2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以基础巩固为核心，分层设计从单一判定到综合应用，通过概念辨析、图形分析与参数计算，培养运算能力与几何直观，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平行/垂直的斜率关系|直接考查概念辨析（如第5题判断说法正确性）| |中档层|坐标与图形性质综合|结合几何图形分析（如第6题判定四边形形状）| |提升层|参数计算与分类讨论|含参数问题求解（如第15题由平行垂直求参数值）|

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定限时训练 1．（25-26高二·江西·课后作业）已知直线的倾斜角为45°，直线过点，，则与的位置关系是(   ) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．平行或重合 【答案】D 【分析】由斜率公式与直线的位置关系判断， 【详解】由题意得的斜率为1，而，则两直线斜率相等，纵截距不确定， 故与的位置关系是平行或重合， 故选：D 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】利用两直线的位置关系求解. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C 3．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知直线的倾斜角的正切值为，直线与垂直，则的斜率是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据两直线垂直其斜率乘积为的结论即可得到答案. 【详解】设直线和的斜率分别为， 由题意得直线的斜率，因为直线与垂直， 则，则. 故选：D. 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）若直线l₁经过两点A（4，2y+1），B（2，-3），直线l₂的倾斜角为，且， 则y等于（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】根据直线平行时斜率相等，直接解题即可. 【详解】因为直线l₁经过两点A（4，2y+1），B（2，-3），所以直线l₁的斜率为， 因为直线l₂的倾斜角为，所以直线l₂的斜率为， 因为，所以，所以，所以. 故选：B 5．（25-26高一·全国·课后作业）下列说法正确的个数有（ ）个. ①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若，则； ③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据直线平行、垂直等有关知识对四个说法进行分析，从而确定正确选项. 【详解】①，两条直线的斜率相等，这两条直线可能重合，所以①错误. ②，两直线平行，这两条直线可能倾斜角均为直角，斜率不存在，所以②错误. ③，两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在， 如，则这两条直线的夹角为，所以③错误. ④两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行，正确. 所以正确的说法有个. 故选：A 6．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（    ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 【答案】B 【分析】结合直角梯形的性质，利用两直线间的平行和垂直关系来判断即可得出结论. 【详解】，，则， 所以,与不平行， 因此 故构成的图形为直角梯形. 故选：B. 7．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设点C的坐标，讨论当分别为直角时的情况，求得点C的坐标，得满足题意的三角形共有3个. 【详解】设.显然直线斜率都存在. 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法二：若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形； 若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 8．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）（多选）下列命题中，不正确的是（    ） A．如果两条直线平行，则它们的斜率相等 B．如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数 C．如果两条直线斜率之积为，则这两条直线互相垂直 D．如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴 【答案】ABD 【分析】利用两直线平行、垂直的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，两条平行直线都垂直于x轴时，它们的斜率不存在，A错误； 对于B，两条互相垂直的直线中一条垂直于x轴时，该直线斜率不存在，B错误； 对于C，两条直线斜率之积为，则这两条直线互相垂直，C正确； 对于D，直线的斜率不存在，该直线可能与y轴重合，D错误. 故选：ABD 9．（2026高二·全国·专题练习）（多选）(多选)设点，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】依题意，直线的斜率分别为：，， ，，， 由得，故A正确； 由得，由得，故B，D正确； 而得与不平行，即C不正确. 10．（25-26高二上·湖南岳阳·阶段检测）（多选）已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 【答案】BC 【分析】求出直线的斜率可判断A；由两直线的位置关系可判断B，C，D. 【详解】对于A，，所以直线的方向向量为，A错误. 对于B，因为，所以，B正确. 对于C，因为，所以，C正确. 对于D，因为， 所以四边形不是平行四边形，D错误. 故选：BC. 11．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知点和，点P在y轴正半轴上，且∠APB为直角，则P点坐标为__________. 【答案】 【分析】利用两直线垂直条件可得两直线斜率之积为，从而可求得坐标. 【详解】由点P在y轴正半轴上，可设点， 由点和，可得 因为∠APB为直角，所以， 即， 因为，所以，即点， 故答案为： 12．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）已知直线过两点，且，则直线的斜率为__________． 【答案】/ 【分析】根据直线斜率的定义及互相垂直直线斜率间的关系得解. 【详解】因为直线过， 所以， 因为， 所以， 故答案为：. 13．（25-26高二上·安徽·阶段检测）在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为______. 【答案】 【分析】求出的平分线的倾斜角，得到斜率. 【详解】因为，所以， 因为点在第一象限，且，所以， 所以直线的倾斜角为，所以， 设的平分线为直线，则直线的倾斜角为， 所以， 即的平分线所在直线的斜率为. 14．（2026高二·全国·专题练习）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解． 【详解】（1）由，，得的中点； 则边上的中线的斜率为． （2）由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为． 15．（25-26高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题可知直线的斜率存在且， 若则直线的斜率也存在， 由， 得，即解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时，此时斜率存在，不符合题意， 当时，直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率也存在，且， 即，即， 解得或， 所以当或时，. 2 / 7 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定限时训练 1．（25-26高二·江西·课后作业）已知直线的倾斜角为45°，直线过点，，则与的位置关系是(   ) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．平行或重合 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 3．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知直线的倾斜角的正切值为，直线与垂直，则的斜率是（   ） A． B． C．3 D． 4．（25-26高二上·天津·阶段检测）若直线l₁经过两点A（4，2y+1），B（2，-3），直线l₂的倾斜角为，且， 则y等于（   ） A． B． C．0 D．2 5．（25-26高一·全国·课后作业）下列说法正确的个数有（ ）个. ①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若，则； ③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（    ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 7．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（25-26高二上·河南焦作·阶段检测）（多选）下列命题中，不正确的是（    ） A．如果两条直线平行，则它们的斜率相等 B．如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数 C．如果两条直线斜率之积为，则这两条直线互相垂直 D．如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴 9．（2026高二·全国·专题练习）（多选）(多选)设点，则有（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·湖南岳阳·阶段检测）（多选）已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 11．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知点和，点P在y轴正半轴上，且∠APB为直角，则P点坐标为__________. 12．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）已知直线过两点，且，则直线的斜率为__________． 13．（25-26高二上·安徽·阶段检测）在直角坐标系中，已知点，点在第一象限且，则的平分线所在直线的斜率为______. 14．（2026高二·全国·专题练习）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜率． 15．（25-26高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 2 / 7 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $