专题 6.3 相交线（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲练（苏科版）

本讲义聚焦相交线核心知识点，系统梳理对顶角及其性质、垂直、垂线段、点到直线的距离等概念，通过要点提示明确概念本质，题型从基础辨析、简单计算到综合运算逐步递进，构建完整学习支架。 资料特色为分层设计与素养融合，基础篇通过对顶角辨析题强化几何直观，培优篇结合旋转动态问题提升推理能力，同步练习分层设置，课中辅助教学，课后助学生查漏补缺，体现数学思维与应用意识。

专题 6.3 相交线 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】对顶角及其性质 1 【知识点二】垂直 2 【知识点三】垂线段 2 【知识点四】点到直线的距离 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】对顶角的辨析 2 【★题型2】“对顶角相等”简单计算 4 【★题型3】“点到直线距离”与“垂直定义”的概念辨析 5 【★题型4】“垂直”与“对顶角相等”简单综合运算 7 【★题型5】“等面积法”求垂线段长 9 （二）培优篇 11 【★★题型6】对顶角、角平分线、垂直综合运算 11 【★★题型7】对顶角、角平分线、余角、补角综合运算 13 【★★★题型8】对顶角、角平分线、余角、补角与旋转综合 16 二．同步练习​ 22 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 22 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 33 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】对顶角及其性质 定义：两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角。 性质：对顶角相等。 【要点提示】 （1）对顶角定义：前提：两条直线相交，只有相交线才会产生对顶角；两个要素：① 有公共顶点；② 没有公共边。 （2）性质：对顶角相等，反过来相等的角不一定是对顶角。 【知识点二】垂直 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 【要点提示】前提条件：两直线相交形成四个角中，至少一个角是直角 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【特别提示】基本事实一中，“确定”表示有且只有.“有”表示存在，“只有”表示唯一.“过一点”此点位置可能在直线外，也有可能在直线上. 【知识点三】垂线段 定义：过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足线段之间的线段叫作叫作这点到直线的垂线段. 性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 【特别提示】垂线：表示的是直线，没有长度；垂线段是线段，有长度。 【知识点四】点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离. 【特别提示】点到直线的距离表示的是点到直线的垂线段的长度，垂线段指的图形，点到直线的距离指的是长度。 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】对顶角的辨析 【例题1】（23-24七年级上·甘肃武威·期中）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线相交所成的角是对顶角 C．对顶角相等 D．有公共顶点且相等的角是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查对顶角． 根据对顶角的定义和性质，对各选项进行分析判断即可． 解：A．相等的角不一定是对顶角，原说法不正确，不符合题意； B．两条直线相交所成的角不一定是对顶角，原说法不正确，不符合题意； C．对顶角相等，原说法正确，符合题意； D．有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，原说法不正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．有公共顶点的角是对顶角 B．相等的角是对顶角 C．对顶角相等 D．不是对顶角的角不相等 【答案】C 【分析】此题考查学生对对顶角的性质的理解．根据对顶角的定义和性质对各个命题进行分析，从而得到正确的答案． 解：①不符合对顶角的性质，故不正确； ②相等的角不一定是对顶角，故不正确； ③符合对顶角的性质，故正确； ④因为两角相等，但不一定是对顶角，故不正确． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·福建莆田·期中）下列各图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义逐项判断即可得到答案． 解：A、和是对顶角，故本选项符合题意； B、和不是对顶角，是邻补角，故本选项不符合题意； C、和不是对顶角，故本选项不符合题意； D、和不是对顶角，是同位角，故本选项不符合题意； 故选：A. 【小结归纳】判断说法正误时，可直接排除“有公共顶点的角就是对顶角”，“相等的角就是对顶角”等错误表述；识别图形中的对顶角时，重点看两个角的两边是否互为反向延长线，同时满足无公共边的要求。 【★题型2】“对顶角相等”简单计算 【例题2】如图，直线，相交于点O，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查对顶角相等．首先观察到直线和相交于点O，与是对顶角．根据对顶角相等的性质，可知和的度数相等．已知，，所以可以列出方程．然后通过移项、计算求出x的值，最后将x的值代入中，即可求出的度数． 解：， ． 解得． ． 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·河北唐山·期中）课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其括号内推理的依据为（   ） 因为， 所以（依据：      ） A．平角的定义 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等量代换 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握补角的性质是解题的关键． 根据同角的补角相等判断即可． 解：因为， ， 所以．（依据：同角的补角相等）， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查相交线的性质，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键． 根据对顶角相等得到两组角：、，根据角之间的关系进行求解即可． 解：， 答：的度数为． 【小结归纳】 利用 “对顶角相等” 进行简单计算的题型，核心解题思路可归纳为：先在图形中准确识别对顶角，再利用 “对顶角相等” 建立等量关系，结合平角定义、补角性质等，通过列方程或直接角度代换求解未知角的度数。 【★题型3】“点到直线距离”与“垂直定义”的概念辨析 【例题3】（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，，，垂足为D，则下面的结论中正确的个数为（   ） ①与互相垂直；②点C到的垂线段是线段；③点A到的垂线段是线段；④线段的长度是点B到的距离；⑤线段是点A到的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离的定义． 直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断． 解：①由得到与互相垂直，故①符合题意； ②由得到点到的垂线段是线段，故②不符合题意； ③由得到点到的垂线段是线段，故③符合题意； ④由得到线段的长度是点到的距离，故④符合题意； ⑤由得到线段的长度是点到的距离，故⑤不符合题意． 结论中正确的个数为3个． 故选：B． 【变式1】如图所示，下列说法不正确的是（  ） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点A到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线段的概念． 根据垂线段的概念逐项进行判断即可． 解：A、根据条件无法得到，点B到的垂线段是线段，该选项错误，符合题意； B、该选项正确，不符合题意； C、该选项正确，不符合题意； D、该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【变式2】从直线外一点到已知直线上的点的所有连线中，与已知直线垂直的线段有多少条？（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线的性质，解题的关键是熟练掌握垂线的性质． 利用垂线的性质进行求解即可． 解：过直线外一点，有且只有一条线段与已知直线垂直， 故选：B． 【小结归纳】 “点到直线距离” 与 “垂直定义” 概念辨析题型的核心解题思路可归纳为：紧抓两个核心概念的本质，垂直定义强调两直线相交成直角的位置关系，点到直线的距离强调直线外一点到直线的垂线段的长度。判断垂线段时，需先确认垂直关系，再找准 “点” 与 “直线” 的对应关系；判断点到直线的距离时，要注意区分 “垂线段” 和 “垂线段的长度”，避免混淆图形与数量的概念；同时牢记 “同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 的基本事实，以此判断垂线段的条数。 【★题型4】“垂直”与“对顶角相等”简单综合运算 【例题4】（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，直线，相交于点，．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂线的定义，根据图形，利用角的和差和倍数关系，进行求解即可． 解：∵与是对顶角，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）已知直线和相交于O点，射线于O，射线于O，且，则 _____ ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的性质、对顶角性质，掌握垂线性质、对顶角相等是解题的关键． 根据题意可知，， ，由垂线定义可得，进而得到，再根据对顶角定义可得，即可得出的度数，最后再计算即可得出答案． 解：， 即 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查垂线的定义及对顶角相等，熟练掌握垂线的定义及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 解：∵，， ∴， ∴； 故答案为． 【小结归纳】 “垂直” 与“对顶角相等”简单综合运算题型的核心解题思路可归纳为：先结合图形，利用垂直定义得出直角，再识别图中的对顶角并依据“对顶角相等”建立等量关系，最后通过角的和、差、倍、分关系列式计算未知角的度数。解题时需注意先标注已知的垂直关系和对顶角，理清各角之间的关联，若出现射线与直线垂直的情况，同样先转化为直角条件，再结合对顶角的等量代换逐步推导。 【★题型5】“等面积法”求垂线段长 【例题5】（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（  ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积，根据垂线段最短可得当时，最小，根据三角形可求出此时的长，即可解答． 解：当时，最小， 此时， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·全国·月考）如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂线段最短，作于P，根据垂线段最短可知此线段就是最小值，根据三角形的面积公式求出即可． 解：作于P，如图： 由垂线段最短可知，此时最小， ，即， 解得，， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·山东聊城·月考）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 解：在中，，，为边上的高，，如图，过点作于点， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为， 故答案为：． 【小结归纳】 “等面积法” 求垂线段长题型的核心解题思路可归纳为：先根据 “垂线段最短”确定垂线段为所求的最短长度，再利用直角三角形的两种面积计算方式建立等量关系，通过面积等式求解垂线段的长度。 （二）培优篇 【★★题型6】对顶角、角平分线、垂直综合运算 【例题6】（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的意义、垂直的意义、对顶角的性质等知识；根据角平分线的意义、垂直的意义、对顶角的性质进行计算即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，点在直线上，，平分，． （1）求的度数； （2）求证：平分． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义可求出，进而根据即可求解； （2）根据角的和差求得，即可解答． 解：（1）解：∵平分， ， ， ． （2）解：平分，理由如下： 理由：∵， ， ， 平分． 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，直线，相交于点于点，平分．若，求与的度数，并判断与的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义；根据平角的定义结合已知可得，进而求得，根据角平分线的定义可得，根据平角的定义可得，即可求解． 解：， ， ， 平分， ， 【★★题型7】对顶角、角平分线、余角、补角综合运算 【例题7】（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，直线，相交于点，分别在的内部，且平分，． （1）写出图中的余角：______． （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是互余的含义，平角的定义，角平分线的含义，垂直的定义，对顶角的性质，角的和差运算． （1）由可得，，结合角平分线可得，进一步可得答案． （2）先求解，可得，进一步可得答案． 解：（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴的余角为． （2）解：，， ， ， ， ， ． 【变式1】如图，直线，相交于点O，平分，，． （1）与互余的角是　　； （2）求与的度数． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查的是互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算． （1）根据，可得，，从而可得答案． （2）根据平角的定义即可求出，再根据邻补角的定义以及角平分线的定义可求出． 解：（1）解：∵， ∴，， ∴与互余的角是，． 故答案为：，． （2）解： ，， ， ， 与互补， ， 平分， ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）已知：点O为直线上一点，过点O作射线，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点O作射线，使，作的平分线，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了角的计算．熟练掌握角平分线的定义，以及余角，补角的计算，是解题的关键． （1）利用邻补角的定义计算的度数． （2）先根据角平分线的定义得到，然后利用互余计算的度数． 解：（1）解：∵，， ∴， 即的度数为； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 【★★★题型8】对顶角、角平分线、余角、补角与旋转综合 【例题8】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，邻补角有______对，互补的角有______对． （2）如图1，设，求的度数（结果用含的代数式表示）； （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置． ①设，则______． ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）3，4；（2）；（3）①；②，理由见分析 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，角平分线的定义，邻补角的定义等． （1）根据邻补角和互补的定义求解即可； （2）由互补可得，由角平分线的定义可得，再结合即可求解； （3）① 由，得，进而可得，最后根据互补的定义求解；②设，， 则，再用含m和n的式子表示出，即可求解． 解：（1）解：邻补角有：与，与，与，共3对； 互补的角有：与，与，与，与，共4对； 故答案为：3，4； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②， 理由：设，， 由①得， ， ∴， ∴， 即． 【变式1】（24-25七年级上·江苏扬州·月考）如图1，，射线在平面内． （1）如图，垂直，平分，则的度数为______； （2）若与互补，求的大小； （3）若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______． 【答案】（1）；（2）或；（3）秒或秒或 秒或秒 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，垂线的定义，一元一次方程的应用． （1）根据垂直的定义和角平分线的定义可得出结论； （2）根据题意需要分两种情况：①当在的左侧时；②当在的下方时，分别画出图形求解即可得出结论； （3）根据题意需要分三种情况：当为的角平分线时（分停止前和停止后）；当为的角平分线时；当为的角平分线时分别求解即可得出结论． 解：（1）解：如图1 ∵垂直， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：如图2-1当在的左侧时，设，则， 由题意可知，， 解得； 如图2-2，当在的右侧时，设，则， 由题意可知，， 解得； 综上，符合题意的的度数为或； （3）解：如图， 为的平分线时， 由题意可知， 解得， 如图（已停止），为的平分线时， 由题意可知， 解得； 如图，为的平分线时，则， 解得； 如图，为的平分线时，则， 解得； 综上，射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间为秒或秒或 秒或秒． 故答案为：秒或秒或 秒或秒． 【变式2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图1，是直线上的一点，，平分． （1）若，求的度数； （2）将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，并说明理由； ②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，理由见分析；② 【分析】（1）由垂线的定义得，从而得到，由邻补角的定义计算可得，最后由角平分线的性质即可得到答案 （2）①先分别表示出和，再找出其中的关系即可；②根据题意得出，，代入得到，再将，代入进行计算即可． 解：（1）解：， ， ， ， ， 平分， ； （2）解：①， 理由如下： 根据题意可得：， ， ， 平分， ， ， ； ②画出图如图所示：   ， 则，， ， 整理得：， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题主要考查了角平分线的性质、垂线的定义、与余角和补角有关的计算、角的计算，熟练掌握角平分线的性质、垂线的定义，准确进行计算是解题的关键． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角．根据对顶角的定义以及画一条线段等于已知线段进行判断即可． 解：选项A，选项B，选项C中的工具，利用了对顶角相等， 而选项D利用的是“画一条线段等于已知线段”， 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·期末）如图所示，相交于点O，，下列说法错误的是（    ） A．与互余 B．与互余 C．与互补 D．与互补 【答案】C 【分析】本题主要考查互余、互补的概念及计算，掌握互余、互补的概念，结合图形分析是关键． 互余：在同一平面内，两角之和为，那么我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角；互补：在同一平面内，两角之和为，那么我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角；根据定义，结合图形分析即可求解． 解：A、∵， ∴， ∴与互余，故正确； B、∵， ∴， ∴与互余，故正确； C、∵， ∴与互补， ∵无法确定， ∴与不一定互补，故错误； D、∵， ∴与互补， ∵， ∴与互补，故正确； 故选：C． 3．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 解：A、表示点B到的距离，不符合题意； B、表示点A到的距离，符合题意； C、不表示点A到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级上·全国·期末）如图所示，，，下列说法不正确的是（ ） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 【答案】C 【分析】此题主要考查学生对点到直线距离概念的理解和掌握，根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，结合图示对各个选项逐一分析即可作出判断． 解：A、点B到的垂线段是线段，正确，故本选项不符合题意； B、点C到的垂线段是线段，正确，故本选项不符合题意； C、线段是点A到的垂线段，原说法错误，故本选项符合题意； D、线段是点B到的垂线段，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的有（    ） ①对顶角相等； ②若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ③若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟悉掌握对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义逐一判断即可． 解：①对顶角相等，说法正确； ②若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，根据对顶角相等，则②说法正确； ③若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等，说法错误，两个角相等不一定是对顶角，则③错误； 综上正确的为：①②， 故选：C． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明在证明“同角的余角相等”时，给出了如下推理过程： 已知：如图，． 求证：． 证明：（已知）， （垂直的定义）， ． 同理，， ． 则下列说法错误的是（   ） A．＃代表 B．＆代表等式的性质 C．*代表 D．☆代表余角的定义 【答案】D 【分析】该题考查了垂直的定义，余角，根据题中思路解答即可． 解：（已知）， （垂直的定义）， （等式的性质）． 同理，， （等量代换）， ∴＃代表，＆代表等式的性质，*代表，☆代表等量代换， 故错误的是D选项， 故选：D． 二、填空题 7．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，直线相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角的性质，要熟练掌握由垂直得直角这一要点． 根据垂直的定义可得，再由，可得，根据对顶角相等，即可得． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴． 故答案为：． 8．（21-22七年级下·云南曲靖·期末）如图，两条直线、相交于点，射线平分，若，则 ．    【答案】139 【分析】此题考查了对顶角，角平分线的定义及邻补角的定义，熟练掌握对顶角的性质，角平分线的定义及其应用是解题的关键．利用对顶角性质和角平分线的定义求出，利用邻补角的定义即可解答． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是 ．若于点，于点，则线段 的长度表示点到直线的距离． 【答案】 /度 / 【分析】本题考查的是邻补角的含义，点到直线的距离，根据邻补角与点到直线的距离的含义可得答案． 解：直线、相交于点，，则直线、的夹角是： ， ∵于点， ∴线段的长度表示点到直线的距离． 故答案为：， 10．（24-25七年级下·陕西西安·月考）数学课上，老师将一个量角器的中心与直线，的交点重合，表示的点在直线上，表示的点在直线上，对于的度数，让大家进行讨论，小明认为：若140，则；小刚认为：越小，的度数就越小，你认为 的说法正确． 【答案】小明 【分析】本题考查了角的运算，对顶角，先理解题意，得出的对顶角，再结合的情况进行分类讨论，即可作答． 解：依题意，的对顶角， 故小明的说法正确． 当时，越小，的度数就越小， 当时，越小，的度数就越大， ∴小刚的说法不正确． 故答案为：小明 11．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）经常捕鱼的渔民都知道，在叉鱼的时候要对准眼睛看到的鱼的下方，因为光的折射导致人看到的鱼的位置比鱼的实际位置要高一点．如图，于点O，平分，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，对顶角，角的和差，根据垂线的定义得到，再根据角平分线的定义求出，由对顶角相等得到，用即可求解． 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·重庆·月考）我们学习了垂直的定义，现仿照垂直的定义给出以下新定义：在两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是45度，那么就称这两条直线互为均分交线，交点称为均分点．如图，已知直线和互为均分交线，，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，垂线的定义，角平分线的定义，由新定义求出是解答本题的关键．由新定义和垂线定义求出，，得出，由角平分线的定义得，进而可求出的度数． 解：∵直线和互为均分交线，， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·云南普洱·期末）如图，与相交于点，，，平分． （1）求的度数． （2）求钝角的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查角度求解，解题的关键是掌握对顶角的性质，垂直的性质，以及角平分线的性质． （1）根据得出，即可求出的度数； （2）先根据对顶角相等求出的度数，再由角平分线的性质得到，即可求出的度数． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 14．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线，相交于点O，射线、分别在、的内部，已知，． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了对顶角相等，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键． （1）根据对顶角的性质得到，进而证得，运用一个角与它的补角之和为进行计算求解即可； （2）根据，可假设，，结合角之间的关系后进行计算求解即可． 解：（1）解：，， 答：的度数为； （2）解：， 设，则 ． 答：的度数为． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线相交于点O，． （1）的对顶角是________；的余角有________． （2）若与的度数之比为，求，的度数． 【答案】（1）；与；（2）， 【分析】本题考查了对顶角、余角、邻补角，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据对顶角，余角定义求解，即可解题； （2）根据已知条件得到与的度数，再根据邻补角定义求解，即可解题． 解：（1）解：的对顶角是； ， ， ， ， 则的余角有与， 故答案为：，与； （2）解：，与的度数之比为， ， ， ． 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，P是的边上的一点． （1）过点P画的垂线，垂足为C；点P到直线的距离是线段________的长度． （2）过点P画的垂线，交于点D． （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）图见分析，；（2）图见分析；（3），垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图． （1）根据题意画垂线，根据点到直线的距离的定义得到点到直线的距离是线段的长度； （2）根据题意画垂线； （3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到． 解：（1）解：如图所示，点到直线的距离是线段的长度； （2）解：如图所示； （3）解：，理由：垂线段最短． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的识别，熟知对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，然后即可求解． 解：根据对顶角的定义可知，只有C中和属于对顶角， 故选：C． 2．（2025·甘肃定西·一模）如图，直线a与b相交，若 ，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对顶角，邻补角的概念，解答的关键是对相应的知识的掌握． 由对顶角相等可得，从而可求的度数，再利用邻补角的定义即可求的度数． 解：直线a与b相交，， 由图可知，， ， ， 故选：D． 3．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据“垂线段最短”即可求解． 解：点C到点A，B的距离均大于点C到点D的距离这其中蕴含的数学原理是直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短． 故选：D． 4．（2025·广西来宾·模拟预测）如图，直线相交于点O，平分，于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的计算，角的和差计算，垂直的定义，邻补角等知识点． 先由垂直，则，再由角平分线得到，最后根据邻补角求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级下·山东德州·期中）若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则x为（   ） A．40 B．80 C．40或80 D．60 【答案】C 【分析】此题考查了两条直线相交所成角的关系，邻补角与对顶角的性质，一元一次方程的应用，正确理解两条直线相交所成角的关系是解题的关键． 由两条直线相交所成的四个角中，有邻补角、有对顶角，由此列方程解答． 解：当两个角是对顶角时，，解得； 当两个角是邻补角时，，解得， 故选：C． 6．（24-25七年级下·河南周口·月考）如图， 的度数比的度数的2倍少，设和的度数分别为，则x和y的值分别是 （      ） A．50和40 B．60和30 C．55和35 D．58和32 【答案】C 【分析】此题考查垂直的定义，解一元一次方程，几何图形中角度计算，正确理解垂直的定义是解题的关键． 解：∵， ∴ ∴， ∵的度数比的度数的2倍少， ∴， ∴， 解得 ∴ 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线、相交于点，射线平分，，若，则的度数为 ． 【答案】80 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，由得，进而可得，由角平分线的定义得，再由对顶角相等即可求解． 解：， ， 又， ， 射线平分， ， ， 故答案为：80． 9．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）已知直线，a与b之间的距离为5，平面内有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查了点到直线的距离． 分当P在a、b之间和当P在a、b同侧两种情况作答即可． 解：当P在a、b之间时， ∵a与b之间的距离为5，点P到a的距离是2， ∴点P到b的距离是； 当P在a、b同侧时， ∵a与b之间的距离为5，点P到a的距离是2， ∴点P到b的距离是； 故答案为：3或7． 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知直线、相交于点O，平分，平分，，则 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到，，根据邻补角的概念求出、，根据对顶角相等求出，计算即可． 本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，熟记对顶角相等是解题的关键． 解：平分， ， ∵， ， ，， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·新疆巴音郭楞·月考）如图，三条直线a，b，c交于一点，从小到大排序，用“<”连接为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，解答即可． 本题考查了对顶角相等，角的和差计算，熟练掌握性质是解题的关键． 解：根据题意，得， 故， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）图为《天工开物》记载用于春（）捣谷物的工具“碓（）”的平面结构示意图，与水平线相交于点，于点，于点，．若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用四边形内角和是进行计算，即可求解，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 解：∵于点，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如图，直线、相交于点，，是的平分线，是的反向延长线． （1）求、的度数； （2）说明平分． 【答案】（1），；（2）见分析 【分析】本题考查了角平分线的定义、平角的定义和对顶角相等的性质． （1）根据邻补角的定义，即可求得的度数，根据角平分线的定义和平角的定义即可求得的度数； （2）根据平分的两部分角的度数即可说明． 解：（1）解：如图， 因为，， 所以． 又因为是的角平分线，所以， 而， 所以， 即，； （2）解：因为， 所以 ． 所以， 所以平分． 14．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图所示，直线相交于点O，． （1）若，则的余角有 ． （2）若，求的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了垂直的定义、对顶角的性质、余角的定义、几何图形中的角度计算等知识点，掌握垂直的定义以及角的和差是解题的关键． （1）由垂线的性质求得，然后根据等量代换及余角的定义即可解答； （2）根据垂直的定义求得，再由求得，然后根据邻补角定义和对顶角的性质求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∵ ，即， ∵， ∴的余角有：，． 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 15．（24-25七年级上·云南保山·期末）已知是直线上的一点，平分．如图，与在直线的同侧，我们探究一下与的数量关系： （1）填表，当取不同度数时，请计算出的度数，并填写到下列表格中； （2）猜想，若，求的度数（用含有的式子表示），并说明理由． 【答案】（1），，；（2），理由见分析 【分析】本题考查垂线的定义，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）利用垂直的定义得以得到，然后利用角平分线的定义得到，然后利用平角的定义计算即可得到，再分别计算即可得到结果； （2）利用垂直的定义得以得到，然后利用角平分线的定义得到，然后利用平角的定义即可得到结论． 解：（1）解：∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：，，； （2）解：，理由如下： ∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（21-22七年级上·内蒙古赤峰·期末）点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． （1）如图1，若，且在直线的上方，求的度数． （2）射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． （3）射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）的度数是或或或 【分析】（1）根据，，求出，根据平分，即可得出结果； （2）先用表示出，再根据表示出，根据平分，即可得出结果； （3）分四种情况进行讨论，分别求出与的关系，用含的代数式表示的度数即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：， ， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴． （3）解：①当，在直线的上方时，如图所示： ， ∵平分， ∴， 即． ②当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 即． ③当，在直线的上方时，如图所示： ， ， ∵平分， ∴， 即． ④当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ， ∵平分， ∴， 即． 综上分析可知， 或或或． 【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和的位置分类讨论，是解决本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.3 相交线 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】对顶角及其性质 1 【知识点二】垂直 1 【知识点三】垂线段 2 【知识点四】点到直线的距离 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型1】对顶角的辨析 2 【★题型2】“对顶角相等”简单计算 3 【★题型3】“点到直线距离”与“垂直定义”的概念辨析 3 【★题型4】“垂直”与“对顶角相等”简单综合运算 4 【★题型5】“等面积法”求垂线段长 5 （二）培优篇 6 【★★题型6】对顶角、角平分线、垂直综合运算 6 【★★题型7】对顶角、角平分线、余角、补角综合运算 7 【★★★题型8】对顶角、角平分线、余角、补角与旋转综合 7 二．同步练习​ 9 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 9 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 13 一.知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】对顶角及其性质 定义：两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角。 性质：对顶角相等。 【要点提示】 （1）对顶角定义：前提：两条直线相交，只有相交线才会产生对顶角；两个要素：① 有公共顶点；② 没有公共边。 （2）性质：对顶角相等，反过来相等的角不一定是对顶角。 【知识点二】垂直 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 【要点提示】前提条件：两直线相交形成四个角中，至少一个角是直角 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【特别提示】基本事实一中，“确定”表示有且只有.“有”表示存在，“只有”表示唯一.“过一点”此点位置可能在直线外，也有可能在直线上. 【知识点三】垂线段 定义：过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足线段之间的线段叫作叫作这点到直线的垂线段. 性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 【特别提示】垂线：表示的是直线，没有长度；垂线段是线段，有长度。 【知识点四】点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离. 【特别提示】点到直线的距离表示的是点到直线的垂线段的长度，垂线段指的图形，点到直线的距离指的是长度。 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型1】对顶角的辨析 【例题1】（23-24七年级上·甘肃武威·期中）下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线相交所成的角是对顶角 C．对顶角相等 D．有公共顶点且相等的角是对顶角 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．有公共顶点的角是对顶角 B．相等的角是对顶角 C．对顶角相等 D．不是对顶角的角不相等 【变式2】（24-25七年级下·福建莆田·期中）下列各图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【小结归纳】判断说法正误时，可直接排除“有公共顶点的角就是对顶角”，“相等的角就是对顶角”等错误表述；识别图形中的对顶角时，重点看两个角的两边是否互为反向延长线，同时满足无公共边的要求。 【★题型2】“对顶角相等”简单计算 【例题2】如图，直线，相交于点O，则的度数是 ． 【变式1】（23-24七年级下·河北唐山·期中）课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其括号内推理的依据为（   ） 因为， 所以（依据：      ） A．平角的定义 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等量代换 【变式2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 【小结归纳】 利用 “对顶角相等” 进行简单计算的题型，核心解题思路可归纳为：先在图形中准确识别对顶角，再利用 “对顶角相等” 建立等量关系，结合平角定义、补角性质等，通过列方程或直接角度代换求解未知角的度数。 【★题型3】“点到直线距离”与“垂直定义”的概念辨析 【例题3】（24-25七年级下·湖北黄石·月考）如图，，，垂足为D，则下面的结论中正确的个数为（   ） ①与互相垂直；②点C到的垂线段是线段；③点A到的垂线段是线段；④线段的长度是点B到的距离；⑤线段是点A到的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】如图所示，下列说法不正确的是（  ） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点A到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 【变式2】从直线外一点到已知直线上的点的所有连线中，与已知直线垂直的线段有多少条？（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【小结归纳】 “点到直线距离” 与 “垂直定义” 概念辨析题型的核心解题思路可归纳为：紧抓两个核心概念的本质，垂直定义强调两直线相交成直角的位置关系，点到直线的距离强调直线外一点到直线的垂线段的长度。判断垂线段时，需先确认垂直关系，再找准 “点” 与 “直线” 的对应关系；判断点到直线的距离时，要注意区分 “垂线段” 和 “垂线段的长度”，避免混淆图形与数量的概念；同时牢记 “同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 的基本事实，以此判断垂线段的条数。 【★题型4】“垂直”与“对顶角相等”简单综合运算 【例题4】（24-25七年级下·广东东莞·期中）如图，直线，相交于点，．若，求的度数． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）已知直线和相交于O点，射线于O，射线于O，且，则 _____ ． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为 ． 【小结归纳】 “垂直” 与“对顶角相等”简单综合运算题型的核心解题思路可归纳为：先结合图形，利用垂直定义得出直角，再识别图中的对顶角并依据“对顶角相等”建立等量关系，最后通过角的和、差、倍、分关系列式计算未知角的度数。解题时需注意先标注已知的垂直关系和对顶角，理清各角之间的关联，若出现射线与直线垂直的情况，同样先转化为直角条件，再结合对顶角的等量代换逐步推导。 【★题型5】“等面积法”求垂线段长 【例题5】（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（  ） A． B．6 C．8 D．10 【变式1】（24-25七年级下·全国·月考）如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 【变式2】（24-25七年级下·山东聊城·月考）如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为 ． 【小结归纳】 “等面积法” 求垂线段长题型的核心解题思路可归纳为：先根据 “垂线段最短”确定垂线段为所求的最短长度，再利用直角三角形的两种面积计算方式建立等量关系，通过面积等式求解垂线段的长度。 （二）培优篇 【★★题型6】对顶角、角平分线、垂直综合运算 【例题6】（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数． 【变式1】（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图，点在直线上，，平分，． （1）求的度数； （2）求证：平分． 【变式2】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，直线，相交于点于点，平分．若，求与的度数，并判断与的大小关系． 【★★题型7】对顶角、角平分线、余角、补角综合运算 【例题7】（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，直线，相交于点，分别在的内部，且平分，． （1）写出图中的余角：______．（2）若，求的度数． 【变式1】如图，直线，相交于点O，平分，，． （1）与互余的角是　　； （2）求与的度数． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·开学考试）已知：点O为直线上一点，过点O作射线，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，过点O作射线，使，作的平分线，求的度数． 【★★★题型8】对顶角、角平分线、余角、补角与旋转综合 【例题8】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，邻补角有______对，互补的角有______对． （2）如图1，设，求的度数（结果用含的代数式表示）； （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置． ①设，则______． ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【变式1】（24-25七年级上·江苏扬州·月考）如图1，，射线在平面内． （1）如图，垂直，平分，则的度数为______； （2）若与互补，求的大小； （3）若射线绕点O从射线的反向延长线的位置出发，以每秒的速度顺时针旋转；同时射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转，各自旋转后停止转动，请直接写出使得射线，，中某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线的时间______． 【变式2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图1，是直线上的一点，，平分． （1）若，求的度数； （2）将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，并说明理由； ②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 二．同步练习​ 【★基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）下列日常使用的工具或学具中，没有应用到对顶角及其相关知识的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·期末）如图所示，相交于点O，，下列说法错误的是（    ） A．与互余 B．与互余 C．与互补 D．与互补 3．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）下列作图能表示点A到的垂线段的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·全国·期末）如图所示，，，下列说法不正确的是（ ） A．点B到的垂线段是线段 B．点C到的垂线段是线段 C．线段是点D到的垂线段 D．线段是点B到的垂线段 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的有（    ） ①对顶角相等； ②若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ③若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明在证明“同角的余角相等”时，给出了如下推理过程： 已知：如图，． 求证：． 证明：（已知）， （垂直的定义）， ． 同理，， ． 则下列说法错误的是（   ） A．＃代表 B．＆代表等式的性质 C．*代表 D．☆代表余角的定义 二、填空题 7．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，直线相交于点O，，垂足为O，，则的度数为 ． 8．（21-22七年级下·云南曲靖·期末）如图，两条直线、相交于点，射线平分，若，则 ．    9．（25-26七年级上·上海·期中）如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是 ．若于点，于点，则线段 的长度表示点到直线的距离． 10．（24-25七年级下·陕西西安·月考）数学课上，老师将一个量角器的中心与直线，的交点重合，表示的点在直线上，表示的点在直线上，对于的度数，让大家进行讨论，小明认为：若140，则；小刚认为：越小，的度数就越小，你认为 的说法正确． 11．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）经常捕鱼的渔民都知道，在叉鱼的时候要对准眼睛看到的鱼的下方，因为光的折射导致人看到的鱼的位置比鱼的实际位置要高一点．如图，于点O，平分，，则的度数为 ． 12．（24-25七年级下·重庆·月考）我们学习了垂直的定义，现仿照垂直的定义给出以下新定义：在两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是45度，那么就称这两条直线互为均分交线，交点称为均分点．如图，已知直线和互为均分交线，，平分，则 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·云南普洱·期末）如图，与相交于点，，，平分． （1）求的度数． （2）求钝角的度数． 14．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，直线，相交于点O，射线、分别在、的内部，已知，． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 15．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，直线相交于点O，． （1）的对顶角是________；的余角有________． （2）若与的度数之比为，求，的度数． 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，P是的边上的一点． （1）过点P画的垂线，垂足为C；点P到直线的距离是线段________的长度． （2）过点P画的垂线，交于点D． （3）比较与的大小，并说明理由． 【★★能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃定西·一模）如图，直线a与b相交，若 ，则等于（ ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·广东湛江·月考）如图，数学课上老师让同学们在方格纸上进行如下操作：经过线段外一点，画线段的垂线段，并测量．同学们发现：点到点的距离均大于点到点的距离，这其中蕴含的数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短 4．（2025·广西来宾·模拟预测）如图，直线相交于点O，平分，于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山东德州·期中）若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则x为（   ） A．40 B．80 C．40或80 D．60 6．（24-25七年级下·河南周口·月考）如图， 的度数比的度数的2倍少，设和的度数分别为，则x和y的值分别是 （      ） A．50和40 B．60和30 C．55和35 D．58和32 二、填空题 7．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么 ． 8．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，直线、相交于点，射线平分，，若，则的度数为 ． 9．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）已知直线，a与b之间的距离为5，平面内有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是 ． 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知直线、相交于点O，平分，平分，，则 ． 11．（24-25七年级下·新疆巴音郭楞·月考）如图，三条直线a，b，c交于一点，从小到大排序，用“<”连接为 ． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）图为《天工开物》记载用于春（）捣谷物的工具“碓（）”的平面结构示意图，与水平线相交于点，于点，于点，．若，则的大小为 度． 三、解答题 13．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）如图，直线、相交于点，，是的平分线，是的反向延长线． （1）求、的度数； （2）说明平分． 14．（25-26七年级上·吉林长春·月考）如图所示，直线相交于点O，． （1）若，则的余角有 ．（2）若，求的度数． 15．（24-25七年级上·云南保山·期末）已知是直线上的一点，平分．如图，与在直线的同侧，我们探究一下与的数量关系： （1）填表，当取不同度数时，请计算出的度数，并填写到下列表格中； （2）猜想，若，求的度数（用含有的式子表示），并说明理由． 16．（21-22七年级上·内蒙古赤峰·期末）点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． （1）如图1，若，且在直线的上方，求的度数． （2）射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． （3）射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $