第18讲 第五章三角函数 单元复习讲义 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学三角函数单元复习讲义以“角的拓展→三角函数概念→恒等变换→函数性质→实际应用”为主线构建知识体系，通过表格对比正弦、余弦、正切函数的定义域、值域等性质，用思维导图呈现诱导公式、二倍角公式等核心公式，清晰梳理12类题型与7大知识点的内在联系。 讲义亮点在于分层设计的“典例+变式”练习，如题型十二结合潮汐、摩天轮等实际情境引导学生建立三角函数模型，培养数学建模与应用意识。易错点集锦针对性解决角度弧度混用等7类高频错误，帮助学生用数学思维精准突破难点，教师可据此实施分层教学，学生能自主查漏补缺提升复习效率。

第18讲 第五章三角函数单元复习 + 小测 【题型一】任意角与弧度制与扇形计算 【题型七】正切函数的性质 【题型二】同角三角函数求值 【题型八】两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【题型三】诱导公式 【题型九】二倍角公式 【题型四】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 【题型十】简单的三角恒等变换 【题型五】正弦函数的性质 【题型十一】函数y=Asin (ωx+φ) 【题型六】余弦函数的性质 【题型十二】三角函数的应用 【知识点01】任意角和弧度制 1. 任意角概念 正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、零角（无旋转）。 终边相同的角集合： 2. 弧度制换算 核心基准： 角度转弧度： 弧度转角度： 3. 扇形核心公式（弧度制专用） 弧长公式： 扇形面积公式： 【知识点02】三角函数的概念 1. 任意角三角函数定义 设角终边上任一点，，则： 2. 三角函数符号规律 一全正、二正弦、三正切、四余弦。 3. 同角三角函数基本关系 平方关系： 商数关系： 【知识点03】诱导公式 核心口诀：奇变偶不变，符号看象限 适用结构：，默认为锐角判断符号。 核心必考公式 奇偶性： 补角公式： 余角变名： 【知识点04】三角函数的图象与性质 函数 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调区间 增： 减： 增： 减： 增： 最值 有最大值、最小值 有最大值、最小值 无最值 【知识点05】三角恒等变换 1. 两角和与差公式 2. 二倍角公式 3. 辅助角公式（必考） 其中，用于化简、求最值、求单调区间。 【知识点06】函数y=Asin (ωx+φ) 1. 核心参数公式 振幅： 平衡基线： 周期与频率： 2. 图像变换规则 所有平移、伸缩变换仅针对自变量；先伸缩后平移，平移量为。 3. 解题核心方法 整体换元法：令，转化为基础正弦函数求解性质。 【知识点07】三角函数的应用 适用于所有周期性变化模型：匀速圆周运动、潮汐涨落、气温变化、振动、交变电流等。 通用建模模型： 建模四步：定最值求→定周期求→代点求→代入求解实际问题。 易错点1：角度弧度混用 扇形公式、周期公式、恒等变换公式默认弧度制，解题必须统一单位，不可混用。 易错点2：同角、正切公式定义域遗漏 、两角正切公式，均需满足分母不为0，容易忽略定义域导致错解。 易错点3：诱导公式符号判断错误 符号只看原函数、原象限，与化简后函数无关，是基础化简高频失分点。 易错点4：单调区间开闭混淆 正、余弦函数区间为闭区间，正切函数区间为开区间，端点绝对不可取。 易错点5：图像平移变换规则记错 先伸缩后平移必须除以，直接平移是最大易错点。 易错点6：二倍角公式混淆、漏解 余弦二倍角三种形式混用出错，降幂、升幂变换不熟练，化简不彻底。 易错点7：辅助角公式系数出错 合并时，记错合并系数，导致最值、周期全部算错。 【题型一】任意角与弧度制与扇形计算 【典例1-1】（25-26高一下·广西钦州·期末）下列各角中，与终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 结合选项知与终边相同的是. 【变式1-1】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用周长建立方程，求出扇形的半径，然后再利用扇形面积公式求解即可 【详解】设扇形周长为，半径为，圆心角为， 则，即，解得. 扇形面积. 【变式1-2】（24-25高一下·上海青浦·期中）下列说法正确的是__________. ①两个角的终边相同，则它们的大小相等； ②若角为第二象限角，则是第三象限角； ③第一象限角都是锐角； ④终边在直线上的角的集合是. 【答案】②④ 【分析】①③举反例即可；②与的终边关于轴对称即可判断；④分别写出终边在直线上，在第二象限和第四象限的角的集合，再求集合的并集即可. 【详解】对于①，与终边相同，但它们的大小不相等，故①不正确； 对于②，因为与的终边关于轴对称，故②正确； 对于③，第一象限角不都是锐角，比如为第一象限角，但不是锐角，故③不正确； 对于④，若终边在直线上的角在第二象限，则集合是 ； 若终边在直线上的角在第四象限，则集合是， 综上，终边在直线上的角的集合是，故④正确. 故选：②④. 【变式1-3】（25-26高一下·安徽芜湖·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)圆心角，面积的最大值为. 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用扇形的周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， ∴扇形的弧长； （2）由已知得，，所以，因为，所以， 所以扇形的面积，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，圆心角. 【题型二】同角三角函数求值 【典例2-1】（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知为锐角，，则， 故． 【变式2-1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，则______. 【答案】/ 【分析】根据齐次式问题结合运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 【变式2-2】（多选）（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，利用平方关系对已知式变形，结合θ的范围判断三角函数符号，逐项验证选项即可. 【详解】选项A：已知，因此， 将两边平方得：， 解得， 因此，故，A正确； 选项B：由上述计算得，B错误； 选项C：计算， 因为，故，开方得，C正确； 选项D：利用平方差公式分解：，D正确. 【变式2-3】（25-26高一上·江苏南京·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合平方关系可得，，结合任意角三角函数值的符号运算求解； （2）根据题意结合（1）的结果列方程求，进而可得. 【详解】（1）因为， 即，解得， 则， 又因为，且， 则，，可得， 所以. （2）由（1）可知，解得， 所以． 【题型三】诱导公式 【典例3-1】（25-26高一下·江西南昌·期中）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以，则. 【变式3-1】（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）（多选）已知函数，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】将各选项代入后，利用诱导公式求解. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 【变式3-2】（24-25高一上·广东广州·阶段检测）（1）求证：； （2）设，求证. 【答案】 （1）左边=   =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论. 【详解】略 【变式3-3】（25-26高一下·全国·课后作业）化简求值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】由诱导公式化简原式即可求解（1）（2）. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 【题型四】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 【典例4-1】（24-25高一上·全国·周测）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【答案】D 【分析】用五点法作三角函数的图，五个点的横坐标分别为，求出值. 【详解】由“五点法”作图知，令， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：D． 【变式4-1】当时，函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】作出函数在上的图象与在的图象即可得解. 【详解】作出函数在上的图象与在的图象，如图， 观察图象，得函数与函数的图象的交点个数为2. 故选：C 【变式4-2】（24-25高一下·山东潍坊·期中）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】作出两函数在上的图象，结合图象即可得答案. 【详解】对于函数， 当时，， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 令，得，此时， 时，， 函数的周期， 结合周期，利用五点法作出图象， 由图知，共有4个交点. 故选：. 【变式4-3】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列的取值范围能使成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意作图，结合图象，可得答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数在上的图象，如图： 在内，当时，或， 结合图象可知满足的的取值范围是和. 故选：AC 【题型五】正弦函数的性质 【典例5-1】（25-26高一下·广西钦州·阶段检测）函数在上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 【答案】C 【详解】根据正弦函数的单调性可知：在内单调递增，在内单调递减， 所以函数在上是先增后减. 【典例5-2】（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）下列关于函数说法错误的是（     ） A．定义域为 B．值域为 C．最小正周期为 D．其图象为轴对称图形而非中心对称图形 【答案】C 【详解】选项A：对任意实数，都有意义，因此定义域为，A说法正确； 选项B：的值域为，加绝对值后所有非正的变为非负， 因此的值域为，B说法正确； 选项C：由，结合函数图象可知，的最小正周期为，而不是，C说法错误； 选项D：函数的图象关于对称，是轴对称图形；其图象不关于任何点成中心对称， 因此不是中心对称图形，D说法正确. 综上，说法错误的是C选项. 【典例5-3】（多选）（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．为偶函数 D．当时， 【答案】BC 【详解】对于A，依题意，，而，则，A错误； 对于B，的最小正周期为，B正确； 对于C，为偶函数，C正确； 对于D，当时，，则，D错误． 【变式5-1】（多选）（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为，所以的值域为，故B错误； 对于C，因为，所以的单调减区间为，故C正确； 对于D，因为，所以的图象关于点对称，故D正确. 【变式5-2】（24-25高一上·安徽淮南·阶段检测）已知函数为上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值. 【答案】； 【分析】由是偶函数可得的值，图象关于点对称可得函数关系，得，结合函数的单调区间即可确定答案. 【详解】由是偶函数，得，即， 所以，对任意x都成立，且，不恒等于0， 所以得，依题设，所以得； 由的图象关于点对称，得， 取，得，即， 又，得，， 所以 ，， 又在区间上是单调函数，故，所以， 即当时，，综上得，. 【变式5-3】（2025高一上·重庆·专题练习）已知函数为偶函数，． (1)求图象的对称轴方程； (2)当时，函数的图象与直线有2个交点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由函数为偶函数，求出，再根据正弦函数的对称性即可求解； （2）求出时的取值范围，从而得出的取值范围，进而可得的值域，画出函数与直线的图象，数形结合即可求解． 【详解】（1）因为函数为偶函数， 所以，，解得，， 因为，所以， 所以， 令，，解得，， 所以函数的对称轴方程为，； （2）由（1）可知，函数， 当时，， 所以，所以， 所以的值域为， 又函数的图象与直线有2个交点，作图如下：    由图可知， 所以实数m的取值为． 【题型六】余弦函数的性质 【典例6-1】函数的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用余弦函数的值域算出结果. 【详解】因为， 所以， 所以最小值为， 故选：B 【典例6-2】（25-26高一下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据诱导公式变形，再根据余弦函数的单调性整体法求解的单调递减区间即可. 【详解】因为， 令，解得. 【典例6-3】已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则________. 【答案】 【分析】令，由其奇偶性得出的值. 【详解】，令，定义域关于原点对称 因为，所以为奇函数. 故，所以 故答案为： 【变式6-1】（25-26高一下·全国·课后作业）函数的最大值为_____________． 【答案】/ 【分析】由余弦函数的取值范围即可求解. 【详解】， ∴当时，即，时， 函数取得最大值． 故答案为： 【变式6-2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知函数． (1)判断的奇偶性及最小正周期； (2)令，，求的最值． 【答案】(1)偶函数， (2)， 【分析】（1）利用诱导公式化简，利用奇偶性的定义和最小正周期的公式求解. （2）利用求出，利用的范围求出的范围，结合余弦函数的图像和性质求出最值. 【详解】（1） ， 故 ， 又函数的定义域为，关于原点对称， 则为偶函数，． （2）． ， ， ， ， ， ，． 【变式6-3】（25-26高一上·安徽淮北·期末）定义在上的函数，周期为，最大值为2. (1)求与的值； (2)求函数的对称轴方程及单调递减区间. 【答案】(1)； (2)对称轴方程为，单调减区间是： 【分析】（1）通过最大值和周期公式即可求解； （2）通过余弦函数的对称轴和单调减区间整体代换即可求解. 【详解】（1）由函数周期公式，可得， 则， 当时，即，时， 取得最大值， 又函数的最大值为2，所以； （2）由（1）知 令， 解得 所以函数的对称轴方程为 由， 解得 所以函数的单调递减区间为 【题型七】正切函数的性质 【典例7-1】（24-25高一下·河北承德·期中）已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由周期公式求得，得到，然后结合图像可解不等式． 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，得． 所以， 由，得， 解得． 故选：A． 【典例7-2】（24-25高一下·江西萍乡·期中）下列关于函数的说法，不正确的是（    ） A．最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．点为其图象的一个对称中心 D．定义域为 【答案】D 【分析】分析函数的性质，对各选项的内容逐一判断即可. 【详解】对函数： 由， ，，所以函数的定义域为：； 由，所以函数的最小正周期为； 由， ，， 所以函数在，上单调递增，当时，单调增区间为； 因为，所以点为函数的一个对称中心. 综上可知：D是错误的. 故选：D 【典例7-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间是______． 【答案】 【详解】令， 所以函数的单调递增区间是. 【变式7-1】已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据正切函数的奇偶性列式运算得解. 【详解】因为的图象关于原点中心对称， 所以，又，故的最小值为． 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先由周期求出，再结合可得； （2）通过的范围求出的范围，进而求出的值域； （3）根据正切函数的图象解不等式即可. 【详解】（1）∵最小正周期为，∴，又∵，∴， 又∵，∴． （2）∵，∴当时，， ∴函数在上的值域为. （3）∵，∴， ∴，其中，∴， 即不等式的解集为． 【变式7-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）解答下列问题． (1)求函数的定义域； (2)求函数，的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意结合对数函数的定义域可得，即，进而解得，结合正切函数的周期，可得该函数的定义域为，． （2）令，结合，可解得，由正切函数的单调性可知，函数在上是增函数，所以有，即. 【详解】（1）由题意得，即． 在内，满足上述不等式的x的取值范围是． 又的周期为， 所以，． 所以的定义域为，． （2）令， 因为，则有． 因为在上是增函数， 所以，即． 所以的值域为． 【题型八】两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【典例8-1】（25-26高一下·广东佛山·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 【变式8-1】（24-25高一下·全国·课后作业）将化简，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和差正弦化简即可. 【详解】 . 故选：B. 【变式8-2】（多选）（25-26高一下·江西·阶段检测）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为4 C．的最小值为1 D． 【答案】ABD 【详解】因为，， 所以， 整理得，同除，得， 由，故，，所以，故A正确； 因为，解得， 当且仅当时等号成立，故B正确； ， 又，所以根据对勾函数单调性知，故C错误； ，由，知， 所以，所以，故D正确． 【变式8-3】（25-26高一上·山西长治·期末）（1）求的值； （2）已知，，是第三象限角，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用两角和的正切公式计算即得； （2）利用同角三角函数分别求出的正余弦的值，再代入和角的余弦公式计算即得. 【详解】（1） . （2）因，则； 又因，是第三象限角，则. 故 . 【题型九】二倍角公式 【典例9-1】（25-26高一下·河南平顶山·期末）若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，两边同时平方： ， 即. 由题目可知， 则. 所以， 即，B正确. 【变式9-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）______． （2）______． （3）若，且，则______． 【答案】 /0.25 【分析】(1)根据二倍角公式可得； (2)根据二倍角公式和诱导公式可得； (3)根据二倍角公式及两角差的正弦公式可得. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）由， 可得， 即． 上式可化为， 两边平方可得．． 【变式9-2】（多选）（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列计算结果正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】选项A：，正确； 选项B：，正确； 选项C：，正确； 选项D：，错误. 【变式9-3】（25-26高一下·河北·期中）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角差的正弦公式即可求解； （2）先通过，得出，再根据二倍角公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 即，所以. （2）由（1）知，两边平方得， 所以，所以，可得． 因为，所以， 所以，所以， 所以． 【题型十】简单的三角恒等变换 【典例10-1】（25-26高一下·四川南充·阶段检测）计算：的值.（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对原式通分，再结合辅助角公式、正弦二倍角公式化简计算即可得到结果. 【详解】 ， 因， ， 则. 【变式10-1】的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用降幂公式、积化和差公式以及诱导公式即可得到答案. 【详解】原式 . 故选：A. 【变式10-2】（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，，则_____ 【答案】 【分析】先应用两角和余弦及辅助角公式计算得出，结合角的范围得出，最后应用特殊角余弦计算求解. 【详解】因为 ， 所以， 又因为，所以，所以，所以， 所以. 【变式10-3】（2026高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化简，再代入求解即可； （2）根据列出关于的等式求解即可． 【详解】（1） ， 所以． （2）由，得，整理得， 由，得， 所以，即． 【题型十一】函数y=Asin (ωx+φ) 【典例11-1】已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移变换的性质即可求解. 【详解】将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到， 故， 故选：B 【变式11-1】函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（　　） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】B 【分析】首先根据图象求函数的解析式，再根据平移规律，即可求解. 【详解】由图象可知，，，得， 由五点法作图可知当时，，得， 所以，， ， 所以可以将向右平移个单位长度，即可得到的图象. 故选：B 【变式11-2】函数图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为，则的值为________． 【答案】 【解析】直接由函数图象的周期变化求得的值． 【详解】解：把函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍， 所得图象对应的函数解析式为， 的值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了型函数的周期变化，属于基础题． 【变式11-3】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将函数向左平移个单位后得到函数，若，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）利用图象可求得，进而可求得，利用图象经过点，可求得，可求得解析式； （2）利用图象变换规律求得的解析式，再结合，可求得的最大值与最小值． 【详解】（1）由最大值可确定，因为，所以， 所以，解得，此时， 又函数过点，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. （2）由题意，， 若，则， 所以，所以， 所以的最大值为，最小值为. 【题型十二】三角函数的应用 【典例12-1】（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）如图是某市夏季某一天从时到时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午时天气的温度大约是（    ） (参考数据，)    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用图象求出函数解析式，然后将代入解析式求解即可. 【详解】对于函数， 由图象可知：，解得：， 设函数的最小正周期为，则， 所以，即，解得：，所以 又函数的图象经过， 所以，即， 所以，解得， 因为，所以，，所以， 当时，. 【变式12-1】（25-26高一下·江西·期中）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次到达最高点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 C．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 D．小球在秒时位于平衡位置 【答案】B 【分析】应用周期代入点计算求解解析式判断A，应用余弦函数值域计算求解参数判断B，C，D. 【详解】由题，小球运动的周期， 又，所以，解得， 当时，，即，， 所以，则，故A错误； 若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故B正确； 因为，， 所以秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为，故C错误； 因为，， 这时是最高点不是平衡位置，故D错误. 【变式12-2】（24-25高一下·内蒙古包头·阶段检测）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为______. 【答案】 【分析】如图，连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解． 【详解】如图所示： 连接，设，作，，垂足分别为． 根据平面几何知识可知，，，． 所以，． 故四边形的面积也为四边形的面积， 即有 ，其中． 所以当即时， ． 故答案为：． 【变式12-3】（25-26高一下·四川绵阳·期中）潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． (1)根据以上数据，求出函数的表达式及其频率； (2)在某日0时至6时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻； 【答案】(1)，频率为； (2)某日0时至6时，该港口水深的最大值为，对应时刻为；最小值为，对应时刻为. 【详解】（1）由表格知，， 则，， 函数的最小正周期为，故频率为，， 故， 又，故，故， 又，故，解得， 故，频率为； （2）当时，， 当，即时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为， 当，即时，取得最大值，最大值为1， 的最大值为， 某日0时至6时，该港口水深的最大值为，对应时刻为； 最小值为，对应时刻为. 1. 全章逻辑主线 角的拓展→弧度制→任意角三角函数→同角关系+诱导公式→恒等变换（和差、二倍角、辅助角）→基础函数图像性质→正弦型复合函数→实际周期建模。 2. 四大核心解题工具 诱导公式变角、同角公式化简、恒等变换变形、整体换元研究函数性质。 3. 应试核心口诀 变换只变自变量、区间开闭要分清、恒等变形看结构、建模必带基线值、正切定义域优先。 4. 拔高得分关键 辅助角公式是综合题核心，整体代换是解决正弦型函数单调性、最值、对称轴的通用方法。 一、单选题 1．（25-26高一下·四川南充·期中）下列各角中，与角终边相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将角度化为弧度，再根据终边相同的角关系判断可得. 【详解】因为，所以与角终边相同的角为. 当时，，所以与角终边相同. 而，，所以与角的终边关于轴对称， 与角的终边关于轴对称，与角的终边关于原点对称. 2．（25-26高一下·江西九江·期中）已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形周长公式、弧长公式求出半径和弧长，再代入扇形面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，已知圆心角， 由题意可得， ，解得，； 代入扇形面积公式，计算得. 3．（25-26高一下·贵州遵义·期中）设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ． 4．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知函数，若为偶函数，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得： ， 因为为偶函数， 所以，解得：， 当时，可得. 5．（25-26高一下·河北承德·阶段检测）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方关系求出，的值，再切化弦即可求得所求代数式的值. 【详解】因为，所以， 因为，等式两边平方得， 所以，故，所以， 所以，故， 因此. 6．（25-26高一下·河南南阳·期中）已知函数在上有且仅有1个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出相位在指定区间上的范围，再利用正弦函数的性质列出不等式组求解. 【详解】当时，，由函数在上恰有1个零点，， 得或，解得或， 所以的取值范围是. 7．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的图象求出函数的解析式，再利用三角函数图象变换可得出函数的解析式. 【详解】由图可知，函数的最小正周期满足，所以最小正周期， 故，此时； 将最低点代入可得，即， 所以，可得. 又，所以，所以； 将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 由三角函数图象伸缩变换的规律可得． 8．（24-25高一下·四川凉山·期中）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.在摩天轮转动一圈内，点距离地面超过有多长时间（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】B 【分析】根据条件，求得或，再根据条件得或，利用的性质，即可求解. 【详解】因为中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即， 又，由，得到， 因为最低点到地面距离为，所以，得到， 又，则， 若，则， 由，得到， 所以，解得 令得到，又， 所以在摩天轮转动一圈内，点有分钟的时间距离地面超过， 若，则， 由，得到，即， 所以，解得 令得到，又， 所以在摩天轮转动一圈内，点有分钟的时间距离地面超过， 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一下·贵州遵义·期中）下列等式计算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角恒等变换公式依次化简选项即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，,故B正确； 对于C，,故C正确； 对于D，,故D正确. 10．（25-26高一下·河南驻马店·期中）下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D．终边落在直线上的角的集合是 【答案】BC 【分析】依据 1 弧度约为 判断 A 错,由锐角与第一象限角的范围差异判定 B 正确,代入扇形面积公式求出半径后用弧长公式算得弧长验证 C 正确,分析直线 终边对应的角集,对比 D 选项集合的含义,得出 D 错误. 【详解】根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于，故A选项错误； 锐角，第一象限角（），B选项正确； 扇形面积公式：（为圆心角弧度数，r为半径）， 代入，，则，解得， 扇形弧长公式：，代入，，则，选项C正确； 直线即，过第二、四象限， 在内，终边在上的角为：，， 因此终边落在上的角的集合为：， 也可写成：， 而可以拆成：终边在直线上， 和：终边在直线上， 即该集合表示终边在或上的所有角， 与真正只落在上的集合S不相等，选项D错误； 11．（25-26高一下·吉林长春·期末）设函数，则下列结论正确的是（     ） A．是的一个周期 B．的图象可由的图象向右平移得到 C．的一个零点为 D．在单调递增 【答案】ACD 【分析】根据正弦型函数的周期，图象的平移，零点，及单调性，逐一判断即可． 【详解】对于A，由的最小正周期为，所以是的一个周期，故A正确； 对于B，将的图象向右平移得到，故B错误； 对于C，由，所以的一个零点为，故C正确； 对于D，令，，解得，， 当时，，所以在单调递增，故D正确． 三、填空题 12．（2026高一·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为__. 【答案】 【详解】当时，， 则，所以， 因此函数在上的最大值为. 13．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知为奇函数，则当正数取最小值时，函数的图象的对称轴方程是______． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求出取得最小值，再根据正弦函数的对称性求解即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以，即，所以当时，正数取得最小值， 此时．令，则， 故所求函数的图象的对称轴方程是． 14．（23-24高一下·江苏苏州·阶段检测）已知函数在上恰好有7个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先化简为，令，即在上恰有7个不相等的实根，由的性质可得解 【详解】，令， ， ， 由题意在上恰有7个零点，即在上恰有7个不相等的实根， 即，或，， 当时，， … 当，. 由的性质可得， 解得． 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知 (1)化简； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式逐项化简再约分即可； （2）由计算得的值，结合 知 ，故结果取负数. 【详解】（1） . （2）因为 ，所以， 因此. 又，，即， 因此. 16．（24-25高一下·四川资阳·阶段检测）已知函数． (1)求的定义域和最小正周期； (2)求的对称中心和单调区间． 【答案】(1)定义域为，最小正周期是； (2)对称中心为，，单调递增区间为，. 【分析】（1）由已知函数的解析式直接求解其定义域，根据求解函数的最小正周期； （2）令，求对称中心，应用整体法求单调增区间． 【详解】（1）∵函数， ∴，，即，， ∴的定义域为， ∵， ∴的最小正周期是； （2）令，，解得，，此时， ∴函数的对称中心为，， 令，解得，， 所以的单调递增区间为，. 17．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且． (1)求的解析式和对称轴； (2)当时，求的值域． 【答案】(1)，的对称轴为 (2) 【分析】（1）通过三角函数周期性求解，代入已知点坐标求解得到解析式，再结合正弦函数对称轴性质求对称轴； （2）先确定内层三角函数的取值范围，再结合正弦函数单调性求值域． 【详解】（1）(1) 由题意，函数图象与轴相邻交点距离为， 所以的最小正周期， 由，解得， 又，所以，即， 所以，解得， 因为，所以， 所以， 由，得， 所以的对称轴为 （2）当时，， 由正弦函数的单调性得， 所以，即的值域为． 18．（24-25高一上·广东·期末）已知函数的图象过点. (1)求的解析式和最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）解方程得到解析式，然后求最小正周期； （2）利用整体代入的方法求单调区间； （3）将在区间上有解转化为，然后求最小值即可. 【详解】（1）由题意得， ， ， ，即， ， ， 所以的最小正周期为. （2）设， 因为的单调递增区间是， 所以由， 解得， 所以函数的单调递增区间为. （3）不等式在区间上有解， 即为在区间上有解， 因为，所以， 当，即时， 取得最小值， 所以只需， 故实数的取值范围是. 19．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，矩形所在平面与地面垂直，点在地面上，（单位：），（单位：），与地面成角（），点到地面的距离为． (1)若，，，求； (2)将表示为的函数， ①求的解析式并求的最大值； ②已知在上单调递增，且，求的最小值. 【答案】(1) (2)① （），；②． 【分析】（1）过点作地面的垂线，得到，结合三角函数的定义即可求解； （2）由（1）得到，结合辅助角公式即可求解；②由的单调性，及得到，，再通过消参将转换成关于的一元二次函数，即可求解. 【详解】（1）如图所示，过点作地面的垂线， 垂足分别为，． 则． 因为（），所以， 在中，，，所以． 在中，，， 所以．所以，解得． （2）①由（1）可得： （），其中，（）， 所以当且仅当时，． ②因为，所以. 因为在上单调递增， 所以，所以， 所以，所以，所以． 因为，所以． 因为，所以，所以． 因为 ， 所以当且仅当，时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 第五章三角函数单元复习 + 小测 【题型一】任意角与弧度制与扇形计算 【题型七】正切函数的性质 【题型二】同角三角函数求值 【题型八】两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【题型三】诱导公式 【题型九】二倍角公式 【题型四】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 【题型十】简单的三角恒等变换 【题型五】正弦函数的性质 【题型十一】函数y=Asin (ωx+φ) 【题型六】余弦函数的性质 【题型十二】三角函数的应用 【知识点01】任意角和弧度制 1. 任意角概念 正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、零角（无旋转）。 终边相同的角集合： 2. 弧度制换算 核心基准： 角度转弧度： 弧度转角度： 3. 扇形核心公式（弧度制专用） 弧长公式： 扇形面积公式： 【知识点02】三角函数的概念 1. 任意角三角函数定义 设角终边上任一点，，则： 2. 三角函数符号规律 一全正、二正弦、三正切、四余弦。 3. 同角三角函数基本关系 平方关系： 商数关系： 【知识点03】诱导公式 核心口诀：奇变偶不变，符号看象限 适用结构：，默认为锐角判断符号。 核心必考公式 奇偶性： 补角公式： 余角变名： 【知识点04】三角函数的图象与性质 函数 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调区间 增： 减： 增： 减： 增： 最值 有最大值、最小值 有最大值、最小值 无最值 【知识点05】三角恒等变换 1. 两角和与差公式 2. 二倍角公式 3. 辅助角公式（必考） 其中，用于化简、求最值、求单调区间。 【知识点06】函数y=Asin (ωx+φ) 1. 核心参数公式 振幅： 平衡基线： 周期与频率： 2. 图像变换规则 所有平移、伸缩变换仅针对自变量；先伸缩后平移，平移量为。 3. 解题核心方法 整体换元法：令，转化为基础正弦函数求解性质。 【知识点07】三角函数的应用 适用于所有周期性变化模型：匀速圆周运动、潮汐涨落、气温变化、振动、交变电流等。 通用建模模型： 建模四步：定最值求→定周期求→代点求→代入求解实际问题。 易错点1：角度弧度混用 扇形公式、周期公式、恒等变换公式默认弧度制，解题必须统一单位，不可混用。 易错点2：同角、正切公式定义域遗漏 、两角正切公式，均需满足分母不为0，容易忽略定义域导致错解。 易错点3：诱导公式符号判断错误 符号只看原函数、原象限，与化简后函数无关，是基础化简高频失分点。 易错点4：单调区间开闭混淆 正、余弦函数区间为闭区间，正切函数区间为开区间，端点绝对不可取。 易错点5：图像平移变换规则记错 先伸缩后平移必须除以，直接平移是最大易错点。 易错点6：二倍角公式混淆、漏解 余弦二倍角三种形式混用出错，降幂、升幂变换不熟练，化简不彻底。 易错点7：辅助角公式系数出错 合并时，记错合并系数，导致最值、周期全部算错。 【题型一】任意角与弧度制与扇形计算 【典例1-1】（25-26高一下·广西钦州·期末）下列各角中，与终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·上海青浦·期中）下列说法正确的是__________. ①两个角的终边相同，则它们的大小相等； ②若角为第二象限角，则是第三象限角； ③第一象限角都是锐角； ④终边在直线上的角的集合是. 【变式1-3】（25-26高一下·安徽芜湖·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【题型二】同角三角函数求值 【典例2-1】（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知，则______. 【变式2-2】（多选）（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·江苏南京·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【题型三】诱导公式 【典例3-1】（25-26高一下·江西南昌·期中）已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）（多选）已知函数，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·广东广州·阶段检测）（1）求证：； （2）设，求证. 【变式3-3】（25-26高一下·全国·课后作业）化简求值 (1)； (2)． 【题型四】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象 【典例4-1】（24-25高一上·全国·周测）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【变式4-1】当时，函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式4-2】（24-25高一下·山东潍坊·期中）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【变式4-3】（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列的取值范围能使成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型五】正弦函数的性质 【典例5-1】（25-26高一下·广西钦州·阶段检测）函数在上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 【典例5-2】（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）下列关于函数说法错误的是（     ） A．定义域为 B．值域为 C．最小正周期为 D．其图象为轴对称图形而非中心对称图形 【典例5-3】（多选）（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．为偶函数 D．当时， 【变式5-1】（多选）（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．的单调递减区间为 D．的图象关于点对称 【变式5-2】（24-25高一上·安徽淮南·阶段检测）已知函数为上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值. 【变式5-3】（2025高一上·重庆·专题练习）已知函数为偶函数，． (1)求图象的对称轴方程； (2)当时，函数的图象与直线有2个交点，求实数m的取值范围． 【题型六】余弦函数的性质 【典例6-1】函数的最小值为（    ） A． B． C．3 D．4 【典例6-2】（25-26高一下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【典例6-3】已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则________. 【变式6-1】（25-26高一下·全国·课后作业）函数的最大值为_____________． 【变式6-2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知函数． (1)判断的奇偶性及最小正周期； (2)令，，求的最值． 【变式6-3】（25-26高一上·安徽淮北·期末）定义在上的函数，周期为，最大值为2. (1)求与的值； (2)求函数的对称轴方程及单调递减区间. 【题型七】正切函数的性质 【典例7-1】（24-25高一下·河北承德·期中）已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【典例7-2】（24-25高一下·江西萍乡·期中）下列关于函数的说法，不正确的是（    ） A．最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．点为其图象的一个对称中心 D．定义域为 【典例7-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间是______． 【变式7-1】已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为______． 【变式7-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 【变式7-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）解答下列问题． (1)求函数的定义域； (2)求函数，的值域． 【题型八】两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【典例8-1】（25-26高一下·广东佛山·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一下·全国·课后作业）将化简，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）（25-26高一下·江西·阶段检测）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为4 C．的最小值为1 D． 【变式8-3】（25-26高一上·山西长治·期末）（1）求的值； （2）已知，，是第三象限角，求的值． 【题型九】二倍角公式 【典例9-1】（25-26高一下·河南平顶山·期末）若，，则（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）______． （2）______． （3）若，且，则______． 【变式9-2】（多选）（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列计算结果正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26高一下·河北·期中）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【题型十】简单的三角恒等变换 【典例10-1】（25-26高一下·四川南充·阶段检测）计算：的值.（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】的值是（    ） A． B． C． D．1 【变式10-2】（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，，则_____ 【变式10-3】（2026高一下·全国·专题练习）已知函数． (1)求； (2)若，，求角． 【题型十一】函数y=Asin (ωx+φ) 【典例11-1】已知函数，将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（　　） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【变式11-2】函数图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为，则的值为________． 【变式11-3】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将函数向左平移个单位后得到函数，若，求的最大值与最小值． 【题型十二】三角函数的应用 【典例12-1】（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）如图是某市夏季某一天从时到时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午时天气的温度大约是（    ） (参考数据，)    A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26高一下·江西·期中）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，，小球从最低点出发，经过2秒后，第一次到达最高点，则下列说法中正确的是（   ） A． B．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 C．秒与秒时小球偏离平衡位置的距离之比为2 D．小球在秒时位于平衡位置 【变式12-2】（24-25高一下·内蒙古包头·阶段检测）为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示，则观赛场地的面积最大值为______. 【变式12-3】（25-26高一下·四川绵阳·期中）潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． (1)根据以上数据，求出函数的表达式及其频率； (2)在某日0时至6时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻； 1. 全章逻辑主线 角的拓展→弧度制→任意角三角函数→同角关系+诱导公式→恒等变换（和差、二倍角、辅助角）→基础函数图像性质→正弦型复合函数→实际周期建模。 2. 四大核心解题工具 诱导公式变角、同角公式化简、恒等变换变形、整体换元研究函数性质。 3. 应试核心口诀 变换只变自变量、区间开闭要分清、恒等变形看结构、建模必带基线值、正切定义域优先。 4. 拔高得分关键 辅助角公式是综合题核心，整体代换是解决正弦型函数单调性、最值、对称轴的通用方法。 一、单选题 1．（25-26高一下·四川南充·期中）下列各角中，与角终边相同的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江西九江·期中）已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·贵州遵义·期中）设，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知函数，若为偶函数，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·河北承德·阶段检测）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河南南阳·期中）已知函数在上有且仅有1个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·四川凉山·期中）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.在摩天轮转动一圈内，点距离地面超过有多长时间（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 二、多选题 9．（25-26高一下·贵州遵义·期中）下列等式计算正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·河南驻马店·期中）下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角与1°的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 D．终边落在直线上的角的集合是 11．（25-26高一下·吉林长春·期末）设函数，则下列结论正确的是（     ） A．是的一个周期 B．的图象可由的图象向右平移得到 C．的一个零点为 D．在单调递增 三、填空题 12．（2026高一·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为__. 13．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）已知为奇函数，则当正数取最小值时，函数的图象的对称轴方程是______． 14．（23-24高一下·江苏苏州·阶段检测）已知函数在上恰好有7个零点，则的取值范围是______． 四、解答题 15．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）已知 (1)化简； (2)若，，求的值． 16．（24-25高一下·四川资阳·阶段检测）已知函数． (1)求的定义域和最小正周期； (2)求的对称中心和单调区间． 17．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且． (1)求的解析式和对称轴； (2)当时，求的值域． 18．（24-25高一上·广东·期末）已知函数的图象过点. (1)求的解析式和最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，矩形所在平面与地面垂直，点在地面上，（单位：），（单位：），与地面成角（），点到地面的距离为． (1)若，，，求； (2)将表示为的函数， ①求的解析式并求的最大值； ②已知在上单调递增，且，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $