重难点培优01 统计小题易考点全归纳（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦统计小题易考点，涵盖抽样方法、图表分析、数字特征、变量相关性等核心内容，按知识精讲、题型深研、分层训练的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题演练，帮助学生系统构建统计知识网络，突破解题难点。 讲义突出数学思维与数据分析能力培养，如分层抽样中通过抽样比统一和均值方差分层计算策略，结合题型归类与变式训练，如频率分布直方图“三步法”解题流程。分层进阶训练保障复习效果，助力教师精准把控节奏，提升学生统计小题应考能力。

重难点培优01 统计小题易考点全归纳内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 7 题型1 简单随机抽样及随机数法 7 题型2 分层随机抽样均值与抽样比综合应用 8 题型3 频率分布直方图 8 题型4 多类统计图表综合 10 题型5 总体百分位数计算与应用 12 题型6 样本数字特征平均数、方差与极差变换 13 题型7 变量相关性、残差与拟合效果分析 14 题型8 线性与非线性回归方程 16 题型9 独立性检验卡方计算与判断 17 分层进阶·双阶训练验成效 19 巩固过关 19 创新提升 23 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 简单随机抽样 1.简单随机抽样常见实施方式：抽签法、随机数表法，两种方法适用条件是总体容量较小；性质是每个个体被抽中概率相等。 2.随机数法定义：简单随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机试验或信息技术（即计算器、电子表格软件和R统计软件）生成的随机数进行抽样. 3.随机数法操作步骤： ①把总体中的每个个体编号。 ②借助随机数工具，生成编号范围内的整数随机数. ③若随机数在有效编号内且未重复，则对应个体进入样本；重复、超出范围的数字舍弃；持续生成，直至抽足规定容量的样本。 4.随机数读数遵循题干指定方向；重复编号、超范围编号均不能纳入样本。 知识点2 分层随机抽样 1.概念：按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体___属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这种抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层，分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． 2.抽样比例：各层抽取比例 3.分层定比:各层样本数与该层总体数的比值相等，即分层抽样中，每层抽样概率与整体抽样概率相等 4.分层随机抽样使用的原则：（1）将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；（2）分层随机抽样为保证每个个体等可能进入样本，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比． 5.总体平均数和样本平均数的计算（以两层为例）：设第1层和第2层个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，样本平均数分别为，第1层、第2层的总体平均数分别为和，第1层、第2层的样本平均数分别为和，则 总体平均数为， 样本平均数为 6.用样本平均数估计总体平均数 由于第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用估计总体平均数. 在比例分配的分层随机抽样中，，所以 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数为. 知识点3 频率分布直方图 1.频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图． 第一步，求极差 极差为一组数据中最大值与最小值的差． 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取_左闭右开区间，最后一组数据取闭区间． 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，例如第一小组的频率是，作出频率分布表， 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴(小长方形的高度)表示． 2.频率分布直方图的特点：各个小长方形的面积表示相应各组的频率；各小长方形的面积的总和等于. 相关公式：组距：每组区间的长度 频率频数样本容量 ：频率分布直方图纵轴含义 每组频率 3. 从频率分布直方图中估计数字特征 众数：最高矩形底边中点的横坐标. 中位数：使直方图左、右两边面积相等的分界线与横轴交点的横坐标；估计中位数时必须保证两侧面积之和恰好为0.5，不可直接取最高矩形中点. 平均数：每个小矩形的面积 × 小矩形底边中点的横坐标之和. 直方图偏态规律：若直方图右侧“拖尾”，则平均数 > 中位数；若左侧“拖尾”，则平均数 < 中位数. 知识点4 总体百分数的估计 1.百分位数（p%分位数）的定义：一般地，一组数据的p%（）分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值． 2.可以通过下面的步骤计算一组个数据的第百分位数: 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算   第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据;若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数 3. 四分位数：常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一个四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三个四分位数或上四分位数． 知识点5 总体集中趋势的估计 1. 众数、中位数、平均数 数字特征 定义与求法 优点与缺点 众数 一组数据中出现次数最多的数 众数通常用于描述变量的中心位置，但显然它对其他数据信息的忽视使得其无法客观地反映总体特征 中位数 把一组数据按大小顺序排列，处在中间位置的一个数据（或两个数据的平均数） 中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 平均数 如果有个数，，，…，，那么这个数的平均数 平均数与每一个样本数据有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 2、平均数相关结论： ①如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； ②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 ③如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为 知识点6 总体离散程度的估计 1. 极差：是数据中最大值和最小值的差，它计算简单，但没有充分利用其他数据． 2. 方差的定义：样本数据到平均数的平均距离的平方。如果的平均数为， 则方差 3. 方差的性质：如果一组数的方差为（a，b为常数），则 （1）一组数的方差为； （2）一组数的方差为； （3）一组数的方差为． 4.标准差：（方差的算术平方根） 由于方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单位．为此，计算方差的算术平方根，得，称之为标准差． 5.统计意义 （1）方差:方差用于描述一组数据的离散程度。较大的方差表示数据点与平均值之间的差异较大，数据较为分散;较小的方差表示数据点较为集中。方差为0时，所有样本数据相等。方差在统计学中常用于评估数据的稳定性、预测误差等。 （2）标准差:标准差是方差的平方根，常用于实际数据分析中。它表示数据点与平均值之间的平均距离。标准差越小，表示数据越稳定，波动越小;反之，标准差越大，表示数据波动越大稳定性较差 。 知识点7 相关系数、残差、决定系数 1.样本相关系数：设由变量x和y获得的两组数据分别为和（i=1，2，…，n），其对应关系如下表所示： 变量x … 变量y … 两组数据和的线性相关系数是度量两个变量x与y之间线性相关程度的统计量， 其计算公式为， 其中，，，它们分别是这两组数据的算术平均数． 2.相关系数r与相关程度 （1）当时，称成对样本数据正相关； 当时，成对样本数据负相关； 当时，成对样本数据间没有线性相关关系； （2）样本相关系数r的取值范围为[-1,1]； 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 3.残差 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差. 4.残差图 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好. 5.残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.其步骤为：计算残差化残差图在残差图中分析残差特性. 6.残差平方和 残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差. 7.决定系数 决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力. ，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差. 知识点8 回归方程核心性质 1.线性回归方程必过样本中心点； 2.非线性回归处理手段：换元转化为线性（对数、指数、二次型换元）； 3.预测仅为估计值，不代表实际精确结果。 知识点9 独立性检验 1.关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 2.独立性检验 （1）定义：借助卡方统计量判断两个分类变量是否相互独立，该方法叫独立性检验； （2）卡方公式：，总样本量； 3.独立性检验步骤 （1）提出零假设：变量相互独立，结合题意说明含义； （2）根据统计数据搭建2×2列联表，计算数值，和给定临界值对比；对照检验标准，给出独立性相关推断结论；若判定变量不独立，可对比各组频率，分析变量间的影响规律。 ①当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过； ②当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。 题型深研·通法变式提能力 题型1 简单随机抽样（随机数法） 【典例1-1】（2026高三·全国·专题练习）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取50袋进行检验．先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读取，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号是（   ） 第7行：84   42   17   53   31   57   24   55   06   88   77   04   74   47   67   21   76   33   50   25   83   92   12   06   78 第8行：63   01   63   78   59   16   95   55   67   19   98   10   50   71   75   12   86   73   58   07   44   39   52   38   79 第9行：33   21   12   34   29   78   64   56   07   82   52   42   07   44   38   15   51   00   13   42   99   66   02   79   54 A．55，67，19，98，10 B．556，719，810，507，175 C．785，567，199，507，175 D．556，719，050，717，512 【典例1-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到前4个编号中的是（    ） 3221183429  7864540732  5242064438  1223435677  3578905642 8442125331  3457860736  2530073286  2345788907  2368960804 3256780843  6789535577  3489948375  2253557832  4577892345 A．328 B．457 C．253 D．007 方法技巧 1.随机数表法三步：（1）编号（2）按指定方向读数（3）剔除超范围、重复数字，依次记录有效编号； 2. 编号位数统一，读取数字位数与编号保持一致； 3. 简单随机抽样核心：每个个体抽取概率完全相等，总体容量小时适用抽签或随机数法。 【变式1-1】（25-26高一下·广西来宾·阶段检测）总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体．利用科学计算器依次生成一组随机数如下：65 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 32 15 52 39 52 40，则选出来的第6个个体的编号为______． 【变式1-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 5044664421 6606580562 6165643502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911 题型2 分层随机抽样（均值、抽样比综合） 【典例2-1】（2026·山东烟台·模拟预测）某机构为调查居民对“生成式人工智能工具使用满意度”，采用分层抽样的方法，按职业类型分别从科技创新从业者和传统行业从业者中各抽取了50人，满意度采用百分制进行打分，统计数据如下表所示： 总人数（单位：万） 样本平均分 样本方差 科技创新从业者 10 90 36 传统行业从业者 10 70 64 根据分层抽样，估计这两类职业的满意度的总体方差为（    ） A．148 B．150 C．152 D．154 【典例2-2】（25-26高一上·江西九江·期末）为调查某地区中学生每天的睡眠时间，采用按样本量等比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生1200人，其每天睡眠时间的均值为9小时，方差为0.24，抽取高中生800人，其每天睡眠时间的均值为8小时，方差为0.64，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1.抽样比统一：，每层抽取数量 = 层总人数 × 抽样比； 2.分层均值：比例分配分层抽样，样本均值可直接作为总体均值估计；非比例分层必须用每层总体数量加权； 3.分层方差两步：先算整体均值，再分层计算 “层内方差和层均值与总均值差值平方” 加权求和。 【变式2-1】（2026·山西太原·二模）一支田径队有男运动员56人，女运动员35人，按性别分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________. 【变式2-2】（2026高一·全国·专题练习）已知某工厂有三条流水线用于生产同一种产品，三条流水线的产量之比为，根据比例分层抽样得到流水线2的样本平均数为9.0，流水线3的样本平均数为9.4，所有样本的平均数为9.3，则流水线1的样本平均数为_____． 题型3 频率分布直方图 【典例3-1】（25-26高一下·四川达州·期末）为了解某社区月均用水情况，随机抽取100户居民近半年月均用水量（单位：吨），将用水量数据按，，，，分组制成频率分布直方图，则（    ）    A． B．估计样本的中位数为10 C．估计样本的众数为10 D．估计样本的平均数为10 【典例3-2】（2026·天津和平·二模）如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1.求参数：直方图中每个小矩形面积为该组频率，所有小矩形面积之和为；小矩形面积 = 组距 ×，据此列方程求解未知参数。 2.频数计算：某组频数 = 样本容量 × 该组对应小矩形的面积。 3.众数、中位数：众数取最高小矩形底边中点的横坐标；中位数是把直方图面积平分为左右各的分界值，设分界值，利用累计频率列方程求解。 4.平均数：取每组区间的组中值，用各组组中值乘以本组对应小矩形面积，再将全部结果求和，得到平均数估计值。 5.分布形态判断：直方图右拖尾（右偏），平均数的估计值大于中位数的估计值；直方图左拖尾（左偏），平均数的估计值小于中位数的估计值。 【变式3-1】（2026·天津东丽·一模）在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（    ） A． B．成绩在的频数为35 C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内 【变式3-2】（2026·山东聊城·二模）某科技创新攻关团队共100人，统计团队成员的年龄均在区间内，并得到如下频率分布直方图，则（    ） A．团队年龄在的成员所占比例为 B．团队年龄的极差大于25 C．团队年龄的平均数小于35 D．团队年龄的中位数在内 题型4 多类统计图表综合 【典例4-1】（25-26高一下·吉林·期末）某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（     ） A．该校高一学生总人数为800 B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数少 D．按选科组合用分层随机抽样从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 【典例4-2】（25-26高二下·河北张家口·阶段检测）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．    B．   B． C．   D．   方法技巧 1.扇形图：总数量 = ；各组频数 = 总数 × 占比； 2.条形图：纵轴直接为频数，结合扇形百分比互求总人数； 3.折线图：排序后计算中位数、极差、平均数； 4.等高条形图：两组分段比例越接近，两个分类变量关联性越弱。 【变式4-1】（2026·湖南株洲·模拟预测）小张记录了2025年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据，整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（     ）    A．月跑步里程出现波动性 B．月跑步里程最大值出现在10月 C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 【变式4-2】（25-26高二下·四川广安·期末）某教师统计了本班学生上学方式，制作了两类统计图，因墨迹污染，两类图中都出现了不同程度的遮挡，以此统计近似代表全校学生的上学方式．已知该校学生共2000人，下列说法中正确的是（     ）    A．该班共有50名学生 B．全校步行上学的人数大约是600人 C．学校计划建可容纳300辆自行车的停车棚，该计划能满足骑自行车上学的学生能在停车棚内规范停放自行车 D．学校通过宣传使乘车上学的学生比例不超过学生总数的，那么至少有640名学生须改用其他方式上学 题型5 总体百分数计算与应用 【典例5-1】（2026·河北秦皇岛·二模）数据的第分位数为（    ） A．93 B．93. 5 C．94 D．94. 5 【典例5-2】（25-26高一下·全国·期末）某新能源汽车电池研发团队测试了一款新型固态电池在0℃环境下的续航里程衰减情况．随机抽取部分测试数据，得到续航里程衰减率（单位：）的频率如下表： 续航里程衰减率 频率 0.10 0.30 0.40 0.15 0.05 据此估计，续航里程衰减率的第60百分位数约为（   ） A．15 B．13.75 C．12.5 D．11.25 方法技巧 1.计算； 2.不是整数：向上取整，对应第个数据； 3.是整数：取第项、项平均值； 4.频率分布直方图百分位数：累计频率到目标区间，列方程求解分界值。　 【变式5-1】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）数据，，，，，，，的上四分位数（分位数）为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·河南郑州·三模）4月23日是“世界读书日”，全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围．某中学共有3000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取200名，统计他们2024年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（   ） （注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表） A．阅读量的众数估值为8 B．阅读量的中位数估值为6.5 C．阅读量的平均数估值为6.76 D．阅读量的第70百分位数估值为8.86 题型6 样本数字特征（平均数、方差、极差的计算） 【典例6-1】（2026·陕西西安·模拟预测）某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为_______． 【典例6-2】（2026·广东广州·三模）小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以确定（    ）同学不用上台表演. A．小吴：平均数为，中位数为 B．小温：中位数为，众数为 C．小蔡：平均数为，方差为 D．小龙：中位数为，方差为 方法技巧 1.极差：一组数据的极差等于数据最大值减去数据最小值。 2.线性变换：设原数据为，平均数为，方差为。 若对每个数据作线性变换：（为常数，）， 则新数据的平均数：，新数据的方差：。 3.分层方差：计算分层方差，需要分层计算，将层内方差与层均值相对总体均值偏差的平方分别按各层权重加权后再求和。 4.极端值影响：平均数容易受极端值的影响；中位数、众数不受极端值的干扰。 【变式6-1】（2026·安徽·模拟预测）已知一组数据：，，，…，的平均数为m，方差为，在这组数据中的任意位置插入数字m，则插入后这11个数的方差为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）现有10个数据为：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有（   ） A．众数是4 B．平均数是4 C．极差是3 D．中位数是4.5 题型7 变量相关性、残差与拟合效果分析 【典例7-1】（25-26高二下·河南郑州·期末）某中学生物兴趣小组观察鸢尾花时，发现“花瓣长度”和“花萼长度”总是一起变化，选取样本调查所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（     ） A．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 B．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 C．花瓣长度和花萼长度没有相关性 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【典例7-2】（25-26高二下·上海·阶段检测）通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（   ）． A．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 B．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 C．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 方法技巧 1.散点图：散点由左下到右上分布时为正相关，散点由左上到右下分布时为负相关；离群点会使相关系数的绝对值减小。 2.相关系数：越接近，线性相关性越强；越接近，线性相关性越弱。 3.残差图：残差图的点均匀分布在狭窄水平带内，模型拟合效果好；残差出现曲线或者递增、递减趋势，说明回归模型不合适。 4.决定系数：的数值越大，残差平方和就越小，模型的拟合效果越好。 【变式7-1】（25-26高二下·河南洛阳·期末）如图所示，从散点图的5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（    ） A．变小，变大 B．相关系数r变小 C．残差平方和变大 D．解释变量x与响应变量y的线性相关性变强 【变式7-2】（2026·湖北武汉·三模）成对数据和的一元线性回归模型为，依据模型可建立经验回归方程，用回归方程可得到响应变量的预测值及残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果．对下列四幅残差图的描述正确的是（    ） A．图甲显示残差的方差随观测时间变大而变小 B．图乙满足一元线性回归模型对随机误差的假设 C．图丙说明残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分 D．图丁说明残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型 题型8 线性与非线性回归方程 【典例8-1】（25-26高二下·山东东营·期末）若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的回归直线方程为，则样本点的残差为（    ） A． B．1.8 C． D．2.5 【典例8-2】（25-26高二下·福建厦门·期末）某图书馆统计了二月份到六月份线上预约入馆的人次，x表示月份，y表示每月线上预约入馆的人次（单位：千人次）．已知变量y与变量x的关系可以用模型拟合，设，变换后得到一组数据如下： x 2 3 4 5 6 z 1.0 1.4 1.5 1.7 1.9 则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 1.线性回归 ，回归直线恒过样本中心点；为正相关，为负相关； 2.残差 ，代入求出预测值，再用真实值减去预测值； 3.指数模型 、对数模型 ，可做换元，转化为线性回归再计算参数； 4.回归预测值仅为估计，不能完全等同于真实值。 【变式8-1】（2026·广西·模拟预测）已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ）． A． B． C． D．0 【变式8-2】（25-26高二下·河南·阶段检测）为研究城市文旅新媒体推广对旅游消费的带动效应，某文旅部门统计了2025年7-12月某城市文旅短视频累计播放量（单位：亿次）与当月旅游总收入（单位：亿元）的统计数据，如下表：（   ） 月份 7 8 9 10 11 12 /亿次 2 3 4 5 6 7 /亿元 8 15 28 50 90 160 通过散点图分析发现，与的关系可用指数型回归模型拟合，回归方程为（，），令 ，得到 关于的回归方程为，相关系数为 ．则下列说法正确的是 附： ， ， ， ， ， ， ． A．关于的回归方程为，当每增加1亿次时，平均增加亿元 B． 与的相关系数 ，若用一元线性回归模型直接拟合与，得到的相关系数为，则 C．若2026年1月该城市文旅短视频累计播放量为8亿次，用该回归模型预测的当月旅游总收入约为299亿元 D．当旅游总收入为123亿元时，用该回归模型反推的播放量约为5.8亿次 题型9 独立性检验卡计算与判断 【典例9-1】（25-26高二下·重庆北碚·期末）为了研究一种新的学习方法对学生数学成绩的影响，某研究中心随机选取了200名学生进行对比实验，其中100名学生采用新方法学习，100名学生采用传统方法学习.经过一个学期后，对学生的数学成绩进行评估，结果如下表： 新方法学习 传统方法学习 合计 数学成绩优秀 50 70 120 数学成绩不优秀 50 30 80 已知其中，且.根据小概率值的独立性检验，则（    ） A．新的学习方法与数学成绩有关 B．新的学习方法与数学成绩无关 C．新的学习方法与数学成绩有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 D．新的学习方法与数学成绩无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【典例9-2】（25-26高二下·广东茂名·期末）为研究某疾病与超声波检查结果是否有关，利用独立性检验的方法从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，利用列联表，计算可得，参照下表，得到的正确结论是（    ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．有的人超声波结果正常 B．有以上的把握认为“超声波检查结果与患该病无关” C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病有关” D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病无关” 方法技巧 1.列联表补齐：利用每行、每列数据总和，完成列联表中未知数据的计算补齐； 2.，其中为样本总容量； 3.对比临界值：若计算得到的大于临界值，则拒绝独立假设，认为两个变量之间有关联；反之，则没有充分证据判定两个变量有关联； 4.等高条形辅助：等高条形图中两组对应比例的差异越大，计算出的就越大，代表两个变量之间的关联性越强。 【变式9-1】（25-26高一上·北京西城·期末）为了解某校高三学生寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时)，现从该校高三年级随机抽取了部分同学进行调研，在获得这些同学每天平均学习的时间后，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则 （1）______； （2）若样本中每天学习时间在区间上的同学恰有2人，则共抽取了______位同学调研． 【变式9-2】（25-26高二下·广东·期末）随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表. 三孩生育意愿 城市级别 合计 非一线 一线 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 合计 58 42 100 由，得 . 参照下表： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 根据小概率值的独立性检验，可以得到的结论是________. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1.（2026·湖南株洲·模拟预测）甲校有2000名学生，乙校有2400名学生，丙校有2600名学生，为统计三校学生某方面的情况，采用分层随机抽样法抽取一个容量为70的样本，应在这三校分别抽取学生（     ） A．20人，24人，26人 B．26人，24人，20人 C．20人，26人，24人 D．24人，26人，20人 2.（2026·广东深圳·一模）某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在内的学生人数为（   ）    A．300 B．400 C．600 D．1200 3.（2026·河南开封·模拟预测）随着电视剧《沉默的荣耀》的热播，剧中人物原型吴石将军的故居——位于福州市仓山区螺洲镇，其成为游客追寻先烈足迹、缅怀革命精神的热门“红色打卡地”.其中连续10日的游客人数依次为872，963，742，682，1322，1244，674，548，884，993，则这组数据的中位数为（    ） A．872 B．878 C．884 D．1283 4.（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）已知为随机变量和的样本相关系数，为随机变量和的样本相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则和正相关 B．若，则和负相关 C．若，则和的线性相关程度比和的线性相关程度强 D．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱 5.（25-26高二下·重庆北碚·期末）（多选）对于样本相关系数，下列说法正确的是（    ） A．的正负可以反映成对样本数据是正相关还是负相关 B．的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度 C．的值越大，成对样本数据之间线性相关的程度越强 D．的取值范围是 6．（2026·河北张家口·二模）（多选）从工厂生产的零件中随机抽出100个，测量其直径（单位：），将所得数据分为5组：，并整理得到频率分布直方图如图，记这100个零件的直径的中位数为，平均数为，极差为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 7.（2026·陕西咸阳·三模）（多选）人工智能的普及使学生学习方式发生了改变，数字素养水平较高的学生能高效检索、筛选和整合信息，利用在线课程、模拟实验等工具进行深度学习.为了解学生的数字素养水平，某市采用分层抽样从全市10所学校中随机抽取500名学生进行问卷调查，并根据问卷结果进行打分记作学生的数字素养得分，满分100分，分数集中在内，频率分布表如下： 分组 频率 0.05 0.18 0.42 0.28 0.07 下列对本次调查的说法中正确的是（    ） A．学生数字素养得分的众数约为75 B．学生数字素养得分的中位数约为76.43 C．学生数字素养得分的第75百分位数约为84.6 D．学生数字素养得分的平均数约为76.4 8.（25-26高二下·河南信阳·期末）（多选）据央视财经报道，全国骑行人数已达到亿．某机构对爱好骑行者进行了研究．若将每周骑行小时及以上的人称为“骑行达人”，每周骑行小时以下的人称为“非骑行达人”．该机构随机调查了名骑行爱好者，得到如下数据： 骑行达人 非骑行达人 男 女 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（     ） A．根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别无关联 B．根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联 C．根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联 D．根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联 9.（25-26高二下·上海·期末）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图．在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取的人数为______．    10.（25-26高二下·上海·期末）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图．在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取的人数为______．    11.（25-26高二下·全国·课后作业）博鳌亚洲论坛2024年年会于3月26日至29日在海南博鳌举行．为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了30名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与是否会俄语”的列联表中，______． 性别 是否会俄语 合计 会 不会 男 20 女 6 合计 18 30 12．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）总体由编号为00，01，02，…，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第3列和第4列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为__________． 附：第6行至第9行的随机数表 27  48  61  98  71  64  41  48  70  86  28  88  85  19  16  20 74  77  01  11  16  30  24  04  29  79  79  91  96  83  51  25 32  11  49  19  73  06  49  16  76  77  87  33  99  74  67  32 26  35  79  00  33  70  91  60  16  20  38  82  77  57  49  50 创新提升 1.（25-26高二下·湖北随州·期末）从某学校获取了容量为400的简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 210 60 270 优秀 50 80 130 合计 260 140 400 某同学为了计算简洁，把表中所有数据都缩小为原来的（即去掉最后面那个0）后，代入公式，计算得出，则（    ） 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A．该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联 B．该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联 C．该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联 D．该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联 2．（2026·上海·模拟预测）若数据：的中位数是；数据：的平均数是． 则以下关于数据：的统计量，正确推断的序号是（） ①平均数一定是；②中位数可能是；③方差一定不是． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3.（25-26高二下·河南许昌·期末）（多选）根据2019年发布的《中国城市餐饮食物浪费报告》显示，我国仅餐饮业餐桌的粮食浪费每年就高达1800万吨，相当于5000万人一年的食物量．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”．某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下列联表，已知，，则下列判断正确的是（     ） 年龄 认可情况 认可 不认可 40岁以下 20 20 40岁以上（含40岁） 45 5 A．在该餐厅用餐的客人中大约有的客人认可“光盘行动” B．在该餐厅用餐的客人中大约有的客人认可“光盘行动” C．有的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄无关 D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关 4.（2025·福建福州·模拟预测）（多选）近日，国家发展改革委等部门联合印发《完善碳排放统计核算体系工作方案》，指出要在2025年全面建立碳排放年报、快报制度，完善碳排放统计核算体系．专家在甲、乙、丙、丁四地2024年第4季度的周快报数据中随机抽取7周数据进行分析，整理出四地这7周各周内碳排放量超过的天数的数据特征： 地区 甲 乙 丙 丁 数据特征 中位数 3 中位数 1 均值 3 均值 2 众数 2 均值 <1 众数 4 方差 2 根据规定，若这7周中每周内碳排放量超过的天数都不多于5天，则可称该地区为低碳生态区．分析数据，四个地区中能判定为低碳生态区的是（   ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 5.（25-26高一下·广东茂名·期末）（多选）某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（    ） A．诗经组中位数为3，众数为2 B．论语组平均数为3，方差为1 C．春秋组平均数为3，众数为2 D．礼记组中位数为2，极差为4 6.（25-26高二下·全国·课后作业）为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据： 患者性别 药效 合计 无效 有效 男 15 35 50 女 6 44 50 合计 21 79 100 设：服用此药的效果与患者的性别无关．则______（精确到小数点后3位），从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为______． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 统计小题易考点全归纳内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 7 题型1 简单随机抽样及随机数法 7 题型2 分层随机抽样均值与抽样比综合应用 8 题型3 频率分布直方图 10 题型4 多类统计图表综合 13 题型5 总体百分位数计算与应用 16 题型6 样本数字特征平均数、方差与极差变换 18 题型7 变量相关性、残差与拟合效果分析 20 题型8 线性与非线性回归方程 22 题型9 独立性检验卡方计算与判断 25 分层进阶·双阶训练验成效 27 巩固过关 27 创新提升 35 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 简单随机抽样 1.简单随机抽样常见实施方式：抽签法、随机数表法，两种方法适用条件是总体容量较小；性质是每个个体被抽中概率相等。 2.随机数法定义：简单随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机试验或信息技术（即计算器、电子表格软件和R统计软件）生成的随机数进行抽样. 3.随机数法操作步骤： ①把总体中的每个个体编号。 ②借助随机数工具，生成编号范围内的整数随机数. ③若随机数在有效编号内且未重复，则对应个体进入样本；重复、超出范围的数字舍弃；持续生成，直至抽足规定容量的样本。 4.随机数读数遵循题干指定方向；重复编号、超范围编号均不能纳入样本。 知识点2 分层随机抽样 1.概念：按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体___属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这种抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层，分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配． 2.抽样比例：各层抽取比例 3.分层定比:各层样本数与该层总体数的比值相等，即分层抽样中，每层抽样概率与整体抽样概率相等 4.分层随机抽样使用的原则：（1）将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；（2）分层随机抽样为保证每个个体等可能进入样本，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比． 5.总体平均数和样本平均数的计算（以两层为例）：设第1层和第2层个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，样本平均数分别为，第1层、第2层的总体平均数分别为和，第1层、第2层的样本平均数分别为和，则 总体平均数为， 样本平均数为 6.用样本平均数估计总体平均数 由于第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用估计总体平均数. 在比例分配的分层随机抽样中，，所以 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数为. 知识点3 频率分布直方图 1.频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图． 第一步，求极差 极差为一组数据中最大值与最小值的差． 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取_左闭右开区间，最后一组数据取闭区间． 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，例如第一小组的频率是，作出频率分布表， 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴(小长方形的高度)表示． 2.频率分布直方图的特点：各个小长方形的面积表示相应各组的频率；各小长方形的面积的总和等于. 相关公式：组距：每组区间的长度 频率频数样本容量 ：频率分布直方图纵轴含义 每组频率 3. 从频率分布直方图中估计数字特征 众数：最高矩形底边中点的横坐标. 中位数：使直方图左、右两边面积相等的分界线与横轴交点的横坐标；估计中位数时必须保证两侧面积之和恰好为0.5，不可直接取最高矩形中点. 平均数：每个小矩形的面积 × 小矩形底边中点的横坐标之和. 直方图偏态规律：若直方图右侧“拖尾”，则平均数 > 中位数；若左侧“拖尾”，则平均数 < 中位数. 知识点4 总体百分数的估计 1.百分位数（p%分位数）的定义：一般地，一组数据的p%（）分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值． 2.可以通过下面的步骤计算一组个数据的第百分位数: 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算   第3步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据;若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数 3. 四分位数：常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一个四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三个四分位数或上四分位数． 知识点5 总体集中趋势的估计 1. 众数、中位数、平均数 数字特征 定义与求法 优点与缺点 众数 一组数据中出现次数最多的数 众数通常用于描述变量的中心位置，但显然它对其他数据信息的忽视使得其无法客观地反映总体特征 中位数 把一组数据按大小顺序排列，处在中间位置的一个数据（或两个数据的平均数） 中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 平均数 如果有个数，，，…，，那么这个数的平均数 平均数与每一个样本数据有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 2、平均数相关结论： ①如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； ②如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 ③如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为 知识点6 总体离散程度的估计 1. 极差：是数据中最大值和最小值的差，它计算简单，但没有充分利用其他数据． 2. 方差的定义：样本数据到平均数的平均距离的平方。如果的平均数为， 则方差 3. 方差的性质：如果一组数的方差为（a，b为常数），则 （1）一组数的方差为； （2）一组数的方差为； （3）一组数的方差为． 4.标准差：（方差的算术平方根） 由于方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单位．为此，计算方差的算术平方根，得，称之为标准差． 5.统计意义 （1）方差:方差用于描述一组数据的离散程度。较大的方差表示数据点与平均值之间的差异较大，数据较为分散;较小的方差表示数据点较为集中。方差为0时，所有样本数据相等。方差在统计学中常用于评估数据的稳定性、预测误差等。 （2）标准差:标准差是方差的平方根，常用于实际数据分析中。它表示数据点与平均值之间的平均距离。标准差越小，表示数据越稳定，波动越小;反之，标准差越大，表示数据波动越大稳定性较差 。 知识点7 相关系数、残差、决定系数 1.样本相关系数：设由变量x和y获得的两组数据分别为和（i=1，2，…，n），其对应关系如下表所示： 变量x … 变量y … 两组数据和的线性相关系数是度量两个变量x与y之间线性相关程度的统计量， 其计算公式为， 其中，，，它们分别是这两组数据的算术平均数． 2.相关系数r与相关程度 （1）当时，称成对样本数据正相关； 当时，成对样本数据负相关； 当时，成对样本数据间没有线性相关关系； （2）样本相关系数r的取值范围为[-1,1]； 当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 3.残差 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差. 4.残差图 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好. 5.残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.其步骤为：计算残差化残差图在残差图中分析残差特性. 6.残差平方和 残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差. 7.决定系数 决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力. ，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差. 知识点8 回归方程核心性质 1.线性回归方程必过样本中心点； 2.非线性回归处理手段：换元转化为线性（对数、指数、二次型换元）； 3.预测仅为估计值，不代表实际精确结果。 知识点9 独立性检验 1.关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 2.独立性检验 （1）定义：借助卡方统计量判断两个分类变量是否相互独立，该方法叫独立性检验； （2）卡方公式：，总样本量； 3.独立性检验步骤 （1）提出零假设：变量相互独立，结合题意说明含义； （2）根据统计数据搭建2×2列联表，计算数值，和给定临界值对比；对照检验标准，给出独立性相关推断结论；若判定变量不独立，可对比各组频率，分析变量间的影响规律。 ①当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过； ②当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。 题型深研·通法变式提能力 题型1 简单随机抽样（随机数法） 【典例1-1】（2026高三·全国·专题练习）要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取50袋进行检验．先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读取，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号是（   ） 第7行：84   42   17   53   31   57   24   55   06   88   77   04   74   47   67   21   76   33   50   25   83   92   12   06   78 第8行：63   01   63   78   59   16   95   55   67   19   98   10   50   71   75   12   86   73   58   07   44   39   52   38   79 第9行：33   21   12   34   29   78   64   56   07   82   52   42   07   44   38   15   51   00   13   42   99   66   02   79   54 A．55，67，19，98，10 B．556，719，810，507，175 C．785，567，199，507，175 D．556，719，050，717，512 【答案】C 【分析】定位起点后，依次向右连续读取三位数字，并舍去超出000至799范围以及重复的无效数据，直至筛选出所需的5个符合条件的编号. 【详解】由题意得第8行第7列的数为7，每次取3个连续数字， 数字串为， 其中都超出， 所以最先检测的5袋牛奶的编号是785，567，199，507，175. 【典例1-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到前4个编号中的是（    ） 3221183429  7864540732  5242064438  1223435677  3578905642 8442125331  3457860736  2530073286  2345788907  2368960804 3256780843  6789535577  3489948375  2253557832  4577892345 A．328 B．457 C．253 D．007 【答案】BCD 【分析】根据随机数表法计算求解. 【详解】从第5行第6列开始向右读取数据， 第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007， 故得到的前4个编号是253，313，457，007． 故选：BCD． 方法技巧 1.随机数表法三步：（1）编号（2）按指定方向读数（3）剔除超范围、重复数字，依次记录有效编号； 2. 编号位数统一，读取数字位数与编号保持一致； 3. 简单随机抽样核心：每个个体抽取概率完全相等，总体容量小时适用抽签或随机数法。 【变式1-1】（25-26高一下·广西来宾·阶段检测）总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体．利用科学计算器依次生成一组随机数如下：65 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 32 15 52 39 52 40，则选出来的第6个个体的编号为______． 【答案】 【分析】根据随机数抽样规则可得结果. 【详解】生成的随机数中落在编号01，02，…，39，40内的依次有06，35，02，35（重复），32，15，39，40. 所以选出来的第6个个体的编号为39. 【变式1-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）设总体由编号为00，01…，59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________． 5044664421 6606580562 6165643502 4235489632 1452415248 2266221586 2663754199 5842367224 5837521851 0337183911 【答案】43 【详解】从该随机数表第1行的第6个数字6开始，由左到右依次选取两个数字， 读取的数字对依次为：64(大于59，舍去)，42(选取，第1个)，16(选取，第2个)， 60(大于59，舍去)，65(大于59，舍去)，80(大于59，舍去)，56(选取，第3个)， 26(选取，第4个)，16(重复，舍去)，56(重复，舍去)，43（选取，第5个）， 故选出来的第5个个体的编号为43． 题型2 分层随机抽样（均值、抽样比综合） 【典例2-1】（2026·山东烟台·模拟预测）某机构为调查居民对“生成式人工智能工具使用满意度”，采用分层抽样的方法，按职业类型分别从科技创新从业者和传统行业从业者中各抽取了50人，满意度采用百分制进行打分，统计数据如下表所示： 总人数（单位：万） 样本平均分 样本方差 科技创新从业者 10 90 36 传统行业从业者 10 70 64 根据分层抽样，估计这两类职业的满意度的总体方差为（    ） A．148 B．150 C．152 D．154 【答案】B 【详解】由于两类从业者总人数均为10万，权重均为，分别为两组的样本平均， 两类职业满意度的总体均值的估计值， 又为两组的样本方差，代入数值计算：， 因此总体方差的估计值. 【典例2-2】（25-26高一上·江西九江·期末）为调查某地区中学生每天的睡眠时间，采用按样本量等比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生1200人，其每天睡眠时间的均值为9小时，方差为0.24，抽取高中生800人，其每天睡眠时间的均值为8小时，方差为0.64，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分层抽样均值、方差的计算公式计算即可. 【详解】由题意得，总体均值为， 根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为 . 故选：B. 方法技巧 1.抽样比统一：，每层抽取数量 = 层总人数 × 抽样比； 2.分层均值：比例分配分层抽样，样本均值可直接作为总体均值估计；非比例分层必须用每层总体数量加权； 3.分层方差两步：先算整体均值，再分层计算 “层内方差和层均值与总均值差值平方” 加权求和。 【变式2-1】（2026·山西太原·二模）一支田径队有男运动员56人，女运动员35人，按性别分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________. 【答案】10 【详解】解：根据题意男、女运动员的比例为， 所抽样本中男运动员的人数为16， 则该样本中女运动员的人数为． 【变式2-2】（2026高一·全国·专题练习）已知某工厂有三条流水线用于生产同一种产品，三条流水线的产量之比为，根据比例分层抽样得到流水线2的样本平均数为9.0，流水线3的样本平均数为9.4，所有样本的平均数为9.3，则流水线1的样本平均数为_____． 【答案】9.5 【分析】由题干中的比例，根据平均数的计算公式建立方程，可得答案. 【详解】根据题意，不妨设抽取的样本容量分别为，，， 设三条流水线的样本平均数分别为，总体样本平均数为， 则 根据样本平均数公式可得， 解得，所以流水线1的样本平均数为9.5． 题型3 频率分布直方图 【典例3-1】（25-26高一下·四川达州·期末）为了解某社区月均用水情况，随机抽取100户居民近半年月均用水量（单位：吨），将用水量数据按，，，，分组制成频率分布直方图，则（    ）    A． B．估计样本的中位数为10 C．估计样本的众数为10 D．估计样本的平均数为10 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为求出的值，再结合中位数、众数、平均数的定义及计算公式逐一判断各选项即可. 【详解】对于A选项，由频率分布直方图的性质可知，所有小矩形的面积之和为， 即， 解得，故A错误， 对于B选项，前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 所以中位数位于第三组内， 设中位数为，则， 解得，即估计样本的中位数为，故B错误， 对于C选项，在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边的中点值， 由图可知，最高矩形对应的区间为， 所以估计样本的众数为，故C正确， 对于D选项，估计样本的平均数为： ，故D错误. 【典例3-2】（2026·天津和平·二模）如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的中位数为m，众数为n，平均数为p，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】由频率分布直方图可知，单峰不对称且右“拖尾”，最高峰偏左，众数最小. 平均数受极端值影响，与中位数相比，平均数总在“拖尾”那边，故平均数大于中位数， 故得. 方法技巧 1.求参数：直方图中每个小矩形面积为该组频率，所有小矩形面积之和为；小矩形面积 = 组距 ×，据此列方程求解未知参数。 2.频数计算：某组频数 = 样本容量 × 该组对应小矩形的面积。 3.众数、中位数：众数取最高小矩形底边中点的横坐标；中位数是把直方图面积平分为左右各的分界值，设分界值，利用累计频率列方程求解。 4.平均数：取每组区间的组中值，用各组组中值乘以本组对应小矩形面积，再将全部结果求和，得到平均数估计值。 5.分布形态判断：直方图右拖尾（右偏），平均数的估计值大于中位数的估计值；直方图左拖尾（左偏），平均数的估计值小于中位数的估计值。 【变式3-1】（2026·天津东丽·一模）在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（    ） A． B．成绩在的频数为35 C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内 【答案】D 【分析】利用频率分布直方图与数字特征的关系，逐个求解判断即可. 【详解】对于选项A，由频率分布直方图中所有频率之和为1，可列出方程， 解得，.正确. 对于选项B，成绩在的频率为：， 所以频数为，正确. 对于选项C，前3个小长方形的面积和为， 而的频率是.所以前4个小长方形面积和大于. 即中位数一定出现在内，正确. 对于选项D，平均数为每个区间组中值乘以对应频率之和， 即. 所以D不正确. 【变式3-2】（2026·山东聊城·二模）某科技创新攻关团队共100人，统计团队成员的年龄均在区间内，并得到如下频率分布直方图，则（    ） A．团队年龄在的成员所占比例为 B．团队年龄的极差大于25 C．团队年龄的平均数小于35 D．团队年龄的中位数在内 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图，结合极差、平均数、中位数以及占比的定义列式计算即得； 【详解】对于A，根据频率分布直方图，团队年龄在的成员所占比例为， 故所占比例是，故A错误； 对于B，依题意，团队成员年龄均在区间内，所以极差小于25，故B错误； 对于C，根据频率分布直方图，团队年龄在区间的比例为， 在区间的比例为，故年龄的平均数一定小于， 显然年龄的平均数小于35，故C正确； 对于D，根据频率分布直方图，区间所占比例为0.7，故中位数一定小于30，故D错误. 题型4 多类统计图表综合 【典例4-1】（25-26高一下·吉林·期末）某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（     ） A．该校高一学生总人数为800 B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数少 D．按选科组合用分层随机抽样从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 【答案】AD 【详解】对于A，该校高一学生总人数为人，A正确； 对于B，该校高一学生中选择物化生组合的人数为人， 所以选择物化地和物化政组合的人数为人， 因为选择物化地和物化政组合的人数相等，所以选择物化政组合的人数为人，B错误； 对于C，选择物理的人数有人，选择历史的人数有人， 所以该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多，C错误； 对于D，生史地组合应抽取人，D正确. 【典例4-2】（25-26高二下·河北张家口·阶段检测）观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（    ） A．    B．   B． C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意，由等高条形图的意义分析可得答案． 【详解】根据题意，在等高的条形图中，当，所占比例相差越大时，越有把握认为两个分类变量，之间有关系， 由选项可得：B选项中，，所占比例相差无几，所以最有把握认为两个分类变量，之间没有关系， 故选：B 方法技巧 1.扇形图：总数量 = ；各组频数 = 总数 × 占比； 2.条形图：纵轴直接为频数，结合扇形百分比互求总人数； 3.折线图：排序后计算中位数、极差、平均数； 4.等高条形图：两组分段比例越接近，两个分类变量关联性越弱。 【变式4-1】（2026·湖南株洲·模拟预测）小张记录了2025年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据，整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（     ）    A．月跑步里程出现波动性 B．月跑步里程最大值出现在10月 C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 【答案】D 【详解】对于A，由折线图知，月跑步里程互不相同，出现波动，A正确； 对于B，月跑步里程最大值出现在10月，B正确； 对于C，月跑步里程数从小到大排列分别是2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月， 因此5月份对应的里程数为中位数，C正确； 对于D，1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月更均匀，波动性更小，D错误． 【变式4-2】（25-26高二下·四川广安·期末）某教师统计了本班学生上学方式，制作了两类统计图，因墨迹污染，两类图中都出现了不同程度的遮挡，以此统计近似代表全校学生的上学方式．已知该校学生共2000人，下列说法中正确的是（     ）    A．该班共有50名学生 B．全校步行上学的人数大约是600人 C．学校计划建可容纳300辆自行车的停车棚，该计划能满足骑自行车上学的学生能在停车棚内规范停放自行车 D．学校通过宣传使乘车上学的学生比例不超过学生总数的，那么至少有640名学生须改用其他方式上学 【答案】ABD 【详解】A选项，从扇形统计图可知，乘车学生在班内的比例为， 从条形统计图可知，班内学生乘车人数为26，故该班共有人，A正确； B选项，全校步行上学的学生人数大约是人，B正确； C选项，全校骑自行车上学的学生人数大约是， ，故该计划不能满足骑自行车上学的学生能在停车棚内规范停放，C错误； D选项，全校乘车上学的学生人数大约是， 而，那么至少有名学生须改用其他方式上学，D正确. 题型5 总体百分数计算与应用 【典例5-1】（2026·河北秦皇岛·二模）数据的第分位数为（    ） A．93 B．93. 5 C．94 D．94. 5 【答案】C 【分析】先对该组数据从小到大排列，直接由百分位数的定义即可求解. 【详解】该组数据从小到大排列为：共有10个数据， ，所以该组数据的第分位数是第8个数据与第9个数据的平均数, 即. 【典例5-2】（25-26高一下·全国·期末）某新能源汽车电池研发团队测试了一款新型固态电池在0℃环境下的续航里程衰减情况．随机抽取部分测试数据，得到续航里程衰减率（单位：）的频率如下表： 续航里程衰减率 频率 0.10 0.30 0.40 0.15 0.05 据此估计，续航里程衰减率的第60百分位数约为（   ） A．15 B．13.75 C．12.5 D．11.25 【答案】C 【详解】由题意知，区间的累计频率为， 区间的累计频率为， 区间的累计频率为. 由于，因此续航里程衰减率的第60百分位数位于区间内. 所以估计续航里程衰减率的第60百分位数约为 . 方法技巧 1.计算； 2.不是整数：向上取整，对应第个数据； 3.是整数：取第项、项平均值； 4.频率分布直方图百分位数：累计频率到目标区间，列方程求解分界值。　 【变式5-1】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）数据，，，，，，，的上四分位数（分位数）为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数据个数为8，第75百分位数的位置为． 因为6为整数，所以第75百分位数为第6个数与第7个数的平均数． 【变式5-2】（2026·河南郑州·三模）4月23日是“世界读书日”，全社会都参与到阅读中来，形成爱读书，读好书，善读书的浓厚氛围．某中学共有3000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取200名，统计他们2024年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（   ） （注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表） A．阅读量的众数估值为8 B．阅读量的中位数估值为6.5 C．阅读量的平均数估值为6.76 D．阅读量的第70百分位数估值为8.86 【答案】D 【分析】利用频率分布直方图性质分别计算众数、中位数、平均数、第70百分位数，即可得到答案. 【详解】众数估值为，A错误； 中位数在内，所以，解得，B错误； 平均数，C错误； 第70百分位数在内，所以， 解得，D正确. 故选：D. 题型6 样本数字特征（平均数、方差、极差的计算） 【典例6-1】（2026·陕西西安·模拟预测）某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为_______． 【答案】10.8 【分析】根据已知条件先求出全班的数学均分，代入方差公式求解即可. 【详解】解：设男生平均分为，男生的方差为；女生的平均分为，女生的方差为， 则全班50个学生的数学平均分， 所以全班50个学生数学成绩的方差， 代入数据可得， 因此，全班50个学生的数学成绩的方差为. 【典例6-2】（2026·广东广州·三模）小吴，小温，小蔡，小龙四位同学各掷骰子5次，约定若6点不出现，则该同学在毕业典礼上就不用代表班级上台表演，班主任何老师分别记录每次骰子出现的点数.根据以下四名同学的统计结果，一定可以确定（    ）同学不用上台表演. A．小吴：平均数为，中位数为 B．小温：中位数为，众数为 C．小蔡：平均数为，方差为 D．小龙：中位数为，方差为 【答案】C 【详解】若小吴的个点数分别是，满足选项A； 若小温的个点数分别是，满足选项B； 若小龙的个点数分别是，平均数为4，其方差为，满足选项D； 若小蔡的平均数为，又有点数，则个点数为，方差，不可能满足C，因此小蔡不会出现点数6， 故选：C． 方法技巧 1.极差：一组数据的极差等于数据最大值减去数据最小值。 2.线性变换：设原数据为，平均数为，方差为。 若对每个数据作线性变换：（为常数，）， 则新数据的平均数：，新数据的方差：。 3.分层方差：计算分层方差，需要分层计算，将层内方差与层均值相对总体均值偏差的平方分别按各层权重加权后再求和。 4.极端值影响：平均数容易受极端值的影响；中位数、众数不受极端值的干扰。 【变式6-1】（2026·安徽·模拟预测）已知一组数据：，，，…，的平均数为m，方差为，在这组数据中的任意位置插入数字m，则插入后这11个数的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 则加入后，平均数保持不变， 方差为． 【变式6-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）现有10个数据为：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有（   ） A．众数是4 B．平均数是4 C．极差是3 D．中位数是4.5 【答案】BC 【详解】10个数据中3出现了4次，4出现了3次，5出现了2次，6出现了1次， 所以次数最多的数据是3，所以众数是3，故A错误； 平均数为，故B正确； 极差为，故C正确； 中位数为，故D错误. 题型7 变量相关性、残差与拟合效果分析 【典例7-1】（25-26高二下·河南郑州·期末）某中学生物兴趣小组观察鸢尾花时，发现“花瓣长度”和“花萼长度”总是一起变化，选取样本调查所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是（     ） A．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 B．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 C．花瓣长度和花萼长度没有相关性 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】B 【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC选项，根据相关系数的定义可以判断D选项. 【详解】对于AB，散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，故A错误，B正确； 对于C，根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，故C错误； 对于D，由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱， 即取出的数据的相关系数不一定是，故D错误. 【典例7-2】（25-26高二下·上海·阶段检测）通过随机抽样绘制得到如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图．下列说法正确的是（   ）． A．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 B．若去掉图中右下方的点后，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 C．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D．将“每千克价格”的单位由百元变为元，“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 【答案】B 【详解】改变变量的单位，线性相关系数不变，C、D错； 去除A点后，线性相关程度变高， 因为是负相关，所以线性相关系数变小，故A错误、B正确. 方法技巧 1.散点图：散点由左下到右上分布时为正相关，散点由左上到右下分布时为负相关；离群点会使相关系数的绝对值减小。 2.相关系数：越接近，线性相关性越强；越接近，线性相关性越弱。 3.残差图：残差图的点均匀分布在狭窄水平带内，模型拟合效果好；残差出现曲线或者递增、递减趋势，说明回归模型不合适。 4.决定系数：的数值越大，残差平方和就越小，模型的拟合效果越好。 【变式7-1】（25-26高二下·河南洛阳·期末）如图所示，从散点图的5个数据中去掉后，下列说法中正确的是（    ） A．变小，变大 B．相关系数r变小 C．残差平方和变大 D．解释变量x与响应变量y的线性相关性变强 【答案】D 【详解】由题设，均值，去掉后，新均值，变大， 均值，去掉后，新均值，变小，A错误， 由散点图可知，是偏离其余点的离群点，去掉后，剩余点更贴近一条直线， 所以x和y为正相关且相关性变强，即相关系数的绝对值越接近1，故去掉后变大，B错误，D正确； 线性相关性越强，模型拟合效果越好，残差平方和越小，因此去掉后残差平方和变小，C错误. 【变式7-2】（2026·湖北武汉·三模）成对数据和的一元线性回归模型为，依据模型可建立经验回归方程，用回归方程可得到响应变量的预测值及残差，残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果．对下列四幅残差图的描述正确的是（    ） A．图甲显示残差的方差随观测时间变大而变小 B．图乙满足一元线性回归模型对随机误差的假设 C．图丙说明残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分 D．图丁说明残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型 【答案】BCD 【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断. 【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差为的随机变量的观测值. 对于A选项，由图甲可知残差的方差随观测时间变大而变大，故A错误； 对于B选项，由图乙可知残差比较均匀地分布在水平带状区域内，满足一元线性回归模型对随机误差的假设，故B正确； 对于C选项，由图丙知残差与观测时间有非线性关系，应在模型中加入时间的非线性函数部分，故C正确； 对于D选项，由图丁知残差与观测时间有线性关系，应将时间变量纳入模型，故D正确. 题型8 线性与非线性回归方程 【典例8-1】（25-26高二下·山东东营·期末）若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的回归直线方程为，则样本点的残差为（    ） A． B．1.8 C． D．2.5 【答案】B 【分析】先将样本点的横坐标代入回归直线方程求得预测值，再根据残差等于实际观测值减去预测值计算即可. 【详解】由已知回归直线方程为，将代入方程，可得预测值， 又实际观测值，因此残差为 . 【典例8-2】（25-26高二下·福建厦门·期末）某图书馆统计了二月份到六月份线上预约入馆的人次，x表示月份，y表示每月线上预约入馆的人次（单位：千人次）．已知变量y与变量x的关系可以用模型拟合，设，变换后得到一组数据如下： x 2 3 4 5 6 z 1.0 1.4 1.5 1.7 1.9 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原指数拟合模型取对数转化为线性模型，利用线性回归方程过样本中心点的性质求解参数 【详解】对拟合模型两边同时取自然对数，可得， 由，可得线性变换后的回归方程为； 计算样本中心点： ， ， 由于线性回归直线必过样本中心点，将其代入线性回归方程得： ， 计算得，因此，故. 方法技巧 1.线性回归 ，回归直线恒过样本中心点；为正相关，为负相关； 2.残差 ，代入求出预测值，再用真实值减去预测值； 3.指数模型 、对数模型 ，可做换元，转化为线性回归再计算参数； 4.回归预测值仅为估计，不能完全等同于真实值。 【变式8-1】（2026·广西·模拟预测）已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ）． A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据条件先计算新样本和，代入新回归方程，得到新的回归方程，进而可得残差. 【详解】原回归直线为，已知，代入得： . 原共8个样本，新增2个后共10个样本：新样本总和：，得新， 新样本总和：，得新 ， 因此新样本中心为. 设新的回归方程为，代入样本中心得： ，即新回归方程为. 所以，时预测值，因此残差为 . 【变式8-2】（25-26高二下·河南·阶段检测）为研究城市文旅新媒体推广对旅游消费的带动效应，某文旅部门统计了2025年7-12月某城市文旅短视频累计播放量（单位：亿次）与当月旅游总收入（单位：亿元）的统计数据，如下表：（   ） 月份 7 8 9 10 11 12 /亿次 2 3 4 5 6 7 /亿元 8 15 28 50 90 160 通过散点图分析发现，与的关系可用指数型回归模型拟合，回归方程为（，），令 ，得到 关于的回归方程为，相关系数为 ．则下列说法正确的是 附： ， ， ， ， ， ， ． A．关于的回归方程为，当每增加1亿次时，平均增加亿元 B． 与的相关系数 ，若用一元线性回归模型直接拟合与，得到的相关系数为，则 C．若2026年1月该城市文旅短视频累计播放量为8亿次，用该回归模型预测的当月旅游总收入约为299亿元 D．当旅游总收入为123亿元时，用该回归模型反推的播放量约为5.8亿次 【答案】C 【分析】根据回归直线经过样本点中心可知经过 ，得到，从而确定回归方程，由回归方程的性质判断每个选项. 【详解】根据回归直线的性质，必定经过，即 ， 于是，得， 则 ，，解得. A选项，由回归方程可知，当每增加1亿次时，变为原来的倍，A选项错误； B选项，由题知， 是指数相关的，因此 时， 的相关性更强，即，B选项错误； C选项， 时， ，C选项正确； D选项，令，则 ， 解得 ，D选项错误. 题型9 独立性检验卡计算与判断 【典例9-1】（25-26高二下·重庆北碚·期末）为了研究一种新的学习方法对学生数学成绩的影响，某研究中心随机选取了200名学生进行对比实验，其中100名学生采用新方法学习，100名学生采用传统方法学习.经过一个学期后，对学生的数学成绩进行评估，结果如下表： 新方法学习 传统方法学习 合计 数学成绩优秀 50 70 120 数学成绩不优秀 50 30 80 已知其中，且.根据小概率值的独立性检验，则（    ） A．新的学习方法与数学成绩有关 B．新的学习方法与数学成绩无关 C．新的学习方法与数学成绩有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 D．新的学习方法与数学成绩无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】B 【详解】零假设：新的学习方法与数学成绩无关， 因为， 所以，根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可认为新的学习方法与数学成绩无关，AC选项错误，B选项正确； 临界值用于判断小概率值是否足够小以至于拒绝零假设，D选项错误． 【典例9-2】（25-26高二下·广东茂名·期末）为研究某疾病与超声波检查结果是否有关，利用独立性检验的方法从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，利用列联表，计算可得，参照下表，得到的正确结论是（    ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．有的人超声波结果正常 B．有以上的把握认为“超声波检查结果与患该病无关” C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病有关” D．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“超声波检查结果与患该病无关” 【答案】C 【详解】由题意得， 则在犯错误的概率不超过的前提下， 认为“超声波检查结果与患该病有关”，故C正确. 方法技巧 1.列联表补齐：利用每行、每列数据总和，完成列联表中未知数据的计算补齐； 2.，其中为样本总容量； 3.对比临界值：若计算得到的大于临界值，则拒绝独立假设，认为两个变量之间有关联；反之，则没有充分证据判定两个变量有关联； 4.等高条形辅助：等高条形图中两组对应比例的差异越大，计算出的就越大，代表两个变量之间的关联性越强。 【变式9-1】（25-26高一上·北京西城·期末）为了解某校高三学生寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时)，现从该校高三年级随机抽取了部分同学进行调研，在获得这些同学每天平均学习的时间后，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则 （1）______； （2）若样本中每天学习时间在区间上的同学恰有2人，则共抽取了______位同学调研． 【答案】 【分析】（1）根据各组数据频率之和为1即可求出图中a的值； （2）利用区间内的频率求样本容量. 【详解】（1），解得； （2）设共抽取了位同学调研，则有，解得. 故答案为：； 【变式9-2】（25-26高二下·广东·期末）随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表. 三孩生育意愿 城市级别 合计 非一线 一线 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 合计 58 42 100 由，得 . 参照下表： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 根据小概率值的独立性检验，可以得到的结论是________. 【答案】有把握认为生育意愿与城市级别有关 【分析】由独立性检验的方法可得结论. 【详解】由于 ，所以有把握得出生育意愿与城市级别有关. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1.（2026·湖南株洲·模拟预测）甲校有2000名学生，乙校有2400名学生，丙校有2600名学生，为统计三校学生某方面的情况，采用分层随机抽样法抽取一个容量为70的样本，应在这三校分别抽取学生（     ） A．20人，24人，26人 B．26人，24人，20人 C．20人，26人，24人 D．24人，26人，20人 【答案】A 【详解】因为抽样比为， 所以甲校抽取人，乙校抽取人，丙校抽取人. 2.（2026·广东深圳·一模）某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在内的学生人数为（   ）    A．300 B．400 C．600 D．1200 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1求出的值，进而求出结果． 【详解】由频率分布直方图可得，， 解得， 所以成绩在内的学生人数为． 故选：B． 3.（2026·河南开封·模拟预测）随着电视剧《沉默的荣耀》的热播，剧中人物原型吴石将军的故居——位于福州市仓山区螺洲镇，其成为游客追寻先烈足迹、缅怀革命精神的热门“红色打卡地”.其中连续10日的游客人数依次为872，963，742，682，1322，1244，674，548，884，993，则这组数据的中位数为（    ） A．872 B．878 C．884 D．1283 【答案】B 【详解】将这10个数据从小到大排列，依次为548，674，682，742，872，884，963，993，1244，1322， 所以这组数据的中位数为. 4.（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）已知为随机变量和的样本相关系数，为随机变量和的样本相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则和正相关 B．若，则和负相关 C．若，则和的线性相关程度比和的线性相关程度强 D．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱 【答案】D 【详解】对于A，若，则X和Y负相关，A错误； 对于B，若，则M和N正相关，B错误； 对于C，若，，可得X和Y的线性相关程度比M和N的线性相关程度弱，C错误； 对于D，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强， 当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱，D正确． 5.（25-26高二下·重庆北碚·期末）（多选）对于样本相关系数，下列说法正确的是（    ） A．的正负可以反映成对样本数据是正相关还是负相关 B．的大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度 C．的值越大，成对样本数据之间线性相关的程度越强 D．的取值范围是 【答案】AB 【分析】由样本相关系数的定义进行判断． 【详解】对于A项，当时，称成对样本数据正相关，当时，称成对样本数据负相关，故A项正确； 对于B，C两项，当越接近1时，成对样本数据之间线性相关的程度越强， 当越接近0时，成对样本数据之间线性相关的程度越弱，故B项正确，C项错误； 对于D项，的取值范围是，故D项错误． 6．（2026·河北张家口·二模）（多选）从工厂生产的零件中随机抽出100个，测量其直径（单位：），将所得数据分为5组：，并整理得到频率分布直方图如图，记这100个零件的直径的中位数为，平均数为，极差为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由图可知，这5组的频率依次为， 则这5组的频数依次为， 将这100个零件的直径数据从小到大排序， 第31个数大于或等于5.18，第65个数小于5.28，第50与第51个数之和为， 所以，故A正确； 若每个区间中的数都取最大值， 平均数，故B正确； 极差是最大数减去最小的数，所以，故C正确； 众数是指这100个数中，相等的数的个数最多的那个， 而在中最多有30个数相等，中最多有35个数相等， 则众数，D错误. 7.（2026·陕西咸阳·三模）（多选）人工智能的普及使学生学习方式发生了改变，数字素养水平较高的学生能高效检索、筛选和整合信息，利用在线课程、模拟实验等工具进行深度学习.为了解学生的数字素养水平，某市采用分层抽样从全市10所学校中随机抽取500名学生进行问卷调查，并根据问卷结果进行打分记作学生的数字素养得分，满分100分，分数集中在内，频率分布表如下： 分组 频率 0.05 0.18 0.42 0.28 0.07 下列对本次调查的说法中正确的是（    ） A．学生数字素养得分的众数约为75 B．学生数字素养得分的中位数约为76.43 C．学生数字素养得分的第75百分位数约为84.6 D．学生数字素养得分的平均数约为76.4 【答案】ABD 【分析】根据众数，中位数，百分位数，平均数的定义，结合频率分布表计算即可. 【详解】对于A，学生数字素养得分的众数约为，故A正确； 对于B，因为， 所以中位数在区间内，设为， 则，解得， 所以学生数字素养得分的中位数约为，故B正确； 对于C，因为， 所以第75百分位数在区间内，设为， 则，解得， 所以学生数字素养得分的第75百分位数约为，故C错误； 对于D，学生数字素养得分的平均数约为 ，故D正确. 故选：ABD. 8.（25-26高二下·河南信阳·期末）（多选）据央视财经报道，全国骑行人数已达到亿．某机构对爱好骑行者进行了研究．若将每周骑行小时及以上的人称为“骑行达人”，每周骑行小时以下的人称为“非骑行达人”．该机构随机调查了名骑行爱好者，得到如下数据： 骑行达人 非骑行达人 男 女 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（     ） A．根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别无关联 B．根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联 C．根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联 D．根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联 【答案】AC 【分析】根据题目进行零假设，然后整理出列联表，进行卡方计算，即可根据独立性检验下结论来判断选项. 【详解】由题知，零假设：“骑行达人”与性别无关联， 则整理列联表如下： 骑行达人 非骑行达人 合计 男 女 合计 则， 因为， 所以零假设不成立， 根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联，C正确， 因为， 所以零假设成立， 根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别无关，D错误， 因为， 所以零假设成立， 根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别无关联，A正确，B错误. 9.（25-26高二下·上海·期末）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图．在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取的人数为______．    【答案】 【详解】因为，所以， 所以考核成绩在的频率为，成绩在的频率为，在的频率为， 因为样本容量为，所以考核成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为，在的学生人数为， 这组学生总人数为， 设在考核成绩在的学生中抽取人，由分层抽样的定义可知，抽样比为， 则，故应在考核成绩为的学生中抽取人. 10.（25-26高二下·上海·期末）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图．在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取的人数为______．    【答案】 【详解】因为，所以， 所以考核成绩在的频率为，成绩在的频率为，在的频率为， 因为样本容量为，所以考核成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为，在的学生人数为， 这组学生总人数为， 设在考核成绩在的学生中抽取人，由分层抽样的定义可知，抽样比为， 则，故应在考核成绩为的学生中抽取人. 11.（25-26高二下·全国·课后作业）博鳌亚洲论坛2024年年会于3月26日至29日在海南博鳌举行．为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了30名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与是否会俄语”的列联表中，______． 性别 是否会俄语 合计 会 不会 男 20 女 6 合计 18 30 【答案】8 【分析】根据列联表的性质，求出a，b，d的值，即可得答案. 【详解】由列联表的性质，可得：，可得， 所以． 故答案为：8 12．（25-26高一下·江苏泰州·阶段检测）总体由编号为00，01，02，…，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第3列和第4列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为__________． 附：第6行至第9行的随机数表 27  48  61  98  71  64  41  48  70  86  28  88  85  19  16  20 74  77  01  11  16  30  24  04  29  79  79  91  96  83  51  25 32  11  49  19  73  06  49  16  76  77  87  33  99  74  67  32 26  35  79  00  33  70  91  60  16  20  38  82  77  57  49  50 【答案】 16 【分析】依据随机数表法抽取样本的规则，从指定起始位置依次选取范围内的不重复编号，计数到第5个有效编号即可. 【详解】首先确定起始位置：随机数表第6行的第3列和第4列组成两位数字48，属于的编号范围，记为第1个有效编号； 从左到右依次选取后续两位数字，仅保留编号在范围内且不重复的结果： 1.选取61，数值大于49，舍去； 2.选取98，数值大于49，舍去； 3.选取71，数值大于49，舍去； 4.选取64，数值大于49，舍去； 5.选取41，符合要求，记为第2个有效编号； 6.选取48，与已选编号重复，舍去； 7.选取70，数值大于49，舍去； 8.选取86，数值大于49，舍去； 9.选取28，符合要求，记为第3个有效编号； 10.选取88，数值大于49，舍去； 11.选取85，数值大于49，舍去； 12.选取19，符合要求，记为第4个有效编号； 13.选取16，符合要求，记为第5个有效编号， 故第5个个体的编号为16. 创新提升 1.（25-26高二下·湖北随州·期末）从某学校获取了容量为400的简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 210 60 270 优秀 50 80 130 合计 260 140 400 某同学为了计算简洁，把表中所有数据都缩小为原来的（即去掉最后面那个0）后，代入公式，计算得出，则（    ） 附：统计量临界值表 0.10 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 A．该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联 B．该同学的计算方法正确，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联 C．该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩有关联 D．该同学的计算方法不正确，正确的计算结果应该为，根据小概率值的独立性检验，可以认为数学成绩与语文成绩没有关联 【答案】C 【分析】求出实际的值，根据独立性检验的知识逐一判断即可. 【详解】由题意可知该同学在计算时将都缩小了10倍， 又因为， 故计算得出的是实际值的， 即实际中， 所以该同学计算不正确，故A，B错误； 因为， 所以在犯错的概率不超过的前提条件下，认为“数学成绩与语文成绩有关联”,故C正确，D错误. 2．（2026·上海·模拟预测）若数据：的中位数是；数据：的平均数是． 则以下关于数据：的统计量，正确推断的序号是（） ①平均数一定是；②中位数可能是；③方差一定不是． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据已知条件推导的范围，逐一分析三个结论进行判断. 【详解】对于数据，中位数为：三个数排序后中间项为中位数，可得， 对于数据，平均数为：，得，因此，结合得， ①平均数一定是：五个数的总和为：， 平均数，①正确； ②中位数可能是：五个数从小到大排序，结合和， 可知这五个数从小到大排序为， 中位数是第三个数，当时，，排序为，中位数为， 符合条件，因此中位数可能是，②正确； ③方差一定不是，方差公式：， 代入化简得：，，令，函数对称轴为， 又该函数开口向上，故该函数在区间单调递减， 得，而，不在方差取值范围内，因此方差一定不是，③正确. 3.（25-26高二下·河南许昌·期末）（多选）根据2019年发布的《中国城市餐饮食物浪费报告》显示，我国仅餐饮业餐桌的粮食浪费每年就高达1800万吨，相当于5000万人一年的食物量．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”．某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下列联表，已知，，则下列判断正确的是（     ） 年龄 认可情况 认可 不认可 40岁以下 20 20 40岁以上（含40岁） 45 5 A．在该餐厅用餐的客人中大约有的客人认可“光盘行动” B．在该餐厅用餐的客人中大约有的客人认可“光盘行动” C．有的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄无关 D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关 【答案】AD 【详解】认可“光盘行动”的客人比例为，A正确，B错误， 由题设， 由，对应， 即在犯错误的概率不超过的前提下，有的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，C错误， 由，对应， 即在犯错误的概率不超过的前提下，有的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，D正确. 4.（2025·福建福州·模拟预测）（多选）近日，国家发展改革委等部门联合印发《完善碳排放统计核算体系工作方案》，指出要在2025年全面建立碳排放年报、快报制度，完善碳排放统计核算体系．专家在甲、乙、丙、丁四地2024年第4季度的周快报数据中随机抽取7周数据进行分析，整理出四地这7周各周内碳排放量超过的天数的数据特征： 地区 甲 乙 丙 丁 数据特征 中位数 3 中位数 1 均值 3 均值 2 众数 2 均值 <1 众数 4 方差 2 根据规定，若这7周中每周内碳排放量超过的天数都不多于5天，则可称该地区为低碳生态区．分析数据，四个地区中能判定为低碳生态区的是（   ） A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】BD 【分析】根据表中数据分别作出四个地方的数据分布，即可结合低碳生活区的定义求解. 【详解】将四地这7周各周内碳排放量超过的天数由小到大依次记为，，，，，，，分别对应第周． 对于甲地，由题可知（中位数），则可做表： 周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 天数 3 众数为二，可使，，显然可以是6或7， 此时第周内碳排放量超过的天数都多于5天，故无法判定甲地为低碳生态区； 对于乙地，由题可知（中位数），则可做表： 周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 天数 1 我们可以使，，，，尽可能小， 通过判断是否有可能来判断乙地是否能被判定为低碳生态区． 则，，可计算均值，化简得， 满足7周中每周内碳排放量超过的天数都不多于5天，因此可以判定乙地为低碳生态区； 对于丙丁，根据题意，我们无法直接判断对应的值， 但类似的，我们可以使，，，，，的和尽可能小， 通过判断是否有可能来判断丙地是否能被判定为低碳生态区． 则可以使，，，，，可做表： 周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 第周 天数 0 1 2 3 4 4 均值，解得， 即此时第周内碳排放量超过的天数都多于5天，故无法判定丙地为低碳生态区； 对于乙地，假设，则方差，不合题意， 故，即满足7周中每周内碳排放量超过的天数都不多于5天， 因此可以判定丁地为低碳生态区； 综上所述，四地中能判定为低碳生态区的是乙地和丁地． 故选：BD 5（25-26高一下·广东茂名·期末）（多选）某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”、“论语组”、“春秋组”、“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（    ） A．诗经组中位数为3，众数为2 B．论语组平均数为3，方差为1 C．春秋组平均数为3，众数为2 D．礼记组中位数为2，极差为4 【答案】BD 【分析】利用列举法判断AC，根据方差公式，判断B，根据极差的定义，判断D. 【详解】A.若该组选手的失分情况如下，1,2,2,2,3,3,4,5,6,7,满足中位数为3，众数为2， 但有选手失分超过6分，故A错误； B.该组每位选手的失分情况按照从小到大排列，，， 则方差， 即，若，， 所以每位选手的得分都不超过6分，故B正确； C.若该组选手的失分情况如下，0,2,2,2,2,2,4,4,5,7,这组数据满足平均数为3，众数为2， 但有选手失分超过6分，故C错误； D.因为中位数为2，则最低分小于等于2，又因为极差为4， 所以最该分小于等于6，该组选手失分没有超过6分的，故D正确. 故选：BD. 6.（25-26高二下·全国·课后作业）为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据： 患者性别 药效 合计 无效 有效 男 15 35 50 女 6 44 50 合计 21 79 100 设：服用此药的效果与患者的性别无关．则______（精确到小数点后3位），从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为______． 【答案】 4.882 5％ 【分析】计算，再由独立性检验得出结论. 【详解】由公式计算得． 因为，所以我们有的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而出错的可能性为． 故答案为：4.882；5％ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $