专题6.3 相交线（14题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本讲义聚焦相交线核心知识点，从相交线与平行线的概念入手，系统梳理对顶角的定义与性质、垂线的概念及基本事实、垂线段最短性质与点到直线距离的意义，构建从概念到性质再到应用的学习支架。 资料通过“即学即练”结合“典例+变式”设计，以生活实例（如跳远成绩测量）培养几何直观与应用意识，通过对顶角性质推理训练发展推理能力。课中助力教师分层教学，课后练习题覆盖基础与综合应用，帮助学生查漏补缺，强化知识理解与运用。

品学科网·上好课 相交线 教学目标 学习目标 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题6.3相交线 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01相交线、平行线 知识点02对顶角 知识点03垂线概念和性质 2.知识清单 知识点04点到直线的距离 知识点05邻补角 题型01平面内两直线的位置关系 题型02对顶角的定义 题型03利用对顶角相等求角 题型04对顶角、余角、补角的综合 题型05与对顶角、余角、补角有关的旋转综合问题 题型06与对顶角、余角、补角有关的新定义综合问题 题型07垂线的定义的理解 3.题型精讲 题型08垂线段最短 题型09画垂线 题型I0点到直线的距离 题型1利用垂线的定义求角的度数 题型12利用垂线的定义求旋转问题 题型3找邻补角 题型14利用邻补角互补求角度 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.了解对顶角概念，掌握对顶角性质，能识别对顶角并进行相关计算。 2.理解垂直概念与垂线基本事实，会用符号表示垂直，能用工具画垂线。 3.理解垂线段最短的性质与点到直线距离意义，会度量距离并解决简单实际问题。 教学重点 1. 对顶角的概念与性质（两直线相交，对顶角相等）的理解与运用。 2.垂线的概念及“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实；垂线段最 短性质。 教学重难点 教学难点 1.运用“同角的补角相等”完成对顶角相等的推理，区分对顶角与其他相等角的概念 差异。 2.画垂线的方法及垂线性质的应用；理解“点到直线的距离”这一抽象概念，并在综 合情境中灵活运用。 知识清单 知识点01相交线、平行线 1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线 CD相交于点O D 、0 2.平行线：在平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 【即学即练1-1】(24-25七年级下·全国·课后作业)在同一平面内，两直线与n满足下列条件： (1)m与n没有公共点，则m与n一： (2)m与n有且只有个公共点，则m与n相交： (3)m与n有无数个公共点，则m与n一· 知识点02对顶角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个 角叫做对项角. 2/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.对顶角的性质：对顶角相等 【即学即练2-1】(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)如图，直线AB、CD相交于O,且∠BOC=160°， 则∠AOD的度数为() A D C B A.150° B.160° C.40° D.100° 知识点03 垂线概念和性质 1.垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的 条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直如下 图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD,垂足为O.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角 (90°的角)可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角） 2.垂直的性质：(1)平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直. (2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短： 【即学即练3-1】(25-26七年级下河北唐山期末)如图，点A,B，C,D,M均为同一平面内的点， 若MN⊥AD,则点N的位置可能在() D B ·M A.点A处 B.点B处 C.点C处 D.点D处 【即学即练3-2】(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末)如图，已知直线AB,CD相交于点O,且 OG⊥CD.若∠BOD=36°，则∠AOG= 3/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点04 点到直线的距离 点到线的距离：如下图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B,则线段AB的长度叫做点A到直线的 距离，此时线段AB叫垂线段 【即学即练41】(25-26七年级下广西桂林期末)若点P在直线1外，点A、B在直线1上，PA⊥1， PA=3cm,PB=5cm,则点P到直线I的距离是 cm 【即学即练42】(26-27八年级上海·暑假作业)如图所示，在△ABC中，∠B=90°，BC=6,AB=8, AC=10,则点B到AC的距离是 B 知识点05 邻补角 1.位置关系：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线（即这两条边在同一条直线上，且方 向相反)。 2.数量关系：两个角的和为180°（互补）。 【即学即练51】(25-26七年级下·河北廊坊阶段检测)如图，直线AB,CD与EF相交于点O,在 ∠COF和∠COB中，是∠AOC的邻补角的是 B D 【即学即练5-2】(25-26七年级上·全国课后作业)如图，直线AB、CD、EF相交于点O,则图中邻补 角共有 对. 4/28 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01平面内两直线的位置关系 【典例1】(24-25七年级上全国课后作业)下列生活实例：①交通路口的斑马线：②天上的彩虹；③百 米跑道线；④一段平直的火车铁轨线.其中属于平行线的有 一.（填序号） 【变式1】(2425七年级下·江西景德镇期中)一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①② 两处的知识：① ②】 ① 特殊情况 ② 在同一平面内，两条 不重合的直线的位 置关系。 平行 【变式2】(24-25七年级下·山东聊城阶段检测)如图，从正方形ABCD中写出互相平行的边：一 B 【变式3】(24-25七年级下·重庆长寿阶段检测)在同一平面内，两直线L与L2相交点A,如果LL, 那么2与L的位置关系是相交，这是因为 题型02对顶角的定义 【典例2】(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是() 5/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “ 【变式1】(25-26七年级下广东广州期末)如图，∠1与∠2是对顶角的是() C.-A D. 【变式2】(25-26七年级下北京昌平·期末)下图中，∠1和∠2互为对顶角的是() A 【变式3】(25-26七年级下河北邢台期中)如图，己知直线AB及射线0C,∠B0●与∠A0C是对顶角， 借助直尺判断被墨迹覆盖的字母是() M. N. P 板 o. B A.M B.N C.P D.O 题型03 利用对顶角相等求角 【典例3】(25-26七年级下·河北唐山期末)如图，两根木条a,b相交于一点，若∠1=40°，则∠2的度 数为 6/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【变式1】(25-26七年级下山东烟台期末)如图，请你观察，∠1的度数约为. .10 【变式2】(25-26七年级下上海浦东新期末)如图，直线AB、CD相交于点0，若∠1=40°，∠2=120°， 则∠COM的度数为. 【变式3】(25-26七年级下河北沧州期末)如图，直线4，b相交于点0，将量角器的中心与点0重合， 发现表示.45°的点在直线a上，表示120°的点在直线b上，则∠1的度数为一 b 题型04对顶角、余角、补角的综合 【典例4】(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，已知直线AB与CD交于点O,OE是AB上方的 条射线，若∠BOD与∠BOE互余，且∠BOE=4∠BOD B D (1)求∠AOC的度数： (2)若OF平分∠AOE,求∠COF的度数， 【变式1】(25-26七年级下山西大同·期末)如图，直线AB,CD相交于点O,E0⊥CD于点O. 7/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B (1)若∠BOE=45°，求∠AOC的度数： (2)若∠AOC:∠BOE=2:3,求∠AOE的度数： 【变式2】(25-26七年级下江西吉安·期末)如图，直线AB、CD相交于点O,OD平分∠BOF, OE⊥CD于O D (1)∠EOB的余角是 (写出图中所有符合要求的角) (2)若∠E0F=136°，求∠A0C的度数. 【变式3】(24-25七年级下·四川南充阶段检测)如图，直线AB与DE相交于点O, ()若∠BOD与∠BOC互为余角，且∠BOD=20°，求∠AOC-∠BOD的值： (2)若OC平分∠BOE,∠B0C=2∠BOD,求∠COE的度数. 题型05与对顶角、余角、补角有关的旋转综合问题 【典例5】(24-25七年级上浙江杭州期末)综合探究：探究旋转过程中角度之间的关系. 己知点O是直线AB上一点，∠COD=90°.现将直角三角尺EOF的直角顶点放在点O处，并绕着点O旋 转. 8/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -0 B 图1 图2 图3 ()如图1，OF落在直线AB上，若∠DOE=60°，求∠COF的度数. (2)将直角三角尺EOF旋转至图2所示的位置，请判断∠DOE和∠COF是否互补，并说明理由， (3)将直角三角尺EOF旋转至图3所示的位置，若OE平分∠AOC,∠COF=P,求∠BOD的度数.（用 含B的代数式表示) 【变式1】(24-25七年级上·贵州黔东南阶段检测)综合与实践 [问题情境]利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化. [操作发现]如图(1)所示，∠A0B=∠COD=90°且两个角重合. A 4(C) (D) B 图(1) 图(2) 图(3) (1)将∠COD绕着顶点O顺时针旋转45°，如图(2)所示，此时OB平分；∠BOC的余角有个（本身除外）， 分别是： [实践探究] (2)将∠COD绕着顶点O顺时针继续旋转到如图(3)所示位置，若∠BOC=45°，射线OE在∠BOC内部， 且∠BOC=3∠BOE.请探究： ①∠BOC的补角有_个，分别是_； ②求∠DOE的度数. 【变式2】(24-25七年级上海南省直辖县级单位期末)已知O为直线AB上的一点， ∠COE=90°，AB⊥MN 9/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 图① 图② 图③ ()如图①，以O为观察中心，射线OA表示正北方向，ON表示正东方向. ①若∠AOE=20°，则射线OE的方向是 ②∠AOE与∠CON的关系为 ③∠AOC与∠EON的关系为 (2)若将射线OC、射线OE绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线OF恰好平分∠COM.若 ∠AOF=24°，求∠EOF的度数： 3)若将射线OC、射线OE绕点O旋转至如图③所示的位置，射线OF仍然平分∠COM,∠CON与∠AOF之 间存在怎样的数量关系？请说明理由， 【变式3】(24-25七年级上陕西西安·阶段检测)综合与实践 活动课上，老师让同学们利用三角板进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展空间观念，并积累了 数学活动经验， 【问题背景】如图1，将一个含30°，60°角的直角三角板ABC按如图所示摆放，∠BAC=30°，斜边AB与 直线MN重合.将三角板ABC绕点A按每秒I0°的速度逆时针旋转一周，射线AD始终平分∠CAM.设旋 转时间为t秒， 【问题探究】 D M B N M (1)当t=0时，∠CAD=一： (2)如图2，在旋转的过程中，当∠BAD在直线MN上方且等于90°时，请求出t的值： (3)在旋转的过程中，是否存在某一时刻t,使得射线AB平分∠DAN,若存在，求出旋转时间t;若不存 在，说明理由. 题型06与对顶角、余角、补角有关的新定义综合问题 10/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例6】(25-26七年级上：陕西咸阳期末)【定义新知】 从一个锐角a(45°<α<90)顶点出发在角的内部引一条射线，把a分成两个角，若其中一个角与a之和为 90°，则这条射线叫做锐角α的巧分线，这个角叫做锐角的巧分角. 图1 图2 图3 【理解运用】 (1)如图1，∠A0B=70°，∠AOC=50°，请判断OC是否为∠AOB的巧分线，并说明理由； 【拓展延伸】 (2)如图2，∠EOB是平角，∠BOC是∠AOB的巧分角，∠AOD=90°，试说明∠DOE=∠BOC: (3)如图3，在(2)的条件下，若OF是∠A0B的平分线，∠DOE=14°，求∠COF的度数. 【变式1】(25-26七年级上北京期末)已知∠A0C+∠B0C=90°，我们定义：如果∠A0C=k∠B0C(k为 正整数)，那么称∠AOC是∠BOC的“倍锐角”. C C 030 0160° B B 图1 图2 (I)下列三个条件中，能判断∠AOC是∠BOC的“倍锐角”的是 (填写序号)： ①∠BOC=15°：②∠A0C=70°：③OC是∠AOB的角平分线. (②)如图1，当∠BOC=30°时，在图中画出∠BOC的“倍锐角”∠AOC: (3)如图2，∠B0C初始度数为60°，射线OB绕点O逆时针逐次旋转，每次旋转25°，己知此过程中存在 “倍锐角”∠AOC,那么所有可能的∠AOC=°. 【变式2】(25-26七年级下河北张家口期中)定义：从∠α(90°<α<180)的顶点出发，在角的内部作一 条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠互为补角，则称该射线为∠α的“好线”·如图， 点O在直线AB上，OCOD在直线AB上方，且OC⊥OD,射线OE是∠AOD的“好线”. A O B (1)若∠BOD=25°，且OE在∠COD内部，求∠COE的度数： 11/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若OE恰好平分∠AOC,求∠BOD的度数： (3)若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，直接写出∠EOF与∠DOG的数量关系. 【变式3】(25-26七年级上江苏无锡期末)定义：从∠α(90°<a<180)的顶点出发，在角的内部作一条 射线，若该射线将∠分得的两个角中有一个角与∠a互为补角，则称该射线为∠0“的“好线”.如图，点 O在直线AB上，OC、OD在直线AB上方，且OC⊥OD,射线OE是∠AOD的“好线”. D B ()若∠B0D=26°，且OE在∠C0D内部，则∠COE=_°； (②)若OE恰好平分∠AOC,请求出∠BOD的度数： (3)若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，请画出图形，探究∠EOF与∠DOG的数量关系， 并说明理由， 题型07 垂线的定义的理解 【典例7】(25-26七年级下辽宁大连期中)如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,若 ∠E0C=135°，则∠AOC的度数为() A,65° B.55o C.45° D.35° 【变式1】(25-26七年级下·广西南宁·期中)如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用 率最高.春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角B为54°，若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角 c度数是() 12/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 集热板 太阳光线 支 架 水平面 A.90° B.54° C.36° D.无法确定 【变式2】(25-26七年级下·北京期末)如图，直线AB,CD交于点0，且OE⊥AB于点0.若∠1=35°， 则∠2的度数是 D 0人2 【变式3】(25-26七年级下上海普陀期中)如图，直线AB,CD交于点O,OE⊥CD,如果 ∠BOE=59°，那么直线AB,CD的夹角是一°. A- D B 题型08 垂线段最短 【典例8】(25-26七年级下·青海玉树·期末)如图，在某河流边缘点P处向对面修建一座桥，图中PA、 PB、PC、PD四种修建方案中，使用材料最省的是PB,理由是 D A B C D 【变式1】(25-26七年级下·山西吕梁·期末)数学源于生活，用于生活.我们要会用数学的眼光观察现实 世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，如图所示，体育课上老师测量跳远 成绩时，测量线段AB的长度即可，这样做的数学道理是 13/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 起 跳 线 B 测量跳远成绩 【变式2】(25-26七年级下·内蒙古通辽期末)如图，要在河岸1上建一个水泵房引水到A处，图中有4处 (即C,B,D,E处)可供选择，为节省水管材料，应选择将水泵房建在 处，依据是 D 【变式3】(25-26七年级下广东茂名·期末)如图，要把河中的水引到水池M中，先过点M作MN垂直 河岸I,垂足为N,然后沿MN挖渠，这样做的依据是 M 题型09 画垂线 【典例9】(2025七年级上全国专题练习)过点P作AB的垂线. A B (1) ●P A (2) ·P B 14/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3) B (4) B 【变式1】(25-26七年级上全国课后作业)(1)在图1上过A点画出直线BC、直线AC的垂线. (2)在图2上过B点画出直线AC的垂线，过C点画出直线AB的垂线. A B 图1 图2 【变式2】(25-26七年级下山西晋中期中)如图，P是∠AOB的OB边上的一点，点A、O、P都在格点 上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母. B (I)过点P画OB的垂线，交OA于点C;过点P画OA的垂线，垂足为D; (2)填空： ①线段 的长度表示点P到直线OA的距离； ②PC PD;(填“>”“<”或“=”) 【变式3】(25-26七年级下北京期中)如图，四边形ABCD中，AD∥BC D 15/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)画线段CE⊥AB,垂足为E,画直线DF⊥BC,垂足为F;测得点C到AB的距离为 cm(精 确到lcm);测得点C到DF的距离为」 cm(精确到lcm). (②)连接CA,不测量比较下列两条线段的大小：CE CA(用“>”或“<”或“=”填空)依据 是 题型10 点到直线的距离 【典例10】(25-26七年级下·辽宁沈阳期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD1AB,垂足为D, BC=8,CD=4.8,AC=6,那么点C到AB的距离为 【变式1】(25-26七年级下四川达州阶段检测)如图，A,B,C,D四点在直线1上，点M在直线I外， MC⊥1，若MA=5cm,MB=4cm,MC=2cm,MD=3cm,则点M到直线I的距离是 A B 【变式2】(24-25七年级下北京期中)作图题：如图，四边形ABCD中，AD‖BC. (I)画线段CE⊥AB,垂足为E;则点C到AB的距离为线段_的长度： (2)连接CA,并比较下列两条线段的长度：CE_CA(用“>”或“<”或“=”填空)依据是_ 【变式3】(24-25七年级下全国课后作业)如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°， BC=8,AC=6,AB=10 (I)点B到AC的距离是 ;点A到BC的距离是 16/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)画出表示点C到AB的距离的线段，并求出这个距离. 题型11利用垂线的定义求角的度数 【典例11】(25-26七年级下陕西西安·期中)如图，点O是直线AB上一点，C01OD于点O,OE平分 ∠BOC,若∠AOC=40°，求∠DOE的度数. B 【变式1】(25-26七年级下~陕西榆林期末)如图，直线AB、CD相交于点O,OM平分∠BOD M B (1)写出∠BOD的对顶角： (2)若∠A0C=36,ON⊥OM,点N在直线AB下方，求∠CON的度数. 【变式2】(25-26七年级下·安徽合肥期末)直线AB,CD相交于点O,∠E0F=90°，∠B0F=30°，射 线OG平分∠COE. E G B D 图1 图2 (1)如图1，若AB⊥CD,求∠AOG (2)如图2，若∠A0C=a(a>90),求∠40G(用含a的式子表示). 【变式3】(25-26七年级下广西崇左期末)如图，已知直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥CD E D 17/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠BOE=55°，求∠AOC的度数： (2)若∠BOD:∠BOC=2:7,求∠AOE的度数， 题型12利用垂线的定义求旋转问题 【典例12】(2025七年级上·全国·专题练习)点O是直线AB上一点，线段OC绕点O旋转，OD平分 ∠BOC,过点O作OE⊥OD(OE在OD的右侧)，OF平分∠COE. 图1 图2 ()如图1，若OC1AB,求∠DOF的度数： (2)如图2，若∠DOF=a,求∠BOE的度数， 【变式1】(2025七年级上·全国·专题练习)小明在做手工时，将一个三角尺AOB的直角顶点O放在一条 笔直的纸带P№上，按图1位置摆放，画射线OC平分∠AOP. 图1 图2 (1)若∠B0P=20°，则∠AO0= °，∠BOC= (②)由(1)中结论，小明认为∠A00=2∠B0C,请判断小明的说法是否正确，并说明理由. (3)将三角尺AOB绕点O旋转至如图2的位置，作OD⊥OC,其他条件不变，试说明OD平分∠AOQ 【变式2】(24-25七年级上·黑龙江哈尔滨阶段检测)如图1，点0为直线AB上一点，过点0作射线0C, 使∠AOC=60°，点M在射线OB上，射线ON在直线AB的下方，且OM⊥ON D B N 图1 图2 图3 18/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ ()将图1中的∠MON绕点O逆时针旋转至图2，使射线OM在∠BOC的内部并恰好平分∠BOC,求 ∠CON的度数， (2)在(1)的条件下，反向延长射线ON得到射线OD,如图3所示，判断射线OD是否平分∠AOC,请说 明理由。 (3)将图1中的∠MON绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，ON 边所在的直线恰好平分锐角∠AOC,则t的值为， 秒.（直接写出答案） 【变式3】(24-25七年级下·湖北宜昌·阶段检测)已知OA1OB,OC1OD D ()如图，若∠B0C=50°，求∠A0D的度数： (2)∠AOB绕点O旋转，猜想∠AOD与∠BOC有怎样的数量关系？并说明理由： (3)若∠B0C:∠AOD=7:29,利用(2)的结果求∠B0C的度数. 题型13找邻补角 【典例13】(2425七年级下·云南昭通阶段检测)如图，下列各组角中，是邻补角的一组是() A.∠1和∠2 B.∠3和∠4 C.∠1和∠3 D.∠2和∠4 【变式1】(24-25七年级下·福建漳州阶段检测)如图，图中邻补角有几对() A.4对 B.6对 C.8对 D.10对 【变式2】(23-24七年级下广东东莞期中)如图，AB、CD相交于点O,射线OE在∠DOB的内部，则 ∠AOD的邻补角是一· 19/28 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26七年级下河北保定阶段检测)如图，直线AB与直线CD交于点O,过点O作射线OE, 则∠EOB的邻补角为一 E D 题型14利用邻补角互补求角度 【典例14】(25-26七年级下福建厦门期末)如图，直线AB与CD相交于点0，若∠A0C=120°，则 ∠BOC= C B D 【变式1】(25-26七年级下江苏南通期末)已知，∠1=58°，∠2和∠1互为邻补角，则∠2=°. 【变式2】(25-26七年级下陕西榆林期末)如图，直线AB、CD相交于点O,在∠AOD内部作射线OE E D (1)∠AOE的邻补角为 (2)已知∠DOE=2∠BOD,，∠AOE=105°，求∠AOC的度数. 【变式3】(25-26七年级下黑龙江大庆期末)如图，已知A、O、B三点共线，OD平分∠COB,OE平 分∠AOC 20/28 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)若∠COD=30°，求∠A0E的度数： (2)若∠COE:∠COD=5:4,求∠COE的度数. 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(25-26七年级下·河北承德期末)如图，在同一平面内，直线m和直线n的位置关系是() m- A.相交 B.垂直 C.不相交 D.无法确定 2.(25-26七年级下广东阳江期末)下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是() B N2 C D 3.(25-26七年级下广西贺州期末)下列各图中，∠1和∠2互为邻补角的是() D. 人2 4.(25-26七年级下辽宁大连期末)如图，直线AB,CD相交于点O,E01AB,垂足为O, 21/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠E0C=25°，则∠AOD=() C E D A.135° B.125° C.1159 D.105° 二、填空题 5.(25-26七年级下·陕西咸阳期末)如图，从村庄M到公路I共有三条路线，其中路线MB⊥1.居民选 择路线MB到公路的距离最近，其理由是 A B C 6.(25-26七年级下内蒙古通辽阶段检测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,AC=4,BC=3 则点B到AC边的距离为一· 7.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨·周测)如图，点O是直线AB上一点，自点O引射线 OC、ODOE、OF,图中共有对邻补角. D E B 8.(25-26七年级下福建厦门期末)如图，直线AB1CD,垂足为O,直线EF经过点O,∠COF=65°， 则∠AOE的度数为. A E D 22/28 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 9.(25-26七年级上·江苏南京·期末)如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C、D均在格 点上. B (I)过点C画线段AB的垂线，垂足为F; (2)点A到线段CF的距离即线段 的长； (3)在直线AD上找一点P,使得PB+PC的值最小. 10.(25-26七年级上·全国课后作业)如图，P是∠AOB的边OB上的一点. B (I)过点P画OB的垂线，交OA于点C. (2)过点P画OA的垂线，垂足为H. (3)比较PH与PC,PC与CO的长短，并说明理由. 11.(25-26七年级下河南信阳期末)如图，直线AB,CD,OE,OF相交于点O,OE⊥OB, OF⊥OD F D (I)求证：∠DOB=∠FOE: (2)若∠AOF=65°，求∠BOF的度数， 12.(25-26七年级下四川巴中阶段检测)在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD1AB,垂足为D.若 AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,解决下列问题 23128 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D (I)则点A到直线BC的距离为cm,点B到直线AC的距离为cm (2)求点C到直线AB的距离是多少？（写出解题过程）. 能力提升 一、单选题 1.(24-25七年级下·全国课后作业)下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是（) B 2 (24-25七年级下·河北廊坊阶段检测)如图，三条直线相交于点O,∠BOD的邻补角是() D A.∠BOC和∠AOD B.∠AOC C.∠BOF和∠AOE D.∠AOF和∠AOD 3.(25-26七年级下陕西西安期中)如图，直线AB、CD相交于点O,E01AB于点O,若 ∠E0D=125°，则∠AOC的度数为() E 24/28 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.33° B.35 C.40° D.45° 4.(25-26七年级下广东清远期末)点P为直线I外一点，点A、B、C为直线l上三点，PA=4cm, PB=5cm,PC=3cm,则点P到直线l的距离() A.等于3cm B.等于4cm C.等于5cm D.小于或等于3cm 5.(25-26七年级下青海西宁·期末)直线1上有A,B,C三个点，直线I外有一点P,若PA=4cm, PB=3.5cm,PC=6cm,d(单位：cm)表示点P到直线I的距离，则() A.d=3.5 B.0<d≤3.5 C.3.5<d<4 D.4≤d<6 二、填空题 6.(25-26六年级下山东烟台期末)如图，点B,C在直线I上，BC=2,△ABC的面积为2.若P是直 线BC上一点，连接AP,则线段AP的最小长度为 7.(25-26七年级下内蒙古乌兰察布·期末)如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线 段AB,测得PA=I0m,PB=8m,则点P到AB的距离h可能是m.(写一个符合条件的值即 可) D B 8.(25-26七年级下广东茂名期末)如图，直线AB与CD相交于点O,OE⊥CD,垂足为O,若OA平 分∠COE,则∠BOD的度数为 9.(25-26七年级下·广东珠海期末)如图，直线AB⊥CD,垂足为O,直线EF经过点O.若 ∠1：∠2=23，则∠3= 25/28 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 2 O D 10.(25-26七年级下安徽合肥期中)如图，直线AB与CD相交于点O,OP是∠A0C的平分线， OE⊥AB.OF⊥CD A D (1)若∠B0C=42°，则∠AOF的度数为 (2)若∠BOC=a,则∠EOP的度数为. (用含C的式子表示) 三、 解答题 11.(25-26七年级下·北京期中)如图，点C在∠0的一边0B上.请按要求画图并填空： B C (I)过点C作OB边的垂线CD,交线段AO的延长线于点D: (2)过点C作OA边的垂线段CE,垂足为点E; (3)比较线段CE,OD,CD的大小，并用“<”连接得 一，得此结论的依据是 12.(25-26七年级下全国期末)如图，AB,CD,E相交于点O,OM平分∠B0D,∠MON=90°. M E (1)线段 的长度表示点M到E的距离： (2)MN MO(填“>”“<”或“=”)，理由： (3)若∠AOC=50°，求∠AON的度数. 13.(25-26六年级下·山东烟台期末)如图，已知直线AB、CD相交于点0，OE⊥AB,点0为垂足， 26128 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OF平分∠AOC, B D (1)若LAOF=66°，求∠COE和∠BOD的度数： (2)若∠A0F:LCOE=4:3,求∠EOF的度数. 14.(25-26七年级上·云南昆明·期末)如图，已知点O在直线EF上，点A、B与点C、D分别在直线 EF两侧，且∠AOB=80°，∠COD=110° B 备用图 (1)若OB平分∠AOD,求∠AOC的度数： (2)在(1)的条件下，过点0作射线0G,使得∠G0D=90°，求∠B0G的度数： (3)在∠BOD的内部作一条射线OM,射线OM在射线OF的上方，使得∠BOM:∠DOM=3:4,若 ∠AOE 5∠A0E-3∠E0C=190°，求ZFOM的值. 15.(25-26七年级上贵州遵义：期末)综合与探究 【教材呈现】 在学习了“几何图形初步”后，李老师让同学们做书上178页的一道练习题： 己知∠A0B=70°，以OA为边画∠A0C=20°.求∠B0C的度数. 【初步探究】 “善思”学习小组通过讨论发现，应该进行分类讨论，以下是他们的讨论过程，请补全讨论结果： 情况一：当OC边在∠AOB内部(OA上方)时，如图1，则∠BOC=度： 情况二：当OC边在∠AOB外部(OA下方)时，如图2，则∠BOC=度： 27128 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 图1 图2 图3 【定义新知】 李老师根据同学们探究的情况一定义：从∠A0B(45°<∠A0B<90)的顶点出发，在角的内部作一条射线， 若该射线将∠AOB分得的两个角中有一个角与∠AOB互余，则称该射线为∠AOB的“分余线”，请根据定 义解答以下问题： (1)根据定义新知，请判断图1中射线OC是否为∠AOB的“分余线”，并说明理由： (2)如图3，∠AOB=140°，在∠AOB的内部作射线OC,作∠BOC的角平分线OM;在∠AOC的内部作 射线ON,使∠CON-∠A0N.当OC为∠MON的“分余线”时，求∠AOC的度数. 28128 专题6.3 相交线 教学目标 学习目标 1. 了解对顶角概念，掌握对顶角性质，能识别对顶角并进行相关计算。 2. 理解垂直概念与垂线基本事实，会用符号表示垂直，能用工具画垂线。 3. 理解垂线段最短的性质与点到直线距离意义，会度量距离并解决简单实际问题。 教学重难点 教学重点 1. 对顶角的概念与性质（两直线相交，对顶角相等）的理解与运用。 2. 垂线的概念及“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实；垂线段最短性质。 教学难点 1. 运用“同角的补角相等”完成对顶角相等的推理，区分对顶角与其他相等角的概念差异。 2. 画垂线的方法及垂线性质的应用；理解“点到直线的距离”这一抽象概念，并在综合情境中灵活运用。 知识点01 相交线、平行线 1.相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.表示方法：如下图，直线AB与直线CD相交于点O 2.平行线：在平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 【即学即练1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n______； （2）m与n有且只有______个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n______． 【答案】 平行 一 重合 【分析】本题考查了平行线的定义，相交线的定义，熟记定义是解题的关键； （1）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （2）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （3）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； 【详解】解：（1）在同一平面内，不相交（即没有公共点）的两条直线互相平行． （2）在同一平面内，两条直线相交的定义就是有且只有一个公共点． （3）在同一平面内，如果两条直线有无数个公共点，那么这两条直线重合． 故答案为：平行，一，重合． 知识点02 对顶角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 【即学即练2-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，直线相交于O，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：∵直线相交于O， ∴， ∵， ∴． 知识点03 垂线概念和性质 1.垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如下图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角） 2.垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 【即学即练3-1】（25-26七年级下·河北唐山·期末）如图，点，，，，均为同一平面内的点，若，则点的位置可能在（     ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】B 【分析】根据垂线的定义结合图形观察各点与直线的位置关系即可判断． 【详解】解：， 观察图形，点的位置可能在点处． 【即学即练3-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知直线，相交于点，且．若，则_________． 【答案】 【分析】根据垂直的定义得到，利用平角的定义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 知识点04 点到直线的距离 点到线的距离：如下图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段. 【即学即练4-1】（25-26七年级下·广西桂林·期末）若点P在直线l外，点A、B在直线l上，，，，则点P到直线l的距离是_______cm． 【答案】 【详解】解：点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是． 【即学即练4-2】（26-27八年级·上海·暑假作业）如图所示，在中，，，，，则点B到的距离是_____． 【答案】 【分析】过点B作交于点D，则为点B到的距离，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：过点B作交于点D，则为点B到的距离， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴点B到的距离是． 知识点05 邻补角 1.位置关系：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线（即这两条边在同一条直线上，且方向相反）。 2.数量关系：两个角的和为 180°（互补）。 【即学即练5-1】（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，直线与相交于点O，在和中，是的邻补角的是________． 【答案】 【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答即可． 【详解】解：根据邻补角的定义可知，是的邻补角． 【即学即练5-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有________对． 【答案】12 【分析】本题主要考查了邻补角的定义； 根据邻补角定义判断即可，注意：两直线相交，邻补角有四对． 【详解】解：∵直线、、相交于点， ∴与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角； ∴共12对邻补角， 故答案为：12． 题型01 平面内两直线的位置关系 【典例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列生活实例：①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 根据在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线即可确定． 【详解】解：①交通路口的斑马线，是平行线，符合题意； ②天上的彩虹，不是直线，所以不是平行线，不符合题意； ③百米跑道线，是平行线，符合题意； ④火车的平直铁轨线，是平行线，符合题意； 综上：属于平行线的有①③④，三个． 故答案为：①③④． 【变式1】（24-25七年级下·江西景德镇·期中）一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：①________；②________． 【答案】 相交 垂直 【分析】本题主要考查同一平面内两直线的位置关系，掌握同一平面内两直线的位置关系是解题的关键． 【详解】解：同一平面内两直线的位置关系为平行与相交，两条直线相交的特殊情况是垂直． 故答案为：相交；垂直． 【变式2】（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）如图，从正方形中写出互相平行的边：____ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的识别，正方形对边平行，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·重庆长寿·阶段检测）在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为________． 【答案】在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，注意数形结合思想的运用．根据在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交即可得到答案． 【详解】在同一平面内，两直线与相交点，如果，那么与的位置关系是相交，这是因为在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 故答案为：在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交． 题型02 对顶角的定义 【典例2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）下面四个图形中，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：中，与是对顶角． 【变式1】（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对顶角是由两条相交直线形成的，它们有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线．根据图形判断，只有D选项符合对顶角的定义． 【变式2】（25-26七年级下·北京昌平·期末）下图中，和互为对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有C中属于对顶角. 【变式3】（25-26七年级下·河北邢台·期中）如图，已知直线及射线●与是对顶角，借助直尺判断被墨迹覆盖的字母是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义解题即可． 【详解】解：如图，延长过点， 可知的对顶角是，即被墨迹覆盖的字母是． 题型03 利用对顶角相等求角 【典例3】（25-26七年级下·河北唐山·期末）如图，两根木条，相交于一点，若，则的度数为________． 【答案】 /40度 【分析】观察图形可知与互为对顶角，根据对顶角相等的性质即可得出的度数； 【详解】解：由图可知，与是对顶角， 则， ∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，请你观察，的度数约为____________． 【答案】 【分析】因为的两条边对应量角器上的两个刻度，所以先分别读取两条边对应的刻度值并求差值，因为和这个夹角是对顶角，即可得到的度数． 【详解】解：观察量角器，的两条边对应量角器半圆内的两条射线，两条射线分别对应刻度和， 因此半圆内两条射线的夹角为 ． 和这个夹角是对顶角， ． 【变式2】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，直线、相交于点O，若，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据对顶角相等，求出的度数，再根据图形中角的关系即可求解． 【详解】解：直线、相交于点O， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·河北沧州·期末）如图，直线相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示．的点在直线上，表示的点在直线上，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】根据量角器的读数求出直线的夹角，利用对顶角相等的性质即可求解． 【详解】解：如图： 根据题意得：， ． 题型04 对顶角、余角、补角的综合 【典例4】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知直线与交于点O，是上方的一条射线，若与互余，且． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由互余的定义得出，结合，即可得出，然后再根据对顶角相等即可得出的度数． （2）先求出，由平角的定义得出，再由角平分线的定义得出，最后由角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·山西大同·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂线的定义得到，根据对顶角相等及余角的定义计算即可； （2）根据垂线的定义得到，根据对顶角相等可知，进而计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． ，， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，直线、相交于点，平分，于． (1)的余角是________．（写出图中所有符合要求的角） (2)若，求的度数． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】（1）根据余角的定义判断即可． （2）根据角平分线性质和对顶角的性质求解即可． 【详解】（1）．解：∵， ∴， ∴， ∴是的余角， ∵平分， ∴， ∴也是 的余角， ∵和 是对顶角， ∴， ∴也是的余角， 综上所述的余角是、、． （2）解：∵，, ∴, ∵平分, ∴, ∵, ∴． 【变式3】（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）如图，直线与相交于点． (1)若与互为余角，且，求的值； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查对顶角，角平分线，理解角平分线的定义，以及对顶角的定义是正确解答的关键． （1）根据互为余角的定义，平角的定义以及角的和差关系进行计算即可； （2）根据对顶角相等，角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：与互为余角，即， ， ， ． （2）解：设， 平分，， ， ， 则， 解得， ． 题型05 与对顶角、余角、补角有关的旋转综合问题 【典例5】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）综合探究：探究旋转过程中角度之间的关系． 已知点O是直线上一点，．现将直角三角尺的直角顶点放在点O处，并绕着点O旋转． (1)如图1，落在直线上，若，求的度数． (2)将直角三角尺旋转至图2所示的位置，请判断和是否互补，并说明理由． (3)将直角三角尺旋转至图3所示的位置，若平分，，求的度数．（用含β的代数式表示） 【答案】(1) (2)和互补， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴和互补； (3) 【分析】本题主要考查了余角与补角和角平分线． （1）先根据余角的定义和已知条件，求出，再根据求出答案即可； （2）先根据，，结合图形求出即可； （3）先根据，把用表示出来，再根据角平分线的定义证明，最后根据，求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴ ． 【变式1】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段检测）综合与实践 [问题情境] 利用旋转开展数学活动，探究体会角在旋转过程中的变化． [操作发现] 如图（）所示，且两个角重合． （）将绕着顶点顺时针旋转，如图()所示，此时平分 ；的余角有 个(本身除外)，分别是 ； [实践探究] （）将绕着顶点顺时针继续旋转到如图()所示位置，若∠，射线在内部，且．请探究： ①的补角有 个，分别是 ； ②求的度数． 【答案】（），，和；（）①；、、；② 【分析】（）根据旋转的性质得，进而可得角平分线的答案，根据， ，进而可求解； （）①根据旋转的性质及角度之间的计算找出与相加等于的角即可；②利用角度之间的和差关系计算即可求解． 【详解】解：（）由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵ ，， ∴的余角有个(本身除外)，分别是和， 故答案为：，，和； （）①∵，， ∴， ∴， ∴的补角是， ∵， ∴， ∴的补角是， ∵， ∴的补角是， 综上所述，的补角有个，分别是、、， 故答案为：，、、； ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 【变式2】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知O为直线上的一点，． (1)如图①，以O为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向． ①若，则射线的方向是_________； ②与的关系为_________； ③与的关系为_________． (2)若将射线、射线绕点O旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数； (3)若将射线、射线绕点O旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①北偏东；②相等；③互补 (2) (3) ，理由如下： ∵为的平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了方向角的定义，以及角平分线的定义，余角与补角的性质，对定义的熟练掌握是解题关键． （1）①根据方向角的定义即可求解； ②根据同角的余角相等即可得出结论； ③先根据同角的余角相等得出，再根据两角互补的定义即可得出结果； （2）①根据同角的余角可知，又根据角平分线的定义可得，两式相减即可得出结果； （3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴射线的方向是北偏东； ②∵由题意知，， ∴； ③由题意知，， ∴， 又， ∴． 即与的关系为互补． 故答案为：①北偏东；②相等；③互补； （2）由题意知，， ∴． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴． （3）略 【变式3】（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）综合与实践 活动课上，老师让同学们利用三角板进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】如图1，将一个含，角的直角三角板按如图所示摆放，，斜边与直线重合．将三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，射线始终平分．设旋转时间为秒． 【问题探究】 (1)当0时，_____； (2)如图，在旋转的过程中，当在直线上方且等于时，请求出的值； (3)在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使得射线平分，若存在，求出旋转时间；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当在直线上方时，；当在直线下方时，． 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，一元一次方程的应用； （1）根据邻补角求得，进而根据角平分线的定义，即可求解； （2）根据题意得出，进而结合题意，即可求解； （3）当在直线上方时，依题意，，，当在直线下方时，依题意，，，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分 ∴ （2）解：∵在直线上方且等于时 ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 将三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒． ∴ （3）解：当在直线上方时，依题意，， ∵平分， ∴ ∴ 解得： 当在直线下方时，依题意，， ∵平分， ∴ ∴ 解得： 综上所述，当在直线上方时，；当在直线下方时，． 题型06 与对顶角、余角、补角有关的新定义综合问题 【典例6】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）【定义新知】 从一个锐角顶点出发在角的内部引一条射线，把分成两个角，若其中一个角与之和为，则这条射线叫做锐角的巧分线，这个角叫做锐角的巧分角． 【理解运用】 （1）如图1，，，请判断是否为的巧分线，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图2，是平角，是的巧分角，，试说明； （3）如图3，在（2）的条件下，若是的平分线，，求的度数． 【答案】 （1）为的巧分线，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴是的巧分线； （2）证明：∵是的巧分角， ∴， ∵是平角，， ∴， ∴； （3） 【分析】本题考查角平分线的定义及角的数量关系，正确理解题意准确计算并注意分类讨论思想的运用是解题关键． （1）根据巧分线的定义求解，即可证明结论成立； （2）根据巧分角的定义可得，根据题意可得，从而利用同角的余角相等可以得到结论； （3）根据上一问的结论可得，然后利用巧分角和角平分线的定义求得角的数量关系，从而求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵，， ∴， ∵是的巧分角， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·北京·期末）已知，我们定义：如果（k为正整数），那么称是的“倍锐角”． (1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是________（填写序号）； ①；②；③是的角平分线． (2)如图1，当时，在图中画出的“倍锐角”； (3)如图2，初始度数为，射线绕点O逆时针逐次旋转，每次旋转，已知此过程中存在“倍锐角”，那么所有可能的________． 【答案】(1)①③ (2) 如图： (3)或或或或． 【分析】本题考查了用新定义计算角的和差，正确理解“倍锐角”是解题的关键． （1）分别求出和后判断是否符合（为正整数）； （2）先求出的度数，再任意画出一个符合题意的角即可； （3）先求出的符合条件的所有可能性，再分别求出的度数，进而判断即可． 【详解】（1）解：当时，，，①符合题意； 当时，，，②不符合题意； 当是的角平分线，，③符合题意； 故答案为：①③； （2）解：，， ， 图略； （3）解：是的“倍锐角”， （为正整数）， 又， ， 当时，射线绕点逆时针旋转，每次旋转， 可取，，，，，，，，， 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 综上所述，所有可能的为，，，，， 故答案为：或或或或． 【变式2】（25-26七年级下·河北张家口·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且OE在内部，求的度数； (2)若OE恰好平分，求的度数； (3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，补角的定义，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （）根据“好线”的定义即可求解； （）根据“好线”和角平分线的定义求解即可； （）分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：或． 理由：当在内部时，如图， 由（）可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在内部时，如图， 由（）可得， 设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． 【变式3】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且在内部，则__°； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)64 (2) (3)或 理由如下： 如图2﹣1，由于射线是的“好线”， 当时， ∵， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴是的平分线， ∴， ∴ ∴， 如图2﹣2，由于射线是的“好线” 当时， ∵， ∴， ∴ ∴ 综上所述或． 【分析】本题考查了补角的定义和性质，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，进而解答即可． 【详解】（1）如图1，由于射线是的“好线”， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 故答案为：64； （2）若恰好平分， ∴ ∴ （3） 略 题型07 垂线的定义的理解 【典例7】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意可得集热板与太阳光线垂直，结合垂线的定义和平角的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，集热板与太阳光线垂直， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·北京·期末）如图，直线，交于点，且于点．若，则的度数是______． 【答案】 【分析】根据垂直的定义得，再根据平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·上海普陀·期中）如图，直线，交于点，，如果，那么直线，的夹角是______．    【答案】31 【详解】解：∵，， ∴． 题型08 垂线段最短 【典例8】（25-26七年级下·青海玉树·期末）如图，在某河流边缘点处向对面修建一座桥，图中、、、四种修建方案中，使用材料最省的是，理由是________． 【答案】垂线段最短 【详解】解：由图可知，， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴、、、四种修建方案中，使用材料最省的是，理由是垂线段最短． 【变式1】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）数学源于生活，用于生活．我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图所示，体育课上老师测量跳远成绩时，测量线段的长度即可，这样做的数学道理是______． 【答案】垂线段最短 【详解】解：测量线段的长度即可，这样做的数学道理是垂线段最短． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，要在河岸上建一个水泵房引水到处，图中有4处（即，，，处）可供选择，为节省水管材料，应选择将水泵房建在__________处，依据是__________． 【答案】 B 垂线段最短 【详解】解：为节省水管材料，应选择将水泵房建在B处，依据是垂线段最短． 【变式3】（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，要把河中的水引到水池中，先过点作垂直河岸，垂足为，然后沿挖渠，这样做的依据是________． 【答案】垂线段最短 【分析】根据点到直线上各点的线段中，垂线段最短即可得出结论． 【详解】解：∵过点作垂直河岸，垂足为，且点到直线上各点的线段中，垂线段最短， ∴这样做的依据是垂线段最短． 题型09 画垂线 【典例9】（2025七年级上·全国·专题练习）过点作的垂线． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)见解析 【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法直接作图即可； （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法直接作图即可； （3）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法直接作图即可； （4）延长BA，然后根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法直接作图即可． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：作图如下： （3）解：作图如下： （4）解：作图如下： 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【答案】（1）图见解析（2）图见解析 【分析】本题考查画垂线，借助三角板画出垂线即可，熟练掌握画垂线的方法，是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意，画图如下：    （2）由题意，画图如下：    【变式2】（25-26七年级下·山西晋中·期中）如图，P是的边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为； (2)填空： ①线段___________的长度表示点P到直线的距离； ②______ ；（填“”“”或“”） 【答案】(1)如图，、即为所求； (2)①；② 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）①根据垂线的定义解题即可； ②根据垂线段最短解题即可． 【详解】（1）略 （2）解：①线段的长度表示点P到直线的距离； ②因为垂线段最短，则． 【变式3】（25-26七年级下·北京·期中）如图，四边形中，． (1)画线段，垂足为，画直线，垂足为；测得点到的距离为________（精确到）；测得点到的距离为________（精确到）． (2)连接，不测量比较下列两条线段的大小：________（用“”或“”或“”填空）依据是________． 【答案】(1)见解析 (2)；垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段： （1）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作这个点到这条直线的距离； （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 【详解】（1）解：如图所示，垂线段，即为所求． ∵， ∴点到的距离为线段的长度，经测量（依据图形实际大小确定）． ∵， ∴点到的距离为线段的长度，经测量（依据图形实际大小确定）． （2）∵， ∴点与直线上各点的连线中垂线段最短． ∴． 题型10 点到直线的距离 【典例10】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中，，，垂足为D，，，，那么点C到的距离为_________． 【答案】4.8 【详解】解：点到直线的距离‌就是直线外一点到这条直线的‌垂线段的长度‌，，垂足为D，点C到的距离为，． 【变式1】（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是_________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）作图题∶如图，四边形中，． (1)画线段，垂足为E；则点C到的距离为线段 的长度； (2)连接 ，并比较下列两条线段的长度： （用“>”或“<”或“=”填空）依据是 ． 【答案】(1) 如图所示： (2)<，垂线段最短 【分析】此题考查了作垂线，垂线段最短的性质的应用，点到直线的距离，正确作出图形理解点到直线的距离是解题的关键． （1）根据垂直的定义作图即可； （2）根据垂线段最短可得． 【详解】（1）解：线段，垂足为E， 则点C到的距离为线段的长度, 故答案为：． （2）解：∵， ∵根据垂线段最短可知， 故答案为：<，垂线段最短． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在直角三角形中，，． (1)点B到的距离是_____________；点A到的距离是_____________． (2)画出表示点C到的距离的线段，并求出这个距离． 【答案】(1)8； 6 (2)图见解析；点C到的距离是 【分析】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的概念及等面积法是解题的关键， （1）根据点到直线的距离的概念进行求解即可得到答案； （2）过点作，则线段表示点C到的距离，再利用等面积法即可求得线段的长． 【详解】（1）解：∵三角形为直角三角形，，， ∵， ∴点B到的距离是的长度为8， ∵ ∴点A到的距离是的长度为6． 故答案为：8；6． （2）解：过点作，如图，线段即为所求． ，即， ， ∴点C到的距离是． 题型11 利用垂线的定义求角的度数 【典例11】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，点O是直线上一点，于点O，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】根据邻补角的性质可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，然后结合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线相交于点，平分． (1)写出的对顶角：___________； (2)若，点在直线下方，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对顶角的定义作答即可； （2）根据对顶角的定义及角平分线的定义求出，根据垂线的定义及三角形内角和计算即可． 【详解】（1）解：∵直线相交于点， ∴的对顶角为； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）直线，相交于点，，，射线平分． (1)如图1，若，求； (2)如图2，若，求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，可求得，然后结合角平分线可求得，然后由求解即可； （2）同（1）得，求出，继而求出． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为，即， 所以． 因为平分， 所以， 所以； （2）解：由（1）得，， 所以， 因为平分， 所以， 所以． 【变式3】（25-26七年级下·广西崇左·期末）如图，已知直线与直线相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直的定义，结合题意得到，再根据对顶角相等即可求解； （2）根据平角，角度的比得到，由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴． 题型12 利用垂线的定义求旋转问题 【典例12】（2025七年级上·全国·专题练习）点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，平分，可求出，再根据角度的和差关系即可求解； （2）设，再结合角平分线和角度的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）小明在做手工时，将一个三角尺的直角顶点放在一条笔直的纸带上，按图1位置摆放，画射线平分． (1)若，则_________，_______． (2)由（1）中结论，小明认为，请判断小明的说法是否正确，并说明理由． (3)将三角尺绕点旋转至如图2的位置，作，其他条件不变，试说明平分． 【答案】(1)70；35 (2)正确；理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义、垂线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义、垂线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据平角的定义及角平分线的定义可进行求解； （2）由题意易得，，则有，然后问题可求解； （3）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为70；35； （2）解：正确．理由如下：由题意知： ，， 平分， ， ． ． （3）解：∵射线平分， ， ， ， ， ， 平分． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，点M在射线上，射线在直线的下方，且． (1)将图1中的绕点O逆时针旋转至图2，使射线在的内部并恰好平分，求的度数． (2)在（1）的条件下，反向延长射线得到射线，如图3所示，判断射线是否平分，请说明理由． (3)将图1中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，边所在的直线恰好平分锐角，则t的值为__________秒．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)射线平分， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴射线平分； (3)6或15 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义： （1）先由平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，由垂线的定义得到，据此根据角的和差关系可得答案； （2）由平角的定义得到，则可得，据此可得射线平分； （3）当旋转到图3中和时都满足题意，求出对应的旋转角度即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由（1）（2）可知当开始旋转使得到第一次到达图3中的位置时，此时直线恰好平分， ∴旋转角度为， ∴； 当继续旋转到到图3中的位置时，此时直线恰好平分， ∴此时旋转的角度为， ∴； 综上所述，t的值为6或15． 【变式3】（24-25七年级下·湖北宜昌·阶段检测）已知． (1)如图，若，求的度数； (2)绕点O旋转，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，利用（2）的结果求的度数． 【答案】(1) (2) ，理由如下： 当在内部时： ，即 当在外部时： ， 综上，； (3)． 【分析】本题主要考查了垂直的定义、角的和差运算，熟练掌握角的和差关系及垂直定义是解题的关键． （1）利用垂直定义得到，先求，再求． （2）分在内和外两种情况，根据角的和差及垂直定义推导与关系． （3）设未知数，结合（2）中列方程求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）略 （3）解：设， 由（2）知 ． 题型13 找邻补角 【典例13】（24-25七年级下·云南昭通·阶段检测）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】此题考查了邻补角，熟知邻补角的定义是解题的关键；根据邻补角的定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，求解判断即可． 【详解】解：A．和是邻补角，故此选项符合题意； B．和是同旁内角，不是邻补角，故此选项不符合题意； C．和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意； D．和是同位角，不是邻补角，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·福建漳州·阶段检测）如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 【答案】C 【分析】根据邻补角的概念判断即可．本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，称为互为邻补角． 【详解】解：依题意，与，与，与，与，与，与，与，与是邻补角，共8对， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·广东东莞·期中）如图，、相交于点O，射线在的内部，则的邻补角是____． 【答案】和 【分析】本题考查的邻补角的含义，直接利用邻补角的含义作答即可． 【详解】解：∵， ∴的邻补角是和， 故答案为：和． 【变式3】（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）如图，直线与直线交于点O，过点O作射线，则的邻补角为______． 【答案】 【分析】本题考查的邻补角的含义，直接利用邻补角的含义作答即可． 【详解】解：∵， ∴的邻补角为， 故答案为： 题型14 利用邻补角互补求角度 【典例14】（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图，直线与相交于点，若，则________． 【答案】/60度 【详解】解：直线与相交于点， 与互为邻补角， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知，，和互为邻补角，则_______． 【答案】122 【详解】解：∵和互为邻补角， ， ， . 【变式2】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线、相交于点，在内部作射线． (1)的邻补角为_______； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为 【分析】（1）根据邻补角的定义即可作答； （2）根据邻补角的性质得到，再结合得到，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的邻补角为； （2）解：， ． ， ． ， 的度数为． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知A、O、B三点共线，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据角平分线的定义得，即可得出，然后求出，最后根据得出答案； （2）先根据角平分线定义得，再设，则，然后根据列出方程，求出解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴． ∵， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 一、单选题 1.（25-26七年级下·河北承德·期末）如图，在同一平面内，直线和直线的位置关系是（     ） A．相交 B．垂直 C．不相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线的位置关系判定解答即可； 【详解】解：根据题意，得两直线相交； 2.（25-26七年级下·广东阳江·期末）下列各图中，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由对顶角的定义知选项C符合题意． 3.（25-26七年级下·广西贺州·期末）下列各图中，和互为邻补角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、和不互为邻补角，故本选项不符合题意； B、和不互为邻补角，故本选项不符合题意； C、和互为邻补角，故本选项符合题意； D、和不互为邻补角，故本选项不符合题意； 4．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直定义得出，利用角的和差关系求出，结合对顶角相等即可求解. 【详解】解：， ， ， ， . 二、填空题 5．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，从村庄M到公路l共有三条路线，其中路线．居民选择路线到公路的距离最近，其理由是______________________________． 【答案】垂线段最短． 【分析】根据垂线段最短即可得到答案． 【详解】解：居民选择路线到公路的距离最近，其理由是垂线段最短． 6．（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）如图，在中，，，，，则点B到边的距离为_____． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴， 即点B到边的距离为． 7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·周测）如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有____对邻补角． 【答案】4 【分析】此题考查了邻补角定义：和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角，根据定义直接解答． 【详解】解：根据图形可知， ，，，， 故答案为4． 8.（25-26七年级下·福建厦门·期末）如图，直线，垂足为O，直线经过点O，，则的度数为__________． 【答案】/25度 【分析】先根据垂线的定义求得，再根据对顶角相等求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 和是对顶角， ． 三、解答题 9．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，、、、均在格点上． (1)过点画线段的垂线，垂足为； (2)点到线段的距离即线段_________的长； (3)在直线上找一点，使得的值最小． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) (3) 如图，点即为所求． 【分析】本题考查画垂线，点到直线的距离，两点之间线段最短，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用三角板画垂线即可； （2）根据点到直线的距离为垂线段的长，进行作答即可； （3）根据两点之间线段最短，的交点即为所求． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，的长，即为点到线段的距离； （3）略 10．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C． (2)过点P画的垂线，垂足为H． (3)比较与，与的长短，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，，理由见解析 【分析】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图． （1）根据垂线的画法，画出图形，即可求解； （2）根据垂线的画法，画出图形，即可求解； （3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求； （3）解：，， 理由如下： 因为线段的长度是点P到直线的距离， 所以； 因为线段的长度是点C到直线的距离， 所以． 11．（25-26七年级下·河南信阳·期末）如图，直线，，，相交于点，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：，， ． ， ． (2) 【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明； （2）根据邻补角互补即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 12．（25-26七年级下·四川巴中·阶段检测）在三角形中，，，垂足为．若，，，解决下列问题    (1)则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 (2)求点到直线的距离是多少?（写出解题过程）． 【答案】(1)4；3 (2) 【分析】本题主要考查点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离： （1）点A到直线的距离为线段的长度，点到直线的距离为线段； （2）点到直线的距离为线段的长度． 【详解】（1）因为， 所以． 所以点A到直线的距离为线段的长度， 点到直线的距离为线段的长度． 故答案为：； （2）因为， 所以点到直线的距离为线段的长度． 因为． 所以． 一、单选题 1.（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对顶角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、两个角有公共顶点但两角的对应边不在各自的反向延长线上，不是对顶角，选项不符合题意； B、两个角没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意； C、两个角有公共顶点但两角的对应边不在各自的反向延长线上，不是对顶角，不符合题意； D、两个角有公共顶点并且任一个角的对应边在各自的反向延长线上，是对顶角，符合题意． 2. （24-25七年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的概念，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键． 根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，即可求解； 【详解】解：是平角， 的邻补角是； 是平角， 的邻补角是； 综上所述：的邻补角是和； 故选：A 3．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据垂直定义得到，进而求得，然后利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·广东清远·期末）点为直线外一点，点、、为直线上三点，，，，则点到直线的距离（     ） A．等于 B．等于 C．等于 D．小于或等于 【答案】D 【分析】本题考查点到直线距离的定义和垂线段最短的性质，结合已知线段长度比较即可得到结论． 【详解】解：∵ 、、为直线上三点，，，，可得 ， ∴ 点到直线的垂线段长度不大于的长度，即点到直线的距离小于或等于． 5．（25-26七年级下·青海西宁·期末）直线上有，，三个点，直线外有一点，若，，，（单位：）表示点到直线的距离，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 是点到直线的距离， ∴ 为点到直线的垂线段的长度， ∴ ，，， ∵ ，，， ∴ ， ∵ 点在直线外， ∴ ， 即． 二、填空题 6．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，点，在直线上，，的面积为2．若是直线上一点，连接，则线段的最小长度为________． 【答案】2 【详解】解：如图，作交于D， ∵的面积为2， ∴， 解得：， 根据“垂线段最短”可知线段的最小长度为2． 7．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点P到的距离h可能是________．（写一个符合条件的值即可） 【答案】6（答案不唯一，均可） 【详解】解：∵，，， ∴， ∴点P到的距离h是6． 8．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，直线与相交于点O，，垂足为O，若平分，则的度数为________． 【答案】/45度 【分析】由垂线的定义和角平分线的定义求出的度数，再由对顶角相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 9．（25-26七年级下·广东珠海·期末）如图，直线，垂足为，直线经过点．若，则________． 【答案】 【分析】根据垂线的定义得到，再求出的度数，最后根据对顶角相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，直线与相交于点O，是的平分线，，． （1）若，则的度数为_______； （2）若，则的度数为_______．（用含的式子表示） 【答案】 /度 / 【分析】（1）由邻补角的定义可得，由垂直的定义可得，再运用角的和差即可解答； （2）由邻补角的定义可得，利用角平分线的定义可得，由垂直的定义可得，再运用角的和差即可解答． 【详解】解：（1）∵与是邻补角，且， ∴ ， ∵， ∴， ∴． （2）∵与是邻补角，且， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 11.（25-26七年级下·北京·期中）如图，点在的一边上．请按要求画图并填空： (1)过点作边的垂线，交线段的延长线于点； (2)过点作边的垂线段，垂足为点； (3)比较线段，，的大小，并用“”连接得_____，得此结论的依据是_____． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3)，垂线段最短 【分析】（1）根据垂直的定义作图即可； （2）根据垂直的定义作图即可； （3）先结合两处垂直条件，连续运用垂线段最短分步比较线段大小，最后得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 得此结论的依据是垂线段最短． 12．（25-26七年级下·全国·期末）如图，AB，CD，NE相交于点O，OM平分，． (1)线段_________的长度表示点M到NE的距离； (2)MN_________MO（填“>”“<”或“=”），理由：__________________； (3)若，求的度数． 【答案】(1)MO (2)>  垂线段最短 (3) 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的定义，熟练掌握相关定义为解题关键． （1）、（2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【详解】（1）解：由垂线段最短可知，线段的长度表示点到的距离； 故答案为：． （2）解：故答案为： ；垂线段最短． （3）解：，平分， ， ． 13．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，已知直线相交于点，，点为垂足，平分． (1)若，求和的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用角平分线的定义可得，进而利用对顶角的性质可求出；利用垂直的定义可得，再根据角的和差关系即可求出； 设，则，，再根据角平分线的定义列方程求出的值，即求出，最后根据角的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∵，点为垂足， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵，点为垂足， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 14．（25-26七年级上·云南昆明·期末）如图，已知点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）的条件下，过点作射线，使得，求的度数； (3)在的内部作一条射线，射线OM在射线OF的上方，使得，若，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)7 【分析】本题考查了角平分线的性质、角的和与差、邻补角，根据题意画出图形是解题的关键． （1）根据平分得到，利用周角的性质求出的即可； （2）在（1）的条件下，分别讨论在下方和上方时的情况，分别求出的度数即可； （3）由，设，用x表示，设，则，由，用x表示，再分别用x表示，求出比值即可． 【详解】（1）解：由已知，平分，， ∴， ∴ ； （2）当在下方时，， ∴， 当在上方时，， ∴， 的度数是或． （3）由， ∴设， ∴ ， 若， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴． 15.（25-26七年级上·贵州遵义·期末）综合与探究 【教材呈现】 在学习了“几何图形初步”后，李老师让同学们做书上178页的一道练习题： 已知，以为边画．求的度数． 【初步探究】 “善思”学习小组通过讨论发现，应该进行分类讨论，以下是他们的讨论过程，请补全讨论结果： 情况一：当边在内部（上方）时，如图1，则______度； 情况二：当边在外部（下方）时，如图2，则______度； 【定义新知】 李老师根据同学们探究的情况一定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互余，则称该射线为的“分余线”．请根据定义解答以下问题： （1）根据定义新知，请判断图1中射线是否为的“分余线”，并说明理由： （2）如图3，，在的内部作射线，作的角平分线；在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】[初步探究]，； [定义新知]（1）是的“分余线”，理由如下： ∵， ∴ ∴是的“分余线”， （2）的度数为或 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线的定义，理解“分余线”定义、分类讨论是解题的关键； [初步探究]根据题意，结合图形，根据分别求解，即可； [定义新知]（1）根据“分余线”定义，即可求解； （2）设，进而根据题意分别表示出，根据“分余线”定义，分类讨论，建立方程，即可求解． 【详解】解：[初步探究] 情况一：当边在内部（上方）时，如图1，则； 情况二：当边在外部（下方）时，如图2，则； 故答案为：，． [定义新知]（1）略 （2）在的内部，为的“分余线” 设， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∴ ①当时， ∴ 解得： ②当时， ∴ 解得： 综上所述，的度数为或 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $