专题04二次函数的应用精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦二次函数的应用，涵盖几何图形面积最值、销售利润最值、抛物线轨迹建模三大核心模型，梳理通用解题七步骤及区间最值判定规则，承接二次函数图像性质，构建“实际问题数学化”的学习支架。 该资料以数学建模为主线，通过答题得分模板强化推理意识，结合篱笆围矩形、销售利润计算等实例培养数学眼光与模型意识，课中助力教师高效授课，课后帮助学生通过错题分析查漏补缺，提升应用能力。

专题04二次函数的应用精讲学案 课堂核心立意 以数学建模为核心主线，把生活最优化问题、抛物线轨迹几何问题转化为二次函数模型，打破“直接套顶点求最值”的思维误区，重点强化自变量取值范围对实际最值的约束作用，落实“实际问题数学化、函数结论现实化”解题逻辑，是中考应用题压轴核心考点，承接二次函数图像性质，实现知识点落地应用。 通用解题固定步骤（答题得分模板，课堂板书直接用） ①审题：梳理题干常量、变量，找准等量关系式，区分几何边长、售价销量、抛物线坐标等量关系； ②设元：合理设定自变量x与因变量y，统一单位，避免单位换算失误； ③列式：整理化简为二次函数标准形式y=ax2+bx+c ④定域：结合现实条件写出自变量取值范围（边长＞0、售价高于成本、长度不超过墙体总长等硬性限制）； ⑤求解：分两类求最值，全体实数直接用顶点公式，限定区间对比顶点、区间端点函数值； ⑥检验：验证最值对应自变量在取值区间内，舍去不符合实际的解； ⑦作答：带单位写出最终结论，贴合题目问题表述。 三大核心应用模型（必考主干知识点） 模型1：几何图形面积最值问题（篱笆围矩形、窗框、三角形、动点面积） ①核心等量：矩形面积=长×宽、三角形面积=×底×高，用单一自变量表示图形两条邻边； ②关键要点：存在墙体、固定边框、门窗缺口时，边长表达式需要扣减固定长度； ③最值判定：若顶点横坐标在自变量取值区间内，顶点为面积最值；顶点超出区间，最值出现在区间左右端点； ④典型场景：一面靠墙围花圃、铝合金窗框最大透光面积、动点在直角边上运动形成三角形面积最值。 模型2：销售利润最值问题（中考高频必考） ①核心公式：单件利润=销售单价−单件成本，总利润=单件利润×销售数量； ②涨价/降价逻辑：涨价x元，销量随涨价减少；降价x元，销量随降价增加，用x表示销量变化量； ③约束条件：售价不能低于进货成本、售价不能过高导致销量为负数，以此划定x取值范围； ④易错核心：顶点算出的最优涨价/降价数值若为小数，商品定价需结合实际取整数验证利润。 模型3：抛物线轨迹建模问题（拱桥、隧道、投篮、喷水、车辆通行） ①建系原则：优先将抛物线顶点放在坐标原点或者y轴上，简化解析式计算； ②建模流程：根据图像关键点坐标（顶点、与地面交点、拱高、跨度）代入顶点式y=a(x-h)2+k求解析式； ③题型考法：已知跨度求拱高、已知拱高求水平宽度、判断货车高度宽度能否通过隧道、篮球投篮能否命中篮筐； ④求解逻辑：给定横坐标求高度、给定高度求解横坐标，计算两点水平距离。 三、区间最值核心判定规则（本节课重难点，区分纯函数计算与实际应用） ①a>0开口向上，函数整体有最小值、无最大值；a<0开口向下，函数整体有最大值、无最小值； ②自变量无范围限制：直接取顶点坐标对应最值； ③自变量限定m xn： 1.对称轴在区间内部：顶点取一个最值，对比区间两个端点函数值得到另一最值； 2.对称轴在区间左侧：函数在区间单调增减，最值直接在两个端点取得； 3.对称轴在区间右侧：函数在区间单调增减，最值直接在两个端点取得。 （授课纠错、错题讲评专用） ①直接套用顶点最值，完全忽略自变量实际取值范围，顶点不在区间内依然用顶点数值作答； ②利润问题列式错误，混淆单件利润、总销量的增减变化，涨价时销量不减、降价时销量不增； ③抛物线建系坐标设定混乱，关键点坐标符号标注错误，导致解析式a符号出错； ④几何面积问题忽略墙体、固定杆件长度，边长出现负数，未提前限定自变量下限； ⑤应用题结尾缺少单位、文字作答，只写数字结果，中考步骤分大量丢失； ⑥配方求顶点计算失误，常数项缩放错误，最值计算数值偏差。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★ 题型二 图形运动问题 ★★★★ 题型三 拱桥问题 ★★★ 题型四 销售问题 ★★★★ 题型五 投球问题 ★★★ 题型六 喷水问题 ★★★ 题型七 增长率问题 ★★ 题型八 其他实际应用问题 ★★ 题型九 线段周长问题 ★★★ 题型十 面积问题 ★★★★ 题型十一 角度问题 ★★★★ 题型十二 特殊三角形问题 ★★★★ 题型十三 特殊四边形 ★★★★ 题型十四 相似三角形问题 ★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频易错；★★★★考试重难点 题型一：图形问题 解题思路： ①结合几何图形性质，用自变量x表示图形相关边长； ②利用面积、周长公式列出二次函数关系式； ③根据边长大于0，确定自变量取值范围； ④在取值范围内，利用顶点或者区间端点求解最值； 核心提醒：注意图形固定边、缺口、重叠部分，列式时剔除多余线段长度。 1．小磊要制作一个三角形钢架模型，在这个三角形中，长度为x的边与这条边上的高之和为，则这个三角形的最大面积为（   ） A． B． C． D． 2．我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下方法求得： 解： ∵，∴，∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下列问题，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，则当_____时，花园的面积最大是_____． 3．如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 4．国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 题型二：图形运动问题 解题思路： ①读清动点的运动速度、运动方向，以运动时间x作为自变量，表达动点移动的线段长度； ②把变化的底、高、线段长写成含x的代数式； ③建立面积、线段长度的二次函数； ④自变量取值由动点的起点、终点位置限定； ⑤判断对称轴（顶点）是否落在取值区间，区间外则取端点求值； 核心提醒：动点停止时刻很容易漏掉，不能默认x可取全体正数。 5．如图，在边长为的正方形中，点、、、分别从点、、、同时出发，均以的速度向点、、、匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，四边形的周长最小值为（   ） A．18 B． C．24 D． 6．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点． 请回答下列问题： （1）________； （2）当时，则的长度为______． 7．如图，在等边中，．动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动．点Q沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．连接，，．设点P运动的时间为秒，的面积为S． (1)当点P在上时，_____________（用含t的式子表示）． (2)求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 8．如图，在平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿B→C方向运动，动点M以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D→A方向运动．点P、Q、M三点同时出发，当点P到达点A时，点P，Q和M均停止运动，设动点P运动的时间为x秒，的面积为，点M与点D之间的距离为 (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围．(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.3) 题型三：拱桥问题 解题思路： ①合理建立平面直角坐标系，优先把顶点放在y轴上，简化计算； ②把拱高、跨度转化成关键点坐标； ③代入顶点式y=a(x‑h)^2+k求出抛物线解析式； ④已知水平距离求高度，或已知高度求水平距离； ⑤结合题意作答，注意坐标数值与实际长度的对应； 核心提醒：坐标≠实际长度，看清正负符号，不要直接拿坐标当实际结果。 9．广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（   ）      A． B． C． D． 10．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 11．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁两钢缆与具有相同的抛物线形状．如图，以桥面水平方向为轴，以两钢缆主塔为轴，建立平面直角坐标系．已知所在抛物线与所在抛物线关于轴对称，钢缆的最低点到桥面的距离是，两钢缆最低点，之间的距离是，． (1)求钢缆所在抛物线的函数表达式． (2)为提升桥梁的稳定性，现需要在钢缆的处（在的右侧）与桥面之间加装一根垂直于桥面的加劲梁．已知加劲梁的长为，求加劲梁与主塔的水平距离． 12．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 题型四：销售问题 解题思路： ①牢记核心公式：单件利润=售价‑成本；总利润=单件利润×销售量； ②设涨价/降价为x元，用x表示单件利润和变化之后的销量； ③列出总利润的二次函数； ④写出自变量范围：售价≥成本，销量＞0； ⑤看顶点横坐标是否在取值区间；不在区间则取端点； 核心提醒：涨价销量减少，降价销量增加；商品定价若要求整数，要对临近整数做利润比对。 13．中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价________元，才能使每日利润最大． 14．某超市销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每天可销售件．经调查发现，售价每降低元，每天可多售出件．设每件商品降价元，每天利润为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 15．每年6月的第三个星期日是父亲节，商家推出“健康守护”特惠活动，一批便携式血压血糖测试仪计划在该月销售．根据市场调查，每台盈利200元时，每天可售出20台；若每降价1元，每天可多售出4台．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每台盈利不得低于120元．设每台降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)每台降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 16．2023年，某乡镇企业计划在一个月内（按30天计）生产一批产品，某网络销售平台以每台800元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改进，该产品第天的生产成本（元/台）与（天）之间的关系如图所示． 第天该产品的生产量（台）与（天）满足关系式． (1)求第30天该乡镇企业生产该产品的利润； (2)问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元？ 题型五：投球问题 解题思路： ①建立坐标系，将出手点、最高点、篮筐转化为坐标点； ②选用顶点式代入已知点求抛物线解析式； ③代入横坐标求对应高度，或者代入高度求水平距离； ④判断球是否能够到达目标位置； 核心提醒：要考虑实际物理场景，x不能取小于出手水平位置的数值。 17．如图，小明在一次高尔夫球训练中，球的飞行路线是抛物线的一部分，若不考虑空气阻力，球的飞行高度与飞行距离之间的关系式为，则球能达到的最大高度为________． 18．在校园趣味运动会上，投沙包比赛中沙包的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分，如图是某位同学投沙包时沙包的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象，已知出手点A的高度为1.5m，当沙包水平飞出2m时到达最高处2.5m，位于点处设置有篮筐（可看作一点），得分规定如下表，则该同学此次可获得分数为（参考数据；）（    ） 分值 沙包落地点与篮筐之间的水平距离 3 水平距离 2 水平距离 1 水平距离 0 水平距离 A．3 B．2 C．1 D．0 19．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 20．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 题型六：喷水问题 解题思路： ①以喷水喷头位置建立坐标系，喷头、水柱最高点、落水点为关键坐标； ②用顶点式求抛物线函数； ③求最大喷射高度、喷水水平射程； ④给定高度求水平位置； 核心提醒：实际场景中水落地之后函数失效，自变量只取喷水的有效区间。 21．如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是_____米． 22．某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为轴，出水口为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱在空中运行路线是抛物线（单位：）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（   ） A． B． C． D． 23．如图1，某洗手间的洗手台上放了一瓶洗手液，按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口点A喷出，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线型．现以吸液管底为原点，洗手台水平面为x轴，吸液管所在直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知：喷口点A到台面的高度，，当一滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为，此时该抛物线的表达式为． (1)求这滴洗手液轨迹的函数表达式； (2)当这滴洗手液落到台面上时，求落点离喷口点A的水平距离． 24．如图1，某景区游乐园湖边架设了一部高射水枪，小明发现水喷出后的轨迹近似为抛物线的一段，他想利用二次函数知识来解释这一现象．如图2，点A为水枪喷口的位置，点O为水枪喷口正下方水面的位置，点为喷水落入水面的位置．以点O与点B所在的直线为x轴，以点O与点A所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．喷水高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系，小明发现当喷水的水平距离为时，喷水的高度为． (1)求该抛物线的解析式及喷水的最大高度； (2)当喷水的高度是时，求喷水的水平距离； (3)为增强游玩观感，游乐园在水枪喷口和落点之间设置了一个浮台，其露出水面部分的截面为正方形，．设点D的横坐标为m，若喷水不落在浮台上，请求出m的取值范围． 题型七：增长率问题 解题思路： ①基础公式：变化后量=基础量(1增长率)2； ②设增长率为x，代入公式整理得到二次函数； ③根据实际意义x>0确定取值范围； ④解方程求增长率，舍去负数解； 核心提醒：两年变化才是二次，一年变化是一次，审题看清时间周期。 25．某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域） 26．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，年市政府已投资亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计年投资额达到亿元人民币，设每年投资的增长率为，则可得（    ） A． B． C． D． 27．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 28．某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 题型八：其他实际应用问题 解题思路： ①通读题目提取常量、变量，找准等量关系； ②设定自变量，列出二次函数表达式； ③结合现实条件确定自变量取值； ④区间内求最值或者解方程； ⑤检验结果是否符合现实，舍去不合理答案； 核心提醒：没有固定模型，重点抓“等量关系+自变量取值范围”两个关键点。 29．为了让初三学子以更好的状态迎接体考，川大附中在3.20号安排了针对性模拟．小明参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化(如图)，若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当时，所对应的重心高度分别记为，则的大小关系为__________．(用“”连接) 30．一小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），按如图所示的图象，小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系式是，当小球的速度最大时，弹簧的长度是（） A． B． C． D． 31．如图1，某校有一块种植田，其外轮廓是由抛物线和线段组成的封闭图形，其中米，米，米，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图2所示，已知图中抛物线的函数表达式为（、为常数，且） (1)求图中抛物线的函数表达式； (2)该校计划在抛物线上的点处设立一个取水阀，若点到轴的距离为6米，求点到的距离． 32．某养殖户饲养了，两种肉羊，根据往年的饲养经验，他发现：饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系．已知函数，图象的交点为，，函数的图象与轴正半轴交于点，如图所示． (1)求函数，的解析式． (2)观察图象，分析单独饲养A种肉羊与单独饲养B种肉羊所获得的利润的大小关系． (3)该养殖户计划明年投资万元饲养，这两种肉羊，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少万元？ 题型九：线段周长问题 解题思路： ①用自变量x表示全部参与周长计算的各条线段； ②相加建立周长的函数关系式； ③所有线段必须大于0，锁定自变量范围； ④在限定区间求周长最大、最小值； 核心提醒：不要漏算、多算线段，靠墙题型不要把墙算进周长。 33．如图，直线与抛物线交于两点，为上的一点，过点作轴的平行线交直线于点．设点的横坐标为的长为，则关于的函数图象大致为（   ）    A．   B．   C．   D．   34．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 36．已知抛物线（为常数，）的顶点为D，与y轴交于点C． (1)当时，求顶点D的坐标； (2)直线与抛物线交于A，B两点（点B在y轴的右侧）． ①若，求的值； ②设P为A，B两点间抛物线上的一个动点（含端点A，B）．过点P作，垂足为Q，若线段长的最大值为5，求的值． 题型十：面积问题 解题思路： ①把图形的底和高用含x代数式表达； ②利用面积公式构建二次函数； ③边长大于0，得到自变量取值区间； ④判断顶点横坐标是否在区间：在区间取顶点最值；不在区间直接比较两端端点； 核心提醒：考试高频坑，顶点不在定义域，依旧直接套顶点算最值，导致整题出错。 37．如图，已知抛物线，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点，且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图像中，能表示s与m的函数关系的大致图像是（     ） A． B． C． D． 38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 39．如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 40．二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 题型十一：角度问题 解题思路： ①二次函数结合特殊角（30°、45°、60°、90°）； ②借助直角三角形、三角函数把角度条件转化线段边长关系； ③把线段转化含x表达式，列方程求解参数； ④解完后代入检验角度条件，舍去不符合的解； 核心提醒：角度不能直接写进函数，必须转化成长度、边长条件再列式。 41．如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是________________________． 42．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为第一象限抛物线上一点，且，则点M的坐标为________．    43．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 44．如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 题型十二：特殊三角形问题 解题思路： ①动点背景下，先写出三点坐标，再写出三边的平方表达式； ②分三类讨论：等腰（三边两两相等）、直角三角形（勾股定理）； ③列方程求出自变量； ④检验自变量必须落在题目给定取值范围内，舍去增根； 核心提醒：等腰三角形一定要分类讨论哪两条边相等，防止漏解。 45．如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________． 46．如果抛物线与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“量子三角形”．现有以下说法： ①抛物线不存在“量子三角形”； ②若抛物线的“量子三角形”是正三角形，则该正三角形的面积是； ③若抛物线中系数，，均为绝对值不大于1的整数，且该抛物线的“量子三角形”是等腰直角三角形，则符合条件的抛物线共有2条． 其中，正确的说法个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 47．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十三：特殊四边形 解题思路： ①二次函数图像上点坐标，利用平行四边形、矩形、菱形的边长、对角线性质； ②平行四边形：对角线中点重合，坐标中点公式是常用方法； ③矩形增加直角、邻边垂直；菱形增加邻边相等； ④列方程求解参数，回代检验，剔除不在定义域的解； 核心提醒：多情况分类，不要漏掉不同位置的图形。 48．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 49．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 50．如图，抛物线经过坐标轴上，，三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积等于3时点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 51．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十四：相似三角形问题 解题思路： ①先找固定相等角作为相似的对应角； ②分情况讨论两组对应边成比例； ③用函数图像上点的坐标，表示线段长度； ④列出比例式转化为方程求解； ⑤检验解是否满足自变量取值，舍去不合题意的解； 核心提醒：相似没有指明对应顶点，必须分类，极易漏解。 52．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． (1)当时，______； (2)的最大值为_______． 53．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 54．如图，抛物线经过点、，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)Q为x轴上方的抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），轴于点M，是否存在点Q，使得以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 55．新定义：若函数图像一定过点，我们称为该函数的“永固点”．如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图像一定过点，则点称为这个函数的“永固点”． 【初步理解】一次函数的“永固点”的坐标是______； 【理解应用】二次函数落在x轴负半轴的“永固点”A的坐标是______，落在x轴正半轴的“永固点”B的坐标是______； 【知识迁移】点P为抛物线的顶点，设点A到直线的距离为，点P到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二次函数的应用精讲学案 课堂核心立意 以数学建模为核心主线，把生活最优化问题、抛物线轨迹几何问题转化为二次函数模型，打破“直接套顶点求最值”的思维误区，重点强化自变量取值范围对实际最值的约束作用，落实“实际问题数学化、函数结论现实化”解题逻辑，是中考应用题压轴核心考点，承接二次函数图像性质，实现知识点落地应用。 通用解题固定步骤（答题得分模板，课堂板书直接用） ①审题：梳理题干常量、变量，找准等量关系式，区分几何边长、售价销量、抛物线坐标等量关系； ②设元：合理设定自变量x与因变量y，统一单位，避免单位换算失误； ③列式：整理化简为二次函数标准形式y=ax2+bx+c ④定域：结合现实条件写出自变量取值范围（边长＞0、售价高于成本、长度不超过墙体总长等硬性限制）； ⑤求解：分两类求最值，全体实数直接用顶点公式，限定区间对比顶点、区间端点函数值； ⑥检验：验证最值对应自变量在取值区间内，舍去不符合实际的解； ⑦作答：带单位写出最终结论，贴合题目问题表述。 三大核心应用模型（必考主干知识点） 模型1：几何图形面积最值问题（篱笆围矩形、窗框、三角形、动点面积） ①核心等量：矩形面积=长×宽、三角形面积=×底×高，用单一自变量表示图形两条邻边； ②关键要点：存在墙体、固定边框、门窗缺口时，边长表达式需要扣减固定长度； ③最值判定：若顶点横坐标在自变量取值区间内，顶点为面积最值；顶点超出区间，最值出现在区间左右端点； ④典型场景：一面靠墙围花圃、铝合金窗框最大透光面积、动点在直角边上运动形成三角形面积最值。 模型2：销售利润最值问题（中考高频必考） ①核心公式：单件利润=销售单价−单件成本，总利润=单件利润×销售数量； ②涨价/降价逻辑：涨价x元，销量随涨价减少；降价x元，销量随降价增加，用x表示销量变化量； ③约束条件：售价不能低于进货成本、售价不能过高导致销量为负数，以此划定x取值范围； ④易错核心：顶点算出的最优涨价/降价数值若为小数，商品定价需结合实际取整数验证利润。 模型3：抛物线轨迹建模问题（拱桥、隧道、投篮、喷水、车辆通行） ①建系原则：优先将抛物线顶点放在坐标原点或者y轴上，简化解析式计算； ②建模流程：根据图像关键点坐标（顶点、与地面交点、拱高、跨度）代入顶点式y=a(x-h)2+k求解析式； ③题型考法：已知跨度求拱高、已知拱高求水平宽度、判断货车高度宽度能否通过隧道、篮球投篮能否命中篮筐； ④求解逻辑：给定横坐标求高度、给定高度求解横坐标，计算两点水平距离。 三、区间最值核心判定规则（本节课重难点，区分纯函数计算与实际应用） ①a>0开口向上，函数整体有最小值、无最大值；a<0开口向下，函数整体有最大值、无最小值； ②自变量无范围限制：直接取顶点坐标对应最值； ③自变量限定m xn： 1.对称轴在区间内部：顶点取一个最值，对比区间两个端点函数值得到另一最值； 2.对称轴在区间左侧：函数在区间单调增减，最值直接在两个端点取得； 3.对称轴在区间右侧：函数在区间单调增减，最值直接在两个端点取得。 （授课纠错、错题讲评专用） ①直接套用顶点最值，完全忽略自变量实际取值范围，顶点不在区间内依然用顶点数值作答； ②利润问题列式错误，混淆单件利润、总销量的增减变化，涨价时销量不减、降价时销量不增； ③抛物线建系坐标设定混乱，关键点坐标符号标注错误，导致解析式a符号出错； ④几何面积问题忽略墙体、固定杆件长度，边长出现负数，未提前限定自变量下限； ⑤应用题结尾缺少单位、文字作答，只写数字结果，中考步骤分大量丢失； ⑥配方求顶点计算失误，常数项缩放错误，最值计算数值偏差。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★ 题型二 图形运动问题 ★★★★ 题型三 拱桥问题 ★★★ 题型四 销售问题 ★★★★ 题型五 投球问题 ★★★ 题型六 喷水问题 ★★★ 题型七 增长率问题 ★★ 题型八 其他实际应用问题 ★★ 题型九 线段周长问题 ★★★ 题型十 面积问题 ★★★★ 题型十一 角度问题 ★★★★ 题型十二 特殊三角形问题 ★★★★ 题型十三 特殊四边形 ★★★★ 题型十四 相似三角形问题 ★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★高频易错；★★★★考试重难点 题型一：图形问题 解题思路： ①结合几何图形性质，用自变量x表示图形相关边长； ②利用面积、周长公式列出二次函数关系式； ③根据边长大于0，确定自变量取值范围； ④在取值范围内，利用顶点或者区间端点求解最值； 核心提醒：注意图形固定边、缺口、重叠部分，列式时剔除多余线段长度。 1．小磊要制作一个三角形钢架模型，在这个三角形中，长度为x的边与这条边上的高之和为，则这个三角形的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了三角形的面积，整理出二次函数的顶点式解析式的形式是解题的关键．表示出这边上的高，然后利用三角形的面积公式列式整理，根据二次函数的最值问题解答． 【详解】解：设边长为，则边上的高为， 三角形的面积， ∵， ∴时，三角形的面积有最大值为50， 故选：B． 2．我们在求代数式的最小值时，可以考虑用如下方法求得： 解： ∵，∴，∴的最小值是4． 请用上面的方法解决下列问题，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，则当_____时，花园的面积最大是_____． 【答案】 5 【分析】根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质求最值． 【详解】解：设，则，面积为， 由图可得：， ∵， ∴， 又∵且， ∴， ∴当时，y取得最大值，此时． 3．如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长，设矩形的边，面积为． (1)写出与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，面积有最大值为． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到所给面积的等量关系，易错点是根据栅栏长得到矩形长的代数式． （1）利用矩形面积公式列式即可求出； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ； 由矩形面积公式得： ， ， ， ； （2）解：， ， 当时，S随的增大而增大， ， 当时，S有最大值为， 答：当时，面积有最大值为． 4．国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 【答案】(1) (2)x的值为1 (3)改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为 【分析】（1）利用长方形的面积计算公式得出y与x的函数关系式； （2）将代入函数解析式求出x的值； （3）利用配方法将函数配成顶点式，然后根据函数的增减性得出最值． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：由题意可得：， 则， 即， 解得：，， 经检验得：不合题意，舍去， 答：x的值为1； （3）解： ， 当时，y随x的增大而减小， 故当时，y最大，， 即改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为． 题型二：图形运动问题 解题思路： ①读清动点的运动速度、运动方向，以运动时间x作为自变量，表达动点移动的线段长度； ②把变化的底、高、线段长写成含x的代数式； ③建立面积、线段长度的二次函数； ④自变量取值由动点的起点、终点位置限定； ⑤判断对称轴（顶点）是否落在取值区间，区间外则取端点求值； 核心提醒：动点停止时刻很容易漏掉，不能默认x可取全体正数。 5．如图，在边长为的正方形中，点、、、分别从点、、、同时出发，均以的速度向点、、、匀速运动，当点到达点时，四个点同时停止运动，在运动过程中，四边形的周长最小值为（   ） A．18 B． C．24 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的最值、勾股定理．根据题意和图形可以得到四边形的周长与运动时间t的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可解答本题． 【详解】解：设点运动的时间为秒，则，， 由勾股定理得， 四边形的周长， 设 ∵， ∴当时，取得最小值，此时， ∴四边形的周长的最小值， 故选：B． 6．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点． 请回答下列问题： （1）________； （2）当时，则的长度为______． 【答案】 13 【分析】（1）如图1，作，在上取点H，使，连接，，，当时，动点Q运动到点H的位置，得到，当点Q运动到点G的时候，最小为81，，再由勾股定理求出m的值； （2）求抛物线的解析式，将代入即可解答． 【详解】解：（1）如图1，过点P作于G，在上取点H，使，连接，，， ∵， ∵当时，动点Q运动到点H的位置， 则由题意和图象可知， 当点Q运动到点G的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ； （2）由（1）得：， ∴，， ， 当时，点Q运动到点B，则， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴顶点坐标为， 当，即点Q在A点时， ∴， ∴点C的纵坐标为250， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， ， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴（负值舍去）． 7．如图，在等边中，．动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点C匀速运动．点Q沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点A匀速运动．连接，，．设点P运动的时间为秒，的面积为S． (1)当点P在上时，_____________（用含t的式子表示）． (2)求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)S关于t的函数解析式为 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意可分：①当点P在上时，即，②当点P在线段上时，此时点Q在线段上，即，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：当点P在上时，； （2）解：由题意可分：①当点P在上时，即，过点Q作，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由题意可知：， ∴， ∴； ②当点P在线段上时，此时点Q在线段上，即，过点P作，如图所示： ∴，， 同理可得， ∴； 综上所述：S关于t的函数解析式为． 8．如图，在平行四边形中，，，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿B→A方向运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿B→C方向运动，动点M以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D→A方向运动．点P、Q、M三点同时出发，当点P到达点A时，点P，Q和M均停止运动，设动点P运动的时间为x秒，的面积为，点M与点D之间的距离为 (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围．(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.3) 【答案】(1)， (2)函数图象如图所示： 函数的性质：当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）过点P作于点N，根据题意可得，则，结合30度直角三角形的性质表示出，然后利用三角形面积公式即可表示出，进而分点M在上和在上时，分别表示出即可； （2）根据（1）中所求表达式，利用描点法作图即可； （3）根据图象找出的图象在的图象下方时，x的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作于点N， ∵在平行四边形中，，，， ∴，， 根据题意可得，，则， ∵在中，， ∴， ∴； 当点M在上时，即时，， 当点M在上时，即时，； ∴综上可知：； （2）解：描点如下： x 1 2 3 4 5 6 7 3.5 6 7.5 8 7.5 6 3.5 6 4 2 0 2 4 6 所作函数图象（略）；性质略（答案不唯一）； （3）解：由函数图象，当时，x的取值范围是或． 题型三：拱桥问题 解题思路： ①合理建立平面直角坐标系，优先把顶点放在y轴上，简化计算； ②把拱高、跨度转化成关键点坐标； ③代入顶点式y=a(x‑h)^2+k求出抛物线解析式； ④已知水平距离求高度，或已知高度求水平距离； ⑤结合题意作答，注意坐标数值与实际长度的对应； 核心提醒：坐标≠实际长度，看清正负符号，不要直接拿坐标当实际结果。 9．广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线解应用题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键． 建立平面直角坐标系，如图所示，得到、，由待定系数法确定解析式为，将点的横坐标为代入解析式即可得到答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 、， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得， 解得， ， 点的横坐标为， 当时，， 点到的距离为， 故选：C． 10．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 11．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁两钢缆与具有相同的抛物线形状．如图，以桥面水平方向为轴，以两钢缆主塔为轴，建立平面直角坐标系．已知所在抛物线与所在抛物线关于轴对称，钢缆的最低点到桥面的距离是，两钢缆最低点，之间的距离是，． (1)求钢缆所在抛物线的函数表达式． (2)为提升桥梁的稳定性，现需要在钢缆的处（在的右侧）与桥面之间加装一根垂直于桥面的加劲梁．已知加劲梁的长为，求加劲梁与主塔的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出最低点和的坐标，代入解析式即可； （2）将的纵坐标代入即可求出与主塔的水平距离． 【详解】（1）解：钢缆的最低点到桥面的距离是，两钢缆最低点，之间的距离是，． ∴点的坐标为，即的顶点为， 又∵，在轴上， ∴，在上， 设的抛物线解析式为顶点式：， 将代入得：， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解： ∵与关于轴对称， ∴的顶点，的解析式为：，即为； ∵垂直桥面（轴），长度为， ∴点纵坐标，代入解析式得： ； 解得， 在右侧，即， ∴加劲梁与主塔的水平距离为． 12．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 【答案】(1)， (2)机动车道一的限高高度为 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：如图，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为， 由图可得，， ， 代入到， 得， 解得：， 抛物线的函数表达式为（答案不唯一）； （2）解：如图， 由题意得，， ， 点在（1）中所在坐标系的横坐标为， 当时，， ， 答：机动车道一的限高高度为． 题型四：销售问题 解题思路： ①牢记核心公式：单件利润=售价‑成本；总利润=单件利润×销售量； ②设涨价/降价为x元，用x表示单件利润和变化之后的销量； ③列出总利润的二次函数； ④写出自变量范围：售价≥成本，销量＞0； ⑤看顶点横坐标是否在取值区间；不在区间则取端点； 核心提醒：涨价销量减少，降价销量增加；商品定价若要求整数，要对临近整数做利润比对。 13．中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价________元，才能使每日利润最大． 【答案】8 【分析】设每件模型涨价元，每日利润为元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设每件模型涨价元，每日利润为元， 则， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值， 即每件模型应涨价8元，才能使每日利润最大． 14．某超市销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每天可销售件．经调查发现，售价每降低元，每天可多售出件．设每件商品降价元，每天利润为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每天利润等于单件利润乘以销售量列方程即可. 【详解】解：∵单件利润： 销售量： ∴ 故选：A ． 15．每年6月的第三个星期日是父亲节，商家推出“健康守护”特惠活动，一批便携式血压血糖测试仪计划在该月销售．根据市场调查，每台盈利200元时，每天可售出20台；若每降价1元，每天可多售出4台．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每台盈利不得低于120元．设每台降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)每台降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)函数表达式为，x的取值范围是 (2)当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元 【分析】（1）根据每天的销售利润每台的利润销售量列式求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得：， ∵每台的利润不低于120元， ∴， 解得； ∴x的取值范围是； （2）解：在中， ∵，∴函数开口向下， ∵对称轴为，且， ∴时，y随x的增大而增大， ∴当时，． 答：当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元． 16．2023年，某乡镇企业计划在一个月内（按30天计）生产一批产品，某网络销售平台以每台800元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改进，该产品第天的生产成本（元/台）与（天）之间的关系如图所示． 第天该产品的生产量（台）与（天）满足关系式． (1)求第30天该乡镇企业生产该产品的利润； (2)问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)6000元 (2)第15天该网络销售平台的利润最大，最大利润是12500元 【分析】（1）根据图象得第30天的成本，求出此时的产量，然后求出该天的利润； （2）首先表示出，设第天该网络销售平台的利润为元，分类讨论，结合一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，第30天时的成本为500元， 此时的产量为（台）， ∴第30天的利润为：（元）； （2）解：设线段的表达式为， 把，代入得，， 解得， 线段的解析式为， ，其中为整数， 设第天该网络销售平台的利润为元， ①当时， ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，； ②当时， ， 随的增大而减小， 当时，， 答：第15天的利润最大，最大利润为12500元． 题型五：投球问题 解题思路： ①建立坐标系，将出手点、最高点、篮筐转化为坐标点； ②选用顶点式代入已知点求抛物线解析式； ③代入横坐标求对应高度，或者代入高度求水平距离； ④判断球是否能够到达目标位置； 核心提醒：要考虑实际物理场景，x不能取小于出手水平位置的数值。 17．如图，小明在一次高尔夫球训练中，球的飞行路线是抛物线的一部分，若不考虑空气阻力，球的飞行高度与飞行距离之间的关系式为，则球能达到的最大高度为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用二次函数的性质求出y的最大值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴时，y有最大值，最大值为， ∴球能达到的最大高度为， 故答案为：． 18．在校园趣味运动会上，投沙包比赛中沙包的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分，如图是某位同学投沙包时沙包的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数图象，已知出手点A的高度为1.5m，当沙包水平飞出2m时到达最高处2.5m，位于点处设置有篮筐（可看作一点），得分规定如下表，则该同学此次可获得分数为（参考数据；）（    ） 分值 沙包落地点与篮筐之间的水平距离 3 水平距离 2 水平距离 1 水平距离 0 水平距离 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．先根据已知条件求出二次函数解析式，再令，结合实际，求出沙包落地点对应的点坐标，结合篮筐在地面上的位置所对应的点坐标为，求出沙包落地点与篮筐之间的水平距离，最后估算出该距离并与表格中的得分标准进行对比，得出该生应得分数． 【详解】解：设该抛物线的解析式为：， ∵出手点A的高度为1.5m， ∴点A坐标为， 又∵沙包水平飞出2m时到达最高处2.5m， ∴抛物线顶点坐标为， 即抛物线解析式为：且该抛物线过点， 将代入中， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，则， ∴， 解得：，， 根据题意，沙包落地点对应的点坐标为，篮筐在地面上的位置所对应的点坐标为， ∴沙包落地点与篮筐之间的水平距离为：， ∴该同学此次可获得分数为0分． 19．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 20．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 【答案】(1) (2)足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是米． (3)能 【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为，代入即可求解； （2）令，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论． （3）分别计算，的函数值，进一步判断即可． 【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，， 根据图象，头球点在最高点右侧，即，舍去， ∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米． （3）解：当时，则， 当时，则， ∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离的范围内，能飞入球门． 题型六：喷水问题 解题思路： ①以喷水喷头位置建立坐标系，喷头、水柱最高点、落水点为关键坐标； ②用顶点式求抛物线函数； ③求最大喷射高度、喷水水平射程； ④给定高度求水平位置； 核心提醒：实际场景中水落地之后函数失效，自变量只取喷水的有效区间。 21．如图，广场有一喷水池，以出水点为原点，出水点与落水点所在直线为轴建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出后，离地面的最大高度是_____米． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标，利用配方法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案． 【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线， ∴水喷出后，离地面的最大高度是的顶点坐标的纵坐标， ∴， ∴顶点坐标为：， ∴水喷出后，离地面的最大高度是4米， 故答案为：4． 22．某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为轴，出水口为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，水柱在空中运行路线是抛物线（单位：）的一部分，则水喷出的最远水平距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴交点的横坐标差的绝对值，据此解答即可． 【详解】解：令， 解得：或， 所以抛物线与x轴交于点和， ∴水喷出的最远水平距离是米． 故选D． 23．如图1，某洗手间的洗手台上放了一瓶洗手液，按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口点A喷出，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线型．现以吸液管底为原点，洗手台水平面为x轴，吸液管所在直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知：喷口点A到台面的高度，，当一滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为，此时该抛物线的表达式为． (1)求这滴洗手液轨迹的函数表达式； (2)当这滴洗手液落到台面上时，求落点离喷口点A的水平距离． 【答案】(1)； (2)这滴洗手液落点离喷口点的水平距离是 【分析】（1）由题意可知，抛物线经过点，两点，再利用待定系数法求解析式即可； （2）令，求出对应的x的值，取符合条件的x值减去的长度，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线经过点，两点， 将这两点坐标代入表达式， 得， 解得， ∴这滴洗手液轨迹的函数表达式为； （2）解：令，即， 解得：或（舍去）， 与喷口点A的水平距离为：， 答：这滴洗手液落点离喷口点的水平距离是． 24．如图1，某景区游乐园湖边架设了一部高射水枪，小明发现水喷出后的轨迹近似为抛物线的一段，他想利用二次函数知识来解释这一现象．如图2，点A为水枪喷口的位置，点O为水枪喷口正下方水面的位置，点为喷水落入水面的位置．以点O与点B所在的直线为x轴，以点O与点A所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．喷水高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系，小明发现当喷水的水平距离为时，喷水的高度为． (1)求该抛物线的解析式及喷水的最大高度； (2)当喷水的高度是时，求喷水的水平距离； (3)为增强游玩观感，游乐园在水枪喷口和落点之间设置了一个浮台，其露出水面部分的截面为正方形，．设点D的横坐标为m，若喷水不落在浮台上，请求出m的取值范围． 【答案】(1)，喷水的最大高度是； (2)喷水的水平距离是或； (3)． 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式，进而化为顶点式即可； （2）令，进而求解即可； （3）分别求出当点E在抛物线上时、当点F在抛物线上时点D的横坐标m的值，即可得到m的取值范围． 【详解】（1）解：由抛物线过点，， 得 解得 ∴． ∵， ∴喷水的最大高度是； （2）解：令， 解得，， 答：喷水的水平距离是或； （3）解：若喷水恰好接触到浮台边缘，则点E或点F在抛物线上． 令，则， 解得，． 当点E在抛物线上时，点D的横坐标m为； 当点F在抛物线上时，点D的横坐标m为； ∴m的取值范围是． 题型七：增长率问题 解题思路： ①基础公式：变化后量=基础量(1增长率)2； ②设增长率为x，代入公式整理得到二次函数； ③根据实际意义x>0确定取值范围； ④解方程求增长率，舍去负数解； 核心提醒：两年变化才是二次，一年变化是一次，审题看清时间周期。 25．某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域） 【答案】 【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 26．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，年市政府已投资亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计年投资额达到亿元人民币，设每年投资的增长率为，则可得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据增长率方程解答． 【详解】设每年投资的增长率为，由题意得， 故选：C． 【点睛】此题考查增长率二次函数关系式，掌握增长率问题的计算公式：，a是前量，b是后量，x在增长率． 27．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可； （2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案． 【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算． 28．某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【答案】(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键． （1）根据待定系数法求解方程即可； （2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解； （3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 题型八：其他实际应用问题 解题思路： ①通读题目提取常量、变量，找准等量关系； ②设定自变量，列出二次函数表达式； ③结合现实条件确定自变量取值； ④区间内求最值或者解方程； ⑤检验结果是否符合现实，舍去不合理答案； 核心提醒：没有固定模型，重点抓“等量关系+自变量取值范围”两个关键点。 29．为了让初三学子以更好的状态迎接体考，川大附中在3.20号安排了针对性模拟．小明参加了跳远测试，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化(如图)，若重心高度与起跳后时间的函数表达式为，当时，所对应的重心高度分别记为，则的大小关系为__________．(用“”连接) 【答案】 【分析】分别将代入二次函数表达式计算出对应的值，利用有理数大小比较法则即可得出结论． 【详解】解：当时，． 当时，． 当时，． 30．一小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），按如图所示的图象，小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系式是，当小球的速度最大时，弹簧的长度是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数解析式求出速度最大时弹簧被压缩的长度，再利用弹簧长度等于初始长度减去压缩长度求解即可 【详解】解：∵小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系式是 ∴该函数图象是开口向下的抛物线， 当时，取得最大值， ∵， 当时，小球的速度最大，此时弹簧被压缩了， ∵弹簧的初始长度为， ∴此时弹簧的长度为 31．如图1，某校有一块种植田，其外轮廓是由抛物线和线段组成的封闭图形，其中米，米，米，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图2所示，已知图中抛物线的函数表达式为（、为常数，且） (1)求图中抛物线的函数表达式； (2)该校计划在抛物线上的点处设立一个取水阀，若点到轴的距离为6米，求点到的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）先求出点的坐标，代入计算可得函数解析式，再求出自变量的取值范围即可； （2）先求出点的横坐标为6，再代入函数解析式求出点的纵坐标即可． 【详解】（1）解：由题意得：点的坐标为，点的坐标为， 将点，代入函数得：， 解得， 所以图中抛物线的函数表达式为． （2）解：∵点到轴的距离为6米，且点位于第一象限， ∴点的横坐标为6， 将代入函数得：， ∴， 答：点到的距离为米． 32．某养殖户饲养了，两种肉羊，根据往年的饲养经验，他发现：饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系．已知函数，图象的交点为，，函数的图象与轴正半轴交于点，如图所示． (1)求函数，的解析式． (2)观察图象，分析单独饲养A种肉羊与单独饲养B种肉羊所获得的利润的大小关系． (3)该养殖户计划明年投资万元饲养，这两种肉羊，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少万元？ 【答案】(1)；． (2)当投资金额小于万元时，饲养种肉羊的利润较大；当投资金额等于万元时，饲养种肉羊，种肉羊的利润一样；当投资金额大于万元时，饲养种肉羊的利润较大． (3)当种肉羊的投资金额为万元，种肉羊的投资金额为万元，可使得总利润最大，最大利润为万元 【分析】（1）设函数的解析式为：；把点代入，求出即可；设函数的解析式为：；把，，，代入函数解析式，求出，即可； （2）根据函数图象，进行解答，即可； （3）设养殖户明年饲养，两种肉羊获得的总利润为万元，其中饲养种肉羊的投资金额为万元，，饲养种肉羊的投资金额为万元，可得，根据二次函数的图象和性质，求出最大值即可． 【详解】（1）解：设函数的解析式为：；函数经过点， ∴， ∴， ∴； 设函数的解析式为：；函数经过点，，， ∴， 解得：， ∴． （2）解：由函数图象可知；当投资金额小于万元时，饲养种肉羊的利润较大；当投资金额等于万元时，饲养种肉羊，种肉羊的利润一样；当投资金额大于万元时，饲养种肉羊的利润较大． （3）解：设养殖户明年饲养，两种肉羊获得的总利润为万元，其中饲养种肉羊的投资金额为万元，饲养种肉羊的投资金额为万元， ∴， 整理得：， 配方可得：； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为；此时； ∴当种肉羊的投资金额为万元，种肉羊的投资金额为万元，可使得总利润最大，最大利润为万元． 题型九：线段周长问题 解题思路： ①用自变量x表示全部参与周长计算的各条线段； ②相加建立周长的函数关系式； ③所有线段必须大于0，锁定自变量范围； ④在限定区间求周长最大、最小值； 核心提醒：不要漏算、多算线段，靠墙题型不要把墙算进周长。 33．如图，直线与抛物线交于两点，为上的一点，过点作轴的平行线交直线于点．设点的横坐标为的长为，则关于的函数图象大致为（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合问题，过点作轴，交直线于点．由题意得，，根据即可求解． 【详解】解：过点作轴，交直线于点．如图所示：    由直线得直线与轴正方向的夹角为， ∵轴， ∴， ． ∵点的横坐标为，轴， ∴，， ， ∴． 故选：C． 34．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点，点Q是对称轴上一动点． （1）_________． （2）当的周长最小时，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离公式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，由对称性可得，则可得到当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；求出直线的表达式为．抛物线的对称轴为直线，则的周长有最小值时，点Q的坐标为，再求出的长即可得到答案．， 【详解】解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点，， ∴ 解得 ， 故答案为：； （2）如图所示，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∵是定值， ∴当P、Q、N三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的表达式为， ∴ 解得， 直线的表达式为． 抛物线的表达式为， 此抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的周长有最小值时，点Q的坐标为， ∴此时 ∵， 当的周长最小时，， 故答案为：． 35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出答案即可； （2）把抛物线化为顶点式，根据平移规律进行解答即可； （3）求出直线的解析式为，设，则，则线段的长度，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解： ∴将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为； （3）当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ， 解得 ∴直线的解析式为， 设，则， 则线段的长度， ∵ ∴当时，线段的长度的最大值为． 36．已知抛物线（为常数，）的顶点为D，与y轴交于点C． (1)当时，求顶点D的坐标； (2)直线与抛物线交于A，B两点（点B在y轴的右侧）． ①若，求的值； ②设P为A，B两点间抛物线上的一个动点（含端点A，B）．过点P作，垂足为Q，若线段长的最大值为5，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）将m的值代入到抛物线解析式，再将解析式配成顶点式即可求得顶点的坐标； （2）令求出C点坐标，联立直线与抛物线的解析式求出A、B的坐标，①根据点的坐标表示出，即可求出此时m的值；②作且与抛物线相切于P点，直线交x轴于G点，过P点作于Q点，可知此时线段为最大值，过G点作于D点，则有，根据直线的图像可知，根据矩形的性质可知，则可得到直线的解析式，根据与抛物线只有一个交点，即可求得m的值． 【详解】（1）解：将代入到中，得， 配成顶点式得：， 则顶点D的坐标为； （2）解：令，可得，则C点坐标为， 根据题意联立： ，解得：或者， ∵点B在y轴的右侧， ∴B点坐标为，A点坐标为， ①∵B点坐标为，A点坐标为，C点坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）； ②作，直线交x轴于G点，过P点作于Q点， 当直线与抛物线只有一个交点时，此时线段的值最大为5， 过G点作于D点，如图， ∵直线的解析式为， ∴直线与x轴所夹锐角为，即， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴则直线相当于是将直线向右平移了个单位得到的， ∴直线的解析式为：， ∴联立， 可得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相同的解， ∴方程的， 解得， 即m的值为：． 题型十：面积问题 解题思路： ①把图形的底和高用含x代数式表达； ②利用面积公式构建二次函数； ③边长大于0，得到自变量取值区间； ④判断顶点横坐标是否在区间：在区间取顶点最值；不在区间直接比较两端端点； 核心提醒：考试高频坑，顶点不在定义域，依旧直接套顶点算最值，导致整题出错。 37．如图，已知抛物线，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点，且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图像中，能表示s与m的函数关系的大致图像是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的平移和几何面积问题，根据题意得到阴影面积为两个平行四边形的面积之和，进而求解即可． 【详解】如图所示， 图中所求阴影的面积相对于抛物线向上平移m个单位时， 抛物线在范围内扫过的面积，即两个平行四边形的面积之和， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴阴影的面积， ∵， ∴能表示S与m的函数关系的图象大致是B． 故选：B． 38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的面积为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：连接， 把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴, 的面积为：． 39．如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，，过点P作轴交于H，先求得直线的表达式为，设，则，，可得，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：如图，连接，，过点P作轴交于H， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解 得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，此时， ∴当面积最大时，点的坐标为． 40．二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在实数a，使得为直角三角形． 理由如下： ①由图可知，A为直角顶点，不可能； ②若C为直角顶点，此时与原点O重合，由题意可知，也不可能； ③若B为直角顶点，则， 令，可得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得， 解得， 由（2）可知，， ∴，不合题意，舍去； 综上所述，不存在实数a，使得为直角三角形． 【分析】（1）把点和点代入，即可求解； （2）先求出顶点M的坐标，再利用得到关于a的方程，即可求解； （3）分A为直角顶点，C为直角顶点，B为直角顶点，三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入，得， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴顶点M的纵坐标为， ∵， ∴ ∴， 整理得， 解得， 由图象可知， ∵顶点M在第二象限， ∴对称轴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． （3）略 题型十一：角度问题 解题思路： ①二次函数结合特殊角（30°、45°、60°、90°）； ②借助直角三角形、三角函数把角度条件转化线段边长关系； ③把线段转化含x表达式，列方程求解参数； ④解完后代入检验角度条件，舍去不符合的解； 核心提醒：角度不能直接写进函数，必须转化成长度、边长条件再列式。 41．如图，已知抛物线，点P是抛物线上一动点．当点P在第二象限，时，点P的坐标是________________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 42．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为第一象限抛物线上一点，且，则点M的坐标为________．    【答案】 【分析】先求出B、C的坐标得到，则，从而得到，设与x轴的交点为N，求出，进而求出直线的解析式为，由此联立两函数解析式即可求出答案． 【详解】解：在，当时，，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 设与x轴的交点为N， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 故答案为：．    【点睛】 本题主要考查了一次函数与二次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确求出点N的坐标是解题的关键． 43．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点和点坐标代入求解即可； （2）分两种情况讨论，当点E在上方的抛物线上，当点E在下方的抛物线上，画出图形，根据∠分情况求解即可． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得， 抛物线； （2）解：当点E在上方的抛物线上，如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去）或， ∴点的坐标为； 当点E在下方的抛物线上，如图，设交于点G， 由条件可知， 设，则， 解得， 则， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为，联立， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 44．如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在x轴上方时，取点，连接，可证明，推出，则点P在射线上，求出直线的解析式为，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可；当点P在x轴下方时，取点，连接，同理可证明点P在射线上，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，当点P在x轴上方时，取点，连接， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时，取点，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 题型十二：特殊三角形问题 解题思路： ①动点背景下，先写出三点坐标，再写出三边的平方表达式； ②分三类讨论：等腰（三边两两相等）、直角三角形（勾股定理）； ③列方程求出自变量； ④检验自变量必须落在题目给定取值范围内，舍去增根； 核心提醒：等腰三角形一定要分类讨论哪两条边相等，防止漏解。 45．如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定等，求得关键点的坐标是解题的重点． 利用平移规律求得平移后的函数解析式，即可求得的坐标，基本求得点的坐标，由等腰三角形的性质可知点的纵坐标为 2 ，代入新的函数解析式即可求解． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移 2 个单位长度，得到，即， ， 把代入得， ， ， 若新抛物线存在点使以为底的等腰三角形，则点的纵坐标为 2 ， 把代入，解得：， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 46．如果抛物线与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“量子三角形”．现有以下说法： ①抛物线不存在“量子三角形”； ②若抛物线的“量子三角形”是正三角形，则该正三角形的面积是； ③若抛物线中系数，，均为绝对值不大于1的整数，且该抛物线的“量子三角形”是等腰直角三角形，则符合条件的抛物线共有2条． 其中，正确的说法个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①抛物线是否存在“量子三角形”取决于其与x轴的交点个数，根据判别式即可判断；②通过计算正三角形的边长及面积验证；③枚举符合条件的系数组合，结合等腰直角三角形的几何条件判断．本题关键是掌握二次函数与二次方程的关系，掌握等边三角形、等腰直角三角形的几何特征． 【详解】①正确：抛物线的判别式，故抛物线与x轴无交点，故不存在“量子三角形”． ②正确：抛物线的顶点为，与x轴交于和． 若构成正三角形，则顶点到交点的距离等于交点间距， 即，解得， 则正三角形的边长，面积为． ③正确：要满足题意，则， 设两根为，则， 二次函数与x轴两交点之间的距离，即等腰直角三角形的底边边长为： ， 要使该等腰三角形为等腰直角三角形，则：， ∴， ∴， 又∵为绝对值不大于1的整数，， ∴ ∴或， 即满足条件的抛物线有两条． 故选：D． 47．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 题型十三：特殊四边形 解题思路： ①二次函数图像上点坐标，利用平行四边形、矩形、菱形的边长、对角线性质； ②平行四边形：对角线中点重合，坐标中点公式是常用方法； ③矩形增加直角、邻边垂直；菱形增加邻边相等； ④列方程求解参数，回代检验，剔除不在定义域的解； 核心提醒：多情况分类，不要漏掉不同位置的图形。 48．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质求出点坐标是解题的关键． 根据题意可得到点为抛物线顶点，根据抛物线解析式得出顶点坐标，再根据菱形的性质，得到点的纵坐标为，求出点的坐标分别为，即可求解． 【详解】解：由题意得，点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式可知，抛物线， 即的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵为菱形的对角线且点在第三象限，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故答案为： ． 49．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 50．如图，抛物线经过坐标轴上，，三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积等于3时点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴交于点，求出直线的解析式，将的面积转化为一元二次方程求解即可； （3）分分别为平行四边形的对角线，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴. （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， 解得：，， ∴或． （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵， 当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 51．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，设，，再分类讨论即可 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，则， ∴, 设， 如图， 当时，则且 解得：， ∴ 当时，则且 解得：， ∴ 综上：点M坐标为或 题型十四：相似三角形问题 解题思路： ①先找固定相等角作为相似的对应角； ②分情况讨论两组对应边成比例； ③用函数图像上点的坐标，表示线段长度； ④列出比例式转化为方程求解； ⑤检验解是否满足自变量取值，舍去不合题意的解； 核心提醒：相似没有指明对应顶点，必须分类，极易漏解。 52．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，过点A，C的抛物线与x轴的另一个交点为，点D为第一象限内抛物线上的一动点，连接与交于点E． (1)当时，______； (2)的最大值为_______． 【答案】(1)/0.5 (2)/0.5625 【分析】本题考查了二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先利用一次函数求出点A、C的坐标，结合再设出交点式，代入点C坐标求出抛物线解析式，由可得D的坐标，再利用平行线分线段成比例性质得到，即可解答； （2）作轴交于F，轴交于G，先得出比例，结合三角形的面积公式得到，设，则，表示出，进而表示出，再求出最大值即可解答． 【详解】（1）解：对于， 令，则，即， 令，则，即， 又， 设抛物线解析式为， 代入，则， 解得：， 设抛物线解析式为， ， 的纵坐标与的纵坐标相同，均为3， 对于，令，则， 解得：， ， ， 又， ． 故答案为：． （2）如图，作轴交于F，轴交于G， ， ， ， ， 当时，， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 的最大值为． 故答案为：． 53．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，设与交于点，求出，，则有解析式为，设，则，然后证明，由性质得，最后由二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设与交于点， 由得，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则的最大值为， 故选：． 54．如图，抛物线经过点、，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)Q为x轴上方的抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），轴于点M，是否存在点Q，使得以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点Q的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先确定点坐标，进而可得，易知；设点，则，，若以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似，则有或，进而可得或，然后分别代入数值求解即可． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线的表达式中， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）存在，理由如下： 对于抛物线，当时可得， ∴点， ∵， ∴， ∴， 设点，则，， 以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似， 则或， 或， 或， 当时，可得， 整理得，， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，， 整理得，，解得或（舍去）． 综上所述，满足条件的点Q的坐标为：． 55．新定义：若函数图像一定过点，我们称为该函数的“永固点”．如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图像一定过点，则点称为这个函数的“永固点”． 【初步理解】一次函数的“永固点”的坐标是______； 【理解应用】二次函数落在x轴负半轴的“永固点”A的坐标是______，落在x轴正半轴的“永固点”B的坐标是______； 【知识迁移】点P为抛物线的顶点，设点A到直线的距离为，点P到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由． 【答案】【初步理解】；【理解应用】，；【知识迁移】为定值． 【分析】本题考查二次函数的性质和新定义，关键是对新定义的理解和运用． 初步理解：把化为，根据“永恒点”的定义得出结论； 理解应用：把化为，根据“永恒点”的定义得出结论； 知识迁移：先求出顶点P的坐标，分别过点P、A作直线的垂线，垂足为Q、C，作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求出E，F坐标，然后求出，再由，求出为定值． 【详解】解：初步理解：∵， ∴无论m值如何变化，该函数图象恒过点， ∴一次函数的永固点的坐标是， 故答案为：； 理解应用：， 当或时，， ∴无论m值如何变化，恒过定点和， ∴，， 故答案为：，； 知识迁移：为定值． ∵， ∴顶点，， 作轴交直线于点E，作轴交直线于点F， 则，，， 分别过点P、A作直线的垂线，垂足为Q、C，则    ∴，， ∴， ∴， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $