在露营椅侧面结构示意图中，AB与CD均平行于地面，若 ∠AEM=∠GND=65° C M N D 图1 图2 (1)EM和GN平行吗？请说明理由. (2)如图2，点2是线段GN上一点，连接FO,CO,若CO平分∠FON,∠C=17°，求∠BFO的度数 能力提升 27132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)如图，直线ACBE被直线CD所截，点B在直线CD上，连接 AB,下列条件能判定AC∥BE的是() D B E A.∠C=∠EBCB.∠A=∠EBD C.∠C=∠ABC D.∠A=∠ABE 2.(25-26七年级下·天津阶段检测)下列各图中，能画出AB‖CD的是() ① ② ③ ④ A.①②③ B.①②④ C.③④ D.①②③④ 3.(2026辽宁中考真题)如图，AB∥CD,直线I分别与AB,CD相交于点E,F,∠BEF的平分线交 CD于点G.若∠CFE=140°，则∠EGF的度数为() E A 一D G A.50° B.60° C.70° D.80° 4.(25-26七年级下内蒙古鄂尔多斯期末)将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论 正确的是() 4入 ①1=∠2：②∠4+∠5=180°：③∠1+∠4=90°：④∠2+90°=∠5 A.①②3④B.①②③ C.①②④ D.②③④ 5.(25-26七年级下·江西吉安期末)如图1是一盏可折叠的护眼台灯，图2是其平面示意图，若∠EDC 保持不变为105°，此时∠DCA=76°，底座AB与灯臂CD的夹角∠DCB可通过绕点C转动调节照明，当灯 28132 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 体CDE调节到DE平行于桌面AB时，∠ACD的大小变化为() E D B 图1 图2 A.减小15° B.增大15° C.减小29° D.增大29 二、填空题 6.(25-26七年级下·北京石景山期末)如图，四边形ABCD中，点E是CB延长线上一点.请你添加一个 条件，能判定AB∥DC.这个条件可以是 5六Q3 B 7.(25-26七年级下·上海闵行·期末)如图，直线AB和直线CD被直线EF所截，交于点G和点H,在 下列条件中①LEGB=∠DHF,②∠AGH=∠GHD,③∠AGH+∠GHC=180°，可以判定AB‖CD的是 (写出所有符合条件的序号). E G F 8.(25-26七年级下·陕西渭南期末)如图，容器水平放置（液面MN∥AD)，平行光线FE、CB从空 气中射向某种液体时发生折射，折射光线BA∥ED,已知∠I=65°，∠2=35°，则∠ABC的度数为 0 F B M D A 9.(25-26七年级下福建厦门期中)如图，AC,BD交于点O,AC∥DE,若∠AOB=53°，则∠ODE 29132 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的度数是 度 A D E 10.(25-26七年级下·陕西咸阳期末)如图1，糖画是我国的一种民间传统手工艺，它以糖为墨、以勺为 笔，造型精美.图2是从糖画线条中抽象出的几何图形.己知ABI川CD,∠BAE=105°，∠DCE=134°， 则∠E的度数是 B D 图1 图2 三、解答题 11.(25-26七年级下陕西咸阳阶段检测)如图，在三角形ABC中，点D在边BC上，连接AD,点E为 三角形ABC外一点，连接DE、CE,已知∠ADC+∠DCE=18O°，∠BAD=∠E,试说明：∠B=∠CDE. 请补全推理过程及依据： D 解：因为∠ADC+∠DCE=180°，（已知） 所以 所以 (两直线平行，内错角相等) 因为∠BAD=∠E,(已知) 所以 ( 所以 (内错角相等，两直线平行) 所以∠B=∠CDE, ( ) 12.(24-25七年级下河北唐山期末)如图，AB川CD,点E为两平行线间的一点，请证明两个结论. 30132 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M D (1)∠BED=∠I+∠2： (2)∠EBM+∠EDN+∠BED=360° 13.(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)如图，己知ABCD,点E、F在直线AB与CD之间，连接 BE、EF、DF,∠B=20°，∠D=1I0°」 A B A B E G 图1 图2 (I)【问题初探】如图1，过点E作EM‖AB,过点F作FN∥AB,探索∠BEF与∠EFD之间满足的数量关 系，并说明理由； (②)【衍生拓展】如图2，EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,延长GF交EP于点P,过点F作FH∥EP, 求∠P的度数 14.(25-26七年级下·山东枣庄·期中)在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴 趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能 皿工作篮 3 20 支撑平台 B E 图1 图2 (I)问题情境：如图1，已知∠CDF+∠DFE=180°，∠C=∠DAE ①问题探究：求证：AD∥BC; ②拓展探究：∠ADF,∠AEB,∠DFE之间满足怎样的数量关系？并说明理由. (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠1=35°，则 ∠2+∠3的度数为_。 15.(25-26七年级下陕西西安·期末)综合实践 31132 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A\E AG FNB B H GD EM D 图1 图2 (I)【问题探究】如图1，已知两条直线AB,CD被直线EF所截，分别交AB,CD于点E,点F,EG平 分∠BEF交CD于点G,且∠FEG=∠FGE.判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由： (2)【问题延伸】如图2，小区内部有两条相互平行的笔直主干道AB,CD,为优化通行路线，物业规划了 一段支路EF,点E,F分别在CD,AB上，工作人员为精准规划路口角度：作∠CEF的平分线EG,与 主干道AB交于路口G,在ED上设置休憩点M,修建平行于支路EF的便民小路MN,小路与主干道AB 交于点N,连接EN,为区分通行区域，作∠ENG的平分线NH与EG交于点H,过点H修建平行于主干 道AB的隔离护栏HL,探究∠EHN与∠ENM之间的数量关系，并说明理由. 32132