专题2.4 有理数的加法与减法（10题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本讲义聚焦有理数的加法与减法核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、减法法则（转化为加法）及运算律，衔接有理数概念与绝对值知识，为后续乘除运算搭建从法则理解到混合运算再到实际应用的学习支架。 该资料亮点在于分层设计，知识点后设“即学即练”夯实基础，10类题型含符号判断、简便运算等，变式训练提升推理意识。实际应用（如水位变化、守门员跑动）培养模型意识，新定义运算发展创新意识。课中辅助教师突破重难点，课后通过真题与变式练习助学生查漏补缺，提升运算能力与应用能力。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.4有理数的加法与减法 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01有理数的加法法则 知识点02有理数的加法运算定律 2.知识清单 知识点03有理数的减法法则 题型01有理数的加法运算 题型02有理数加法中的符号问题 题型03有理数加法运算律 有理数的加法与减法 题型04有理数的减法运算 题型05有理数的加减混合运算中去括号问题 3.题型精讲 题型06有理数的加减混合运算 题型07有理数的加减中的简便运算 题型08有理数的加减混合运算的应用 题型09根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型]0新定义下的有理数加减混合运算 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解有理数加法与减法的意义，掌握有理数加法法则及减法转化为加法的运算规 律。 教学目标 2.能熟练进行有理数的加减混合运算，并运用运算律简化计算。 3.通过实际情境探索有理数加减运算法则，发展抽象概括能力与运算能力。 重点： 1.有理数加法法则及减法法则的掌握与运用。 教学重难点 2.将减法统一为加法，并运用加法交换律与结合律简化运算。 教学难点： 1/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.异号两数相加时，符号确定与绝对值做差的计算方法。 2.有理数加减混合运算中，省略加号和括号的“代数和”形式的理解与运算。 知识清单 知识点01有理数的加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相迦， (②)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为 相反数的两个数相加得0： (3)一个数同0相加，仍得这个数. 【即学即练】计算： (10(-3)+(-9) 2)(-8)+0 (3)12+(-8) 4(-4.7）+3.9 知识点02有理数的加法运算定律 (1)加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a十b=b十a: (2)加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即+b +c=(a+b)+c=a+(b+c); 【即学即练】计算： (1)(-13)+(+12)+(-7)+(+18): 2)(-2.39)+(+5.57）+(-7.61)+(-0.57): +(-15)+[)+(175)+ 知识点03有理数的减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a一b=a十(-)b 【即学即练】计算： 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)-16-9 (): ®+： 40-11 题型精讲 题型01有理数的加法运算 【典例1】计算下列各题： (1)0+(-10): ) 3)13+(-13): 【变式1】计算： (1)(-5)+(-9) 2)(+1)+(-12.1) 3)(-3.8)+0 (4(-2.4)+(+2.4) (5)23+(-17)+6+(-22) (6)-6.35+(-1.4)+(-7.6)+5.35 【变式2】计算： (1)20+(-12): 2)(-8)+(-32): 3)0+(-22): ): 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 52 6)(-2.8)+(-3.6)+3.6 【变式3】计算： (1)-15)+18； 2)(-5.1)+(-3.7): 2): 5175+4): (6)(-8)+0 题型02有理数加法中的符号问题 【典例2】如果两数和为正数、下列说法中正确的是() A.两个加数都是正数 B.一个加数是正数，另一个加数是负数 C.两个加数的差是正数 D.绝对值数较大的加数必是正数 【变式1】下列说法中正确的是() A.两数相加，其和大于任何一个加数 B.异号两数相加，其和小于任何一个加数 C.绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D.两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【变式2】两个有理数的和为负数，那么这两个数一定() A.都是负数 B.至少有一个是负数 C.有一个是0 D.绝对值不相等 【变式3】下列说法正确的是() A.若a<b,则la< B.a为任何有理数，则la-l必为负数 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数 D.若lq+a=0,则a为非负数 题型03有理数加法运算律 【典例3】计算： (1)-2.4)+(+3.5)+(-4.6)+(+3.5)； 22g62r(s+so. 【变式1】计算： +引： ++ 【变式2】计算： (1)(-13)+(+12)+(-7)+(+18): (2)(-2.39)+(+5.57)+(-7.61)+(-0.57): B星+(-15)+8)+(175)+8 【变式3】阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题. @58()12( 解：原（([（到引r+引（到(】 [-5+(+(1]+[》+ =0+(-, 上述这种方法叫作拆项法.灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便. ②仿照上面的方法计算： （-2023}20248}+4046-（+ 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04有理数的减法运算 【典例4】计算： 引-引： a-2y-(: (3)4.3-6.2； 428-(34)】 【变式1】计算 (1)(-8)-8 2)(-8)-（-8) 3)8-（-8) 4)8-8 (5)0-6 6)0-(-6) (7)16-47 (8)-5-6 (9)-9+5 【变式2】计算： (1)(-3)-（-5): (2)0-7: 3)2-5: 4)7.2-（-4.8): 3对54 【变式3】计算： (1)0-2024 - 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ): （（ (5)(-36)-(-28)-(-42)-44 题型05有理数的加减混合运算中去括号问题 【典例5】算式-3-(5)+(-2)写成省略加号的和式，正确的是() A.3+5-2 B.-3+5+2 C.-3-5+2 D.-3+5-2 【变式1】把4-（-2)+(-6)-(+5)写成省略加号和的形式为() A.4+2-6-5B.4-2-6-5 C.4+2+6-5 D.4+2-6+5 【变式2】将式子+(-5)-(+3)+(+6)-(-8)+(10)改写成省略括号的形式为() A.-5+3+6-8-10 B.-5-3+6+8-10 C.-5-3+6-8-10 D.5-3+6-8-10 【变式3】为计算简便，把(-1.4)-（-3.7)-(+0.5)+(+2.4)+(-3.5)写成省略括号和加号的和的形式，正确 的是() A.-1.4+3.7-0.5+2.4-3.5 B.-1.4+3.7+0.5+2.4-3.5 C.-1.4-3.7-0.5+2.4-3.5 D.-1.4+3.7-0.5+2.4+3.5 题型06有理数的加减混合运算 【典例6】计算： 392只(6s(2》 214}15+5(-2.75). 【变式1】计算： 吋日(3}-025+（←37列-45： 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -3+(15)+片-（←15）-(3-2 【变式2】计算： (1)-20+(-14)-(-18)-13； 肉号+站 3)-3+(-5)-6-(-4): 引++(-o5)++ 【变式3】计算： 2(←372-（←325）+-3： [兮+引： 题型07 有理数的加减中的简便运算 【典例7】计算： （2 【变式1】计算： (1)(-7)-(+10)-(+8)+(-2): e++副 【变式2】计算 (1)8+(-26)-13+(-8)-（-2) a-42号(》r(2号到 【变式3】计算： (1)--32-+12-(-6) 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -(-62-(8》-15+2 题型08 有理数的加减混合运算的应用 【典例8】流花河的警戒水位是3.4米，下表记录的是今年某一周内的水位变化情况，取河流的警戒水位 作为0点，并且上周末（星期日）的水位达到警戒水位，正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前 一天下降. 星期 二 三 四 五 六 日 水位变化 +0.20 +0.81 0.35 +0.03 +0.28 -0.36 -0.01 (米) 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降 (1)请在下表中填写本周流花河每天的实际水位高度情况： 星期 五 六 日 实际高度/米 (2)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的 距离分别是多少米？ 星期 三 四 五 六 日 实际高度 73.60 74.41 74.06 74.09 74.37 74.01 74 /米 【变式】足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记 作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m):+10,-2,+5, +12,-6,-9,+4,-14.(假定开始计时时，守门员正好在球门线上) (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10m(不包括10m),则对方球员挑射极可能造成破门.问：在这一 时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由. 【变式2】财商教育有助于培养孩子的独立生活能力和积极向上的价值观、社会责任感.小昆在妈妈的协 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 助下，通过售卖废报纸、饮料瓶，转卖二手书，义卖闲置物品等方式获得一定收入，并用于购买学习用具 和一些日常所需品.为了更好的理财，他每周做一次收支记录，其中一个月的收入和支出记录如下（收入 用“+”，支出用“-”，单位：元)： +14,-9,+8,-7,+13,-6,+12,-5. ()小昆这个月是超支了还是有结余？如果超支，超支了多少？如果结余，结余了多少？ (2)若规定：收入5元，支出2元，经手金额为7元，则小昆这个月经手总金额离100元超过或不足多少元？ 【变式3】如图是流花河的水文资料（单位：），如表是今年雨季流花河一周内的水位变化情况（上周末 的水位达到警戒水位)· 星期 二 三 四 五 六 日 水位变化m +0.20 +0.81 -0.35 +0.03 +0.28 -0.36 +0.01 最高水位：35.3 警戒水位：33.4 平均水位：22.6 最低水位：11.5 图1 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降. (1)若取河流的警戒水位作为0点，那么图中平均水位可以记作； (2)请通过计算说明本周哪一天河流的水位最高？最高水位为多少米？ 3)与上周末相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？上升或下降了多少米？ 题型09根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例9】已知有理数，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的() -2-1a01b23→ A.a+b<0 B.1-a<0 C.-a>b D.a-b<0 【变式1】有理数a在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是() a0 A.a<0<1 B.a=a C.a-1>0 D.-a<0<1 10117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】数轴上表示a,b,c的点如图所示，下列式子中正确的是() a b0c A.-a<c B.a+c<0 C.axc>b D.b-a<0 【变式3】有理数a,b,c在数轴上所对应的点如图所示.则下列结论正确的是() b A.a+b>0 B.a-b>0 C.a+c<0 D.b+c>0 题型10新定义下的有理数加减混合运算 【典例10】定义一种新运算：规定a△b=a+b-3,例如2△1=2+1-3=0.计算以下式子 (1)-143 (2)(3△1)△(-3) 【变式1】对于有理数a,b定义一种新运算，a※b=4-b+a.例：3※(-2)=3-(-2)+3=8」 (1)求(8)※(-2)的值： (2)求(1)※5-2※(-7)的值 【变式2】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b,规定a☆b=a+b+a-b.如 (-3)☆2=-3+2+-3-2=4 (1)计算：（-6)☆(-10) (2)计算：[(-1)☆0]☆[7☆(-2)] 【变式】对于有理数，6定义一种新运第“A”,斑定：Q4=+6日-山 2 例如：（←1）42=1+2-上1-2-1 (1)填空：2△3=—，3△3=，（-2)△(-3)=— (2)若a>b,则a▲b的结果为一： (3)判断“▲”运算是否满足交换律并说明理由. 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(2026四川南充中考真题)计算2+(-2)结果是() A.-4 B.-1 C.0 D.4 2.(25-26七年级上辽宁大连阶段检测)下列计算正确的是() A.-7-(-2)=5 B.（-3.6)-(+5.4)=1.8 .(引( D.4-(-5)=-1 3.(26-27七年级全国暑假作业)将(-2)-(+1)-(-5)+(4)统一为加法运算，正确的是() A.（-2)+(+1)+(-5)+(-4) B.（-2)+(-1)+(+5)+(-4) C.(-2)+(+1)+(+5)+(+4) D.（-2)+(-1)+(-5)+(+4) 4.(25-26七年级上浙江杭州期末)我国是最早运用负数运算的国家，在古代数学名著《九章算术》中 就记载了利用算筹实施“正负术”的方法.图1展示了计算“3+(4)”的过程，按照此方法，图2展示的 计算是() (图1) (图2) A.(-5)+(-2)B.(-5)+2 C.5+2 D.5+(-2) 二、填空题 5.(25-26七年级下内蒙古包头阶段检测)计算：（-7)-13= 6.(25-26七年级上·浙江湖州期末)气象播报早晨的气温为-2℃，中午气温上升了8℃，则中午的气温 是 C 12117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 7.(25-26七年级上广东揭阳期末)设a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，C是最小的正整数， 则a+c-b= 8.(24-25七年级上新疆喀什期中)若x的相反数是2，=5，则x+y的值为 三、解答题 9.(26-27七年级全国暑假作业)计算： (①)13+(-12)+17+(-18)： (2)(-2.8)-(-7)-3.6 3)(-8)-(-15)+(-9)-（-12)； ④-0.5-53-1+33-4 7 72 10.(2026河北邯郸二模)习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程. 习题：计算-15-4{2 33· ,12 解：-15-4 433 …① =-15+(-4) ② =-19 .③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是 (填序号)；请写出原习题正确的计算过程和结果. ②为了强化计算，数学老师写出如下变式，-一3号(3)口(》， 填入口中使得算式成立的符号是 一：（填“+”或“”) 11.(25-26七年级上·宁夏吴忠期末)小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路 上送外卖.如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“-”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单 位：千米)： -2,+3.5,-1.8,+0.3,+1.6,-2.6. ()小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为千米. (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行 13117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 程？请说明理由。 12.(25-26七年级上·辽宁大连阶段检测)定义新运算“△”，根据运算规律完成作答： (+4)A+6)=+10,（-7)4-2)=+9,（-5)A+8)=-13,(+6)A-3)=-9,0A+5)=5,（-9)a0=9. (I)归纳“△”运算法则：两数进行△运算时， ；任何数与0进行△运算时， (2)计算：[(-4)4+3)](-2)： (③)判断交换律、结合律在该运算中是否适用. 能力提升 一、单选题 1.(2026陕西宝鸡一模)计算：2-(-)=() A.1 B.-1 C.3 D.-3 2.(2025七年级上浙江专题练习)下列算式正确的是() A.（-14)-5=-9 B.0-（-3)=3 C.(-3)-(-3)=3 D.5-3=-(5-3) 3.(25-26七年级上·云南昆明阶段检测)把算式(-3)+(-2)-(1)写成省略加号和括号的形式为() A.-3+2-1 B.3+2-1 C.-3-2-1 D.-3-2+1 4.(25-26七年级下山东日照开学考试)有理数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示，则在-a,0, b-a中，最大的是() -1a01b2 A.-a B.0 C.b-a D.不能确定 5.(25-26七年级上湖南衡阳期中)若m=6,M=4,且m+n<0,则m-n的值为() A.-10或-2B.10或2 c.-10或2 D.10或-2 二、填空题 6.(2026九年级下·吉林长春专题练习)计算：-2-（-3)= 14117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -23 7.(25-26七年级上全国·课后作业)若方框 表示运算 则方相 x-y+z+w 3-6 8.(25-26七年级上·安徽芜湖·期末)观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果 为 ⊙令 9.(25-26七年级上甘肃兰州期末)将数字-2，-3，-5,8,9,11写在一个骰子的6个面上（如图 1),用3个这样的骰子叠放成如图2所示的柱体，则该柱体的表面（不含下底面）上的数字之和是 2 5 9 8 图1 图2 10.(25-26七年级上河南开封期末)如图，在一条不完整的数轴上从左至右有A,B,C三点，其中 AB=2,BC=1,设点A,B,C所对应的数的和是P,若以A为原点，根据点B,C所对应的数，计算 P的值为一；若原点0在图中数轴上点C的右边，且B0=2025,计算P的值为一· A C 三、解答题 11.(25-26七年级上内蒙古包头阶段检测)计算 0-(3227 @号2}-(2 12.(22-23七年级上重庆九龙坡周测)计算 (1)(-7)+(+11)+(-13)+9 614+2-(586-+号 15117 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6+3号5+(-23) ④2到2 13.(25-26七年级上甘肃定西阶段检测)定义新运算“⊕”：a®b=a-b+a+b. (1)计算4⊕(-3)： (2)若a田a=12,求a的值. 14.(25-26七年级上·河南许昌·期末)外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖 小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过60单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于60单的部 分记为“一”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 三 四 五 六 日 送餐量 (单位： +4 +14 -8 +7 +12 单) ()该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送单： (2)该外卖小哥这一周总共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成.送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过60单的 部分，每单补贴2元；超过60单但不超过70单的部分，每单补贴4元；超过70单的部分，每单补贴6元】 该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 15.(25-26七年级上河北石家庄阶段检测)如图(1)是2024年11月份的日历表，小明在其中画出一 个3x3的方框（粗线框），框往九个数，计算其中位置如图(2)所示的四个数“(a+)-(b+c)”的值， 探索其运算结果的规律， 四五六 1 2 b n 4 6 8 9 10111213141516 17 181920212223 24252627282930 图(1) 图(2) 图(3) (1)初步分析：计算图(1)中(5+21)-(7+19)的结果为 (2)深入思考：小明将3×3的方框移动到图(1)中的其他位置，通过计算可以求出(a+)-(b+C)的值.探 16117 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 索(1)中运算的规律，其过程如下，请你将过程补充完整 设a=x,则b= C= ，d=， 所以(a+d)-(b+c)= (填写化简后的结 果) (3)拓展探究：同学们利用小明的方法，借助图(1)中的日历，继续进行如下探究.在日历中用“Y型框” 框住位置如图(3)所示的四个数，探究“(m+q）-(n+P)”的值的规律，写出你的结论，并说明理由. 17117 专题2.4 有理数的加法与减法 教学目标 1. 理解有理数加法与减法的意义，掌握有理数加法法则及减法转化为加法的运算规律。 2. 能熟练进行有理数的加减混合运算，并运用运算律简化计算。 3. 通过实际情境探索有理数加减运算法则，发展抽象概括能力与运算能力。 教学重难点 重点： 1. 有理数加法法则及减法法则的掌握与运用。 2. 将减法统一为加法，并运用加法交换律与结合律简化运算。 教学难点： 1. 异号两数相加时，符号确定与绝对值做差的计算方法。 2. 有理数加减混合运算中，省略加号和括号的“代数和”形式的理解与运算。 知识点01 有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. ⑶一个数同0相加，仍得这个数. 【即学即练】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可得解； （2）根据有理数的加法法则计算即可得解； （3）根据有理数的加法法则计算即可得解； （4）根据有理数的加法法则计算即可得解； （5）根据有理数的加法法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 知识点02 有理数的加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a＋b=b＋a； （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）； 【即学即练】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 知识点03 有理数的减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b 【即学即练】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的减法，解题的关键是熟练运用有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． （1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的减法法则计算即可； （4）根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型01 有理数的加法运算 【典例1】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加法法则求解即可； （2）根据有理数加法法则求解即可； （3）根据有理数加法法则求解即可； （4）根据有理数加法法则求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式1】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则和运算律是解答本题的关键． （1）（2）（3）（4）利用加法法则计算即可； (5）（6）利用加法交换律和结合律计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （5）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （6）根据有理数加法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4)0 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时，和为零，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）根据有理数的加法运算法则计算即可； （4）根据有理数的加法运算法则计算即可； （5）根据有理数的加法运算法则计算即可； （6）根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 题型02 有理数加法中的符号问题 【典例2】如果两数和为正数、下列说法中正确的是（    ） A．两个加数都是正数 B．一个加数是正数，另一个加数是负数 C．两个加数的差是正数 D．绝对值数较大的加数必是正数 【答案】D 【分析】根据有理数的加法计算法则可知，两数相加时，符号取绝对值大的数的符号，因为结果为正数，则其中大的那个加数的符号为正，据此可得答案． 【详解】解：∵两数和为正数， ∴绝对值大的数的符号为正， 故选D． 【变式1】下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【答案】C 【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可． 【详解】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意； B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意； C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意； D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意； 故选：C． 【变式2】两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（　　） A．都是负数 B．至少有一个是负数 C．有一个是0 D．绝对值不相等 【答案】B 【分析】根据有理数加法法则分析判断即可． 【详解】解：根据有理数加法法则可知，如果两个有理数的和为负数，可有三种情况：同负；一正一负且负数的绝对值大于正数的绝对值；一个负数和0．显然三种情况中，至少一个为负数． 故选：B． 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 B．a为任何有理数，则必为负数 C．两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数 D．若，则a为非负数 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，有理数的加法法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，∴若，则，选项不正确，不符合题意； B、a为任何有理数，则必为非负数，选项错误，不符合题意； C、两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数，选项正确，符合题意； D、若 ，则a为非正数，选项错误，不符合题意； 故选C． 题型03 有理数加法运算律 【典例3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法法则和运算律的运用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． （2）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算； （2）根据有理数的加法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式3】阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 题型04 有理数的减法运算 【典例4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则计算即可； （4）根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【分析】本题考查了有理数的加减法，掌握有理数的加减法法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法则运算即可； （2）根据有理数的减法则运算即可； （3）根据有理数的减法则运算即可； （4）根据有理数的减法则运算即可； （5）根据有理数的减法则运算即可； （6）根据有理数的减法则运算即可； （7）根据有理数的减法则运算即可； （8）根据有理数的减法则运算即可； （9）根据有理数的加法则运算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：； （9）解：； 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握减法计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的减法法则计算即可； （4）根据有理数的减法法则计算即可； （5）根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，求一个数的绝对值，熟练掌握有理数减法运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则，“减去一个数等于加上这个数的相反数”进行计算即可； （2）根据有理数减法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则，进行计算即可 （4）根据有理数减法运算法则进行计算即可； （5）根据有理数减法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： （5）解：． 题型05 有理数的加减混合运算中去括号问题 【典例5】算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 利用去括号法则省略括号后即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1】把写成省略加号和的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法，先将原式整理为，再写出省略加号的形式即可． 【详解】原式 ． 故选：A． 【变式2】将式子改写成省略括号的形式为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用有理数的加减运算法则化简得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 【变式3】为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法，括号前是“”，可以直接去掉，不变号，括号前是“”，去掉“”和括号，括号内变号，即可解答． 【详解】原式． 故选：A． 题型06 有理数的加减混合运算 【典例6】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，关键是掌握有理数加减的运算法则． （1）先把减法化为加法，再用加法运算律计算即可； （2）先把减法化为加法，再用加法运算律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．有理数的加减法和运算律的应用，注意简便运算． （1）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解． 【详解】（1）原式； （2）原式． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、加法运算律等知识点，掌握相关运算法则和运算定律是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可； （3）先进行绝对值运算，再运用有理数加减法运算法则求解即可； （4）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的加减法的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键， （1）将分母相同的项利用同分母分数加减法的运算法则进行计算，然后再利用异分母分数的运算法则计算即可得到答案； （2）利用实数的运算法则，先算括号里面的，再计算即可得到答案； （3）先去括号，再将分母相同的项利用同分母分数加减法的运算法则进行计算，然后再利用异分母分数的运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解： ． 题型07 有理数的加减中的简便运算 【典例7】计算：； 【答案】 【分析】该题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算的运算法则． 原式化简多重符号后，利用加减法计算法则即可得到结果； 【详解】解： 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先去括号，再计算减法即可； （2）先去括号，再根据交换律分别计算，最后计算加法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式2】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟记法则是解决此题的关键，利用运算律可使计算简化． （1）先把互为相反数的两数结合，然后利用有理数的加减法解题即可； （2）把互为相反数的两数结合，然后利用有理数的加减法解题即可． 【详解】（1）解：； （2）． 【变式3】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先去绝对值符号，然后从左向右依次计算即可； （2）将分母相同的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型08 有理数的加减混合运算的应用 【典例8】流花河的警戒水位是米，下表记录的是今年某一周内的水位变化情况，取河流的警戒水位作为0点，并且上周末（星期日）的水位达到警戒水位，正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降 (1)请在下表中填写本周流花河每天的实际水位高度情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际高度/米 (2)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？ 【答案】(1)见解析 (2)星期二的河流的水位最高，星期一的河流的水位最低，它们都位于警戒水位之上，与警戒水位的距离分别是米 【分析】本题主要考查正负数的实际应用，有理数的减法法则； （1）根据正负数进行加减运算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际高度/米 74 （2）解：由（1）可知：星期二的河流的水位最高，星期一的河流的水位最低， ∵戒水位是米， ∴，， ∴它们都位于警戒水位之上， ∴，， ∴与警戒水位的距离分别是米． 【变式1】足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上； (2)25米； (3)4次，理由见解析． 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，若结果为0，则守门员回到了球门线上，否则没有； （2）求出每次离球门的距离即可得到答案； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【详解】（1）解：根据题意得：米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线（米）； 第三次跑距离开球门线（米）； 第四次跑距离开球门线（米）； 第五次跑距离开球门线（米）； 第六次跑距离开球门线（米）； 第七次跑距离开球门线（米）； 第八次跑距离开球门线（米）．                                ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）解：对方球员有4次挑射破门的机会，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 【变式2】财商教育有助于培养孩子的独立生活能力和积极向上的价值观、社会责任感．小昆在妈妈的协助下，通过售卖废报纸、饮料瓶，转卖二手书，义卖闲置物品等方式获得一定收入，并用于购买学习用具和一些日常所需品．为了更好的理财，他每周做一次收支记录，其中一个月的收入和支出记录如下（收入用“”，支出用“”，单位：元）： ，，，，，，，． (1)小昆这个月是超支了还是有结余？如果超支，超支了多少？如果结余，结余了多少？ (2)若规定：收入元，支出元，经手金额为元，则小昆这个月经手总金额离元超过或不足多少元？ 【答案】(1)小昆这个月有结余，结余了元； (2)不足元 【分析】（） 把各数相加，求出和，再根据正负数的意义即可判断求解； （）求出各数绝对值的和，再利用有理数的减法即可判断求解； 本题考查了有理数加法和减法的实际应用，正负数的意义的实际应用，绝对值的意义，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：小昆这个月有结余，结余了元； （2）解：， ∵， ∴小昆这个月经手总金额离元不足元． 【变式3】如图是流花河的水文资料（单位：m），如表是今年雨季流花河一周内的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化m 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． (1)若取河流的警戒水位作为0点，那么图中平均水位可以记作 m； (2)请通过计算说明本周哪一天河流的水位最高？最高水位为多少米？ (3)与上周末相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？上升或下降了多少米？ 【答案】(1) (2)周二；34.41米 (3)上升；米 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减的实际应用，理解题意，正确列出算式是解题关键． （1）用平均水位减警戒水位即可； （2）根据正负数的意义分别算出这一周每天的水位然后比较即可得到答案； （3）比较本周末水位和上周末水位，再相减即可． 【详解】（1）解：如果取河流的警戒水位作为0点，那么平均水位记作； 故答案为：； （2）解：周一：， 周二：， 周三：， 周四：， 周五：， 周六：， 周日：， 所以本周二河流的水位最高，最高水位为； （3）解：因为上周末的水位达到警戒水位即为，本周末的水位达到， ， 所以与上周末相比，本周末河流水位上升了，上升了． 题型09 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例9】已知有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，有理数的加减法运算，相反数．根据数轴确定有理数的大小关系是解题的关键． 【详解】解：由数轴得，， ∴， ∴D正确，符合题意；A、B、C均错误，不符合题意， 故选：D． 【变式1】有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴，绝对值的意义，相反数，有理数的减法．根据一对相反数在数轴上的位置特点，可知，再由数轴上的点右边的数总是大于左边的数，有理数减法法则逐一判断即可得解． 【详解】解：根据数轴可得：，且， ∴，，，， 则四个选项，选项A符合题意． 故选：A． 【变式2】数轴上表示，，的点如图所示，下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减，数轴的应用，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．从数轴得出，，进而逐一判定即可． 【详解】解：从数轴可知：，， ∴A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项正确，符合题意； C、，本选项错误，不符合题意； D、，本选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式3】有理数a，b，c在数轴上所对应的点如图所示．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，根据有理数a，b，c在数轴上所对应点的位置得出，逐项判断可得答案． 【详解】解：由数轴知，，可得： ，故A选项结论错误； ，故B选项结论正确； ，故C选项结论错误； ，故D选项结论错误； 故选B． 题型10 新定义下的有理数加减混合运算 【典例10】定义一种新运算：规定，例如．计算以下式子 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算求解即可； （2）先根据新定义计算出，再计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ∴． 【变式1】对于有理数定义一种新运算，．例：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据新定义运算法则，把问题转化为基础的绝对值化简，有理数加减混合运算计算即可； （2）根据新定义运算法则，把问题转化为基础的绝对值化简，有理数加减混合运算计算即可． 本题考查了新定义运算，绝对值化简，有理数加减混合运算，理解定义，规范解答时解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2】用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如 ． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2)28 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是关键． （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，先求和，再计算即可． 【详解】（1）解：☆ ． 故答案为：； （2）解： ． 【变式3】对于有理数、定义一种新运算“”，规定：． 例如：． (1)填空：______，______，______； (2)若，则的结果为______； (3)判断“”运算是否满足交换律并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)“”运算满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数和实数的知识，解题的关键是根据题目新定义运算，有理数的加减运算，进行解答，即可． （1）根据有理数、定义一种新运算“”，规定：，进行计算，即可； （2）新运算的规定计算，即可； （3）新运算的规定计算，验证是否满足交换律，即可． 【详解】（1）解：∵有理数、定义一种新运算“”，规定：， ∴； ； ； 故答案为：，，． （2）解：∵有理数、定义一种新运算“”，规定：， ∴当时，， ∴． （3）解：“”运算满足交换律，理由如下： 当时，， 此时，； 当，，， 此时：； 当时，，， 此时：； 综上：， ∴“”运算满足交换律． 一、单选题 1．（2026·四川南充·中考真题）计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可． 【详解】解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得． ∴． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减法法则，即可求解． 【详解】解：把统一为加法运算为． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）我国是最早运用负数运算的国家，在古代数学名著《九章算术》中就记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1展示了计算“”的过程，按照此方法，图2展示的计算是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的加法，解题的关键是：理解图1表示的计算．由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图2即可列式． 【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数， 所以图2表示的过程应是在计算， 故选：D． 二、填空题 5．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】根据有理数的减法求解即可． 【详解】解：． 6．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）气象播报早晨的气温为，中午气温上升了，则中午的气温是___________． 【答案】6 【分析】此题考查了有理数加法的实际应用，根据气温变化，使用有理数加法法则计算中午气温． 【详解】解：∵早晨的气温为，中午气温上升了， ∴中午气温为． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）设是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，则______． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的基本概念，包括最大的负整数、绝对值最小的有理数、最小的正整数，先确定的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是最大的负整数，∴； ∵是绝对值最小的有理数，∴； ∵是最小的正整数，∴； 将其代入，得； 故答案为：0． 8．（24-25七年级上·新疆喀什·期中）若x的相反数是2，，则的值为 __________． 【答案】3或 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的定义，有理数的加法运算． 根据相反数的定义求出x的值，根据绝对值的定义求出y的值，然后代入计算． 【详解】解：∵x的相反数是2， ∴， ∵， ∴或， 当时，； 当时，． 故答案为：3或． 三、解答题 9．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．（2026·河北邯郸·二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 【答案】(1)开始出错的步骤是②，原习题正确过程见解析，结果为 (2)+ 【分析】（1）根据运算过程判断即可；根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）把看作是两个负数的和，可得答案． 【详解】（1）解：在上面的计算过程中，开始出错的步骤是②； ； （2）解：， 故方框内应填上“+”． 11．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1千米 (2) (3)能，理由见解析 【分析】（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案； （2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可； （3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与12进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为， 所以小李距集合点最远为2千米， 故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 12．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；结果为这个数的绝对值 (2)9 (3)交换律适用，结合律不适用 【分析】（1）根据已知运算法则即可得到规律； （2）根据规律求解即可； （3）对于交换律，利用规律证明即可，对于结合律，可举例子求解． 【详解】（1）解：由已知运算可得，两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数与进行运算时，结果为这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解：交换律适用，结合律不适用， 设同号时， 则，，故； 设异号时， 则，，故； 设中，则，，故， ∴交换律适用； 对于结合律，不成立， 举例子，设， 则，，结果不同 故对于结合律不适用． 一、单选题 1．（2026·陕西宝鸡·一模）计算：（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的减法运算，运用有理数减法法则计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意，得． 2．（2025七年级上·浙江·专题练习）下列算式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的减法运算，求一个数的绝对值，根据有理数的减法法则，绝对值的意义，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，需利用有理数减法法则，将减法转化为加法后，省略加号和括号得到结果． 【详解】解： ． 故选D． 4．（25-26七年级下·山东日照·开学考试）有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则在，，中，最大的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】先根据数轴确定、的符号及取值范围，再推导和的符号与大致范围，最后通过比较大小确定最大值． 【详解】解：∵由数轴可知，，， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 5．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分类计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； ∴的值为或，故A正确． 二、填空题 6．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）计算： ______． 【答案】1 【分析】根据有理数减法法则，减去一个数，等于加上这个数的相反数，进行计算即可． 【详解】解：． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）若方框表示运算，则方框 =_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据方框表示的运算把算式转化为一般的有理数加减混合运算，再根据运算法则进行计算． 【详解】解：由题意可得：原式． 故答案为：. 8．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算． 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）将数字，，，8，9，11写在一个骰子的6个面上（如图1），用3个这样的骰子叠放成如图2所示的柱体，则该柱体的表面（不含下底面）上的数字之和是_______． 【答案】30 【分析】本题考查了相对面，有理数的混合运算，理解相对面，有理数加减运算法则是关键． 根据图示找出相对面上的数字，再根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据图1，图2可知， 数字8的邻面是9，11， 数字的邻面是，， ∴的相对面是，的相对面是，的相对面是， ∴图2中，叠放的图形中顶层的数字依次为：，和为， 第二层的数字依次为：，和为， 第一层的数字依次为：，和为， ∴该柱体的表面（不含下底面）上的数字之和是， 故答案为：30 ． 10．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左至右有，，三点，其中，，设点，，所对应的数的和是，若以为原点，根据点，所对应的数，计算的值为______；若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为______． 【答案】 【分析】根据数轴上两点间的距离公式，分别求出点，，所对应的数即可解决问题． 【详解】解：①为原点，，， 点所对应的数为， ， 点所对应的数为， ； ②原点在图中数轴上点的右边，且， 点所对应的数为， ，， 点所对应的数为，点所对应的数为， ； 故答案为：；． 三、解答题 11．（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．先化简括号和绝对值，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2)9 (3) (4)9 【分析】（1）利用有理数的加法运算律求解即可； （2）首先统一成加法，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （3）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （4）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 13．（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）定义新运算“”：． (1)计算； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及新定义，解题的关键是根据新定义列出算式． （1）由新定义列出算式，再计算即可； （2）由新定义列出方程，再计算即可；． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴， 解得． 14．（25-26七年级上·河南许昌·期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过60单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于60单的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送_____单； (2)该外卖小哥这一周总共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成．送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过60单的部分，每单补贴2元；超过60单但不超过70单的部分，每单补贴4元；超过70单的部分，每单补贴6元．该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)22 (2)该外卖小哥这一周共送餐441单 (3)该外卖小哥这一周的工资收入是1388元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用表格中的最大数减去最小数即可； （2）计算表格数据的和，再加上，即可求解； （3）根据工资方案，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：（单）； 故答案为：． （2）解：（单）， 答：该外卖小哥这一周共送餐441单． （3）解：（元）， 答：该外卖小哥这一周的工资收入是1388元． 15．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）如图（1）是2024年11月份的日历表，小明在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图（2）所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图（1）中的结果为_______． (2)深入思考：小明将的方框移动到图（1）中的其他位置，通过计算可以求出的值．探索（1）中运算的规律，其过程如下，请你将过程补充完整． 设，则_______，_______，_______，所以_______．（填写化简后的结果） (3)拓展探究：同学们利用小明的方法，借助图（1）中的日历，继续进行如下探究．在日历中用“Y型框”框住位置如图（3）所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)； (2)设，则，，，所以的值为； (3) 【分析】本题围绕日历中数的位置关系展开，需利用日历每行7天导致相邻数差值固定的规律（同行左右差1，同列上下差7），通过代数表示数并化简运算来探索规律． （1）直接代入已知数计算加减； （2）设，依据日历行列差值确定、、的表达式，再代入化简； （3）设，同理确定、、的表达式，代入化简以得规律． 【详解】（1）解：： （2）日历中，同一行相邻数差1，同一列相邻数差7． 在右侧， ； 在下方两行且左移一列， ； 在下方两行且右移一列， ． 将，，，代入式子： （3）设，根据日历数的规律： 在右侧， ； 在下方一行且右移一列， ； 在下方两行且右移一列， ． 将，，，代入式子： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $