重难点培优02 基本不等式求最值问题全归纳（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式求最值核心考点，以重要不等式、基本不等式及不等式链为基础，构建“知识重构-题型精研-实战检测”系统复习框架，通过梳理公式变形、归纳9类典型题型技巧、设计分层练习，帮助学生夯实基础并突破解题难点。 讲义突出题型分类与技巧指导，如“1的代换”“分离转化对勾型”等通法，培养学生数学思维与模型意识，分层检测题适配不同学情，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生用数学语言解决最值问题的应考能力。

重难点培优02 基本不等式求最值问题全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 2 题型01 直接使用基本不等式与配凑法（★★★★★） 2 题型02 常数代换法（“1”的代换）（★★★★★） 3 题型03 变形后常数代换法（★★★★） 4 题型04 分离转化对勾型（★★★★） 4 题型05 消元法（★★★★★） 5 题型06 单、双、三角换法（★★★） 5 题型07 多次使用基本不等式（★★★） 6 题型08 多元型均值不等式（★★） 6 题型09 基本不等式交汇其他知识（★★★★） 7 03 实战检测·分层突破验成效 8 重难知识巩固 8 创新能力提升 10 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 重要不等式 1、公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【说明】，当且仅当时，等号成立． 2、常见变形：、、． 知识点02 基本不等式 1、公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 2、常见变形：； 3、常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； （），当且仅当时取等号； 知识点03 基本不等式链 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 题型精研·技巧通法提能力 题型01 直接使用基本不等式与配凑法 【技巧通法·提分快招】 1、利用基本不等式求最值 按照“一正、二定、三相等”的原则,即 (1)一正:符合基本不等式≥成立的前提条件,即a>0,b>0. (2)二定:化不等式的一边为定值. (3)三相等:必须存在等号成立的条件. 以上三点缺一不可. 2、拼凑法求解最值 其实质就是先通过代数式变形,拼凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值.拼凑后要保证各量满足基本不等式“一正、二定、三相等”的条件,尤其是要注意验证等号成立的条件. 1．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 2．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知实数，则的最小值是__________. 6．（2026·贵州贵阳·二模）若，且，则ab的最小值是______． 题型02 常数代换法（“1”的代换） 【技巧通法·提分快招】 形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. 1．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 2．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26高三上·河北保定·期中）设，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型03 变形后常数代换法 【技巧通法·提分快招】 1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型. 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解. 2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解. 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配. 3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解. 1．已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 3．（2025·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 4．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 5．（2026·湖南怀化·一模）已知，且，则的最小值为__________. 6．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知且，则的最小值为____. 题型04 分离转化对勾型 【技巧通法·提分快招】 形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 1．已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 2．（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________． 3．函数的值域为_____. 题型05 消元法 【技巧通法·提分快招】 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 3．（多选题）（2026·西藏日喀则·模拟预测）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 4．设均为正实数，满足，则的最小值为______. 5．已知，且，则的最大值为__________. 题型06 单、双、三角换法 1．已知，满足，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 2．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 3．已知实数，满足，则的最大值为_____. 4．（24-25高三上·河南·阶段检测）已知，则的最小值为______. 5．已知实数满足，则的最小值为______． 6．已知，，则的最小值为____. 题型07 多次使用基本不等式 【技巧通法·提分快招】 多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性. 1．（25-26高三上·湖南·期中）已知，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 2．已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B．4 C． D．8 3．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 4．已知正实数满足.若，则的最小值为________. 题型08 多元型均值不等式 【技巧通法·提分快招】 设均大于零，则记，， ，，则，其中等号成立的条件是.分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均. 1．我们知道，当且仅当时，等号成立，即的算术平均数的平方不大于平方的算术平均数.此结论可以推广到三元，即，当且仅当时，等号成立.已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 2．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．已知a，b为正数，且满足，则的最小值为______． 4．已知，则的最小值为________． 题型09 基本不等式交汇其他知识 1．（2026·辽宁·三模）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 3．（2026·江西·模拟预测）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（     ） A． B． C． D． 4．在中，M、N分别在边、上，且，，D在边上（不包含端点）.若，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 5．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数（且）的图象经过定点，若，当满足，时，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·湖南株洲·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）函数 的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（2026·河北·三模）已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高三上·辽宁·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．11 D．13 7．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数，正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 8．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 9．（2026·湖南永州·三模）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．已知是非负实数且，则的最小值为（   ） A．9 B．11 C． D． 11．已知满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 12．若实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．已知均为正实数，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C．6 D． 15．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 16．（多选题）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 17．（多选题）（25-26高三上·安徽·期末）已知正数，，满足，则（   ） A．的最大值为2 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 18．（25-26高三上·福建厦门·期中）设，，，则的最小值为__________. 19．（25-26高三上·北京·阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 20．函数在上的值域为______. 21．（2026·陕西咸阳·三模）已知，且，则的最小值为______． 22．已知，且，则的最大值为_________； 23．已知pq为实数，且满足，那么的最大值为______． 24．若实数a，b满足，则的最小值为________． 25．（2025·上海长宁·一模）已知均为正实数，且，则的最小值为___________． 26．已知，，且满足：，则的最小值等于________． 27．已知，则的最小值为______. 28．已知正实数 满足 ，则的最小值是_____. 29．若正实数a，b满足，则的最小值是________． 30．已知正实数、满足：，则的最大值为______，若实数，则的最小值为______． 创新能力提升 1．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知，则的最大值为（） A． B． C． D． 2．若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 3．已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 5．若，，则的最小值为____． 6．已知，，则的最小值为_________. 7．若，，则的最小值为______． 8．设为正实数，则的最小值是____________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优02 基本不等式求最值问题全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 2 题型01 直接使用基本不等式与配凑法（★★★★★） 2 题型02 常数代换法（“1”的代换）（★★★★★） 4 题型03 变形后常数代换法（★★★★） 6 题型04 分离转化对勾型（★★★★） 9 题型05 消元法（★★★★★） 11 题型06 单、双、三角换法（★★★） 13 题型07 多次使用基本不等式（★★★） 15 题型08 多元型均值不等式（★★） 18 题型09 基本不等式交汇其他知识（★★★★） 20 03 实战检测·分层突破验成效 23 重难知识巩固 23 创新能力提升 38 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 重要不等式 1、公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【说明】，当且仅当时，等号成立． 2、常见变形：、、． 知识点02 基本不等式 1、公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 2、常见变形：； 3、常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； （），当且仅当时取等号； 知识点03 基本不等式链 即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 题型精研·技巧通法提能力 题型01 直接使用基本不等式与配凑法 【技巧通法·提分快招】 1、利用基本不等式求最值 按照“一正、二定、三相等”的原则,即 (1)一正:符合基本不等式≥成立的前提条件,即a>0,b>0. (2)二定:化不等式的一边为定值. (3)三相等:必须存在等号成立的条件. 以上三点缺一不可. 2、拼凑法求解最值 其实质就是先通过代数式变形,拼凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值.拼凑后要保证各量满足基本不等式“一正、二定、三相等”的条件,尤其是要注意验证等号成立的条件. 1．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 2．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 3．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求出，即，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即、时，等号成立， 即的最小值为. 5．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知实数，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】将变形为，利用基本不等式求解范围得到最小值. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为 6．（2026·贵州贵阳·二模）若，且，则ab的最小值是______． 【答案】4 【详解】因，则，整理得， 解得，即，当且仅当时取等， 故当时，ab取得最小值为4. 题型02 常数代换法（“1”的代换） 【技巧通法·提分快招】 形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. 1．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据基本不等式中“1”的应用直接计算即可求得结果. 【详解】因为，则； 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值是16. 故选：C 2．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由条件和基本不等式可得最小值. 【详解】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 3．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 4．（25-26高三上·河北保定·期中）设，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】应用“1”的代换，将目标式化为，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为9. 故选：B 5．已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 故选：A 题型03 变形后常数代换法 【技巧通法·提分快招】 1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型. 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解. 2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解. 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配. 3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解. 1．已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】将条件变为，代入所求，化简整理，利用基本不等式“1”的代换，即可得答案. 【详解】由题意得，则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：A 2．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据条件，变形为，然后用常数代换思想 ，利用均值不等式求解最小值. 【详解】已知，则， ， 当且仅当时，即时取等号，联立 解得，满足 为正实数，等号能够取到，所以最小值为. 3．（2025·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】可利用配凑法与“1的妙用”，结合基本不等式进行求解. 【详解】由题可知，，又因为, 则 , 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此的最小值为4， 故的最小值为3. 故选：D. 4．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为正数x，y满足，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 5．（2026·湖南怀化·一模）已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用1的代换，再结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】由 ，得 ，即 （）， 则， 当且仅当 ，即，再结合 ， 可解得 ，满足条件，因此的最小值为 . 6．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知且，则的最小值为____. 【答案】 【分析】由待定系数法可得，则，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因，则，设， 则，. 则 ， 当且仅当，结合，即时取等号. 故答案为： 题型04 分离转化对勾型 【技巧通法·提分快招】 形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 1．已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 2．（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 3．函数的值域为_____. 【答案】 【分析】方法一：先利用分母令 进行换元，将函数等价转化成函数，再利用均值不等式和函数单调性求出函数最值即可求值域； 方法二：利用导数判断函数的单调性即可求值域. 【详解】方法一： 由， 令， ，则， 因为，当且仅当即时等号成立，所以， 由于在是单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，， 则此时的最大值为， 所以函数的值域为， 即原函数的值域为； 方法二： 由，求导得， 令，在内解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 而 所以的值域为， 故答案为：. 题型05 消元法 【技巧通法·提分快招】 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 2．（25-26高三下·安徽合肥·阶段检测）已知正数x，y满足，则的最小值为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由可得，即， 故，当且仅当，时等号成立． 3．（多选题）（2026·西藏日喀则·模拟预测）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】CD 【详解】因为，所以，，， 当时，， 当时，， 结合选项，的值可能为或． 4．设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】4 【详解】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为4. 5．已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据题意利用换元法将原式变为，再由，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题可得， 所以， 则，当且仅当， 即时取等号， 所以， 即的最大值是. 故答案为：. 题型06 单、双、三角换法 1．已知，满足，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】变形给定等式，换元，用表示，再代入，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，令，则， 解得，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故B正确. 故选：B. 2．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，则得，，利用“1”的代换及基本不等式求最值. 【详解】正数满足，则， 令，，则有，，， 则， 由， 当且仅当时等号成立，由解得， 即当，时，，即的最小值为. 故选：C. 3．已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 4．（24-25高三上·河南·阶段检测）已知，则的最小值为______. 【答案】 【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可. 【详解】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 5．已知实数满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】由条件可得，令，，则解得，代入化简整理，利用基本不等式求最值即可得出． 【详解】由，可得， 令，，则． 联立可得，，， 则， 当且仅当，即，或，时，即，或，时取等号． 故答案为：． 6．已知，，则的最小值为____. 【答案】 【分析】把通过配方整理为完全平方式和的形式，利用三角换元即可求解. 【详解】因为， 令，，解得，， 所以 ，， 因为，所以的最小值为. 故答案为：. 题型07 多次使用基本不等式 【技巧通法·提分快招】 多次用基本不等式，需注意取等条件的一致性. 1．（25-26高三上·湖南·期中）已知，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 故选：D. 2．已知，那么，当代数式取最小值时，的值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】根据题意有，当且仅当，即时取等号，所以，结合以及两个不等式等号成立的条件可求出的值，从而可求得答案 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号 ，所以，所以， 当且仅当，即时取等号，其中第一个不等式等号成立的条件为， 第二个不等式等号成立的条件为，所以当，时，取最小值，此时 故选：A 3．（25-26高三上·天津河东·期末）已知正实数，，满足，则的最小值为（   ） A． B．16 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据已知等式，二次运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正实数，，满足， 所以 ， 因为，是正实数， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，， 又因为是正实数， 所以， 所以，当时取等号， 又因为， 当且仅当时取等号， 即，当时取等号， 所以， 因此当，时，的最小值为. 故选：B 4．已知正实数满足.若，则的最小值为________. 【答案】 【分析】由得,化简之后结合基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以. 因为为正实数，所以， 所以. 所以 当且仅当即时等号成立. 题型08 多元型均值不等式 【技巧通法·提分快招】 设均大于零，则记，， ，，则，其中等号成立的条件是.分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均. 1．我们知道，当且仅当时，等号成立，即的算术平均数的平方不大于平方的算术平均数.此结论可以推广到三元，即，当且仅当时，等号成立.已知，若不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意，计算即可求解. 【详解】当时，由题中的推广可得， 所以，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为， 由恒成立，可得， 故的最小值为. 2．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】应用常值代换结合基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为,且, 所以, 当且仅当,即时取等号，因此的最小值为6． 故选：B. 3．已知a，b为正数，且满足，则的最小值为______． 【答案】2 【分析】根据三个正数的基本不等式得出，即，由通分结合基本不等式得出结果. 【详解】由基本不等式可得，， 所以，又因为， 所以有，解得，当时取等号， 又，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为2. 故答案为：2. 4．已知，则的最小值为________． 【答案】 【分析】变形后，利用四元基本不等式进行求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 题型09 基本不等式交汇其他知识 1．（2026·辽宁·三模）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解. 【详解】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 3．（2026·江西·模拟预测）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列及等比数列下标和性质结合基本不等式计算求解判断. 【详解】数列为等差数列， 数列为等比数列， ．又 ．当且仅当时取等号，A错误，B正确． 当时，； 当时，，当且仅当时取等号， 与的大小不确定，所以C，D，错误； 4．在中，M、N分别在边、上，且，，D在边上（不包含端点）.若，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】    由，，可得， 可知三点共线，所以， 则， 由基本不等式可知，当且仅当时，即时取等号， 所以. 5．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数（且）的图象经过定点，若，当满足，时，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的图象所过定点的坐标，可得出，于是得出，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】对于函数（且）， 由可得，且，故，， 则有，即，故， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 6．（25-26高三下·湖南株洲·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，结合余弦定理可得，利用两角差的正切公式可得，利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为成等差数列，所以， 由余弦定理，，， 再由正弦定理，，即，且， 所以， 当且仅当时，等号成立. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）函数 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 故选：D 2．（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得，，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 3．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】将，变式得，代入到目标式中，再利用基本不等式性质，求解即可. 【详解】已知正实数满足，所以（，因为） 将代入目标表达式，得：， 化简：， 利用基本不等式可得：， 当且仅当，即，，（符合为正实数）. 所以，的最小值为： 故选：D 4．（2026·河北·三模）已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用“1”的代换和基本不等式判断即可． 【详解】由a，b为正实数且. 根据基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，故B错误； ，当且仅当时等号成立，故C错误； 根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得， 当且仅当时等号成立，即，故D错误. 5．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】方法一：变形后，利用四元基本不等式进行求解； 方法二：利用两次基本不等式求出答案. 【详解】方法一：， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 方法二：， 故， 当且仅当，且时，即时，等号成立． 故的最小值为4； 故选：D 6．（25-26高三上·辽宁·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．11 D．13 【答案】B 【分析】先用1的代换化简，再用1的妙用结合基本不等式求解即可. 【详解】由题可知， 所以， 当且仅当，时取等号. 故的最小值为. 故选：B. 7．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数，正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为，，所以是奇函数； 又，所以， 又，所以在上单调递增，所以，即； 又均为正数，所以， 当且仅当时，即，时等号成立， 故的最小值为9，故D正确. 8．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 9．（2026·湖南永州·三模）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 两边同除以，得， 所以，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以最大值为． 10．已知是非负实数且，则的最小值为（   ） A．9 B．11 C． D． 【答案】D 【分析】先化简已知分式等式，转化的定量关系，再利用基本不等式性质 “积定，为定值”，求 “和的最小值”即可. 【详解】因为，所以， 即：，  所以：， 化简得：， 因，故， 所以：， 当且仅当时，基本不等式的等号成立， 又因为 所以即， 所以当时，的最小值为. 故选：D 11．已知满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】令，则，化简，利用基本不等式即可 【详解】由，得． 令，则，解得， 则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6． 故选：D． 12．若实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知等式化为，令，把目标分式转化齐次式，，再用基本不等式求出最大值. 【详解】由可得， 令，则，， 所以，. 因为求最大值，所以，又， 所以， 当且仅当时取等号，结合可得， 进一步可得或， 所以的最大值为. 故选：B. 13．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案. 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 14．已知均为正实数，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先将分式进行化简，然后利用基本不等式的1的妙用求最小值. 【详解】因为，， 又， 则， 由可得， 不妨设， 则问题转化为当时，求的最小值， ， 当，即时取得等号， 即，解得， 此时最小值是. 故选：D 15．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】首先可得，则，从而得到，再由基本不等式求出的最大值，最后利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 又，，为正数， 所以，所以； 所以，由， 当且仅当，即时取等号， 所以， 当且仅当，即，时，取最小值. 所以的最小值为，当且仅当，，时取等号. 故选：D. 16．（多选题）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号．故D正确. 故选：AD 17．（多选题）（25-26高三上·安徽·期末）已知正数，，满足，则（   ） A．的最大值为2 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于ABC，利用基本不等式即可判断；对于D，根据消元，结合二次函数的最值即可判断. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 当且仅当时，等号成立，故B正确． 对于C，， ， 当且仅当即时，等号成立，故C正确． 对于D，， ，， 当时有最小值，故D正确． 故选：BCD. 18．（25-26高三上·福建厦门·期中）设，，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】借助基本不等式“1”的活用计算即可得. 【详解】， 当且仅当且，即、时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 19．（25-26高三上·北京·阶段检测）若，则函数的最小值为______，此时______. 【答案】 【分析】由题设，化并应用基本不等式求其最小值，并确定取值条件即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 20．函数在上的值域为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，按分类，结合基本不等式求出值域. 【详解】当时，； 当时，令，，则， ，当且仅当，即时取等号，此时， 所以所求值域为. 故答案为： 21．（2026·陕西咸阳·三模）已知，且，则的最小值为______． 【答案】0 【详解】已知，则， ， ， ， 设，则，， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为0． 22．已知，且，则的最大值为_________； 【答案】 【分析】先观察条件等式和所求式子，由“和定积最大”将条件等式变形成两因式之和为定值的形式. 【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“”．即的最大值为. 故答案为： 23．已知pq为实数，且满足，那么的最大值为______． 【答案】2 【分析】构造三元基本不等式，即可求解. 【详解】， 当且仅当时等号成立. 故答案为：2 24．若实数a，b满足，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】由题意设，则，可得，，化简所求利用基本不等式即可求解. 【详解】因，则，即， 令，则，可得，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 25．（2025·上海长宁·一模）已知均为正实数，且，则的最小值为___________． 【答案】4 【分析】由可得，所以原式可化为①，令，利用基本不等式求出的范围，则①式可化为，再次利用基本不等式求出的范围即可得解.（注意两次应用基本不等式，等号成立的条件必须相同） 【详解】由可得，所以原式①. 令，当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以. 所以①式可化为原式. 令，则， 当且仅当，即，即时等号成立，所以， 所以的最小值为4. 故答案为：4 26．已知，，且满足：，则的最小值等于________． 【答案】48 【分析】利用常值代换和基本不等式即可求得最小值. 【详解】因，且， 则 （当且仅当时等号成立） ，当且仅当即时等号成立. 所以的最小值等于. 故答案为：. 27．已知，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】令，则，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，则， 令，由可知，即， 所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故答案为： 28．已知正实数 满足 ，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】先对已知条件变形因式分解，令，解出然后换元化简利用基本不等式求其最值. 【详解】对已知变形有因式分解得，设，则，因为都是正实数， 所以，联立方程组，解得，因为所以，故， 所以 ，当且仅当，时取最小值. 故答案为: 29．若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【答案】/0.25 【分析】利用换元法和分离常数的思路将式子整理为，然后根据“1”的运用求最值. 【详解】由题意得， 令，，则，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 30．已知正实数、满足：，则的最大值为______，若实数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】对于第一空，利用基本不等式，再利用换元法令，再解一元二次不等式即可得解；对于第二空，先将整理为，再利用换元法令，将整理为，再利用基本不等式求得该式的最小值为，再运用配凑法与基本不等式求得的最小值即可得解. 【详解】对于第一空：，当且仅当时等号成立. 令，则可化为， 解得，则，，当且仅当时等号成立，故的最大值为； 对于第二空：可整理为， 令，则. ， 当且仅当，即时，即时，等号成立， 即最小值为，即. 又因为， 当且仅当，即时，等号成立. 综上，当且仅当时，取到最小值 故答案为：①；②. 创新能力提升 1．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）已知，则的最大值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法转换为单变量函数，结合导数求极值，并结合定义域确定最值. 【详解】令 则，由条件得. 目标式化为：， 由得， 代入得：， 求导得：， 令，， 当，，，， 在取得极大值， 此时，，，则， 故最大值为. 故选：D 2．若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由条件可得，可以得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由条件可得， 所以，所以，所以， 所以，所以， 当且仅当，且，即，，等号成立. 故选：B. 3．已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件得到，通过换元，得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 令， 因为都是正数， 所以即， 且，同时， 所以     当且仅当时等号成立，此时. 故选：A 4．“，”是假命题，则实数的最大值为_______． 【答案】6 【分析】首先利用命题的否定将命题变为真命题，分离参数后结合均值不等式求的最大值. 【详解】因“，”是假命题，故命题的否定为，为真命题， 分离参数可得： 令，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 即当时，不等式右侧表达式取得最小值为6，所以的最大值为6. 5．若，，则的最小值为____． 【答案】 【分析】令，则，然后多次利用基本不等式可得答案. 【详解】令，则， ， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 6．已知，，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】解法一：设，，则，，可得出，结合基本不等式求解即可； 解法二：由基本不等式可得，，再利用不等式的可加性可得出的最小值. 【详解】法一：设，，则，， 则. 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，，则，， 由基本不等式可得， ， 上述两个不等式相加可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. 7．若，，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】方法一：拆分根号内部构造均值不等式，匹配系数求解待定参数 ，最后利用均值不等式的放缩即可求解； 方法二：利用三角换元，结合双曲函数进行求解即可. 【详解】法一：（待定系数法）设，， 要得到最小值，分子为分母的倍数，故，解得，，， 法二：（三角代换）令，，则原式可化为，其中； 由二次函数性质可知当时，的最小值为， 故答案为：． 8．设为正实数，则的最小值是____________． 【答案】 【分析】设，从而用表达出，从而原式等于，利用基本不等式求出最值，验证取等条件后得到答案. 【详解】设， 则， 则， ， ， 故 ， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 验证取等条件，显然， ，，故，，， 代入可得，故等号成立 . 故答案为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $