第1章 三角形（单元自测卷）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

**基本信息** 2026-2027学年七年级上册数学三角形单元复习卷，满分120分，90分钟，通过生活情境、动态探究及综合应用，考查三角形核心知识，适配单元复习巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形稳定性、三边关系、高的位置、全等判定|第1题结合生活物体结构考稳定性，体现数学眼光；第5题考唯一三角形作图，强化几何直观| |填空题|6/18|角度计算、中线性质、全等条件、动点问题|第16题动点与全等结合，考查动态思维；第15题化简边长绝对值，培养符号意识| |解答题|8/72|作图、测量应用、全等证明、“一线三等角”探究|第19题测量河宽应用全等解决实际问题，发展应用意识；第23题“一线三等角”多情境探究，提升推理能力与创新意识|

2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第一章 三角形 建议用时：90分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列物体的结构中，没有运用到三角形稳定性的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：对于A、B、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性； 而C选项中，用到了四边形的不稳定性． 2.小芳手中握有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成三角形），桌上有下列长度的几根木条，如果要求新选择的木条是三边中的最长边，那么这根木条的长度可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所选木条为最长边确定不等关系，结合三角形三边关系求出第三边的取值范围，再匹配选项得到结果． 【详解】解：设所选木条长度为 ∵是三角形的最长边，已有两边长为和 ∴ 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得 ， 即 因此的取值范围为 结合选项可知，只有满足该范围． 3.下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 【答案】B 【分析】根据不同类型三角形的特征逐一判断选项即可． 【详解】解：∵钝角三角形只有1条高在三角形内部，2条高在三角形外部， ∴ A选项错误； ∵钝角三角形有2条高不在三角形内部，直角三角形有2条高在三角形边上（不在内部），锐角三角形3条高都在三角形内部，不存在3条高都不在三角形内部的情况， ∴三角形三条高至多有两条不在三角形内部，B选项正确； ∵直角三角形三条高的交点在直角顶点，即交点在三角形边上，既不在三角形内部，也不在三角形外部， ∴C选项错误； ∵任意三角形内角平分线的交点都在三角形内部， ∴ D选项错误． 4.如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，为公共角，根据全等三角形的判定，进行解答，即可． 【详解】解：已知，是公共角； A、，无法判定三角形全等，不符合题意； B、，无法判定三角形全等，不符合题意； C、， 则， ∴ ，符合题意； D、，无法判定三角形全等，不符合题意； 5.根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，根据相关知识逐个选项判断即可． 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系，本选项不符合题意． B、边边角，三角形不能唯一确定，本选项不符合题意． C、角角边，三角形唯一确定，本选项符合题意． D、一边一角无法确定三角形，本选项不符合题意， 故选：C． 6.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形重心的判断，掌握三角形的重心的定义是解题的关键．根据三角形重心是三角形三条中线的交点，结合网格可得出结论． 【详解】解：如图，由各特征可得， ∴为的两条中线， ∴点为的重心， 故选：D． 7.如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．60 B．90 C．100 D．120 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∴， ∴的边上的高为， ∴． 故选：D ． 8.如图，为的中线，于点E，若，，，则点C到直线的距离为（      ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，三角形面积计算，三角形中线，过点C作于点F，根据三角形面积公式求出，根据三角形中线的性质得出，根据三角形面积公式得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点C作于点F，如图所示： ∵，，， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴点C到直线的距离为． 故选：A． 9.如图，≌，点在边上，，和相交于点．下列说法： （1）若，则； （2）若，则； （3）若≌，，则． 其中正确的有（　　）个．    A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】依据全等三角形的性质，即可得到∠BED=∠EDC，进而得出BE∥AC；依据全等三角形的性质，即可得到∠1=∠DEO=36°，∠1=∠AEB=36°，∠C=72°，即可得出∠C+∠BEC=180°，进而得出BE∥AC． 【详解】∵△AEC≌△BED， ∴∠BED=∠AEC， ∴∠1=∠AEB， 由∠B=∠A，∠1=∠AEB，不能得到BE∥AC，故（1）错误； ∵△AEC≌△BED， ∴BD=AC，∠BDE=∠C， 又∵BE=AC， ∴BD=BE， ∴∠BED=∠BDE， ∵ED=EC， ∴∠C=∠EDC， ∴∠BED=∠EDC， ∴BE∥AC，故（2）正确； ∵△ECD≌△EOD， ∴∠1=∠DEO=36°， 又∵∠1=∠AEB=36°，CE=DE， ∴∠C=72°， ∴∠C+∠BEC=180°， ∴BE∥AC，故（3）正确． 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质以及平行线的判定，解题时注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 10.如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点．若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．24 D．28 【答案】D 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，已知，，，则的度数为________． 【答案】/80度 【分析】根据全等三角形的对应角相等，可得，进而即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 12.如图，，点在线段上，，，则________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 13.如图，中，于点D，平分，交于点E，，，则_____． 【答案】/20度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，由角平分线的定义可得，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14.如图，已知，，要说明，若以“”为依据，还需添加的一个条件为 ___________． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 分析由证明所需的条件，结合已知，即可得需要添加的条件． 【详解】 解：还需添加的一个条件为或，理由如下： 添加时， 在和中， ， ∴， 添加时， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 故答案为：或． 15.已知a，b，c 是的三边长，化简： _______ 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c 是的三边长， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 16.如图，在中，，，，射线，垂足为点B，一动点E从C点出发以每秒1个单位长度的速度在线段上运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，设点E运动时间为t（）秒，当___秒时，与全等． 【答案】2 【分析】由，，，可得当或时，与全等，解得：或（舍去）． 【详解】解：∵， ， ，， ∴当或时，与全等， 或， 解得：或， ， ， 即当秒时，与全等． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，用直尺和圆规作，使． 【分析】根据尺规作图—作相等角：以角的顶点为圆心作圆，与角的两边分别交于一点，用圆规截取这两点间的距离，在射线上作同样的圆，与射线交于一点，以该点为圆心，以所截取的距离为半径作圆，与之前的圆交于一点，以所在射线上的端点和该交点作射线，即可得到相等角（原理：的全等三角形的判定和性质）和作相等线段，利用的全等三角形的判定方法确定． 【详解】如图，即为所求 ． 18．（6分）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)在图中过点C作出于点D； (2)若点P在方格纸的格点上，且使得与的面积相等，则P点的个数有________个（点P异于A）． 【分析】（1）利用网格的特点作图即可； （2）根据与的面积相等得出点到的距离等于点到的距离，然后根据网格的特点解答即可. 【详解】(1)解：如图，即为所求， (2)4 如图， 根据网格特征知：， ∴和是同底等高的三角形， ∴， 此时经过的格点有4个（点除外）． ∴在图中能使的格点的个数有4个． 19．（8分）骏骏利用所学知识测量了河两岸A、B两点间的距离（如图）．测量过程如下： ①骏骏在点B所在河岸同侧的平地上选取一点C，连接并延长至点D，使得； ②过点D作交的延长线于点E． 已知图中所有点均在同一平面内．骏骏认为的长就是河两岸A、B两点间的距离，你觉得骏骏的说法正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请写出你的测量方法． 【分析】根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】骏骏的说法正确；理由如下： ， ，， ， ， ， 骏骏的说法正确． 20.（8分）如图已知．试说明． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（10分）如图，在中，． (1)如图1，若，求∠BPC的度数； (2)如图2，过P点作交于点Q，猜想与的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据及，可证明，再根据三角形内角和定理，即可求得答案； （2）根据平行线的性质及三角形内角和定理，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）．理由如下： ， ， ，， ， 即， ． 22．（10分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？ 【分析】本题主要考查了全等三角形的实际应用，通过证明， 进而利用证明从而得到，再根据线段的和差关系求出的长是解题的关键. 【详解】解：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵分别为和， ∴ ∵， ∴， ∴爸爸是在距离地面的地方接住小丽的. 23．（12分）“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）利用已知求得，进而证明； （2）根据题意证明，进而即可证明； （3）根据题意证明，证明，进而证明，从而得到，进而求解； 【详解】(1) 证明：，， ，， 又， ， ， 在和中，， (2) 全等，理由如下： ， ，且， ， 在和中，， (3) ，与的夹角为，理由如下： ， ，且， ， 和均为等边三角形， ， 在和中，， ， ，， 又在等边和等边中， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 综上所述：，与的夹角为． 24．（12分）综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．    请回答： （1）小明证明用到的判定定理是：　　； ．  ．  ．  ． （2）的取值范围是 　　． 小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： （3）如图3，在正方形（各角都为直角）中，为边的中点，、分别为边上的点，若，，，求的长． 【分析】（1）延长到，使，连接，由即可证明问题； （2）由三角形三边的关系即可求出的取值范围； （3）延长，交于，即可证明，得到，，由线段垂直平分线的性质定理得到． 【详解】（1）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中点， ， 在和中， ， ． 故选：； （2）解：∵， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图3，延长，交于，   四边形是正方形， ， ∴， ， 是中点， ， ∵， ∴， ∴，， ， ∴△GFE△MFE， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，一元一次不等式的应用，关键是通过作辅助线构造全等三角形． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第一章 三角形 建议用时：90分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列物体的结构中，没有运用到三角形稳定性的是（ ） A． B． C． D． 2.小芳手中握有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成三角形），桌上有下列长度的几根木条，如果要求新选择的木条是三边中的最长边，那么这根木条的长度可以为（    ） A． B． C． D． 3.下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 4.如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 5.根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 6.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 7.如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．60 B．90 C．100 D．120 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，为的中线，于点E，若，，，则点C到直线的距离为（      ） A． B．1 C． D．2 9.如图，≌，点在边上，，和相交于点．下列说法： （1）若，则； （2）若，则； （3）若≌，，则． 其中正确的有（　　）个． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10. 如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点． 若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．24 D．28 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，已知，，，则的度数为________． 第11题图 第12题图 12.如图，，点在线段上，，，则________． 13.如图，中，于点D，平分，交于点E，，，则_____． 第13题图 第14题图 14.如图，已知，，要说明，若以“”为依据，还需添加的一个条件为 ___________． 15.已知a，b，c 是的三边长，化简： _______ 16.如图，在中，，，，射线，垂足 为点B，一动点E从C点出发以每秒1个单位长度的速度在线段上运动， 点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，设点E 运动时间为t（）秒，当___秒时，与全等． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，用直尺和圆规作，使． 18．（6分）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)在图中过点C作出于点D； (2)若点P在方格纸的格点上，且使得与的面积相等， 则P点的个数有________个（点P异于A）． 19．（8分）骏骏利用所学知识测量了河两岸A、B两点间的距离（如图）．测量过程如下： ①骏骏在点B所在河岸同侧的平地上选取一点C，连接并延长至点D，使得； ②过点D作交的延长线于点E． 已知图中所有点均在同一平面内．骏骏认为的长就是河两岸A、B两点间的距离，你觉得骏骏的说法正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请写出你的测量方法． 20.（8分）如图已知．试说明． 21．（10分）如图，在中，． (1)如图1，若，求∠BPC的度数； (2)如图2，过P点作交于点Q，猜想与的数量关系，并说明理由． 22．（10分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？ 23．（12分）“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 24．（12分）综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．    请回答： （1）小明证明用到的判定定理是：　　； ．  ．  ．  ． （2）的取值范围是 　　． 小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： （3）如图3，在正方形（各角都为直角）中，为边的中点，、分别为边上的点，若，，，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第一章 三角形 建议用时：90分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列物体的结构中，没有运用到三角形稳定性的是（ ） A． B． C． D． 2.小芳手中握有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成三角形），桌上有下列长度的几根木条，如果要求新选择的木条是三边中的最长边，那么这根木条的长度可以为（    ） A． B． C． D． 3.下列说法中正确的是（   ） A．钝角三角形有两条高在三角形内部 B．三角形三条高至多有两条不在三角形内部 C．三角形三条高的交点不在三角形内部，就在三角形外部 D．钝角三角形三个内角的平分线的交点一定不在三角形内部 4.如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（     ） A． B． C． D． 5.根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 6.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板的重心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 7.如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（    ） A．60 B．90 C．100 D．120 8.如图，为的中线，于点E，若，，，则点C到直线的距离为（      ） A． B．1 C． D．2 9.如图，≌，点在边上，，和相交于点．下列说法： （1）若，则； （2）若，则； （3）若≌，，则． 其中正确的有（　　）个．    A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10.如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点．若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．24 D．28 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，已知，，，则的度数为________． 12.如图，，点在线段上，，，则________． 13.如图，中，于点D，平分，交于点E，，，则_____． 14.如图，已知，，要说明，若以“”为依据，还需添加的一个条件为 ___________． 15.已知a，b，c 是的三边长，化简： _______ 16.如图，在中，，，，射线，垂足为点B，一动点E从C点出发以每秒1个单位长度的速度在线段上运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，设点E运动时间为t（）秒，当___秒时，与全等． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，用直尺和圆规作，使． 18．（6分）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上． (1)在图中过点C作出于点D； (2)若点P在方格纸的格点上，且使得与的面积相等，则P点的个数有________个（点P异于A）． 19．（8分）骏骏利用所学知识测量了河两岸A、B两点间的距离（如图）．测量过程如下： ①骏骏在点B所在河岸同侧的平地上选取一点C，连接并延长至点D，使得； ②过点D作交的延长线于点E． 已知图中所有点均在同一平面内．骏骏认为的长就是河两岸A、B两点间的距离，你觉得骏骏的说法正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请写出你的测量方法． 20.（8分）如图已知．试说明． 21．（10分）如图，在中，． (1)如图1，若，求∠BPC的度数； (2)如图2，过P点作交于点Q，猜想与的数量关系，并说明理由． 22．（10分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？ 23．（12分）“一线三等角”学习探究． “一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”． (1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：； (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由． (3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由． 24．（12分）综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．    请回答： （1）小明证明用到的判定定理是：　　； ．  ．  ．  ． （2）的取值范围是 　　． 小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： （3）如图3，在正方形（各角都为直角）中，为边的中点，、分别为边上的点，若，，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年七年级上册数学单元自测 第一章三角形（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 3 4 6 7 10 B C C D D A B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.80°/80度 12.2 13.20°/20度 14.BC=EF或BE=CF 15.a+b-3c 16.2 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(6分) m 如图，即为所求 (6分) 18.(6分)(1)解：如图，CD即为所求， (3分) B D 1/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)4(6分) 19.(8分)骏骏的说法正确；理由如下：(2分) DE∥AB, .∠A=∠E,∠B=∠D,(4分) .:CD=BC, ∴.AABC≌AEDC(AAS) (6分) AB=DE,(7分) 骏骏的说法正确.(8分) 20.(8分)证明：，CE=BF, ∴.CE+EF=BF+EF, .CF=BE,(2分) ·AB=CD,AE=DF 、△ABE≌ADCF(SSS) .∠B=∠C,(5分) ·AB=CD,CE=BF, ,△ABF≌ADCE(SAS) 7分) .AF=DE.(8分) 21.(10分)(1)解：∠ACB=70°， ∠1+∠PCB=70°，(1分) ∠1=∠2， .∠2+∠PCB=70°，(3分) .∠BPC=180°-（∠2+∠PCB)=180°-70°=-110° 4分) (2)∠BPC=∠POC.理由如下：(5分) 2/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PQ∥AC ∴.∠PQC+∠ACB=180° (6分) :∠BPC+∠2+∠PCB=180°，I=∠2， .:∠BPC+∠1+∠PCB=180°，(8分) 即∠BPC+∠ACB=180°， ∴.∠BPC=∠PQC (10分) 22.(10分)解：爸爸是在距离地面l.1m的地方接住小丽的，理由如下：(1分) 由题意可知∠CE0=∠BD0=90°，OB=OC, ∠B0C=90°， ∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°， .∠COE=∠OBD,(3分) 在△COE和△OBD中， [∠COE=∠OBD ∠CEO=∠ODB ∠C=OB △COE≌aOBD(AAS) 5分) .CE=OD,OE=BD,(6分) BD、CE分别为l.3m和l.5m, ,DE=0D-0E=CE-BD=1.5-1.3=0.2(m）8分) .AD=0.9m, :4B=MD+DE=1(m）,9分) .爸爸是在距离地面l.lm的地方接住小丽的.(10分) 3/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(12分)(1) 证明：AD⊥DE,BE⊥DE, ∴.∠ADC=∠CEB=90°∠DAC+∠ACD=90° 又：∠ACB=90, .∠ACD+∠ECB=90°， ∠DAC=∠ECB,(1分) ∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB 在 和 中， △ADC ACEB AC=CB ∴△ADC≌aCEB(AAS) (3分) (2) 全等，理由如下：(4分) :∠ADC+∠DAC+∠ACD=180°， ∠ACD+∠ACB+∠ECB=180°∠ADC=∠ACB ,且 :.∠DAC=∠ECB,(5分) [∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB 在 和 中， △ADC ACEB AC=CB .∴AADC≌ACEB(AAS) (7分) (3) DE=EF,DE与EF的夹角为60°，理由如下：(8分) ∠ADC+∠DAC+∠ACD=180°， ∠ACD+∠ACB+∠ECB=180°∠ADC=∠ACB ∴.∠DAC=∠ECB :△ACF和△BCF均为等边三角形， ..AC=BC, 4/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB 在 和 中， AADC ACEB AC=CB ∴.△ADC≌aCEB(AAS) ∠ACD=∠CBE,CD=BE,(9分) 又：在等边△ACF和等边△BCF中， CF=BF,∠ACF=∠CBF=∠CFB=60°， ∴.∠ACF+∠ACD=∠CBF+∠CBE, .∠DCF=∠EBF, DC=EB ∠DCF=∠EBF 在 和 中， DCF'△EBF CF=BF :'ADCF≌aEBF(SAS) (10分) ∴DF=EF ∠DFC=∠EFB ·.∠DFC+∠EFC=∠EFB+∠EFC. .∠DFE=∠CFB=60°， 综上所述：DE=EF,DE与EF的夹角为60°.(12分) 24.(12分)(1)A;(3分) (2)1<AD<6:(6分) (3)解：如图3，延长CB,GE交于M, C F 四边形 是正方形， M 图3 ABCD 5/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A=∠ABC=90°， .∠EBM=180°-∠ABC=90°， ∴.∠A=∠EBM, E是AB中点， .AE =BE, .'∠AEG=∠BEM ,△AGB≌△BME(ASA),(8分) ∴.GE=ME,BM=AG=2, :∠GEF=90°， ·△GE≌AME, .FG=FM,(10分) .FM=FB+BM=3+2=5, .FG=FM=5.(12分) 6/6