2.3.2两点间的距离公式同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 以“基础巩固-能力应用-综合拓展”分层设计，通过北京地区期中/期末真题，实现从公式记忆到实际应用的知识进阶，培养数学眼光与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|两点间距离公式记忆与直接应用|含判断正误（概念辨析）、两点距离计算（填空题9），夯实公式本质| |能力应用|公式与斜率/几何图形结合|如中线长计算（单选3）、含参数距离最值（单选2），发展空间观念| |综合拓展|跨知识综合与实际问题|如轨迹长度（单选4）、工程选址（填空13）、等腰直角三角形存在性（解答14），体现模型意识与创新思维|

2.3.2两点间的距离公式同步练（北京专用) 教材知识梳理 1.两点间的距离 (1)公式：点PX1,yP,X,y,间的距离公式|P,P,= (2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术 平方根， 【注意】公式中P1和P2位置没有先后之分，也可以表示为： PP2)=x2-x+(y2-y1 2.判断正误 1)x-1+y表示的是平面内点P(x,y到点(1,0)的距离.（) (2)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关.() 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1.(24-25高二上北京大兴·期中)过点M(-2,a,N(a,4)的直线的斜率为7，则 |MN|=() A.2 B.2V5 C.4 D.4V2 2.(25-26高三上·北京海淀·期末)已知点A-1,0,点P4+4t,3t,当t变化时，AP 的最小值为() A.3 B.4 c.5 D.6 3.(25-26高二上·北京期中)已知三角形的三个顶点A2,4,B3,-6,C5,2,则过A 点的中线长为() A.V10 B.2V10 C.11V2 D.310 4.(25-26高二上·北京西城·期中)已知过原点且倾斜角为的直线与直线x+√3y-4=0 试卷第1页，共3页 交于点p则当g在,2 上变化时，点p的轨迹长度为() 3’3 A.3 B.2 C.3 D.23 5.(25-26高二上北京房山期中)己知△ABC,A0,4,C3,3,AC=BC, 2C=90, 则点B的坐标是〈） A.2,0 B.4,6 C.2,0或4,6 D.2,0或6,4 6.(25-26高二上北京东城期中)已知x+y=0则x-1P+y-1P+x-2P+y的 最小值为() A.22 B.2+9V2 c.V10 D.4 7.（24-25高二上·北京·阶段检测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,BC=1, 当点A、C分别在x、y轴上运动，点B到原点O的最大距离是() B 0 A.1+V2 B.6 c.5 D.3 8.(24-25高二上北京阶段检测)若点P(x,y)在直线x+y=12上运动，则 Vx+1+y2+16的最小值为() A.V37+2V13B.V2+V137 C.13 D.1+49V10 二、填空题 9.(25-26高二上北京顺义期中)己知点A-1,3和B-3,5,则AB等于一 10.(25-26高二上·北京·期中)点|0，-1到直线x-my+1=0m∈R的最大距离为 试卷第2页，共3页 11.(25-26高二上北京昌平.期中)已知△ABC的三个顶点A-3,1,B3,-3, C1,7,则△ABC的形状为. 12.(25-26高二上·北京期中)已知点A2,0,B-2,0,点P在直线x-2y+8=0上， 则PA+PB最小值等于 13.(25-26高二上·北京西城·期中)某工程队准备在一条笔直的公路上的某点处修建一个 车站P,使得两车站A,B(可视为点)到车站P的距离相等在地图上建立平面直角坐标系， 并按照一定比例确定单位长度，得到：A-2,4,B4,6,及公路上的两点C4,0, D0,-4,则车站P的坐标为 三、解答题 14.(25-26高二上北京·阶段检测)已知点A(-1,0)和点P(4-2t,t)t∈R), (1)求证：点P在定直线l上，并求直线的方程： (2)点B,C在直线l上，且△ABC为等腰直角三角形，求点B的坐标 15.(24-25高三下：北京：强基计划)求/X-2x+10-X-4x+5的值域 16.(24-25高二上·北京期中)已知点A3,0、B-1,-3、C1,1,点D是线段BC的 中点，CE⊥AD,垂足为E (1)求直线AD的方程： (2)求点E的坐标： (3)求△ABC的面积 试卷第3页，共3页 2.3.2两点间的距离公式同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．两点间的距离 （1）公式：点，间的距离公式__________________. （2）文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：. 【答案】 2．判断正误 （1）表示的是平面内点到点的距离．( ) （2）平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关．( ) 【答案】 √ × 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率列方程，求得，进而求得. 【详解】依题意，，解得， 所以，所以. 故选：B 2．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 3．（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 4．（25-26高二上·北京西城·期中）已知过原点且倾斜角为的直线与直线交于点，则当在上变化时，点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】分别求出当与时直线与直线的交点坐标，再由两点的距离公式求出轨迹长度. 【详解】当时，直线的斜率，直线为， 联立，; 当时，直线的斜率，直线为， 联立，; 所以点的轨迹. 故选：D. 5．（25-26高二上·北京房山·期中）已知，，，，，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，由题意列方程组即可求得. 【详解】设， 由题意可得， 解得或 . 所以点的坐标为或. 故选：C 6．（25-26高二上·北京东城·期中）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】将题目转化为两点之间的距离公式，然后再用对称求最小值. 【详解】表示点到点和到点距离的和. 设点关于直线的对称点，由对称点的性质可得：, 如图：    由对称的性质可得:,所以的最小值就是. 所以. 故选：C 7．（24-25高二上·北京·阶段检测）如图，在中，，，，当点、分别在、轴上运动，点到原点的最大距离是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】取的中点，连接，，根据数形结合分析可知，根据，，的位置关系即可求解. 【详解】取的中点，连接，， ，， ， 由图可知，， 当，，三点共线时，等号成立， 所以点到原点的最大距离是. 故选：A 8．（24-25高二上·北京·阶段检测）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 二、填空题 9．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知点和，则等于______． 【答案】 【分析】根据两点间的距离公式求解. 【详解】. 故答案为： 10．（25-26高二上·北京·期中）点到直线的最大距离为______． 【答案】 【分析】依据直线过定点,当两点的连线与直线垂直时满足题意，计算即可. 【详解】由题可知：直线过定点 当点与点所成直线与直线垂直时， 点到直线距离最大， 最大距离为， 故答案为： 11．（25-26高二上·北京昌平·期中）已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【答案】等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 12．（25-26高二上·北京·期中）已知点，，点P在直线上，则最小值等于______． 【答案】8 【分析】求出关于直线的对称点，然后三点共线时取最小值即可. 【详解】设关于直线的对称点为, 则，解得即， 且,.    如图，则. 故答案为：8 13．（25-26高二上·北京西城·期中）某工程队准备在一条笔直的公路上的某点处修建一个车站，使得两车站，（可视为点）到车站的距离相等.在地图上建立平面直角坐标系，并按照一定比例确定单位长度，得到：，，及公路上的两点，，则车站的坐标为_____________. 【答案】 【分析】根据直线上两点确定公路所在直线的方程，从而可设的坐标，根据结合距离公式列方程求得点横坐标，从而得车站的坐标. 【详解】公路上的两点，， 则，所以直线， 则直线上一点， 由可得：，解得， 故车站的坐标为. 故答案为：. 三、解答题 14．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知点和点． (1)求证：点在定直线上，并求直线的方程； (2)点在直线上，且为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析，直线的方程为； (2)或或. 【分析】（1）利用坐标代换法求出方程即可得证. （2）求出过点与直线垂直的直线方程及垂足的坐标，再按直角顶点情况分类求解. 【详解】（1）设点，由点，得，消去得， 所以点在定直线上，直线的方程为. （2）当为等腰的直角顶点时，，设， 直线的方程为，则，解得，于是； 由，解得或，则点或； 当为等腰的直角顶点时，同理得点，或； 以点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且点为直角顶点， 因此为等腰的直角顶点时，点，或点，点， 所以点的坐标是或或. 15．（24-25高三下·北京·强基计划）求的值域. 【答案】 【分析】设，问题化为求的范围，数形结合确定值域即可. 【详解】令， 设，如下图示， 则，当且仅当在线段的延长线上时取等号， 当时，直线可近似看作平行关系，此时， 综上，目标式的范围是. 16．（24-25高二上·北京·期中）已知点、、，点是线段的中点，，垂足为. (1)求直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中点的坐标，利用两点式可得出直线的方程； （2）求出直线的方程，将直线、的方程联立，即可解得点的坐标； （3）求出、，由可得结果. 【详解】（1）解：因为、，所以的中点为， 所以直线的方程为，即. （2）解：由（1）知，因为，所以， 所以直线方程为，即. 联立，解得，所以点的坐标为. （3）解：因为，， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $