专题01 三角函数的定义及公式应用（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦“三角函数的定义及公式应用”专题，涵盖任意角与弧度制、任意角的三角函数、三角恒等变换等基础考点，以及角关系寻找、三角结构识别等高阶难点，搭建完整知识体系。 清单通过知识脑图梳理脉络，考点分层突破（基础自主夯基、高阶探究拓展），题型分类深研（母题探究、考法突破），技法点拨实用（如齐次式切弦互化、辅助角公式标准化），易错剖析警示（角象限忽略等），培养数学思维与应用意识，新题对点练和优题精练强化实战，助力学生自主高效复习，辅助教师精准教学。

专题01 三角函数的定义及公式应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01任意角与弧度制 考点02任意角的三角函数 考点03三角恒等变换 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01寻找角的关系 难点解读02三角结构识别与选择难点 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01同角三角函数基本关系应用 题型02诱导公式化简求值 题型03三角恒等变换综合化简与求值 ▶重点突破・考法深研 重点01齐次式中的“切弦互化”应用 重点02sinα±cosα与sinαcosα关系的应用 重点03诱导公式的标准化化简 重点04和差与二倍角公式灵活变形 重点05辅助角公式标准化应用 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01确定n分角所在象限 技法点拨02三角函数的定义及应用 技法点拨03三角函数值的符号判断 技法点拨04扇形的弧长与面积公式 技法点拨05同角三角函数关系知一求二 技法点拨06给值求值的解题策略 技法点拨07给值求角的解题策略 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01对任意角的理解不到位 易错点02忽略角所在的象限 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 任意角与弧度制 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 2、弧度制 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 【新题对点练】（2026·重庆万州·模拟预测）（多选）下列各角中，与终边相反的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】依题意，，则角与角终边相同， 与角终边相反的角可以为， 因此与角终边相反的所有角的集合为， 显然，. 考点02 任意角的三角函数 1、三角函数的定义 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 2、同角三角函数基本关系式 （1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1. （3）商数关系：＝tan α. （3）基本关系式的几种变形 ①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． ②(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. ③sin α＝tan αcos α. 3、三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 “奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． 【新题对点练】 1．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_______. 【答案】 【解析】因为已知角终边过点， 根据，其中， 可得， 所以. 2．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正切化正弦、余弦，再由平方关系以及角的范围计算可得结果. 【解析】由可得，即， 又，可得，所以； 由可得， 所以. 3．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得. 考点03 三角恒等变换 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义． 2、二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin α cos α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝ T2α tan 2α＝ 3、辅助角公式 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ) 或f(α)＝cos(α－φ) . 【新题对点练】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意. 难点解读01 寻找角的关系 在三角恒等变换解题时可以灵活运用三角恒等变换公式，但有些题目无法直接套用公式，这些题目中角与角之间往往存在特殊关系，可转化后再用公式，因此寻找角与角之间的关系也非常重要，因为这决定了我们用哪一个公式，以及怎么用这个公式. 1、计算与化简题中的角的关系 对于计算与化简题，我们先要寻找式子中是不是有两个角满足其和或差为特殊角…或者存在2倍的关系，然后利用这些关系，并结合诱导公式、和差角公式、倍角公式以及辅助角公式进行化简，从而解决问题． 2、“已知若干角或若干角的三角函数值，求目标角或目标角的三角函数值”问题中的角的关系 处理“已知若干角或若干角的三角函数值，求目标角或目标角的三角函数值”之类的问题时，一定要牢记目标角是若干个已知角，，…的线性组合，即，其中常数一般只在集合中取值，这样我们就可以运用诱导公式、和差角公式以及倍角公式进行目标角的值或目标角的三角函数值的求解. 难点破解 【典例1】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知，为第一象限角，则_____． 【答案】 【解析】为第一象限角， ，， 又，所以， ． 【典例2】（2026·宁夏银川·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以. 则. 难点解读02 三角结构识别与选择难点 面对复杂混合三角式，无法快速判断用升降幂、配凑角、弦切互化还是辅助角公式，容易盲目展开导致运算崩盘．核心难点在于结构识别：次数统一、角度统一、函数名统一，根据式子结构精准选择变形路径，是新高考三角化简、最值、综合题的核心卡点． 【典例1】（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）求值：_________． 【答案】 【解析】 . 【典例2】（2025高三上·安徽六安·专题练习）=（    ） A．16 B．32 C． D． 【答案】B 【解析】由 故选：B 素养进阶·答题技法突破 题型01 同角三角函数基本关系应用 考情定位：新高考三角函数基础核心题型，选填高频考查，是三角求值、化简的运算根基，侧重考查同角公式的灵活变形与符号取舍能力，容错率低． 核心考法：①利用平方、商数关系“知一求二”；②结合角的范围判定三角函数正负；③齐次分式、二次齐次式弦化切求值；④利用1的代换、升降幂技巧化简三角式． 解题要点：解题优先锁定角的象限与取值范围，开方变形必须判号；齐次式优先采用弦化切思路，借助平方关系完成1的代换，整体化简、整体求值，杜绝盲目展开造成运算繁琐与符号失误． 【典例1】（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B 【典例2】（2023·全国乙卷·高考真题）若，则________． 【答案】 【解析】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 题型02 诱导公式化简求值 考情定位：三角函数标准化必备工具题型，几乎所有三角题前置化简步骤，单独考查或融入综合题，侧重公式规则的规范运用． 核心考法：①大角、负角三角函数标准化化简；②多重复诱导公式叠加化简；③结合同角公式完成综合化简求值；④利用诱导公式实现角度转化、函数名称转化． 解题要点：严格遵循“奇变偶不变，符号看象限”核心法则，先判符号、后定名称，分步化简不跳步，统一将任意角转化为锐角三角函数，为后续恒等变换、求值奠定标准式基础． 【典例1】（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， ，， 即集合，且集合，所以. 题型03 三角恒等变换综合化简与求值 考情定位：三角函数板块核心主干题型，承接基础公式，衔接三角函数性质综合题，区分度适中，是新高考高频重点题型． 核心考法：①和差、二倍角公式常规化简变形；②给角求值、给值求值、给值求角三类核心求值题型；③升降幂公式统一次数化简；④配凑角整体代换求解非特殊角三角值． 解题要点：解题先观角、观名、观次，异角配凑、异名转化、高次降幂，优先整体代换简化运算，不盲目展开；求值类题型必须多层缩角，依据单调性、符号锁定唯一解，规避多解失分． 【典例1】（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，则，则， 则.故选：D. 【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】，由二倍角公式，， 整理可得，，A选项正确； 由诱导公式，， 展开可得， 即，下证. 方法一：分类讨论 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则不成立. 综上讨论可知，，即. 方法二：边角转化 时，由，则， 于是， 由正弦定理，， 由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是， 结合，而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾， 故不成立，则 方法三：结合射影定理（方法一改进） 由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是， 则，可同方法一种讨论的角度，推出， 方法四：和差化积（方法一改进） 续法三： ，可知同时为或者异号，即，展开可得， ， 即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知. 由，由，则，即， 则，同理，由上述推导，，则， 不妨设，则，即， 由两角和差的正弦公式可知，C选项正确 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则，则， 于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误. 故选：ABC 重点01 齐次式中的"切弦互化"应用 1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： （1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； （2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． 2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧． 【典例1】（25-26高三下·云南大理·阶段检测）已知，则________. 【答案】 【解析】由，则 【典例2】（25-26高三上·辽宁鞍山·阶段检测）已知，则_____. 【答案】 【解析】， . 重点02 sinα±cosα与sinαcosα关系的应用 对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二， 若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用． 【典例1】（25-26高三上·山东济宁·期中）已知且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 又， 所以.故选：B 【典例2】（25-26高三下·浙江台州·阶段检测）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为， 所以，即，解得，故A正确； 对于B，由A可知， 又因为，所以，，所以， 又因为，解得，故B正确； 对于C，因为，， 所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，由B的分析可知，故D错误.故选：D. 重点03 诱导公式标准化化简 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”． 【典例1】（25-26高三下·江苏南京·阶段检测）（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】. 【典例2】（25-26高三上·山西·阶段检测）已知角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【解析】因为角的终边上有一点，则， 所以.故选：A. 重点04 和差与二倍角公式灵活变形 核心解题要点：熟练正、余、切和差公式与二倍角公式，根据式子结构灵活选用升降幂公式，针对多角、多次式子统一角度、统一次数，简化复杂三角式． 高频陷阱：公式结构记忆混淆、符号出错；二倍角余弦公式混用；不会配凑角，盲目展开导致运算繁琐出错． 【典例1】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知，则__________. 【答案】 【解析】由，知. 又，所以. 【典例2】（25-26高三上·河北·阶段检测）（多选）下列各式化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A： ，A正确； 对于B： ，B错误； 对于C： ，C正确； 对于D： ，D正确. 故选：ACD. 重点05 辅助角公式标准化应用 核心解题要点：对asinx+bcos x型式子标准化变形，准确求解振幅、辅助角，将复杂三角式化为标准正弦型函数，用于求解周期、单调区间、最值与值域． 高频陷阱：辅助角象限判断错误；振幅计算漏开根号；化简不彻底直接求解性质，导致结果全部偏差． 【典例1】（2026·安徽·三模）已知是函数的对称轴，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】因为， 又因为是函数的对称轴，所以函数在处取最值， 所以，解得， 所以当时，， 当时，， 故只有A选项满足. 【典例2】（25-26高三下·河南郑州·阶段检测）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， 因为，所以 的值域为 ，故选：B. 技法点拨01 确定n分角所在象限 法1分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限． 法2几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域． 【典例1】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【答案】B 【解析】由与210°角的终边关于x轴对称，可得， ∴， 取可确定终边在第一或第三象限角.故选：B． 【典例2】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知角是第四象限角，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解析】因为角是第四象限角，所以， 所以，所以角是第二象限角或第四象限角． 又因为，即，所以角是第四象限角．故选：D． 技法点拨02 三角函数的定义及应用 1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解． 2、已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题． 3、已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值 方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值． 【典例1】（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，, 且为第四象限角，则， 根据各选项逐一代值检验，只有C项符合题意. 【典例2】（24-25高三上·海南海口·阶段检测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（    ） A．－4和 B． C．－4 D．1 【答案】B 【解析】由三角函数的定义可得，则， 整理可得，因为，解得，故选：B. 技法点拨03 三角函数值的符号判断 解题全程优先判定三角函数符号，依托角的象限、区间范围结合“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀精准判号；已知三角式正负时，反向锁定角所在象限与区间，缩小角度范围，是同角求值、诱导化简、给值求角题型的前置关键步骤，可有效规避开方正负取舍错误、多解增根等核心失分点． 【典例1】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】因为，， 即点，所以是第三象限角.故选：C. 【典例2】（25-26高三下·广西桂林·阶段检测）若，则为（    ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 【答案】B 【解析】由题知，， 若是第一象限角，则，，故，不满足题意； 若是第二象限角，则，，故，满足题意； 若是第三象限角，则，，故，满足题意； 若是第四象限角，则，，故，不满足题意. 综上，为第二或第三象限角.故选:B. 技法点拨04 扇形的弧长与面积公式 1、利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 2、求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． 3、在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 【典例1】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）若扇形甲与扇形乙的圆心角之比为，面积之比为，则甲与乙的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据扇形面积公式， 因为，所以，解得，故选：A. 【典例2】（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解析】设，，则圆弧， 由题意得，解得， 所以.故选：D 技法点拨05 同角三角函数关系知一求二 1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解 2、知弦求切：常用平方关系，与对称式sinα±cosα，sinα·cosα建立联系，注意tanα＝的灵活应用 3、知切求弦：先利用商数关系得出sin α＝tan α·cos α或cos α＝，然后利用平方关系求解． 【典例1】（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知，其中为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，又为第二象限角， 则，解得.故选：D 【典例2】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）已知为第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为第三象限角，且， 所以，且. 所以.故选：B. 技法点拨06 给值求值的解题策略 1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用; ②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如： 等. 【典例1】（2026·福建福州·模拟预测）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为角α为锐角，且，所以． 因为，，所以． 又，所以， 所以， 所以，，； 【典例2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，都是锐角，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，都是锐角，所以, 因为，， 所以，， 所以. 技法点拨07 给值求角的解题策略 “给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是： （1）求值：求出所求角的某种三角函数值. （2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围. （3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小． 【典例1】（24-25高三下·重庆·阶段检测）设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】因为是方程的两根， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 则， 所以.故选：B. 【典例2】（24-25高三下·广东·阶段检测）若，，并且为锐角，为钝角，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，且， ，， ，， . ，. 故选：C 易错点01 对任意角的理解不到位 辨析：根据任意角的定义，顺时针旋旋转为负角，逆时针旋转为正角． 【典例1】（2026·四川成都·模拟预测）将时钟拨慢15分钟，分针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】时间过去1小时，相当于分针转一圈，一圈的弧度为， 故将时钟拨慢15分钟，分针逆时针转过的弧度数为.故选：D. 【典例2】（24-25高三下·云南临沧·阶段检测）从午夜零时算起，钟的时针和分针一天内重合的次数为（ ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【解析】一天小时中，时针转圈，分针转圈， 所以分针比时针多转的圈数是， 又因为每多转一圈，分针就与时针相遇一次， 所以钟的时针和分针一天内会重合次，故选：C 易错点02 忽略角所在的象限 辨析：利用同角三角函数基本关系式求三角函数值时，要注意角所在的象限，从而确定三角函数值的符号． 【典例1】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ， . 【典例2】（25-26高三上·广西钦州·阶段检测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由二倍角的余弦公式可得， 所以，故选：D． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知半径为 3 的扇形面积 ，则扇形的圆心角为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由扇形面积公式， ，解得， 则扇形的圆心角为1．故选：B． 2．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由任意角三角函数的定义得. 3．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知， 则， 平方得， 即，解得， 又，所以 由，得，故， 所以.故选：C. 4．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由诱导公式得，则， 所以. 5．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 6．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，（为坐标原点）， 则，所以.故选：A 7．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）已知点在角终边上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点在角终边上，且， 即，解得， 所以.故选：A 8．（25-26高三下·河北邯郸·阶段检测）的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【解析】 . 二、多选题 9．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，得：，即，所以，所以A正确； 又，，所以，则， 所以，所以B错误； 联立，解得：，，所以C正确； 由，所以D错误.故选：AC 10．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】根据题意，，，所以， 则，A错误； ， 因为，则， 所以，B正确； 由，则， 所以 ，C错误； 因为， 则，D正确. 11．（25-26高三上·吉林延边·阶段检测）已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由为锐角，，得：，所以. 因为，为锐角，所以，由，得：. 选项A：，所以选项A正确； 选项B：， 所以选项B正确； 选项D：由选项B得：，所以.所以选项D错误； 选项C：由选项A、D得：所以选项C错误. 故选：AB . 三、填空题 12．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知，则__________. 【答案】 【解析】. 13．（25-26高三下·河南·阶段检测）若，，则______． 【答案】 【解析】由，可得， 又由，可得， 所以 14．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，若，，则_____． 【答案】 【解析】由，， 则， 故，， ， 由，所以. 四、解答题 15．（25-26高三上·新疆昌吉·阶段检测）求下列各式的值. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)1；(2)；(3)0；(4)8 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）原式. 16．（25-26高三上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）（1）已知，是第四象限角，，是第二象限角，求的值； （2）已知，，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意可知，， 所以 ； （2）因为，， 所以，， 则，所以， 故，， 故. $专题01 三角函数的定义及公式应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01任意角与弧度制 考点02任意角的三角函数 考点03三角恒等变换 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01寻找角的关系 难点解读02三角结构识别与选择难点 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01同角三角函数基本关系应用 题型02诱导公式化简求值 题型03三角恒等变换综合化简与求值 ▶重点突破・考法深研 重点01齐次式中的“切弦互化”应用 重点02sinα±cosα与sinαcosα关系的应用 重点03诱导公式的标准化化简 重点04和差与二倍角公式灵活变形 重点05辅助角公式标准化应用 ▶技法提炼・审题点拨 技法点拨01确定n分角所在象限 技法点拨02三角函数的定义及应用 技法点拨03三角函数值的符号判断 技法点拨04扇形的弧长与面积公式 技法点拨05同角三角函数关系知一求二 技法点拨06给值求值的解题策略 技法点拨07给值求角的解题策略 ▶易错剖析・避坑攻略 易错点01对任意角的理解不到位 易错点02忽略角所在的象限 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 任意角与弧度制 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 2、弧度制 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 【新题对点练】（2026·重庆万州·模拟预测）（多选）下列各角中，与终边相反的有（    ） A． B． C． D． 考点02 任意角的三角函数 1、三角函数的定义 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 2、同角三角函数基本关系式 （1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1. （3）商数关系：＝tan α. （3）基本关系式的几种变形 ①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． ②(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. ③sin α＝tan αcos α. 3、三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 “奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． 【新题对点练】 1．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_______. 2．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）的值为（    ） A． B． C． D． 考点03 三角恒等变换 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义． 2、二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin α cos α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝ T2α tan 2α＝ 3、辅助角公式 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ) 或f(α)＝cos(α－φ) . 【新题对点练】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）（     ） A． B． C． D． 难点解读01 寻找角的关系 在三角恒等变换解题时可以灵活运用三角恒等变换公式，但有些题目无法直接套用公式，这些题目中角与角之间往往存在特殊关系，可转化后再用公式，因此寻找角与角之间的关系也非常重要，因为这决定了我们用哪一个公式，以及怎么用这个公式. 1、计算与化简题中的角的关系 对于计算与化简题，我们先要寻找式子中是不是有两个角满足其和或差为特殊角…或者存在2倍的关系，然后利用这些关系，并结合诱导公式、和差角公式、倍角公式以及辅助角公式进行化简，从而解决问题． 2、“已知若干角或若干角的三角函数值，求目标角或目标角的三角函数值”问题中的角的关系 处理“已知若干角或若干角的三角函数值，求目标角或目标角的三角函数值”之类的问题时，一定要牢记目标角是若干个已知角，，…的线性组合，即，其中常数一般只在集合中取值，这样我们就可以运用诱导公式、和差角公式以及倍角公式进行目标角的值或目标角的三角函数值的求解. 【典例1】（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知，为第一象限角，则_____． 【典例2】（2026·宁夏银川·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 难点解读02 三角结构识别与选择难点 面对复杂混合三角式，无法快速判断用升降幂、配凑角、弦切互化还是辅助角公式，容易盲目展开导致运算崩盘．核心难点在于结构识别：次数统一、角度统一、函数名统一，根据式子结构精准选择变形路径，是新高考三角化简、最值、综合题的核心卡点． 【典例1】（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）求值：_________． 【典例2】（2025高三上·安徽六安·专题练习）=（    ） A．16 B．32 C． D． 素养进阶·答题技法突破 题型01 同角三角函数基本关系应用 考情定位：新高考三角函数基础核心题型，选填高频考查，是三角求值、化简的运算根基，侧重考查同角公式的灵活变形与符号取舍能力，容错率低． 核心考法：①利用平方、商数关系“知一求二”；②结合角的范围判定三角函数正负；③齐次分式、二次齐次式弦化切求值；④利用1的代换、升降幂技巧化简三角式． 解题要点：解题优先锁定角的象限与取值范围，开方变形必须判号；齐次式优先采用弦化切思路，借助平方关系完成1的代换，整体化简、整体求值，杜绝盲目展开造成运算繁琐与符号失误． 【典例1】（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【典例2】（2023·全国乙卷·高考真题）若，则________． 题型02 诱导公式化简求值 考情定位：三角函数标准化必备工具题型，几乎所有三角题前置化简步骤，单独考查或融入综合题，侧重公式规则的规范运用． 核心考法：①大角、负角三角函数标准化化简；②多重复诱导公式叠加化简；③结合同角公式完成综合化简求值；④利用诱导公式实现角度转化、函数名称转化． 解题要点：严格遵循“奇变偶不变，符号看象限”核心法则，先判符号、后定名称，分步化简不跳步，统一将任意角转化为锐角三角函数，为后续恒等变换、求值奠定标准式基础． 【典例1】（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 三角恒等变换综合化简与求值 考情定位：三角函数板块核心主干题型，承接基础公式，衔接三角函数性质综合题，区分度适中，是新高考高频重点题型． 核心考法：①和差、二倍角公式常规化简变形；②给角求值、给值求值、给值求角三类核心求值题型；③升降幂公式统一次数化简；④配凑角整体代换求解非特殊角三角值． 解题要点：解题先观角、观名、观次，异角配凑、异名转化、高次降幂，优先整体代换简化运算，不盲目展开；求值类题型必须多层缩角，依据单调性、符号锁定唯一解，规避多解失分． 【典例1】（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）已知的面积为，若，则（    ） A． B． C． D． 重点01 齐次式中的"切弦互化"应用 1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有： （1）sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解； （2）sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形． 2、切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧． 【典例1】（25-26高三下·云南大理·阶段检测）已知，则________. 【典例2】（25-26高三上·辽宁鞍山·阶段检测）已知，则_____. 重点02 sinα±cosα与sinαcosα关系的应用 对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二， 若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用． 【典例1】（25-26高三上·山东济宁·期中）已知且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三下·浙江台州·阶段检测）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 重点03 诱导公式标准化化简 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”． 【典例1】（25-26高三下·江苏南京·阶段检测）（    ） A． B． C．1 D． 【典例2】（25-26高三上·山西·阶段检测）已知角的终边上有一点，则（    ） A． B． C． D．11 重点04 和差与二倍角公式灵活变形 核心解题要点：熟练正、余、切和差公式与二倍角公式，根据式子结构灵活选用升降幂公式，针对多角、多次式子统一角度、统一次数，简化复杂三角式． 高频陷阱：公式结构记忆混淆、符号出错；二倍角余弦公式混用；不会配凑角，盲目展开导致运算繁琐出错． 【典例1】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知，则_______. 【典例2】（25-26高三上·河北·阶段检测）（多选）下列各式化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 重点05 辅助角公式标准化应用 核心解题要点：对asinx+bcos x型式子标准化变形，准确求解振幅、辅助角，将复杂三角式化为标准正弦型函数，用于求解周期、单调区间、最值与值域． 高频陷阱：辅助角象限判断错误；振幅计算漏开根号；化简不彻底直接求解性质，导致结果全部偏差． 【典例1】（2026·安徽·三模）已知是函数的对称轴，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（25-26高三下·河南郑州·阶段检测）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 技法点拨01 确定n分角所在象限 法1分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限． 法2几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域． 【典例1】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【典例2】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）已知角是第四象限角，且，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 技法点拨02 三角函数的定义及应用 1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解． 2、已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题． 3、已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值 方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值． 【典例1】（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则角可以为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·海南海口·阶段检测）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值是（    ） A．－4和 B． C．－4 D．1 技法点拨03 三角函数值的符号判断 解题全程优先判定三角函数符号，依托角的象限、区间范围结合“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀精准判号；已知三角式正负时，反向锁定角所在象限与区间，缩小角度范围，是同角求值、诱导化简、给值求角题型的前置关键步骤，可有效规避开方正负取舍错误、多解增根等核心失分点． 【典例1】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【典例2】（25-26高三下·广西桂林·阶段检测）若，则为（    ） A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 技法点拨04 扇形的弧长与面积公式 1、利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 2、求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． 3、在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 【典例1】（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）若扇形甲与扇形乙的圆心角之比为，面积之比为，则甲与乙的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·福建泉州·阶段检测）圆环被同圆心的扇形截取的一部分叫作扇环．如图所示，扇环的外圆弧的长为，圆心为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（    ） A． B．2 C． D．4 技法点拨05 同角三角函数关系知一求二 1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解 2、知弦求切：常用平方关系，与对称式sinα±cosα，sinα·cosα建立联系，注意tanα＝的灵活应用 3、知切求弦：先利用商数关系得出sin α＝tan α·cos α或cos α＝，然后利用平方关系求解． 【典例1】（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知，其中为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）已知为第三象限角，，则（    ） A． B． C． D． 技法点拨06 给值求值的解题策略 1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用; ②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如： 等. 【典例1】（2026·福建福州·模拟预测）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，都是锐角，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 技法点拨07 给值求角的解题策略 “给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是： （1）求值：求出所求角的某种三角函数值. （2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围. （3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小． 【典例1】（24-25高三下·重庆·阶段检测）设是方程的两根，且，则（    ） A． B． C．或 D． 【典例2】（24-25高三下·广东·阶段检测）若，，并且为锐角，为钝角，则的值为（    ） A． B． C． D． 易错点01 对任意角的理解不到位 辨析：根据任意角的定义，顺时针旋旋转为负角，逆时针旋转为正角． 【典例1】（2026·四川成都·模拟预测）将时钟拨慢15分钟，分针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三下·云南临沧·阶段检测）从午夜零时算起，钟的时针和分针一天内重合的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 易错点02 忽略角所在的象限 辨析：利用同角三角函数基本关系式求三角函数值时，要注意角所在的象限，从而确定三角函数值的符号． 【典例1】已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·广西钦州·阶段检测）设，则（    ） A． B． C． D． 优题精练·专题实战通关 一、单选题 1．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知半径为 3 的扇形面积 ，则扇形的圆心角为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·福建厦门·阶段检测）已知点在角终边上，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·河北邯郸·阶段检测）的值为（    ） A． B．2 C． D．1 二、多选题 9．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·吉林延边·阶段检测）已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知，则__________. 13．（25-26高三下·河南·阶段检测）若，，则______． 14．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，若，，则____． 四、解答题 15．（25-26高三上·新疆昌吉·阶段检测）求下列各式的值. (1)； (2)； (3)； (4). 16．（25-26高三上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）（1）已知，是第四象限角，，是第二象限角，求的值； （2）已知，，求. $