专题04 二次函数的应用重难点题型专训 -2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学讲义以“二次函数的应用”为核心，通过知识点梳理与13大基础题型、3大提高题型的分类，构建系统复习体系。知识框架图呈现应用步骤（审题、设变量、列表达式等），清晰展示实际问题与综合题的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题型如“图形问题（矩形裁小正方形求侧面积）”培养几何直观，提高题型如“销售捐赠类含参问题”强化运算能力与模型意识。自我检测结合典型例题，帮助学生自主诊断，教师可通过分层题型实施精准教学，助力不同层次学生提升应用能力。

专题04 二次函数的应用重难点题型专训（1个知识点+13大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、图形问题(实际问题与二次函数) 1 题型二、图形运动问题(实际问题与二次函数) 2 题型三、拱桥问题(实际问题与二次函数) 3 题型四、销售问题(实际问题与二次函数) 4 题型五、投球问题(实际问题与二次函数) 5 题型六、喷水问题(实际问题与二次函数) 6 题型七、线段周长问题(二次函数综合) 7 题型八、面积问题(二次函数综合) 8 题型九、角度问题(二次函数综合) 9 题型十、特殊三角形问题(二次函数综合) 10 题型十一、特殊四边形(二次函数综合) 11 题型十二、相似三角形问题(二次函数综合) 12 题型十三、其他问题(二次函数综合) 13 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参） 1 题型二、二次函数中角度计算问题（45°等） 2 题型三、投球垂高、水平宽求面积最值问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【即时训练】 1．（25-26九年级下·河北沧州·阶段检测）如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（2026·甘肃嘉峪关·二模）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 【基础题型一 图形问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）小明以二次函数的图象为设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 1．（25-26九年级上·山西大同·期中）如图，矩形为大同古城管理部门计划在古城东南邑围建的一个小型表演场地，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长为的隔离带（虚线部分）围成，求所围成矩形的最大面积． 2．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 3．（24-25九年级上· 吉林白城· 阶段检测）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． (1)若，则四边形的面积是________． (2)当，的长为多少时，四边形的面积最大？ 【基础题型二 图形运动问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（2026·广东·模拟预测）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（    ） A． B． C． D．1 【例2】（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 1．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，中，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过的时间为t秒，的面积为S． (1)求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围； (2)求当时，t的值． 2．（25-26九年级上·吉林·期末）如图①，在中，，，，直线于点，分别交，于点，．点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动．同时直线从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．以为边向下作正方形，连接，点的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度． (2)当点落在直线上时，求的值． (3)设正方形与四边形重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式． (4)如图②，连接，，设的面积与正方形的面积比为．当时，直接写出的取值范围． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图①，已知在中，cm，cm，以为边作正方形，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2cm/s，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另外两个点也停止运动．分别连接，．设运动时间为t（s）（），解答下列问题： (1)是否存在某一时刻t，使点P在的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． (2)当t为何值时，为等腰三角形？ (3)如图②，连接MQ，设四边形的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式． (4)当时，求t的值． 【基础题型三 拱桥问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·上海虹口·期末）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 【例2】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 1．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点到水面的距离为，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 3．（25-26九年级下·陕西西安·期中）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图①），拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为． (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②），求抛物线的解析式； (2)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽、高的汽车？请说明你的理由． 【基础题型四 销售问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【例2】（25-26九年级上·河北唐山·期中）某酒店有种客房24间，当每天每间的定价为200元时，房间可全部住满；当每个房间每天每增加10元，就会有一个房间空闲． （1）若每间定价为220元，则每天空闲________个房间； （2）每间定价为________元时，种客房一天的营业额最大． 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 2．（2026九年级下·山东青岛·专题练习）金秋时节，桐乡杭白菊喜获丰收．某杭白菊经销商以每千克12元的价格购进一批鲜杭白菊，加工后出售，已知加工过程中质量损耗了，该商户对该杭白菊试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的，经试销发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元/千克）符合一次函数，且时，；时，． (1)这批杭白菊的实际成本为______元/千克，【实际成本进价（损耗率）】 (2)求一次函数的表达式； (3)若该商户每天获得利润（不计加工费用）为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元/千克时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？ (4)若该商户每天获得利润不低于384元，试确定销售单价的范围． 3．（25-26九年级上·天津河东·期末）某生物科技发展公司投资5000万元，研制出一种绿色保健食品．已知该种绿色保健食品的成本为300元/件，试销时，售价不低于成本价，又不高于800元/件．经市场调查，获得年销售量（万件）与销售单价（元/件）的关系符合一次函数关系式．请根据相关信息，回答下列问题： (1)销售单价的取值范围为_____； (2)经测算：该种绿色保健食品年销售量不低于20万件时，每件成本降低100元，设销售该种绿色保健食品年获利润为（万元）（年获利润为年销售额成本投资）． ①当年销售量为20万件时，销售单价为_____元，每件成本为_____元，此时的年获利润为_____万元； ②填表： 销售单价（元/件） ．．． 400 500 550 600 650 700 ．．． 年获利润（万元） ．．． — 2200 2700 3000 1300 — ．．． ③求出年销售量低于20万件和不低于20万件时，与之间的函数关系式． 【基础题型五 投球问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【例2】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为．第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板处，且离地高度，若，．则第一次反弹抛物线图象与它的二次项系数的比值为_____________；_____________． 1．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）在一场篮球赛中，队员甲面对面传给乙，出手后篮球的高度与飞出的水平距离近似满足二次函数关系，且这次传球的出手高度是，球在运行过程中达到最大的高度是4m． (1)求与的函数关系式； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲处，他的最大摸高是，他在原地能接到吗？如能接到，计算说明；如不能，他应该后退多少米才能恰好接到？ 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 3．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘O点正上方的高度A处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度      33 45 49 n 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时球到起始点的水平距离是_____，表格中n值为_____； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后是否能落到对面球台上，请说明理由． 【基础题型六 喷水问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【例2】（2026·甘肃天水·模拟预测）某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 1．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，某景区的音乐喷泉由间隔相等的喷泉组成，每个喷头喷出的水流形状相同，均可视为抛物线．以水平湖面所在直线为x轴，喷头所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，现测得喷出的水柱中，五组水平距离x（m）与相应的高度y（m）数据如下表： x（m） 0 1.2 2.4 3.6 4.8 y（m） 1.2 1.8 2.0 1.8 1.2 (1)根据上表数据，求该喷头水柱的抛物线解析式? (2)有一观光小船，其顶棚为矩形，顶棚各处离湖面高度均为，若小船从水柱正下方通过时，顶棚恰好接触到水柱，求该顶棚的宽度? (3)为方便游船从水柱下方通过，景区计划仅调节喷头高度（忽略喷头大小），要求游船从水柱正下方中间通过时，其顶棚任意一点到水柱的竖直距离均不小于．已知游船顶棚宽度为，顶棚到湖面高度为．问：喷头至少应该向上调节多少米? 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 【基础题型七 线段周长问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知二次函数的图象的顶点为，在轴上方的抛物线上有两点，点和点连接．过点作轴的垂线，交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 1．（25-26九年级上·广东珠海·期中）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B．点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②x＝3是的一个根；③周长的最小值是；④抛物线上有两点和，若，且，则，其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点，则的长为______． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．                 【基础题型八 面积问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 1．（2025·贵州·模拟预测）如图，抛物线交y轴于点A，交x轴正半轴于点C，顶点为B．则下列说法中错误的是（    ） A．一元二次方程有两个相等的实数根 B．若点，，均在该抛物线上，则 C．在y轴上找一点D，使的面积为1，则点D的坐标为 D．将该抛物线先向左平移1个单位长度，再沿x轴翻折，得到的新抛物线解析式是 2．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为______． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【基础题型九 角度问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知抛物线，交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，当时，a的值为_________． 【例2】（2026·辽宁大连·二模）抛物线与直线交于点和点H，，直线交直线于点A，交抛物线于点B． (1)求c和k的值（用含m的代数式表示）； (2)过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段的中点，探究与的数量关系，并说明理由． 1．（2026·黑龙江·三模）如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 2．（2026·湖南湘潭·模拟预测）如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【基础题型十 特殊三角形问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（2026·山东烟台·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【例2】（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，若为直角三角形，则长为_____ 1．（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知： 抛物线 交轴于 ，交轴于，顶点为为抛物线上动点． (1)求抛物线的解析式； (2)在 运动过程中，连，当． 时，求点坐标； (3)随着运动到第一象限，如图（2）直线交对称轴于，直线交对称轴于，若对称轴交轴于，求的值． 【基础题型十一 特殊四边形（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级下·辽宁大连·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2026·四川德阳·二模）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点，点在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为________． 1．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2026·辽宁盘锦·三模）如图1，抛物线经过点，，与y轴交于点C，P为抛物线上一点，Q在射线上，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当点Q也在抛物线上时，求点Q的坐标； (3)如图2，设点P的横坐标为m，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 3．（2026·湖北荆州·模拟预测）抛物线与轴交于原点和点，点为抛物线的顶点，点，为抛物线上不重合的两个点． (1)求的值； (2)试判断是否存在实数使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； (3)记点，两点之间的部分（包括，两点）为图象，点在图象上，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②图象上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点，再以最低点与点的连线为边向其上方作正方形，点到正方形边的最小距离记为．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且时，直接写出的值． 【基础题型十二 相似三角形问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知：二次函数． (1)求证：该抛物线与轴一定有两个交点； (2)设抛物线与轴的两个交点是、（在原点左边，在原点右边），且，求此时抛物线的解析式； (3)在（2）的前提下，若抛物线与轴交于点，问在轴的正半轴上是否存在点，使和相似？ 【例2】（2026·陕西商洛·三模）如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）图，抛物线经过点，，三点，连接、、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是否存在点，使得以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到点、、的对应点分别为点、、，使得点、恰好在抛物线上且点在抛物线的对称轴上？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点． (1)直接写出以下各点坐标： A______，B______，C______，M______． (2)若点P为x轴上方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，使得以P、B、Q为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 3．（2026·山西太原·二模）综合与探究：如图，二次函数图象与一次函数的图象相交于两点，与轴交于另一点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点的坐标； (2)如图1，点是线段上一个动点，过点作交于点．设点的横坐标为．若的面积是四边形面积的．求的值； (3)如图2，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【基础题型十三 其他问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线与交于点，若经过点的直线与两抛物线交于点，，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D． 【例2】（25-26九年级下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，，是两个动点（m，n为实数），则长度的最小值为________． 1．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线与有公共点，则a 的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②；③当时，；④；其中正确结论是______．    3．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，抛物线：与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，其顶点记为． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)点是轴上任意一点，连接、、，当周长取到最小值时，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到新的抛物线； ①抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），当点是线段三等分点时，求的值； ②点、是抛物线上两点，当时，请直接写出的取值范围． 【提高题型一 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参）】 【例1】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价总成本研发费用）； (3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元（）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围． 【例2】（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元千克）与时间第（天）之间的函数关系为，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示．    (1)求日销售量（千克）与时间第（天）的函数表达式； (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果该养殖户有日销售利润不低于2400元，该养殖户决定每天捐赠元给村里的特困户，如果共捐赠了7350元，求的值． 1．（2026·新疆喀什·一模）艾德莱斯绸是国家级非物质文化遗产．某合作社通过车间直销、线下门店、线上直播三条渠道销售艾德莱斯绸，具体情况如下： ①生产艾德莱斯绸的成本为30元/米，车间固定成本为800元/天； ②线下门店固定开支为500元/天．根据市场调研发现，售价定为40元/米时，每天可售出80米，售价每增加1元，每天售出减少2米； ③线上直播销售无固定开支，且每销售1米可获得40元的利润． (1)若合作社以50元/米的价格，通过车间直销的方式售出60米，则当日车间直销利润为______元； (2)线下门店决定提高售价来增加利润，要使线下门店每天的利润为700元，且尽量让利于顾客，售价应定为多少元/米？ (3)“文化和自然遗产日”期间，为扩大品牌影响力，将推出线上公益活动：线上每售出1米，向学校非遗社团捐赠t元（），已知线上日销售量Q（米）与捐赠额t（元）之间的关系为，当线上销售利润最大时，捐赠额为多少元/米？最大利润是多少？ 2．（2026·湖北十堰·模拟预测）某公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为：，且其日销售量y（）与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 40 日销售量y（） 118 114 108 100 80 40 (1)求出y与t之间的函数关系式． (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润（）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 3．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量件与售价元/件为正整数之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 4 5 6 y（件） 10000 9500 9000 (1)求y与x的函数关系式； (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价； (3)抗疫期间，商场向某慈善机构捐赠，要求：每销售一件商品捐赠不少于1元，但不超过5元．若该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出满足上述条件的m的取值范围． 【提高题型二 二次函数中角度计算问题（45°等）】 【例1】（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，与y轴的交点为点C，点P是抛物线在第四象限内一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求出点P的坐标； (3)设的面积为S，试求S的最大值以及此时点P的坐标． 【例2】（2025·甘肃武威·模拟预测）二次函数的顶点为，且经过点，交y轴于点A，交x 轴于点B、点C（点B在点C的左侧）． (1)求此二次函数的表达式； (2)求度数； (3)点M在线段上（不与点A、点C重合）由A开始向C运动，速度为每秒个单位长度，连接并延长交二次函数图象另一点Q，过Q作y轴的垂线段，垂足为点R，是否存在点Q使？若存在，请求出此时点M的运动时间；若不存在，请说明理由． 1．（25-26九年级上·四川南充·期末）点在经过，，的抛物线上，且满足． (1)求抛物线的解析式． (2)求点的坐标． (3)如图2，点在直线上方拋物线上，是射线上一点，连接交抛物线于点，且，当四边形面积最大时，求的坐标． 2．（2026·湖北孝感·一模）如图1，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点C，连接BC，抛物线顶点为点M． (1)直接写出a，b的值及点M的坐标； (2)点N为抛物线对称轴上一点，当最小时，求点N的坐标； (3)平移直线BC得直线． ①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接EM，求∠DME的度数． ②把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3）．当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 3．（25-26九年级上·重庆·期末）【问题背景】重庆市将投掷实心球作为中考体育的必考项目，在离手高度和离手速度一定的情况下，运动员可以通过调整实心球的离手角度，将实心球投掷得尽可能远． 【收集素材】投掷实心球属于物理中的斜抛运动，它可以看作竖直方向的运动与水平方向的运动的合成．忽略空气阻力，将实心球的离手速度分解到水平方向与竖直方向（如图1），抛实心球向前运动的水平距离（单位：米）、离开地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足关系式，其中表示重力加速度（，为常量）．表示实心球离手时距离地面的高度． 【建立模型】建立如图2所示的平面直角坐标系，实心球离手后的运动轨迹则可用函数图象来刻画． 【问题解决】某学习小组安排了一名男同学，分别以为离手角度进行实心球投掷．考虑到投掷者不变，故实心球离手时的离地高度、离手速度均视为不变量．通过查阅资料和初步计算，实心球离手后，水平方向与竖直方向的运动可表示如下： 离手角度为时：； 离手角度为时：； 离手角度为时：． 通过消元，离手角度为时，，即可表示为关于的二次函数，将其命名为函数． (1)任务一：请表示：离手角度为时，关于的函数表达式： ；离手角度为时，关于的函数表达式： ； (2)任务二：图3中是同一平面直角坐标系里，的图象，根据图象可以判断，在这三次投掷中，离手角度为 时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度； (3)任务三：中考实心球项目中，男生投掷9.7米及以上的距离则能够获得满分．请通过计算说明，该学习小组安排的这位男同学，以最佳离手角度投掷实心球时，能否获得满分？ 【提高题型三 投球垂高、水平宽求面积最值问题】 【例1】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）教练对嘉淇推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是．嘉淇第一次推铅球对应的抛物线如图所示，其中，当铅球运行到水平距离为时，铅球行进的高度为． (1)点的坐标为______；它表示的实际意义是______； (2)求铅球推出的距离的长； (3)嘉淇第二次推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求推出铅球行进的最大高度； (4)嘉淇第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，若嘉淇想拿下冠军，他推出的水平距离要超过12米，直接写出此时的取值范围． 【例2】（25-26九年级上·北京海淀·阶段检测）小磊进行铅球训练，他尝试用数学模型来研究铅球的运动情况．小磊某次试投时，铅球的运动路径可以看作抛物线，铅球从距地面2m处的A点处出手，在距出手点A水平距离4m处达到最高点B，最高点B距地面的距离为3m．小磊以地面为x轴，出手点A所在的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)写出A，B两点的坐标：A　 　，B　 　； (2)求铅球运动路径所在抛物线的函数解析式； (3)若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩记为优秀，请通过计算，判断小磊此次成绩是否能达到优秀． 1．（2025·陕西宝鸡·一模）某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投石器的性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点端拉至水平地面处，放手后投石竿绕支点旋转，从点处把石头甩出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图3．已知米，抛物线顶点的坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了检验投石器的性能，在点的正前方2米米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.6米，外壁高为0.8米的目标箱（其中垂直轴）．兴趣小组为了把石头投入目标箱，可以垫高投石器或在轴正方向移动投石器（假设每次都以相同的角度和力度投石），当垫高投石器时，设垫高的高度为米，求的取值范围（取值范围不取端点）． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． 3．（2026·河北石家庄·模拟预测）某电子屏上下边缘距离为，点P在电子屏上的运动路线如图中虚线所示，当运动至点M时达到最高点，此时距左边缘，之后的运动时间为t秒，点P是下落过程中某位置：水平方向继续以速度向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为，d由两部分组成：为常数，与t的平方成正比，且有如下表格中的数据． t d (1)用含t的代数式表示d，直接写出最高点M的坐标； (2)若，用分别表示点P的横坐标x、纵坐标y，求y与x之间的关系式，并求点P在电子屏左边缘时的坐标； (3)甲、乙两点从左边缘不同位置出发，均能达到最高点M，若乙点比甲先出发，，在两点下落过程中，若某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于，直接写出m的最小值． 1．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）顶点为P的抛物线与y轴相交于点A，把该抛物线绕顶点P旋转得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 2．（24-25九年级下·安徽淮南·阶段检测）汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期末）将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价为元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·北京房山·期末）小明以二次函数的图象为灵感为设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（   ） A．14 B．11 C．6 D．3 5．（2026·四川德阳·模拟预测）如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：抛物线的图象的对称轴一定是轴；当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；直线中，如果发生变化，的长度可以等于；随着的值变化，有可能成为等边三角形；当时，．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，设矩形菜园的面积为（单位：米），的长为（单位：米）则关于的函数关系式是___________． 7．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为______． 8．（2026九年级上·湖南永州·模拟预测）道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 9．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则的周长最小为________，此时点M的坐标是________． 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知抛物线和直线．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值k分别为，若，取中的较大值记为M；若，记．下列判断： ①当时，；②当时，x值越大，M值越大； ③使得的x值不存在；④使的x值有2个． 其中正确的是 ．（填序号） 11．（2026·北京门头沟·模拟预测）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为元，经市场预测，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个． (1)商店若准备获得利润元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ (2)商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 12．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 13．（2026·陕西·模拟预测）如图：抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，过点P作于点H，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点M为点P对应点，点N为新抛物线对称轴上任意一点，在新抛物线y1上确定一点G，使得以点B，M，N，G为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点G的坐标． 14．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 15．（2026·山东泰安·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标； (3)如图2，轴与抛物线相交于点E，点H是直线下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与，分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形的面积最大，求点H的坐标及最大面积； (4)若点K为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形的周长最小，求出点P，Q的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数的应用重难点题型专训（1个知识点+13大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、图形问题(实际问题与二次函数) 1 题型二、图形运动问题(实际问题与二次函数) 2 题型三、拱桥问题(实际问题与二次函数) 3 题型四、销售问题(实际问题与二次函数) 4 题型五、投球问题(实际问题与二次函数) 5 题型六、喷水问题(实际问题与二次函数) 6 题型七、线段周长问题(二次函数综合) 7 题型八、面积问题(二次函数综合) 8 题型九、角度问题(二次函数综合) 9 题型十、特殊三角形问题(二次函数综合) 10 题型十一、特殊四边形(二次函数综合) 11 题型十二、相似三角形问题(二次函数综合) 12 题型十三、其他问题(二次函数综合) 13 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参） 1 题型二、二次函数中角度计算问题（45°等） 2 题型三、投球垂高、水平宽求面积最值问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 二次函数的应用 1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。 2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。 3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。 4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。 6.写出答案。 【即时训练】 1．（25-26九年级下·河北沧州·阶段检测）如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线的解析式，令，根据有两个交点求出a的取值范围，再分和两种情况讨论即可得到答案； 【详解】解：设所在直线为， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∵二次函数与线段有两个不同的公共点， ∴， 解得：， ①当时， 此时函数的开口向上， ∴，， 解得：， ②当时 此时函数的开口向下， ∴，， 解得：， 综上所述得：，， 故选：B． 2．（2026·甘肃嘉峪关·二模）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国运动员的精彩表现让人叹为观止，已知运动员从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，y与x的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为________m时，竖直高度达到最大值． 【答案】8 【分析】根据二次函数的性质，当二次项系数小于0时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，利用顶点横坐标公式求解即可． 【详解】解：函数关系式为， ，， ∴对称轴 ， 抛物线开口向下，有最大值 当时，竖直高度达到最大值 当她与跳台边缘的水平距离为时，竖直高度达到最大值． 【基础题型一 图形问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为，根据题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为． 【例2】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）小明以二次函数的图象为设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 【答案】 11 【分析】首先由求出D点的坐标为，然后根据，可知B点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 1．（25-26九年级上·山西大同·期中）如图，矩形为大同古城管理部门计划在古城东南邑围建的一个小型表演场地，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长为的隔离带（虚线部分）围成，求所围成矩形的最大面积． 【答案】矩形的最大面积为 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设边的长度为，矩形的面积为，则边的长为，根据矩形面积公式求出，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：设边的长度为，矩形的面积为，则边的长为， 由题得 ， 时，有最大值，最大值为225 答：矩形的最大面积为． 2．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，用长的护栏全部用于建造一个靠墙（墙的长度不限）的长方形养牛场，已知此长方形养牛场的面积为，且与墙平行的边长为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当边长为何值时，该长方形面积最大？并求出其最大值． 【答案】(1)； (2)当时，面积取最大值为 【分析】（1）先用含的式子将与墙面垂直的边长表示出来，由矩形面积公式直接列出函数解析式即可； （2）利用二次函数性质即可得到答案． 【详解】（1）解：根据已知条件，与墙平行的边长为， 则垂直于墙的边长为：， ∴． （2）解：∵， ∴当时，面积取最大值为． 3．（24-25九年级上·吉林白城·阶段检测）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． (1)若，则四边形的面积是________． (2)当，的长为多少时，四边形的面积最大？ 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查二次函数最值以及四边形面积的求法， （1）由，得到，根据三角形的面积公式并结合推出四边形的面积为，代入即可解答； （2）设，四边形面积为S，由（1）可得，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 设交于点， ∵， ∴ ； 故答案为：12 （2）解：设，四边形面积为S，则， 由（1）得到， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为， 此时，， ∴当时，四边形的面积最大． 【基础题型二 图形运动问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（2026·广东·模拟预测）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设A(a，a²)，B(b，b²)，求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解． 【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D， 设A(a，a²)，B(b，b²)，其中a≠0，b≠0， ∵OA⊥OB， ∴， ∴， 即， ， 设AB的解析式为：，代入A(a，a²)， 解得：， ∴， ∵，即 ， ∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动， 当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大， 故CH的最大值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解． 【例2】（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故答案为：15． 1．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）如图，中，，点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过的时间为t秒，的面积为S． (1)求S与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围； (2)求当时，t的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据三角形的面积，即可求解； （2）当时，，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：当时， ， 解得． 所以经过2秒或4秒时的面积为． 2．（25-26九年级上·吉林·期末）如图①，在中，，，，直线于点，分别交，于点，．点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动．同时直线从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．以为边向下作正方形，连接，点的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度． (2)当点落在直线上时，求的值． (3)设正方形与四边形重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式． (4)如图②，连接，，设的面积与正方形的面积比为．当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据中，，，，运用勾股定理求出的长； （2）当点落在直线上时，证明四边形是矩形，求出，根据 ，运用建立方程，解方程即得； （3）当时，设交于点H，证明四边形是平行四边形，得到，证明，求出，运用即得；当时，设交于点Q，根据，，的长求出， ，运用即得； （4）设交射线于点R，过点P作延长线于点K，得到四边形是矩形，当在上面时，求出，得到，根据，得到，求出；当在下面时，求出，推出，得到，推出． 【详解】（1）∵在中，，，， ∴， ∴； 故答案为：5； （2）当点落在直线上时， ∵四边形是正方形，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，； （3）当时，设交于点H， 由（2）知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， 设交于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴； 故； （4）设交射线于点R，过点P作，交延长线于点K， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 当在上方时， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，； 当在下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 故或． 【点睛】本题主要考查了三角形，四边形，相似三角形，二次函数与动态几何．熟练掌握勾股定理解直角三角形，正方形性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形面积公式和梯形面积公式，二次函数与几何结合，分类讨论，是解决问题的关键． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图①，已知在中，cm，cm，以为边作正方形，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2cm/s，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另外两个点也停止运动．分别连接，．设运动时间为t（s）（），解答下列问题： (1)是否存在某一时刻t，使点P在的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． (2)当t为何值时，为等腰三角形？ (3)如图②，连接MQ，设四边形的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式． (4)当时，求t的值． 【答案】(1) 解：假设存在点P在的垂直平分线上，连接， ∵点P在的垂直平分线上， ，， 又 解得：， ， 故都不符合题意，舍去； 答：不存在． (2)或 (3) (4) 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质，列方程求解即可； （2）如图1，根据等腰三角形性质，分别当B点、P点、Q点为顶点时，列方程求解； （3）如图2，过点Q作于点G，先，再，最后，得到y与t之间的函数关系； （4）根据图1，，求得，，再，解得t值． 【详解】（1）略 （2）， 当时， 解得：； 当时， 如图1，过点Q作于点F， ， ， ， 又 ， ， 解得：； 当时，如图1，过点P作于点H， ， ， ， ， ； ， 解得：； 答：t的值为或时，为等腰三角形． 图1 （3）如图2，过点Q作于点G， ， ； 又 即． 图2 （4）如图1，， ， ， ， ， 同理，； ， ， 解得：． 【点睛】本题是一道有关相似的综合题，涉及到段垂直平分线性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形、勾股定理不规则图形面积的求法等知识；根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 【基础题型三 拱桥问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·上海虹口·期末）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 【答案】B 【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x²，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长． 【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为y＝ax2， ∵O点到水面AB的距离为4米， ∴A、B点的纵坐标为﹣4， ∵水面AB宽为20米， ∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 将A代入y＝ax2， ﹣4＝100a， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2， ∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为﹣1， ∴﹣1＝﹣x2， ∴x＝±5， ∴CD＝10， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键． 【例2】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 【答案】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 1．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点到水面的距离为，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 【答案】 【分析】设出解析式，待定系数法求出函数解析式即可. 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意，抛物线过点， ∴， ∴， ∴， 故抛物线的函数关系式是. 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【答案】(1)方案一，；方案二，；方案三， (2)方案一，；方案二；方案三， (3) 【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标； （2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式； （3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 3．（25-26九年级下·陕西西安·期中）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图①），拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为． (1)将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②），求抛物线的解析式； (2)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽、高的汽车？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)一条行车道能行驶这样的汽车 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． （1）根据题目可知的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设是隔离带的宽，是车辆的宽度．做垂直交抛物线于则可求解． 【详解】（1）解：根据题目条件的坐标分别是， 设抛物线的解析式为， 将的坐标代入， 得 解得． 所以抛物线的表达式． （2）设是隔离带的宽，是车辆的宽度， 则点坐标是． 过点作垂直交抛物线于， 则． 根据抛物线的特点，可知一条行车道能行驶这样的汽车． 【基础题型四 销售问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， ∵ 该二次函数的二次项系数 ， ∴ 函数图象开口向下，有最大值， 配方得， ∴ 当时，取得最大值. 【例2】（25-26九年级上·河北唐山·期中）某酒店有种客房24间，当每天每间的定价为200元时，房间可全部住满；当每个房间每天每增加10元，就会有一个房间空闲． （1）若每间定价为220元，则每天空闲________个房间； （2）每间定价为________元时，种客房一天的营业额最大． 【答案】 2 220 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据当每天每间的定价为200元时，房间可全部住满；当每个房间每天每增加10元，就会有一个房间空闲，求解即可； （2）设客房每间定价为元，营业额为，根据营业额＝住的客房数×房间定价，列出关于的函数解析式，再结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：（1）若每间定价为220元，增加了2个10元，就会有2个房间空闲． 故答案为：2． （2）设客房每间定价为元，营业额为， 依题意得：， 当时，最大． 故答案为：220． 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)9元 (3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的两点坐标和列出方程组求解； （2）根据“总利润单件利润销售量”建立一元二次方程，解方程后根据“让顾客得到更大的实惠”这一条件筛选合适的解； （3）建立总利润关于降价x的二次函数关系式，利用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标，从而得出最大值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得或， 为了让顾客得到更大的实惠，所以， 因此，这种干果每千克应降价9元； （3）设利润为元， 根据题意得， 配方得， 抛物线开口向下，当时，w取得最大值2250． 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 2．（2026九年级下·山东青岛·专题练习）金秋时节，桐乡杭白菊喜获丰收．某杭白菊经销商以每千克12元的价格购进一批鲜杭白菊，加工后出售，已知加工过程中质量损耗了，该商户对该杭白菊试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的，经试销发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元/千克）符合一次函数，且时，；时，． (1)这批杭白菊的实际成本为______元/千克，【实际成本进价（损耗率）】 (2)求一次函数的表达式； (3)若该商户每天获得利润（不计加工费用）为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元/千克时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元？ (4)若该商户每天获得利润不低于384元，试确定销售单价的范围． 【答案】(1)20 (2) (3)利润关系式为，销售单价定为45元/千克时，最大利润为775元 (4) 【分析】（1）根据题目给出的实际成本公式直接计算； （2）利用待定系数法代入已知点坐标求解一次函数解析式； （3）根据总利润每千克利润销售量列出利润的函数解析式，结合题目给出的单价范围，利用二次函数的性质求解最大利润； （4）根据利润要求列出不等式，结合单价的取值范围得到最终销售单价的范围． 【详解】（1）解：根据题意，实际成本为元/千克． （2）解：将和代入得， 解得：， 故一次函数的表达式为． （3）解：由题意得，总利润， 代入得， 根据题意，销售单价满足， 即， 对配方得， ∵二次函数开口向下，对称轴为，在范围内，随的增大而增大． ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：利润关系式为，销售单价定为 45 元／千克时，商户每天可获得最大利润，最大利润是 775 元． （4）解：由题意得，即， 整理得开方得， 解得， 又∵， ． 3．（25-26九年级上·天津河东·期末）某生物科技发展公司投资5000万元，研制出一种绿色保健食品．已知该种绿色保健食品的成本为300元/件，试销时，售价不低于成本价，又不高于800元/件．经市场调查，获得年销售量（万件）与销售单价（元/件）的关系符合一次函数关系式．请根据相关信息，回答下列问题： (1)销售单价的取值范围为_____； (2)经测算：该种绿色保健食品年销售量不低于20万件时，每件成本降低100元，设销售该种绿色保健食品年获利润为（万元）（年获利润为年销售额成本投资）． ①当年销售量为20万件时，销售单价为_____元，每件成本为_____元，此时的年获利润为_____万元； ②填表： 销售单价（元/件） ．．． 400 500 550 600 650 700 ．．． 年获利润（万元） ．．． — 2200 2700 3000 1300 — ．．． ③求出年销售量低于20万件和不低于20万件时，与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)①600，200，3000；   ②600，1400；③年销售量低于20万件时，；年销售量不低于20万件时， 【分析】本题考查用一次函数解决销售利润问题，理解题意是解题的关键． （1）根据“售价不低于成本价，又不高于800元/件”即可解答； （2）①将代入求出，根据“年销售量不低于20万件时，每件成本降低100元”算出成本，再由计算得出答案； ②当和时，分别求出值与20比较，确定成本，再根据年获利润公式计算即可解答； ③由值确定成本及取值范围，再根据年获利润公式计算即可解答． 【详解】（1）解：根据“售价不低于成本价，又不高于800元/件”可得销售单价的取值范围为； （2）解：①将代入得，解得， 由“年销售量不低于20万件时，每件成本降低100元”得每件成本为（元）， 当时，； ②当时，，则， 当时，，则； ③由①知时，根据得y随x的增大而减小， ∴当时，，此时每件成本为300元． ∴，， 当时，，此时每件成本为200元． ∴，． 综上所述，年销售量低于20万件时，；年销售量不低于20万件时，． 【基础题型五 投球问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 【例2】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为．第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板处，且离地高度，若，．则第一次反弹抛物线图象与它的二次项系数的比值为_____________；_____________． 【答案】 【分析】先求出，，设第一次反弹后的抛物线的解析式 得，设第二次反弹后的抛物线的解析式，得，得出即可． 【详解】解：，， ，， 设第一次反弹后的抛物线解析式为， 抛物线过原点， ， 解得：，即； 每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致）， 两个抛物线的是相同的， 设二次反弹后的抛物线解析式为， ，， ， 抛物线过，两点， ， 解得：， ． 1．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）在一场篮球赛中，队员甲面对面传给乙，出手后篮球的高度与飞出的水平距离近似满足二次函数关系，且这次传球的出手高度是，球在运行过程中达到最大的高度是4m． (1)求与的函数关系式； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲处，他的最大摸高是，他在原地能接到吗？如能接到，计算说明；如不能，他应该后退多少米才能恰好接到？ 【答案】(1) (2)需要后退的距离为 【分析】本题考查二次函数的顶点式和实际应用，利用顶点式的性质确定函数参数是解题关键． （1）由二次函数顶点式的性质，顶点对应最大高度，故；再代入出手点求解，从而确定函数关系式． （2）先计算时的篮球高度，与乙的最大摸高比较，判定不能接到后，令求解，计算与原位置的距离差，确定后退的距离． 【详解】（1）解：已知篮球飞行的轨迹满足二次函数顶点式． 二次函数顶点对应篮球飞行的最大高度， ， 函数式化为， 篮球出手时的坐标为，将其代入函数式： 可得，即， 移项计算得： ， 解得． 函数关系式为． 答：． （2）解：判断能否接到： 乙在的位置，最大摸高为， 将代入函数关系式：， ， 乙原地接不到篮球． 计算后退距离： 令，代入函数关系式： ， 移项化简： ，即， 解得，（不符合题意，舍去）， 乙原位置为， 需后退的距离为． 答：需要后退的距离为． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 【答案】(1) (2)小军第一次投掷实心球不能得满分 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入解得即可； （2）令，解得，与比较即可． 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得． ∴本次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ，即， ， ∴小军本次投掷实心球不能得满分． 3．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘O点正上方的高度A处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度      33 45 49 n 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时球到起始点的水平距离是_____，表格中n值为_____； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后是否能落到对面球台上，请说明理由． 【答案】(1)230，45 (2) (3)能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据，函数值为 0 时，自变量的值即为水平距离；根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为 0 时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； ∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当时的函数值与当的函数值相同， ， 故答案为：230；45． （2）解：设， 把代入中得， 解得：， ∴满足条件的函数表达式为； （3）解：当发球机的发球高度增加时， 则此时抛物线解析式为， 在中，当时， 解得：或， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上． 【基础题型六 喷水问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（26-27九年级上·全国·单元复习）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 【例2】（2026·甘肃天水·模拟预测）某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】/米 【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． 1．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，某景区的音乐喷泉由间隔相等的喷泉组成，每个喷头喷出的水流形状相同，均可视为抛物线．以水平湖面所在直线为x轴，喷头所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，现测得喷出的水柱中，五组水平距离x（m）与相应的高度y（m）数据如下表： x（m） 0 1.2 2.4 3.6 4.8 y（m） 1.2 1.8 2.0 1.8 1.2 (1)根据上表数据，求该喷头水柱的抛物线解析式? (2)有一观光小船，其顶棚为矩形，顶棚各处离湖面高度均为，若小船从水柱正下方通过时，顶棚恰好接触到水柱，求该顶棚的宽度? (3)为方便游船从水柱下方通过，景区计划仅调节喷头高度（忽略喷头大小），要求游船从水柱正下方中间通过时，其顶棚任意一点到水柱的竖直距离均不小于．已知游船顶棚宽度为，顶棚到湖面高度为．问：喷头至少应该向上调节多少米? 【答案】(1) (2)米 (3)0.2米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握运用待定系数求函数解析式、二次函数图像的平移、由二次函数值求自变量的值，将实际问题转化成二次函数问题，是解题的关键． （1）在表格中取三组数据，然后运用待定系数法解答即可； （2）令，求得对应x的值，然后确定两个x之间的距离即可解答； （3）设出二次函数图像平移后的解析式，根据题意列出不等式求解即． 【详解】（1）解：由表格可知：函数图像经过点，，， 设函数解析式为：， 则有， 解得 ， ∴函数解析式为：． （2）解：令， 则有， 解得， ∴该观光小船顶棚的宽度为． （3）解：设公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动n米才能符合要求， 则调节后的喷头喷出的抛物线形状水流的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为：， 由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于， ∴， 解得：， ∴喷头高度至少向上调节0.2米， ∴公园应将喷头高度至少向上调节0.2米才能符合要求． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 【答案】(1) (2)喷泉跨度的最小值为3 (3)能够进入该安全通道的人的最大身高为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数图象的不同特点设出相关函数解析式是解题的关键． （1）抛物线过原点，可设抛物线解析式为：，易得抛物线的顶点坐标为，抛物线经过（，把这两点代入可得抛物线的解析式； （2）两个抛物线的形状相同，则二次项的系数相同，抛物线的最高高度相同，那么两个抛物线顶点的纵坐标也相等，设抛物线解析式为顶点式，当喷水管最高时，的值最小，把代入抛物线解析式可得抛物线的解析式，进而求解； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，根据点在过点的抛物线上，点在过点的抛物线上，求得纵坐标相等时的值，代入过点的抛物线可得纵坐标的值，即为能够进入该安全通道的人的最大身高． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，如图， ∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵水柱最高点离地面， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， ∵不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同， ∴图3中抛物线的顶点的坐标可设为：， ∴抛物线解析式为：， ∵喷水管最高时，的值最小， ∴抛物线经过点，即， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 当时，， 解得：（负值舍去）， ∴； 答：喷泉跨度的最小值为3； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为， 由题意可知：点在抛物线上，点在抛物线上， 则， ∴， ， ， ， 解得：， ∴． 答：能够进入该安全通道的人的最大身高为米． 【基础题型七 线段周长问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（2025·江苏徐州·模拟预测）已知二次函数的图象的顶点为，在轴上方的抛物线上有两点，点和点连接．过点作轴的垂线，交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，求出对称轴为直线，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，则，证明，由相似三角形的性质可得，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线； 如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为E、F， ∵点和点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（已检验）， 故选：D． 【例2】（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、轴对称的性质、待定系数法求一次函数解析式，熟练运用轴对称的性质是解题的关键． 根据抛物线的对称性可知，所以当点P在线段上时，的值最小，以此为依据求解即可． 【详解】解：如图，连接，交对称轴于点P，连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 要使的值最小，则应使的值最小， ∴与对称轴的交点P，使得的值最小， 令，则， 解得，， ∴，， 抛物线的对称轴为， ∴点P的横坐标为1， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点P坐标为． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·广东珠海·期中）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B．点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②x＝3是的一个根；③周长的最小值是；④抛物线上有两点和，若，且，则，其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①根据对称轴方程求得a、b的数量关系； ②根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3； ③利用两点间线段最短来求△PAB周长的最小值； ④根据二次函数图象，当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越小得出结论． 【详解】解：①根据图象知，对称轴是直线，则b=-2a，即2a+b=0． 故①正确； ②根据图象知，点A的坐标是（-1，0），对称轴是直线x=1， 则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）， 所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故②正确； ③如图所示，点A关于x=1对称的点是，即抛物线与x轴的另一个交点． 连接与直线x=1的交点即为点P， 则△PAB周长的最小值是的长度． ∵B（0，3），， ∴．而 即△PAB周长的最小值是． 故③正确． ④观察二次函数图象可知： 当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2， 则1-x1＜x2-1， ∴y1＞y2． 故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间线段最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性． 2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查抛物线与轴的交点以及平行线上两点之间的距离等知识点．先求出抛物线与轴的交点的坐标是，则、的纵坐标都是，将代入中求出、的横坐标，进而可求线段的长． 【详解】解：在中， 令，则， 点， 又轴， 点、的纵坐标都是， 直线交抛物线于点， 在中，令，则， 解得：， ，， ， 故答案为：8． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  【基础题型八 面积问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算的面积． 【详解】解：∵二次函数经过点，，两点纵坐标相等 ∴二次函数的对称轴为直线 ∵对称轴公式为， ∴，解得 又∵二次函数图象与轴只有一个交点 ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 将代入解析式，得 ∴，， ∴，原点到直线的距离为 ∴． 【例2】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【答案】2 【分析】根据A、B坐标求出，进而将抛物线化为顶点式，得到顶点的坐标为，即的高为，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴， 即顶点的坐标为， ∴的高为， ∴． 1．（2025·贵州·模拟预测）如图，抛物线交y轴于点A，交x轴正半轴于点C，顶点为B．则下列说法中错误的是（    ） A．一元二次方程有两个相等的实数根 B．若点，，均在该抛物线上，则 C．在y轴上找一点D，使的面积为1，则点D的坐标为 D．将该抛物线先向左平移1个单位长度，再沿x轴翻折，得到的新抛物线解析式是 【答案】C 【分析】解出方程的解即可判断A；分别将横坐标代入求出纵坐标，进行比较即可判断B；设点D的坐标为，则，求解即可判断C；先将二次函数解析式变成顶点式，再写出平移之后的解析式，再根据沿x轴翻折，即可判断D． 【详解】解：A．方程整理得：， 解得：， 即一元二次方程有两个相等的实数根， 故选项A不符合题意； B．当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴ 故选项B不符合题意； C．当时，，即； 当时，，即； 设点D的坐标为， 即， 解得或4， ∴点D的坐标为或， 故选项C符合题意； D．∵， ∴将该抛物线先向左平移1个单位得到的抛物线解析式为：， 平移后再沿x轴翻折，翻折后得到的抛物线表达式是：， 故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，铅锤法求面积，熟练掌握一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质是解题的关键． 2．（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、图形平移的性质，连接，，根据图形平移的性质可知． 【详解】如图所示，连接，， 根据图形平移的性质可知， 设抛物线的表达式为， 抛物线经过点和原点，则抛物线的对称轴为， 将代入，得， 所以，点的坐标为， 将代入抛物线，得， 所以，点的坐标为， ， 所以，， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 【基础题型九 角度问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知抛物线，交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，当时，a的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，根据，在上取一点，使得，则．进而得出，构造方程，解方程，即可求解． 【详解】解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． 当时，如图所示， ∵ 在上取一点，使得，则 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：（负值舍去） 当时，同理可得 综上所述， 故答案为： 【例2】（2026·辽宁大连·二模）抛物线与直线交于点和点H，，直线交直线于点A，交抛物线于点B． (1)求c和k的值（用含m的代数式表示）； (2)过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围； (3)在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段的中点，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由如下： 连接， 由（2）得，，，． 抛物线的对称轴为直线． 轴， ∴点B，D关于直线对称． 为中点， ． 设抛物线的对称轴与交于点Q，则． ． ． 又∵M，N关于直线对称， ． ． ，， ，． ． ． ． 【分析】（1）把分别代入和，即可求得答案； （2）由题意可得，，，，求得，再根据不等式的性质即可求得的取值范围； （3）连接，设抛物线的对称轴与交于点Q，则，根据中点得到，则，，即可证明，得到，则． 【详解】（1）解：把分别代入和， 得，， ，； （2）解：由（1）得，直线解析式为，抛物线解析式为． 当时，． ． 当时，． ． ， ∴点B在点A的上方． ． 当时，． 解得，． ，点M在点N的左侧， ，． ． ． ， ， ， ． （3）略 1．（2026·黑龙江·三模）如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在x轴上方时，取点，连接，可证明，推出，则点P在射线上，求出直线的解析式为，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可；当点P在x轴下方时，取点，连接，同理可证明点P在射线上，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，当点P在x轴上方时，取点，连接， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时，取点，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 2．（2026·湖南湘潭·模拟预测）如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． (1)求的值； (2)求函数的解析式； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的坐标为或 【分析】（1）把代入直线，解方程求出的值即可； （2）把代入直线解析式，得出点的坐标，再利用待定系数法确定二次函数解析式即可； （3）分在上方和下方两种情况，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得：． （2）解：由（1）可知，， ∴直线的解析式为， ∴当时， 解得：， ∴， 将、代入中得， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． （3）解：存在，的坐标为或 ①当点在直线上方时，设交轴于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 联立直线与抛物线解析式得：， 解得：，（与点重合，舍去）， ∴； ②如图，当点在直线下方时，设交轴于点， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式得：， 解得：，（与点重合，舍去）， 所以； 综上所述：存在点，使得，的坐标为或． 3．（25-26九年级上·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是线段下方抛物线上一点，过点作轴交线段于点，过点作轴交轴于点，求出的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一点，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2)最大值为4，点的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线，设，然后用的代数式表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的抛物线表达式，过点作轴于点，则，那么，设，则，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于，令，则 ∴ ∵ 设直线， 则 解得 ∴直线 设 ∵轴， ∴， ∵轴， ∴ 整理得， ∵， ∴当时，取得最大值为， 此时点； （3）解：∵， ∴， ∵ ∴， 设点的对应点为点，作轴于点，则为等腰直角三角形，， 则由题意得， ∵ ∴ ∴点向右平移2个单位，向下平移2个单位得到点， 而抛物线， 则向右平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∵ ∴， 过点作轴于点 ∴ ∴ 设，则 ∴或 解得，或（舍去）； 解得，或（舍去） ∴当时，；当时，， 综上：符合条件的点的坐标为或． 【基础题型十 特殊三角形问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（2026·山东烟台·模拟预测）如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（     ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 【例2】（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，若为直角三角形，则长为_____ 【答案】 【分析】先求出抛物线顶点A、点B、点C的坐标，根据点A在BC的垂直平分线上得到，确定直角顶点为A，利用等腰直角三角形的性质求出的值，再用勾股定理计算的长度即可． 【详解】解：将代入得， 因此， 抛物线的对称轴为直线， ∵点是点关于对称轴的对称点， ∴， ∴， 将代入抛物线解析式得顶点的纵坐标为， 因此， ∵点在的垂直平分线上， ∴， 若为直角三角形，则直角顶点只能为， 如图，设中点为，连接， 则，， 由等腰直角三角形性质得， 即， 整理得， 当时，，此时三点重合，舍去， 因此，所以，即， 由勾股定理得， 代入得． 1．（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在实数a，使得为直角三角形． 理由如下： ①由图可知，A为直角顶点，不可能； ②若C为直角顶点，此时与原点O重合，由题意可知，也不可能； ③若B为直角顶点，则， 令，可得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得， 解得， 由（2）可知，， ∴，不合题意，舍去； 综上所述，不存在实数a，使得为直角三角形． 【分析】（1）把点和点代入，即可求解； （2）先求出顶点M的坐标，再利用得到关于a的方程，即可求解； （3）分A为直角顶点，C为直角顶点，B为直角顶点，三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入，得， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴顶点M的纵坐标为， ∵， ∴ ∴， 整理得， 解得， 由图象可知， ∵顶点M在第二象限， ∴对称轴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． （3）略 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）已知： 抛物线 交轴于 ，交轴于，顶点为为抛物线上动点． (1)求抛物线的解析式； (2)在 运动过程中，连，当． 时，求点坐标； (3)随着运动到第一象限，如图（2）直线交对称轴于，直线交对称轴于，若对称轴交轴于，求的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)或； (3) 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合运用，掌握待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，动点与函数的关系的表示方法，数形结合分析思想是解题的关键． （1）把点代入，运用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴，交延长线于点，设，可得是等腰直角三角形，则，可证，得到，则，直线的解析式为，且点是直线与抛物线的交点，联立方程组得，由此即可求解； （3）根据题意，抛物先对称轴直线为，，设，可得直线的解析式为，则，同理可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：抛物线 交轴于 ， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， ∴， 令，则， 解得，，即， 如图所示，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴，交延长线于点，设， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为，且点是直线与抛物线的交点， ∴联立方程组得，， 解得，， ∴或； （3）解：根据题意，抛物先对称轴直线为，，设， 直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 同理可得，， ∴． 【基础题型十一 特殊四边形（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级下·辽宁大连·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 【例2】（2026·四川德阳·二模）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点，点在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为________． 【答案】 【分析】过点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、E、F，由正方形的性质得到， 可得是等腰直角三角形，得到，设，则，利用待定系数法可得，则，可得正方形的周长为，同理可求出正方形的周长为，正方形的周长为，则可推出正方形的周长为，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、E、F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴正方形的周长为； ∵， ∴； 同理可得， 设，则， ∴， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴正方形的周长为， 同理可得正方形的周长为， ……， 以此类推，可知，正方形的周长为 ∴正方形的周长为． 1．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把代入函数解析式即可求出； （2）设，又，分三种情况：①以为对角线，则的中点重合，可得；②以为对角线，则的中点重合，由无解，知这种情况不存在；③以为对角线，则的中点重合，解得； （3）作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，由得，可得，即，设直线解析式为，可得直线解析式，由，得坐标． 【详解】（1）解：经过， ， （2）抛物线上存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知， 抛物线解析式为， 设，又， 以为对角线，则的中点重合， ， 解得， 以为对角线，则的中点重合， ， 同时满足两个方程的不存在， 这种情况不存在； 以为对角线，则的中点重合， ， 解得，， ， 综上所述，坐标为或； （3）抛物线在第一象限内的部分存在一点，使得平分，理由如下： 作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，如图： ， ， ， 关于直线对称， ，， ， ， 设直线解析式为，将代入得： ， 解得， 直线解析式为， 由，得或（不在第一象限，舍去） 2．（2026·辽宁盘锦·三模）如图1，抛物线经过点，，与y轴交于点C，P为抛物线上一点，Q在射线上，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当点Q也在抛物线上时，求点Q的坐标； (3)如图2，设点P的横坐标为m，以为对角线作矩形，且轴，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）把点，代入列方程计算即可； （2）设，根据Q在射线上，且，可得，再把代入解方程即可； （3）二次函数与y轴交于点，对称轴为直线，顶点，当时y随x的增大而减小，再根据，，，分情况讨论，分别画出以为对角线作矩形，结合图形分析即可． 【详解】（1）解：把点，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式； （2）解：设， ∵Q在射线上，且， ∴点横纵坐标分别乘以得到点横纵坐标，即， ∵点Q也在抛物线上， ∴， 整理得， 解得， 当时，，，此时； 当时，，，此时； ∴或； （3）解：设点P的横坐标为m，则，， ∵以为对角线作矩形，且轴， ∴，， 二次函数与y轴交于点，对称轴为直线，顶点， ∴当时y随x的增大而减小， 当时，以为对角线作矩形如图所示： ∵抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小， ∴， 解得， 此时； 当时，以为对角线作矩形如图所示： 此时抛物线在矩形内部没有点，不合题意； 当时，以为对角线作矩形如图所示： 此时抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，即； 当时，以为对角线作矩形如图所示： 此时抛物线在矩形内部的点的纵坐标既有随x的增大而减小也有随x的增大而增大，都不合题意； 综上所述，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，m的取值范围为或． 3．（2026·湖北荆州·模拟预测）抛物线与轴交于原点和点，点为抛物线的顶点，点，为抛物线上不重合的两个点． (1)求的值； (2)试判断是否存在实数使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； (3)记点，两点之间的部分（包括，两点）为图象，点在图象上，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②图象上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点，再以最低点与点的连线为边向其上方作正方形，点到正方形边的最小距离记为．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)解：不存在，理由如下： 由(1)得抛物线解析式为， ∴ ，， ∴ ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 方程无实数根， ∴ 不存在实数使得． (3)①；②或 【分析】(1) 将点代入抛物线解析式求． (2) 用表示，代入得到关于的一元二次方程，由判别式判断是否存在实数解． (3) ① 先确定抛物线顶点和对称轴，根据点在图象上确定的取值范围，再分最低点在处和处两种情况求． ② 分两种情况讨论最低点的位置，作出正方形后根据点在内部、点在外部以及建立方程求解． 【详解】（1）解：∵ 抛物线过点， ∴ ， ∴ ． （2）略 （3）① 解：∵ ， ∴ 顶点，对称轴为直线， ∵ 点在图象上， ∴ ， ∴ ， ∵ 抛物线开口向下， ∴ 图象的最高点为，， 当时，，最低点在点处， ， ∴ ， 当时，，最低点在点处， ， ∴ ， ∴ ． ② 解：当时，最低点为，对称点， 以为边向上作正方形，此时在正方形上方， 点到正方形各边距离中，到上边的距离最小， ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 当时，最低点为，对称点， 以为边向上作正方形，此时在正方形上方， 点到正方形各边距离中，到上边的距离最小， ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 综上，或． 【基础题型十二 相似三角形问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知：二次函数． (1)求证：该抛物线与轴一定有两个交点； (2)设抛物线与轴的两个交点是、（在原点左边，在原点右边），且，求此时抛物线的解析式； (3)在（2）的前提下，若抛物线与轴交于点，问在轴的正半轴上是否存在点，使和相似？ 【答案】(1) 证明：∵， 故抛物线与x轴一定有两个交点； (2)； (3)存在．点的坐标为或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，相似三角形的性质和判定， （1）由，即可求解； （2）由，即可求解； （3）首先求出，，，然后分和两种情况，分别根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：令， 解得：， 则， 解得：（舍去）或， 故抛物线的解析式为：； （3）解：存在，理由： 由抛物线的解析式知，点， 令，即， 解得，， ∵抛物线与轴的两个交点是、（在原点左边，在原点右边）， ∴，， ∴， ∵ ∴， 当时， ∴，即， 解得， ∴； 当时， ∴，即， 解得：， ∴． 综上所述，点D的坐标为：或． 【例2】（2026·陕西商洛·三模）如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为 (2)点N的坐标为或 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数与相似三角形综合，掌握求二次函数解析式和相似三角形的性质与判定是解题关键． （1）将点，，代入，用待定系数法求二次函数解析式； （2）连接，可得顶点P的坐标为，设，求出，进而得出，再分两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：如图，连接，顶点P的坐标为． 设， 当时，，解得，， ． ，，， ． 当时，， ，解得． 点N的坐标为． 当时，， ，解得， 点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或． 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）图，抛物线经过点，，三点，连接、、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是否存在点，使得以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到点、、的对应点分别为点、、，使得点、恰好在抛物线上且点在抛物线的对称轴上？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在位似中心点或 【分析】（1）利用待定系数法，构建方程组即可求解； （2）求出的长度，再根据相似比求出的长度，然后分：①点D在点E的右边；②点D在点E的左边两种情况，根据二次函数的对称性求出点D的横坐标，然后代入二次函数解析式求出点D的纵坐标，再求出点E的坐标，利用待定系数法求函数解析式求出直线的解析式，再根据对应点的连线必过位似中心，联立求解即可得到点P的坐标． 【详解】（1）把，，代入得到， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）存在．由题意点，， 则， ∵，相似比为2， ∴， ∵二次函数为的对称轴为直线， ∴点D的横坐标为6或-2， ①当点D在点E的右边时，点D的横坐标为6，点E的横坐标为-2， 所以，， 此时，点， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 则，， 解得，， 所以直线的解析式为，直线的解析式为， 联立 解得， 所以，点P的坐标为； ②点D在点E的左边时，点E的横坐标为6，点D的横坐标为-2， 所以，， 此时，点， 设直线的析式为，直线的解析式为， 则，， 解得，， 所以，直线的解析式为，直线的解析式为， 联立， 解得， 所以点P的坐标为． 综上所述，存在位似中心点或． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了待定系数法求直线解析式，位似变换，二次函数的性质等，（2）问中因为点D、E的左右位置不明确，所以要分两种情况讨论求解． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点． (1)直接写出以下各点坐标： A______，B______，C______，M______． (2)若点P为x轴上方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，使得以P、B、Q为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． （1）令，求出值，令，求出的值，即可求出三点坐标，求出对称轴即可求出点坐标； （2）分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， ∴， 当时，，当时，，解得：， ∴， 故答案为：； （2）设，则：， ∵， ∴， ∵以P、B、Q为顶点的三角形与相似， ①当时，则：，即：， 解得：或（舍去）； ∴； ②当时，则：，即：， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：或． 3．（2026·山西太原·二模）综合与探究：如图，二次函数图象与一次函数的图象相交于两点，与轴交于另一点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点的坐标； (2)如图1，点是线段上一个动点，过点作交于点．设点的横坐标为．若的面积是四边形面积的．求的值； (3)如图2，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)1 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据，可得，即可求解； （3）设点P的坐标为，分两种情况：当点P在y轴的下方时，当点P在y轴的上方时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点， 把点代入得： ，解得：， ∴二次函数的表达式为； 令，则， 解得：， ∴点； （2）解：∵，， ∴， ∵的面积是四边形面积的， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设点P的坐标为， 对于，令，则， ∴点C的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴， 如图，当点P在y轴的下方时，过点P作轴于点E，则，，    ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 当点P在y轴的上方时，同理点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【基础题型十三 其他问题（实际问题与二次函数）】 【例1】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线与交于点，若经过点的直线与两抛物线交于点，，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】联立与，联立与，可得，，得，，得． 【详解】解：联立与， 得， ∴， 即， 其两根为3（对应点P）和 ∴， ∴， 联立与， 得， ∴， 即， 其两根为3和， ∴， ∴， ∵点A、B在直线上， ∴ ∴ ， ∵， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，函数的交点性质，一元二次方程的根与系数的关系，两点之间的距离公式，是解题的关键． 【例2】（25-26九年级下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，，是两个动点（m，n为实数），则长度的最小值为________． 【答案】 【分析】先确定点在抛物线上运动，点在直线上运动，设与直线平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式为，联立方程利用判别式求出，再计算两条平行线之间的距离，即可得到长度的最小值． 【详解】解：点的坐标为， 点是抛物线图象上的一点， 同理，点坐标为，点是直线图象上的一点， 设与直线平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式为， 如图，设直线与抛物线交于点A，直线与x轴，y轴交于点B，D，过点A作于点C，则点，长度的最小值为的长， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 联立得：， 即， ∴，解得， ， 解得：， ∴点， ∴， ∴．， 即长度的最小值为． 1．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线与有公共点，则a 的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分与有交点，与有交点列不等式即可得到答案； 【详解】解：当与有交点时， ， 解得：， 当与有交点时， ， 解得：， 故答案为：， 故选：A； 【点睛】本题考查二次函数与线段交点问题，解题的关键是分类讨论． 2．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②；③当时，；④；其中正确结论是______．    【答案】①④ 【分析】根据与的图象在轴上方即可得出的取值范围；把代入抛物线即可得出的值；由抛物线与轴的交点求出的值；根据两函数的解析式直接得出与的关系即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，顶点坐标在轴的上方， ∴无论取何值，的值总是正数，故本结论正确； ②把代入，抛物线得，，解得，故本结论错误； ③由两函数图象可知，抛物线解析式为，当时，，故，故本结论错误； ④∵抛物线与交于点， ∴的对称轴为的对称轴为， ∴ ∴， ∴，故本结论正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征． 3．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，抛物线：与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，其顶点记为． (1)求抛物线的解析式和点坐标； (2)点是轴上任意一点，连接、、，当周长取到最小值时，求点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到新的抛物线； ①抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），当点是线段三等分点时，求的值； ②点、是抛物线上两点，当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)①或；② 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）点关于轴的对称点为，当、、共线时，取等号，有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式，即可求解； （3）①先得到新的抛物线的解析式，求得，，根据点是线段的三等分点，再分类求解即可．②将分别代入，根据建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：过点，且对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解：令，则， ∴点的坐标为， 为定值， ∴当最小时，周长取得最小值， ∵点关于轴的对称点为， ， 当、、共线时，取等号，有最小值， 设直线的解析式为， 把点的坐标为代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点的坐标为； （3）解：①根据题意，新的抛物线的解析式为：， 解方程， 得， ∵点在点的左边， ，， 对于抛物线，令，则， 解得：或1， ∴点的坐标为， ∵点是线段的三等分点，则点在线段上， ，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或； ②当时，， 当时，， 当时，， 解得：． 【提高题型一 二次函数销售问题中的捐赠类问题（含参）】 【例1】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）． (1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价总成本研发费用）； (3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元（）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)万元 (3) 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的应用； （1）设与销售价格之间的函数关系式是，将，代入计算即可求出； （2）根据题意列出，整理成，即可求出； （3）根据题意列出，得到对称轴，根据销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x增大而减小，得到，求解即可． 【详解】（1）解：设（万件）与销售价格（元件）之间的函数关系式是，将，代入得： 解得， ； （2）解：根据题意得：， ，由已知可得 时，取最大值，最大值为， 答：，第一年年利润的最大值时万元； （3）解：由（2）得出 依题意，记扣除捐赠后的利润为 则 ∴，开口向下，对称轴 ∵公司决定每销售1件该产品就捐赠m 元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于23元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小， ∴ 【例2】（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元千克）与时间第（天）之间的函数关系为，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示．    (1)求日销售量（千克）与时间第（天）的函数表达式； (2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果该养殖户有日销售利润不低于2400元，该养殖户决定每天捐赠元给村里的特困户，如果共捐赠了7350元，求的值． 【答案】(1)（，为整数）； (2)第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元； (3)的值为350． 【分析】（1）设日销售量与时间的函数解析式为，将、代入，得二元一次方程组，解得和的值，再代入即可； （2）设日销售利润为，根据日利润等于每千克的利润乘以日销售量可得，分两种情况讨论：①当时，②当时； （3）令，即，解一元二次方程组，求得解，得出符合题意的天数，即可得出的值． 【详解】（1）解：设日销售量与时间的函数解析式为 将、代入， 得：，解得：． ∴（，为整数）； （2）解：设日销售利润为，则， ①当时， ， 当时，有最大值2450元； ②当时， ， 当时，有最大值2301 第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元； （3）解：由（2）得：当时， ， 令，即， 解得：， 即时，日销售利润不低于2400元， 共有21天符合条件． （元． 【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程等知识点，明确二次函数的相关性质并会数形结合，是解题的关键． 1．（2026·新疆喀什·一模）艾德莱斯绸是国家级非物质文化遗产．某合作社通过车间直销、线下门店、线上直播三条渠道销售艾德莱斯绸，具体情况如下： ①生产艾德莱斯绸的成本为30元/米，车间固定成本为800元/天； ②线下门店固定开支为500元/天．根据市场调研发现，售价定为40元/米时，每天可售出80米，售价每增加1元，每天售出减少2米； ③线上直播销售无固定开支，且每销售1米可获得40元的利润． (1)若合作社以50元/米的价格，通过车间直销的方式售出60米，则当日车间直销利润为______元； (2)线下门店决定提高售价来增加利润，要使线下门店每天的利润为700元，且尽量让利于顾客，售价应定为多少元/米？ (3)“文化和自然遗产日”期间，为扩大品牌影响力，将推出线上公益活动：线上每售出1米，向学校非遗社团捐赠t元（），已知线上日销售量Q（米）与捐赠额t（元）之间的关系为，当线上销售利润最大时，捐赠额为多少元/米？最大利润是多少？ 【答案】(1)400 (2)售价应定为50元/米 (3)当线上销售利润最大时，捐赠额为10元/米，最大利润为9000元 【分析】（1）根据“利润（售价成本）销量固定成本”直接求解； （2）根据“总利润单个利润数量固定开支”将关系式列出来，求解后根据要尽量让利于顾客来确定所求的值； （3）根据“总利润单个利润数量固定支出”列出二次函数，利用二次函数开口向下，顶点处取得最大值求解． 【详解】解：（1）当日车间直销获得的利润为（元）． （2）设线下门店售价提高x元/米， 由题意可列方程，， 整理可得， 解得或， ∵要尽量让利于顾客，∴， ∴售价为元． 答：售价应定为50元/米； （3）由题意，线上直播销售每米实际利润为元，设利润为元，由题意可得， ， ∵，且， ∴当时，最大，此时． 答：当线上销售利润最大时，捐赠额为10元/米，最大利润为9000元 2．（2026·湖北十堰·模拟预测）某公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为：，且其日销售量y（）与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 40 日销售量y（） 118 114 108 100 80 40 (1)求出y与t之间的函数关系式． (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润（）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)第10天利润最大，最大利润为1250元 (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设第天的销售利润为w元，分两种情况，分别求出二次函数解析式，求最值即可； （3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元，求出二次函数解析式，根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，与成一次函数关系， 设， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：设第天的销售利润为w元，则 ①当时， ； ∴当时，最大值为1250； ②当时， ， ∵对称轴为， ∴在对称轴左侧随增大而减小， ∴时，最大值； ∵， 故第10天利润最大，最大利润为1250元； （3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元． 由题意 ， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大， ∴，解得， 又∵， ∴． 3．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段检测）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量件与售价元/件为正整数之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 4 5 6 y（件） 10000 9500 9000 (1)求y与x的函数关系式； (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价； (3)抗疫期间，商场向某慈善机构捐赠，要求：每销售一件商品捐赠不少于1元，但不超过5元．若该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出满足上述条件的m的取值范围． 【答案】(1) (2)这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组． （1）用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价； （3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：， 把，和，代入得，， 解得，， ∴； （2）解：根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，， 解得：， 设利润为w元，根据题意得， ， ， ∴当时，w随x的增大而增大， ， ∴当时，w取最大值为：， 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元； （3）解：根据题意得， ， ∴对称轴为， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大， ∴只需保证对称轴大于等于15就可以了，故， 解得，， ， ∴． 【提高题型二 二次函数中角度计算问题（45°等）】 【例1】（2026·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，与y轴的交点为点C，点P是抛物线在第四象限内一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求出点P的坐标； (3)设的面积为S，试求S的最大值以及此时点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)8，． 【分析】（1）将两个已知交点代入抛物线方程，解二元一次方程组求即可； （2）由知到轴的距离等于其纵坐标的绝对值，设，列方程求解并舍去不合题意的根即可； （3）设 ，作铅垂线交于，用表示三角形面积，得到二次函数后配方求最大值及对应点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 这个二次函数的表达式为． （2）解：如图1，作轴于点D， ∵，， ∴， ∴， 设点P的坐标为，则， ∵点P在第四象限， ∴，， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴点P的坐标为． （3）解：如图2，设点P的坐标为， 作轴于点F，交线段于点E， 当时，则， ∴， 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且 ∴当时，， ∴S的最大值为8，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数解析式求解、坐标系内角度条件转化及面积最值的铅垂高法， 关键是将转化为到坐标轴距离相等，以及将面积用水平宽与铅垂高表示，最终通过解方程和二次函数配方求得最值． 【例2】（2025·甘肃武威·模拟预测）二次函数的顶点为，且经过点，交y轴于点A，交x 轴于点B、点C（点B在点C的左侧）． (1)求此二次函数的表达式； (2)求度数； (3)点M在线段上（不与点A、点C重合）由A开始向C运动，速度为每秒个单位长度，连接并延长交二次函数图象另一点Q，过Q作y轴的垂线段，垂足为点R，是否存在点Q使？若存在，请求出此时点M的运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，秒 【分析】（1）设抛物线的顶点式，将点代入，即可求出二次函数的表达式； （2）根据二次函数的表达式可求出点A、B、C的坐标，结合勾股定理求得的长度，设中边上的高的长度为，由的面积不变可得的值，再根据即可求出度数； （3）设点Q的坐标是，由得到或者，显然，当且仅当时成立，此时，即Q的坐标是，设直线的表达式为 ，直线的表达式为，求出直线和直线的表达式，解方程组，即可求出点M的坐标是 ， 由点M向轴作垂线，垂足为点N，则，点N的坐标为，所以点N是线段的中点，线段是的中位线，故， ÷，点M的运动时间秒． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为 ， 将点代入，解得， 从而求得表达式为， 即； （2）令，解得，， 即点B、C的坐标分别为， 在中，令，解得， 所以点A的坐标是， ∴，       ， 设中边上的高的长度为， 由的面积不变可得，即 ∴， ∴； （3）抛物线上存在点Q使的点， ∵ ∴点Q只能是抛物线第四象限上的点，设点Q的坐标是 ∵， ∴或者 显然，当且仅当时成立，此时，即Q的坐标是 设直线PQ的表达式为 ，则 ， 解得，   ∴直线的表达式为 设直线AC的表达式为，则 ，解得    ∴直线AC的表达式为 解方程组，得 ， 即点M的坐标是 ， 由点M向轴作垂线，垂足为点N，则，点N的坐标为， ∴点N是线段的中点，线段是的中位线， ∴点M是线段的中点，， ÷ ∴点M的运动时间秒． 综上所述，在点M运动的过程中，抛物线上存在点Q使，此时点M的运动时间秒． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，特殊角的三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质． 1．（25-26九年级上·四川南充·期末）点在经过，，的抛物线上，且满足． (1)求抛物线的解析式． (2)求点的坐标． (3)如图2，点在直线上方拋物线上，是射线上一点，连接交抛物线于点，且，当四边形面积最大时，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当四边形面积最大时，点Q的坐标为 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，，得出，连接，过点A作于点D，延长，交x轴于点E，证明，求出，从而得出，得出，再求出直线的解析式为，联立，求出点P的坐标即可； （3）求出直线的解析式为，得出，证明，根据，得出与间距离一定，根据为定值，得出的面积一定，说明当面积最大时，四边形的面积最大，过点T作轴，交于点N，设点T的坐标为，则点N的坐标为，得出，说明当时，的面积最大，即四边形的面积最大，求出点T的坐标为，求出直线的解析式为，再求出直线的解析式为，联立，求出点Q坐标即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把，，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：把代入得： ， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标，， ∴， 连接，过点A作于点D，延长，交x轴于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴； （3）解：设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 根据解析（2）可知：直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴与间距离一定， ∵为定值， ∴的面积一定， ∵， ∴当面积最大时，四边形的面积最大， 过点T作轴，交于点N，如图所示： 设点T的坐标为，则点N的坐标为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，即四边形的面积最大， 此时点T的坐标为：， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴当四边形面积最大时，点Q的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解直角三角形的相关计算，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握二次函数的性质． 2．（2026·湖北孝感·一模）如图1，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点C，连接BC，抛物线顶点为点M． (1)直接写出a，b的值及点M的坐标； (2)点N为抛物线对称轴上一点，当最小时，求点N的坐标； (3)平移直线BC得直线． ①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接EM，求∠DME的度数． ②把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3）．当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)，，点M的坐标为； (2)点N的坐标为； (3)①；②当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）点N为直线与直线的交点时，最小，利用待定系数法求得直线解析式，据此求解即可； （3）①如图2，过点E作于F，过点M作轴于H，利用解直角三角形求得、，再利用三角形外角的性质即可求解； ②由题意可得翻折后的图象的解析式为，直线平移后的解析式为，联立方程得，利用根的判别式求得，即可求得答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 设抛物线解析式为， 把代入，得：， 解得：， ∴， ∴，，点M的坐标为； （2）解：由（1）得对称轴为直线， 、两点关于直线对称， ∴点N为直线与直线的交点时，最小， 设直线解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点N的坐标为； （3）解：①直线解析式为， 直线平移后的解析式为， 把点M的坐标代入得，解得 ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 如图2，过点E作于F，过点M作轴于H， 则， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即； ②∵， 把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象，如图，    则翻折后的图象的解析式为， ∵直线解析式为， 直线平移后的解析式为， 联立方程得， 整理得：， 当直线平移后与抛物线只有一个交点时， ， 解得：， 当直线平移后经过点时，，解得：， ∴当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的应用、勾股定理、一元二次方程的根与判别式的关系、解一元一次方程及解二元一次方程组，熟练利用待定系数法求得二次函数解析式是解题的关键． 3．（25-26九年级上·重庆·期末）【问题背景】重庆市将投掷实心球作为中考体育的必考项目，在离手高度和离手速度一定的情况下，运动员可以通过调整实心球的离手角度，将实心球投掷得尽可能远． 【收集素材】投掷实心球属于物理中的斜抛运动，它可以看作竖直方向的运动与水平方向的运动的合成．忽略空气阻力，将实心球的离手速度分解到水平方向与竖直方向（如图1），抛实心球向前运动的水平距离（单位：米）、离开地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足关系式，其中表示重力加速度（，为常量）．表示实心球离手时距离地面的高度． 【建立模型】建立如图2所示的平面直角坐标系，实心球离手后的运动轨迹则可用函数图象来刻画． 【问题解决】某学习小组安排了一名男同学，分别以为离手角度进行实心球投掷．考虑到投掷者不变，故实心球离手时的离地高度、离手速度均视为不变量．通过查阅资料和初步计算，实心球离手后，水平方向与竖直方向的运动可表示如下： 离手角度为时：； 离手角度为时：； 离手角度为时：． 通过消元，离手角度为时，，即可表示为关于的二次函数，将其命名为函数． (1)任务一：请表示：离手角度为时，关于的函数表达式： ；离手角度为时，关于的函数表达式： ； (2)任务二：图3中是同一平面直角坐标系里，的图象，根据图象可以判断，在这三次投掷中，离手角度为 时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度； (3)任务三：中考实心球项目中，男生投掷9.7米及以上的距离则能够获得满分．请通过计算说明，该学习小组安排的这位男同学，以最佳离手角度投掷实心球时，能否获得满分？ 【答案】(1)； (2) (3)能获得满分 【分析】（1）用x表示t，并代入y关于t的表达式中即可； （2）观察图象即可； （3）令，求得x的值，据此即可判断． 【详解】（1）解：当离手角度为时，， 代入得， 则关于的函数表达式； 离手角度为时，， 代入得， 则关于的函数表达式； （2）解：观察图象知，从下往上，离手角度分别为，显然，离手角度为时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度； （3）解：令， 解得（舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴以最佳离手角度投掷实心球时，能获得满分． 【提高题型三 投球垂高、水平宽求面积最值问题】 【例1】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）教练对嘉淇推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是．嘉淇第一次推铅球对应的抛物线如图所示，其中，当铅球运行到水平距离为时，铅球行进的高度为． (1)点的坐标为______；它表示的实际意义是______； (2)求铅球推出的距离的长； (3)嘉淇第二次推出的水平距离刚好与第一次相同，且，求推出铅球行进的最大高度； (4)嘉淇第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，若嘉淇想拿下冠军，他推出的水平距离要超过12米，直接写出此时的取值范围． 【答案】(1)，铅球的初始位置 (2) (3)推出铅球行进的最大高度为米 (4) 【分析】本题考查二次函数的实际问题，运用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）令求得抛物线与轴的交点坐标，结合题意写出点的实际意义； （2）运用待定系数法求出函数解析式，然后令，求出铅球推出的水平距离即可； （3）运用待定系数法求出函数解析式，配方为顶点式写出最大值即可； （4）把代入（2）中的解析式，求出b值，结合题意写出取值范围即可． 【详解】（1）解：当时， ∴点的坐标为；它表示的实际意义是铅球的初始位置， 故答案为：，铅球的初始位置． （2）解：依题意，，过点 ∴ ∴， ∴， 令，则， 解得：，（舍去）， ∴； （3）解：设抛物线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴， ∴推出铅球行进的最大高度为米； （4）解：抛物线的解析式为， 当过时，， 解得：， ∵他推出的水平距离要超过12米，， ∴． 【例2】（25-26九年级上·北京海淀·阶段检测）小磊进行铅球训练，他尝试用数学模型来研究铅球的运动情况．小磊某次试投时，铅球的运动路径可以看作抛物线，铅球从距地面2m处的A点处出手，在距出手点A水平距离4m处达到最高点B，最高点B距地面的距离为3m．小磊以地面为x轴，出手点A所在的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)写出A，B两点的坐标：A　 　，B　 　； (2)求铅球运动路径所在抛物线的函数解析式； (3)若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩记为优秀，请通过计算，判断小磊此次成绩是否能达到优秀． 【答案】(1)；； (2) (3)小明此次试投的成绩达到优秀，理由见解析 【分析】（1）根据题意可直接得出结果； （2）利用待定系数法设该抛物线的表达式为，然后将点A代入求解即可； （3）当时，求出方程的解，确定点C的坐标，然后与优秀距离进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为：；； （2）由（1）得抛物线的顶点B的坐标为，点A的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 由抛物线过点A，有， 解得， ∴该抛物线的表达式为 （3）令，得， 解得，（舍去）， 点C的坐标为 ∴， ∵， ∴， ∴小明此次试投的成绩达到优秀． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，掌握用待定系数法确定函数解析式及求方程的解是解题关键． 1．（2025·陕西宝鸡·一模）某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投石器的性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点端拉至水平地面处，放手后投石竿绕支点旋转，从点处把石头甩出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图3．已知米，抛物线顶点的坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了检验投石器的性能，在点的正前方2米米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.6米，外壁高为0.8米的目标箱（其中垂直轴）．兴趣小组为了把石头投入目标箱，可以垫高投石器或在轴正方向移动投石器（假设每次都以相同的角度和力度投石），当垫高投石器时，设垫高的高度为米，求的取值范围（取值范围不取端点）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确进行计算是解题关键． （1）根据题意设抛物线的解析式为，代入数据求解即可； （2）设垫高后的抛物线解析式为，分别把和把代入式子，进行求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， ∵米， 把点代入可得， 解得：， 所以抛物线的解析式为； （2）解：设垫高后的抛物线为， ∵在点的正前方2米米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.6米，外壁高为0.8米的目标箱， ∴把代入，可得 解得， 把代入，可得， 解得， ∴， 2．（2026·广东深圳·模拟预测）体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． 【答案】(1)2， (2) (3)邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴邓同学在此次训练中能得到满分； (4)m的值为或 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据题意得到出手时实心球的竖直高度即为时y的值，再通过观察表格数据，利用二次函数的对称性确定对称轴和顶点坐标； （2）由（1）知顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）令得到一元二次方程，解方程与米比较即可； （4）根据，分别位于对称轴两侧求出的取值范围，再分情况讨论：求出当M为最低点，或N为最低点时的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得：当时，， 则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，可得： 对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得：当时，， 则实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 抛物线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （3）略； （4）解：由（1）知，抛物线对称轴为直线， ，分别位于对称轴两侧， 解得： ①如图，当时，， 即， 解得：或； 与相矛盾，故舍去， ； ②如右图，当时，， 即， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，m的值为或． 3．（2026·河北石家庄·模拟预测）某电子屏上下边缘距离为，点P在电子屏上的运动路线如图中虚线所示，当运动至点M时达到最高点，此时距左边缘，之后的运动时间为t秒，点P是下落过程中某位置：水平方向继续以速度向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为，d由两部分组成：为常数，与t的平方成正比，且有如下表格中的数据． t d (1)用含t的代数式表示d，直接写出最高点M的坐标； (2)若，用分别表示点P的横坐标x、纵坐标y，求y与x之间的关系式，并求点P在电子屏左边缘时的坐标； (3)甲、乙两点从左边缘不同位置出发，均能达到最高点M，若乙点比甲先出发，，在两点下落过程中，若某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于，直接写出m的最小值． 【答案】(1)， (2)，点P在电子屏左边缘时的坐标为 (3)m的最小值为 【分析】（1）根据题意设出解析式，运用待定系数法求解即可； （2）利用已知的表示出表示出函数解析式，再将代入解析式即可求解； （3）先表示出甲乙的横坐标，再利用横坐标相等表示随后表示出甲乙的纵坐标，利用纵坐标之差不小于求解不等式即可． 【详解】（1）解：∵与t的平方成正比 ∴设，则：， ∵当时，，当时，， ∴， ∴， ∴． 当时，在最高点，， ∵某电子屏上下边缘距离为，当运动至点M时达到最高点，此时距左边缘，竖直方向与电子屏上边缘距离为 ∴当运动至点M时达到最高点，距左边缘，距下边缘， ∴； （2）解：∵点P是下落过程中某位置：水平方向继续以速度向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为，， ∴点P的横坐标，纵坐标， 由可得， 把代入得， 当时，， ∴点P在电子屏左边缘时的坐标为． （3）解：m的最小值为，理由如下： ∵乙点比甲先出发，， ∴在下落过程中，，，， ∵当甲点恰好处于乙点正上方时，，则， ∴， ∴， 由（2）可知，， ， ∴， ， ∵某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴，即m的最小值为． 1．（25-26九年级上·陕西商洛·期末）顶点为P的抛物线与y轴相交于点A，把该抛物线绕顶点P旋转得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，和抛物线将一般式转化顶点式的能力．根据题目要求，求出A和B的坐标，再求出三角形的面积即可． 【详解】解：由题意知，所构成的大致图像如图所示： ∵抛物线与y轴相交于点A， ∴当时，， ∴点A的坐标为， 将抛物线一般式转化为顶点式得：， ∴顶点P的坐标为， 把它绕顶点P旋转得到一个新的抛物线是， ∴与y轴的交点B为，顶点P的坐标为， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级下·安徽淮南·阶段检测）汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．求出函数的最大值即可得求解． 【详解】解：∵， ∴当时，S取得最大值， 即汽车刹车后到停下来前进的距离是， 故选：B． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期末）将进货价为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价为元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润． 【详解】解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得： 即y=（x-35）（400-5x）， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“商品每上涨1元，其销售量就减少5个”． 4．（25-26九年级上·北京房山·期末）小明以二次函数的图象为灵感为设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（   ） A．14 B．11 C．6 D．3 【答案】B 【分析】首先由y=2x2-4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2-4x+8，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=3，所以可知杯子高度． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键． 5．（2026·四川德阳·模拟预测）如图，直线与抛物线交于，两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，则以下结论：抛物线的图象的对称轴一定是轴；当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大；直线中，如果发生变化，的长度可以等于；随着的值变化，有可能成为等边三角形；当时，．其中正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由抛物线，得顶点坐标为，对称轴一定是轴，本结论正确； 根据图象得：直线中随着的增大而增大；抛物线，当时随着的增大而增大， ∴当时，直线与抛物线的函数值都随着的增大而增大，本结论正确； 点的横坐标是，点的横坐标是，若， ∴直线与轴平行，即， ∴与已知矛盾， ∴不可能为，本结论错误； ∵， ∴直线与轴平行，即， ∴与已知矛盾， ∴，即不可能为等边三角形，本结论错误； 直线与关于轴对称，如图所示： 设直线与抛物线交点横坐标分别为，， 由图象可得：当时，，即，本结论正确； 综上可得正确的结论有． 故选：B． 6．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，设矩形菜园的面积为（单位：米），的长为（单位：米）则关于的函数关系式是___________． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，不等式组的应用，由，，再利用面积公式建立二次函数关系式即可，利用边长的限制条件列不等式组可得x的取值范围． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，一座抛物线形拱桥在正常水位时，水面宽为，拱桥的最高点到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么宽为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键． 以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 【详解】解：以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点到水面的距离为， ∴、点的纵坐标为， ∵水面宽为， ， 将点A代入， ， ， ， ∵水位上升就达到警戒水位， ∴点的纵坐标为， ， ， ， 故答案为：． 8．（2026九年级上·湖南永州·模拟预测）道县某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千元降价x（元）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价___________元时，可获得最大利润． 【答案】5 【分析】利用待定系数法可求出；设获得的利润为W元，根据总利润每千克的利润销售量列出W关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴； 设获得的利润为W元， 则 ， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为2250， ∴这种干果每千克降价5元时，可获得最大利润． 9．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则的周长最小为________，此时点M的坐标是________． 【答案】 / 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点，即可求解． 【详解】解：点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点，此时，的周长为最小， 令，解得或3， 令，则， ∴点A、B、C的坐标分别为、、， ∴， ∴此时的周长， ∴周长的最小值是． 由，得函数的对称轴为直线， 设直线的表达式为，则， 解得， 故直线的表达式为， 当时，， 故点M的坐标为． 故答案为：；． 10．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知抛物线和直线．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值k分别为，若，取中的较大值记为M；若，记．下列判断： ①当时，；②当时，x值越大，M值越大； ③使得的x值不存在；④使的x值有2个． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】若，求出或．利用函数图象可以得出当时，，可判断①；当时，在的范围内，，且随x的增大而减小，即x值越大，M值越小，可判断②；由的最小值为，可判断③；由当或时，，可判断④． 【详解】解：∵当时，， 解得：或， ∴当时，由函数图象可知， ∵抛物线，直线，当x任取一值时，x对应的函数值分别为．若，取中的较大值记为M； ∴，； ∴①正确； ∵当时，在的范围内，， 且x值越大，值越小， ∴M值就越小； ∴②错误； ∵抛物线的最小值为， ∴M小于的x值不存在， ∴③正确； ∵当或时，； ∴在或的范围内，均有可能， ∴④正确； 故答案为①③④． 11．（2026·北京门头沟·模拟预测）某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为元，经市场预测，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个． (1)商店若准备获得利润元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ (2)商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)每个定价为元，应进货个 (2)每个定价增加元时可获得最大利润，可获得的最大利润是元 【分析】（1）设每个定价增加元，根据题意列一元二次方程，解方程求出的值，根据进货量较少，确定符合题意的的值，进而可得出答案； （2）设每个定价增加元，获得利润为元，可得，根据二次函数的性质求出的最大值即可得出答案． 【详解】（1）解：设每个定价增加元， ∵每个进价为元，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个，准备获得利润元， ∴， 解得：，， ∵要使进货量较少， ∴每个定价为（元），应进货（个）． 答：每个定价为元，应进货个． （2）解：设每个定价增加元，获得利润为元， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：每个定价增加元时，可获得最大利润，最大利润是元． 12．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 13．（2026·陕西·模拟预测）如图：抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，过点P作于点H，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点M为点P对应点，点N为新抛物线对称轴上任意一点，在新抛物线y1上确定一点G，使得以点B，M，N，G为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点G的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值是，此时点P的坐标为 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出，利用待定系数法计算得出直线的解析式为，过点P作轴于G，交于点E，设，则，，证明为等腰直角三角形，得出，结合二次函数的性质即可得出结果； （3）由（2）知，是等腰直角三角形， 新抛物线为，点对应点M为，对称轴是直线，设，，而，，分三种情况：①当、为对角线时，的中点即是的中点；②当、为对角线时，的中点即是的中点；③当、为对角线时，的中点即是的中点，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当，， ∴， 设直线为， 将代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴于G，交于点E，如图： 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时； 答：的最大值是，此时点P的坐标为； （3）解：由（2）知，是等腰直角三角形， ∴将抛物线沿射线平移个单位，相当于将抛物线向右平移3个单位再向下平移3个单位， ∴新抛物线为，点对应点M为， ∴新抛物线对称轴是直线， 设，，而，， ①当、为对角线时，的中点即是的中点， ∴，解得， ∴， ②当、为对角线时，的中点即是的中点， ∴，解得， ∴， ③当、为对角线时，的中点即是的中点， ∴，解得， ∴， 综上所述，G的坐标为或或． 14．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 存在，点的坐标为或或或 (4) 存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴，经过，运用待定系数法得到抛物线的解析式，由此得到，再运用待定系数法得到一次函数解析式； （2）根据题意，点A关于的对称点为点B，当点三点共线时点到点的距离与到点的距离之和最小，结合一次函数解析式即可求解； （3）设，运用两点之间距离公式得到，结合勾股定理列式求解即可； （4）设，运用两点之间距离公式得到，根据等腰三角形的定义，分类讨论，由数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∵直线经过两点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：点A关于的对称点为点B，如图所示， ∴， ∴， 当点三点共线时，取等号， ∴当时，在直线上得，， ∴； （3）解：如图所示，设，已知， 当是以为直角的直角三角形时，， ∵，，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴，； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 综上，点的坐标为或或或； （4）解：设，已知， ∴，，， 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 整理得，， 解得：， ∴或； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴或； 综上，点的坐标为或或或或． 15．（2026·山东泰安·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标； (3)如图2，轴与抛物线相交于点E，点H是直线下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与，分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形的面积最大，求点H的坐标及最大面积； (4)若点K为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形的周长最小，求出点P，Q的坐标． 【答案】(1) (2)D的坐标为或 (3)，四边形的面积最大为 (4) 【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式； （2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点的坐标； （3）先求出直线的解析式，进而求出四边形的面积的函数关系式，即可求出最大值； （4）利用对称性找出点的位置，进而求出的坐标． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ， ， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图1，令，则， ， ， ， ， 要使以为顶点的三角形与相似， ，且中三个角都是锐角， 则有或， ①当时，， ； ②当时， ， ， ， 即：的坐标为或． （3）解：设， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵E在抛物线上， ， （舍去）或， ， ， ， ∴设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ， ， ∵轴，轴， ， ∴， 当时，四边形的面积最大为． 当时，， ； （4）解：如图2，∵K为抛物线的顶点， ， ∴K关于轴的对称点， ∵在抛物线上， ∴； ， ∴点关于轴的对称点， 连接， 根据轴对称可得， ∴四边形的周长， ∵为定点， ∴为定值， ∴当四点共线时，四边形的周长最小， 设直线的解析式为，将，代入解析式得， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 令得，令得， ． 学科网（北京）股份有限公司 $