2.3.1两条直线的交点坐标同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练通过A、B、C三级分层设计，以"基础巩固-能力提升-素养创新"为路径，系统强化"两条直线的交点坐标"知识点，适配新授课教学，兼顾知识掌握与思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|交点坐标求解、直线平行垂直条件、过定点问题|选择填空为主，直接应用概念，如第1题求交点、第3题平行充要条件，夯实运算能力| |B级|三线共点判定、含参直线过定点及斜率范围|解答题结合推理，如第11题三角形构成条件需排除平行与共点，培养逻辑思维| |C级|截线段中点、平面区域划分|综合探究题，如第14题平面分6部分需考虑平行或共点，发展创新意识与空间观念|

2.3.1　两条直线的交点坐标 A级　必备知识基础练 1.直线l1:2x-3y+3=0,直线l2:2x+y-5=0,则直线l1与l2的交点坐标为(　　) A.(1,) B.(-) C.(,4) D.(,2) 2.(2026云南昆明高二期中)直线l经过l1:x+y+1=0和l2:x-2y+4=0的交点,且经过点(-1,3),则直线l的方程是(　　) A.2x+y-1=0 B.2x-y+5=0 C.2x+y-5=0 D.2x+y+5=0 3.(2026四川高二期中)已知直线l1:(a+2)x-2y-1=0,l2:4x-ay+a-3=0,则“l1∥l2”的充要条件是(　　) A.a=-4 B.a=2 C.a=2或-4 D.a=-2或4 4.若直线x-ay=0与直线2x+y-1=0的交点为(1,y0),则实数a的值为(　　) A.-1 B.- C.1 D.2 5.经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线的一个方向向量v=(-6,4)的直线方程为(　　) A.2x-y-1=0 B.2x+y-3=0 C.3x-2y-5=0 D.2x+3y-5=0 6.方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线(　　) A.恒过定点(-2,3) B.恒过定点(2,3) C.恒过点(-2,3)和点(2,3) D.都是平行直线 7.若直线kx-y+2k-1=0恒过点A,且点A在直线mx+ny+2=0上,其中m,n均为正数,则mn的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 8.(多选题)(2026广西高二期中)已知直线l1:ax+y-3=0,l2:x-2y+3=0,l3:x+y-6=0,则下列结论正确的是(　　) A.l2在x轴上的截距为3 B.若l1∥l2,则a=- C.若l1⊥l2,则a=2 D.若l1,l2,l3相交于一点,则a=-1 9.(2026北京高二期中)经过直线3x+4y-2=0与直线x-y+4=0的交点,且垂直于直线x-2y-1=0的直线方程为　　　　　　　　　　.  10.(2026陕西高二期中)已知直线l经过直线x-2y+4=0与4x+3y+5=0的交点P. (1)若直线l平行于直线2x-y+1=0,求直线l的方程; (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程. B级　关键能力提升练 11.若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0能构成三角形,则a应满足的条件是(　　) A.a=1,或a=-2 B.a≠±1 C.a≠1,且a≠-2 D.a≠±1,且a≠-2 12.(2026浙江高二期中)直线l的方程为(a+2)x+(a-2)y-2a=0(a为常数),其恒过定点　　　　　.  13.(2026福建高二期中)已知直线l:kx-y+1+k=0(k∈R). (1)求直线l所过的定点A的坐标; (2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围; (3)已知P(1,5),若点P到直线l的距离为d,求d最大时直线l的一般式方程. C级　学科素养创新练 14.(2026北京高二期中)过点P(0,1)作直线l,且直线l1:2x+y-8=0,l2:x-3y+10=0. (1)若直线l被直线l1:2x+y-8=0,l2:x-3y+10=0所截得的线段被点P平分,求直线l的方程; (2)若直线l,l1,l2将平面分成6个部分,求直线l的方程. 答案 1.D 2.B　(方法1)联立方程组解得则两直线交点为(-2,1),故直线l过点(-2,1). 又l经过点(-1,3),则直线l斜率为k==2, 故直线l的方程为y-3=2(x+1),即2x-y+5=0. (方法2)设直线l的方程为x+y+1+λ(x-2y+4)=0, 因为直线l经过点(-1,3),代入方程,得3-3λ=0,解得λ=1,则直线l的方程为x+y+1+x-2y+4=0,即2x-y+5=0.故选B. 3.A　因为l1∥l2,所以(a+2)a=8, 即(a+4)(a-2)=0,解得a=2或-4. 当a=2时,l1:4x-2y-1=0,l2:4x-2y-1=0,此时两直线重合,舍去;当a=-4时,l1:-2x-2y-1=0,l2:4x+4y-7=0,此时l1∥l2.故“l1∥l2”的充要条件是“a=-4”.故选A. 4.A　∵直线x-ay=0与直线2x+y-1=0的交点为(1,y0), ∴解得a=-1.故选A. 5.D　联立解得即直线l1与直线l2的交点为(1,1).又直线的一个方向向量v=(-6,4),所以直线的斜率为-,故该直线方程为y-1=-(x-1),即2x+3y-5=0.故选D. 6.A　(a-1)x-y+2a+1=0可化为-x-y+1+a(x+2)=0, 由 故该直线恒过定点(-2,3). 7.B　因为kx-y+2k-1=0,则k(x+2)-(y+1)=0.令解得即直线kx-y+2k-1=0恒过点A(-2,-1).又因为点A在直线mx+ny+2=0上,则-2m-n+2=0,可得2m+n=2. 又m>0,n>0,则2m+n=2≥2,即0<mn≤,当且仅当2m=n=1时,等号成立, 所以mn的最大值为.故选B. 8.BC　对于A,l2:x-2y+3=0,令y=0,解得x=-3,所以l2在x轴上的截距为-3,故A错误;对于B,若l1∥l2,则,解得a=-,故B正确;对于C,若l1⊥l2,则a×1+1×(-2)=0,解得a=2,故C正确;对于D,联立方程组解得若l1,l2,l3相交于一点,则点(3,3)在直线l1上,即3a+3-3=0,解得a=0,故D错误. 故选BC. 9.2x+y+2=0　联立解得 即所求直线过点(-2,2).因为所求直线与直线x-2y-1=0垂直,故所求直线的斜率为-2,所以所求直线方程为y-2=(-2)(x+2),即2x+y+2=0. 10.解 (1)联立解得即P(-2,1). 因为直线l平行于直线2x-y+1=0,所以直线l的斜率为2. 又直线l经过交点P(-2,1),所以直线l的方程为y-1=2(x+2),即2x-y+5=0. (2)由题意,直线l经过点P(-2,1)且在x轴和y轴上的截距相等,当截距都为0时,则直线l过原点,且过点P(-2,1), 故直线l的方程为y=-x,即x+2y=0. 当截距都不为0时,则可设直线l的方程为=1(a≠0). 由直线l过点P(-2,1),得=1,解得a=-1, 故直线l的方程为x+y+1=0. 综上所述,直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0. 11.D　为使三条直线能构成三角形,需三条直线两两相交且不共点. ①若l1∥l2,则由a×a-1×1=0,得a=±1. ②若l2∥l3,则由1×1-a×1=0,得a=1. ③若l1∥l3,则由a×1-1×1=0,得a=1.当a=1时,l1,l2与l3三线重合,当a=-1时,l1,l2平行. ④若三条直线交于一点,由解得将l2,l3的交点(-a-1,1)的坐标代入l1的方程,解得a=1(舍去)或a=-2.所以要使三条直线能构成三角形,需a≠±1,且a≠-2. 12.(1,1)　由(a+2)x+(a-2)y-2a=0,即a(x+y-2)+(2x-2y)=0,令解得 所以直线l恒过定点(1,1). 13.解 (1)直线l的方程为k(x+1)-y+1=0, 则y-1=k(x+1),因此直线l恒过定点A(-1,1). (2)如图1,若直线l不经过第四象限,则k≥0,故k的取值范围为[0,+∞). 图1 (3)由(1)知,直线l恒过定点A(-1,1). 如图2,当PA⊥l时,d取得最大值,此时直线PA的斜率kPA==2,则直线l的斜率k=-, 图2 所以直线l的方程为y-1=-(x+1), 所以直线l的一般式方程为x+2y-1=0. 14.解 (1)假设直线l与直线l1、直线l2的交点分别为A,B. 当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=0,与l1的交点为A(0,8),与l2的交点为B(0,),则线段AB的中点坐标为(0,),不符合题意中的所截得的线段被点P(0,1)平分,故直线l斜率存在. 设直线l的斜率为k,直线l的方程为y-1=kx, 联立解得 即A(). 联立解得 即B(). 又因为点P(0,1)是线段AB的中点, 所以=0,解得k=-, 故所求直线方程为y-1=-x, 即x+4y-4=0. (2)若直线l,l1,l2将平面分成6个部分,则直线l经过l1,l2的交点或与直线l1或l2平行, 联立解得即Q(2,4). 因为直线l经过P,Q,则直线l的斜率为, 故直线l的方程为y-1=x,即3x-2y+2=0. 当直线l与l1平行时,直线l的斜率与直线l1的斜率相等,即k=-2, 故直线l的方程为y-1=-2x,即2x+y-1=0. 当直线l与l2平行时,直线l的斜率与直线l2的斜率相等,即k=, 故直线l的方程为y-1=x,即x-3y+3=0. 综上所述,直线l的方程为3x-2y+2=0或2x+y-1=0或x-3y+3=0. 6 学科网（北京）股份有限公司 $