2.3.2 两点间的距离公式 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习聚焦两点间距离公式，通过基础应用、综合探究到拓展延伸的三层设计，构建从单一公式到几何综合的巩固路径，培养运算能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|公式直接应用|单选（1-5题）求两点距离、坐标轴上点坐标，强化符号意识| |中档|公式与几何性质结合|多选（8-10题）结合直线与点距离、三角形面积，发展推理能力| |提升|综合应用与拓展|解答题（14-15题）求中线方程、函数最小值，体现模型意识与创新意识|

2.3.2 两点间的距离公式限时训练 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知与两点间的距离为4，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 3．（25-26高二·全国·课后作业）直线上与点的距离等于的点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A． B． C． D．6 5．（25-26高二上·内蒙古通辽·阶段检测）已知，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 6．（25-26高二上·江西宜春·期中）已知，直线上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·北京房山·期中）已知，，，，，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 8．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知点，，且点在直线上，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．存在点，使得 9．（25-26高一下·浙江杭州·期中）（多选）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 10．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线l恒过点 B．当时，直线l在y轴上的截距为3 C．若直线l不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线l的距离的最大值为 11．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 12．（25-26高二上·湖南湘潭·期中）已知的三个顶点，，，则的面积为_____. 13．（25-26高二上·北京·期中）点到直线的最大距离为______． 14．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 15．（25-26高三·全国·一轮复习）求函数的最小值． 2 / 7 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.2 两点间的距离公式限时训练 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知与两点间的距离为4，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，利用两点间的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为与，可得， 即，解得或． 故选：A. 2．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 3．（25-26高二·全国·课后作业）直线上与点的距离等于的点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设所求点坐标为，根据已知条件列方程，由此求得正确答案. 【详解】设所求点的坐标为，有，且， 两式联立解得或. 故选：C 4．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】利用中点坐标公式求AB中点，再用两点间距离公式即可求解. 【详解】设AB中点为D，根据中点坐标公式可知AB中点坐标为， 则边上的中线长即为CD长度， 根据两点间距离公式可知：， 故边上的中线长为. 故选：C. 5．（25-26高二上·内蒙古通辽·阶段检测）已知，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先求出N关于轴对称的点为，再利用对称性可求得的最小值. 【详解】设，则N关于轴对称的点为， 所以的最小值为； 故选：B. 6．（25-26高二上·江西宜春·期中）已知，直线上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定直线所过定点，根据线段长度，可将问题转化为直线与线段有交点，结合图象确定临界状态，得到直线斜率的取值范围，进而求得结果. 【详解】直线方程可化为：， 令得：，直线恒过定点， 由得：， 当直线上存在点满足时，直线与线段有交点，如图所示， ，，由直线斜率不为， 直线的斜率， . 故选：B. 7．（25-26高二上·北京房山·期中）已知，，，，，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，由题意列方程组即可求得. 【详解】设， 由题意可得， 解得或 . 所以点的坐标为或. 故选：C 8．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）已知点，，且点在直线上，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．存在点，使得 【答案】ABD 【分析】A选项，将代入，化简得到，得到最小值；B选项，求出关于直线的对称点，最小值为；C选项，结合，得到，从而得到方程，由根的判别式得到方程无解，C错误；D选项，由两点间距离公式和得到方程，由根的判别式得到方程有解，D正确. 【详解】A选项，点在直线，故， 故， 故当时，取得最小值，最小值为，A正确； B选项，设关于的对称点为， 则，解得， 所以，连接，与相交于点， 此时取得最小值，最小值为，B正确； C选项，， 又，故， 令得，即， 由于，方程无解，故不存在点，使得，C错误； D选项，由得， 平方化简得， 又，故， 即，，方程有解， 故存在点，使得，D正确. 故选：ABD 9．（25-26高一下·浙江杭州·期中）（多选）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断. 【详解】对于A，直线的斜率，直线的斜率， ，即，为直角三角形，A正确； 对于B，直线的斜率，点共线，B错误； 对于C，在中，，， ，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD    10．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线l恒过点 B．当时，直线l在y轴上的截距为3 C．若直线l不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线l的距离的最大值为 【答案】AD 【分析】将方程变形为，即可列方程求解定点判断A，令，即可求解截距判断B，取，即可判断C，根据垂直即可求解最大距离判断D. 【详解】已知直线，则， 由，得， 所以直线恒过点，故A正确； 当时，直线,令，，故在轴上的截距为，B错误， 当时，直线的方程为，直线不经过第二象限，故C不正确； 因为直线过定点， 所以坐标原点到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：AD． 11．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【分析】根据两点间的距离公式即可得． 【详解】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 12．（25-26高二上·湖南湘潭·期中）已知的三个顶点，，，则的面积为_____. 【答案】3 【分析】根据题意可得，且直线，即可得点到直线的距离，进而可得面积. 【详解】由题意可知：，且直线， 点到直线的距离， 所以的面积为. 故答案为：3. 13．（25-26高二上·北京·期中）点到直线的最大距离为______． 【答案】 【分析】依据直线过定点,当两点的连线与直线垂直时满足题意，计算即可. 【详解】由题可知：直线过定点 当点与点所成直线与直线垂直时， 点到直线距离最大， 最大距离为， 故答案为： 14．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知 顶点、、. (1)边上的中线所在直线方程及中线的长度； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1)AC边上的中线所在直线方程为 ，中线长度为； (2)直线的方程为 或 。 【详解】（1）由点、得的中点为, 中线长度，， 中线所在直线方程为，化简得. （2）若直线的斜率不存在，则直线为，且过点， 但直线在点处不满足的纵截距是横截距的2倍,不合题意； 若直线过坐标原点，则其斜率为，此时直线的方程为，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 15．（25-26高三·全国·一轮复习）求函数的最小值． 【答案】 【详解】解析  因为，所以函数是轴上的点与两定点、距离之和．的最小值就是的最小值．由平面几何知识可知，若关于轴的对称点为，则的最小值等于，即．所以． 2 / 7 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $