第1章三角形分层特训-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 《第1章三角形分层特训》通过“基础达标+思维达标”分层设计，基础题夯实三角形性质与全等核心知识，思维题深化动态几何与综合应用，适配单元复习中不同层次学生的巩固与提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|三角形三边关系、全等性质、等腰三角形等单一知识点|以选择填空为主，如第1题三边关系数轴表示，第8题三角形三线性质辨析，强化概念理解与基础运算| |思维达标|动态几何、模型应用、翻折变换等综合知识|以探究题为主，如第18题全等模型应用，第20题翻折与中点性质综合，培养推理能力与创新意识|

第1三塞嬖标 1.已知三角形的三边长分别为3,5，x,则第三边长x的取值范围在数轴上表示正确的是() A.05 B.02 8→c.03 D.02 2.将含30°角的直角三角尺ACD和直尺按如图所示的方式放置，若∠a=30°，点A,B表示的刻度分别为 0cm,2.9cm,则CD的长为() mpaim 0 1cm23 ac D A.1.45cm B.2.9cm C.4.35cm D.5.8cm 3.图中的两个三角形全等，则2的度数是() Q b b 39° 70A A.39° B.70 C.71° D.无法确定 4.aMC市，已知点D,层，P分别是BC,D,CE边上的中点，且5=32cm,R S为(） , 试卷第1页，共3页 B A.8cm2 B.4cm2 C.2cm2 D.Icm2 5.如图，△ABC中，BC=6,点D、E分别是CB、AB上的点，CD=2BD,AE=BE,连接AD、CE 交于点F.当四边形BEFD的面积为7时，则线段AB长度的最小值为() A.7 B.8 C.9 D.10 6.如图，等腰△ABC的底边BC长为6.面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F. 若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值是() E A.11 B.12 C.13 D.14 7.如图，AB=4cm,AC=BD=3cm,∠CAB=∠DBA,点P在线段AB上以lcms的速度由点A向点B运 动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，设运动时间为 句，当4CP与△8P0全等时，则点0 的运动速度为()cms. C D A-P B 试卷第2页，共3页 A.0.5 B.1 C.0.5或1.5 D.1或1.5 8.以下说法正确的有() ①三角形的中线、角平分线都是射线： ②三角形的三条高所在直线相交于一点： ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点： ④直角三角形的三条高相交于直角项点： ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图，在6×6的正方形网格中，A,B两点都是网格的格点，若△ABC是等腰三角形，且点C也是该网 格的格点，则点C的个数是 10.如图，己知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8,点M,N在边OB上，PM=PN.若M=2, 则OM的长是一 A 060°/ MNB 11.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm,△ABD周长为l3cm,则△ABC的周长为 cm D I2.如图，等边△ABC中，AB=8,点D为AC边上一动点，连接BD,点M,N在BD上，连接CM, 试卷第3页，共3页 AN AN,∠AND=60°，∠BCM=∠ABD·设AD=m(m<4),则MN —·(用含m的代数式表示) B I3.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D,再分别以点B和点D为圆心， 大于2BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N,作直线MN交AB于点E,若AB=10: AC=6,则△ADE的周长为 M E D 14.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点E是BC边上的一点，过点B作BF⊥AE交AE的延长 线于点F,延长FB至点G,使得FG=AF,连接CG交AF于点H,若AF=6,BF=2,则△ACH的面 积为一 B E 15.如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E,AD=BC,∠DAB=∠CBA D (I)求证：△ABC≌aBAD: (2)求证：EA=EB. 试卷第4页，共3页 16.△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°. D 图1 图2 (1)如图1，点D,E在AB,AC上，则BD,CE满足怎样的数量关系？请说明理由. (2)如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连接BD,CE,则BD,CE满足怎样的数量关系和位置关 系？请说明理由. 17.七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点标上字母，如 图所示，并提出了一个问题：如何证明AE是∠QAP的平分线呢？ 小丽想，先证明△ABC≌△ADC,即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 试卷第5页，共3页 A(R) 在△ABC和△ADC中， :AD=BC,AB=DC,AC=AC,第一步 .△ABC2aADC,第二步 .∠BAC=∠DAC,第三步 :AE平分∠QAP,第四步 回答下列问题： ()小丽的证明过程从第步开始出错，第三步的依据是_： (2)请你帮助小明写出正确的证明过程。 01 思维达标 18.【综合与探究】 试卷第6页，共3页 O 图2 在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=LCOD,连接AC,BD (I)【模型呈现】如图1，A,O,D三点共线，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图2，设AC,BD相交于点P,AC,OB相交于点Q,若∠AOB=50°，求∠APD的度 数. I9.已知OM是∠AOB的平分线，点P是射线OM上一点，点C,D分别在射线OA,OB上，连接PC, PD 【发现问题】 (I)如图①，当PC⊥OA,PD⊥OB时，则PC与PD的数量关系相等吗？说明理由. M 图① 【探究问题】 (2)如图②，点C,D在射线OA,OB上滑动，且∠AOB=90°，当PC⊥PD时，PC与PD在【发现问 题】中的数量关系还成立吗？说明理由. 试卷第7页，共3页 M D 图② 20.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC>AC, C C 图1 图2 图3 (I)AE平分∠BAC,交BC于点E,点M为CA延长线上的一点. ①如图1，当点N为线段AB上一点时，连接MN,若MN∥AE,则△AMN是」 三角形： ②如图2，当点N为线段AB的延长线上一点时，若ME=NE,求证：AW=2AC+AM: (2)如图3，在BC上取点D,使得CD=CA,连接AD,将△ACD沿CD翻折，点A的对应点为A,取CD 的中点F,连接A'F,过点C作CP⊥AF,垂足为H,CP交AD于点P,连接PF, ①请补全图形； ②求证：A'F=CP+PF, 试卷第8页，共3页 试卷第9页，共3页 《第1章三角形分层特训-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（新教材)》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A A D A D 1.D 【分析】根据三角形三边关系定理确定第三边的取值范围，再对应数轴表示即可， 【详解】解：三角形两边长分别为3,5， 第三边长x应满足5-3<x<5+3, 即2<x<8 在数轴上表示为： 02 2.C 【分析】根据平行线的性质求出∠BAD=∠a=30°=∠ADC,得到BD=AB=2.9cm,然后 利用含30度角直角三角形的性质求出BC=)AB=145cm,进而求解即可。 【详解】解：如图， B 0 4 D ,AB∥DE,∠a=30 .∠BAD=∠a=30°， ∠ADC=30° .∠BAD=∠ADB, .'BD AB=2.9cm, .∠CAD=60°」 .LCAB=∠CAD-∠BAD=30°」 .∠C=90° 、BC∈AB=1.45cm 答案第1页，共2页 CD=CB+BD=1.45+2.9=4.35(cm) 3.A 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，相等的对应边所对的角为对应角，进而 求出∠a的度数. 【详解】解：：图中的两个三角形全等，且边长为的边是两个三角形的对应边， .边a所对的内角是对应角， 根据全等三角形对应角相等，可得∠aα=39°. 4.A 【分析】根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可. 【详解】解： S,nc =32cm2 点D是BC边上的中点， 1 .S.AMD=S.4CD=S.4c=16cm2 2 ,点E是AD边上的中点， 2 .SBCE =S.BDE +S.CDE =16cm2 :点F是CE边上的中点， 1 .w-7S.c-8cm 5.D 【分析】连接BF,过点A作MH1CB的 心的延长线于点H,设as=a.r=b ，根据等 高的三角形的面积等于底之比得到 m=25,m=2a.S.4o=2Sm,以及 S=S.m=b,Sa=S,,由面积关系得到 AFC=3a ，结合已知得到3a-4b=0 a+b=7,解方程组得到a=4,b=3,进而利用三角形的面积求得AH=10,利用垂线段 最短求解即可. 【详解】解：如图，连接BF,过点A作AH⊥CB的延长线于点H, 答案第2页，共2页 4 E B D S BDE=BEF =6 CD=2BD,AE=BE, .S.CDF=2S.BDF=2a S.AKF=SBEF=b S.4CD=2S.AMD S.ACE=S.8CE S.ACE=S.AEF+S.AFC=S.BEF+SBDF+S.CDF .b+S.Arc=b+a+2a S.arC=3a :S4m=S.c+.cm=2(Se+S贴+S,or）】 3a+2a=2(b+b+a) .3a-4b=0. :四边形BEFD的面积为7， .a+b=7, ∴.a=4,b=3, ,SAC=SAr+Sg边形BFn+S,cr+SAc =b+7+2a+3a =30, c3 .BC=6, .AH=10, ,AB≥AH, .AB的最小值为10， 答案第3页，共2页 6.A 【分析】连接AD,AM,由题意得△BDM的周长为BD+BM+DM,其中DB为定值，要 使△BDM的周长最小，则BM+DM的值最小，AB的垂直平分线为EF,得到A,B关于 EF对称，得到BM+DM=AM+DM≥AD,当A,M,D三点共线时，BM+DM=AD 最小，进行求解即可. 【详解】解：，△BDM的周长为BD+BM+DM,且DB为定值， ∴.当BM+DM的值最小时，△BDM的周长最小， 如图，连接AD,AM, B 由题意可得A,B关于EF对称， ∴.BM+DM=AM+DM≥AD, .当A,M,D三点共线时，BM+DM=AD, 在等腰△ABC中，点D为底边BC的中点， ADRC.DC3 -号8CADx64D=24, :.= AD=8, ,△BDM的周长的最小值为BD+BM+DM=3+8=11. 7.D 【分析】首先得到点P到达点B的时间 4*1=4(S),AP=1,然后分两种情况讨论，分 别根据全等三角形的性质求解即可. 【详解】解：根据题意得，点P到达点B的时间为 4÷1=4(s)AP=t 当△MCe△BPO时，PB=AC=3m,OB=P-t, 答案第4页，共2页 :OB-AP-A4B-PB-4-3=1(cm) ,t=1÷1=1(s) t=1÷1=1(cm/s) 点Q的运动速度 当△ACP≌△BOP时，B0=AC=3Cm,PB=AP=1, AB=PB+AP=4cm. ∴.PB=AP=l=2cm, :1=2*1=2s) =3÷2=1.5(cm/s ∴.点Q的运动速度为 综上所述，点2的运动速度为1或1.5cm/s. 8.C 【详解】解：①三角形的中线、角平分线都是线段，原说法错误： ②三角形的三条高所在直线相交于一点，正确： ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点，正确： ④直角三角形的三条高相交于直角项点，正确： ⑤三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，正确. 所以说法正确的有4个. 9.8 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： C1 ①当点A为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点： ②当点B为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点C2; .C3 Ca Cs Co C Cs ③当点C为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点’， 答案第5页，共2页 综上所述，点C的个数是8. 10.3 【分析】过P作PD⊥OB于点D,则∠PD0=90°，从而得到∠OPD=90°-∠POD=30°， 根据含3O°角的直角三角形的性质求出OD,根据等腰三角形的“三线合一”求出MD,从 而根据线段的和差即可求解， 【详解】解：如图，过P作PD⊥OB于点D, 0160 MDN 一B .∠PD0=90°， ,∠POD=60° :.∠OPD=90°-∠POD=30° 在RtPOD中，0D-OP-)×8=4. 2 2 PM=PN,PD⊥MN,MN=2, MD-ND-ZMN-1, .OM=OD-MD=4-1=3 11.19 【分析】根据垂直平分线的性质得到AD=CD,AC=2AE=6cm,从而将△ABD周长为 13cm转化为AB+BC=13cm,即可求解. 答案第6页，共2页 【详解】解：，DE是AC的垂直平分线，， .'AD=CD,AC=2AE=6cm, C.ABD =AB+BD+AD=13cm .AB+BD+CD=13cm,AB+BC=13cm, ÷Cc=4B+8C+4C=13+6=19(em） m 12.8-2m 【分析】由等边三角形的性质可得AB=BC=AC=8,∠BAC=∠BC∠ABC=60°，证明 △ABN≌ABCM(ASA）,得出AN=BM,BN=CM,∠BMC=∠ANB=I20°，从而可得 MN=BN-BM=CM-AN,∠CMD=60°，作AF CM,交BD的延长线于点F,则 ∠F=∠CMD=60°，∠FAD=∠MCD,从而可得△MNF为等边三角形，即AN=AF,利用 角平分线的性频定理和三角形面积公式计算可得C一D,从面求出4N=8”mCM,即 AF AD 8-m 可得出结果。 【详解】解：：△ABC为等边三角形， .AB=BC=AC=8,∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°」 ∠AND=60°， .∠AWB=180°-∠AWD=120° :∠BAN+∠ABN=∠AND=60°，∠CBM+∠ABN=∠ABC=60°， ∴.∠CBM=∠BAN. 在△ABN和△BCM中， ∠BAN=∠CBM AB=BC ∠ABN=∠BCM' △ABN≌ABCM(ASA) .AN=BM,BN=CM,∠BMC=∠ANB=120°， :.MN=BN-BM=CM-AW,∠CMD=180°-∠BMC=60°， 答案第7页，共2页 如图，作AF IICM,交BD的延长线于点F,连接CF, 则∠AFN=∠CMD=60°，∠FAD=∠MCD, ,△ANF为等边三角形 .AN=AF,∠NAF=∠AFN=60°， ∴.∠NAF-∠NAC=∠BAC-∠NAC, .∠BAN=∠CAF. AB=AC, 、△BAN≌ACAF(SAS) .BN=CF ..CM=CF, ∠CMF=60°， :.△CMF为等边三角形， ,∠CFM=60°=∠AFN,即DF平分∠AFC, 作DG⊥AF于点G,作DH⊥CF于点H,则DG=DH, AF-DG.S-CF.DW. 1 AF.DG SE=2 AF S.CDF F·DZCF 设点F到边4C的距窝为h:则Sm号D九，S一CDA, 2 1 AD.h AD S4E=2 S.CDF I 2CD-h CD, 答案第8页，共2页 AF AD CF CD' AF=AN,CF=CM. AN AD .CM CD' AN m .CM 8-m' .AN =m -CM 8-m mCM m AN 8-m 8-m m ·.MNCM-mCM 8-mm8-2m. 8-m 8-m8-m 13.16 【分析】根据作图可得AD=AC,MN是BD的垂直平分线，得到EB=ED,再通过线段 等量代换将△ADE的周长转化为AB+AD,进而求出三角形周长. 【详解】解：由作图可知，AD=AC, :AC=6」 ∴AD=6, 由作图可知，直线MW是BD的垂直平分线， 点E在直线MN上， ∴.EB=ED CMADE=AD+AE+DE 将DE=EB代入得，C=AD+AE+EB=AD+AB, AB=10,AD=6, .CM0s=6+10=16 14.12 【分析】过点C作CM⊥AF于M,根据直角三角形两锐角互余的性质得出 ∠ABF=∠CMF,进而证明△MBF≌aCMM(AAS ,得出CM=AF=6,AM=BF=2 答案第9页，共2页 FM=4 FG=AF GF=CM GFH≌△CMH(AAS) FH=MH ,根据 得出 ,进而证明 得出 进而得出AH=4,根据三角形面积公式即可得出答案. 【详解】解：如图，过点C作CM⊥AF于M, B dE :∠BAC=90°，BF⊥AE, .∠BAF+∠CAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°， .∠ABF=∠CAF, 在△ABF和aCAM中， [∠F=∠AMC=90° ∠ABF=∠CAM AB=AC 、△ABF2△CAM(AAS) ,AF=6,BF=2, .'CM=AF=6,AM=BF=2, .FM=AF-AM=6-2=4」 .FG=AF, ..GF=CM, 在△GFH和△CMH中， ∠GHF=∠CHM ∠F=∠CMH=90° GF=CM .aGFH≌aCMH(AAS). ∴.FH=MH, :M=)FM=2. 2 答案第10页，共2页 ∴.AH=AM+MH=4, S.c-AHCM=x4x6=12 15.I)证明：：AD=BC,∠DAB=∠CBA,AB=BA, ,△ABC≌△BAD(SAS) (2)证明：，△ABC≌aBAD, ∴.∠BAC=∠DBA, .EA=EB. 【分析】(I)利用SAS即可证明△ABC≌aBAD: (2)利用全等三角形对应角相等得到∠BAC=∠DBA,再根据等角对等边即可得到结论. 【详解】(1)略 (2)略 16.(1)BD=CE,理由如下： ·,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， .AB=AC,AD=AE, .AB-AD=AC-AE, .BD=CE: (2)BD=CE,BD⊥CE,理由如下： 延长BD,分别交AC、CE于F、G, ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, .∠BAD=∠CAE △ABD≌AACE(SAS) .BD=CE,∠ABD=∠ACE, 答案第11页，共2页 ,∠AFB=∠GFC, .180°-∠GFC-∠ACE=180°-∠AFB-∠ABD .∠CGF=∠BAF=90°，即BD⊥CE」 【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到AB=AC,AD=AE,然后求解即可； (2)延长BD,分别交AC、CE于R、G,证 △ABD≌△ACE(SAS) 得到BD=CE ∠ABD=∠ACE,进而求解即可. 【详解】(1)略 (2)略 17.(1)一，全等三角形的对应角相等 (2)证明：在△ABC和△ADC中 AB=AD,BC=DC,AC=AC. △ABC2AADC(SSS) ∴.∠BAC=∠DAC .AE平分∠OAP 【分析】(1)根据全等三角形的性质和判定定理求解即可： ABC≌aADC(SSS) (2)首先证明出 ,得到∠BAC=∠DAC,即可得到AE平分∠01P 【详解】(1)解：小丽的证明过程从第一步开始出错，第三步的依据是全等三角形的对应 角相等： (2)略 18.(1)AC=BD,理由如下： .∠AOB=∠COD .∠AOB+∠COB=∠COD+∠COB ,.∠AOC=∠BOD OA=OB ∠AOC=∠BOD 在 和 中， AOC△BOD OC =OD △AOC2ABOD(SAS) 答案第12页，共2页 .AC=BD (2)1309 【分析】(1)利用SAS证明三角形全等，即可得到AC与BD的数量关系； (2)由全等三角形的性质，可得∠OAC=∠OBD,根据三角形的内角和，求出 ∠BPQ=∠AOQ=50° ∠APD 根据平角的定义，即可求出 【详解】(1)略 △AOC2ABOD(SAS) (2)解：由(1)可得， .∠OAC=∠OBD 在△AO0和△BP2中，∠BQP=∠AQ0,∠OAQ=∠QBP, .∠BPQ-∠AOQ=50° .∠APD=180°-∠BP9=180°-50°=130° 19.(I)解：PC=PD,理由： OM。∠AOB PC⊥OA,PD⊥OB 是 的平分线， :.PC=PD; (2)解：成立，理由： 如图，过点P作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F, A C DFB.:∠PEC=∠PFD=90° :OM是∠AOB的平分线， .PE=PF .'∠AOB=90°，∠CPD=90°. .∠PCE+∠PD0=360°-90°-90°=180° :∠PDF+∠PD0=180°， 答案第13页，共2页 ∴.∠PCE=∠PDF 在△PCE和△PDF中， ∠PCE=∠PDF ∠PEC=∠PFD PE=PF ∴.△PCE≌APDF(AAS) .PC=PD」 【分析】(1)根据“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”即可判断： (2)根据(1)的解题方法，首先过点P作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,进而有 PE=PF,再证明△PCE≌△PDF即可. 【详解】(1)略 (2)略 20.(1)①等腰三角形 ②证明：如图，作EF⊥AB于F点， M :AE平分∠BAC,∠C=90°，EF⊥AB, .EC=EF, 在RtAACE和RtAAFE中， AE=AE EC=EF, Rt△ACE≌RtAAFE(HL) .'AC=AF, 在Rt△MEC和RtANEF中， ME=NE EC=EF, 答案第14页，共2页 RtAMECS≌RtaNEF(HL) ..CM=FN, .AN AF+FN. .AN=AC+CM=AC+AC+AM=24C+AM (2)①如图： B ②证明：如图，过D点作DG⊥CB交CP的延长线于G点，则∠CDG=90°， B :RtAACD中，∠ACD=90°，CD=CA, .∠CAD=∠CDA=45°， 根据翻折的性质可得∠A'CD=90°，CD=CA',∠CAD=∠CDA=45°， .∠A'CD=∠CDG=90° .∠ACG+∠GCD=90°， A'F⊥CP, ∠AHC=90°， .∠A'CG+∠CF=90°， .∠CAF=∠GCD 在△CAF和△DCG中， I∠A'CD=∠CDG CA'=CD ∠CAF=∠GCD' △CA'F≌△DCG(ASA) 答案第15页，共2页 .A'F=CG,CF=DG. ,F是CD的中点， ..CF=FD ∴，FD=GD, :∠CDG=90°，∠CDA=45°， .∠GDA=45°」 .∠CDA'=∠GDA' 又DP=DP :△FDP2AGDP(SAS) ..PF=PG, .CG=CP+PG. ..CG=CP+PF, .A'F=CP+PF 【分析】(1)①根据角平分线的定义和平行线的性质可得∠AMN=∠ANM,从而可得 △AMN是等腰三角形. ②作EF⊥AB于F点，根据HL证明Rt△ACE≌Rt△AFE,RtAMECS≌RtANEF,从而可得 AC=AF,CM=FN.由AN=AF+FN即可得证. (2)①依据题意补全图形即可； ②过D点作DG⊥CB交CP的延长线于G点，先根据ASA证明△CA'F≌aDCG,则可得 A'F=CG,CF=DG.由CF=FD可得FD=GD.再根据SAS证明aFDP≌aGDP,则可 得PF=PG,由CG=CP+PG可得A'F=CP+PF. 【详解】(I)①解：：AE平分∠BAC, ∴.∠CAE=∠EAB .MN∥AE .∠CAE=∠AMN,∠EAB=∠ANM. .∠AMN=∠ANM, :AM=AN, :.△AMN是等腰三角形. ②略 答案第16页，共2页 (2)①略 ②略 答案第17页，共2页