第26章二次函数单元综合质量检测卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元综合检测卷，通过选择、填空、解答题（10/8/7题，20/16/64分）覆盖图像性质、平移、最值等核心知识，以生活实际（水火箭、租车利润）和文化情境（黄河第一桥、宿迁双塔）为载体，适配单元复习，强化数学眼光、思维与语言的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|抛物线平移（题1）、最值应用（题3）、图像性质（题5）|基础概念与图像辨析结合，如题3通过水火箭运动考二次函数顶点| |填空题|8/16|平移后交点（题11）、方程根个数（题13）、二次函数定义（题14）|几何直观与代数推理融合，题13借图像判断方程根体现数形结合| |解答题|7/64|解析式求解（题19）、实际应用（题21矩形花园）、综合探究（题25宿迁双塔）|分层设计，题25以文化地标为背景，考景距值最值与等腰三角形存在性，强化模型意识与创新思维|

第26章二次函数单元综合质量检测卷 一、选择题（共20分） 1．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 2．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 3．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 4．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 7．将抛物线进行平移得抛物线，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 8．若实数满足条件，则的最大值是（      ） A．15 B．16 C．17 D．不能确定 9．如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 10．已知抛物线与直线相交于、两点，则线段长的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 11．将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 13．如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有________个实数根． 14．函数是关于的二次函数，则______． 15．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 16．如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水面宽度为时，水面到拱顶的高度为，当水位在此基础上继续上涨时，水面的宽度为______m（结果保留根号）． 17．如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 18．已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 三、解答题（共64分） 19．已知抛物线（为常数）经过点，求此抛物线的解析式． 20．（1）解方程：； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标． 21．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． AI (1)求与之间的函数关系式； (2)当菜地面积为时，栅栏的三边长各为多少？ 22．如图、一座观景架的顶棚是抛物线型，是廊架顶棚的支撑柱，顶棚与地面交于点以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，米，米，图中抛物线的函数表达式为 (1)请分别求出、的值； (2)为烘托节日气氛，现要从抛物线上的点D处竖直向地面C处拉彩灯．从抛物线上的点F处竖直向地面处拉彩旗，米，米，请问彩灯比彩旗长多少米？ 23．近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数（辆）与每辆车每天的租金（元）满足关系式（，且为的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共元，设租车公司每天的利润为元． (1)求与的函数关系式．（利润租金支出） (2)公司在“十一黄金周”的前天每天都获得了最大利润，但是后天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过元．请确定这天公司获得的总利润最多为多少元？ 24．某校为迎接新年，计划在某一围墙上挂灯笼．如图所示，其拱形为抛物线的一部分，将线段六等分后在每一个等分点上挂上个灯笼（不含、点），相邻两个灯笼间距为，线段距离最低点的长度为 (1)以最低点为原点，建立直角坐标系，求出抛物线的函数表达式； (2)为了提升灯光效果，现决定将灯笼数量增加到个（将线段八等分），并保持灯笼间距不变，求在原设计方案的基础上，线段至少提升多少高度，才能满足新的要求． 25．阅读材料回答问题 背景：宿迁素有“第一江山春好处”的美誉，古黄河畔的江山塔、春好塔是宿迁城市文化地标，两塔隔水相望、中轴对称，尽显楚韵水城建筑之美．为美化双塔之间的景观带，园林部门在两塔中间修建一座弧形景观廊架，廊架侧面轮廓可近似看作一条开口向下的抛物线． 步骤：为进行数学建模研究，建立平面直角坐标系：以两塔水平对称轴为y轴，水平地面为x轴，竖直向上为y轴正方向．已知景观廊架抛物线的顶点为最高点，廊架左右两端落地处对应双塔底部观景台位置，两点坐标分别为． 已知桥面距离河面高度为，现有工程勘测机器人从桥面左侧某点出发，沿水平方向向右匀速行驶，速度为；同时有检测吊绳从塔顶顶点竖直向下匀速运动，速度为． 规定： ① 设抛物线上任意一点，定义景距值： ② 若抛物线上存在不同两点，使得与原点O构成以为底边的等腰三角形，则称为宿迁楚韵等腰三角形． ③现有景观巡检小车从点A右侧地面出发，沿x轴正方向匀速行驶，速度为1单位/秒；同时廊架顶端亮化灯从顶点M竖直向下匀速降落，速度为单位/秒，两者同时开始运动．问题： (1)求景观廊架轮廓抛物线的函数解析式； (2)在抛物线上第一象限内是否存在一点P，使得景距值L取得最小值？若存在，求出点P坐标和最小景距值；若不存在，说明理由； (3)抛物线上是否存在两点，使得为宿迁楚韵等腰三角形，且点C的横坐标为1？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 参考答案 1．B 【分析】将抛物线平移问题转化为其顶点的平移问题求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 2．C 【分析】先求出的值，再用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴将代入，可得， ∴整理得， 将代入得原式． 3．B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 4．D 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 5．D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 6．D 【分析】代入已知点到解析式，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：将代入，得， 整理得， 解得， ∴抛物线解析式为． 7．A 【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含的代数式表示出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，即可求出点的横坐标． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， 点在抛物线上，平移后对应点为， 的坐标为，即， 在抛物线上， 将代入得： ， 整理得， 解得或， 则的值可以是或， 因此点的横坐标可以是或，选项A符合． 8．A 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键得到关于x的函数关系式并确定出x的取值范围；由题意可得，再代入所求代数式得到关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质进行解题即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴当时，的值最大，最大值为， 故选：． 9．C 【分析】设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为，根据题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为． 10．C 【分析】先联立抛物线与直线的方程，得到关于x的一元二次方程，再结合两点间距离公式推导出关于的表达式，最后利用平方数的非负性求出长的最小值． 【详解】解：设， 联立抛物线与直线方程 整理得 由根与系数的关系得 ∵ ∴ ∵ ， ∴ 当 时，取得最小值 代入得． 11． 【分析】先根据二次函数平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令 求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 12． 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 13．3 【分析】本题考查函数与方程的关系，根据函数图象交点的个数即为两解析式联立方程的解得个数解答即可． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出与的图象，结合图像可得有三个交点， ∴方程有3个实数根． 故答案为：3． 14． 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 15．8 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 16． 【详解】根据图示建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式，利用已知条件求出点的坐标并代入解析式求出的值，确定函数解析式，再根据水位上涨后的高度求出对应的值，再列式求出水面宽度，即可作答． 【点睛】解：设抛物线的解析式为. 由题意可知，抛物线顶点为原点，对称轴为轴， ∵，，且点在第四象限， 根据抛物线的对称性，点的横坐标为，纵坐标为， 即； 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当水位上涨时，水面到拱顶的距离变为． 此时水面上点的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∴水面的宽度：． 17．8 【分析】根据二次函数的对称性及正方形的性质求出点A的坐标，代入计算即可． 【详解】解：如图， ∵A，B是x轴上方抛物线上的两个点，抛物线的对称轴为直线， ∴A，B关于y轴对称， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 即， 将代入得：， 解得：． 18． 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 19． 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵抛物线（为常数）经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 20．（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，求抛物线与坐标轴的交点坐标； （1）利用因式分解即可求解； （2）令分别为，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）因式分解得：， 即或， 解得：； （2）当时，， 当时，， ∴， ∴或， 解得：或， ∴抛物线与坐标轴的交点坐标为． 21．(1) (2)，， 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的综合，解题的关键是根据矩形的性质，列出函数解析式，进行解答，即可． （1）根据题意，则，，根据矩形的面积为：，即可； （2）由（1）得，函数解析式，当，求出，即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为：， ∵，， ∴，， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：． （2）解：由（1）得，， ∴当菜地面积为，， 解得：，（舍）； ∴， 答：，，． 22．(1) (2)米 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求函数解析式、二次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． （1）将点、代入抛物线解析式，利用待定系数法求解解析式即可； （2）根据点、横坐标求出对应的纵坐标即可解答． 【详解】（1）解：∵米，米， 点的坐标为，点的坐标为， 将点、代入中得 ， 解得， 该抛物线的函数解析式为. （2）解：∵，，故， 当时，，即米， 当时，，即米， （米） 答：彩灯比彩旗长米． 23．(1)（，且为的整数倍） (2)这天公司获得的总利润最多为元 【分析】（1）根据利润等于每辆车的利润乘以租出的车辆数，列式计算即可； （2）根据二次函数的性质分别求出前天和后天的利润最大值，然后相加即可得出获得的总利润最大值． 【详解】（1）解：根据题意得 （，且为的整数倍）； （2）解：， ， 前天：当时，取得最大值，最大值为， 当时，随着的增大而增大，后天每辆车每天的租金不超过元， 后天：当时，的最大值为， （元）． 答：这天公司获得的总利润最多为元． 24．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）先确定抛物线顶点在原点，设出抛物线的一般式，再根据已知条件求出点的坐标，代入求出的值，从而得到抛物线函数表达式； （2）先求出增加灯笼后点的横坐标，代入已求出的抛物线表达式求出对应的纵坐标，再用该纵坐标减去原来点的纵坐标，得到线段至少提升的高度． 【详解】（1）解：由抛物线顶点在，设抛物线解析式为， ∵将线段六等分，相邻两个灯笼间距为， ∴， 又， ∴点坐标为， 将代入得，解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵将线段八等分，挂个灯笼，相邻间距， ∴此时点的横坐标为， 当时，代入得 ， ∴提升的高度为． 25．(1) (2)存在，，最小景距值 (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）理解题意，先设函数解析式为，再把代入计算，即可作答． （2）先整理得，结合，故，又因为点P在抛物线上第一象限内，且抛物线的解析式为中，得，运用二次函数的性质进行分析，即可作答． （3）结合点C的横坐标为1，求出，又因为为宿迁楚韵等腰三角形，得，结合为抛物线的一点，设，再把数值代入计算，得或，再进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如图所示： ∵以两塔水平对称轴为y轴，水平地面为x轴，竖直向上为y轴正方向．已知景观廊架抛物线的顶点为最高点 设景观廊架轮廓抛物线的函数解析式为 把代入，得， 解得， ∴景观廊架轮廓抛物线的函数解析式为； （2）解：存在，理由如下： 由（1）得， ∴， ∴， ∵设抛物线上任意一点，定义景距值：， ∴， ∵点P在抛物线上第一象限内，且抛物线的解析式为中， ∴， 当时，取得最小值，且为8； 此时， ∴， 解得，（舍去）， ∴存在点，最小景距值为； （3）解：由（1）得景观廊架轮廓抛物线的函数解析式为； ∵点C的横坐标为1， ∴， 即， ∵为宿迁楚韵等腰三角形， ∴ ∵点为抛物线的一点 ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得或， 解得（与点C重合，故舍去），，（故舍去），（故舍去） ∴ ∴符合题意的点D的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $