专题01 集合与常用逻辑用语的新定义及参数问题（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统整合了集合与常用逻辑用语专题，涵盖集合的概念、关系、运算，常用逻辑用语及新定义与参数问题，构建从基础梳理到高阶探究的知识体系。 清单采用考点分层突破设计，基础层梳理元素、子集等核心概念，高阶层聚焦新定义（如数域、理想集）与参数问题，通过母题探究提炼解题范式，培养逻辑推理与数学抽象素养。设新题对点练和优题精练模块，助力学生自主夯实基础、突破重难点，教师可据此优化复习策略，提升备考效率。

专题01 集合与常用逻辑用语的新定义及参数问题 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01集合与元素 考点02集合间的基本关系 考点03集合的基本运算 考点04充分条件与必要条件 考点05全称量词与存在量词 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 集合新定义 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01 根据集合间的关系求参 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 利用元素与集合的关系求参数 题型02 根据两个集合相等求参数 题型03 利用集合间的关系求参数 题型04根据集合的运算求参 题型05 根据充分必要条件求参 题型06 根据全称量词与存在量词求参 ▶重难攻坚・考法深研 重难点01定义新的集合性质 重难点02 定义新的集合关系 重难点03 定义新的集合运算 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 集合与元素 1．元素与集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)． 2．集合的元素特征 确定性、互异性、无序性． 3．元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作．  4．常用数集  自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作． 5．集合的分类 有限集，无限集，空集． 6、集合的表示方法 列举法 、描述法、图像法  【新题对点练】（2026·上海嘉定·二模）已知集合，且，则___________． 【答案】 【详解】由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. 考点02 集合间的基本关系 1、子集、真子集、空集的概念 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 2、常用的几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； 【新题对点练】（2026·湖北·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据子集的定义，由元素和集合的关系求解. 【详解】由可知，解得. 此时，符合要求. 所以. 考点03 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）交集：，，，，，． （2）并集：，，，，，． （3）补集的运算性质：，，，，． 【新题对点练】（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】已知全集，， 则，又，所以，解得． 考点04 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2、充分必要条件的概念 如果,那么与互为充要条件. 3、充分条件与必要条件和集合的联系 设，则 p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充要条件 且 p是q的充分不必要条件 且 是的必要不充分条件 且 是的既不充分也不必要条件 且 且 【新题对点练】（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若“”是“”的充分不必要条件，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】BC 【分析】应用二倍角公式结合充分不必要条件定义计算求解. 【详解】当 时，，则，得， 所以，则“”是“”的充分必要条件，A不正确； 当 时，，则，得，所以， 当，则，得， 所以或，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，B正确； 当 时，，则，得，所以， 当，则，得， 所以或，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 当时，由，即不成立， 且时有，显然不成立， 所以“”不是“”的充分不必要条件，D不正确； 考点05 全称量词和存在量词 1．全称量词与存在量词的概念 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每个等 存在量词 存在、至少、有个、某些、某个、有些等 2．全称命题与特称命题的概念 命题名称 命题结构 命题表示 全称命题 对中任意，有成立 ， 特称命题 存在中，有成立 ， 3．全称量词命题和存在量词命题的否定 命题 命题的否定 ， ， ， ， 【新题对点练】（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得. 【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 难点解读01 集合新定义 集合新定义问题是在题目中给出一个从未见过的集合概念、运算或关系，要求考生在理解定义的基础上，运用集合的基本知识（元素、子集、交并补、互异性等）进行分析、推理或计算。这类问题重在考查阅读理解、信息迁移和逻辑推理能力。 一、常见新定义类型 新定义元素性质：如“好元素”“孤立元”“相邻元”，规定元素满足某种条件。 新定义子集族性质：如“可拆分集”“无和集”“k基集”，对子集的整体结构提出要求。 新定义运算：如定义集合的加法、乘法等，然后计算或证明封闭性，如“差集”“对称差集”“乘积集”等，给出明确的集合构造规则。 新定义关系：如“集合A与B关联”，要求判断两个集合是否满足某种关系。 二、核心知识点 集合元素的互异性：集合中任意两个元素不同，这是检验参数取值是否合理的首要依据。 集合的表示法：列举法（离散元素）、描述法（属性描述）、区间法（连续范围）。 子集与真子集：理解包含关系的含义，能准确写出给定集合的所有子集。 集合的运算：并、交、补、差，以及韦恩图辅助分析。 分类讨论思想：新定义往往需要分情况讨论（如元素个数、元素大小关系、奇偶性等）。 构造与反例：证明存在性时构造具体集合；证明命题为假时构造反例。 集合新定义问题的核心是翻译和特例探路，在掌握基本集合知识的基础上，通过反复阅读、举例、转化、分类，最终转化为常规集合问题求解。 难点破解（2026高三·全国·专题练习）（多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（    ） A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则； C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域． 【答案】ABD 【分析】依据数域的定义逐项分析即可. 【详解】由题可设a是数域G中的一个元素，则由数域定义可知，即0是任何数域中的元素，A正确； 若域G中有非零元素a，则，所以，，…，，B正确； 记则，但，所以集合不是一个数域，故C错误； 因为任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，所以有理数集Q是一个数域，故D正确． 故选：ABD 素养进阶·答题技法突破 题型01 根据集合间的关系求参 【典例1】（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【答案】 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 【典例2】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 题型01 利用元素与集合的关系求参数 1、已知元素属于集合：将元素代入集合中的表达式，求解参数；若有多个可能值，需分别检验集合元素的互异性。 2、已知元素不属于集合：利用补集思想，先求出使元素属于集合的参数范围，再取其补集（注意边界是否可取）。 【典例1】（2026·安徽合肥·二模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则，解得或， 所以若，则的取值范围为. 【典例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，代入得，解得. 【变式1】（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 【答案】B 【分析】分，两种情况结合题意讨论求解即可. 【详解】若，则方程只有一个解， 则，得， 所以或，此时， 若，则方程有两相异实数解且是方程的其中一个解， 则，得， 所以方程可化为，则，； 综上，或. 【变式2】（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 题型02 根据两个集合相等求参数 集合相等即元素完全相同（无序、互异）。通过分析两集合中元素的对应关系，列出方程（组），并利用互异性检验。 【典例1】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 【典例2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合， ，若 ，则 （    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】因为，且，所以，即， 所以. 【变式1】（2026·河南许昌·三模）已知，，，，若且，则____________． 【答案】或 【分析】已知四个递增数两两之和构成集合,根据大小关系可确定最小两数和为6、最小与第三数和为10、最大两数和为24、第二与最大数和为20,再分第二与第三数和为12或18两种情况,分别联立前三个和的方程,通过整体代入求出的两个可能取值. 【详解】由题意知. 满足,因为. 则必有. 若,联立，两式相加得， 代入得，解得. 若,联立，两式相加得， 代入得,解得. 【变式2】（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 题型03 利用集合间的关系求参数 将集合间的包含、相等、交并补关系转化为关于参数的不等式（组），并特别注意端点取值及空集情况。 1、化简集合：将已知集合用区间或具体元素表示。 2、转化关系：根据题意（如等）列出不等式（组）。 3、检查端点：判断参数在边界处是否满足条件（开闭区间影响参数能否取等）。 4、优先考虑空集：当集合可能为空集时（如含参不等式解集），需先讨论空集情况，再进行非空讨论。 【典例1】（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 【典例2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】A 【详解】由，得，又由，根据集合元素的互异性，得，即， 而集合，由，得或，所以或. 故选A. 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 【变式2】（2026·湖南怀化·二模）已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过解一元二次不等式得集合，再根据并集的定义可得. 【详解】由，解得，所以. 因为，所以，如图： 所以． 题型04根据集合的运算求参 集合的运算（并、交、补、差）对应于元素与集合的归属关系，常借助数轴、韦恩图或列举法进行求解。 1、当集合为离散点集时，直接列举元素运算。 2、当集合为连续区间时，画数轴，注意端点开闭。 3、熟悉集合运算中常用的二级结论。 4、对于含参数集合，需讨论端点和空集。 【典例1】（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【详解】全集，集合，， ，，故选项D正确. 【典例2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据列不等式，由此求得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】依题意，， 由于， 所以，解得， 所以的最大值为. 【变式1】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知集合，，若，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【详解】已知，，说明只有是和的公共元素， 则，又因为，元素， 因此. 【变式2】（2026·上海·三模）已知集合，，若，则实数__________． 【答案】 【详解】因为，所以. 得，解得，. 当时，，满足； 当时，，满足； 综上所述，. 题型05 根据充分必要条件求参 1、将条件与结论分别转化为集合（或取值范围），利用充分、必要、充要条件对应的集合包含关系（p对应的集合P，q对应的集合Q）： p是q的充分不必要条件⇔ p是q的必要不充分条件⇔ p是q的充要条件⇔ 2、根据题意确定集合间的包含或相等关系，列出不等式组（注意端点等号能否取到）。 3、解不等式组得到参数范围，并验证边界是否符合题意（如集合是否为空、端点是否满足包含关系）。 4、若已知充要条件，可直接将两个条件转化为等价方程（组）求解。 【典例1】（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件. 【详解】当时：，当时，单调递减，；当时，，无最大值. 当时：时，单调递增，当时，，无最大值. 当时：时，单调递减，故； 时，，开口向下，对称轴为. 若时，即时，在上的最大值为， 则，解得； 若时，即时，在上单调递增，最大值为， 则即，因为， ，不等式无解，函数此时无最大值； 综上有最大值的充要条件为. 因为， 所以有最大值的一个充分不必要条件是. 【典例2】（2026·江西南昌·三模）设且，函数的值域为的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析函数在不同区间上的单调性和值域，再根据函数的值域为确定的取值范围，最后根据充分不必要条件的定义判断选项. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增，则在上单调递增， 所以，即在上的值域为； 当时，，且. ①当时，在上单调递减，所以， 即在上值域为，值域存在上界，整个函数值域无法延伸到正无穷，不满足值域为，不合题意； ②当时，在上单调递增，所以， 即在上值域为， 因为整个函数值域为，所以，解得或， 又因为，所以，即. 所以函数的值域为的一个充分不必要条件对应的的取值范围应为的真子集，所以B正确. 【变式1】（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若对数函数存在，则底数且； 若表示双曲线，则，即， 综上，若两者均存在，则或. 而2在上述区间内， 所以是对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件. 【变式2】（2026·江苏南通·三模）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 若，则，所以，解得， 当时，，此时， 所以是的充要条件， 故“”的一个必要不充分条件是. 题型06 根据全称量词与存在量词求参 先确定真命题，然后根据命题是任意问题还是存在问题，求参数范围。 【典例1】（2026·江苏扬州·模拟预测）若“”是假命题，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由对任意恒成立，变换，根据三角函数的值域即可得到答案. 【详解】由于“”是假命题，则有对任意恒成立， 由于时，，因此， 又因为当时，，且在内可无限趋近，为满足恒成立， 故的取值范围是. 【典例2】（2026·江西上饶·二模）若，且“，”为假命题，则_________． 【答案】 【分析】根据题意得函数与函数在有相同的零点，再求出零点，进而得到即可． 【详解】由题得函数与函数有相同的零点， 而在的零点为，， 所以，也是的两个根， 即：， 【变式1】（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意，分、两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解. 【详解】可化为， 由题意可知，恒成立， 当时，原不等式为，解得，不合题意； 当时，依题意得，解得， 综上所述，的取值范围为． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 重难点01定义新的集合性质 新性质往往限制很严，多从小规模、特殊情况入手，往往能找到突破口 1、将新性质转化为元素之间的等式、不等式或关系。 2、按元素个数、数值大小、奇偶等标准分情况，避免遗漏。 3、需要找满足性质的集合时，从简单情况构造并逐步添加元素；判断真假时，举反例即可。 【典例1】（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. 【典例2】（多选）（2026·辽宁大连·一模）已知集合，其中.定义向量集，若对任意，存在，使，称集合具有性质，则（    ） A．集合具有性质 B．当时，具有性质的集合有无数个 C．若集合具有性质，且，则 D．已知集合具有性质，且，若，则有穷数列的通项公式为 【答案】ABD 【分析】利用列举法来配对两两数量积为，即可判断A，利用总满足性质，即可判断B，利用分类列举，并通过数量积为，来求解参数，发现有两解，从而可判断C，利用任意性和存在性来配对数量积为，即可判断D. 【详解】因为，所以， 因为， 所以对任意，存在，使，即集合具有性质，故A正确； 当时，令，， 则， 因为， 所以对任意，存在，使，即集合具有性质， 因为正数有无数个，所以具有性质的集合有无数个，故B正确； 若集合具有性质， 则取，则只可能是 根据，依次解得：， 因为，且要满足集合中元素互异性，所以, 检验：当时， ， 因为 ， 所以对任意，存在，使，即集合具有性质， 当时， ， 因为 ， 所以对任意，存在，使，即集合具有性质，故C错误； 由C选项可知：满足，此时 假设满足题意，则取，要使其存在正交向量， 即，因为，所以必须为负数，即，此时， 由，逐一检验可知，只有时，，符合， 以此类推可得：有穷数列的通项公式为， 下证明充分性： 对于任意且 不妨假设，总存在满足， 有穷数列的通项公式为,故D正确； 故选：ABD 【变式1】（2026·天津滨海新区·模拟预测）若非空数集满足：，都存在（其中），使得，则称集合是的“理想集”．记集合，若集合是的“理想集”，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【分析】由题意可知关于b的方程在内有解，取或，解方程并结合零点存在性定理分析求解. 【详解】若集合是的“理想集”， 则关于b的方程在内有解， 若，即， 可得，解得或， 则或，解得或，所以； 若，即， 令，， 原题意等价于在内有零点， 则，解得或， 因为且，可得或， 若，则，且，， 可知在内有零点，符合题意； 若，则，且，， 可知在内有零点，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【变式2】（2026·安徽合肥·一模）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 【答案】 【分析】化简集合，根据“集合”的定义分2个元素，3个元素，4个元素讨论求解. 【详解】解方程，解得，结合， 因此：，集合共9个元素. （1）2个元素的“集合”：设为， 当时，可取5，6，7，8，9，共5个； 当时，可取6，7，8，9，共4个； 当时，可取7，8，9，共3个； 当时，可取8，9，共2个； 当时，可取9，共1个；当时，无满足条件的. 则2个元素的“集合”总数：. （2）3个元素的“集合”：要选出3个元素，需满足任意两个元素至少相差4. 最小的3个满足条件的元素为1，5，9，则3个元素的“TB集合”仅1个：1，5，9. （3）若尝试选出4个元素，最小的4个满足条件的数为1，5，9，13，而13超出集合A的范围， 因此不存在4个及以上元素的“TB集合”. 综上，“集合”总数个元素的数量个元素的数量：. 重难点02 定义新的集合关系 1、读懂关系：抓住新关系定义中的关键词（如“A与B有交”“A中每个元素都比B中某个元素大”），用符号或简单例子重述。 2、转化为已知：将新关系转化为集合的包含、相等、交非空、元素大小比较等常规条件。 3、分类验证：按集合是否为空、元素个数多少、元素取值范围等分类，逐类检验是否满足新关系。 【典例1】（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 【答案】50 【分析】解法一利用组合数的性质并分类讨论求解即可，解法二列举出具体集合，再分类讨论求解即可. 【详解】解法一：若中各含1个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有个， 若中各含2个元素时，“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 解法二：当集合中有1个元素时，有，共4种情况， 集合是由集合中去除这个元素后，剩下的3个元素组成的非空子集， 可得这样的“互斥子集组”有个， 当集合中有2个元素时，有， 共6种情况，而集合是由集合中去2个元素后， 剩下的2个元素组成的非空子集，此时“互斥子集组”有个， 当集合中有3个元素时，有，共4种情况， 而集合是由集合中去除3个元素后，剩下的1个元素组成的非空子集， 则此时“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 【典例2】（25-26高三下·北京·开学考试）对于集合，若存在集合的个两两不同的子集，且满足：，则称其为集合的一条“链”，称为这条“链”的长度．当集合的元素个数为时，有以下四个结论： ①集合的最长“链”的长度为； ②任意两个集合都可以出现在同一个“链”中； ③当时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合； ④集合的最长“链”的总数为． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①④ 【分析】①，对于集合，先说明一条链最多包含个集合，再举例满足条件的“链”存在，从而得到结论；②举出反例得到结论；③举出反例得到结论；④，集合的最长“链”的长度为，从空集开始，进行分步求解，每次增加一个元素，第一个位置有种选择，第二个位置有种选择，以此类推，直到最后一个位置只有中选择.根据分步计数的乘法原理，得到结论. 【详解】①，设， 对于链，由于各子集两两不同，故其元素个数满足， 因为的子集元素个数最少为0（空集），最多为（全集），所以一条链最多包含个集合， 例如，取，且后续每个子集比前一个子集恰好多一个元素，直到， 可构成一条长度为的链，因此，最长“链”的长度为，①正确； ②，不妨设，，显然两个集合不存在包含关系，故不能都出现在同一个“链”中，②错误； ③，当集合的元素个数为时， 不妨设， ， 上面两个均为长为4的“链”，不具有相同集合，③错误； ④，集合的最长“链”的长度为，从空集开始， 每次增加一个元素，第一个位置有种选择（从个元素中选一个放入第一个非空子集）， 第二个位置有种选择（从剩下的个元素中选一个放入下一个子集），以此类推， 直到最后一个位置只有种选择.根据分步计数的乘法原理， 的最长“链”的总数为，④正确. 故选：①④. 【变式1】（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【答案】(1)不是的完美子集，是的完美子集 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）验证两个条件即可； （2）用反证法证明； （3）根据集合的新定义结合反证法证明即可. 【详解】（1）中任意子集之和可以是，，，，，均互不相等，满足性质①， 是再添一个不在中但在中的元素，取，， 的不同子集元素和分别为： ， 没有和相等的子集，所以不满足性质②，不是的完美子集； 的任意子集之和可以是， 均互不相等，满足性质①， 对于性质②，对任意，， 任意子集之和组成的集合为 当,存在的子集的元素和等于，只要取的两个子集为， 即可满足条件，而当，，取子集和即可， 所以是的完美子集； （2）反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. （3）， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 【变式2】（25-26高三上·山东·阶段检测）已知集合，设非空集合，记为中的最小元素，为中的元素个数.若集合满足，则称是的一个“膨胀子集”.记的“膨胀子集”的个数为. (1)请写出的“膨胀子集”以及的含有但不含的“膨胀子集”； (2)当时，求数列的递推公式（用，表示）； (3)求的值. 【答案】(1)的“膨胀子集”为，的含有但不含的“膨胀子集”为 (2) (3) 【分析】（1）根据“膨胀子集”的定义，代入数据，分别写出满足条件的“膨胀子集”即可. （2）由题意可知，集合不含元素的“膨胀子集”的个数为，再分析集合含有元素的“膨胀子集”，分别讨论和两种情况，根据所给定义，分析求解，即可得答案. （3），根据（2）结果，分组求和，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由题意，，， 所以的“膨胀子集”为共3个； 则的含有5但不含1的“膨胀子集”为共3个； （2）由题意可知，集合的“膨胀子集”均为集合的“膨胀子集”； 故集合不含元素的“膨胀子集”的个数为； 下面分析集合含有元素的“膨胀子集”： ①若，则此时，满足题意，共有个； ②若，则设， 将中去掉，剩余的所有元素减去1，得到新集合， 则此时，且中最大元素不超过， 所以为的“膨胀子集”，共有个， 由于任意一个满足条件的都对应一个满足条件的，且任意一个满足条件 的都对应一个满足条件的，所以满足条件的共有个. 所以 （3）由（2）得， 则 重难点03 定义新的集合运算 将新运算理解为集合中元素之间的某种代数运算（如加法、乘法、乘幂）所生成的新集合，通过元素间的对应关系描述结果集合。 1、明确运算定义：弄清运算是针对两个集合还是单个集合。 2、枚举或推导元素：若集合有限，直接枚举所有可能的运算结果；若无限，分析元素满足的代数条件（如奇偶性、范围）。 3、关注运算性质：判断新运算是否封闭、交换、结合，可用于简化计算。 4、分类讨论参数：当集合中含有参数时，根据参数取值讨论结果集合的变化。 【典例1】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合，且，定义这个集合的“复合乘幂和”：，其中，设表示集合的所有非空子集的“复合乘幂和”的总和，则______． 【答案】 【分析】求出前面的系数和为后可求. 【详解】考虑前面的系数和，由题设前面的系数可为， 故前面的系数和为， 所以前面的系数和为； 前面的系数和为； 前面的系数和为； 前面的系数和为； 前面的系数和为； 前面的系数和为； 前面的系数和为； 故 . 【典例2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______． 【答案】 【分析】根据题意，将中所有非空子集分类考虑，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有的部分的和，问题即可解决. 【详解】， 中所有非空子集含有1的有2026类： 单元素集合只有含有1，即1出现了次； 双元素集合含有1的有，即1出现了次； 三元素集合中含有1的有，即1出现了次， …… 有2026个元素的集合中含有1的有，1出现了次； 1共出现， 同理都出现次， 的所有非空子集中，这些和的总和是 . 【变式1】（2026·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的新定义求出 和 ，即可求出元素之和. 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为. 故选：D 【变式2】（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 【答案】 【分析】用列举法列出集合、，再根据所给定义列出即可判断. 【详解】，，，，， ，，，，， ，，，，，，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，共个元素. 优题精练·专题实战通关 1．（2026·上海·三模）若，，且，则实数取值的集合是____________. 【答案】 【分析】根据并集的定义可得是集合中的元素，再结合集合元素的互异性排除，即可得到实数的取值集合. 【详解】因为，，且，则， 所以且由互异性知， 则有或或， 所以实数取值的集合是. 2．（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，列出关系式，即可求解. 【详解】因为，即，结合集合元素的互异性，可得或，解得或． 3．（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可. 【详解】解：由，则集合中的所有元素必须属于集合， 所以，即a的取值范围为. 4．（2026·天津滨海新区·模拟预测）若非空数集满足：，都存在（其中），使得，则称集合是的“理想集”．记集合，若集合是的“理想集”，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【分析】由题意可知关于b的方程在内有解，取或，解方程并结合零点存在性定理分析求解. 【详解】若集合是的“理想集”， 则关于b的方程在内有解， 若，即， 可得，解得或， 则或，解得或，所以； 若，即， 令，， 原题意等价于在内有零点， 则，解得或， 因为且，可得或， 若，则，且，， 可知在内有零点，符合题意； 若，则，且，， 可知在内有零点，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 5．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若恰有4个子集，则中恰有2个元素，所以. 6．（2026·山东烟台·二模）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由可知中元素必属于，故或；分别求解后，结合集合元素的互异性排除，最终得或． 【详解】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． 7．（2026·云南怒江·模拟预测）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】解分式不等式，再结合充分不必要条件建立关于的不等式求解即可. 【详解】由，可得且. 因为，所以，故不等式的解集为. 由是不等式成立的充分不必要条件，可得是的真子集， 故，解得， 所以的取值范围是. 8．（2026·安徽芜湖·二模）已知集合共有个三元子集.任意一个三元子集，定义.则__________. 【答案】660 【分析】结合分步乘法计数原理分析可得在三元子集中，出现的次数为，进而求解即可. 【详解】对于集合中的元素，要使在三元子集中， 则可以从1到这个元素中任选1个， 可以从到10这个元素中任选1个， 根据分步乘法计数原理， 作为三元子集的中间数出现的次数为 则. 9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，.若集合中有且仅有一个元素，则的所有取值之积为（    ） A．4 B． C． D．9 【答案】D 【分析】将复数模的条件转化为复平面上的圆，根据两圆相切的充要条件求出的所有正取值，再计算乘积即可. 【详解】由，则在复平面内，复数对应的点到点的距离为， 则集合表示在复平面内，以为圆心，半径为的圆； 由，若，，不合题意； 若，则，即， 此时，即，不合题意； 故，则在复平面内，复数对应的点到点的距离为， 即集合表示在复平面内，以为圆心，半径为的圆； 由集合中有且仅有一个元素，则两圆相切， 若两圆相内切，则有，解得（负值舍去）； 若两圆相外切，则有，解得； 故的所有取值之积为. 10．（2026·福建·一模）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于的方程，利用判别式得到关于的不等式，最后分和两种情况分析，确定的取值范围. 【详解】由题意可知，原命题的否命题：“，使得”是真命题． 所以对任意实数，方程都有实数解． 故而对任意固定的实数都有解． 即关于的不等式对任意固定的实数都有解． 对不等式分情况讨论： ①.若,即.当时,不等式为,对任意显然有解. 当时,关于的二次函数开口向上, 其值域包含正数,故对任意,总存在使得.所以符合题意. ②.若,即.关于的二次函数开口向下, 其最大值为. 要使不等式对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负, 即对任意恒成立,这显然是不可能的.故不符合题意. 因此，的取值范围是． 故答案为： $专题01 集合与常用逻辑用语的新定义及参数问题 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01集合与元素 考点02集合间的基本关系 考点03集合的基本运算 考点04充分条件与必要条件 考点05全称量词与存在量词 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 集合新定义 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01 根据集合间的关系求参 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 利用元素与集合的关系求参数 题型02 根据两个集合相等求参数 题型03 利用集合间的关系求参数 题型04根据集合的运算求参 题型05 根据充分必要条件求参 题型06 根据全称量词与存在量词求参 ▶重难攻坚・考法深研 重难点01定义新的集合性质 重难点02 定义新的集合关系 重难点03 定义新的集合运算 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 集合与元素 1．元素与集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)． 2．集合的元素特征 确定性、互异性、无序性． 3．元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作．  4．常用数集  自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作． 5．集合的分类 有限集，无限集，空集． 6、集合的表示方法 列举法 、描述法、图像法  【新题对点练】（2026·上海嘉定·二模）已知集合，且，则___________． 考点02 集合间的基本关系 1、子集、真子集、空集的概念 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 2、常用的几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； 【新题对点练】（2026·湖北·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点03 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）交集：，，，，，． （2）并集：，，，，，． （3）补集的运算性质：，，，，． 【新题对点练】（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 考点04 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2、充分必要条件的概念 如果,那么与互为充要条件. 3、充分条件与必要条件和集合的联系 设，则 p是q的充分条件 p是q的必要条件 p是q的充要条件 且 p是q的充分不必要条件 且 是的必要不充分条件 且 是的既不充分也不必要条件 且 且 【新题对点练】（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若“”是“”的充分不必要条件，则的值可以是（    ） A．0 B．1 C． D．2 考点05 全称量词和存在量词 1．全称量词与存在量词的概念 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每个等 存在量词 存在、至少、有个、某些、某个、有些等 2．全称命题与特称命题的概念 命题名称 命题结构 命题表示 全称命题 对中任意，有成立 ， 特称命题 存在中，有成立 ， 3．全称量词命题和存在量词命题的否定 命题 命题的否定 ， ， ， ， 【新题对点练】（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 难点解读01 集合新定义 集合新定义问题是在题目中给出一个从未见过的集合概念、运算或关系，要求考生在理解定义的基础上，运用集合的基本知识（元素、子集、交并补、互异性等）进行分析、推理或计算。这类问题重在考查阅读理解、信息迁移和逻辑推理能力。 一、常见新定义类型 新定义元素性质：如“好元素”“孤立元”“相邻元”，规定元素满足某种条件。 新定义子集族性质：如“可拆分集”“无和集”“k基集”，对子集的整体结构提出要求。 新定义运算：如定义集合的加法、乘法等，然后计算或证明封闭性，如“差集”“对称差集”“乘积集”等，给出明确的集合构造规则。 新定义关系：如“集合A与B关联”，要求判断两个集合是否满足某种关系。 二、核心知识点 集合元素的互异性：集合中任意两个元素不同，这是检验参数取值是否合理的首要依据。 集合的表示法：列举法（离散元素）、描述法（属性描述）、区间法（连续范围）。 子集与真子集：理解包含关系的含义，能准确写出给定集合的所有子集。 集合的运算：并、交、补、差，以及韦恩图辅助分析。 分类讨论思想：新定义往往需要分情况讨论（如元素个数、元素大小关系、奇偶性等）。 构造与反例：证明存在性时构造具体集合；证明命题为假时构造反例。 集合新定义问题的核心是翻译和特例探路，在掌握基本集合知识的基础上，通过反复阅读、举例、转化、分类，最终转化为常规集合问题求解。 难点破解（2026高三·全国·专题练习）（多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（    ） A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则； C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域． 素养进阶·答题技法突破 题型01 根据集合间的关系求参 【典例1】（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【典例2】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 题型01 利用元素与集合的关系求参数 1、已知元素属于集合：将元素代入集合中的表达式，求解参数；若有多个可能值，需分别检验集合元素的互异性。 2、已知元素不属于集合：利用补集思想，先求出使元素属于集合的参数范围，再取其补集（注意边界是否可取）。 【典例1】（2026·安徽合肥·二模）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 【变式2】（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 题型02 根据两个集合相等求参数 集合相等即元素完全相同（无序、互异）。通过分析两集合中元素的对应关系，列出方程（组），并利用互异性检验。 【典例1】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合， ，若 ，则 （    ） A． B．2 C． D．1 【变式1】（2026·河南许昌·三模）已知，，，，若且，则____________． 【变式2】（2026·江西九江·模拟预测）已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型03 利用集合间的关系求参数 将集合间的包含、相等、交并补关系转化为关于参数的不等式（组），并特别注意端点取值及空集情况。 1、化简集合：将已知集合用区间或具体元素表示。 2、转化关系：根据题意（如等）列出不等式（组）。 3、检查端点：判断参数在边界处是否满足条件（开闭区间影响参数能否取等）。 4、优先考虑空集：当集合可能为空集时（如含参不等式解集），需先讨论空集情况，再进行非空讨论。 【典例1】（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合，，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合，，若，则由实数组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖南怀化·二模）已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型04根据集合的运算求参 集合的运算（并、交、补、差）对应于元素与集合的归属关系，常借助数轴、韦恩图或列举法进行求解。 1、当集合为离散点集时，直接列举元素运算。 2、当集合为连续区间时，画数轴，注意端点开闭。 3、熟悉集合运算中常用的二级结论。 4、对于含参数集合，需讨论端点和空集。 【典例1】（2026·河南驻马店·三模）已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【典例2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式1】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知集合，，若，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式2】（2026·上海·三模）已知集合，，若，则实数__________． 题型05 根据充分必要条件求参 1、将条件与结论分别转化为集合（或取值范围），利用充分、必要、充要条件对应的集合包含关系（p对应的集合P，q对应的集合Q）： p是q的充分不必要条件⇔ p是q的必要不充分条件⇔ p是q的充要条件⇔ 2、根据题意确定集合间的包含或相等关系，列出不等式组（注意端点等号能否取到）。 3、解不等式组得到参数范围，并验证边界是否符合题意（如集合是否为空、端点是否满足包含关系）。 4、若已知充要条件，可直接将两个条件转化为等价方程（组）求解。 【典例1】（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·江西南昌·三模）设且，函数的值域为的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（2026·江苏南通·三模）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 题型06 根据全称量词与存在量词求参 先确定真命题，然后根据命题是任意问题还是存在问题，求参数范围。 【典例1】（2026·江苏扬州·模拟预测）若“”是假命题，则的取值范围为__________． 【典例2】（2026·江西上饶·二模）若，且“，”为假命题，则_________． 【变式1】（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 重难点01定义新的集合性质 新性质往往限制很严，多从小规模、特殊情况入手，往往能找到突破口 1、将新性质转化为元素之间的等式、不等式或关系。 2、按元素个数、数值大小、奇偶等标准分情况，避免遗漏。 3、需要找满足性质的集合时，从简单情况构造并逐步添加元素；判断真假时，举反例即可。 【典例1】（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【典例2】（多选）（2026·辽宁大连·一模）已知集合，其中.定义向量集，若对任意，存在，使，称集合具有性质，则（    ） A．集合具有性质 B．当时，具有性质的集合有无数个 C．若集合具有性质，且，则 D．已知集合具有性质，且，若，则有穷数列的通项公式为 【变式1】（2026·天津滨海新区·模拟预测）若非空数集满足：，都存在（其中），使得，则称集合是的“理想集”．记集合，若集合是的“理想集”，则实数的取值范围为___________ 【变式2】（2026·安徽合肥·一模）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 重难点02 定义新的集合关系 1、读懂关系：抓住新关系定义中的关键词（如“A与B有交”“A中每个元素都比B中某个元素大”），用符号或简单例子重述。 2、转化为已知：将新关系转化为集合的包含、相等、交非空、元素大小比较等常规条件。 3、分类验证：按集合是否为空、元素个数多少、元素取值范围等分类，逐类检验是否满足新关系。 【典例1】（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 【典例2】（25-26高三下·北京·开学考试）对于集合，若存在集合的个两两不同的子集，且满足：，则称其为集合的一条“链”，称为这条“链”的长度．当集合的元素个数为时，有以下四个结论： ①集合的最长“链”的长度为； ②任意两个集合都可以出现在同一个“链”中； ③当时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合； ④集合的最长“链”的总数为． 其中所有正确结论的序号是___________． 【变式1】（2026·北京顺义·二模）已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； (1)若，判断是否为集合的完美子集； (2)若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； (3)若集合为集合的完美子集，证明：. 【变式2】（25-26高三上·山东·阶段检测）已知集合，设非空集合，记为中的最小元素，为中的元素个数.若集合满足，则称是的一个“膨胀子集”.记的“膨胀子集”的个数为. (1)请写出的“膨胀子集”以及的含有但不含的“膨胀子集”； (2)当时，求数列的递推公式（用，表示）； (3)求的值. 重难点03 定义新的集合运算 将新运算理解为集合中元素之间的某种代数运算（如加法、乘法、乘幂）所生成的新集合，通过元素间的对应关系描述结果集合。 1、明确运算定义：弄清运算是针对两个集合还是单个集合。 2、枚举或推导元素：若集合有限，直接枚举所有可能的运算结果；若无限，分析元素满足的代数条件（如奇偶性、范围）。 3、关注运算性质：判断新运算是否封闭、交换、结合，可用于简化计算。 4、分类讨论参数：当集合中含有参数时，根据参数取值讨论结果集合的变化。 【典例1】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合，且，定义这个集合的“复合乘幂和”：，其中，设表示集合的所有非空子集的“复合乘幂和”的总和，则______． 【典例2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______． 【变式1】（2026·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【变式2】（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 优题精练·专题实战通关 1．（2026·上海·三模）若，，且，则实数取值的集合是____________. 2．（2026·陕西西安·三模）已知集合，，若，则a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·上海金山·模拟预测）已知集合，且，则实数a的取值范围是_________. 4．（2026·天津滨海新区·模拟预测）若非空数集满足：，都存在（其中），使得，则称集合是的“理想集”．记集合，若集合是的“理想集”，则实数的取值范围为___________ 5．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山东烟台·二模）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（2026·云南怒江·模拟预测）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是__________. 8．（2026·安徽芜湖·二模）已知集合共有个三元子集.任意一个三元子集，定义.则__________. 9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，.若集合中有且仅有一个元素，则的所有取值之积为（    ） A．4 B． C． D．9 10．（2026·福建·一模）若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． $