专题07 二次函数 章末54道压轴题型专训 -2026-2027学年浙教版九年级数学上册重

专题07 二次函数章末54道压轴题型专训（9大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、二次函数的图象与性质问题 1 题型二、二次函数中平移问题 2 题型三、二次函数与方程及不等式综合应用 3 题型四、二次函数中折叠问题 4 题型五、二次函数图象与系数的关系问题 5 题型六、二次函数中最值问题 6 题型七、二次函数中存在性问题 7 题型八、二次函数的实际综合应用 8 题型九、二次函数与几何图形综合问题 9 【经典例题一 二次函数的图象与性质问题】 1．（24-25九年级上·北京大兴·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)当时，求该抛物线的对称轴； (2)当时，，为该抛物线上的两点，若，，总有，求m的取值范围． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知二次函数，函数值和自变量的部分对应取值如表： 请观察表格，解决下列问题． (1)填空：_______，_______ (2)已知，，若线段与抛物线有交点，求的取值范围． 3．（25-26九年级上·北京·期末）已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 4．（24-25九年级上·北京平谷·阶段检测）已知二次函数． (1)用配方法化成的形式，并指出该二次函数图象的顶点坐标与对称轴； (2)画出此函数的图像； (3)利用图象回答：当x取什么值时，． (4)当时，y的取值范围是什么？ 5．（2026·江苏泰州·一模）小颖同学在用描点法画二次函数图象时，列出了下面表格： x … 0 1 2 3 4 5 … … 7 4 3 4 7 ■ … (1)表格中的“■”数据被污染了，求被污染的数据； (2)张老师针对上面的二次函数提出了这样一个问题： 当时，求函数值y的取值范围． 如下是小颖同学的解答过程：    小颖的解答正确吗？如果正确，请说明理由；如果错误，请直接写出正确的结果． 6．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小丽的探究过程，请补充完整：    (1)函数的自变量x的取值范围是________． (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整： (3)对于上面的函数，下列四个结论：     ①函数图象关于y轴对称；     ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； ④函数图象与x轴有2个公共点． 所有正确结论的序号是________． (4)结合函数图象，解决问题： ①若关于x的方程有4个不相等的实数根，则k的取值范围是________； ②若关于x的方程至少有3个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【经典例题二 二次函数中平移问题】 7．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）若抛物线的对称轴是直线，与坐标轴交于点和． (1)求此抛物线的解析式； (2)将顶点向上平移9个单位长度，再向左平移m（）个单位长度后，恰好落在抛物线上的点D处，点Q是对称轴上一点，当的周长最小时，求Q点的坐标． 8．（24-25九年级上·江西赣州·阶段检测）已知函数．    (1)在平面直角坐标系中画出该函数图象． (2)该函数可以由函数的图象经过怎样的平移得到？ (3)该抛物线与x轴交于点__________，与y轴交于点__________．（写坐标） (4)求该函数图象关于x轴对称的抛物线的解析式． 9．（2025·上海奉贤·三模）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)当点在轴负半轴，且时， ①求抛物线的表达式； ②将抛物线向上或向下平移得到抛物线，抛物线与轴的负半轴交于点，顶点的纵坐标为，如果线段与线段有交点，求的取值范围； (2)当抛物线的系数变化时，表述顶点的运动轨迹，并画出图像． 10．（2025·安徽芜湖·一模）如图，已知抛物线L：经过点，． (1)求的值； (2)连接，交抛物线：的对称轴于点． ①求点的坐标； ②将抛物线向左平移个单位得到抛物线．抛物线的对称轴交抛物线于点，抛物线的对称轴交抛物线于点．当时，求的值． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于，两点，其对称轴直线l与x轴交于点D． (1)求抛物线L的函数表达式． (2)将抛物线L向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，请求出满足条件的点M的坐标． 12．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C，经过定点D的直线交抛物线C于A、B两点（点A在点B的左侧），点O为坐标原点．    (1)直接写出抛物线C的解析式和定点D的坐标； (2)用字母S表示三角形的面积，若，请补充图1，求k的值； (3)若，直线交抛物线C于A、B两点（点A在点B的左侧），点P的坐标是，不平行y轴的直线l分别交线段、（不含端点）于M、N两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值． 【经典例题三 二次函数与方程及不等式综合应用】 13．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知二次函数与自变量的部分对应值如下表： … 1 3 5 … … 1 0 … (1)求这个二次函数表达式； (2)当的取值范围为______时，． 14．（24-25九年级上·云南昆明·阶段检测）已知抛物线（为常数，且）． (1)若，求抛物线与轴的交点坐标，并直接写出时的取值范围； (2)若点和在抛物线上，试比较与的大小． 15．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知二次函数． (1)将配方得_____； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不需要列表）； (3)当x为 时，； (4)时，直接写出y的取值范围是 ； (5)当时，函数y的取值范围为，则a的值为 ． 16．（25-26九年级上· 浙江杭州· 阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； 0 1 2 0 (3)若一次函数的图象也经过两点，结合图象，直接写出不等式的解集． 17．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点． (1)若其中一个交点为． ①求a的值； ②求抛物线与x轴的交点坐标； (2)若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围． 18．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中，______． (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出一条函数的性质：______． (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______． 【经典例题四 二次函数中折叠问题】 19．（2026·天津红桥·二模）顶点为B的抛物线经过点和点，连接． （Ⅰ）求该抛物线的解析式； （Ⅱ）D是x轴下方抛物线上一点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，与交于点E． ①若，求点D的坐标； ②在①的条件下，点F是线段上的动点（点F不与点O和点B重合），连接，将沿折叠，点B的对应点为点，与的重叠部分为．是否存在一点H，使四边形为矩形？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（24-25九年级上·山东烟台·期中）有一个二次函数满足以下三个条件： ①函数图象与轴的交点坐标分别为，（点在点的右侧）； ②对称轴是； ③该函数有最小值是． (1)请根据以上信息求出二次函数表达式； (2)将该函数图象的部分图象向下翻折（翻折前后的图像关于轴对称）与原图象未翻折的部分组成图象“”，平行于轴的直线与图象“”相交于三点，，，请画出图像“”的函数图象，并结合函数图象直接写出的取值范围和的取值范围． 21．（2026·黑龙江·三模）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，，的长是一元二次方程的两个实数根，点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度向终点O运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，将沿直线折叠得到，设与矩形重合部分的面积为S，运动时间为t秒． (1)求点B的坐标； (2)求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当点D落在上时，点N在x轴上，直线上是否存在点M，使以D，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接与出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2025·广东东莞·模拟预测）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A，B，点为抛物线上的一点，点D为点C关于点A的对称点，连接，，，． 【初步探究】（1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，若为等边三角形，求a的值； 【深入探究】（3）如图3，点P为线段上一动点，把沿折叠得到，与的重叠部分为．若，求的长． 23．（2026·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 24．（2026·山东济南·一模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是，，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； (3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接BP，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标． 【经典例题五 二次函数图象与系数的关系问题】 25．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 26．（25-26九年级上·河南南阳·周测）如图，已知抛物线经过，，三点，直线是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点是直线上的一个动点，当点到点，点的距离之和最短时，求点的坐标． 27．（2026·浙江温州·三模）如图，已知抛物线L：经过点，． (1)求该二次函数解析式； (2)将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值． 28．（25-26九年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，以为顶点的抛物线交轴于点．    (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是否也在这个抛物线上？ (3)你能否通过左右平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点？若能，请写出平移的方法；若不能，请说明理由． 29．（25-26九年级下·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线经过、两点．    (1)求二次函数的表达式． (2)求点的坐标及直线的表达式． (3)在直线上方的抛物线上存在一动点，过点作轴，交于点，请求出线段的最大值． 30．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3． （1）求抛物线的解析式． （2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 二次函数中最值问题】 31．（25-26九年级上·山东淄博·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点． (1)求点的坐标及该拋物线的对称轴； (2)当时，的最大值是，求当时，的最小值． 32．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 33．（25-26九年级上· 内蒙古赤峰· 期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交，两点（点在左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求经过、两点的直线解析式； (3)若点为直线上方拋物线上的一个动点：根据你的经验，请判断的面积是否有最大值？如果有最大值，求出此时点的坐标． 34．（2026·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． (1)求点P的坐标； (2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值； (3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 35．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，，点P是直线下方抛物线上的一个动点．过点P作轴，交直线于点E．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值是________； (3)求的最大值； 36．（2026·山西晋城·一模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 数学对物理学的发展起着重要的作用，物理学也对数学的发展起着重要的作用，莫尔斯所说：“数学是数学，物理是物理，但物理可以通过数学的抽象而受益，而数学则可以通过物理的见识而受益．” 以下是数学中常见的一个问题： 若，则的最大值是多少？ 设，，则． …… 以下是物理中的一个问题： 物理学中的电路分为串联电路和并联电路，已知电路中有大小分别为和的两个电阻，串联电路的电阻公式为，并联电路的电阻公式为．在某一段电路上测得两个电阻的和为．若根据实际需要把这两个电阻并联在一起，则并联后总电阻的最大值是多少？ 任务： (1)按照上面的解题思路，完成数学问题的剩余部分． (2)若，两数的和为定值，则，满足______时，的值最大． (3)解决这个物理问题主要体现的数学思想是______．（填序号即可） A．统计思想    B．分类思想    C． 模型思想 (4)物理问题中并联后总电阻的最大值是______． 【经典例题七 二次函数中存在性问题】 37．（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线L的表达式； (2)将此抛物线在坐标平面内平移，得到抛物线，使其经过原点．若在第二象限的抛物线上存在点P，使为等腰直角三角形，请求出抛物线的表达式． 38．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，在线段下方的抛物线上存在一点D，使，线段交于点E，求点E的坐标． 39．（2026·山东聊城·模拟预测）如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标． 40．（24-25九年级上·天津南开·阶段检测）如图，点A、B在的图象上已知A、B的横坐标分别为、4，直线AB与y轴交于点C，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)设直线所对应的一次函数的函数值小于的函数值，写出对应的自变量的取值范围：___________． (4)函数的图象上是否存在点P，使的面积等于的面积的一半，则这样的点P共有___________个． 41．（2026·四川宜宾·一模）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为；矩形的顶点A与点O重合，、分别在x轴、y轴上，且，． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)将矩形以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒，直线与该抛物线的交点为N（如图2所示）． ①当时，判断点P是否在直线上，并说明理由； ②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 42．（2026·安徽亳州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． (1)求点的坐标； (2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标； (3)如图2，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于、两点，连接、，分别交轴于、两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【经典例题八 二次函数的实际综合应用】 43．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度米，水面离拱桥的最大高度为16米，现有一艘宽20米，高出水面11米的轮船． (1)求出抛物线解析式； (2)请通过计算说明这艘船能否通过这座拱桥？ 44．（2026·江苏南京·一模）国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 45．（2026·河北张家口·二模）如图，抛物线（为常数）与轴和轴的正半轴分别交于点和，直线，交轴于点，交于点，（在的左侧）． （1）当时， ①直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标，并求的长； ②当时，求的最大值和最小值的差． （2）是否存在，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）当时，抛物线的最高点到的距离为1，请直接写出此时的值． 46．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，且该商品的月销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量（件）月销售利润（元）的部分对应值如下表： 售价/（元/件） 30 35 月销售量/件 300 250 月销售利润/元 4500 5000 (1)商品的进价为 元/件，关于的函数表达式为 ； (2)当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； (3)现公司决定每销售1件商品就捐赠元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则 ． 47．（25-26九年级上·河南南阳·周测）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑高． (2)求落水点之间的距离． (3)若需要在上的点处竖立雕塑．问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 48．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，一小球从斜坡点以一定方向弹出球的飞行路线可用二次函数刻画，斜坡可用一次函数刻画，小球飞行的水平距离（米）可与小球飞行高度（米）变化规律如下表： x 0 1 2 3 4 n 6 7 …… y 0 m 6 7.5 8 7.5 6 3.5 …… (1)填空： ①______，______；②小球落点的坐标为______； (2)求小球在飞行过程中离斜坡的最大高度（垂直于地面）． (3)计划在斜坡上点种一棵树，设点横坐标为，树高为米，要使小球飞过这棵树，问的取值范围是多少？ 【经典例题九 二次函数与几何图形综合问题】 49．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 50．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知，． (1)求，的值和直线对应的函数表达式； (2)为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标； (3)为抛物线上一点，若，求点的坐标． 51．（2026·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 52．（25-26九年级上·山东泰安·期中）将抛物线：向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线． (1)直接写出抛物线，的解析式； (2)如图，点在抛物线上（对称轴右侧），点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标． 53．综合与探究 如图，二次函数的图像经过轴上的点和轴上的点，且对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式． (2)点E位于抛物线第四象限内的图像上，以，为边作平行四边形．当平行四边形为菱形时，求点的坐标与菱形的面积． (3)连接，在直线上是否存在一点，使得与相似，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 54．（2026·浙江湖州·模拟预测）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． (1)①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值． (2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数章末54道压轴题型专训（9大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、二次函数的图象与性质问题 1 题型二、二次函数中平移问题 2 题型三、二次函数与方程及不等式综合应用 3 题型四、二次函数中折叠问题 4 题型五、二次函数图象与系数的关系问题 5 题型六、二次函数中最值问题 6 题型七、二次函数中存在性问题 7 题型八、二次函数的实际综合应用 8 题型九、二次函数与几何图形综合问题 9 【经典例题一 二次函数的图象与性质问题】 1．（24-25九年级上·北京大兴·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)当时，求该抛物线的对称轴； (2)当时，，为该抛物线上的两点，若，，总有，求m的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)，或 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征，熟练掌握对称轴公式以及分类讨论思想的运用是解本题的关键；确定m的范围是本题的难点． （1）根据抛物线对称轴公式：，即可得到答案； （2）分三种情况讨论，得到关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：抛物线 该抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时，抛物线， 则该抛物线的对称轴为直线， ①当时，则， 则， 解得， ②当时，则， 则， 解得m的值不存在； ③当时，且满足，则， 解得． 综上，m的取值范围为：，或． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知二次函数，函数值和自变量的部分对应取值如表： 请观察表格，解决下列问题． (1)填空：_______，_______ (2)已知，，若线段与抛物线有交点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)当或时，线段与抛物线有交点 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别把和代入二次函数进行求解即可； （2）令时，则有，则有抛物线与直线的交点坐标为和，然后可得或，进而求解即可． 【详解】（1）解：当时，则有； 当时，则有； 故答案为，； （2）解：令时，则有， 解得：， ∴抛物线与直线的交点坐标为和， ∵线段与抛物线有交点， ∴点或需在线段上， ∵点，， ∴或， 解得：或； ∴当或时，线段与抛物线有交点． 3．（25-26九年级上·北京·期末）已知二次函数． (1)先补全表格，则______．然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． (3)点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，若，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)3；函数图象，如图所示： (2) (3)或 【分析】（1）把代入得出，即可得出，先描点，再连线，画出二次函数图象即可； （2）根据函数图象，写出当时，y的取值范围即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据函数图象可得：当时，； （3）解：当时，，即， 根据函数图象可知：当或时，， ∵点和都在此函数的图象上，且点A与点B不重合，且， ∴n的取值范围为或． 4．（24-25九年级上·北京平谷·阶段检测）已知二次函数． (1)用配方法化成的形式，并指出该二次函数图象的顶点坐标与对称轴； (2)画出此函数的图像； (3)利用图象回答：当x取什么值时，． (4)当时，y的取值范围是什么？ 【答案】(1)，顶点坐标为，对称轴为直线； (2) 画出函数图象如下： (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了画二次函数的图象，把二次函数的一般式化为顶点式，熟练掌握利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，二次函数图象的画法是解题的关键． （1）用配方法即可求解； （2）先求出该函数图像上点的坐标，再用描点法画出图象即可； （3）根据函数图象，找出函数图象在x轴上方的时候x的取值范围即可； （4）根据图象得到时图象的最高点和最低点的函数值即可求解． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：列表如下： x 0 1 2 3 4 y 3 0 0 3 （3）解：由图象可得， 当或时，； （4）解：由图象可得， 当时，． 5．（2026·江苏泰州·一模）小颖同学在用描点法画二次函数图象时，列出了下面表格： x … 0 1 2 3 4 5 … … 7 4 3 4 7 ■ … (1)表格中的“■”数据被污染了，求被污染的数据； (2)张老师针对上面的二次函数提出了这样一个问题： 当时，求函数值y的取值范围． 如下是小颖同学的解答过程：    小颖的解答正确吗？如果正确，请说明理由；如果错误，请直接写出正确的结果． 【答案】(1)12． (2)不正确； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求函数值，二次函数的性质； （1）由待定系数法求出函数解析式，求出当时的函数值，即是被污染的数据； （2）解答不正确；考虑对称轴，当时，函数值随自变量的增大而减小，当时，函数值随自变量的增大而增大，从而最后可确定函数值y的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得： ， 即函数解析式为：， 当时，； 故被污染的数据为12； （2）解：小颖的解答不正确； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，函数取得最小值3； 当时，函数值随自变量的增大而减小， 当时，，此时； 当时，函数值随自变量的增大而增大， 当时，，此时； 综上，当时，． 6．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小丽的探究过程，请补充完整：    (1)函数的自变量x的取值范围是________． (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整： (3)对于上面的函数，下列四个结论：     ①函数图象关于y轴对称；     ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； ④函数图象与x轴有2个公共点． 所有正确结论的序号是________． (4)结合函数图象，解决问题： ①若关于x的方程有4个不相等的实数根，则k的取值范围是________； ②若关于x的方程至少有3个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】(1)任意实数 (2)见解析 (3)①③ (4)①；② 【分析】（1）根据函数解析式可以写出x的取值范围； （2）根据函数图象的特点，可以得到该函数关于y轴对称，从而可以画出函数的完整图象； （3）根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立； （4）①根据函数图象，可以写出关于x的方程有4个不相等的实数根时，k的取值范围；②当时，先求出直线函数的图象有三个交点时，k的值，再结合图象即可得出答案；当时，当直线与函数的图象有三个交点时，则，再结合图象即可得出答案． 【详解】（1）函数， 的取值范围为任意实数， 故答案为：任意实数； （2）由函数可知，和时的函数图象关于轴对称，函数图象如右图所示；    （3）由图象可得， 函数图象关于轴对称，故①正确； 函数有最小值，但没有最大值，故②错误； 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故③正确； 函数图象与轴有4个公共点，故④错误； 故答案为：①③； （4）①由图象可得， 关于x的方程有4个不相等的实数根，则k的取值范围是， 故答案为：； ②如图，    当时，，即， 当直线与函数的图象有三个交点时，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴关于x的方程至少有3个不相等的实数根，则k的取值范围是； 当时，，即， 当直线与函数的图象有三个交点时，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴关于x的方程至少有3个不相等的实数根，则k的取值范围是， 综上所述，关于x的方程至少有3个不相等的实数根，则k的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【经典例题二 二次函数中平移问题】 7．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）若抛物线的对称轴是直线，与坐标轴交于点和． (1)求此抛物线的解析式； (2)将顶点向上平移9个单位长度，再向左平移m（）个单位长度后，恰好落在抛物线上的点D处，点Q是对称轴上一点，当的周长最小时，求Q点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合—周长问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）顶点，抛物线的对称轴为直线，由平移的性质可得，代入抛物线解析式，求出点关于对称轴对称的点的坐标为，由轴对称的性质可得，从而可得的周长，当、、在同一直线上时，的周长最小，求出直线的解析式为，设，代入函数解析式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与坐标轴交于点和， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴顶点，抛物线的对称轴为直线， ∵将顶点向上平移9个单位长度，再向左平移m（）个单位长度后得到点D， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， 当、、在同一直线上时，的周长最小， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵的周长最小， ∴点在直线上， 将代入可得， ∴． 8．（24-25九年级上·江西赣州·阶段检测）已知函数．    (1)在平面直角坐标系中画出该函数图象． (2)该函数可以由函数的图象经过怎样的平移得到？ (3)该抛物线与x轴交于点__________，与y轴交于点__________．（写坐标） (4)求该函数图象关于x轴对称的抛物线的解析式． 【答案】(1)见解得 (2)向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到 (3)； (4) 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的平移问题，求二次函数与坐标轴的角度坐标，坐标与图形变化—轴对称： （1）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可； （3）根据（1）所求即可得到答案； （4）设为函数关于x轴对称的函数图象上一点，则点为函数图象上一点，据此求出m、n的关系式即可得到答案． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如下所示：    （2）解：函数可以由函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到； （3）解：由（1）可知该抛物线与x轴交于点，与y轴交于点； （4）解：设为函数关于x轴对称的函数图象上一点，则点为函数图象上一点， ∴， ∴， ∴点在函数的函数图象上， ∴函数关于x轴对称的函数为． 9．（2025·上海奉贤·三模）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)当点在轴负半轴，且时， ①求抛物线的表达式； ②将抛物线向上或向下平移得到抛物线，抛物线与轴的负半轴交于点，顶点的纵坐标为，如果线段与线段有交点，求的取值范围； (2)当抛物线的系数变化时，表述顶点的运动轨迹，并画出图像． 【答案】(1)①；② (2)顶点的运动轨迹：开口向下的抛物线，顶点为，对称轴为轴， 图像如下图所示． 【分析】（1）①确定，得，根据正切的定义得，确定，代入求出的值即可； ②确定，抛物线的表达式为：，，得，求出的解析式为，得线段与交点的纵坐标为，根据“线段与线段有交点”得，求解即可； （2）确定，得，继而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图， ∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， 当时，得：， ∴， ∴， ∵点在轴负半轴，且，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； ②∵抛物线与轴交于、两点， 当时，得：， 解得：或， ∴， ∵将抛物线向上或向下平移得到抛物线，抛物线与轴的负半轴交于点，顶点的纵坐标为，， ∴抛物线的表达式为：，， 当时，得：， ∴， 设的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 当时，得：， 即线段与交点的纵坐标为， ∵线段与线段有交点，， ∴， 解得：， ∴的取值范围为； （2）∵抛物线，顶点为点． ∴， ∴， ∴， ∴当抛物线的系数变化时，顶点的运动轨迹为：开口向下的抛物线，顶点为，对称轴为轴 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，正切的定义，待定系数法确定函数的解析式，函数图象平移的规律，不等式的应用，画函数图象等知识点．掌握二次函数的图像与性质及锐角三角函数的定义是解题的关键． 10．（2025·安徽芜湖·一模）如图，已知抛物线L：经过点，． (1)求的值； (2)连接，交抛物线：的对称轴于点． ①求点的坐标； ②将抛物线向左平移个单位得到抛物线．抛物线的对称轴交抛物线于点，抛物线的对称轴交抛物线于点．当时，求的值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由（）可得二次函数解析式，即得抛物线的对称轴为直线，，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入计算即可求解； （）根据平移可得的解析式为，进而可求出点的坐标，最后根据列出方程解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的平移，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线L：经过点，， ∴， 解得， 即，； （2）解：①∵，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； ②∵， ∴将抛物线向左平移个单位得到抛物线，的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴的值为． 11．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于，两点，其对称轴直线l与x轴交于点D． (1)求抛物线L的函数表达式． (2)将抛物线L向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，请求出满足条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移的性质得到抛物线的解析式为，求出点E的坐标，设，分两种情况：当时，则；当时，则，利用两点间的距离公式列方程求解． 【详解】（1）解：将，代入，得 ，解得， ∴抛物线L的函数表达式是 （2）∵抛物线L向左平移得到抛物线，， ∴抛物线L向左平移3个单位得到抛物线， ∴抛物线过点， 设抛物线的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵抛物线与原抛物线的对称轴相交于点E，原抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵点F为抛物线对称轴上的一点，对称轴为直线， ∴设， ∵以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形， ∴当时，则， ∴， 解得， ∴F的坐标为或， ∵以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形， ∴， ∴点M的坐标为或； 当时，则， ∴， 解得， ∴F的坐标为或， ∵以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形， ∴， ∴点M的坐标为或， 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，二次函数平移的规律，坐标系中两点间的距离，正确掌握二次函数与图形问题是解题的关键． 12．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C，经过定点D的直线交抛物线C于A、B两点（点A在点B的左侧），点O为坐标原点．    (1)直接写出抛物线C的解析式和定点D的坐标； (2)用字母S表示三角形的面积，若，请补充图1，求k的值； (3)若，直线交抛物线C于A、B两点（点A在点B的左侧），点P的坐标是，不平行y轴的直线l分别交线段、（不含端点）于M、N两点，若直线l与抛物线只有一个公共点，求证的值是定值． 【答案】(1)，点D的坐标为 (2) (3)见解析 【分析】（1）利用抛物线平移的规律解答即可，令求得y值，则点D坐标可得； （2）依题意画出图形，过点A作于点E，过点B作于点F，设，，利用已知条件得到关于，的方程，将抛物线的解析式与直线的解析式联立得到方程，再利用一元二次方程的根与系数的关系得到关于，的方程组，即可得到k值； (3)过点M作于点E，过点N作于点F，利用已知条件求得A，B坐标，则 ，，于是，，设直线的解析式为，求得直线，的解析式，分别与直线的解析式联立求得点M，N的坐标，再计算，即可证明． 【详解】（1）利用抛物线平移的规律得抛物线C的解析式为，令求得，则； （2）依题意画出图形，如图，过点A作于点E，过点B作于点F，设，，则，，，    ∵， ∴， ∴， 联立，得， ∴，， ∴， 解得：， 又∵， ∴， ∴； （3）令，得，， ，， 由，设直线的解析式为， 令，解得， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 设直线l的解析式为， 联立，消去y得， ∵直线l与抛物线只有一个公共点， ∴，得， 联立，且，解得， 同理可得， ∵直线、的解析式一次项系数分别为1、， ∴直线、与y轴的夹角为， ∴， ∴的值是定值．    【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，抛物线上的点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，抛物线的平移的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【经典例题三 二次函数与方程及不等式综合应用】 13．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知二次函数与自变量的部分对应值如下表： … 1 3 5 … … 1 0 … (1)求这个二次函数表达式； (2)当的取值范围为______时，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则抛物线的顶点坐标为，设顶点式，然后把代入求出a即可； （2）利用抛物线的对称性得到时，，再根据抛物线开口向下，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 由表格可知，当时， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即； （2）解：∵时，，抛物线的对称轴为直线， ∴时，， ∵，抛物线开口向下， ∴当的取值范围为时，． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·云南昆明·阶段检测）已知抛物线（为常数，且）． (1)若，求抛物线与轴的交点坐标，并直接写出时的取值范围； (2)若点和在抛物线上，试比较与的大小． 【答案】(1)抛物线与轴的交点的坐标为或；当时，的取值范围为或； (2)当时，，即；当时，，即；当或时，，即． 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程、二次函数的性质、比较函数值的大小、二次函数与不等式等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）先求出当，抛物线可化为；当时，可得或，即可确定与x轴交点的坐标； （2）由题意可得，，然后作差可得，然后分、、三种情况解答即可． 【详解】（1）解：当，抛物线可化为， 当时，，解得：或， ∴抛物线与轴的交点的坐标为或； ∵， ∴抛物线的开口方向向上， ∴时，的取值范围为或． （2）解：∵点和在抛物线上， ∴，， ∴， 当，即时，，即； 当，时，即时，，即；     当，即或时，，即． 15．（25-26九年级上·北京·阶段检测）已知二次函数． (1)将配方得_____； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不需要列表）； (3)当x为 时，； (4)时，直接写出y的取值范围是 ； (5)当时，函数y的取值范围为，则a的值为 ． 【答案】(1) (2) 如图所示， (3) (4) (5) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，画二次函数图象； （1）根据配方法化为顶点式，即可求解； （2）根据顶点式确定顶点坐标，以及与轴的交点坐标，根据二次函数图象的对称性画出函数图象，即可求解； （3）根据函数图象可得时，， （4）结合函数图象，当时，得出的范围； （5）根据时，函数y的取值范围为，令，得出，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）略 （3）解：根据函数图象可得，当时，， 故答案为：． （4）解：根据函数图象可得当时，， 当时，取得最大值为， ∴当，y的取值范围是； 故答案为：． （5）解：∵当时，函数y的取值范围为， 当时，， 当时，， 当时， 解得：或（舍去） 则a的值为， 故答案为：． 16．（25-26九年级上· 浙江杭州· 阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)填写表格并在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； 0 1 2 0 (3)若一次函数的图象也经过两点，结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 解：列表如下： 0 1 2 0 函数图象如下所示： (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，画二次函数图象，二次函数与不等式之间的关系，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先列表，再描点，连线画出对应的函数图象即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入中得， ∴， ∴二次函数解析式为； （2）略 （3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在二次函数图象上方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为． 17．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点． (1)若其中一个交点为． ①求a的值； ②求抛物线与x轴的交点坐标； (2)若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②抛物线与轴的交点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键． （1）①运用待定系数法求解即可； ②由①得，令，即，解方程即可； （2）根据正方形的性质求出点A的坐标为，再把和代入，求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：①把点代入中， 得 解得 ②由题意得抛物线的表达式为． 令，即， 解得，． 抛物线与轴的交点坐标为 （2）解：点， ， 点的坐标为， 拋物线开口向下， 将点代入得，解得． 将点代入得，解得． 抛物线的图象与正方形的边有两个交点，的取值范围是 18．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中，______． (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出一条函数的性质：______． (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______． 【答案】(1)0 (2) 根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示． (3)图象关于轴对称（答案不唯一） (4)①3，3；② 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． （1）将代入函数解析式中求出值，即可得出结论； （2）根据表格数据，描点补充完图形； （3）根据函数图象，寻找出对称轴以及函数的单调区间，此题得解； （4）①观察函数图象即可得出答案；②根据函数的图象即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：当时，； 故答案为：0． （2）略 （3）解：观察函数图象，可得出：①函数图象关于轴对称，②当时，随的增大而增大，③函数有最小值． 故答案为：图象关于轴对称（答案不唯一）； （4）解：①由函数图象可得：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程有3个实数根， 故答案为：3，3； ②由函数图象知：关于的方程有4个实数根， 的取值范围是， 故答案为：． 【经典例题四 二次函数中折叠问题】 19．（2026·天津红桥·二模）顶点为B的抛物线经过点和点，连接． （Ⅰ）求该抛物线的解析式； （Ⅱ）D是x轴下方抛物线上一点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，与交于点E． ①若，求点D的坐标； ②在①的条件下，点F是线段上的动点（点F不与点O和点B重合），连接，将沿折叠，点B的对应点为点，与的重叠部分为．是否存在一点H，使四边形为矩形？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①；②存在，点H的坐标为． 【分析】（Ⅰ）把点和点代入抛物线解析式，用待定系数法求解即可； （Ⅱ）①过点D作轴，垂足为M，设，代入解析式即可； ②过点F作，垂足为I．根据①求出、和，再用平移得到点H的坐标． 【详解】解：（Ⅰ）∵点，点在抛物线上， ∴解得 ∴该抛物线的解析式为． （Ⅱ）①由， 得，抛物线的对称轴为直线． ∴．∴，． 在中，． ∴． ∵， ∴． 如图，过点D作轴，垂足为M， 则． 设， ∴． 解得（舍去），或． ∴． ②如图，过点F作，垂足为I． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 根据题意，得， ∴． ∴． ∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∴． ∴．得． 由平移的性质，可得． ∴满足条件的点H的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上点的坐标、矩形的性质、解直角三角形等知识，解题关键是熟练综合运用相关知识，设出点的坐标或求出点的坐标，通过方程或平移解决问题． 20．（24-25九年级上·山东烟台·期中）有一个二次函数满足以下三个条件： ①函数图象与轴的交点坐标分别为，（点在点的右侧）； ②对称轴是； ③该函数有最小值是． (1)请根据以上信息求出二次函数表达式； (2)将该函数图象的部分图象向下翻折（翻折前后的图像关于轴对称）与原图象未翻折的部分组成图象“”，平行于轴的直线与图象“”相交于三点，，，请画出图像“”的函数图象，并结合函数图象直接写出的取值范围和的取值范围． 【答案】(1) (2) 如图所示： ， 【分析】考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求二次函数解析式，抛物线的对称性质，二次函数图象的几何变换，直线与抛物线的交点等知识点，综合性较强，需要注意“数形结合”数学思想的应用． （1）利用二次函数解析式的顶点式求得结果即可； （2）由已知条件可知直线与图象“”要有3个交点．分类讨论：分别求得平行于轴的直线与图象“”有2个交点、1个交点时的取值范围，易得直线与图象“”要有3个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为： 设二次函数表达式为：． 该图象过 ，解得． 表达式为； （2）解：由已知条件可知直线与图形“”要有三个交点， ，，应当在直线的下方，且在过顶点且平行于的直线的上方， ， 当直线与轴重合时，有2个交点，由二次函数的轴对称性可求， ． 当直线过的图象顶点时，有2个交点， 由翻折可以得到翻折后的函数图象为 令时，解得或（舍去） ． 综上所述． 21．（2026·黑龙江·三模）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，，的长是一元二次方程的两个实数根，点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度向终点O运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，将沿直线折叠得到，设与矩形重合部分的面积为S，运动时间为t秒． (1)求点B的坐标； (2)求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当点D落在上时，点N在x轴上，直线上是否存在点M，使以D，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接与出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）解一元二次方程，推出，，可得； （2）点D落在上时，再分和两种情况分别计算即可； （3）求出点D落在上时点D，P，Q的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，设，，分点M在x轴下方，点M在x轴上方、下方，点M在上方三种情况，利用平行四边形的性质分别列式求解即可 【详解】（1）解：解方程， 得，． ∵，． ∴，， ∴点B的坐标为． （2）解：由题意，得，． 在中，， ∴． 由折叠可知，，． 当点D落在上时，如下图所示： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ①当时， ； ②当时，设与，分别交于点E，F． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，． （3）解：由（1）知，点D落在上时， 此时，，， ∴，，， ∴， ∴，，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 点N在x轴上，点M在直线上， ∴设，， 以D，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况： 当点M在x轴下方时，如图所示： 由平行四边形的性质可得，，， 即， 解得， ； 当点M在x轴上方、下方时，如图所示： 由平行四边形的性质可得，，， 即， 解得， ； 当点M在上方时，如图所示： 由平行四边形的性质可得，，， 即， 解得， ； 综上可知，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，矩形中的动点问题，解直角三角形，平行四边形存在性问题等，解题的关键是求出点D落在上时点D，P，Q的坐标，画出不同情况下点M和点N的位置示意图． 22．（2025·广东东莞·模拟预测）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A，B，点为抛物线上的一点，点D为点C关于点A的对称点，连接，，，． 【初步探究】（1）求证：四边形为平行四边形； （2）如图2，若为等边三角形，求a的值； 【深入探究】（3）如图3，点P为线段上一动点，把沿折叠得到，与的重叠部分为．若，求的长． 【答案】 （1）证明：当时，， 解得或． ，． ，． ． ． 点D为点C关于点A的对称点， ． 四边形为平行四边形． （2） （3）或 【分析】（1）分别求出，， 再由， ，即可证明四边形为平行四边形； （2）由等边三角形可得，求出，将点C代入函数解析式即可求a的值； （3）根据所给的条件能判断出四边形是矩形，分F点在上时，和F点在上时，两种情况分别求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点C作，交x轴于点H， 是等边三角形， ，． 由（1）知，． ，． 是等边三角形． ，． ， ，． ． 将点代入， 即， 解得． （3）解：过点C作，交x轴于点H， ， ． 点为抛物线上的一点，， ． ． ，． ． ，． ，． 由（1）知，． ． 四边形为平行四边形， 四边形为矩形． 如图，当点F落在上时， 由折叠性质可知． ． ， ． ． ， ． ，． ， ． ． 由折叠性质可知． 四边形为矩形， ，． ． 如图，当点F落在上时， 同理可证， ， ． ，． ， ． ． 由折叠性质可知， ． ． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，折叠的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 23．（2026·内蒙古包头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3)解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即，解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 【分析】（1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 24．（2026·山东济南·一模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是，，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； (3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接BP，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标． 【答案】(1) (2) 点不在抛物线的对称轴上，理由是： ∵抛物线的表达式为， ∴点坐标为． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴将沿所在直线折叠，点一定落在直线上， 延长至，使，过点作轴交轴于点． 又∵， ∴， ∴，则点横坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点不在抛物线的对称轴上． (3) 【分析】（1）利用待定系数法可求得函数的表达式； （2）抛物线的表达式为，可证明，继而可证，则将沿所在直线折叠，点D一定落在直线上，延长至D，使，过点D作轴交y轴于点E，可证，可得点D横坐标．则可判断D点是否在抛物线对称轴上； （3）先求出过点、的直线解析式，分别过A、P作x轴的垂线，利用解析式，用同一个字母m表示出P，N的坐标，再证明，进而用m表示出的值，根据二次函数的性质可以确定出的最大值，进而可确定出此时的P点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）略 （3）解：设过点、的直线表达式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴过点、的直线解析式为． 过点作轴的垂线交的延长线于点， ∵当时，， ∴点坐标为， ∴． 过点作轴的垂线交于点， 设点坐标为，则点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． 若分别以、为底计算和的面积（同高不等底）， 则与的面积比为，即， ∴． ∵， ∴当时，的最大值为，此时点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，二次函数中常见辅助线的作法，利用点的坐标表示线段的长度，确定函数最值，关键在于作出垂线段利于用点的坐标表示相关线段的长度． 【经典例题五 二次函数图象与系数的关系问题】 25．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 26．（25-26九年级上·河南南阳·周测）如图，已知抛物线经过，，三点，直线是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式； (2)设点是直线上的一个动点，当点到点，点的距离之和最短时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)点． 【分析】（）利用两点式和待定系数法求函数解析式即可； （）连接，与直线的交点即为； 本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，准确求出函数的解析式，利用二次函数的性质进行解题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线过，，三点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵抛物线经过，， ∴对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为点，连接，， ∴， ∴， ∴当点在直线上时，距离之和最短， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点． 27．（2026·浙江温州·三模）如图，已知抛物线L：经过点，． (1)求该二次函数解析式； (2)将抛物线L向右平移个单位得到抛物线．P是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E（点E在点P右侧）．若，求m的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移性质得平移后抛物线的解析式为，根据 P是抛物线上一点，横坐标为，得到，由轴，，得到，，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线L：经过点，， ， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：根据题意，得， 由抛物线L向右平移个单位得到抛物线， 故平移后抛物线的解析式为， P是抛物线上一点，横坐标为， ， 故， 由轴，， 则，， 解得，， 故， 在抛物线上， ， 整理，得， 解得， 由，故舍去， 故． 28．（25-26九年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，以为顶点的抛物线交轴于点．    (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是否也在这个抛物线上？ (3)你能否通过左右平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点？若能，请写出平移的方法；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)点不在这个抛物线上 (3)把抛物线向左平移3个单位长度或向右平移9个单位长度可经过 【分析】（1）设抛物线解析式为，把代入得，求出的值即可得到答案； （2）计算出当时，的值与16进行比较即可得到答案； （3）设平移后的抛物线解析式为，把代入得，求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在这个抛物线上； （3）解：能， 设平移后的抛物线解析式为， 把代入得， 解得，， ∴把抛物线向左平移3个单位长度或向右平移9个单位长度可经过点． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，是解此题的关键． 29．（25-26九年级下·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，直线经过、两点．    (1)求二次函数的表达式． (2)求点的坐标及直线的表达式． (3)在直线上方的抛物线上存在一动点，过点作轴，交于点，请求出线段的最大值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）将A代入二次函数表达式，求出c值即可得解； （2）根据二次函数表达式可得点C坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式； （3）设，，求出，再利用二次函数的最值求解． 【详解】（1）解：将代入中，得：， 解得：， ∴； （2）在中，令，则， ∴， 将，代入中，得：， 解得：， ∴直线的表达式为：； （3）设，其中， 则， ∴， ∴当时，线段的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值问题，解题的关键是正确求出函数解析式，表示出的长． 30．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3． （1）求抛物线的解析式． （2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x2+x+3；（2）P坐标为（，）． 【分析】（1）由OA与OC的长确定出A与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式； （2）连接AD，与抛物线对称轴于点P，P为所求的点，设直线AD解析式为y=mx+n，把A与D坐标代入求出m与n的值，确定出直线AD解析式，求出抛物线对称轴确定出P横坐标，将P横坐标代入求出y的值，即可确定出P坐标． 【详解】解：（1）∵OA=2，OC=3， ∴A（-2，0），C（0，3）， 代入抛物线解析式得： ， 解得：b=，c=3， 则抛物线解析式为y=-x2+x+3； （2）连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点， 设直线AD解析式为y=mx+n（m≠0）， 把A（-2，0），D（2，2）代入得： ， 解得：m=，n=1， ∴直线AD解析式为y=x+1， 对称轴为直线x=， 当x=时，y=， 则P坐标为（，）． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数，一次函数解析式，以及对称轴-最短线路问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【经典例题六 二次函数中最值问题】 31．（25-26九年级上·山东淄博·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点． (1)求点的坐标及该拋物线的对称轴； (2)当时，的最大值是，求当时，的最小值． 【答案】(1)，直线； (2)． 【分析】（）将代入解析式求点坐标，由抛物线对称轴为直线，可得抛物线的对称轴； （）由可得时取最大值，从而可得的值，进而求解； 此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 【详解】（1）解：∵点是拋物线与轴的交点， ∴将代入得，， ∴点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， （2）抛物线的顶点坐标为 ∵当时，的最大值是， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线顶点的纵坐标即为的最大值， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴当时，有时，取得最小值为． 32．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把点和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可得解； （3）根据三角形的面积公式求出点到的距离，然后分点在轴的上方与下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：∵， 抛物线的顶点坐标为； （3）解：， ， 设点到轴的距离为，则， 解得， 当点在轴上方时，， 解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时，， 解得，， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标是或或． 33．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交，两点（点在左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求经过、两点的直线解析式； (3)若点为直线上方拋物线上的一个动点：根据你的经验，请判断的面积是否有最大值？如果有最大值，求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)有最大值；此时点的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数解析式的求法，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将，代入待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，求得点的坐标，进而待定系数法求一次函数解析式，即可求解； （3）过点作轴垂线，垂足为，交于点，设，则，求得，进而根据三角形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质求得面积的最大值，进而求得点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：当时，有， 解得：， 点在点左侧， 点的坐标为． 设过，两点的直线解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为． （3）解：有最大值； 如图，过点作轴垂线，垂足为，交于点， 设，则 又：点在上方 当时，最大， 的纵坐标为：， 此时点的坐标为； 34．（2026·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． (1)求点P的坐标； (2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值； (3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据已知条件得到直线，把代入即可得到结论； （2）根据二次函数的性质得到二次函数的最大值是15，解方程即可得到结论； （3）根据在抛物线上，求得，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）二次函数的对称轴为直线， 把代入得， 点的坐标为， 故答案为：； （2）∵二次函数的对称轴为，在对称轴左侧二次函数y的值随x的增大而减小 ∴二次函数 的最大值是15，即 解得， ∵， ∴， ∴； （3）∵在抛物线上， ∵， 当 时，m的值最小，最小值是 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，一次函数和二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式即二次函数的性质是解题的关键． 35．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，，点P是直线下方抛物线上的一个动点．过点P作轴，交直线于点E．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值是________； (3)求的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出点C的坐标为，根据、B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上，得出，根据，两点之间线段最短，当点A、M、C在同一直线上时，最小，即最小，求出最小值即可； （3）求出直线的解析式为，设，其中，则，求出，得出当时，取得最大值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， 将点A，的坐标代入，得 ， 解得：， ∴． （2）解：把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵、B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点A、M、C在同一直线上时，最小，即最小， ∴的最小值为的长， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：．    （3）解：设直线的解析式为， 将点A，的坐标代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，其中， 则， ∴， ∴当时，取得最大值， 即的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 36．（2026·山西晋城·一模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 数学对物理学的发展起着重要的作用，物理学也对数学的发展起着重要的作用，莫尔斯所说：“数学是数学，物理是物理，但物理可以通过数学的抽象而受益，而数学则可以通过物理的见识而受益．” 以下是数学中常见的一个问题： 若，则的最大值是多少？ 设，，则． …… 以下是物理中的一个问题： 物理学中的电路分为串联电路和并联电路，已知电路中有大小分别为和的两个电阻，串联电路的电阻公式为，并联电路的电阻公式为．在某一段电路上测得两个电阻的和为．若根据实际需要把这两个电阻并联在一起，则并联后总电阻的最大值是多少？ 任务： (1)按照上面的解题思路，完成数学问题的剩余部分． (2)若，两数的和为定值，则，满足______时，的值最大． (3)解决这个物理问题主要体现的数学思想是______．（填序号即可） A．统计思想    B．分类思想    C． 模型思想 (4)物理问题中并联后总电阻的最大值是______． 【答案】(1) ∵， ∴当时，取最大值，最大值为1； (2) (3)C (4)3.75 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、有理数混合运算、平方差公式等知识，解题关键是正确理解题意，运用二次函数的性质解题． （1）根据二次函数的性质，即可获得答案； （2）令，两数的和为定值，结合题意，可设，，易得，即可获得答案； （3）根据题意分析即可； （4）结合以上结论可知，当时，取最大值，然后求解即可． 【详解】（1）略 （2）令，两数的和为定值， 设，， 则， ∴当时，取最大值为，此时， ∴若，两数的和为定值，则，满足时，的值最大． 故答案为：； （3）解决这个物理问题主要体现的数学思想是模型思想． 故选：C； （4）由以上结论可知，当时，取最大值， ∴， ∴． 故答案为：3.75． 【经典例题七 二次函数中存在性问题】 37．（2025·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线L的表达式； (2)将此抛物线在坐标平面内平移，得到抛物线，使其经过原点．若在第二象限的抛物线上存在点P，使为等腰直角三角形，请求出抛物线的表达式． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，由点)在函数图象上，对称轴为直线，列方程组即可求得解析式； （2）根据平移后的图象过原点，所以设，使抛物线第二象限上的点P与组成的是等腰直角三角形，所以分三种情况来讨论，分别求出三种情况的解析式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：当时，， ∴，则， ∵， ∴， 由平移后抛物线过原点，可设表达式是，分三种情况： ①当为等腰直角三角形的斜边，如解图①所示，作轴于点Q， ， ，， ． 又， ， ， ， 点坐标是， 把代入得，， ． ∴平移后抛物线表达式为； ②当为等腰直角三角形的斜边，如解图②所示，过作轴于H， 同上可得， ， 点坐标是， 把代入得，， ． ∴平移后抛物线表达式为； ③当为等腰直角三角形的斜边，如解图③所示， 此时是的中点， ， ， 把代入得，． ∴平移后抛物线表达式为． 综上所述，平移后抛物线表达式为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质等知识，要注意数形结合和分类讨论思想方法的运用． 38．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，在线段下方的抛物线上存在一点D，使，线段交于点E，求点E的坐标． 【答案】 【分析】设的表达式为，用待定系数法求直线解析式；过点B作轴，交的延长线于点M，设直线交y轴于点H，则点，同理可得∶点，因为和是同底均为，且，即，即，解得，进而求解． 【详解】解：∵， 当时，， 解得：，， ∴，， 过点B作轴，交的延长线于点M，设直线交y轴于点H． 设直线， 则点． ， ， ，即，解得， ， 由点C，B的坐标得直线， 联立，解得， 当时，， ∴点． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的基本知识，平行线的性质，熟练掌握二次函数的相关知识、处理复杂数据是解题的关键． 39．（2026·山东聊城·模拟预测）如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小．请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）连接，，由于的长度一定，所以周长最小，也就是使最小，点关于对称轴的对称点是点，根据两点之间线段最短可得，与对称轴的交点，即为所求的点，然后再求出直线的表达式为即可． 【详解】（1）解：依题意，得 解得 即抛物线的函数表达式为； （2）解：连接，， 的长度一定，所以周长最小，也就是使最小，点关于对称轴的对称点是点， ∴ ∴根据两点之间线段最短可得，与对称轴的交点，即为所求的点． 设直线的表达式为， 则 解得 此直线的表达式为， 把代入，得， 点的坐标为． 40．（24-25九年级上·天津南开·阶段检测）如图，点A、B在的图象上已知A、B的横坐标分别为、4，直线AB与y轴交于点C，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)设直线所对应的一次函数的函数值小于的函数值，写出对应的自变量的取值范围：___________． (4)函数的图象上是否存在点P，使的面积等于的面积的一半，则这样的点P共有___________个． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键. （1）由抛物线的解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式； （2）由直线的解析式求得的坐标，然后根据利用三角形面积公式即可求得； （3）借助图象得到解集即可； （4）过的中点，作的平行线交抛物线两个交点，作直线关于直线的对称直线，交抛物线两个交点，此时的面积、的面积、的面积和的面积都等于的面积的一半. 【详解】（1）∵点在的图象上，的横坐标分别为， ， 设直线的解析式为， ，解得 ， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，令则， ∴的坐标为， ， ； （3）由图象可知，直线所对应的一次函数的函数值小于的函数值，自变量的取值范围为：或， 故答案为：或； （4）过的中点，作的平行线交抛物线两个交点，此时的面积和的面积等于的面积的一半，作直线关于直线的对称直线，交抛物线两个交点，此时的面积和的面积等于的面积的一半，所以这样的点共有个， 故答案为：． 41．（2026·四川宜宾·一模）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为；矩形的顶点A与点O重合，、分别在x轴、y轴上，且，． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)将矩形以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒，直线与该抛物线的交点为N（如图2所示）． ①当时，判断点P是否在直线上，并说明理由； ②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①当时，点P不在直线上，理由如下： 令，则， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 由题意可得，当时，点的坐标为， 将代入直线的解析式可得， ∴当时，点P不在直线上； ②存在最大值，为 【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将代入抛物线解析式计算即可得出结果； （2）①求出，待定系数法求出直线的解析式为，由题意可得，当时，点的坐标为，将代入直线的解析式计算即可得出结果； ②由题意可得：平移后，，,，，，求出，从而可得，结合，得出四边形为梯形，根据得出关于的表达式，结合二次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点M的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线的解析式经过原点， ∴将代入抛物线解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①略 ②∵，，四边形为矩形， ∴由题意可得：平移后，，,，，， ∵点在抛物线上，且横坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为梯形， ∴ ， ∵，， ∴当时，取得最大值，为． 42．（2026·安徽亳州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． (1)求点的坐标； (2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标； (3)如图2，平面上一点，过点作任意一条直线交抛物线于、两点，连接、，分别交轴于、两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为． (2) (3)与的积是定值为2 【分析】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，根和系数的关系 （1）令，解一元二次方程即可求出； （2）证明，得到，即可求解； （3）证明得到，求出，同理，，即可求解． 【详解】（1）解：令，则，解得，． ∵点A在点B的左侧，∴，， 即点A的坐标为，点B的坐标为． （2）解：由抛物线，得点． 如图1，过点A作交于点，过点作轴于点． ∵，∴是等腰直角三角形， ∴． 又∵，， ∴， ∴，，∴，∴． 设直线的解析式为，则， 解得，∴直线的解析式为． 联立，得解得或（舍去）， ∴点D的坐标为． （3）解：与的积是定值． 设直线的解析式为，，． ∵直线过点交抛物线于P，Q两点， ∴，即， ∴直线PQ的解析式为， 联立，得整理，得， ∴，． 如图2，过点P作轴于点，过点Q作轴于点， 则， ∴，即． ∵，∴． 同理得， ∴ ， 即与的积为定值，此定值为2． 【经典例题八 二次函数的实际综合应用】 43．（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度米，水面离拱桥的最大高度为16米，现有一艘宽20米，高出水面11米的轮船． (1)求出抛物线解析式； (2)请通过计算说明这艘船能否通过这座拱桥？ 【答案】(1) (2)能，理由如下： 对于抛物线， 令，可得， 解得，， ∵， ∴这艘船能通过这座拱桥 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确确定该抛物线解析式是解题关键． （1）设抛物线解析式为，将点坐标代入求解即可； （2）令，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：如图，设点为原点，根据题意，可知米，米， 则，，， 设抛物线解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）略 44．（2026·江苏南京·一模）国际慢城，闲静高淳，景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为． (1)求y与x的函数表达式； (2)若改造后观花道的面积为，求x的值； (3)若要求，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值． 【答案】(1) (2)x的值为1 (3)改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为 【分析】（1）利用长方形的面积计算公式得出y与x的函数关系式； （2）将代入函数解析式求出x的值； （3）利用配方法将函数配成顶点式，然后根据函数的增减性得出最值． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：由题意可得：， 则， 即， 解得：，， 经检验得：不合题意，舍去， 答：x的值为1； （3）解： ， 当时，y随x的增大而减小， 故当时，y最大，， 即改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为． 45．（2026·河北张家口·二模）如图，抛物线（为常数）与轴和轴的正半轴分别交于点和，直线，交轴于点，交于点，（在的左侧）． （1）当时， ①直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标，并求的长； ②当时，求的最大值和最小值的差． （2）是否存在，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）当时，抛物线的最高点到的距离为1，请直接写出此时的值． 【答案】（1）①对称轴为直线，顶点坐标为；；②8；（2）存在；；（3）的值为或或或． 【分析】（1）①当时，得到抛物线，化为顶点式即可得到对称轴与顶点坐标，再求出A，B坐标，故可得到AB的长； ②当时，根据抛物线的图象与性质分别求出最大值和最小值，即可求解； （2）根据当，时，分别画出图形，根据及直线依次求解； （3）把抛物线化为顶点式得到对称轴为直线，再根据抛物线开口向下，可知函数最高点坐标为，根据最高点到直线的距离为1，分当直线在最高点上方时与直线在最高点下方时分别代入即可求解 ． 【详解】解：（1）①当时，抛物线=． ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵当时，， 当时，（负值舍去）， ∴，，． ②当时，抛物线的最大值为顶点纵坐标， ∴的最大值为， 抛物线的最小值为时，， ∴最大值和最小值的差为． （2）存在的值，使得． 如图1，当时， ∵在的左侧， ∴若， 则，代入表达式得 ． ∴． 如图2，当时， ∵在的左侧， 当时， ， 即． 令， 解得．又， ∴． 由上可知，当时，抛物线与直线有一个交点；当时，与无交点；当时，与有两个交点． 则一定在的左侧，不存在的情况． 综上，存在的值，使得，此时． （3）或或或． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 又∵抛物线开口向下， ∴抛物线的最高点坐标为． ∴最高点到直线的距离为1， ∴当且时，顶点处有最大值， ∴当直线在最高点上方时，， 解得或（舍）； 当直线在最高点下方时，， 解得或（舍）． 当且时，处有最大值， 当直线在最高点上方时，， 解得或（舍）； 当直线在最高点下方时，， 解得或（舍）． 综上所述，的值为或或或． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质，根据题意分情况讨论求解． 46．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，且该商品的月销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量（件）月销售利润（元）的部分对应值如下表： 售价/（元/件） 30 35 月销售量/件 300 250 月销售利润/元 4500 5000 (1)商品的进价为 元/件，关于的函数表达式为 ； (2)当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； (3)现公司决定每销售1件商品就捐赠元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则 ． 【答案】(1)15，； (2)当该商品的售价是或38元时，月销售利润最大，最大利润为元； (3)5 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用． （1）根据表中数据可以求出每件进价，设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可； （2）设该商品的月销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值； （3）根据总利润=（单件利润）×销售量列出函数解析式，再根据时，利用函数性质求解即可． 【详解】（1）解：由表中数据知，每件商品进价为（元/件）， 设一次函数解析式为， 根据题意，得， 解得：， 所以y与x的函数表达式为； 故答案为：15，； （2）解：设该商品的月销售利润为w元， 则 ， ∵， ∴当或38时，w最大，最大值为， ∴当该商品的售价是或38元时，月销售利润最大，最大利润为元； （3）解：根据题意得： ， 对称轴为直线， ∵， ∴， ∵， ∴当时，w取得最大值为3960元， ∴， 解得：． 故答案为：5． 47．（25-26九年级上·河南南阳·周测）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑高． (2)求落水点之间的距离． (3)若需要在上的点处竖立雕塑．问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1) (2) (3) 解：当时，， ∴顶部是会碰到水柱． 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． （1）求雕塑高，直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，点在图象上． 当时， ． （2）解：由题意得，点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． ， （3）略 48．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，一小球从斜坡点以一定方向弹出球的飞行路线可用二次函数刻画，斜坡可用一次函数刻画，小球飞行的水平距离（米）可与小球飞行高度（米）变化规律如下表： x 0 1 2 3 4 n 6 7 …… y 0 m 6 7.5 8 7.5 6 3.5 …… (1)填空： ①______，______；②小球落点的坐标为______； (2)求小球在飞行过程中离斜坡的最大高度（垂直于地面）． (3)计划在斜坡上点种一棵树，设点横坐标为，树高为米，要使小球飞过这棵树，问的取值范围是多少？ 【答案】(1)①，；②． (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，从图象和表格中获取数据是解题的关键． （1）①将和代入得出，得到抛物线解析式为，当时 ；当时， ； ②由题意得，解得，代入得出，即可得到点的坐标； （2）由表格中的数据得到抛物线的顶点坐标为，得到抛物线的解析式为，即可得到答案； （3）由题得小球离斜坡的竖直高度，得到，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：①将和代入得 ， 解得：， 抛物线解析式为， 当时，， ； 当时，， 或， ； ②， ， 解得：（舍去），， ， 点的坐标为， 故答案为：①，；②． （2）解：由表格信息可得：顶点坐标为， 设，将代入，得， ， ∴， 直线的解析式为， ∴小球离斜坡的竖直高度为 ， 即当时，． （3）解：由题意可得，树高为3米， ∴小球离斜坡的竖直高度， 即， ∴， ∴． 【经典例题九 二次函数与几何图形综合问题】 49．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 50．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知，． (1)求，的值和直线对应的函数表达式； (2)为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标； (3)为抛物线上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)，直线的函数表达式为 (2)点的坐标为或或 (3) 【分析】（1）利用抛物线经过点，，求得，的值即可，再利用待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）过点A作，设直线与y轴的交点为G，可求出直线的解析式为，联立，解得：（舍去）或，得到，将直线向下平移 2个单位，得到直线，求出直线的表达式为，与二次函数联立，即可求得的坐标，得到所有的P点坐标； （3）取点Q，连接，过点A作于点D，过点D作轴于点F，过点C作于点E，证明，则，．设，由，得到．由得到，即，解得．得到，求出直线对应的表达式为，与二次函数联立即可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 令，得， ， 设直线的函数表达式为， 则， 解得， 直线的函数表达式为； （2）过点A作，设直线与y轴的交点为G， 可设直线的解析式为， 把代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去）或， ∴， ∵， ∴， ∴将直线向下平移 2个单位，得到直线， ∴直线的表达式为， 联立， 解得：，， ∴，， 综上所述，点的坐标为或或； （3）如图，取点Q，连接，过点A作于点D，过点D作轴于点F，过点C作于点E， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，． 设， ∵，， ∴． ∵， ∴，即，解得：． ∴， 又， 设直线对应的表达式为， ∴ ，解得： ， ∴直线对应的表达式为， 联立， 解得：（舍），或 所以． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 51．（2026·湖南娄底·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为：直线，图像与轴、轴分别交于点、、，已知点、，点在直线下方的抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴交直线于点，作交于点，求的最大值； (3)设点为直线上的点，以、、、为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)能，点Q的坐标为或 【分析】（1）因为已知抛物线对称轴、点A的坐标，所以根据对称性求出点B的坐标，设抛物线解析式为交点式，将点C的坐标代入求解系数a，即得解析式． （2）首先求直线的解析式，设点P的横坐标为参数，用参数表示点P的坐标；因为平行于x轴，垂直于，所以分别用参数表示D、E的坐标，进而得到和的长度表达式，将整理为关于参数的二次函数，利用二次函数性质求最大值． （3）判断平行四边形存在性：分为边、为对角线两类讨论．如果为边，那么平行且等于，据此建立点P和点Q坐标的关系，结合点Q在直线上、点P在抛物线上的条件列方程求解；如果为对角线，那么和互相平分，利用中点坐标公式建立坐标关系，联立方程求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴交于， ∴， ∴点， ∴设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即． （2）解：如图所示，设，直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴，，点D，E都在直线上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， 分别将点的坐标代入直线， 得，， ∴， ， ∴当时，取得最大值，最大值是3． （3）解：能，理由如下： ∵， ∴， 若以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形， ①当以为边时，则且， ∵点在直线下方，如图所示， 设，则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴，， ∴； ②当以为对角线时，连接交于点G，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点M，于点N，则， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（与A重合，舍去）， ∴． 综上所述，以A、B、P、Q为顶点的四边形能构成平行四边形．此时点Q的坐标为或． 52．（25-26九年级上·山东泰安·期中）将抛物线：向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线． (1)直接写出抛物线，的解析式； (2)如图，点在抛物线上（对称轴右侧），点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】（1）根据二次函数的平移规律，上加下减（值），左加右减（值），直接写出平移后的解析式； （2）过点作轴于点，过点作的延长线于点，设点的横坐标为，则纵坐标为，，，再证明，可得，进而得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线：向下平移6个单位长度得到抛物线， ， 将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线， ； （2）解：如图，过点作轴于点，过点作的延长线于点， 设点，则，， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， ， ， 解得：或或或， 由图象可知，， 或不符合题意， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 53．综合与探究 如图，二次函数的图像经过轴上的点和轴上的点，且对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式． (2)点E位于抛物线第四象限内的图像上，以，为边作平行四边形．当平行四边形为菱形时，求点的坐标与菱形的面积． (3)连接，在直线上是否存在一点，使得与相似，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)；菱形的面积为 (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）根据二次函数的对称轴，点，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示（见详解），根据菱形的性质，可得，根据对角线相互平分，可求出交点的坐标，由此可知点的横坐标，根据点在二次函数图像上，即可求解； （3）根据相似三角形的判定方法，分类讨论，①当点与点重合时；②当点不与点重合，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线，， ∴，则， ∵图像经过轴上的点， ∴，解得，，则， ∴二次函数的解析式为． （2）解：二次函数的解析式为，， 如图所示，连接交轴于， ∵平行四边形为菱形， ∴，，且， ∴的横坐标为，且点E位于抛物线第四象限内的图像上， ∴当时，，即， ∴，点在第一象限， ∴点的坐标为，即， ∴，， ∴，即菱形的面积为． （3）解：根据题意得，，， ∴，，且，则， ①当点与点重合时，如图所示， ∵， ∴； ②当点不与点重合时，如图所示， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 过点作轴，则，且是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为， 综上所述，使得与相似，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 54．（2026·浙江湖州·模拟预测）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D． (1)①求点A，B，C的坐标； ②求b，c的值． (2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值． 【答案】(1)①A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；② (2)（0≤m≤3）； 【分析】（1）①根据坐标与图形的性质即可求解；②利用待定系数法求解即可； （2）证明Rt△ABP∽Rt△PCM，根据相似三角形的性质得到n关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵正方形OABC的边长为3， ∴点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)； ②把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y=−x2+bx+c， 得，解得； （2）解：由题意，得∠APB=90°-∠MPC=∠PMC，∠B=∠PCM=90°， ∴Rt△ABP∽Rt△PCM， ∴，即． 整理，得，即（0≤m≤3）． ∴当时，n的值最大，最大值是． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点A，B，C的坐标是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $