2.3.1 两条直线的交点坐标 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 围绕“两条直线的交点坐标”，分层设计基础（1-5单选）、中档（6-10单选/多选）、提升（11-15填空/解答）三级梯度，从单一知识点应用到综合问题解决，适配新授课知识巩固与能力提升，体现运算能力、推理意识与应用意识的培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一交点坐标及应用|直接考查交点求解、垂直直线方程等基础运算，如第1、3题| |中档|两条/三条直线综合|涉及交点位置范围、多直线相交情况辨析，如第5、8题多选| |提升|综合应用与探究|通过填空（第11题交点象限范围）、解答题（第15题构成三角形条件）深化模型构建与问题解决|

2.3.1 两条直线的交点坐标限时训练 1．（25-26高二上·山东·阶段检测）已知直线与相交于点P，则过点P且与垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·全国·期中）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 8．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）（多选）若三条直线，和共有三个不同的交点，则实数a的值可以是（    ） A． B．1 C． D．3 9．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）（多选）已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·全国·期中）（多选）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 11．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是______． 12．（2026高二上·河南安阳·专题练习）直线过两直线和的交点，且与直线平行，则直线的方程是______． 13．（25-26高二上·浙江宁波·期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则__________． 14．（25-26高二上·山西·期中）已知直线：，：. (1)求过点且与垂直的直线方程； (2)求过与的交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 15．（25-26高二上·广西钦州·开学考试）已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 2 / 7 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.1 两条直线的交点坐标限时训练 1．（25-26高二上·山东·阶段检测）已知直线与相交于点P，则过点P且与垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直两直线方程的特征进行求解即可. 【详解】由得所以， 设与垂直的直线方程为． 把代入，得，解得，所以， 故选：B． 2．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 3．（25-26高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解. 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：D 4．（25-26高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，进而得是直线上的点，将点代入直线即可得解. 【详解】联立，解得， 所以是直线上的点， 代入直线得，解得. 故选：B. 5．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出两条直线的交点后可求的取值范围. 【详解】由可得， 因为两条直线的交点在第一象限，故且，故， 故，解得或. 故选：A. 6．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线和交于点，直线和交于点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立两直线方程分别解得点坐标，再由两点式即可得出直线的方程. 【详解】联立，即； 联立，即； 故直线的方程为，即． 故选：C 7．（25-26高二上·全国·期中）已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 【答案】D 【分析】利用至少两直线平行或三条直线交于同一点进行求解． 【详解】三条直线，与不能围成三角形， ①若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ②若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ③若三条直线交于同一点，则联立，得， ∴交点坐标为，代入直线，得， ∴． 综上所述，则或或. 故选：D. 8．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）（多选）若三条直线，和共有三个不同的交点，则实数a的值可以是（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】BC 【分析】由题意，直线不过另外两条直线的交点，且与它们不平行，列出不等式即可得解. 【详解】联立直线方程，即直线的交点为， 直线的斜率为，直线的斜率为， 所以不过，且与都不平行， 即，所以，满足的条件为且且. 故选：BC. 9．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）（多选）已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线与，可得两直线交点坐标，代入，可得解. 【详解】由题意可得这三条直线交于同一点，联立， 解得直线和直线的交点坐标为， 把交点坐标代入直线的方程可得， 解得或， 故选：AC． 10．（25-26高二上·全国·期中）（多选）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线方程，求出交点坐标，根据交点所在象限列出不等式组即可求解. 【详解】联立方程， 解得 ， 因为交点在第四象限， 可得，解得 故选：AC. 11．（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】解方程组求得交点坐标，再结合已知建立不等式并求解. 【详解】由，解得，即直线与直线交于点， 依题意，，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 12．（2026高二上·河南安阳·专题练习）直线过两直线和的交点，且与直线平行，则直线的方程是______． 【答案】 【分析】根据直线系方程的性质，两直线平行的关系求解. 【详解】设过两直线和的交点的直线系方程为， 即． 由于与平行，所以，解得． 当时，直线的方程是，故符合题意. 故答案为： 13．（25-26高二上·浙江宁波·期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则__________． 【答案】或1 【分析】由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为，求解即可. 【详解】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点， 若与垂直，则； 若与垂直，则．所以或1． 故答案为：或1 14．（25-26高二上·山西·期中）已知直线：，：. (1)求过点且与垂直的直线方程； (2)求过与的交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先根据直线垂直设出直线方程，再代入计算求参即可得出直线方程； （2）先求出交点，再分截距都为0及截距相等且都不为0时两种情况设直线再代入求解. 【详解】（1）设与垂直的直线方程为， 将点代入得，解得， 所以过点且与垂直的直线方程为. （2）由得则直线与的交点坐标为. 当所求直线在两坐标轴上的截距都为0时，即直线过，此时直线方程为，不合题意舍， 当所求直线在两坐标轴上的截距相等且都不为0时， 设所求直线方程为，将点代入得， 所以所求直线方程为， 综上，所求直线方程为. 15．（25-26高二上·广西钦州·开学考试）已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标； （2）在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为和不为两种情况讨论即可； （3）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可. 【详解】（1）由题意得，，解得，点的坐标为． （2）设所求直线为， （ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即； （ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． （3）（ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 2 / 7 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $