第1章 三角形 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年八年级上册数学提优训练（苏科版·新教材）

第1章 三角形 知识梳理导图 三角形的任意两边 线段垂直平分线上的点 之和大于第三边 线段垂直，到线段两端距离相等 三角形的 在同一个三角 平分线 边和角 形中，较大的边 到线段两端距离相等的点 所对的角也较大 三角形中的 在线段的垂直平分线上 线段和角 线段垂直平分 线与角平分线 三角形中的中线、 角平分线上的，点 角平分线、高 到角两边的距离相等 角平分线 两个能完全重合的三角形 角的内部到角两边距离 叫作全等三角形 定义 三角形 相等的点在角的平分线上 全等三角形的对应边 定义有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 相等，对应角相等性质 等腰三角形的两底角相等 两边及其夹角分别相等的两个三角 形全等(“边角边”或“SAS”) 全 性质 等腰三角形底边上的高线、中线及 等 等 顶角平分线重合，简称为“三线合一” 两角及其夹边分别相等 三 腰 的两个三角形全等 三 有两个角相等的三角形是等腰三 (“角边角”或“ASA”) 形 角 判定角形，简称为“等角对等边” 两角分别相等且其中一组等角 三边都相等的三角形叫作等边三角形 的对边相等的两个三角形 全等(“角角边”或“AAS”)判定 等边 等边三角形各角都等于60° 三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 三边分别相等的两个三角形 全等（“边边边”或“SSS”) 有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形 斜边和一条直角边分别相等的两 个直角三角形全等(“HL”) 直角三角形直角三角形斜边上的中线 的性质 等于斜边的一半 重难疑点解法 上分点个三角形的三边关系 两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三 例①(2025·镇江句容 边，得到1<AB<9,即可得到答案. 归纳总结 期中)如图，为了估计一池塘 本题考查了三角形的三边关系，关键是掌握三 岸边两点A,B之间的距离， 角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边 小丽同学在池塘一侧选取了 之差小于第三边. 一点P,测得PA=5m,PB=4m,那么点A与点B 之间的距离不可能是(). 久上分点2三角形中的三条线 A.6m B.7m C.8m D.9m 例2(2025·西安雁塔区二模)如图，在△ABC 名师启发由三角形三边关系定理：三角形任意：中，AD是它的角平分线，AE是它的中线，AB=5, 1 实验班提优训练数学八年级上JSKJ AC=3,BC=7,则ED长为(). 上分点4全等三角形的判定 例5(2025·拉萨一模)如图，已知点E,C在线 段BF上，BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F.求证： △ABC≌△DEF. D. 名师启发过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥ AC于点H,根据角平分线的性质得到DG=DH,根 据三角形面积公式求出BD,再根据三角形的中线的 名师启发根据平行线的性质可知∠B 概念求出BE,进而求出DE. 归纳总线 ∠DEF.因为BE=CF,所以BC=EF,因为∠ACB= 本题考查了三角形的角平分线、中线和高，掌 ∠F,根据ASA可知△ABC≌△DEF. 握三角形的中线的概念、角平分线的性质是解题的 关键， 上分点3全等三角形的性质 例3如图，△ABC≌△DBC,∠A=34°，∠ACD =72°，则∠DBC的度数是(). A.110°B.105°C.64°D.100° 名师启发根据全等三角形的性质得出∠D= ∠A=34°，∠ACB=∠DCB,求出∠DCB的度数，再 根据三角形内角和定理求出∠DBC 归纳总线 本题考查了全等三角形的性质的应用，能根据 全等三角形的性质得出∠D=∠A=34°，∠ACB= ∠DCB是解本题的关键.注意：全等三角形的对应 少归纳总结 角相等，对应边相等. 本题考查了全等三角形的判定方法，解题的关 键是熟练掌握有关全等三角形的知识， 例4(2026·扬州邗江区期末)一个三角形的三 边长分别为3,7，x,另一个三角形的三边长分别为3， 上分点5全等三角形的应用 9,y,若这两个三角形全等，则x十y= 例6(2025·盐城盐都区月考)小明与爸爸妈妈 名师启发根据已知条件分清对应边，结合全等 在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A 三角形的性质可得出答案。 型归纳总结 处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在 本题考查了全等三角形性质的应用，能熟记全 距地面0.8m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C 等三角形的性质是解题的关键.注意：全等三角形 处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE 的对应边相等。 分别为1.4m和2m,∠BOC=90°. (1)△OBD与△COE全等吗？请说明理由. 第1章 (2)小明的爸爸是在距离地面多高的地方接住小 名师启发过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥ 明的？ AC于点N,由角平分线的性质推出OD=OM= ON=4,由三角形面积公式得到△ABC的面积= 2(AB+BC+AC)·OD,即可求出△ABC的面积. 1 归纳总结 本题考查了角平分线的性质、三角形的面积， 解题的关键是由角平分线的性质推出OD=OM= 名师启发(1)根据同角的余角相等先证得 ON,由三角形面积公式得到△ABC的面积， ∠COE=∠OBD,再根据AAS即可证明结论； (2)由△COE≌△OBD,得出CE=OD,OE= 例8如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交 BD,即可推出结果 边BC的垂直平分线于点P,PD⊥BD于点D,PE⊥ AC于点E. (1)求证：BD=CE; (2)若AB=6cm,AC=10cm,求AD的长. 0 名师启发(1)连接BP,CP,根据线段垂直平分线 上的点到线段两端点的距离相等可得BP=CP,根据角 平分线上的点到角两边的距离相等可得DP=EP, 然后利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根 据全等三角形对应边相等证明即可； (2)利用“HL”证明Rt△ADP和Rt△AEP全等， 根据全等三角形对应边相等可得AD=AE,再根据 关键提醒 AB,AC的长度表示出BD,CE,然后解方程即可. 本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个 三角形全等的一般方法有SSS,SAS,ASA,AAS, HL.注意：AAA和SSA不能判定两个三角形全 等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与 分上分点6垂直平分线和角平分线 例7(2026·扬州江都区期未)如图，已知△ABC 的周长是21，BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD ⊥BC于点D,且OD=4,则△ABC的面积是 3 实验班提优训练数学八年级上JSKJ 少归纳总结 例10如图，在△ABC中，AB=AC,D是边BC 在使用线段的垂直平分线的性质及其判定时 的中点，连接AD,BM平分∠ABC,交AC于点M,过 要注意它们的区别：性质的条件是“已知，点在线段 点M作MN∥BC,交AB于点N. 的垂直平分线上”，结论是“该点到线段两端，点的距 (1)若∠C=72°，求∠BAD的度数； 离相等”；判定正好相反，它们是一对互逆定理. (2)求证：NB=NM. 上分点7等腰三角形的性质和判定 例9(2025·徐州鼓楼区期中)在△ABC中， ∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,过点O作 DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.请说明DE= BD+EC. B 0 名师启发(1)根据等腰三角形三线合一的性质 可得AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,再根据三角形内 角和定理求出∠CAD的度数，即可知∠BAD的 D 度数； (2)根据角平分线的定义和平行线的性质即可证 名师启发根据BO和CO分别平分∠ABC和 明NB=NWM. ∠ACB,结合DEBC,利用两直线平行，内错角相等和 等量代换，证出BD=DO,OE=EC,即可得出结论. 归纳总结 :个关键提醒 本题主要考查了学生对等腰三角形的判定与 本题考查了等腰三角形及平行线的性质、三角 性质和平行线性质的理解和掌握，属于基础知识， 形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形三线 解题的关键是求证BD=DO,OE=EC. 合一的性质 第1章 例1①(1)如图(1)，在△ABC中，作∠ABC, ②根据三角形的周长公式即可求解. ∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EFBC分别交 (2)根据角平分线的性质即可得出答案。 AB,AC于点E,F ①求证：OE=BE; ②若△ABC的周长是25，BC=9,试求出 △AEF的周长. (2)如图(2)，若∠ABC的平分线与△ABC的外角 ∠ACD的平分线相交于点P,连接AP,试探究∠BAC 与∠PAC的数量关系，并说明理由. E 天键提醒 (1) (2) 熟练掌握等腰三角形的判定和角平分线的性 名师启发(1)①由等腰三角形的判定和平行线 质是解题的关键， 的性质即可证明； 易错易混辨析 )易错点1错用两边及一角对应相等田明全等 △ABC≌△ADC,不能添加的条件是( 例①如图，在△ABC中，已 知AB=AC,D,E分别是AB,AC 的中点，且CD=BE.求证：△ADC ≌△AEB B 解答 AB=AC,D,E分 (第1题) 别是AB,AC的中点，∴.AD=AE A.CA平分∠DCBB.AC平分∠DAB (AD-AE, C.∠B=∠D=90°D.BC=CD 在△ADC和△AEB中，AC=AB, )易错点2套用等式的性质 CD=BE, 例2 如图，已知AC,BD交于点E,∠A=∠B, ∴.△ADC≌△AEB(SSS). ∠1=∠2.求证：AE=BE. 饼析纳 本题考查了全等三角形的判定方法.若已知两 组边对应相等，则找它们的夹角或第三组边；若已 知两组角对应相等，则找一组边对应相等；若已知 D C 一 组边一组角对应相等，则找另一组角，或找这组 解答 易证△ADC≌△BCD,∴.AD=BC. 角的另一组对应邻边 I∠AED=∠BEC, 在△ADE和△BCE中，∠A=∠B, 视固特训 AD=BC, 1.(2026·湖南株洲期末)如图，已知AB=AD,要使 .△ADE≌△BCE(AAS),.AE=BE. 5 实验班提优训练数学八年级上JSKJ 辨析归纳 辨析伯纳 两个三角形全等时，它们同时去掉一个三角 审题和识图是解题前的重要准备工作，正确地 形，所得的两个三角形不一定全等，不能将等式的 识图能帮助我们更准确地把握题意，找准所需条件， 性质盲目地搬到全等三角形中. 进而选择合适的解题方法.另外注意切勿主观臆断， 随意创造条件，证明中一定要步步有理有据， 巩固特训 2.(2025·镇江丹阳二模)如图，∠A=∠B,点D在边 视固特训 AC上，AE和BD相交于点O. 3.(2026·安徽毫州期末)已知：如图，点A,D,B,E在同 (1)若∠2=36°，求∠AEB的度数； 一条直线上，若AD=BE,∠A=∠EDF,∠E= (2)若∠1=∠2，AE=BE,求证：△AEC≌△BED. ∠ABC,求证：△ACB≌△DFE. B 20 D D (第2题) (第3题) )易错点4忽略三角形的三边关系 例4(2025·宿迁泗洪期末)若等腰三角形的周长 为8cm,其中一边长为2cm,则底边长为 cm. 解析当2cm是等腰三角形的底边时，其腰长 )易错点3部分当全部 是(8-2)÷2=3(cm),能够组成三角形；当2cm是等 例3 (2026·山东济南济阳区期末)已知：如图， 腰三角形的腰时，其底边是8一2×2=4(cm),不能够 ∠A=∠D=90°，AB=CD,点E,F为线段BC上两点 组成三角形.故该等腰三角形的底边长为2cm. 且BE=CF.求证：△ABF≌△DCE, 答案2 辨析伯纳-· 本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边 关系.对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没 有明确哪边是底，哪边是腰时，应在符合三角形三 解答·BE=CF, 边关系的前提下分类讨论， ∴.BE+EF=CF+EF, ∴BF=EC 巩固特训 AB=DC, 4.在△ABC中，AB=AC,AC上的中线BD把三角 在Rt△ABF和Rt△DCE中， BF=CE, 形的周长分成24和30两部分，则底边BC的长为 ∴.Rt△ABF≌Rt△DCE(HL). 6 第1章 腰上的高的位置不确定时出现 故这个等腰三角形的底角的度数是65°或25°. G)易错点5 漏解 辨析伯纳 例5已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的 在解有关等腰三角形的问题时，应认真审题 夹角是40°，求这个等腰三角形的底角的度数。 若等腰三角形的顶角是锐角，则腰上的高在三角形 解答应分两种情况求解。 的内部；若等腰三角形的顶角是钝角，则腰上的高 ①当等腰三角形是锐角三角形时，如图(1)，可设 在三角形外部，题中没有明确三角形的情况，要分 AB=AC,则∠B=∠ACB 情况讨论。 因为∠ACD=40°，所以∠A=50°， 饥固特训 所以∠B=∠ACB=2×(130°-∠A)=)× 5.若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一 (180°-50)=65°. 个为45°，则求其顶角的度数. B (1) (2) ②当等腰三角形是钝角三角形时，如图(2)，可设 AB=AC,则∠B=∠ACB. 因为∠ACD=40°，所以∠DAC=50°， 所以∠BAC=130°， 所以∠B=∠ACB=2X180°-∠BAC)=) (180°-130)=25°. 素养考向提分 新情境 ∴.∠BDC=∠CEA=90°. 例①(2026·福建厦门翔安区期末)如图，书架两 ∠BCA=90°， .∠BCD+∠ACE=90°，∠BCD+∠DBC=90°， 侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入 .∠ACE=∠DBC. 一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE 上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰 在△BDC和△CEA中， 好落在左侧书籍的上方边沿.已知每本书长20cm,厚 ∠BDC=∠CEA, 度为2cm,则两摞书之间的距离DE为( ∠DBC=∠ECA, BC=CA, ∴.△BDC≌△CEA(AAS). 由题意可得BD=EC=4cm,DC=AE=20cm. ∴.DE=DC+CE=24cm. A.24 cm B.23 cm 答案A C.22 cm D.21cm 点拔】 本题考查了全等三角形的应用.根据已知 解析由题意可得AC=BC,∠ACB=90°，BD 得出全等三角形是解题关键. ⊥DE,AE⊥DE, 7 实验班提优训练数学八年级上JSKJ 举反白 是 1.(2026·湖北武汉实验中学期末)如图，两根旗杆间相 距20米，某人从点B沿BA走向点A,一段时间 后他到达，点M,此时他仰望旗杆的顶点C和D,两 次视线的夹角为90°，且CM=DM.已知旗杆BD 的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，求这个 (1) (2) 人运动到点M所用的时间. [探索延伸] 在四边形ABCD中，如图(2)，AB=AD,∠B十 ∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，∠EAF= 1 2∠BAD,上述结论是否仍然成立？说明理由. M [结论运用] (第1题) 如图(3)，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心 (O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到 行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度 前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速 度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分 别到达E,F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF)为 70°，试求此时两舰艇之间的距离. B (3) 解析[探索延伸]延长FD到点G,使DG= BE,连接AG,证明△ABE≌△ADG和△AEF≌ △AGF,即可得到答案； [结论运用]连接EF,延长AE,BF交于点C,得 到EF=AE十BF,根据距离、速度和时间的关系计算 新考法 即可. 例2(2026·四川凉山州期末)[问题背景] 答案[初步探索]EF=BE十FD 在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°， [探索延伸]结论仍然成立.理由如下： ∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且 如图(1)，延长FD到点G,使DG=BE,连 ∠EAF=60°，试探究图(1)中线段BE,EF,FD之间 接AG. 的数量关系 [初步探索] 小亮同学认为：延长FD到点G,使DG=BE,连 接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌ △AGF,则可得到BE,EF,FD之间的数量关系 (1) 8 第1章 ,∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°， 样反白 ∴.∠B=∠ADG. 2.如图，在四边形ABCD中，AD=BC=4,AB= 在△ABE和△ADG中， CD,BD=6,点E从点D出发，以每秒1个单位 (BE=DG, 的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出 ∠B=∠ADG, 发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移 AB=AD, 动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三 .△ABE≌△ADG(SAS), 个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点 ∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG. 也随之停止运动. '∠EAF=号∠BAD, (1)证明：ADBC; (2)在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取 '.∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+ 某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现， ∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF, .∠EAF=∠GAF. 请你探究当点G的运动速度取哪些值时，会出现 在△AEF和△AGF中， △DEG与△BFG全等的情况. (AE-AG, ∠EAF=∠GAF, AF-AF, ∴.△AEF≌△AGF(SAS), (第2题) 备用图 ∴.EF=FG, ..EF=FG=DG+FD=BE+FD. [结论运用]如图(2)，连接EF,延长AE,BF交 于点C. B (2) .∠AOB=30°+90°+(90°-70)=140°， ∠B0F=70,∠E0F=2∠A0B. .OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°-30)+ (70°+50)=180°， 符合[探索延伸]中的条件， ∴结论EF=AE十BF成立， 即EF=1.5×(60+80)=210(海里). 故此时两舰艇之间的距离是210海里。 悦盒 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌 握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关 键，注意要正确作出辅助线。 9答案6D详解 第1章三角形 例6(1)△OBD与△COE全等.理由如下： 例1D[解析]，PA,PB,AB能构成三角形， 由题意可知∠CEO=∠BDO=90°，BO=CO, .'.PA-PB<AB<PA+PB,1m<AB<9 m, ∠BOC=90°， ∴.A,B之间的距离不可能是9m.故选D. ∴.∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°， 例2C[解析]如图，过点D作DG⊥AB于点G, ∠COE=∠OBD DH⊥AC于点H. 同角的余角相等 [∠COE=∠OBD, 在△COE和△OBD中，{∠OEC=∠BDO, OC=BO, B ∴.△COE≌△OBD(AAS). ,AD平分∠BAC,DG⊥AB,DH⊥AC, (2).△COE≌△OBD, ..DG=DH, .SAMD_AB5.BD 5 ∴.CE=OD,OE=BD, '.DC-3 又BD,CE分别为1.4m和2m, BC=7,∴BD=35 ∴.DE=OD-OE=CE-BD=2-1.4=0.6(m), 81 ∴.AE=DE+AD=0.6+0.8=1.4(m). AE是△ABC的中线，BC=7,.BE=7, 故小明的爸爸是在距离地面1.4m处接住小明的. 2 :DB=BDBE-碧号-专故选C 例742[解析]过点O作OM⊥AB于点M,ON ⊥AC于点N,连接OA. 例3A[解析]：△ABC≌△DBC,∠A=34°， ,'BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于 ∴.∠D=∠A=34°，∠ACB=∠DCB. 点D,∴.OD=OM=ON=4. :∠ACD=72°，∠DCB=∠ACB=36, ,△ABC的面积=△AOB的面积+△BOC的面 .∠DBC=180°-∠D-∠DCB=110°. 积+△AOC的面积， 故选A. ∴△ABC的面积=号AB·OM+号BC·OD十 例416[解析]：一个三角形的三边长分别为 3,7,x,另一个三角形的三边长分别为3,9，y,且这两 2AC·ON=2AB+BC+AC)·OD, 个三角形全等， .△ABC的周长=21，OD=4, .x=9,y=7,x十y=16. 例5.ABDE,∴∠B=∠DEF. ∴△ABC的面积=2×21X4=42. .BE=CF,.'.BE+CE=CF+CE, 例8(1)连接BP,CP. ..BC=EF. ,点P在BC的垂直平分线上， 在△ABC和△DEF中， ∴BP=CP I∠B=∠DEF, .'AP是∠DAC的平分线，PD⊥BD,PE⊥AC, BC=EF, ∴DP=EP. ∠ACB=∠F, (BP=CP, ∴.△ABC≌△DEF(ASA). 在Rt△BDP和Rt△CEP中， DP=EP, 旧纳总结本题考查了三角形全等的判定方法， ∴.Rt△BDP≌Rt△CEP(HL), 判定两个三角形全等的一般方法有SSS,SAS, ∴.BD=CE AAS,ASA,HL. (2)在Rt△ADP和Rt△AEP中， 37 (AP=AP, DP=EP, ∴.Rt△ADP≌Rt△AEP(HL), ..AD=AE. .AB=6 cm,AC=10 cm, .6+AD=10-AE, D 即6+AD=10-AD,解得AD=2cm. ,CP平分∠ACD,PM⊥AC,PN⊥BD, 例9：在△ABC中，BO和CO分别平分∠ABC ∴.∠ACP=∠PCD,PM=PN, 和∠ACB, BP平分∠ABC,PF⊥BA,PN⊥BD, ∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠OCB. .∠ABP=∠PBC,PF=PN, .DE//BC, ∴.PF=PM.又PF⊥BA,PM⊥AC, ∴.∠DOB=∠OBC=∠DBO,∠EOC=∠OCB .∠FAP=∠PAC,∴.∠FAC=2∠PAC. =∠ECO, ,∠FAC+∠BAC=180°， ∴.BD=DO,OE=EC. .2∠PAC+∠BAC=180°. .DE=DO+OE, 巩固特 ..DE=BD+EC. 1.A[解析]·AB=AD,AC=AC. 例0(1)，AB=AC,D是边BC上的中点， A.添加CA平分∠DCB,即∠DCA=∠BCA,则 '.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD, SSA不能判定△ABC≌△ADC,故符合题意； ∴∠ADC=90°..∠C=72°， B.添加AC平分∠DAB,即∠DAC=∠BAC,则 .∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-72°= SAS能判定△ABC≌△ADC,故不符合题意； 18°，∴.∠BAD=18° C.添加∠B=∠D=90°，则HL能判定Rt△ABC (2).MN//BC, ≌Rt△ADC,故不符合题意； ∴.∠NMB=∠CBM. D.添加BC=DC,则SSS能判定△ABC≌ :BM平分∠ABC, ∴.∠NBM=∠CBM. △ADC,故不符合题意.故选A. ∴.∠NBM=∠NMB, 易错警示本题考查了三角形全等的判定方法， ..NB=NM. 判定两个三角形全等的一般方法有SSS,SAS, ASA,AAS,HL.注意：AAA,SSA不能判定两个 例1(1)①，BO平分∠ABC, 三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参 .∠EBO=∠OBC. 与，若有两组边，一组角对应相等时，角必须是两边 .EF∥BC, 的夹角， .∠EOB=∠OBC. .∠EOB=∠EBO. 2.(1),∠AOD=∠BOE,∠A=∠B, ∴.OE=BE ∠AEB=∠2=36 ②同理可得FO=FC, →利用三角形内角和定理 ..CAAEF=AE+AF+EF=AE+AF+EO+FO= (2),∠ADE=∠1+∠C, AE+AF+EB+FC=AB+AC=CAABC-BC= ∠2+∠BDE=∠1+∠C 25-9=16. >利用三角形外角的性质 (2)2∠PAC+∠BAC=180°.理由如下： ∠2=∠1， 如图，过点P作PN⊥BD于点N,PF⊥BA交BA ∴.∠C=∠BDE. 的延长线于点F,PM⊥AC于点M. 在△AEC和△BED中， ，38 ∠C=∠BDE, ∠BAD=∠B=45°， ∠A=∠B, ∠B=∠C=45°， AE=BE, ∠BAC=90°，即顶角为90°； .△AEC≌△BED(AAS) ③如图(3)，AB=AC,∠BPC=45°， 3.点A,D,B,E在同一条直线上，AD=BE, ∴.AD+BD=BE+BD, .'.AB=DE (∠A=∠EDF, 在△ACB和△DFE中，AB=DE, ∠ABC=∠E, (3) .∴.△ACB≌△DFE(ASA). (第5题) 4.22或14[解析]由题意，得AD=CD, 同①理可得∠PBN=∠BAM=45°， ∴.AB=AC=2AD. ∴.∠BAC=135°，即顶角为135° 当AB+AD=24时， 综上所述，顶角度数为45°或90或135°. 即2AD+AD=24,.AD=8. 易错警示本题考查了等腰三角形的性质、三角形 .BC+CD=30, 内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关的性质 ∴.BC=30-CD=30-8=22; 定理，分类讨论，注意不要漏解 当AB+AD=30时， 样会反月 即2AD+AD=30,∴.AD=10. 1.∠CMD=90°， .BC+CD=24, ∴.∠CMA+∠DMB=90°. ∴.BC=24-CD=24-10=14. 又∠CAM=90°，∴.∠CMA+∠C=90°， 综上所述，底边BC的长为22或14， ∴∠C=∠DMB. 归纳总结本题考查了等腰三角形的性质、中线 在△ACM和△BMD中， 的定义，涉及分类讨论 ∠A=∠B, 5.分情况讨论： ∠C=∠DMB, ①如图(1)，AB=AC,∠BFE=45°. CM-MD, ∴.△ACM≌△BMD(AAS), ∴.BD=AM=12米， .∴.BM=20-12=8(米). .该人的运动速度为2米/秒， (1) .他到达点M时，运动时间为8÷2=4（秒） .CE⊥AB,BD⊥AC, 思路引得本题考查了全等三角形的应用，解答本 ∴.∠BEC=∠ADB=∠BDC=90°， 题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件：对 ∴.∠A=∠ABD=45°，即顶角为45°； 应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所 ②如图(2)，AB=AC,∠BAD=45°， 求线段与已知线段之间的等量关系.解本题的关键 是证得△ACM≌△BMD, (AD=CB, 2.(1)在△ABD和△CDB中，AB=CD, (2) BD=DB, .AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90°， .∴.△ABD≌△CDB(SSS), 39 ∠ADB=∠CBD,∴.AD∥BC. ,∴.a=5,b=2,..a十2b=5十4=9， (2)设运动时间为t,点G的运动速度为0. .a+2b的平方根是士3. ①当0<≤3时， 4 例41[解析]：2a-1的平方根是士3，b+2的 立方根是2， (DE=BF, 若△DEG≌△BFG,则 .2a-1=9,b+2=8, DG=BG, .a=5,b=6, t=4-3t, t=1, ∴.U=3; ∴.b-a=6-5=1, 6-BG=BG,BG=3, ∴.b-a的算术平方根是1. (DE=BG, 若△DEG≌△BGF,则 DG=BF, 例52-3[解析]：7-43=4-2×2×3+ ./=BG, -1, 3=22-2X2X√3+(W3)2=(2-√3)2， 6-BG=4-3t,BG=-1; (舍去) .7-4√3的算术平方根为2一√3， ②当1<时， 8 例6.实数a,b互为倒数，ab=1. ,c,d互为相反数，∴.c十d=0. (DE=BF 若△DEG≌△BFG,则 9-27+x=0,∴.x=3.3<√15<4， DG=BG, t=3t-4, 2, ∴√15的整数部分为3，即y=3, 3 6-BG=BG,BG=3, ∴.(ab+c+d)x+√c+d-yx=3+0-33 (DE=BG, 若△DEG≌△BGF,则 -87-器 DG=BF, 例7(1)·某正数m的两个不同的平方根是2a (t=BG, 7和a+4,∴.2a-7+a+4=0, ∴.=1. (6-BG=3t-4, BG= .a=1,∴.2a-7=-5, 2 m=(-5)2=25. 综上所述，当点G的速度为每秒3个单位或每秒 (2).b一12的立方根为一2， 1.5个单位或每秒1个单位时，会出现△DEG与 .b-12=(-2)3=-8,∴.b=4. △BFG全等的情况. ,c是v√15的整数部分，且3<√15<4， 素养考向本题需根据全等条件建立关于时间t .c=3,∴.a+3b+c=1+12+3=16. 和速度V的方程，通过代数运算求解速度的可能 .16的平方根为士4， 值.全面考查学生的几何直观、逻辑推理、代数建 ∴.a+3b+c的平方根是士4. 模及分类讨论能力，属于中考常见的“几何与运动 综合题” 巩固特训 第2章实数的初步认识 1.4[解析].(-8)2=64,64的立方根是4， .(一8)2的立方根是4. 例116[解析]由题可知，x十x一8=0，解得x= 知识拓展本题主要考查了立方根的概念.如果 4,则这个正数是42=16. 一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x 例25[解析].3x+1的平方根为士2,4y一1的 就叫作a的立方根，也叫作三次方根，读作“三次 立方根为3，.3x+1=4,4y-1=27,解得x=1,y= 根号a”.其中，a叫作被开方数，3叫作根指数. 7,y-2x=7-2=5. 2.-23[解析]W一8=-2，√(-3)2=√32=3. 例3士3[解析].2a-1的平方根是士3,2a一b 的立方根是2，.2a-1=9,2a-b=8, 3.B[解析号是分数，属于有理数：-27-3， 40