专题6.2 角（10题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本讲义聚焦初中数学“角”的核心知识，系统梳理角的静态与动态定义、多种表示方法、度分秒换算，延伸至钟表夹角、方位角、角平分线、余补角等应用，构建从概念理解到实际运算的递进式学习支架。 资料以双重定义深化抽象能力，结合钟表、方位角实例发展几何直观与应用意识，题型分层设计典例与变式练习，课中助力教师精准教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，培养运算能力与推理意识。

函学科网·上好课 角 教学目标 1.理解角的概念 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题6.2角 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01角的概念 知识点02角度制及其换算 知识点03钟表上有关夹角问题 知识点04方位角 2.知识清单 知识点05角平分线 知识点06角的运算 知识点07角的比较 知识点08余角、补角 题型01角的概念和表示 题型02角的单位与角度制 题型03钟面角 题型04与方位角有关的计算题 题型05角的比较 3.题型精讲 题型06三角板中角度计算问题 题型07角平分线的有关计算 题型08角n等分线的有关计算 题型09求一个角的余角 题型0求一个角的补角 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 静态定义与动态定义)，掌握角的符号表示方法，发展符号意识与 1/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抽象能力。 2.认识角的常用度量单位度、分、秒，会进行简单的换算与角度计算，能写出角的和 与差关系式。 3.理解平角、周角概念，能借助量角器量角的大小，体会图形运动与角形成的关系。 教学重点1.角的概念理解与多种表示方法（三个大写字母、顶点字母、希腊字母或数 字)的正确运用。 2.角的度量单位（度、分、秒）的换算及角度的简单计算。 教学重难点 教学难点 1.角的动态定义理解，尤其是平角、周角与射线、直线概念的区别辨析。 2.度、分、秒六十进制进位与退位运算的熟练掌握，以及复杂图形中角的和差关系式 的准确表述。 知识清单 知识点01角的概念 1.角的定义： (1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的 两条边.如图1所示，角的顶点是点O,边是射线OA、OB A B (2)定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部.如图2 所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止 位置OB是角的终边. 注意：()两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线：角的大小与角的两边的长短无关， (2)平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形 成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角. B A(B) 平角 周角 图1 图2 2角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 2/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 表示方法图示记法适用范围 A (1)用三个大 ∠AOB任何情况都适 写宇母表示 用，表示顶点的 ∠BOA字母写在中间 以某一点为顶点 (2)用一个大 的角只有一个 写字母表示 时，可以用顶点 表示角 (3)用向 <1 任何情况都造用 伯数字表示 (4)用希腊字 母表示 ∠a 任何情况都适用 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字 母 3.角的画法 (1)用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角. (2)用量角器可以画出任意给定度数的角. (3)利用尺规作图可以画一个角等于己知角. 【即学即练1-1】(25-26七年级上湖北宜昌·期末)如图，图中的角共有() B D A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【即学即练1-2】(25-26七年级上·全国课后作业)如图，∠2可以表示成∠ABC或∠一，∠1可以 表示成∠ ∠C可以表示成∠ 或∠ A C 知识点02角度制及其换算 1 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的60为1分，记 1 作“1'”，1'的60为1秒，记作“1””.这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 3/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1周角=360°，1平角=180°，1°=60'，1′=60”. 注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位， 从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进 位 【即学即练2-1】（25-26七年级下广西南宁·开学考试)计算：1535'+42°53'= 知识点03钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转 30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题. 【即学即练31】(25-26六年级下山东泰安·阶段检测)如图，当7时30分时，时钟上的时针与分针的夹 角为 0 知识点04方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角.例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的 方向是南偏西30°.这里的“北偏东60”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角 北 609 西 ·东 0 注意：(1)正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示. (2)方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” (3)在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察 点的正东、正西、正南、正北的方向. (4)图中的点0是观测点，所有方向线（射线）都必须以0为端点. 【即学即练41】(25-26七年级上·全国课后作业)如图，射线OA的方向是东北方向，∠A0B=85°.求 射线OB的方向. 4/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 西 东 B 南 知识点05角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，OC是 1 ∠AOB的角平分线，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,∠AOC=∠BOC=2∠AOB. 0 B 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样， 【即学即练51】(25-26六年级下·山东泰安期中)如图，OB是∠AOC内任一条射线，OD、OE分别 平分∠AOB、∠BOC,∠AOC=80°.求∠DOE的度数. A D E 知识点06 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB=∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1= ∠AOB-∠2 A 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中（角的顶点与量角器的中心对齐）：②重合（一边与刻度尺 上的零度线重合)：③读数（读出另一边所在线的度数） (2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°， 5/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 105°，120°，135°，150°，165°的角 【即学即练6-1】(25-26七年级下·安徽六安·期中)如图，直线AB与CD相交于点O,OM1AB.若 ∠BOC=4∠1，求∠BOD的度数. M B 知识点07角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 方法2：叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较， 如比较∠AOB和∠A'O′B'的大小：如下图，由图(1)可得∠AOB<∠A'O'B'；由图(2)可得 ∠AOB=∠A'O'B':由图3)可得∠AOB>∠A'O'B· B' B(B') B B B 0(0) A(4)0(0）A4)0(0) () (2) (3) 【即学即练7-1】(25-26七年级上浙江杭州期末)如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C,D, E是网格线交点，则∠ABD一∠CBE.(填“>”，“=”或“<”) A 知识点08 余角、补角 1.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°， 那么称这两个角互为余角，也称互余， 6/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等：同角或等角的余角相等. 【即学即练7-1】(2025七年级上江苏苏州专题练习)若∠a=3518,则∠α的余角是一，补角是 题型精讲 题型01角的概念和表示 【典例1】(25-26七年级上云南昆明期末)如图，下列说法中不正确的是() D A.∠ABD也可以用∠I来表示 B.∠a与∠CBD是同一个角 C.以B为顶点的角仅有∠ABD和∠CBD两个 D.不能用∠B表示∠ABC 【变式1】(25-26七年级上天津·期末)如图，下列说法①∠I与∠A0B是同一个角：②∠A0C也可以用 ∠0表示③∠B=∠BOC④∠BOC可以看作射线OB绕着它的端点O旋转至OC而形成的图形，也可看作由 有公共端点O的两条射线OC,OB组成的图形.其中正确说法的个数为()个 B A.1 B.2 C.3 D.4 【变式2】(25-26七年级下·重庆·自主招生)下图中几何图形共有 个角 7/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(24-25七年级上全国课后作业)(1)如图①，我们可以将角表示为. 或 或 (2)如图②，共有 个角，它们分别是 B 图① 图② 题型02 角的单位与角度制 【典例2】(25-26七年级上江西上饶期末)计算5731'+1739'= 【变式1】(25-26七年级上四川成都期末)计算3357'+2154'=- 【变式2】(25-26七年级上全国课后作业)单位换算： (①)45°=′； (2)4680"= (3)52.36°=。， (4)4931'21”=。 【变式3】(2025七年级上全国专题练习)计算： (1)49.9°= ； (2)2542'= 0 (3)18°46'55”+2717'24"= (4)1002'33"-1414'53”"= 题型03 钟面角 【典例3】(25-26六年级下·四川成都期中)钟面上8点50分时，请问此时时针与分针所成夹角的度数为 【变式1】(25-26六年级下山东淄博期中)时钟上7点15分，时针与分针形成的角是 度 【变式2】(25-26七年级上河南南阳·期末)颈椎不适的症状包括：酸胀、隐痛、发紧、僵硬等，而将两 臂向上抬，举到10点10分处，每天连续走200米，能有效缓解此症状.这里的10点10分处指的是时钟 8/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在10点10分时，时针和分针的夹角（如图所示），则此时时针与分针的夹角是 0 3 8 4) 7 6 【变式3】(25-26七年级上·全国期末)某校上午大课间时间为940-1015，当时钟指向9：40时，时针与 分针的夹角为 度；当时钟指向1015时，时针与分针的夹角为. 度：两个角相差 度 题型04 与方位角有关的计算题 【典例4】(25-26六年级下·山东淄博·阶段检测)如图所示，01是北偏东30°的一条射线，∠A0B=90° 则射线OB表示的方向是 北 B 309 西 东 O 南 【变式1】(25-26六年级下·山东淄博阶段检测)如图，OA是点0南偏西25°方向的一条射线，若 ∠AOB=75°，则OB的方向是 北 西 东 B 南 【变式2】(25-26七年级上陕西西安·阶段检测)在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准， 描述物体运动的方向.如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，射线OA平分 ∠BOC,请你用上述描述方法描述射线OC的方向. 9/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 东 南 【变式3】(24-25七年级上陕西西安期末)如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是北偏西40°，且 ∠AOC=∠AOB 北N B A 西形 E东 南S (1)∠BOC的度数是 (2)若点B,O,D在同一条直线上，请用方位角表示OD的方向. 题型05 角的比较 【典例5】(25-26七年级上全国期末)如图所示的网格是正方形网格，∠ABC∠DEF.(填“>” “=”或“<”) 【变式1】(25-26七年级上全国期末)为了比较∠AOB和∠COD的大小，小庆用尺规作图如下，由作图 痕迹可以判断∠AOB ∠COD(填“>”“<”或“=”) B D(B) 图① 图② 【变式2】(2024七年级上·全国·专题练习)比较图中∠BOC、∠BOD的大小：∠BOC ∠BOD (填“>”“<”或“=”) 10/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 【变式3】(24-25七年级上·全国课堂例题)观察如图，用“<”把∠AOD,∠BOD,∠COD连接起来. D 题型06三角板中角度计算问题 【典例6】(2026北京中考真题)如图，三角尺的直角顶点在直线1上.若∠1=48°，则∠2的大小为 () A.30° B.42° C.45° D.48 【变式1】(25-26七年级下浙江金华·期中)一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的2 倍，则∠2的度数为 【变式2】(25-26七年级下山东烟台期中)一副三角板如图摆放，其中∠AOC=∠BOD=90°， ∠D=45°，OA与BD相交于点E,若∠COD=120°，则∠DE0的度数为 11/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式3】(24-25七年级下·江西上饶期中)已知两个分别含有30°45°角的一副直角三角板，如图被叠放 在一起，使∠ACE=2∠BCD,求∠ACD的度数 题型07角平分线的有关计算 【典例7】(25-26七年级上陕西西安期末)如图，∠B0D=90°，OE是∠B0D的平分线， ∠C0DD0E,OC是∠4OE的平分线，求∠40B的度数. 3 C B A 【变式1】(25-26七年级上·湖南湘潭·期末)已知0为直线AB上一点，∠C0D=90°，OE平分∠B0C, 若∠DOE=35°，求∠BOD,∠AOC的度数. E A B 【变式2】(25-26七年级上河北石家庄·期末)如图，0为直线AB上一点，∠A0C=60°，0D平分 ∠AOC,∠D0E=90° D (1)求出∠BOD的度数， (2)试判断OE是否平分∠BOC,并说明理由. 12/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26六年级下·山东烟台期中)已知∠A0B=120°，∠COD=30°，OM平分∠AOC,ON 平分∠BOD A M A B(C) B D D 图1 图2 (①)如图1，当射线OB与射线OC重合时，求∠AOM-∠BON的值： (2)如图2，当∠COD从图1开始，绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转t秒时(0<1<15)，在旋转过程中， ∠AOM-∠BON的值是否会因t的变化而变化？若无变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由： (3)在(2)的条件下，当∠CON=10°时，求t的值. 题型08 角n等分线的有关计算 【典例8】(25-26七年级上江苏扬州期末)通过本学期的学习，我们已经知道“如果从角的顶点出发的 条射线把这个角分成两个相等角，那么这条射线叫做这个角的平分线”，类似，我们规定：“如果从角 的顶点出发的两条射线把这个角分成三个相等角，那么这两条射线都称为这个角的三等分线”，例如：如 图L,射线OM,ON在∠AOB内，且∠AOM=∠MON=∠NOB,那么OM是∠AOB的三等分线，ON也 是∠AOB的三等分线. B A 图1 图2 图3 (1)如图2，∠AOB=135°，OC⊥OA,判断OC是否是∠A0B的三等分线，并说明理由. (2)在(1)的条件下，若OD是∠AOC的三等分线，求∠BOD的度数， (3)在(1)的条件下，如图3，射线OP从OA出发，以每秒5°的速度绕点O逆时针旋转，到达OC后停止」 在射线OP出发10秒后，射线O0从OB出发，以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，到达OC后立即绕O逆 时针旋转，速度不变，到达OB后停止运动.当OP从OA出发时，开始计时，设时间为t秒.当OQ为 ∠BOP的三等分线时，直接写出t的值， 【变式1】(25-26七年级上山东济宁·期末)如图1，在∠AOB内部画一条射线OC,将∠AOB分成 13/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AOC,∠COB两个角（所有角均为大于0°且小于180°的角）· B B 图1 图2 ()若射线OC是∠AOB的一条三等分线（∠AOC>∠COB),则∠AOC与∠COB的数量关系是 (2)若∠A0B=120°，射线OC分∠AOB所成的两个角中，其中一个角与另一个角的差等于40°，求∠AOC 的度数： (3)如图2，射线OC平分∠AOB,过点O再作一条射线OD,使得OD在∠AOC内部，且∠AOD=2∠DOC 若∠4OD与∠COB的和比3∠A0B多30，求∠AOB的度数. 【变式2】(25-26七年级上全国课后作业)如下图，已知∠AOB内部有三条射线，OE平分∠B0C,OF 平分∠AOC. E A (I)若∠AOB=90°，求∠EOF的度数： ②考将条件中的0B平分∠BOC,0F平分∠AOC”改为“∠B0B=写<B0C,∠C0F-号40C”,且 ∠AOB=a,求∠EOF的度数. 【变式3】(25-26七年级上重庆奉节·期末)小刚同学在学习了角及其平分线后对角的计算和动态角产生 了浓厚的兴患，我们部知道若Op是∠MON内一条射线，当∠MOP=∠N0PM0N,则称射线Op是 2 ∠MOv的角平分线.于是联想到若OP是∠MON内一条射线，当∠M0P写MON或∠N0P=写MON, 3 则称射线OP是∠MON的三等分线，（本题中所研究的角都是大于0°且小于18O°的角） 14/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1①)如图1，已知∠AOB=60°，若OH是∠AOB的三等分线，则∠BOH= (2)如图2，射线OD平分∠AOB,OE是∠BOD的三等分线，射线OC在∠AOB的内部，且 ∠A0C-A0B,若∠COD=30,求∠C0E的度数： 4 (3)如图3，己知∠A0B=120°，射线OD平分∠A0B,射线OG绕着点O以5°每秒的速度顺时针从射线OA 旋转到OB的位置，设运动时间为t秒，若OH是∠G0B的三等分线，且3∠AOH+4∠D0G=270°，请直接 写出在旋转过程中满足条件的所有t的值. 题型09求一个角的余角 【典例9】(25-26七年级上河南郑州·期末)一个角的补角是125°，则这个角的余角为 【变式1】(25-26七年级上·贵州黔西南阶段检测)一个角的度数为20°，则这个角的余角的度数为 【变式2】(25-26七年级上山西吕梁期末)一个角的补角是14050'，则这个角的余角的度数是_ 【变式3】(25-26七年级下山西晋中·期末)若一个角的度数为50°，则它的余角的大小是 题型10求一个角的补角 【典例10】(25-26七年级下陕西咸阳阶段检测)已知∠A=35°，则∠A的补角等于。 【变式1】(25-26七年级下广东深圳期末)若一个角是50°，则它的补角为 【变式2】(25-26七年级下陕西咸阳期末)己已知∠A=20°，则∠A的补角是 【变式3】(25-26七年级下广东梅州期中)若a=4018,则a的补角等于 强化训练 基础自测 15/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(25-26九年级下江苏南通阶段检测)如图，上午8：30，时针与分针的夹角是() 9 6 A.75° B.65° C.55 D.45° 2.(25-26七年级下四川泸州期中)如图，点A处的轮船位于航标灯点O的方向是()· 659 A.南偏东35°B.北偏西65° C.北偏东65 D.南偏西65 3.(25-26七年级上·全国·课后作业)如图，给出下列说法：①∠ECG和∠C是同一个角；②∠OGF和 ∠OGB是同一个角：③∠DOF和∠EOG是同一个角：④∠ABC和∠ACB不是同一个角.其中正确的有 () 0 B G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2026陕西西安模拟预测)如图，∠A0C为直角，OC是∠B0D的平分线，且∠A0B=35°，则 ∠AOD的度数为() Ic D B O A.125° B.135° C.145° D.155° 二、填空题 5.(25-26七年级上·湖南岳阳期末)计算：8320-453820”= 6.(2024七年级下·广东东莞竞赛)∠1=60°，它的余角度数是 它的补角度数是 16/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26七年级上湖南湘潭·期末)如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O,并能 绕0点自由旋转，若∠D0B=69°，则∠A0C等于一· B 8.(25-26七年级下·上海杨浦阶段检测)如图，直线AB,CD相交于O,OE平分∠AOC, ∠EOC=35°，则AB与CD的夹角是度. A 三、解答题 9.(2025七年级上·全国专题练习)计算 (1)984536+712234: (2)180°-7832-5147」 10.(25-26七年级上广东河源·期末)把一副三角尺按如图1所示拼在一起. a b 图1 图2 (I)∠BCD= ,∠AED= (2)如图2，己知线段a,b,请用尺规作一条线段AB,使AB=Q+b.(保留作图痕迹，不要求写作法) 11.(25-26七年级上：陕西渭南期末)已知∠A0B=120°，∠C0D=60°，射线0E平分∠B0C, 17/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 图1 图2 (1)如图1，当射线OC、OD均在∠AOB内部时，若∠AOC=40°，求∠D0E的度数： (2)如图2，当射线OC在∠AOB内部、射线OD在∠AOB外部时，若∠AOC=Q,求∠DOE的度数.（用 含的代数式表示，并将结果化为最简.) 12.(25-26七年级上：江西南昌·期末)如图1，直线AB与CD相交于点O,使∠BOC=120°.将一直角三 角尺的直角顶点放在O处，即∠MON=90°」 图1 图2 (1)当三角尺一边OM在∠BOC的内部，且为∠BOC的三等分线，求∠BON的度数？ (2)当三角尺一边ON在∠AOC的内部（图2），求∠AOM-∠CON的值？ 能力提升 一、单选题 1.(24-25七年级上·河北石家庄·期中)如图，在∠AOC内部作了一条射线，下列说法正确的是.() B 2 A A.∠AOC可以用∠0表示 B.这条射线记作射线BO C.∠2与∠COB是同一个角 D.∠AOC=∠I+∠AOB 2.(25-26七年级上·贵州遵义·期末)如图，射线OA的方向是北偏西35°，若∠AOB=90°，则射线OB的 方向是() 18/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 A 35 西 东 B 南 A.南偏西55°B.西偏南55° C.东偏北55 D.北偏西35° 3.(25-26七年级上山西大同期末)如图，利用一副三角板比较∠A0B与∠CPD的大小，两角顶点均与 三角板某一项点重合.已知图中射线OB经过60°角的一边，图中射线P℃经过45°角的一边，下列判断正 确的是() C B D A.∠CPD<∠AOB B.∠CPD>∠AOB C.∠CPD=∠AOB D.无法判断 4.(25-26七年级下陕西宝鸡期末)如图，点O是直线AB上一点，OE⊥OC,OF平分∠AOE,若 LC0F=35°，则∠A0C等于() E A.70° B.20° C.35° D.110° 5.(25-26七年级上江苏扬州期末)一副三角板如图摆放，∠E=∠C=90°，∠DAE=45°，∠BAC=30° 则∠CAE-∠BAD=() A.8° B.10° C.15o D.20° 二、填空题 6.(24-25七年级上广东东莞期末)一个角是8639，则它的余角是 补角是 19122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26七年级上广东河源期末)如图，01的方向是北偏东20°，0C的方向是北偏西40°，若0A平 分∠BOC,则OB的方向是 北 西 东 8.(25-26七年级下·四川成都阶段检测)如图，直线MN上有一点O,作射线OP,，使得∠MOP=126°， 在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，∠AOB=90°，若OB始终在∠PON的内部，则 ∠AOP-∠BON= 9.(24-25九年级下·河南信阳·阶段检测)如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井 中（物理学中，反射角=入射角），则阳光与平面镜的夹角（∠I)为一 30 法线 木t 10.(25-26七年级上辽宁辽阳期末)一般地，从一个角的顶点引出的两条射线，把这个角分成三个相等 的角，这两条射线称为这个角的三等分线.如图，直角三角板AOB的直角顶点O在直线MN上，过点O作 射线OP,使∠AOP=10°，将三角板AOB绕点O在直线MN上方转动，若转动到OP是∠MOB的三等分线 时，∠BON的度数为 M O N 三、解答题 11. (25-26七年级上·山东济南·期末)元旦假期，小明和同学去大明湖公园游玩，他们登上超然楼俯瞰公 园.如图，点P为小明所在的超然楼，曾堤A在超然楼P的北偏西2O°的方向上，知春桥B在超然楼P的 南偏东80的方向上。 20122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 B (I)求从超然楼P看曾堤和知春桥的视角∠APB的度数： (2)东湖上有一条小船C在∠APB的平分线上，则小船C在超然楼P的什么方向上？ 12.(25-26七年级下山西临汾·阶段检测)某校七(1)班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副 含有45°角的直角三角板和含有30°角的直角三角板尝试完成探究. MA 0 DN M DN M DN 图1 图2 图3 (1)利用这副三角板可以画出一些特殊角，在①135°，②120°，③75°，④50°，⑤35°五个角中，利用一副 三角板画不出来的角是」 一·（填序号） (2)如图1，边OA,OD与直线MN重合，∠AOB=45°：∠COD=60°，则∠B0C的度数为 (3)保持三角板COD不动，将三角板A0B绕点0顺时针旋转一个角度a(0°<α<135). ①如图2，当∠AOD为直角时，∠BOC=】 ②如图3，在转对过程中，为线段DC上的一点，∠B0D-写B0D.若∠BOE+∠COE=123时，求a 的值 13.(25-26七年级下·吉林·期末)“时钟里的数学”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，时钟上的 时针和分针都绕其轴心顺时针旋转，分针每60分钟旋转一周(360°)，时针每60分钟旋转30°， 我们规定：旋转速度=旋转角度÷旋转时间， B B 3 -8 图1 图2 图3 21/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)分针的旋转速度为每分钟转 度，时针的旋转速度为每分钟转 度： (②)如图1，时钟的时间为1：00，我们可以理解成如图2的数学模型，将时针抽象为以钟表轴心0为端点的 射线OA、分针抽象为同端点的射线OB ①求经过多少分钟，射线OB与射线OA第一次重合： ②如图3，在1：00时，在OB的左侧作∠B0C=30°在1：00后、分针OB与时针OA旋转的过程中，OC保持 不动，OD平分∠BOC始终成立、直接写出，在1：00后、经过多少分钟，OA与OD第一次重合. 14.(25-26七年级上湖北武汉阶段检测)己知：∠A0B=90°，∠C0D=60°，0E平分∠A0C,OF平 分∠BOD E A 图1 图2 (①)如图1，∠COD的两边OC、OD都在∠AOB的内部，求∠E0OF的度数. (2)如图2，∠COD的两边OC、OD都在∠AOB的外部，求∠EOF的度数. 15.(24-25六年级上·上海阶段检测)如图，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平 分∠AOM和∠BON -D (1)若∠MON=150°，∠AOB=30°，求∠COD的度数 (②)请你猜想∠AOB,∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON=150°，∠AOB=30°，∠MOC=k∠AOC, ∠NOD=kZBOD,求∠COD的度数.（用含有k的式子表示计算结果） 22122 专题6.2 角 教学目标 1. 理解角的概念（静态定义与动态定义），掌握角的符号表示方法，发展符号意识与抽象能力。 2. 认识角的常用度量单位度、分、秒，会进行简单的换算与角度计算，能写出角的和与差关系式。 3. 理解平角、周角概念，能借助量角器量角的大小，体会图形运动与角形成的关系。 教学重难点 教学重点1. 角的概念理解与多种表示方法（三个大写字母、顶点字母、希腊字母或数字）的正确运用。 2. 角的度量单位（度、分、秒）的换算及角度的简单计算。 教学难点 1. 角的动态定义理解，尤其是平角、周角与射线、直线概念的区别辨析。 2. 度、分、秒六十进制进位与退位运算的熟练掌握，以及复杂图形中角的和差关系式的准确表述。 知识点01 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【即学即练1-1】（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）如图，图中的角共有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题考查了角的概念，解题的关键在于数角时，按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角）避免重复和遗漏． 【详解】解：按顺时针数，以为开始边的有，3个角； 以为开始边的有，2个角；以为开始边的有，1个角； 共有个角． 故选C． 【即学即练1-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，可以表示成或________，可以表示成________，可以表示成________或________． 【答案】 B BAD ACB 【分析】根据角的表示方法可得可以表示成或，可以表示成，可以表示成或，据此可得出答案． 【详解】解：根据角的表示方法可得可以表示成或， 可以表示成， 可以表示成或． 故答案为： 知识点02 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 【即学即练2-1】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）计算：________． 【答案】 【详解】解：． 知识点03 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【即学即练3-1】（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）如图，当7时30分时，时钟上的时针与分针的夹角为 _______ ． 【答案】45 【分析】由时针一小时走一大格，那个半小时走半个大格，然后根据时钟上一大格是，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：． 知识点04 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 【即学即练4-1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，射线OA的方向是东北方向，．求射线OB的方向． 【答案】射线的方向是南偏东 【分析】本题考查了方位角的计算与表示，根据方向角的定义，角度之间的互余关系计算得出结果，数形结合是解题的关键． 【详解】解：如图．∵射线的方向是东北方向， ∴． ， ∴， ∴，即射线的方向是南偏东． 知识点05 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【即学即练5-1】（25-26六年级下·山东泰安·期中）如图，是内任一条射线，、分别平分、，．求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义，推出，即可得出结果. 【详解】解：，分别是，的平分线， ，， ， ， . 知识点06 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【即学即练6-1】（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，直线与相交于点O，．若，求的度数． 【答案】 【分析】根据角的倍数关系与和差关系，求出的度数，再根据平角的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴． 知识点07 角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 【即学即练7-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则_____．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】题考查网格中角度的比较，掌握正方形网格的性质是解题的关键． 先连接小正方形对角线，根据小正方形的性质推出，直接比较即可求解． 【详解】解：如图，连接小正方形对角线， ∵、是小正方形的对角线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 知识点08 余角、补角 1.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 【即学即练7-1】（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）若，则的余角是______，补角是______． 【答案】 【分析】本题考查余角和补角的定义，解题的关键是掌握此知识点；根据余角和补角的定义，余角为减去已知角，补角为减去已知角，计算时需注意度分单位的换算，． 【详解】已知 余角计算： 补角计算： 故答案为和． 题型01 角的概念和表示 【典例1】（25-26七年级上·云南昆明·期末）如图，下列说法中不正确的是（　　） A．也可以用来表示 B．与是同一个角 C．以为顶点的角仅有和两个 D．不能用表示 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的概念和表示方法，解题的关键是掌握角的表示方法．根据角的表示方法逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 也可以用来表示，说法正确，故不符合题意； B. 与是同一个角，说法正确，故不符合题意； C. 以为顶点的角有，，，故该选项说法不正确，故符合题意； D. 以为顶点的角不止一个，所以不能用表示，故该选项说法正确，故不符合题意． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·天津·期末）如图，下列说法①与是同一个角；②也可以用表示③④可以看作射线绕着它的端点O旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点O的两条射线，组成的图形．其中正确说法的个数为（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查的是角的概念，角的两个基本元素中，解题时要善于排除一些似是而非的说法的干扰，选出能准确描述“角”的说法． 根据角的概念与性质，对选项进行一一分析． 【详解】解：①与是同一个角，说法正确； ②不可以用表示，说法错误； ③，说法正确； ④可以看作射线绕着它的端点旋转至而形成的图形，也可看作由有公共端点的两条射线，组成的图形，说法正确； 则其中正确说法的个数为个， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·自主招生）下图中几何图形共有________个角． 【答案】9 【分析】观察图形，该几何图形是一个五边形，内部有一条连接两个不相邻顶点的线段（对角线）. 数角时，需要分别数出每个顶点处的角，包括基本角和由基本角组成的组合角，对于没有被内部线段分割的顶点，只有1个角；对于被内部线段分割的顶点，有2个基本角和1个组合角，共3个角． 【详解】解：设五边形的顶点顺时针依次为（上）、（右）、（右下）、（左下）、（左）， 内部线段连接顶点和,在顶点处，有1个角：； 在顶点处，有1个角：； 在顶点处，内部线段将分为两个角，故共有3个角：、、； 在顶点处，有1个角：； 在顶点处，内部线段将分为两个角，故共有3个角：、、 综上所述，图中共有个角． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如图①，我们可以将角表示为___________或___________或___________． （2）如图②，共有___________个角，它们分别是___________． 【答案】 3 ，， 【分析】本题考查了角的相关概念，熟练掌握角的相关定义，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据角的表示方法并结合图形即可得解； （2）根据图形并结合角的相关定义即可得解． 【详解】解：（1）由图①可得，我们可以将角表示为或或， 故答案为：，，； （2）由图②可得，共有3个角，它们分别是，，， 故答案为：3；，，． 题型02 角的单位与角度制 【典例2】（25-26七年级上·江西上饶·期末）计算______． 【答案】 【分析】本题考查了角度的运算，根据度分秒的换算关系计算即可，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·四川成都·期末）计算___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角度的四则运算，熟练掌握度、分、秒之间的换算的关系是解题的关键． 根据度分秒的加法：相同单位相加，满60时向上一单位进1，可得答案． 【详解】解：． 故答案为： 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）单位换算： (1)； (2)　　　　　°； (3)； (4)________． 【答案】(1)2700 (2)1.3 (3)52，21，36 (4)49.5225 【分析】本题考查角度单位换算，涉及度、分、秒之间的相互转换．换算依据是：，，因此．进行换算时，度化分乘以60，分化秒乘以60，秒化度除以3600；小数度转换为度分秒时，整数部分为度，小数部分化分，再小数部分化秒． （1）根据度与分之间的换算依据计算即可； （2）根据秒与度之间的换算依据计算即可； （3）根据度、分、秒之间的换算依据计算即可； （4）根据度、分、秒之间的换算依据计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：2700； （2）解：， 故答案为：1.3； （3）解：， 故答案为：52，21，36； （4）解：，，， ， ∴． 故答案为：． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)___________°___________＇； (2)___________°； (3)___________； (4)___________． 【答案】(1)49；54 (2) (3) (4) 【分析】此题考查了度分秒之间的转换和角度的运算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． （1）将小数度转换为度分； （2）将度分转换为度； （3）进行角度加法，需从秒开始计算，满60进一位； （4）进行角度减法，不够减时需借位． 【详解】（1）解：， 故答案为：49；54． （2）解：， 故答案为：． （3）解： ， ， 故答案为：． （4）解：， 故答案为：． 题型03 钟面角 【典例3】（25-26六年级下·四川成都·期中）钟面上8点50分时，请问此时时针与分针所成夹角的度数为__________． 【答案】 【分析】根据分针每分钟转，时针每分钟转，分别计算点分时，分针和时针的角度，再计算角度差即可得到所求夹角． 【详解】解：∵点分时，分针对应的角度为， 时针对应的角度为， ∴时针与分针所成的夹角为． 【变式1】（25-26六年级下·山东淄博·期中）时钟上7点15分，时针与分针形成的角是__________ 度． 【答案】127.5 【分析】根据时钟上一大格是，时针1分钟转进行计算，即可解答． 【详解】解：7点15分时，分针在刻度3上，时针在刻度7后，从刻度3到刻度7有个大格，夹角为．时针在7点整的基础上额外转动了15分钟，角度为，所以两个指针的夹角为． 【变式2】（25-26七年级上·河南南阳·期末）颈椎不适的症状包括：酸胀、隐痛、发紧、僵硬等，而将两臂向上抬，举到10点10分处，每天连续走200米，能有效缓解此症状．这里的10点10分处指的是时钟在10点10分时，时针和分针的夹角（如图所示），则此时时针与分针的夹角是________． 【答案】 【分析】本题考查钟面角的计算，核心知识点是钟面每大格对应，分针每分钟转动，时针每分钟转动． 【详解】解：∵钟面一圈为，平均分成个大格， ∴每个大格的度数为；时针每分钟转动的角度为， ∴数字与数字2的夹角为，时针分钟转动的角度为=5°， ∴点分时，时针和分针的夹角为． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·全国·期末）某校上午大课间时间为，当时钟指向时，时针与分针的夹角为___________度；当时钟指向时，时针与分针的夹角为___________度；两个角相差___________度． 【答案】 【分析】本题考查钟面角，熟记钟面上大格与小格对应的度数、分针与时针移动速度是解决问题的关键． 计算时钟夹角需考虑时针和分针的位置，时针每小时移动，每分钟移动；分针每分钟移动，再由夹角范围是，并且取最小角度，从而按要求计算即可得到答案． 【详解】解：对于，时针在点到点之间，分针指向点，则时针与分针的夹角为； 对于，时针相对点位置的夹角为，分针相对点位置的夹角为，则两针夹角为； 两个夹角相差； 故答案为：． 题型04 与方位角有关的计算题 【典例4】（25-26六年级下·山东淄博·阶段检测）如图所示，是北偏东的一条射线，，则射线表示的方向是______． 【答案】北偏西 【分析】本题考查了方向角的定义及角度计算，解题的关键是明确北偏东方向角的含义，再利用角度之间的和差关系求出目标方向角；以北偏东为基准，结合，通过角度运算即可得出射线的方向角． 【详解】解：为北偏东方向的射线， 射线与正北方向的夹角为， ， 射线与正北方向的夹角为， 射线在正北方向的西侧， 射线的方向为北偏西． 【变式1】（25-26六年级下·山东淄博·阶段检测）如图，是点南偏西方向的一条射线，若，则的方向是______． 【答案】 南偏东 【分析】设正南方向为射线，根据角的和差关系求出的度数，从而确定射线的方向． 【详解】解：如图，设正南方向为射线 射线是点南偏西方向， ， ， ， 即射线的方向是南偏东． 【变式2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，射线平分，请你用上述描述方法描述射线的方向． 【答案】北偏东 【分析】本题主要考查了方向角与角平分线的应用，熟练掌握角的和差计算与角平分线的性质是解题的关键．先根据已知方向求出的度数，再利用角平分线的性质得到的度数，最后结合求出，从而确定射线的方向． 【详解】解：∵，，平分 ， ∴ ， ∵ 平分， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴射线的方向为北偏东 【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，且． (1)的度数是________； (2)若点B，O，D在同一条直线上，请用方位角表示的方向． 【答案】(1) (2)的方向是南偏东 【分析】本题考查的是与方位角相关的计算题； （1）由方位角可得，结合即可得到答案； （2）先求解，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵的方向是北偏东，的方向是北偏西， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵的方向是北偏西， ∴， ∵点B，O，D在同一条直线上， ∴ ∴的方向是南偏东. 题型05 角的比较 【典例5】（25-26七年级上·全国·期末）如图所示的网格是正方形网格，_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，熟练掌握网格特点是解题关键．如图（见解析），根据网格特点可得，，由此即可得． 【详解】解：如图，由网格特点可知，，， ∴． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）为了比较和的大小，小庆用尺规作图如下，由作图痕迹可以判断 __________（填“>”“<”或“=” 【答案】< 【分析】本题利用尺规作图的痕迹来比较两个角的大小，解题的关键在于理解尺规作图中角的复制原理以及角的大小比较方法，先根据尺规作图的痕迹，得出，再观察图②的一边和有公共边，并且的另一边落在的内部，根据角的大小比较的原理，可得出，最后通过等量代换可得到． 【详解】解：由作图痕迹可知，， ∵的一边落在的内部， ∴， ∴， 故答案为：<． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）比较图中、的大小：________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【分析】本题考查了角的大小比较．根据两角不重合的边的位置，判断得结论． 【详解】解：∵和是公共边，在的内部， ∴． 故答案为：<． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课堂例题）观察如图，用“＜”把连接起来． ______＜______＜______．    【答案】 【分析】根据角的大小比较即可得出答案．此题主要考查了角的概念，理解角的大小比较是解答此题的关键． 【详解】解：根据角的大小比较得：． 故答案为：，，． 题型06 三角板中角度计算问题 【典例6】（2026·北京·中考真题）如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：三角尺的直角顶点在直线上，且直角等于， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·浙江金华·期中）一副三角板按如图所示的方式摆放，且的度数是的2倍，则的度数为___________． 【答案】/30度 【分析】根据三角板摆放特征，得出、与直角的和为，再结合的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵、与三角板的直角组成一个平角， ∴， ∵的度数是的2倍，即， ∴， 解得． 【变式2】（25-26七年级下·山东烟台·期中）一副三角板如图摆放，其中，，与相交于点E，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·江西上饶·期中）已知两个分别含有角的一副直角三角板，如图被叠放在一起，使，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，主要利用了三角板的知识，以及同角的余角相等的性质，准确识图是解题的关键．由题意可知：，，结合题意得到，进而求出，由即可解答． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型07 角平分线的有关计算 【典例7】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，，是的平分线，，是的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于角平分线的计算．根据角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，再根据是的平分线，可得，即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知为直线上一点，，平分．若，求，的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及角的计算等知识点，先由已知求出，再由平分，得，再由，分别求得，的度数即可． 【详解】解：因为，， 所以， 又因为平分， 所以， 所以， 所以． 【变式2】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数． (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由如下 ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴平分． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，从而求出的度数； （2）运用角的和差关系求得，从而得到平分． 【详解】（1）∵，平分 ∴ ∴； （2）略 【变式3】（25-26六年级下·山东烟台·期中）已知，，平分，平分． (1)如图1，当射线与射线重合时，求的值； (2)如图2，当从图1开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转秒时（），在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若无变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】(1) (2)的值不变， (3)5 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，，，由角平分线的定义可得 ， ，即可解答； （3）根据题意可得 ，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵平分，平分，射线与射线重合，，， ∴ ， ， ∴； （2）解：的值不变，， 由题意，得， ∴，， ∴ ， ， ∴ ； （3）解：由（2）知， ， ， 解得，即的值为5． 题型08 角n等分线的有关计算 【典例8】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）通过本学期的学习，我们已经知道“如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等角，那么这条射线叫做这个角的平分线”．类似，我们规定：“如果从角的顶点出发的两条射线把这个角分成三个相等角，那么这两条射线都称为这个角的三等分线”．例如：如图，射线，在内，且，那么是的三等分线，也是的三等分线． (1)如图，，，判断是否是的三等分线，并说明理由． (2)在（）的条件下，若是的三等分线，求的度数． (3)在（）的条件下，如图，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，到达后停止．在射线出发秒后，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，到达后立即绕逆时针旋转，速度不变，到达后停止运动．当从出发时，开始计时，设时间为秒．当为的三等分线时，直接写出的值． 【答案】(1) 解：是的三等分线，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的三等分线； (2)的度数为或； (3)的值为或或或． 【分析】本题考查了角度和差，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，再根据“三等分线”即可求解； （）由（）得，，然后分当，当两种情况求解即可； （）依题意得，，当未到达时，则，分当时，当时，当从转向且未达到时，则，再分当时，当时，当从转向且已达到时，此时，再分当时，当时，分别列出方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（）得，， 如图，当， ∴； 如图，当， ∴； 综上可得：的度数为或； （3）解：依题意得，， ∴， 当未到达时，即，则， 当时，即， ∴，解得：； 当时，即， ∴，解得：； 当从转向且未达到时，即，则， 当时，即， ∴，解得：（舍去）； 当时，即， ∴，解得：； 当从转向且已达到时，即，则，此时， 当时，即， ∴，解得； 当时，即， ∴，解得（舍去）； 综上可得：的值为或或或． 【变式1】（25-26七年级上·山东济宁·期末）如图1，在内部画一条射线，将分成，两个角（所有角均为大于且小于的角）． (1)若射线是的一条三等分线（），则与的数量关系是___________： (2)若，射线分所成的两个角中，其中一个角与另一个角的差等于，求的度数； (3)如图2，射线平分，过点再作一条射线，使得在内部，且．若与的和比多，求的度数． 【答案】(1) (2)C的度数为或 (3) 【分析】此题考查了角的和差计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三等分线的定义求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别根据题意求解即可； （3）设，表示出，然后由角平分线得到，，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵射线是的一条三等分线（） ∴； （2）解：①当时，． ． ， ． ． ②当时，． ． ， ． ． 综上所述：的度数为或； （3）解：如图，设． ∵OC平分 ， 与的和比多， 解得 ． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知内部有三条射线，OE平分，OF平分． (1)若，求的度数； (2)若将条件中的“OE平分，OF平分”改为“，”，且，求的度数． 【答案】(1)45°； (2)． 【分析】本题主要考查角的平分线以及角的和差关系的应用，通过角平分线的性质或给定的角的比例关系，结合已知角的度数或表达式来求解的度数． 【详解】（1）解：∵平分，OF平分 ∴， ∴ ∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ 【变式3】（25-26七年级上·重庆奉节·期末）小刚同学在学习了角及其平分线后对角的计算和动态角产生了浓厚的兴趣，我们都知道若是内一条射线，当，则称射线是的角平分线．于是联想到若是内一条射线，当或，则称射线是的三等分线．（本题中所研究的角都是大于且小于的角） (1)如图1，已知，若是的三等分线，则______； (2)如图2，射线平分，是的三等分线，射线在的内部，且，若，求的度数； (3)如图3，已知，射线平分，射线绕着点O以每秒的速度顺时针从射线旋转到的位置，设运动时间为t秒，若是的三等分线，且，请直接写出在旋转过程中满足条件的所有t的值． 【答案】(1)或． (2)或 (3)和 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中的角度计算，一元一次方程的应用．掌握三等分线的定义是解题的关键． （1）根据三等分线的定义求解即可． （2）设，利用角平分线的定义和角的和差关系得出，再根据三等分线的定义分两种情况求解即可． （3）由角平分线的定义得出，设运动时间为t秒，则，，，再根据三等分线的定义分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵是的三等分线， ∴， 或， 此时． 故答案为：或． （2）解：设，则， ∵射线平分， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∵是的三等分线，分两种情况∶ 当靠近，则， ∴． 当靠近，则， 则． 故答案为∶或． （3）解：∵，平分， ∴， 设运动时间为t秒，则，，， ∵是的三等分线， ∴分两种情况： 当靠近，， 则， 代入， 如图：当时，， 即， 解得（不符合题意舍去） 如图：当时，， 则， 解得（不符合题意舍去） 当靠近，则， 则， 代入， 如图：当时，则， 即， 解得． 如图：当时，， 则， 解得． 综上： 满足条件的所有t的值为和． 题型09 求一个角的余角 【典例9】（25-26七年级上·河南郑州·期末）一个角的补角是，则这个角的余角为 ___________． 【答案】/35度 【分析】先根据补角定义求出原角的度数，再根据余角定义计算余角的度数. 【详解】解：∵ 互为补角的两个角的和为，这个角的补角是， ∴ 这个角的度数为 ， ∵ 互为余角的两个角的和为， ∴ 这个角的余角为 . 【变式1】（25-26七年级上·贵州黔西南·阶段检测）一个角的度数为，则这个角的余角的度数为______． 【答案】/70度 【详解】解：根据互余角的数量关系，可得这个角的余角为． 【变式2】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）一个角的补角是，则这个角的余角的度数是________． 【答案】 【分析】根据补角定义求出原角的度数，再根据余角定义计算余角，注意度分的进率为，借位计算时1度换算为60分． 【详解】解：∵ 已知这个角的补角是，互补两角的和为， ∴ 这个角的度数为 ， ∵ 互余两角的和为， ∴ 这个角的余角的度数为 ． 【变式3】（25-26七年级下·山西晋中·期末）若一个角的度数为，则它的余角的大小是______． 【答案】/40度 【分析】互为余角的两个角的和为，据此求解． 【详解】解：已知该角的度数为，它的余角为． 题型10 求一个角的补角 【典例10】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知，则的补角等于______． 【答案】145 【详解】解：∵， ∴的补角． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）若一个角是，则它的补角为________． 【答案】/130度 【分析】根据补角的定义，互为补角的两个角之和为． 【详解】解：由补角的定义可知，该角的补角为． 【变式2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）已知，则的补角是________°． 【答案】 【详解】解：的补角是． 【变式3】（25-26七年级下·广东梅州·期中）若，则的补角等于_______． 【答案】 【分析】根据互为补角的两角之和为，结合度分换算规则计算即可得到答案. 【详解】解： ， ∴的补角等于 . 一、单选题 1．（25-26九年级下·江苏南通·阶段检测）如图，上午8：30，时针与分针的夹角是（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 【答案】A 【分析】求出时时针和分针的位置，计算夹角即可． 【详解】解：分针每分钟转过 ， ∴从8点到8点30分分针转过， 时，分针指向数字6， 钟面被分成12个大格，每格为 ， 时针每小时走1个大格， ∴时针每分钟转动 ， 从8点到8点30分时针转过了， 时，时针位于数字8和9的正中间， 此时时针与分针的夹角为 ． 故选A． 2．（25-26七年级下·四川泸州·期中）如图，点A处的轮船位于航标灯点O的方向是（    ）． A．南偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．南偏西 【答案】B 【分析】根据方位角的定义及表示即可解答． 【详解】解：由图知，点A处的轮船位于航标灯点O的方向是北偏西． 3.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，给出下列说法：①和是同一个角；②和是同一个角；③和是同一个角；④和不是同一个角．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】角是由有公共的端点的两条射线组成的图形，注意是同一个角必须满足：（1）顶点相同；（2）两边所在的射线相同． 【详解】解：根据角的定义可知： ①与满足顶点相同，两边所在的射线相同．和是同一个角，说法正确，符合题意； ②和满足顶点相同，两边所在的射线相同．和是同一个角，说法正确，符合题意； ③和的顶点相同，两边所在的射线不相同．和不是同一个角，说法错误，不符合题意； ④和的顶点不相同，两边所在的射线也不相同．和不是同一个角，说法正确，符合题意． 说法正确的有三个， 故选：C． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，为直角，是的平分线，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可求得，进而由角平分线的定义求得，即可求解． 【详解】解：∵为直角，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 二、填空题 5．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）计算： ______． 【答案】 【分析】根据度分秒的减法运算法则进行计算． 【详解】解： ． 6．（2024七年级下·广东东莞·竞赛），它的余角度数是___________，它的补角度数是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查余角和补角，利用余角的定义与补角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角的度数是； 的补角的度数是． 故答案为：；． 7．（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，若，则等于_____． 【答案】/度 【分析】本题考查了角度的和差运算，掌握角度的和差运算是解题关键． 利用直角，先计算，再计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴， 故答案为： ． 8．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）如图，直线，相交于，平分，，则与的夹角是______度． 【答案】 70 【分析】根据角平分线的定义，求出的度数即可. 【详解】解：∵直线，相交于，平分，， ∴， 故与的夹角是. 三、解答题 9．（2025七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的计算，解题的关键是牢记角的化简，注意角的书写形式，根据，求解即可． （1）将度、分、秒分别计算再相加即可； （2）按照分不足则取化为再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26七年级上·广东河源·期末）把一副三角尺按如图1所示拼在一起． (1)__________，__________； (2)如图2，已知线段，请用尺规作一条线段，使．(保留作图痕迹，不要求写作法) 【答案】(1)，； (2) 如图所示． 【分析】本题考查了三角尺的角度特征、角的和差运算以及尺规作线段的基本方法，关键是熟记三角尺的固定角度，掌握角的和差计算法则和尺规作线段和的操作步骤． （1）是先明确等腰直角三角尺和含角的三角尺的固有角度，再结合图形中角的位置关系，用与的和计算，利用平角为，用减去计算，通过角的和差运算得到结果． （2）依据线段和的定义，先作一条射线，再用圆规在射线上依次截取长度为和的首尾相接的线段，最终从射线端点到最后一个截取点的线段即为所求的线段，操作过程中保留好尺规作图的痕迹即可． 【详解】（1）解：∵一副三角尺中，等腰直角三角尺的，含角的三角尺的， ∴； ∵等腰直角三角尺的， ∴； 故答案为：，． （2）解：①作射线； ②用圆规在射线上截取； ③以点为端点，在的延长线上截取； 则线段即为所求作的线段． 11．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）已知，，射线平分． (1)如图1，当射线、均在内部时，若，求的度数； (2)如图2，当射线在内部、射线在外部时，若，求的度数．（用含的代数式表示，并将结果化为最简．） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度间的数量关系，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义． （1）先根据角度间的数量关系求出，在根据角平分线定义求出，最后根据角度间的数量关系，求出结果即可； （2）先根据角度间的数量关系求出，在根据角平分线定义求出，最后根据角度间的数量关系，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26七年级上·江西南昌·期末）如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等分角问题，角的和差； （1）由为的三等分线，得 ，或，即可求解； （2）由角的和差得，，即可求解； 能根据角的等分线不确定性分类求解，用已知角的和差表示所求角是解题的关键． 【详解】（1）解：为的三等分线， ， 或 ， ， 或； 故的度数为或； （2）解：∵， ， ∴， ， ∴ ． 一、单选题 1.（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，在内部作了一条射线，下列说法正确的是.（   ） A．可以用表示 B．这条射线记作射线 C．与是同一个角 D． 【答案】C 【分析】本题考查了射线和角的表示方法，角的和差等知识．根据射线和角的表示方法、角的和差即可判断求解，掌握射线和角的表示方法是解题的关键． 【详解】解：A、不可以用表示，该选项错误，不合题意； B、这条射线记作射线，该选项错误，不符合题意； C、与是同一个角，该选项正确，符合题意； D、，该选项错误，不合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）如图，射线的方向是北偏西，若，则射线的方向是（   ） A．南偏西 B．西偏南 C．东偏北 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：如图， 由题意知，， ∴射线表示的方向是南偏西， 故选：A． 3．（25-26七年级上·山西大同·期末）如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图中射线经过角的一边，图中射线经过角的一边，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是结合图形，利用已知角作为中间量． 根据两个图得到角在内，角在外，即可比较大小． 【详解】解：由图1可知：角在内，即， 由图2可知：角在外，即 ∴， ∴， 故选A． 4．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． ． 5．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）一副三角板如图摆放，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度运算，熟练掌握角的和差是解题的关键； 利用角的和与差推出，由题意得，，即可解答． 【详解】解：由图可知， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级上·广东东莞·期末）一个角是，则它的余角是_______，补角是 ___________． 【答案】 【分析】此题考查了余角和补角，关键是掌握：如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角． 根据互余两角之和是，互补两角之和是求解即可． 【详解】解：它的余角为：， 它的补角为：． 故答案为：①，②． 7．（25-26七年级上·广东河源·期末）如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，若平分，则的方向是_________． 【答案】北偏东 【分析】根据方位角的定义，求得，由角平分线的定义，求得，最后由方位角的定义得出答案． 【详解】解：∵的方向是北偏东的方向是北偏西， ， 平分， ， ， ， ∴的方向是北偏东． 8．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）如图，直线上有一点O，作射线，使得，在同一平面内将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，，若始终在的内部，则______． 【答案】36 【分析】由角的和差得，由补角的定义得，即可求解． 【详解】解：因为 ， ， 所以 ． 9．（24-25九年级下·河南信阳·阶段检测）如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·辽宁辽阳·期末）一般地，从一个角的顶点引出的两条射线，把这个角分成三个相等的角，这两条射线称为这个角的三等分线．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使，将三角板绕点在直线上方转动，若转动到是的三等分线时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角三等分线的定义，根据题意分当靠近时在外部，当靠近时在外部，当靠近时在外部，当靠近时在外部，四种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当靠近时，则， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当靠近时，则， ∴， ∵， ∴； 当靠近时，则或 ∴或，此时均不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26七年级上·山东济南·期末）元旦假期，小明和同学去大明湖公园游玩，他们登上超然楼俯瞰公园．如图，点P为小明所在的超然楼，曾堤A在超然楼P的北偏西的方向上，知春桥B在超然楼P的南偏东的方向上． (1)求从超然楼P看曾堤和知春桥的视角的度数； (2)东湖上有一条小船C在的平分线上，则小船C在超然楼P的什么方向上？ 【答案】(1)的度数为 (2)小船在超然楼的北偏东方向上 【分析】本题考查了方向角与角平分线的应用，解题的关键是根据方向角的定义，准确计算出的度数，再利用角平分线的性质求出小船的方向角． （1） 根据方向角的定义，分别求出和，再利用方向角与直角的性质计算； （2） 先求出的度数，再计算的度数，从而确定小船的方向． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴，又， ∴． 答：的度数为． （2）解：平分， ， ∴． 答：小船在超然楼的北偏东方向上． 12．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)利用这副三角板可以画出一些特殊角，在①，②，③，④，⑤五个角中，利用一副三角板画不出来的角是______．（填序号） (2)如图1，边，与直线重合，；，则的度数为______． (3)保持三角板不动，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度． ①如图2，当为直角时，______． ②如图3，在转动过程中，E为线段上的一点，．若时，求的值． 【答案】(1)④⑤ (2) (3)①；② 【分析】（1）利用三角板的角度性质将各选项的角逐一进行组合，无法组合即为不能画出的角； （2）根据平角的定义及角的和差，即可得出答案； （3）①利用角的和差关系，即可得出答案； ②根据，得到，从而，进而得出，，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，含有角的直角三角板和含有角的直角三角板，其对应的角度分别为：、、，、、， ①，利用一副三角板能画出角； ②，利用一副三角板能画出角； ③，利用一副三角板能画出角； ④一副三角板的角度无论如何组合都无法组成，利用一副三角板不能画出角； ⑤一副三角板的角度无论如何组合都无法组成，利用一副三角板不能画出角． 综上所述，利用一副三角板画不出来的角是④⑤． （2）解：∵，， ∴． （3）解：①∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·吉林·期末）“时钟里的数学”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，时钟上的时针和分针都绕其轴心顺时针旋转，分针每分钟旋转一周（），时针每分钟旋转． 我们规定：旋转速度旋转角度旋转时间． (1)分针的旋转速度为每分钟转__________度，时针的旋转速度为每分钟转__________度； (2)如图1，时钟的时间为，我们可以理解成如图2的数学模型，将时针抽象为以钟表轴心为端点的射线、分针抽象为同端点的射线． ①求经过多少分钟，射线与射线第一次重合； ②如图3，在时，在的左侧作在后、分针与时针旋转的过程中，保持不动，平分始终成立、直接写出，在后、经过多少分钟，与第一次重合． 【答案】(1) (2)①经过分钟后，射线与射线第一次重合；②经过分钟，与第一次重合 【分析】（1）根据分针转一圈为，分钟以及时针转一圈为小时求解即可； （2）①设经过分钟后，射线与射线第一次重合，根据（1）的结果将的旋转角度表示出来，再根据两者之间的关系列式求解；②根据题意将的旋转角度表示出来，再根据两者之间的关系列式求解． 【详解】（1）解：分针转一圈为，分钟， ∴分针的旋转速度为每分钟转； 时针转一圈为小时， ∴时针的旋转速度为每小时转， 则时针的旋转速度为每分钟转． （2）解：①在时，时针与分针之间的夹角为， 设经过分钟后，射线与射线第一次重合， 由题意列式为：， 解得， ∴经过分钟后，射线与射线第一次重合 ②在时，时针与分针之间的夹角为， 设经过分钟，与第一次重合， ∵，每分钟旋转，每分钟转， ∴当与第一次重合时， 旋转度，旋转度， 此时， ∵平分始终成立， ∴， 在时，， ∴以点的位置为起始位置，运动的角度为， ∵与重合， ∴，解得， ∴在后、经过分钟，与第一次重合． 14．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知：，，平分，平分． (1)如图1，的两边、都在的内部，求的度数． (2)如图2，的两边、都在的外部，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的和差倍分关系，掌握余角，补角，角平分线的关系是解题的关键． （1）根据图示，平分，平分，得，由此即可求解； （2）根据图示，平分，平分得，根据周角求出，由此即可求解． 【详解】（1）解：、分别平分，， ，， ， ； （2）解：， 、分别平分，， ，， ，且，， ， ， ， 即， ， ． 15．（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数 (2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案） (3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线，角的计算，掌握角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义以及角之间的和差关系进行计算即可； （2）由（1）的计算过程可得结论； （3）根据角的倍数关系进行计算即可． 【详解】（1）解：∵射线和射线分别平分和． ， ． （2）解：， ∵射线和射线分别平分和． ， ， 即； （3）解：， ， 又 ∵， ， ． 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