重难点培优06 复数常考重点题型全归纳（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦复数核心考点，涵盖概念分类、几何意义、四则运算、乘方、方程根及三角表示等，按知识重构-题型精研-实战检测逻辑组织，通过考点梳理、技巧通法指导、分层真题训练，帮助学生系统构建知识网络，突破复数难点。 资料以题型精研为特色，归纳10类常考题型并附技巧通法，如复数模的几何意义应用、实系数方程根的共轭性质，通过分层练习培养学生数学思维与运算能力。设置创新能力提升题，助力学生在有限时间内高效突破，为教师把控复习进度提供清晰框架。

重难点培优06 复数常考重点题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 6 题型01 复数的概念与分类（★★★★★） 6 题型02 复数的相等（★★★★★） 7 题型03 复数的模（★★★★★） 8 题型04 复数在复平面内所对应的点（★★★★★） 8 题型05 复数的四则运算（★★★★★） 9 题型06 复数的乘方运算（★★★★★） 10 题型07 复数的综合运算、加减法的几何意义（★★★★★） 11 题型08 复数范围内方程的根（★★★★） 12 题型09 复数中的新定义问题（★★★） 13 题型10 *复数的三角表示（★★） 14 03 实战检测·分层突破验成效 16 重难知识巩固 16 创新能力提升 19 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 复数的概念 1、复数集 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 2、复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. 3、复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 4、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 5、共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数，复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点02 复数的几何意义 1、复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 2、复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 3、复数的模 ①向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 ②复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 知识点03 复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 （2）复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2、复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 （2）复数减法的几何意义 复数 向量 3、复数代数形式的乘法运算 （1）复数的乘法法则 （2）复数乘方的运算律 ，，有： ① ② ③ 4、共轭复数的性质 设，， 5、复数代数形式的除法运算 （） 知识点04 实系数一元二次方程 1、实系数一元二次方程 中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） （1）当时，方程的两个实根满足韦达定理 ， （2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则 ， 知识点05 复数的三角表示 1、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 （1）复数的三角形式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 注意：复数三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连” （2）复数的俯角 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值. 我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值. 通常记作，即. 2、复数代数形式和三角形式的互化 复数的代数形式化三角形式的步骤: ①先求复数的模； ②决定辐角所在的象限； ③根据象限求出辐角(常取它的主值)； ④写出复数的三角形式． 3、三角形式下复数的相等 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 4、复数三角形式的乘法 设，的三角形式分别是：，，则 简记为 ：模数相乘，幅角相加 5、复数乘法的几何意义 两个复数相乘时，可以像下图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这就是复数乘法的几何意义. 6、复数三角形式的除法及其几何意义 （1）复数三角形式的除法 设，，且， 因为， 所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 简记为 ：模数相除，幅角相减 （2）复数除法的几何意义 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 复数的概念与分类 【技巧通法·提分快招】 解决复数概念问题的两个注意事项 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）给出下列复数：①；②；③；④；其中表示实数的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（26-27高三上·浙江·开学考试）复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．下列四个命题中正确结论个数为（    ） ①满足的复数只有， ②若且，则是纯虚数 ③复数的充要条件是 ④复平面内轴是实轴，轴是虚轴 A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知复数满足为纯虚数，则复数的实部为（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（2026·云南·三模）已知是两个复数，则“为实数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值. (1)实数； (2)纯虚数； (3)零. 题型02 复数的相等 【技巧通法·提分快招】  且  . 1．（2026·北京丰台·三模）设，其中x，y是实数，则（ ） A． B． C．4 D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A．2 B． C． D．5 3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知复数，满足，，若，则可能等于（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北雄安·三模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河北秦皇岛·二模）若（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏南通·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．（2026·安徽·模拟预测）已知虚数z满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 题型03 复数的模 【技巧通法·提分快招】 向量的模叫做复数的模或绝对值，记作  或  , 即  . 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数，则为（   ） A． B． C．5 D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）复数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知复数（其中i为虚数单位），则（    ） A．5 B．3 C． D． 5．（26-27高三上·湖北·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南开封·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型04 复数在复平面内所对应的点 【技巧通法·提分快招】 复数的几何意义及应用 （1）复数、复平面上的点及向量相互联系，即. （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. 1．（2026·河北·二模）已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（    ） A．2 B． C． D．4 3．（2026·河南周口·三模）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为原点，则（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 4．（2026·广东广州·二模）已知，复数在复平面内对应的点在虚轴上，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·湖南·阶段检测）设复数，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 7．（2026·山西忻州·模拟预测）复平面上点P对应复数．将点绕原点逆时针旋转，再关于实轴对称，所得点对应复数，则（   ） A． B． C．3 D．5 题型05 复数的四则运算 【技巧通法·提分快招】 .复数代数形式运算的策略 1．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东日照·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知复数满足，则（   ） A．i B． C．0或i D．0或 4．（2026·河南驻马店·三模）已知复数满足，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河南周口·三模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南岳阳·三模）已知复数的虚部为0，则实数（    ） A． B． C．－2 D．2 7．（2026·吉林·模拟预测）已知复数，满足，，则（    ） A．1 B． C． D．2 8．（2026·浙江·二模）已知复数（为虚数单位），则（    ）． A． B． C． D． 题型06 复数的乘方运算 【技巧通法·提分快招】 虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 1．（25-26高三上·江苏宿迁·阶段检测）的实部为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南张家界·模拟预测）已知，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26高三上·云南保山·期末）复数等于（    ） A．16 B． C． D． 4．（2026·山西忻州·模拟预测）若，则（     ） A． B． C． D． 5．（2025·江西吉安·模拟预测）已知复数为纯虚数，（为虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 6．（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·湖北荆州·阶段检测）若复数，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 题型07 复数的综合运算、加减法的几何意义 【技巧通法·提分快招】 1、复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2、复数减法的几何意义 复数 向量 3、()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 1．（2026·广西·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 2．若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（多选题）若复数满足，则（     ） A．的实部为 B． C．的虚部为 D． 5．（多选题）（2026·广东佛山·二模）设，为复数，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2026·江苏南通·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知复数满足，则的取值范围是______． 8．（2026·上海·二模）已知复数满足是实数，则的最小值为________． 题型08 复数范围内方程的根 【技巧通法·提分快招】 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）复数范围内方程的一个根为，则另外一个根为，并且满足韦达定理. 1．（2026·湖南·三模）在复数范围内，方程的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川绵阳·模拟预测）方程的一个复数根是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·海南·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根，则为（     ） A．10 B． C．6 D． 4．（2025·山东·模拟预测）已知z是方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（2024高三下·江西新余·专题练习）设为虚数单位，则关于的方程：的复数根为：（    ）. A． B． C． D． 6．（多选题）（24-25高三上·江苏南通·阶段检测）下列关于方程的结论中，正确的有（    ） A．方程的两根互为共轭复数 B．若，则方程两根互为共轭复数 C．若x为方程的一个虚根，则也为方程的根 D．若，则方程的两根一定都为正数 题型09 复数中的新定义问题 1．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i为虚数单位）为“等部复数”，则实数a的值为（     ） A． B． C．0 D．1 2．对于任意两个复数z，，如果满足“”或“”，那么就称z与伴随，如果z与伴随，则与伴随的充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知是复数，定义关于复数的一种运算“”：当，时，（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．若或，则 C． D．当，且为偶数时，复数为纯虚数 5．（多选题）已知复数，（，为虚数单位），，定义：，，则下列说法正确的有（    ） A．若是复数的共轭复数，则恒成立 B．对任意，都有恒成立 C．存在，有成立 D．对任意，都有恒成立 6．（2026·福建泉州·模拟预测）对于复数，，定义♥为的实部.若，♥，则可以为____________.（写出一个满足条件的答案） 题型10 *复数的三角表示 1．复数的三角形式为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东·一模）已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（多选题）（2026·河南南阳·一模）一般地，任何一个复数（，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模，是复数的辐角，并规定范围内的辐角的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（2026·山东滨州·一模）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 6．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知复数，，其中为虚数单位，则__________． 7．已知复数，则复数的辐角 ______________. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（24-25高三下·广东惠州·阶段检测）在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（   ） A． B．3 C． D．1 3．（2026·江西·模拟预测）“或”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 4．（24-25高三下·河北承德·阶段检测）复数z满足，则在复平面内复数z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024·河北衡水·模拟预测）若在复平面内复数z对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江·模拟预测）复数满足，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北·三模）已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 8．（2026·陕西咸阳·三模）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·山东·模拟预测）若为实数，则虚数的实部为（   ） A．-2 B． C． D．2 11．复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）（    ） A． B． C．1 D． 13．（2026高三下·湖南衡阳·专题练习）设z是复数，则“”是“z的实部与虚部相等”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2025·山东德州·三模）已知，则（   ） A． B． C．0 D．2 15．（2026·河北沧州·模拟预测）已知复数满足，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 16．（2026·上海·模拟预测）若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 17．已知为虚数单位，则（    ） A．i B． C．0 D．1 18．（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 19．（2024·江苏淮安·模拟预测）在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，，0，则第四个顶点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 20．（2025·新疆·二模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）设为共轭复数，若，则（   ） A． B． C． D． 22．设，则下面四个命题中，正确的是（    ） A．一定是纯虚数 B．若，则 C． D．若，则是纯虚数． 23．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，，且的虚部为正，则（   ） A． B． C． D．6 24．已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 25．（多选题）若，为复数，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（多选题）（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知复数，则（    ） A．不可能为实数 B．不可能为纯虚数 C．在复平面内表示的点不可能在第一象限 D．恒成立 27．（多选题）在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量．类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，规定如下运算法则：①；②；③；④．则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则的取值范围为 28．（多选题）（25-26高三上·河北·期中）已知是关于的方程的根（其中，为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B． C．方程可能只有这一个根 D．设方程的另一根为，则 29．（多选题）已知复数，且是非零复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 30．（多选题）已知复数，为的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 31．（多选题）已知复数z，下列说法正确的是（    ） A．若，则为实数 B．若，则 C．若，则的最大值为2 D．若，则为纯虚数 32．（多选题）已知为复数，为的共轭复数，则下列命题中正确的是（     ） A．若，则为纯虚数 B．若，则为纯虚数 C．若，则为实数 D．若，则 创新能力提升 1．（2025·江西新余·模拟预测）我们称复数与对应，若复数在复平面内的图象分别如图①、②所示，则与对应的复数在复平面内的大致图象分别对应选项中①、②的是：（   ）． A． B． C． D． 2．已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 3．（25-26高三上·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）（25-26高三下·湖北黄冈·阶段检测）已知为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若是方程的两根，则 D．若，则 5．（多选题）已知复数，（均为非零实数）在复平面内对应的点分别为，定义运算，记复数的实部为，虚部为，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则向量的夹角为锐角 C． D． 6．（多选题）（2026·浙江嘉兴·二模）已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 7．（多选题）（2026·浙江宁波·二模）设复数满足，则（    ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 8．（2026高三下·四川·竞赛）已知复数满足，则的最小值为__________． 9．高中数学全国通用）已知虚数使得和都是实数，则__________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优06 复数常考重点题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 6 题型01 复数的概念与分类（★★★★★） 6 题型02 复数的相等（★★★★★） 9 题型03 复数的模（★★★★★） 11 题型04 复数在复平面内所对应的点（★★★★★） 13 题型05 复数的四则运算（★★★★★） 15 题型06 复数的乘方运算（★★★★★） 17 题型07 复数的综合运算、加减法的几何意义（★★★★★） 19 题型08 复数范围内方程的根（★★★★） 24 题型09 复数中的新定义问题（★★★） 26 题型10 *复数的三角表示（★★） 29 03 实战检测·分层突破验成效 32 重难知识巩固 32 创新能力提升 45 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 复数的概念 1、复数集 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 2、复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. 3、复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 4、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 5、共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数，复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点02 复数的几何意义 1、复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 2、复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 3、复数的模 ①向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 ②复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 知识点03 复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 （2）复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2、复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 （2）复数减法的几何意义 复数 向量 3、复数代数形式的乘法运算 （1）复数的乘法法则 （2）复数乘方的运算律 ，，有： ① ② ③ 4、共轭复数的性质 设，， 5、复数代数形式的除法运算 （） 知识点04 实系数一元二次方程 1、实系数一元二次方程 中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） （1）当时，方程的两个实根满足韦达定理 ， （2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则 ， 知识点05 复数的三角表示 1、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 （1）复数的三角形式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 注意：复数三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连” （2）复数的俯角 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值. 我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值. 通常记作，即. 2、复数代数形式和三角形式的互化 复数的代数形式化三角形式的步骤: ①先求复数的模； ②决定辐角所在的象限； ③根据象限求出辐角(常取它的主值)； ④写出复数的三角形式． 3、三角形式下复数的相等 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 4、复数三角形式的乘法 设，的三角形式分别是：，，则 简记为 ：模数相乘，幅角相加 5、复数乘法的几何意义 两个复数相乘时，可以像下图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点O按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积.这就是复数乘法的几何意义. 6、复数三角形式的除法及其几何意义 （1）复数三角形式的除法 设，，且， 因为， 所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 简记为 ：模数相除，幅角相减 （2）复数除法的几何意义 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 复数的概念与分类 【技巧通法·提分快招】 解决复数概念问题的两个注意事项 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）给出下列复数：①；②；③；④；其中表示实数的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据复数分类中实数的特征逐一判断即可． 【详解】①为纯虚数不是实数；②为无理数是实数；③是实数；④是实数． 2．（26-27高三上·浙江·开学考试）复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为， 所以虚部为. 3．下列四个命题中正确结论个数为（    ） ①满足的复数只有， ②若且，则是纯虚数 ③复数的充要条件是 ④复平面内轴是实轴，轴是虚轴 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①，由得，. 当时，，不成立， 所以①错误； ②当时，，不是纯虚数， 所以②错误； ③设，则. 若复数，则，所以； 若，则，即， 所以复数的充要条件是. 所以③正确； ④复平面内轴是实轴，轴是虚轴，所以④正确. 综上所述，正确的命题有③④. 4．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知复数满足为纯虚数，则复数的实部为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据待定系数法，复数的乘方，及复数的定义即可得到答案． 【详解】设，则， 又为纯虚数，则，解得，且， 则， 所以， 故复数的实部为． 5．（2026·云南·三模）已知是两个复数，则“为实数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】设，由是实数，可得，结合复数相等定义判断充分性，再由可得，为实数，由此判断必要性成立. 【详解】设， 若是实数，则为实数，故，即， 由于不一定相等，故不一定互为共轭复数，故充分性不成立； 若互为共轭复数，且，则，故为实数，故必要性成立. 因此，“为实数”是“”的必要不充分条件. 6．已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值. (1)实数； (2)纯虚数； (3)零. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据复数为实数的定义可得； （2）根据复数为纯虚数的定义可得； （3）根据复数为零的定义可得. 【详解】（1）因为，所以复数的实部为，虚部为， 若复数为实数， 则，解得或. 因此，或时，复数为实数. （2）若复数为纯虚数， 则，解得； 因此，时，复数为纯虚数. （3）若复数为零， 则，解得； 因此，时，复数为零. 题型02 复数的相等 【技巧通法·提分快招】  且  . 1．（2026·北京丰台·三模）设，其中x，y是实数，则（ ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据复数相等的充要条件求出实数x，y的值，再代入复数模的公式计算即可. 【详解】因为，所以， 因为x，y是实数，所以，所以， 所以. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】设，，由条件结合复数相等的性质列方程求，再求即可. 【详解】设，，则 得到，所以， 故，故，， 所以，，所以，故. 3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知复数，满足，，若，则可能等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由，得到，且，结合选项，逐项列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】设，因为，可得，即， 又因为，且，可得， 对于A，若，可得，解得， 此时，所以A错误； 对于B，若，可得，解得， 此时，所以B错误； 对于C，若，可得，解得， 此时，所以C正确； 对于D，若，可得，解得， 此时，所以D错误. 4．（2026·河北雄安·三模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设复数 ， 根据模长公式，共轭复数的概念以及复数相等的条件即可求解. 【详解】设复数 ，则， 根据复数相等的条件可得，解得，所以. 5．（2026·河北秦皇岛·二模）若（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简原等式，然后根据复数的乘除运算计算即可. 【详解】因为，所以移项化简得， 所以. 6．（2026·江苏南通·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】设复数，通过对已知等式变形，结合复数的运算、复数相等或模的运算性质求解即可. 【详解】由有意义，可知. 设复数，， 则， ，所以，解得或. 当时，则为实数，此时方程，即，无实根. 故，因此，解得或（舍去），即. 7．（2026·安徽·模拟预测）已知虚数z满足，则（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】设复数，已知，从而， 解得，即. 题型03 复数的模 【技巧通法·提分快招】 向量的模叫做复数的模或绝对值，记作  或  , 即  . 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算及模的计算公式即可求解． 【详解】， 则． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数，则为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由复数的乘法运算和模长公式即可求解. 【详解】，． 所以． 故． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）复数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】复数，其共轭复数， 则． 4．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知复数（其中i为虚数单位），则（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由复数的四则运算并结合复数的模即可求解. 【详解】， 则. 5．（26-27高三上·湖北·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，所以． 6．（2026·河南开封·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，则， ， 所以. 题型04 复数在复平面内所对应的点 【技巧通法·提分快招】 复数的几何意义及应用 （1）复数、复平面上的点及向量相互联系，即. （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. 1．（2026·河北·二模）已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查复数的乘法运算及复数的几何意义，先利用复数的乘法法则化简复数，再根据复平面内点的坐标特征判断其所在象限. 【详解】解：由，所以在复平面内对应的点的坐标为，因此，点在第一象限. 2．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义得到的代数形式，再利用复数模的运算性质求解． 【详解】由题得，， 所以． 3．（2026·河南周口·三模）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为原点，则（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【详解】由题设，，则， 所以. 4．（2026·广东广州·二模）已知，复数在复平面内对应的点在虚轴上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由复数的除法和复数的几何意义可得. 【详解】由复数的除法得， 又因为复数在复平面内对应的点在虚轴上，所以，解得. 5．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 由复数在复平面内对应的点在第三象限， 得，解得，即. 6．（25-26高三上·湖南·阶段检测）设复数，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算法则求出，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，则， 则，解得：或， 所以或，其在复平面内对应的点位于第一、三象限． 故选：C 7．（2026·山西忻州·模拟预测）复平面上点P对应复数．将点绕原点逆时针旋转，再关于实轴对称，所得点对应复数，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】将复数对应的点绕原点逆时针旋转，对应复数变为； 再关于实轴对称，对应复数变为， 所得点对应复数为， 旋转与关于实轴对称均不改变复数的模长， 所以． 题型05 复数的四则运算 【技巧通法·提分快招】 .复数代数形式运算的策略 1．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法及共轭复数的定义求解即可. 【详解】因为， 所以其共轭复数为4−2i. 2．（2026·山东日照·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由，则，所以. 3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知复数满足，则（   ） A．i B． C．0或i D．0或 【答案】C 【详解】解法一：设，，因为， 所以， 可得，即有， 解得且或且，所以或. 解法二：因为，由， 可得，所以或， 设，，由，得， 解得且，即，所以或. 4．（2026·河南驻马店·三模）已知复数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， . 5．（2026·河南周口·三模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则. 6．（2026·湖南岳阳·三模）已知复数的虚部为0，则实数（    ） A． B． C．－2 D．2 【答案】D 【详解】，虚部，解得． 7．（2026·吉林·模拟预测）已知复数，满足，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】不妨设，由题意得：， 则 所以. 8．（2026·浙江·二模）已知复数（为虚数单位），则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数三角形式的乘法法则求出，再相减结合三角函数值化简结果. 【详解】由，， ，， 所以. 题型06 复数的乘方运算 【技巧通法·提分快招】 虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 1．（25-26高三上·江苏宿迁·阶段检测）的实部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法，直接展开计算，然后由实部的定义选出答案. 【详解】由题知，， 根据复数的概念，其实部为. 故选：B 2．（2025·湖南张家界·模拟预测）已知，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算法则化简可得，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以. 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限. 3．（25-26高三上·云南保山·期末）复数等于（    ） A．16 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数除法和乘方法则进行求解即可. 【详解】由. 故选：D 4．（2026·山西忻州·模拟预测）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用虚数单位的幂次周期性化简分子和分母，再通过分母实数化计算得到的代数形式 【详解】因为，， 所以. 5．（2025·江西吉安·模拟预测）已知复数为纯虚数，（为虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数类型求出参数，再利用复数的乘方可求. 【详解】， 因为复数为纯虚数，故， 故，故， 故选：B. 6．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得到，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 7．（24-25高三上·湖北荆州·阶段检测）若复数，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由复数的运算性质结合等比数列前n项和公式化简求值. 【详解】， 所以. 故选：C. 题型07 复数的综合运算、加减法的几何意义 【技巧通法·提分快招】 1、复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2、复数减法的几何意义 复数 向量 3、()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 1．（2026·广西·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由，则复平面内复数所对应的点到定点的距离为2， 则点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 而表示点到原点的距离，则的最小值为. 2．若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用复数模的几何意义，将复数转化为复平面上的点，根据圆上点到定点的最大距离为圆心到定点的距离加半径求解即可. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4， 则的最大值为． 3．设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 4．（多选题）若复数满足，则（     ） A．的实部为 B． C．的虚部为 D． 【答案】AD 【详解】由，移项得， 所以，即， 因为，所以， 解得， 对于选项A：的实部为1，所以A正确； 对于选项B：，所以B错误； 对于选项C：的虚部为，所以C错误； 对于选项D：，所以D正确. 5．（多选题）（2026·广东佛山·二模）设，为复数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于AC，举反例排除即可；对于B，由即可推出；对于D，由即可推出． 【详解】对于A，易知当，时，，但，故A错误； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，易知当，时，， 此时，故C错误； 对于D，，，故D正确. 6．（多选题）（2026·江苏南通·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项 A：设 ，（ ） 则 ，其共轭为 ， 而 ， 所以 ，A 正确. 选项 B：， 其共轭为 ， ， 所以 ，B 正确. 选项 C：举反例，设 ， ，， 两者不相等. 所以 不恒成立，C 错误. 选项 D：根据复数模的性质，当 时， 是复数模的基本运算性质， D正确. 7．已知复数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，将转化为点到圆上的距离问题，进而利用圆心到点距离可得的取值范围. 【详解】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 8．（2026·上海·二模）已知复数满足是实数，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】设，代入中化简，由是实数，得或，利用复数模的几何意义求的最小值 【详解】设，则 ， 因为是实数，所以， 所以或， 当时，的轨迹是轴（除原点外）， 此时的几何意义表示轴上的点（除原点）和的距离，此时， 当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图， 根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离， 由图可知，的最小值为. 因为，所以的最小值为. 题型08 复数范围内方程的根 【技巧通法·提分快招】 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法： ①当时， ②当时， （2）复数范围内方程的一个根为，则另外一个根为，并且满足韦达定理. 1．（2026·湖南·三模）在复数范围内，方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】所以在复数范围内，即为即， 故方程的解集为 2．（2026·四川绵阳·模拟预测）方程的一个复数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程可化为 所以， 因此为方程的一个复数根. 3．（2026·海南·模拟预测）已知是关于的实系数方程的一个根，则为（     ） A．10 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】由题意可得也是关于的实系数方程的一个根， 则即， ， 所以. 4．（2025·山东·模拟预测）已知z是方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合复数模的公式进行求解即可. 【详解】由题，因为，所以z和是方程的两个根， 所以，即，所以. 故选：B. 5．（多选题）（2024高三下·江西新余·专题练习）设为虚数单位，则关于的方程：的复数根为：（    ）. A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据立方差公式分析可得或，运算求解即可. 【详解】因为，可得或， 解得或或， 结合选项可知A错误，BCD正确. 故选：BCD. 6．（多选题）（24-25高三上·江苏南通·阶段检测）下列关于方程的结论中，正确的有（    ） A．方程的两根互为共轭复数 B．若，则方程两根互为共轭复数 C．若x为方程的一个虚根，则也为方程的根 D．若，则方程的两根一定都为正数 【答案】BC 【分析】根据判别式来确定AD；求出方程的解来确定BC； 【详解】对于A：，不确定其正负，故方程可能有实数根也可能有复数根，A错误； 对于B：当时，，解得，两根为共轭复数，B正确； 对于C：当时，方程的根为，即一个根为虚数时，它的共轭复数也是方程的根，C正确； 对于D：当时，，不确定其正负，方程可能无实数根，D错误. 故选：BC. 题型09 复数中的新定义问题 1．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i为虚数单位）为“等部复数”，则实数a的值为（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】先化简复数，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出的值． 【详解】， 复数为“等部复数”， ， 故选：B． 2．对于任意两个复数z，，如果满足“”或“”，那么就称z与伴随，如果z与伴随，则与伴随的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，，， 则，， 当和伴随，有或， 又，， 若与伴随，则或， 而，则不成立，故成立， 所以与伴随的充要条件是，即，即. 3．已知是复数，定义关于复数的一种运算“”：当，时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再结合运算“”的定义直接计算即可. 【详解】因为，， 所以，从而. 故选：A 4．（多选题）（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．若或，则 C． D．当，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AB 【分析】根据棣莫弗定理，结合三角函数知识，及共轭复数，纯虚数的概念逐项验证可得答案. 【详解】选项A：当时，由棣莫弗定理得，， 所以，所以选项A正确； 选项B显然有，由棣莫弗定理得，，所以选项B正确； 选项C ，所以选项C错误； 选项D：当时，由棣莫弗定理得，， 当时，，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数，所以选项D错误． 故选：AB 5．（多选题）已知复数，（，为虚数单位），，定义：，，则下列说法正确的有（    ） A．若是复数的共轭复数，则恒成立 B．对任意，都有恒成立 C．存在，有成立 D．对任意，都有恒成立 【答案】ABD 【分析】利用共轭复数及复数的运算法则，结合新定义逐一计算即可求解. 【详解】对于A，，则，则，故A正确； 对于B，， ，，所以，故B正确； 对于C，设， ， ， ，， ， 由绝对值不等式可得，故C错误； 对于D，设，则 ，，，由，，得恒成立，故D正确． 故选：ABD． 6．（2026·福建泉州·模拟预测）对于复数，，定义♥为的实部.若，♥，则可以为____________.（写出一个满足条件的答案） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【详解】设，则，因此 ， 因为♥，所以，所以 ， 题目要求写一个满足的条件所以令，解得. 题型10 *复数的三角表示 1．复数的三角形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式即可求解. 【详解】∵，， ∴，，故选项A，C错误； ∵，， ∴，，故选项B正确，选项D错误. 故选：B. 2．（2026·广东·一模）已知为虚数单位，复数，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用复数的三角形式的乘法公式计算即得. 【详解】因， 则. 3．（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 又，， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 4．（多选题）（2026·河南南阳·一模）一般地，任何一个复数（，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模，是复数的辐角，并规定范围内的辐角的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设方程的复数根为（，），根据条件，利用复数相等得或，再转化成三角形式，即可求解. 【详解】设方程的复数根为（，），则， 即，则，解得或， 所以或， 又，， 且，所以方程的复数根的辐角主值是，. 5．（多选题）（2026·山东滨州·一模）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ABC 【分析】对于A，根据题意可得，即可得虚部；对于B，根据题意可得，结合复数的几何意义分析判断；对于C，根据题意结合诱导公式分析判断；对于D，由题意可得，结合面积公式分析判断. 【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C，因为，， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为，， 则在复平面内分别对应点， 可得，， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D错误. 6．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知复数，，其中为虚数单位，则__________． 【答案】 【分析】根据已知条件，运用复数三角形式乘法法则即可求解． 【详解】由复数三角形式乘法法则得到:. 故答案为：. 7．已知复数，则复数的辐角 ______________. 【答案】 【分析】根据复数的运算先计算复数，进而得，再转化为三角形式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（24-25高三下·广东惠州·阶段检测）在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算法则化简复数，即可根据对称求解. 【详解】由可得， 故， 故选：B. 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【详解】， 因为复数的实部与虚部相等，所以，得. 3．（2026·江西·模拟预测）“或”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“或”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件． 4．（24-25高三下·河北承德·阶段检测）复数z满足，则在复平面内复数z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先利用复数除法运算化简z，然后根据复数的几何意义求解即可. 【详解】由题意知， 则在复平面内复数z对应的点为，该点位于第一象限. 故选：A. 5．（2024·河北衡水·模拟预测）若在复平面内复数z对应的点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得，所以，所以. 6．（2026·浙江·模拟预测）复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，，故D正确. 7．（2026·河北·三模）已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设复数，得到，代入整理得，列出方程组，求得的值，结合复数的模的计算公式，即可求解. 【详解】设复数（），则， 代入得，整理得， 则，解得，，所以，则. 8．（2026·陕西咸阳·三模）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，即， 设，则，故上式化为，化简得， 即，解得，故，. 9．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故，解得，故选C． 10．（2026·山东·模拟预测）若为实数，则虚数的实部为（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设且，代入计算结合复数概念可得，进而可解. 【详解】设且， 则， 因为为实数，所以， 因为，所以， 故虚数的实部为. 故选：C 11．复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，代入题干所给的等式求解，根据模长公式计算模长，代入即可求解． 【详解】设，则，则， 则，解得； 故，； 故． 12．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由复数的运算求得结果. 【详解】. 故选：B. 13．（2026高三下·湖南衡阳·专题练习）设z是复数，则“”是“z的实部与虚部相等”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义以及充分必要条件的定义即可判断. 【详解】设复数 ，的实部为，虚部为， 可化为，即， 对等式两边平方得： ， 展开整理后可得 ， 即的实部等于虚部，两个命题可以互相推出，因此是充要条件. 14．（2025·山东德州·三模）已知，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】利用复数的除法运算求得，然后利用共轭复数的概念及乘方运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 15．（2026·河北沧州·模拟预测）已知复数满足，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设复数，代入方程并分离实部、虚部，根据复数为零的条件列方程组求解，再利用复数模长公式计算. 【详解】设，则， 计算可得， 所以，计算可得， 所以. 16．（2026·上海·模拟预测）若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义及复数运算结合充分条件必要条件的定义计算判断. 【详解】复数与在复平面上分别对应点与， ， 由， 可得，所以， 所以，所以或，所以， 当，满足， 所以，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 17．已知为虚数单位，则（    ） A．i B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】由复数乘方的运算性质得，进一步即可求解. 【详解】因为， 所以． 故选：C． 18．（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】先根据复数几何意义得坐标，再根据对称得到坐标，最后根据复数减法几何意义，结合两点间距离公式得结果. 【详解】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以 故选:A. 19．（2024·江苏淮安·模拟预测）在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，，0，则第四个顶点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，由运算得解. 【详解】如图，正方形的三个顶点对应的坐标为，，， 设第四个顶点为，由，则， 所以为正方形的对角线，则， ，解得， ，即第四个顶点对应的复数为. 故选：B. 20．（2025·新疆·二模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】设（，），然后由复数除法运算得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】设（，），则 . 因为，，所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 21．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）设为共轭复数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为共轭复数，设，（）. ，由得 . 另一方面，， 因为，所以虚部为0，即. 已知，否则与题设矛盾，因此. 因此 . 22．设，则下面四个命题中，正确的是（    ） A．一定是纯虚数 B．若，则 C． D．若，则是纯虚数． 【答案】C 【分析】根据复数的含义、共轭复数的概念对选项逐一判断. 【详解】对于选项A： 设，则， 所以， 当时，，所以不一定是纯虚数.所以A错误. 对于选项B： 设，为实数， 所以. 则，令， 则，符合题意，但是.所以B错误. 对于选项C ： 设，,则， 若，则，此时； 若，则，所以成立，所以C正确. 对于选项D： 设，,则， 若，则，所以. 则，当时为纯虚数，当时，为实数，所以D错误. 故选：C. 23．（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数满足，，且的虚部为正，则（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】由复数的相关概念可得. 【详解】设，则.由题意， . 又，. 两式相加，得， 所以， 又，所以. 由，得. 即. 解得. 由于的虚部为正，所以. 于是. 因此. 24．已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】确定表示复数的几何意义，再结合的几何意义求解作答. 【详解】由，得复数对应的点在以为圆心，半径的圆上， 表示复数对应的点到的距离， 点到点的距离， 所以的最大值为. 故选：C. 25．（多选题）若，为复数，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设，，， 对于A，， ， ， 所以，故A正确； 对于B，，，所以不恒成立，故B错误； 对于C，，，，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 26．（多选题）（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知复数，则（    ） A．不可能为实数 B．不可能为纯虚数 C．在复平面内表示的点不可能在第一象限 D．恒成立 【答案】BCD 【分析】A：考虑且时的情况；B：计算出的范围并判断；C：根据的范围作出判断；D：计算出的范围，则的范围可知. 【详解】选项A：当且时，为实数，故A错误； 选项B：因为，所以，所以的实部不为，所以不可能为纯虚数，故B正确； 选项C：因为，所以在复平面内表示的点在虚轴的左侧，故C正确； 选项D：因为，所以， 又因为，所以， 所以，故D正确； 故选：BCD. 27．（多选题）在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量．类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，规定如下运算法则：①；②；③；④．则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据即可判断A，求复数的模即可判断B，根据运算法则代入验证是否成立即可判断C，由，进而得，利用三角函数即可求解. 【详解】对于A，B，∵， ∴，，故A正确，B错误； 对于C，设，则，所以， 所以，故C正确； 对于D，∵， ∴的取值范围为，故选项D正确． 故选:ACD． 28．（多选题）（25-26高三上·河北·期中）已知是关于的方程的根（其中，为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B． C．方程可能只有这一个根 D．设方程的另一根为，则 【答案】AD 【分析】根据复数相等的概念解方程即可判断AB，根据共轭复数也是对应的方程的根判断CD. 【详解】由于是关于的方程的根， 所以，即， 因为， 所以，解得，故A正确，B错误； 所以关于的方程 将代入上述方程得：， 即也是关于的方程的根，故C错误； 所以， 则，故D正确； 故选：AD 29．（多选题）已知复数，且是非零复数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】BC 【分析】解法一：设，然后根据复数的模、乘除运算、共轭复数等逐一判断计算； 解法二：取复数的特殊值，对特定选项进行排除即可得到答案. 【详解】解法一： 设， 对于A，，即，则， 整理得，无法得出，故A错误． 对于B，易知，故，而，故B正确． 对于C，由可得，因为是非零复数， 所以，即，故C正确． 对于D，， 当时，成立，故D错误． 解法二： 对于A，取，显然满足，但，故A错误． 对于D，取，则，故D错误． 故选：BC． 30．（多选题）已知复数，为的共轭复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据共轭复数的概念得，然后根据复数乘法运算逐一计算即可判断AB；由可得，然后判断CD. 【详解】因为，则，则，A正确． 因为，B正确． 因为，所以，，，故C正确，D错误． 故选：ABC． 31．（多选题）已知复数z，下列说法正确的是（    ） A．若，则为实数 B．若，则 C．若，则的最大值为2 D．若，则为纯虚数 【答案】AC 【分析】先设复数，再根据共轭复数定义计算判断A，根据复数的乘法计算求解判断B，应用复数的几何意义列式结合二次函数的值域计算判断C，应用模长公式计算结合特殊值法判断D. 【详解】设，则． 对于A，，则，z为实数，A正确． 对于B，，则a，b中至少有一个为0即可，B错误． 对于C，由，得，即，则 ，C正确． 对于D，由，可得，两边平方可得， 当时，成立，D错误． 故选：AC. 32．（多选题）已知为复数，为的共轭复数，则下列命题中正确的是（     ） A．若，则为纯虚数 B．若，则为纯虚数 C．若，则为实数 D．若，则 【答案】ACD 【分析】设，，根据复数四则运算法则，模的公式，纯虚数等概念一一判断，得到答案 【详解】设，，则 A选项，则， 因为，所以且， 若，则，无解，舍去；若，则，故只需即可， 所以为纯虚数，则也为纯虚数，A正确； B选项，，， 若，则，故， 但若，此时，则不是纯虚数，也不是纯虚数，B错误； C选项，若，则，故，故为实数，也是实数，C正确； D选项， ， 因为，所以且， 由得或， 若，则，故； 若，则，解得，故， 其中， 若，则，； 若，则，； 若，则，； 综上，，D正确. 创新能力提升 1．（2025·江西新余·模拟预测）我们称复数与对应，若复数在复平面内的图象分别如图①、②所示，则与对应的复数在复平面内的大致图象分别对应选项中①、②的是：（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设曲线上的点，表示出，令，根据的大小关系可排除B、D；根据时的斜率可排除C. 【详解】，故：， 曲线上的点到原点的距离，直线的斜率为， 记， 则时，有，， 即取定一条过原点的射线交两曲线交于两个点，其中离原点远的为②，排除B、D； 而末端值时，直线的斜率为，故排除C. 故选：A． 2．已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，先由得到，再由，结合复数的几何意义可得z在复平面内对应的点的运动轨迹，最后由表示点和之间的距离，数形结合可得结果. 【详解】设，， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点在半径为3的圆内部（含边界）的坐标轴上运动， 如图所示即在线段，上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 3．（25-26高三上·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【分析】由题意可得， 故， 所以， 故选：C. 4．（多选题）（25-26高三下·湖北黄冈·阶段检测）已知为复数，下列说法正确的是（   ） A． B． C．若是方程的两根，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用共轭复数的概念计算判断选项A、B，利用韦达定理计算判断选项C，利用反例法判断选项D． 【详解】选项A、B：设，则， ， ， ，故A正确； ， ， ， ，故B错误； 选项C：已知是方程的两根， 由韦达定理得， ，故C正确； 选项D：令，满足， 但，故， 不能推出，故D错误． 故选：AC． 5．（多选题）已知复数，（均为非零实数）在复平面内对应的点分别为，定义运算，记复数的实部为，虚部为，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则向量的夹角为锐角 C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，根据复数相等，由题意，建立方程，可得其正误；对于B，根据向量数量积的定义式与坐标运算，结合锐角的定义，可得其正误；对于CD，由运算整理不等式，可得其正误. 【详解】对于A，若，则，解得，则，故A正确； 对于B，设的夹角为，由题可知，， 因为， 所以，则的夹角为锐角或同向，故B错误； 对于C，由题可知， 原式等价于，整理可得， 而，故C错误； 对于D，因为，所以原式等价于， 整理得，即，该式恒成立，故D正确. 故选：AD. 6．（多选题）（2026·浙江嘉兴·二模）已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】化简得到，再根据数列的周期、复数的运算以及点到圆上一点的距离最值进行分析求解即可. 【详解】. 进一步，即数列周期为. 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为，偶数项都为. 选项A.，A错误. 选项B.，因此，B正确. 选项C. . 因为，所以总和为， 模长，C正确. 选项D.，. 表示复平面上以为圆心、半径为的圆，是圆上点到的距离， 两定点距离为 ，因此的最小值为，D正确. 7．（多选题）（2026·浙江宁波·二模）设复数满足，则（    ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 【答案】ABC 【详解】设，则，即， 即在复平面内点到点与点的距离之和为， 故点的轨迹为椭圆，，，故，则椭圆方程为；， 对A，，故A正确， 对B，，要使得为纯虚数，则且， 则，解得，有解，故存在复数，使得为纯虚数，故B正确； 对C：，则，即有，解得， 则存在，使得关于的方程有解，故C正确； 对D：由复数满足，则复数在复平面内的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 则椭圆上的点到该圆圆心的距离为：， 则的最小值为，故D错误. 8．（2026高三下·四川·竞赛）已知复数满足，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】根据复数的性质，通过换元法转化条件，再将目标模长平方展开，进而配方消元求最小值． 【详解】设，由得，即， 令，则， ， 故，当时取等号，最小值为． 9．高中数学全国通用）已知虚数使得和都是实数，则__________． 【答案】 【分析】设，根据条件结合复数的运算法则进行转化求解即可． 【详解】设，，，是实数）， 因为和都是实数， 所以设和， 即，， 即， 则，即，即，① 由，得 即， 得，，即，② 由①②解得，， 即． 故答案为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $