专题05 二次函数常考几何模型专训（9大题型）-2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学讲义通过9大几何模型系统构建二次函数知识体系，以题型分类呈现旋转、翻折、平移等图形变换与二次函数的结合，用例题串联最值、存在性等综合应用，清晰梳理知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于例题设计融合数学思维与创新意识，如新定义模型中“和六点”问题培养抽象能力，存在模型探究平行四边形存在性发展推理意识。分层练习兼顾基础与提升，助力学生掌握方法，教师可实施精准分层教学。

专题05 二次函数常考几何模型专训（9大题型） 题型一 二次函数中的旋转模型 题型二 二次函数中的翻折模型 题型三 二次函数中的平移模型 题型四 二次函数中的轴对称模型 题型五 二次函数中的最值模型 题型六 二次函数中的存在模型 题型七 二次函数中特殊角度模型 题型八 二次函数中面积关系模型 题型九 二次函数中新定义模型 【经典例题一 二次函数中的旋转模型】 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”，小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请思考小明的方法解决下面问题： (1)写出函数的“旋转函数”； (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与轴交于A，B两点，与轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，，，试证明：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”． 【答案】(1) (2) (3) 证明：当时，， ∴， 当时，， 解得：， ， 点A、B、C关于原点的对称点分别是， ∴， 设过点的二次函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， 过点的二次函数解析式为． ，，， ∵， ，，， ∵， ∴两个函数互为“旋转函数”． 【分析】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式； （2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案； （3）首先求出三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得 故解析式为：． （2）解：∵函数与互为“旋转函数”， ∴， ∴， ∴． （3）略 2．（25-26九年级上·北京海淀·期中）探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面．其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为．如图，在平面直角坐标系中，某款探照灯抛物线的表达式为，焦点为F． (1)点F的坐标是___________； (2)过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，反射后沿射线射出，所在直线与x轴的交点坐标为． ① 画出沿射线方向射出的光线的反射光线； ②所在直线与x轴的交点坐标为___________． 【答案】(1) (2)① 由题意可知抛物线的对称轴是y轴， ∴经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，即经抛物线反射后所得的光线平行于y轴， ∴轴 ∵所在的直线与x轴的交点坐标为， ∴A点的横坐标为4，纵坐标为， ∴， 经抛物线反射后所得的光线平行于y轴， ∴轴 ∴画出沿射线方向射出的光线的反射光线，如下图所示： ② 【分析】（1）根据题意得出，即可确定点F的坐标； （2）①根据题意确定轴，得出，经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，轴，据此作出平行线即可； ②设直线的解析式为，利用待定系数法确定直线AB的解析式，然后与联立求解即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①略 ②设直线的解析式为，把、代入， 得， 解得： ∴直线的解析式为， 由题意可知，直线与抛物线交于A、B两点， 把代入 整理得， 解得：，， ∵点B在y轴的左侧， ∴B点的横坐标为， ∵轴， ∴所在直线与x轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用及利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的综合问题等，理解题意，综合运用一次函数与二次函数的性质是解题关键． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）猜想证明（1）平面内，的直角顶点A放置在直线l上，，分别过B，C作直线l的垂线,垂足为D，E． ①如图1，旋转，当B、C两点在直线l的同侧时，请直接写出 ； ②如图2，旋转，当B、C两点在直线l的异侧时(点D在A，E两点之间)；猜想，，三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论； 问题解决（2）如图3，直线于点O，P为直线l上点O右侧的一动点，点Q在直线m上，连接，且，设的长度为x，的面积为，求y与x的关系式． 【答案】（1）①，②，详见解析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算等知识，掌握一线三直角的全等模型是解题的关键． （1）①一线三直角的全等模型，利用可证明，即得解； ②同理可证明，从而得到，，则由可得，即得解； （2）分别过M、N两点作直线l的垂线，垂足分别为A、B，证明可得，再证明得到，从而得到，从而得解． 【详解】解：（1）①∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； ②∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）分别过M、N两点作直线l的垂线，垂足分别为A、B， ， ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（2026·山东济宁·一模）如图，抛物线的顶点为，与x轴的交点为A和B（其中点A与原点重合），将抛物线绕点B逆时针方向旋转，点，为点M，A旋转后的对应点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：点A，M，在同一条直线上； (3)若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴， ∴ 由旋转得，轴于点B， ∴； 设直线的解析式为， 把代入得， ∴ ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线上， ∴三点在同一条直线上； (3)存在，或或或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，旋转变换，平行四边形等知识： （1）设抛物线的解析式为，把代入得抛物线的解析式为； （2）根据旋转的性质求出，求出直线的解析式，代入的横坐标，求出，即可判断三点共线索； （3）根据中点坐标公式求出，把原抛物线的对称轴直线绕逆时针方向旋转得直线，设，分三种情况列方程组可解得答案． 【详解】（1）解：由抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得， ∴； ∴抛物线的解析式为； （2）略 （3）解：存在，理由如下： ∵，， ∴，即； 原抛物线的对称轴为直线，绕逆时针方向旋转得直线， 设，而，， ①若为对角线时，则的中点重合， 解得， ∴点的坐标为； ②若为对角线时， ∴ 此方程组无解； ③若为对角线时， ∴ 解得， ∴点的坐标为，； 综上，点的坐标为或或或 5．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），C（0，2），与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图②，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC'，试判断四边形BC'AC的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）矩形，理由见解析． 【分析】（1）将A，C坐标代入解析式求解； （2）由函数解析式可得点B坐标，进而求出AB，AC，BC的长度可判断△ABC为直角三角形，进而求解． 【详解】解：（1）把A（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c， 得，解得， ∴； （2）四边形BC'AC为矩形，证明如下： 令， 解得x＝﹣1或x＝4， ∴点B（﹣1，0），点A（4，0）， ∴AB＝4﹣（﹣1）＝5， 在Rt△BOC中，由勾股定理得BC2＝BO2+OC2＝1+4＝5， 在Rt△AOC中，由勾股定理得AC2＝AO2+OC2＝16+4＝20， ∵AB2＝BC2+AC2＝25， ∴△ABC为直角三角形， 由旋转的性质可得BC＝AC'，CA＝C'B， ∴四边形BC'AC为平行四边形， ∵∠BCA＝90°， ∴四边形BC'AC为矩形． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、勾股定理逆定理、图形的旋转等，题目难度不大. 6．（25-26九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线绕其顶点旋转后再适当平移得到抛物线，如果抛物线经过抛物线的顶点，那么称抛物线是抛物线的“子抛物线”．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如果抛物线是的“子抛物线”，且经过原点，顶点为． ①求证：抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ②设直线与抛物线分别交于点M、N，是否存在，使得四边形是平行四边形？如果存在，试求的值；如果不存在，试说明理由． 【答案】(1)； (2)①证明：将抛物线绕其顶点旋转后得到的抛物线的表达式为， 设抛物线的表达式为 ∵抛物线是的“子抛物线”， ∴抛物线经过点， 又∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴点E的坐标为，抛物线绕其顶点旋转后得到的抛物线的表达式为， 在中，当时，， ∴点E在抛物线上，即抛物线的顶点在抛物线上， 又∵抛物线向左平移5个单位长度，向下平移个单位长度可得到抛物线， ∴抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ② 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与平行四边形综合，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①抛物线绕其顶点旋转180度后所得的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标相同，但是开口方向与原抛物线相反，据此可设抛物线的表达式为，再根据“子抛物线”的定义和抛物线经过原点求出抛物线的解析式，进而求出点E的坐标，再求出抛物线绕其顶点旋转180度后所得的抛物线解析式，证明点E在抛物线，且抛物线能由抛物线绕其顶点旋转180度后所得的抛物线平移得到即可证明结论；②根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同列式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴点D的坐标为； （2）①略 ②∵四边形是平行四边形， ∴由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， 解得． 【经典例题二 二次函数中的翻折模型】 7．（2025·山东菏泽·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)①抛物线的对称轴为直线_____； ②求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)当时，函数值的取值范围是． ①求和的值； ②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围． 【答案】(1)①； ②令，则， ， 该函数的图象与轴总有两个公共点． (2)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组、二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，根据函数的对称轴是直线，进而可以得解； （2）①依据题意，由函数对称轴为直线，当时，函数值y的取值范围是，故是函数的最小值，即抛物线的顶点为，进而可以计算得解； ②依据题意，分在点H下方、上方两种情况分别求解即可． 【详解】（1）①由题意得，函数的对称轴是直线． 故答案为： ②略 （2）①由题意，函数对称轴为直线，当时，函数值的取值范围是， 是函数的最小值，即抛物线的顶点为． ． ． 抛物线的表达式为：． ， 当时，取最大值． ． ②设图象折叠后顶点的对应点为，点是函数所处的位置，图象为区域， 点，点，则点， 当点在点下方时，． 函数的最高点为，最低点为， ． ． ． 当点在点上方时，同理可得：； ． 8．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过两点． (1)设直线的解析式为． ①求直线与抛物线的解析式； ②直接写出不等式 的解集． (2)将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线 与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围． 【答案】(1)①直线解析式为；抛物线解析式为；②或 (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，图像法解不等式，以及图象法判断方程的根，数形结合是解答本题的关键． （1）①先用待定系数法求出抛物线解析式，再求直线的解析式； ②根据图象写出答案即可； （2）求出直线过点A时n的值和与抛物线相切时n的值即可求解． 【详解】（1）解：①把，分别代入可得， ，解得， 则抛物线的解析式为． 把，分别代入可得， ，解得， 则直线的解析式为． ②不等式的解集为或； （2）解：设抛物线与轴交于P，Q两点，令， 解得：，， 故P，Q两点的坐标分别为，． 如图，当直线，经过点时，可得； 当直线经过点时，可得， 的取值范围为， 翻折后的二次函数解析式为． 当直线与二次函数的图象只有一个交点时，， 整理得：，， 解得：， 的取值范围为：， 由图可知，符合题意的的取值范围为：或． 9．（2026·河南南阳·一模）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： (1)求的值和这个二次函数的表达式； (2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)将这个二次函数沿轴翻折，直接写出翻折后的抛物线的解析式，以及当时，的取值范围． 【答案】(1)，这个二次函数的表达式为； (2) 解：如图： (3)．． 【分析】（1）由表格中数据可知抛物线的顶点为，当和时，函数值都是0，即，然后设出顶点式，将代入求出a的值即可； （2）根据表格中的数据描点、连线即可； （3）根据轴对称的性质，写出顶点关于轴的对称点，进而求得的解析式，根据函数图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：∵当和时，； ∴抛物线的顶点为，当和时，函数值都是0，即， 设这个二次函数的表达式为：， 将代入得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为； （2）略 （3）解：的顶点为 关于轴的对称点为 ∴将这个二次函数沿轴翻折，翻折后的抛物线的解析式； 由函数图象得：当时，． ∴． 10．（25-26九年级上·青海海东·期中）如图，抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）已知抛物线的对称轴为直线l，该抛物线上一点关于直线l的对称点为M，将抛物线沿y轴翻折，点M的对应点为N，请问是否存在点P，使四边形OAPN的面积为20？若存在，判断四边形OAPN的形状，并求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，P（-5，-5）或（1，-5）． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题可知，M、N点坐标分别为（-4-m，n），（m+4，n），从而求得OA=PN=4，OA∥PN，即可证得四边形OAPN是平行四边形，根据四边形OAPN的面积为20，从而求出其m，n的值． 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过坐标原点和点A（-4，0），B（-1，3）， ∴， 解得：， 故此二次函数的解析式为y=-x2-4x； （2）如图所示： 由题可知，M、N点坐标分别为（-4-m，n），（m+4，n）， ∴PN∥OA，PN=|m-（m+4）|=4， ∵OA=4， ∴PN=OA， ∴四边形OAPN是平行四边形， ∵四边形OAPN的面积=（OA+NP）÷2×|n|=20， 即4|n|=20， ∴|n|=5． ∴n=±5， 所以-m2-4m=±5， 当-m2-4m=5，即m2+4m+5=0时， ∵△=16-20＜0，不存在， 当-m2-4m=-5时， 解得m=-5或m=1． ∴P（-5，-5）或（1，-5）． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，表示出M、N的坐标是解题的关键． 11．（2026·山东济宁·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，点C在y轴上，且，D，E分别是线段上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）： (1)求此抛物线的表达式及点A的坐标； (2)连接并延长交抛物线于点P，当轴，且时，求的长； (3)如图2，连接，将沿x轴翻折得到，当点G在抛物线上时，求点G的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可； （2）根据函数解析式求出的长度，根据三角函数求出的长度，根据P点的坐标得出的长度，根据得出结论即可； （3）连接交于点M，设，则，得出，根据G点在抛物线上得出b的值，即可得出G点的坐标； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，两点， ∴， 解得， ∴， 即抛物线的表达式为； 当时，或； ∵A点在x轴左半轴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①如图2，连接交于点M， ∵与关于x轴对称， ∴，， 设，则， ， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得或3（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识是解题的关键． 12．（2025·辽宁葫芦岛·二模）数学活动课上，李老师和同学们一起运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究—】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图象经过原点，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与轴交于另一点，点是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）同学们在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交直线于点，求得，，得到，证明为等腰直角三角形，得到，再证明为等腰直角三角形，得到，求出，即可求解； （3）求出右侧幼苗上方轮廓表达式，设，则，则，即可求解． 【详解】解：（1）把点代入中，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）由（1）可知，抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 如图，过点作轴，交直线于点， 将代入中，得：， ∴， ∴， ∵直线与坐标轴交于两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点是关于对称轴直线的一对对称点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 解得：， ∴； （3）如图： ∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状想再，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓表达式为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为． 【经典例题三 二次函数中的平移模型】 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系 中，将抛物线沿y轴向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移2个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线与平移后的抛物线相交于B，与直线相交于C． (1)求平移后抛物线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）二次函数图象平移口诀：左加右减，上加下减； （2）先根据抛物线解析式写出点A坐标，再求出直线的解析式，求出点B，点C的坐标，根据图象和三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：将抛物线沿轴向上平移1个单位长度，再沿轴向右平移2个单位长度，得到平移后抛物线的解析式为：； （2）∵平移后抛物线的解析式为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 将代入，得， 点的坐标为， 将代入得：， 点的坐标为， 图象大致如下： ， ． 【点睛】二次函数图象平移口诀：左加右减，上加下减；正比例函数的解析式为，函数几何结合采用数形结合的思想． 14．（25-26九年级·浙江温州·学业考试模拟）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴． (2)将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 【答案】(1)；直线 (2)， 【分析】（1）根据待定系数法即可求解解析式，进而可知对称轴； （2）根据平移的性质即可求得坐标，进而代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ． ， ，， ，， 代入到抛物线的表达式得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线． （2）解：由（1）得，点， 由平移的性质得，点，， 将点代入函数表达式可知： 解得或（舍去）． 15．（2026·青海玉树·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出答案即可； （2）把抛物线化为顶点式，根据平移规律进行解答即可； （3）求出直线的解析式为，设，则，则线段的长度，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解： ∴将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为； （3）当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ， 解得 ∴直线的解析式为， 设，则， 则线段的长度， ∵ ∴当时，线段的长度的最大值为． 16．（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，顶点的坐标为；将抛物线沿着它的对称轴上下平移后点的对应点为点，联结、．    (1)求抛物线的表达式； (2)把抛物线向上平移5个单位，求的正弦值； (3)设直线和平移前的抛物线交于点，联结，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，掌握二次函数图象平移的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的表达式即可． （2）根据二次函数图象平移的性质求出点D的坐标，再求出点B的坐标，通过计算得出，根据等边对等角得出，最后根据正弦的定义求解即可． （3）分点D在点C上方或下方两种情况，画出图形作出辅助线利用平行线的性质和相似三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解∶∵抛物线的顶点C的坐标为， 故设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于A点，点A坐标为， ∴， 解得， ∴； （2）解：设抛物线的对称轴与x轴交于点E，如图：    ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵把抛物线向上平移5个单位， ∴，， ∴， 令，则， 解得或7， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：①当点D在点C的上方时， 设抛物线的对称轴与x轴交于点F，过点E作于点H，如图，    ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ②当点D在点C的下方时，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，过点E作于点H，如图，    ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：点E的坐标为或． 17．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线交于点N，且． (1)求平移后抛物线的表达式； (2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由； (3)抛物线上的点A平移后的对应点是点B，，垂足为点C，如果是等腰三角形，求点A的坐标． 【答案】(1)； (2) 解：四边形是正方形， 根据题意可得，，，， 记与交于点G，则， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； (3)、、、． 【分析】（1）由题意得，平移后的抛物线表达式为：，得到点M、N的坐标，进而求解； （2）由题意得到，，，，证明四边形是平行四边形，由，得到四边形是矩形，由，即可得出结论； （3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得，平移后的抛物线表达式为：， 则点M的坐标为：， 当时，，即点， 则， 解得：（舍去）或， 则平移后的抛物线表达式为：； （2）略 （3）解：设，，， 可得，，， ①，，即， 解得，（舍去0）， ； ②，， 解得，， 或； ③，， 解得， ； 综上，点A的坐标是、、、． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到正方形的性质、图象的平移，等腰三角形存在问题等，分类求解是解题的关键． 18．（24-25九年级下·甘肃白银·期中）嘉淇为了研究抛出的乒乓球落在斜面上反弹后的运动情况，用绘图软件在如图15所示的平面直角坐标系中进行模拟演示．当乒乓球看成点以某种特定的角度和初速度从y轴上的点P处抛出后，乒乓球的运动路线是抛物线：的一部分．有一斜面，乒乓球沿落到斜面上经反弹后，继续沿抛物线运动． (1)求出点P及抛物线最高点的坐标； (2)若斜面所在直线的解析式为，抛物线与的开口大小和方向均不变，但最大高度是的，求： ①乒乓球与斜面接触点的坐标； ②抛物线的解析式． (3)嘉淇发现：“（2）中的抛物线可以通过平移得到．”请求出平移的最短路程； (4)在x轴上的线段处竖直向上摆放着若干个无盖的长方体回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是，．当（2）中沿抛物线下落的乒乓球能落入回收箱内（不含边缘）时，直接写出可竖直摆放的回收箱的个数． 【答案】(1)点P的坐标为，最高点的坐标为 (2)①；② (3) (4)2个或3个 【分析】由点P在抛物线上，且在y轴上，得到当时，，求得点P的坐标为，得到抛物线最高点的坐标为； ①解方程得到，，求得，当时，，于是得到乒乓球与斜面接触点的坐标为； ②由题意得，抛物线的最大高度为，设抛物线的解析式为，把，代入得到，于是得到抛物线的解析式为； 根据的顶点为，的顶点为，得到可将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，于是得到平移的最短路程为； 由，，得到，设竖直摆放的回收箱有m个，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：点P在抛物线上，且在y轴上， 当时，， 即点P的坐标为， 抛物线的解析式为：， 抛物线最高点的坐标为； （2）①由题意，令， 整理得， 解得，， ， ， 当时，， 乒乓球与斜面接触点的坐标为； ②由题意得，抛物线的最大高度为， 设抛物线的解析式为， 把，代入得， 解得，， ， ， 抛物线的解析式为； （3）的顶点为，的顶点为， 可将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到， 平移的最短路程为； （4），， ， 对于， 当时，， 当时，， 设竖直摆放的回收箱有m个， ， ， 答：竖直摆放的回收箱的个数为2个或3个． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【经典例题四 二次函数中的轴对称模型】 19．（2025九年级上·全国·专题练习）已知关于x的二次函数和，其中的图象经过点．若边与关于x轴对称，求二次函数的表达式． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．求出，得到，则．根据与关于x轴对称，得到，据此列出方程组，解方程组即可求出答案． 【详解】解：的图象经过点， ， 解得， ， ． 与关于x轴对称， ， 解得 二次函数的表达式为． 20．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线L：与x轴交于两点，抛物线与L关于y轴对称． (1)求抛物线L的解析式； (2)M为抛物线L上一点，过点M作轴交于点N，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接写出交点式即可得出结果； （2）根据对称性求出抛物线的解析式，分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线L：与x轴交于两点， ∴； （2）解：∵抛物线与L关于y轴对称， ∴抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的解析式为， 设， ∵轴交于点N， ∴设， ∴当以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，分2种情况讨论： ①当四边形为平行四边形时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； ②当四边形为平行四边形时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； 综上：或． 21．（2026·安徽·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点P在抛物线上，点P的横坐标为m，作轴于点Q，将线段绕点O旋转得到线段，作四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当M，N两点关于该抛物线的对称轴对称时，求四边形的面积； (3)当，抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，若图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8，求m的值． 【答案】(1) (2)24 (3) 【分析】（1）将点代入求出a的值即可； （2）由旋转得点P和点M，点Q和点N分别关于原点O对称，推出四边形为平行四边形，且．根据M，N两点关于该抛物线的对称轴对称，推出m的值，进而得出四边形各顶点坐标，进而即可求解； （3）先求出抛物线的顶点坐标为，根据y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，可得图象G一定包含抛物线的顶点部分，再根据最高点与最低点的纵坐标之差为8，求出最高点的纵坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得． ∴该抛物线所对应的函数表达式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点P在抛物线上，横坐标为m，作轴于点Q， ∴，． ∵将线段绕点O旋转得到线段， ∴点P和点M，点Q和点N分别关于原点O对称，且，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，且． 又∵M，N两点关于该抛物线的对称轴对称，且点N在y轴上， ∴点M在对称轴的右侧， ∴， 解得， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积． （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大， ∴图象G一定包含抛物线的顶点部分，即图象G的最低点的纵坐标为，如图． 又∵图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8， ∴图象G的最高点的纵坐标为， ∴点P的纵坐标为5， ∴， 解得， ∵， ∴． 22．（2026·陕西·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上且横坐标为6． (1)求点的坐标； (2)点在抛物线上且与点关于对称轴对称，连接，在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点，使得点满足要求，点的坐标为或或或 【分析】将代入，即可得点的坐标，将代入，即可得点的坐标； 由点的坐标，可得的面积与抛物线的对称轴，从而得的面积及D点坐标，得，再根据的面积即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得或 ， 点的横坐标为6， 当时， ； （2）解：如图， ，抛物线的对称轴为， 点在抛物线上且与点关于对称轴对称，，对称轴为， ，点到轴的距离为 ， ， ，即， 当点在上方时，，即， 解得或， ， 当点在下方时，，即 ， 综上，存在点，使得点满足要求，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，二次函数中的面积问题，会运用分类讨论的思想解决数学问题，由坐标表示线段长度时，要考虑加绝对值符号． 23．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． (1)若，求点的坐标和线段的长度； (2)若对任意，、两点总关于轴对称，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)当点运动到某一位置时，恰好使得点是线段的中点． ①求证：； ②该抛物线上存在一点，若此时恰好满足，且对于动点总有实数满足恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】(1)，的长度为4 (2)点的坐标为 (3)①证明：由题可知点． ∵点是线段的中点， ，即点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点的横坐标为3，即，代入抛物线， 得，即点的坐标为． ∵点是线段的中点， 设点， ∴，即， ∴点的坐标为，即． 由(2)知点的坐标为，即， ； ②或 【分析】（1）当时，得，当时，得，可得点，进而可得的长，当时，可得的坐标； （2）首先，得到，再当时，，且，可得，然后，由、两点总关于x轴对称，得，进而可得直线的解析式为，接着，由点为直线与抛物线的交点，联立成方程组，解方程组即可得到点D的坐标； （3）①由题可知点，由点是线段的中点，得点在线段的垂直平分线上，再由，可得点的横坐标为3，代入抛物线的解析式得，进而得点的坐标为，由点是线段的中点，设点，可得点的坐标为，即，进而可证得结论； ②由①可知点的坐标为，可得，再由，，，可得，进而得，解得，接着，可得抛物线的解析式为，然后，由动点在抛物线上，可得，令，得其对称轴为直线，可得当时，随的增大而增大，当时，得的最小值为，进而得，即，令，结合图象即可得出n的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得， ∵抛物线与轴交于两点（点在点左侧）， ∴． ∴的长度为． 当时，， ∴； （2）解：由题可知当时，， ∴， 当时，，且， 整理，得， 解得， ∴，即， ∵对任意，、两点总关于x轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，可得 ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点为直线与抛物线的交点， ∴解方程组，得或(点舍去）， ∴点的坐标为； （3）①略； ②解:由①可知点的坐标为． ∴， ，，， ． ∴， ，即． ∴抛物线的解析式为． ∵动点在抛物线上， ． 令， ∴其对称轴为直线． 则当时，随的增大而增大． ∴当时，有最小值，的最小值为． ，即． 令， 当时，，解得， 结合的图象可得，当时，即的取值范围为或． 24．（2026·山东临沂·二模）【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （2）先得出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （3）先求出点的坐标，则可得抛物线的解析式，再分两种情况：①和②，利用抛物线的增减性求出最小值，列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，即， ∴抛物线的表达式为， 将点代入得：， 解得． （2）解：∵点的坐标， ∴由题意得：点的坐标为， 将点代入得：， 解得． （3）解：∵扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称， ∴轴， ∵点的坐标为，顶点到线段的距离为，扩音口宽度为， ∴，， ∴抛物线的表达式为， 由（2）已得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； ②当时， 在内，随的增大而减小， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； 综上，此时的值为或． 【经典例题五 二次函数中的最值模型】 25．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知抛物线（n为常数）的顶点为P． (1)求证：当时，抛物线与x轴无交点； (2)若时，y有最小值7，时，y有最小值3，求t的值； (3)如图，抛物线与直线交于A，B两点，记的面积为S，的周长为l，当n取不同实数时，求的最大值． 【答案】(1) 证明：法一：， 抛物线的顶点在第一象限，又抛物线开口向上， 此时抛物线与轴无交点． 法二：令，得，即， ，又， ， 方程无实根，即此时抛物线与轴无交点． (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的性质，一次函数与二次函数交点，线段和最小值，难度比较大； （1）根据可得抛物线的顶点在第一象限，又抛物线开口向上，即可得到抛物线与x轴无交点；或者计算判别式，根据判别式即可证明； （2）根据题意可得整个二次函数的最小值为，即，据此求解即可； （3）先联立一次函数和二次函数求出，，得到，再利用铅锤法得固定不变，只需要求出最小值即可得到的最大值． 【详解】（1）略 （2）解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，有最小值，对称轴为直线， ∵若时，y有最小值7，时，y有最小值3， ∴抛物线的最小值为3， ∴，且在对称轴直线左边，即， ∴当时，随的增大而减小， 时，有最小值7，即， 解得或， ． （3）解：联立， 消整理得， ， ，， ，， ，， ∴； 如图，过点作轴，交直线于点， ∴， 的面积，为定值． 当取不同实数时，线段在直线上滑动，且保持不变， 设点关于直线的对称点为，连接，并构造平行四边形， ， 的周长， ∵直线与轴交点，与交点，连接， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴轴， ∴， ∵平行四边形， ∴到与到平移规则一致， ∴， ∴， ， ， ∴的最大值为． 26．（25-26九年级下·河南郑州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先利用点求出直线的解析式，再求出点，最后使用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分为，和三类讨论，结合抛物线的增减性求出每种情况的最大值和最小值，判断两数之差是否为定值即可； （3）根据题意，点，，结合线段与抛物线有一个公共点可得不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越大， ①当时， ∴在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值； 不是定值，不符合题意； ②当时， ∴抛物线在顶点处取得最大值，即当时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最小值， 为定值，符合题意； ③当时， 同理，当时，取得最大值；当时，取得最小值； 不是定值，不符合题意； 综上所述，的取值范围为； （3）解：根据题意，点的坐标为， ∵点向上平移两个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴， 由①得， 由②得或， ∴点的横坐标的取值范围为或． 27．（2026·河北·模拟预测）如图，二次函数（其中）的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．将点绕点顺时针旋转得到点． (1)若，求直线的函数表达式，并判断点关于二次函数图象对称轴的对称点是否在直线上； (2)当时，二次函数的最大值为9，求的值； (3)连接，当点不在直线上时，过点作直线交轴于点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)，点不在直线上 (2)的值为或 (3) 【分析】（1）先求出，，若，则，，则，，由旋转可得，则，再由待定系数法求解直线；然后求出点关于二次函数图象对称轴的对称点为，再代入直线表达式验证即可； （2）先求出对称轴为直线，然后分三种情况，根据二次函数的图象与性质求解即可； （3）同（1）可求，可求，设直线，求出，由，可设直线，求出直线，当时，，再由二次函数的图象与性质求解即可； 【详解】（1）解：如图， 对于，当时，则， 解得， ∴，， 若，则， ∴， ∵将点绕点顺时针旋转得到点． ∴ ∴， 设直线， 则 解得 ∴直线； 对于，当时，， ∴ 由可得对称轴为直线， ∴点关于二次函数图象对称轴的对称点为， 当时，， ∴点不在直线上； （2）解：由（1）可得，， ∴对称轴为直线， 当，即时， ∵抛物线中，，则抛物线开口向上， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或（舍去）； 当，即时， 若，即时，此时离对称轴更远， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 若时，即，此时离对称轴更远， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 当，即时， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或（舍去）； 综上：的值为或； （3）解：∵， 同（1）可求 对于，对称轴为直线， ∴把代入可得，， ∴， 设直线，则，解得， ∵， ∴设直线， 代入，则，解得， ∴直线， 当时，， ∵， ∴当时，取得最小值为； 28．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)， 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）利用铅锤高，水平宽，得到当的面积取得最大值时取最大值，即可求得点；利用轴对称的性质求得的最小值； （3）根据平移的性质求得新抛物线的解析式，求得点的坐标，即可求得，再利用求一次函数与抛物线的交点，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 把代入， 可得，解得， ∴ （2）解：令， 解得， ， 令，可得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点， ， 当最大时，的面积取得最大值， 设点，则， ， 当时，的面积取得最大值， 此时， 如图，将向下平移个单位到，使点与点重合，作关于对称轴直线的对称点，连接， ， 根据平移可得， 根据对称可得， ， 即的最小值为； （3）解：， ， 将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，即将抛物线向下平移3个单位，向右平移3个单位， ，，即， 如图，过点作轴，交于点，设与轴交于点， 则， ，， ， ， ， 即， ， 当在轴上方时，， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 列方程， 整理得， ，无解； 当在轴下方时，， 设直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 列方程， 整理得， 解得，； ，． 29．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点为线段下方抛物线上的一动点，过点作轴交轴于点，交于点，点与点为轴上两动点（点在点左侧），．当取最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在(2)中取最大值的条件下，将抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度后得到抛物线和点，点为点的对应点．点为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3) ， 解：根据（2）可得，， ∵， ∴抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度，即为抛物线和点都先向右平移4个单位长度再向下平移4个单位长度， ∴，，原抛物线平移后得新抛物线为，且点在直线上， ∵时，，， ∴点在新抛物线上， 如图，∵， 又， ∴， 如图，当点在直线上方时，， 设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴设直线的解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式与新抛物线联立得：，整理得， 解得：（舍去）， 则， ∴； 如图，当点在直线下方时， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式与新抛物线联立得：，整理得， 解得：（舍去）， 则， ∴； 综上，所有符合条件的坐标为：． 【分析】（1）根据题意先求出，再根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式设，则，表示出，则，故当时，最大，此时，取，连接，则，四边形是平行四边形，故，作关于轴的对称点，连接，则，从而得出，当时最小，勾股定理求出即可解答 （3）根据（2）可得，，求出，，原抛物线平移后得新抛物线为，且点在直线上，根据，，得出，分两种情况：如图，当点在直线上方时，，如图，当点在直线下方时，分别画图求解即可； 【详解】（1）解：∵，则 ， ∵， ∴， ∵点在轴正半轴， 故， 将、代入， 得， 解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：抛物线，当时，， 则， 设直线的解析式为， 代入，，得，解得：， ∴直线的解析式为：， 设， 则， ∴， ∴， 故当时，最大， 此时， 取点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴当时最小， ∵， ∴的最小值为． （3）略 30．（25-26九年级下·海南·阶段检测）如图1所示，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于． (1)求此抛物线的解析式； (2)若为第四象限内抛物线上一点． ①如图2，连接，，求四边形面积的最大值； ②如图3，连接，过点作轴，交抛物线于另一点，交于点，若，直接写出点的横坐标； (3)当时，讨论二次函数的最大值和最小值（用含有的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①，②2 (3) ，对称轴为，开口向上 ∵ ∴当即时，抛物线在对称轴的左侧，且随增大而减小， ∴当时，抛物线有最大值， ， 当时，抛物线有最小值， 当即时：最小值为， 若（左端点到对称轴的距离右端点到对称轴的距离） ∴当时，； 若（左端点到对称轴的距离右端点到对称轴的距离） ∴当时，； 当时，在对称轴的右侧，随的增大而增大， 当时， 当时， ． 【分析】（）利用待定系数法求解析式，将已知点和的坐标代入即可． （）①利用割补法表示四边形的面积，得到关于的二次函数解析式，通过配方求出最值． ②利用平行线分线段成比例或者坐标运算，结合，建立方程求解的坐标． （）根据二次函数的对称轴和开口方向，结合与对称轴的位置关系，进行分类讨论，确定最大值和最小值． 【详解】（1）解：将和代入中得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①过作轴于， 令，则， 解得， ∴， 设， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为； ②∵轴，且、在抛物线上， ∴、关于对称，， ∵在直线上，且， ∴设直线的解析式为（） 解得 ∴直线的解析式为 当时， ∴， ∵,且、、在一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 解得，， ∵P在第四象限， ∴， ∴， （3）略 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，重点为待定系数法求解析式，二次函数图像上点坐标的特征，几何图形面积的最值以及动点问题中的分类讨论． 【经典例题六 二次函数中的存在模型】 31．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把代入函数解析式即可求出； （2）设，又，分三种情况：①以为对角线，则的中点重合，可得；②以为对角线，则的中点重合，由无解，知这种情况不存在；③以为对角线，则的中点重合，解得； （3）作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，由得，可得，即，设直线解析式为，可得直线解析式，由，得坐标． 【详解】（1）解：经过， ， （2）抛物线上存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知， 抛物线解析式为， 设，又， 以为对角线，则的中点重合， ， 解得， 以为对角线，则的中点重合， ， 同时满足两个方程的不存在， 这种情况不存在； 以为对角线，则的中点重合， ， 解得，， ， 综上所述，坐标为或； （3）抛物线在第一象限内的部分存在一点，使得平分，理由如下： 作点关于直线的对称点，作直线交第一象限的抛物线于，如图： ， ， ， 关于直线对称， ，， ， ， 设直线解析式为，将代入得： ， 解得， 直线解析式为， 由，得或（不在第一象限，舍去） 32．（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在实数a，使得为直角三角形． 理由如下： ①由图可知，A为直角顶点，不可能； ②若C为直角顶点，此时与原点O重合，由题意可知，也不可能； ③若B为直角顶点，则， 令，可得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得， 解得， 由（2）可知，， ∴，不合题意，舍去； 综上所述，不存在实数a，使得为直角三角形． 【分析】（1）把点和点代入，即可求解； （2）先求出顶点M的坐标，再利用得到关于a的方程，即可求解； （3）分A为直角顶点，C为直角顶点，B为直角顶点，三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入，得， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴顶点M的纵坐标为， ∵， ∴ ∴， 整理得， 解得， 由图象可知， ∵顶点M在第二象限， ∴对称轴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． （3）略 33．（2026·宁夏银川·三模）抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． (2)若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法，把、代入即可求出抛物线的函数关系式；同法可求直线解析式， （2）设，其中，则，得到的面积，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）过作轴交延长线于，过作轴交于，求出，得，设，则，，证明，有，即得的最大值为． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， 设直线解析式为，把，得： ，解得： 直线解析式为 （2）解：存在， 如图， ∵点G在直线上， ∴可设，其中，则 ∴的面积， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时 （3）存在最大值，理由如下： 过作轴交延长线于，过作轴交于，如图： 在中，令得， ， ， 设，则， ， 轴，轴， ∴， ，， ∴， ， ， ， 的最大值为． 34．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标和面积的最大值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在使得的周长最小 (3)存在使得面积最大，最大为 【分析】（1）根据题意可知，将点、代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值； （2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，再求与对称轴的交点； （3）设点的坐标，将的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入中得， ． 抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接， 由对称性可知， ∴的周长， ∵A、C为定点， ∴为定值， ∴当最小时，的周长最小， ∴当B、C、Q三点共线时，最小，即的周长最小， 在中，当时， 的坐标为， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为：， 在中，当时， ， ∴存在使得的周长最小； （3）解：设，连接， ， ， ∵， 当时，最大， 当时，， 点坐标为， ∴存在使得面积最大，最大为． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合． 35．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 存在，点的坐标为或或或 (4) 存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴，经过，运用待定系数法得到抛物线的解析式，由此得到，再运用待定系数法得到一次函数解析式； （2）根据题意，点A关于的对称点为点B，当点三点共线时点到点的距离与到点的距离之和最小，结合一次函数解析式即可求解； （3）设，运用两点之间距离公式得到，结合勾股定理列式求解即可； （4）设，运用两点之间距离公式得到，根据等腰三角形的定义，分类讨论，由数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∵直线经过两点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：点A关于的对称点为点B，如图所示， ∴， ∴， 当点三点共线时，取等号， ∴当时，在直线上得，， ∴； （3）解：如图所示，设，已知， 当是以为直角的直角三角形时，， ∵，，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴，； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 综上，点的坐标为或或或； （4）解：设，已知， ∴，，， 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 整理得，， 解得：， ∴或； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴或； 综上，点的坐标为或或或或． 36．（2026·山东泰安·三模）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，分别用含的代数式表示出、的坐标，进而可得，再根据，构建二次函数，然后利用二次函数的性质求最大值； （3）分四种情形：当点M在线段上，，四边形是菱形时；当是菱形的对角线时，四边形是正方形；当点M在延长线上时，，四边形是菱形时；当点M在延长线上时，，四边形是菱形．分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中，得， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为y； （2）解：对于二次函数的表达式，令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴． ，， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值； （3）解：∵，，，， ∴，，，， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或（舍去） ． ， ， ． ②如图，当是菱形的对角线时， 根据菱形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ， 解得或0（舍去）， ∴． ③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有， 解得或0（舍去）， ， ， ． ④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，， 则有， 解得或， 都不满足， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 【经典例题七 二次函数中特殊角度模型】 37．（2026·陕西西安·模拟预测）实验中学计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式．如图，在水平地面处各安装一个接通水源的喷泉喷头，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形水门．以线段所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设计要求：，出水口高度，且点到地面的距离为． (1)求满足设计要求的“过水门”仪式中抛物线的函数表达式； (2)现彩旗队“过水门”的要求：彩旗队排成列纵队，每列队员之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持．为了保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列队员所持彩旗顶端与水柱间的竖直距离为．请你计算彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距． 【答案】(1) (2)每相邻两列纵队的间距为米． 【分析】此题考查二次函数的图象与性质、二次函数的应用等知识； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得，代入（1）中解析式，进而得出的坐标，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 设抛物线解析式为 将代入得， 解得： ∴抛物线的函数表达式为； （2）如图所示， 由题意可知，（米）， 当时，， 解得， ，， 最外侧两列彩旗队之间的距离为（米）， （米）， 答：每相邻两列纵队的间距为米． 38．（25-26九年级上·福建莆田·期末）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 【答案】(1)① ② (2) 【分析】（1）①运用待定系数法求解即可；②根据函数值求自变量的值即可； （2）根据题意得到抛物线解析式为，抛物线过点，则，抛物线解析式为，且抛物线过，，当时，代入计算即可． 【详解】（1）解：①， 为顶点， 则抛物线， ∵过点 代入得： ， ∴， 抛物线解析式为； ②解：抛物线经过点时， ， ， 抛物线经过点时，， ， 当时，点落在上． （2）解：顶点， 抛物线解析式为， 抛物线过点， ， ， ，且抛物线过， ， ， 当时， ， ， 点在点正上方处． 39．（2026·江苏无锡·模拟预测）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 40．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将原抛物线向左平移，使新抛物线经过原点，平移后点对应点为，过点作轴于点，为直线上一点，且满足，在轴下方新抛物线上确定一点，使的角平分线与轴所成钝角与互补，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)抛物线解折式为 (2)当时，有最大值为，此时 (3)所有符合条件的点M的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得得到，推出，设，得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）过作于，设交x轴与点F，得到平移后新抛物线的解析式为，设，证明，得到，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得： 解得：， ∴抛物线解折式为； （2）解：过点作轴交于点， 在中， 令，则， 解得或， 则， ∴在中， ，， ， ∵， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ， ∵，开口向下， ， ∴当时，有最大值为， 此时； （3）解：过作于，设交x轴与点F， 平移后新抛物线的解析式为， 设， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ， ， ， 或（舍）， ， ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，二次函数的平移，解直角三角形等知识，注意数形结合思想的运用． 41．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数，当时，y的取值范围为 ；    ①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成形式，确定抛物线对称轴为直线，通过、h和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围； ②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 ； 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数，当时，求y的取值范围； 【学以致用】 （3）已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求a的值． 【答案】(1);（2）；（3）或 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，开口方向、对称轴以及自变量的取值范围是求最值的三要素，掌握分类讨论的思想思想是解决第三问的关键． （1）配方得到抛物线对称轴为直线，结合图象可知当时，y有最小值；当时，y有最大值； （2）配方得到抛物线对称轴为直线，画出函数图象可知，当时，y有最小值；当时，y有最大值； （3）配方得到抛物线对称轴为直线，分类讨论若时若时若时（i）时（ii）时，画出对应函数图象即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线对称轴为直线， 结合图象可知，当时，y有最小值； 当时，y有最大值； ∴y的取值范围为： 故答案为： （2）∵， ∴抛物线对称轴为直线， 图象如图所示： 结合图象可知，当时，y有最小值； 当时，y有最大值； ∴y的取值范围为： （3）∵， ∴抛物线对称轴为直线， 若，即：时：    结合图象可知，当时，y有最小值， ∴； 当时，y有最大值， ∴； ∴ 解得：（舍去） 若时：    结合图象可知，当时，y有最小值， ∴； 当时，y有最大值， ∴； ∴ 解得：（舍去） 若时： （i）时：    结合图象可知，当时，y有最小值， ∴； 当时，y有最大值， ∴； ∴ 解得：（舍去） （ii）时：    结合图象可知，当时，y有最小值， ∴； 当时，y有最大值， ∴； ∴ 解得：（舍去） 综上所述，或 42．（2026·重庆綦江·二模）如图，在平面直角坐标系中抛物线经过和两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线上一动点，使得，请直接写出符合条件的点的横坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为9，； (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴交直线于点M，作轴于点N，则，求出直线的解析式为，求出，得到，得到，设点P的坐标为，则点M的坐标是，得到，即可得到答案； （3）由题意得到抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于向右平移4个单位，向下平移2个单位，求出平移后的抛物线为，分两种情况画出图形，分别利用相似三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）作轴交直线于点M，作轴于点N，则， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵点A的坐标为， 设直线的解析式为，则 解得， ∴直线的解析式为， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 设点P的坐标为，则点M的坐标是， ∴ ∵ ∴当时，的最大值为9， ， 即此时点P的坐标为； （3）∵ ∴ ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于向右平移4个单位，向下平移2个单位， ∵ ∴平移后的抛物线为，即，如图，    设点，过点作轴于点H， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴，即， 解得或（不合题意，舍去） 则， 即点， 设点，过点作轴于点G， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴，即， 解得或（不合题意，舍去） 则， 即点， 综上可知，点R的横坐标为或． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、相似三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算、函数的最值等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 【经典例题八 二次函数中面积关系模型】 43．（24-25九年级上·天津南开·阶段检测）如图，点A、B在的图象上已知A、B的横坐标分别为、4，直线AB与y轴交于点C，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)设直线所对应的一次函数的函数值小于的函数值，写出对应的自变量的取值范围：___________． (4)函数的图象上是否存在点P，使的面积等于的面积的一半，则这样的点P共有___________个． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键. （1）由抛物线的解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式； （2）由直线的解析式求得的坐标，然后根据利用三角形面积公式即可求得； （3）借助图象得到解集即可； （4）过的中点，作的平行线交抛物线两个交点，作直线关于直线的对称直线，交抛物线两个交点，此时的面积、的面积、的面积和的面积都等于的面积的一半. 【详解】（1）∵点在的图象上，的横坐标分别为， ， 设直线的解析式为， ，解得 ， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，令则， ∴的坐标为， ， ； （3）由图象可知，直线所对应的一次函数的函数值小于的函数值，自变量的取值范围为：或， 故答案为：或； （4）过的中点，作的平行线交抛物线两个交点，此时的面积和的面积等于的面积的一半，作直线关于直线的对称直线，交抛物线两个交点，此时的面积和的面积等于的面积的一半，所以这样的点共有个， 故答案为：． 44．（2026·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点．过点作轴于点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求点的纵坐标的最小值． 【答案】(1)； (2) (3)的最小值为 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标； （2）根据，点在抛物线上，求出点的坐标，求出二次函数的解析式，点在抛物线上且在轴上，即，求出点的坐标；则，根据三角形的面积公式，即可； （3）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点， ∴点，； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴， ∴． （3）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：，在取值范围内； ∴当时，有最小值，最小值为：． 45．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 【答案】(1)；或 (2)两个水池面积差的最大值为，此时 (3) 【分析】（1）将二次函数化为顶点式可得水池2面积的最大值；利用因式分解法解一元二次方程求出两函数图像的交点C、E的横坐标，再结合图像法求解即可得到的取值范围； （2）结合（1）的结论得出当时，两个水池面积差的最大值为的最大值，将的解析式化为顶点式求解即可； （3）根据面积相等结合题意列出一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：（）， 的顶点坐标为， ， 的图像开口向下， 当时，水池2面积最大，为； 当（）时，（）， 化简得（）， 因式分解得（）， 解得或， 由图像知，当或时，， 即当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或； （2）解：由（1）得，当时，， 当时，两个水池面积差的最大值为的最大值， （），， 当时，取最大值，为， 两个水池面积差的最大值为，此时； （3）解：当水池3与水池2的面积相等时，， 整理得， （）有唯一值， ，解得． 46．（25-26九年级上·海南海口·阶段检测）如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点,点P是抛物线上一个动点，连接      (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P的横坐标为2，求的面积； (3)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接,求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标． (4)若点M是x轴上的一个动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M,使得以点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3) (4)存在，或 【分析】此题考查的是二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，图形面积与二次函数问题，特殊三角形问题， （1）利用待定系数法求解析式； （2）连接，先求出点P的坐标，再利用求出面积； （3）连接，设，根据四边形面积求出答案； （4）当以点为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况，①当时，由勾股定理得，求出m即可；②当时，则轴，直接得到点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）连接，如图，    当时，， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）连接，如图， 设， 四边形面积 ， ∵，， ∴当时，四边形面积最大，最大值为， ∴    （4）存在这样的点M,使得以点为顶点的三角形是直角三角形， 当时，， ∴， 设点M的坐标为， 当以点为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况， ①当时， ∴ 解得，即； ②当时，则轴， ∴，即， 综上，或． 47．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）（1）在数学课上，李老师给出如下问题：如图，在平面直角坐标系中，点、点、点，求的面积 小明、小宇同学提出了他们的解题思路 ①小明同学从三角形的形状入手 ②如图：小宇同学连接，将三角形的面积转化为若干个小三角形的面积的和差． 请你选择一名同学的解法，求出的面积．    （2）李老师肯定了这两名同学的思路，并指出小宇的解法对于研究三角形（有两个点在轴上）面积具有普遍意义．李老师提出了下面的问题： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与一次函数交于A、C两点，点D是某函数图像上的一点，且的面积为4，利用小宇同学的解法求出点D的横坐标．    说明：①点D的位置需要同学自己确定 ②请先在答题卡上写明点D的具体位置，并在答题卡上的对应图形上标清点D．如果需要增加新的函数图像，直接在答题卡，上画出图像并标清点D． 【答案】（1）5；（2）点D是一次函数上的一点，，点的坐标为或（答案不唯一） 【分析】本题考查坐标与图形，二次函数与一次函数的交点问题，三角形面积问题，根据图形表示出三角形的面积，列出方程是解决问题的关键． （1）小明同学的解法：由勾股可得，，，进而可知，即：，利用直角三角形面积公式即可求解；小宇同学的解法：连接，根据，利用三角形面积公式即可求解； （2）由题意可得，，，当点D是一次函数上的一点时，设，①点在右侧时，则；②点在左侧时，则；分别求出的值，即可求得点的坐标． 【详解】解：（1）小明同学的解法：∵、、， ∴， ， ， ∴，即：， ∴； 小宇同学的解法：连接，    则 ； （2）当时，，解得，， 当时，，解得，， ∴，，， 则，，， ∴， 当点D是一次函数上的一点时，设， ①点在右侧时，    则 即：，解得：， 则点的坐标为， ②点在左侧时，    则 即：，解得：， 则点的坐标为， 综上，点D是一次函数上的一点，点的坐标为或（答案不唯一）． 48．（2025·宁夏银川·模拟预测）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于，两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华进行了以下探究： 【探索发现】（1）设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为________，点Q的纵坐标为________；（用x的代数式表示）若设的长度为y，则y与x之间的函数关系式为________； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 1.5 2 3 4 4.5 6 9 y 0 2.5 3.5 4 3.75 3.5 2.5 0 ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，发现：当________时，y的最大值为________． 【迁移应用】连接、（请自行完成作图），探究：的面积是否存在最大值？若存在，请求出对应的x值和最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），， （2）描点，连线，如图所示；    3，4 （3）存在，面积的最大值为 【分析】本题考查一次函数图像与反比例函数图像的交点问题，二次函数的综合应用： （1）根据题意，点P的横坐标为x，由点P在的图像上即可得出纵坐标，点Q在的图像上即可得出纵坐标，的长度为y，根据的长等于纵坐标之差求解即可； （2）描点，连线，画出函数图像，根据图像作答即可； （3）根据三角形的面积公式，列出函数关系式，利用函数的性质，求出最值即可． 【详解】解：（1）点P的横坐标为x，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q， 点P的纵坐标为，点Q的纵坐标为， 的长度为y， ； （2）略 （3）存在， 由（1）可知：， 由图像可知：， ∴当时，最大为：． 【经典例题九 二次函数中新定义模型】 49．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． (1)求二次函数的解析式 (2)已知二次函数与反比例函数的图象交于第一象限的两点，（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点间距离公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点间距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”的坐标为． 二次函数的图象经过点，． ，解得， 二次函数的解析式为． （2）解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为直线． 点在抛物线的对称轴上， ∴可设． 联立得， 解得， 二次函数与反比例函数的图象交于，（点的横坐标小于点的横坐标）两点， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为． 50．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 【答案】(1)①8；②2 (2)4 (3)5或 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解最优纵横值的定义是解题的关键． （1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出，即可求解； （2）先确定函数的解析式为，再由的最优纵横值为5，得到，即可求解； （3）先求，再分类讨论若，若，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：①由题意得：点的“纵横值”为， 故答案为： ②， ∵， ∴ ∴函数的“最优纵横值”为2 （2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得： ∴ ∴ ∵最优纵横值为5， ∴ ∴ （3）解： 若，则当时，； 即：， 解得：或（舍去）； 若，则当时，； 即：， 解得（舍）或； 综上所述：b的值为5或． 51．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）阴阳观念是具有鲜明中国特色的哲学思想，它几乎渗透到社会生活、文学艺术、医学等许多方面，以至形成“阴阳对偶律”．比如说“阴阳对偶律”导致左右相对的形式在中国装饰艺术中地位突出．对偶的神兽或神人往往相对而列．多半会形成左右相对（包含左右对称）的样式．对偶在数学上也多有渗透，下面我们就研究下多项式中的对偶． 定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如：当时，即或时，的值均为．那么我们称关于对偶．在学习二次函数时，我们知道二次函数的对称轴是直线，从“形”的角度看，多项式的对偶即二次函数图像的对称性． 运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对偶； (2)当或时，关于的多项式的值相等，求的值； (3)若整式关于对偶，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图像的对称性，配方法的应用，明确新定义， （1）求得抛物线的对称轴即可得到结论； （2）求出的对称轴，利用抛物线的对称性即可求得的值； （3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可； 熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴多项式关于对偶． 故答案为：； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当或时，关于的多项式的值相等， ∴， ∴； （3） ， ∵整式关于对偶， ∴． 52．（2025·福建泉州·二模）定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． (1)求二次函数的表达式； (2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求函数表达式、重心的概念，正确利用中点公式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）为“平稳三角形”，则可得到点，求出直线的表达式为，进而求解． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， 所以二次函数的表达式为； （2）解： 为“平稳三角形”，是的中线，交x轴于G点， G是的重心， 设交x轴于点H， 是的中线， 点的纵坐标为， 令，则，解得，（舍去）， ． 是的中线， D为的中点， ， 设直线的表达式为， 将与代入， 得， 解得， 所以直线的表达式为， 令，则，解得， ， ． 53．（2026·江西·模拟预测）已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 【答案】(1)①上，； ②补全表格如下： … 0 1 … … 8 5 4 5 8 … 画出函数图像如下： (2)①画图像如解图所示； ②． 【分析】（1）①根据表格中数据求解即可； ②根据表格中数据的变化求解，再利用描点法作图即可； （2）①利用待定系数法求得抛物线解析式为，再根据题意得，抛物线的“共轭抛物线”的解析式为，利用描点法作图即可； ②根据题意联立方程组，再利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①由表格得，可知抛物线开口向上，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围为； ②∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上和的两个点关于对称轴对称， ∴当时，， 补全表格与画图见答案； （2）解：①由表格可得抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线为， 将代入中，解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的“共轭抛物线”的解析式为， 画图见答案； ②当直线与抛物线没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式，，得， ∴，解得， 当直线与“共轭抛物线”没有交点时， 联立直线与抛物线的解析式得， ∴，解得， ∴当直线与抛物线及其“共轭抛物线”没有交点时，b的取值范围为． 54．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）定义：若两条抛物线关于直线成轴对称，我们称其中一条抛物线是另一条抛物线关于直线的衍生抛物线．如图，抛物线与抛物线互为关于直线的衍生抛物线，以这两条抛物线的顶点和交点为顶点的叫伴随三角形． (1)直接写出抛物线关于直线的衍生抛物线的解析式：______． (2)若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的交点在直线上，求伴随三角形的面积； (3)若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的伴随三角形是直角三角形，求的值． 【答案】(1) (2)27 (3) 【分析】对于（1），根据衍生抛物线的定义解答即可； 对于（2），先设点P的坐标为，再将点的坐标代入二次函数关系式，求出a，即可得出衍生抛物线的关系式，然后根据顶点坐标和交点坐标得出答案； 对于（3），先表示出衍生抛物线的关系式，即可得出顶点坐标，再根据，结合直角三角形的三边关系得出方程，再求出解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是 ∴衍生抛物线的对称轴是， ∴衍生抛物线的关系式为． 故答案为：； （2）解：设点，根据题意，得 ， 解得. ∵， ∴． ∴抛物线关于的衍生抛物线的关系式为． 当时，，则交点坐标为． ∵两个抛物线的顶点坐标为， ∴伴随三角形的面积； （3）解：由（2），知， 抛物线关于的衍生抛物线的关系式为． 当时，，交点坐标为． ∴顶点坐标为． ∵伴随三角形是直角三角形，以下图为例，只能以交点P为直角顶点， ∴当时，是直角三角形， ∴， 即， 解得或（舍去）． 所以． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的关系式，二次函数与几何图形，直角三角形的性质，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数常考几何模型专训（9大题型） 题型一 二次函数中的旋转模型 题型二 二次函数中的翻折模型 题型三 二次函数中的平移模型 题型四 二次函数中的轴对称模型 题型五 二次函数中的最值模型 题型六 二次函数中的存在模型 题型七 二次函数中特殊角度模型 题型八 二次函数中面积关系模型 题型九 二次函数中新定义模型 【经典例题一 二次函数中的旋转模型】 1．（24-25九年级上·广西南宁·期中）阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”，小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请思考小明的方法解决下面问题： (1)写出函数的“旋转函数”； (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与轴交于A，B两点，与轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，，，试证明：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”． 2．（25-26九年级上· 北京海淀·期中）探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面．其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为．如图，在平面直角坐标系中，某款探照灯抛物线的表达式为，焦点为F． (1)点F的坐标是___________； (2)过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，反射后沿射线射出，所在直线与x轴的交点坐标为． ① 画出沿射线方向射出的光线的反射光线； ②所在直线与x轴的交点坐标为___________． 3．（25-26九年级上· 四川成都·期中）猜想证明（1）平面内，的直角顶点A放置在直线l上，，分别过B，C作直线l的垂线,垂足为D，E． ①如图1，旋转，当B、C两点在直线l的同侧时，请直接写出 ； ②如图2，旋转，当B、C两点在直线l的异侧时(点D在A，E两点之间)；猜想，，三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论； 问题解决（2）如图3，直线于点O，P为直线l上点O右侧的一动点，点Q在直线m上，连接，且，设的长度为x，的面积为，求y与x的关系式． 4．（2026·山东济宁·一模）如图，抛物线的顶点为，与x轴的交点为A和B（其中点A与原点重合），将抛物线绕点B逆时针方向旋转，点，为点M，A旋转后的对应点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：点A，M，在同一条直线上； (3)若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 5．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），C（0，2），与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图②，将△ABC绕AB的中点M旋转180°得到△BAC'，试判断四边形BC'AC的形状，并证明你的结论． 6．（25-26九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线绕其顶点旋转后再适当平移得到抛物线，如果抛物线经过抛物线的顶点，那么称抛物线是抛物线的“子抛物线”．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如果抛物线是的“子抛物线”，且经过原点，顶点为． ①求证：抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ②设直线与抛物线分别交于点M、N，是否存在，使得四边形是平行四边形？如果存在，试求的值；如果不存在，试说明理由． 【经典例题二 二次函数中的翻折模型】 7．（2025·山东菏泽·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)①抛物线的对称轴为直线_____； ②求证：该函数的图象与轴总有两个公共点； (2)当时，函数值的取值范围是． ①求和的值； ②将该抛物线在间的部分记为，将在直线下方的部分沿翻折，其余部分保持不变．得到的新图象记为．设的最高点、最低点的纵坐标分别为，若，求的取值范围． 8．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过两点． (1)设直线的解析式为． ①求直线与抛物线的解析式； ②直接写出不等式 的解集． (2) 将抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，若直线 与抛物线新图象恰好有2个公共点，求n的取值范围． 9．（2026·河南南阳·一模）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： (1)求的值和这个二次函数的表达式； (2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)将这个二次函数沿轴翻折，直接写出翻折后的抛物线的解析式，以及当时，的取值范围． 10．（25-26九年级上·青海海东·期中）如图，抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）已知抛物线的对称轴为直线l，该抛物线上一点关于直线l的对称点为M，将抛物线沿y轴翻折，点M的对应点为N，请问是否存在点P，使四边形OAPN的面积为20？若存在，判断四边形OAPN的形状，并求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2026·山东济宁·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，点C在y轴上，且，D，E分别是线段上的动点（点D，E不与点A，B，C重合）： (1)求此抛物线的表达式及点A的坐标； (2)连接并延长交抛物线于点P，当轴，且时，求的长； (3)如图2，连接，将沿x轴翻折得到，当点G在抛物线上时，求点G的坐标． 12．（2025·辽宁葫芦岛·二模）数学活动课上，李老师和同学们一起运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究—】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图象经过原点，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与轴交于另一点，点是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）同学们在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 【经典例题三 二次函数中的平移模型】 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系 中，将抛物线沿y轴向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移2个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线与平移后的抛物线相交于B，与直线相交于C． (1)求平移后抛物线的解析式； (2)求的面积． 14．（25-26九年级·浙江温州·学业考试模拟）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴． (2)将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 15．（2026·青海玉树·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 16．（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，顶点的坐标为；将抛物线沿着它的对称轴上下平移后点的对应点为点，联结、．    (1)求抛物线的表达式； (2)把抛物线向上平移5个单位，求的正弦值； (3)设直线和平移前的抛物线交于点，联结，当时，求点的坐标． 17．（25-26九年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线交于点N，且． (1)求平移后抛物线的表达式； (2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由； (3)抛物线上的点A平移后的对应点是点B，，垂足为点C，如果是等腰三角形，求点A的坐标． 18．（24-25九年级下·甘肃白银·期中）嘉淇为了研究抛出的乒乓球落在斜面上反弹后的运动情况，用绘图软件在如图15所示的平面直角坐标系中进行模拟演示．当乒乓球看成点以某种特定的角度和初速度从y轴上的点P处抛出后，乒乓球的运动路线是抛物线：的一部分．有一斜面，乒乓球沿落到斜面上经反弹后，继续沿抛物线运动． (1)求出点P及抛物线最高点的坐标； (2)若斜面所在直线的解析式为，抛物线与的开口大小和方向均不变，但最大高度是的，求： ①乒乓球与斜面接触点的坐标； ②抛物线的解析式． (3)嘉淇发现：“（2）中的抛物线可以通过平移得到．”请求出平移的最短路程； (4)在x轴上的线段处竖直向上摆放着若干个无盖的长方体回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是，．当（2）中沿抛物线下落的乒乓球能落入回收箱内（不含边缘）时，直接写出可竖直摆放的回收箱的个数． 【经典例题四 二次函数中的轴对称模型】 19．（2025九年级上·全国·专题练习）已知关于x的二次函数和，其中的图象经过点．若边与关于x轴对称，求二次函数的表达式． 20．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线L：与x轴交于两点，抛物线与L关于y轴对称． (1)求抛物线L的解析式； (2)M为抛物线L上一点，过点M作轴交于点N，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 21．（2026·安徽·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点P在抛物线上，点P的横坐标为m，作轴于点Q，将线段绕点O旋转得到线段，作四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当M，N两点关于该抛物线的对称轴对称时，求四边形的面积； (3)当，抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，若图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8，求m的值． 22．（2026·陕西·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上且横坐标为6． (1)求点的坐标； (2)点在抛物线上且与点关于对称轴对称，连接，在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 23．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． (1)若，求点的坐标和线段的长度； (2)若对任意，、两点总关于轴对称，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)当点运动到某一位置时，恰好使得点是线段的中点． ①求证：； ②该抛物线上存在一点，若此时恰好满足，且对于动点总有实数满足恒成立，求实数n的取值范围． 24．（2026·山东临沂·二模）【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【经典例题五 二次函数中的最值模型】 25．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知抛物线（n为常数）的顶点为P． (1)求证：当时，抛物线与x轴无交点； (2)若时，y有最小值7，时，y有最小值3，求t的值； (3)如图，抛物线与直线交于A，B两点，记的面积为S，的周长为l，当n取不同实数时，求的最大值． 26．（25-26九年级下·河南郑州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 27．（2026·河北·模拟预测）如图，二次函数（其中）的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．将点绕点顺时针旋转得到点． (1)若，求直线的函数表达式，并判断点关于二次函数图象对称轴的对称点是否在直线上； (2)当时，二次函数的最大值为9，求的值； (3)连接，当点不在直线上时，过点作直线交轴于点，请直接写出的最小值． 28．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 29．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点为线段下方抛物线上的一动点，过点作轴交轴于点，交于点，点与点为轴上两动点（点在点左侧），．当取最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在(2)中取最大值的条件下，将抛物线和点都沿射线方向平移个单位长度后得到抛物线和点，点为点的对应点．点为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 30．（25-26九年级下·海南·阶段检测）如图1所示，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于． (1)求此抛物线的解析式； (2)若为第四象限内抛物线上一点． ①如图2，连接，，求四边形面积的最大值； ②如图3，连接，过点作轴，交抛物线于另一点，交于点，若，直接写出点的横坐标； (3)当时，讨论二次函数的最大值和最小值（用含有的代数式表示）． 【经典例题六 二次函数中的存在模型】 31．（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，点和，抛物线经过点． (1)请计算：=______． (2)抛物线上是否存在点，使四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)抛物线在第一象限内的部分是否存在一点，使得平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 32．（2026·山东临沂·模拟预测）二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点和点． (1)试求a，b所满足的关系式； (2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当的面积为面积的倍时，求a的值； (3)是否存在实数a，使得为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 33．（2026·宁夏银川·三模）抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的函数关系式和直线的函数关系式． (2)若点D为线段上的动点，过点D作轴，交于点G．在运动过程中，是否存在这样的点G，使得的面积有最大值．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若与相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 34．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标和面积的最大值．若不存在，请说明理由． 35．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． (4)在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 36．（2026·山东泰安·三模）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题七 二次函数中特殊角度模型】 37．（2026·陕西西安·模拟预测）实验中学计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式．如图，在水平地面处各安装一个接通水源的喷泉喷头，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形水门．以线段所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设计要求：，出水口高度，且点到地面的距离为． (1)求满足设计要求的“过水门”仪式中抛物线的函数表达式； (2)现彩旗队“过水门”的要求：彩旗队排成列纵队，每列队员之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持．为了保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列队员所持彩旗顶端与水柱间的竖直距离为．请你计算彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距． 38．（25-26九年级上·福建莆田·期末）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 39．（2026·江苏无锡·模拟预测）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 40．（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将原抛物线向左平移，使新抛物线经过原点，平移后点对应点为，过点作轴于点，为直线上一点，且满足，在轴下方新抛物线上确定一点，使的角平分线与轴所成钝角与互补，直接写出所有符合条件的点的坐标． 41．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数，当时，y的取值范围为 ；    ①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成形式，确定抛物线对称轴为直线，通过、h和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围； ②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 ； 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数，当时，求y的取值范围； 【学以致用】 （3）已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求a的值． 42．（2026·重庆綦江·二模）如图，在平面直角坐标系中抛物线经过和两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线上一动点，使得，请直接写出符合条件的点的横坐标． 【经典例题八 二次函数中面积关系模型】 43．（24-25九年级上·天津南开·阶段检测）如图，点A、B在的图象上已知A、B的横坐标分别为、4，直线AB与y轴交于点C，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)设直线所对应的一次函数的函数值小于的函数值，写出对应的自变量的取值范围：___________． (4)函数的图象上是否存在点P，使的面积等于的面积的一半，则这样的点P共有___________个． 44．（2026·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点．过点作轴于点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求点的纵坐标的最小值． 45．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 46．（25-26九年级上·海南海口·阶段检测）如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点,点P是抛物线上一个动点，连接      (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P的横坐标为2，求的面积； (3)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接,求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标． (4)若点M是x轴上的一个动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M,使得以点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 47．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）（1）在数学课上，李老师给出如下问题：如图，在平面直角坐标系中，点、点、点，求的面积 小明、小宇同学提出了他们的解题思路 ①小明同学从三角形的形状入手 ②如图：小宇同学连接，将三角形的面积转化为若干个小三角形的面积的和差． 请你选择一名同学的解法，求出的面积．    （2）李老师肯定了这两名同学的思路，并指出小宇的解法对于研究三角形（有两个点在轴上）面积具有普遍意义．李老师提出了下面的问题： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与一次函数交于A、C两点，点D是某函数图像上的一点，且的面积为4，利用小宇同学的解法求出点D的横坐标．    说明：①点D的位置需要同学自己确定 ②请先在答题卡上写明点D的具体位置，并在答题卡上的对应图形上标清点D．如果需要增加新的函数图像，直接在答题卡，上画出图像并标清点D． 48．（2025·宁夏银川·模拟预测）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于，两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华进行了以下探究： 【探索发现】（1）设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为________，点Q的纵坐标为________；（用x的代数式表示）若设的长度为y，则y与x之间的函数关系式为________； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 1.5 2 3 4 4.5 6 9 y 0 2.5 3.5 4 3.75 3.5 2.5 0 ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，发现：当________时，y的最大值为________． 【迁移应用】连接、（请自行完成作图），探究：的面积是否存在最大值？若存在，请求出对应的x值和最大面积；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 二次函数中新定义模型】 49．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． (1)求二次函数的解析式 (2)已知二次函数与反比例函数的图象交于第一象限的两点，（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 50．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 51．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）阴阳观念是具有鲜明中国特色的哲学思想，它几乎渗透到社会生活、文学艺术、医学等许多方面，以至形成“阴阳对偶律”．比如说“阴阳对偶律”导致左右相对的形式在中国装饰艺术中地位突出．对偶的神兽或神人往往相对而列．多半会形成左右相对（包含左右对称）的样式．对偶在数学上也多有渗透，下面我们就研究下多项式中的对偶． 定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如：当时，即或时，的值均为．那么我们称关于对偶．在学习二次函数时，我们知道二次函数的对称轴是直线，从“形”的角度看，多项式的对偶即二次函数图像的对称性． 运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于________对偶； (2)当或时，关于的多项式的值相等，求的值； (3)若整式关于对偶，求的值． 52．（2025·福建泉州·二模）定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． (1)求二次函数的表达式； (2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积． 53．（2026·江西·模拟预测）已知抛物线（、、为常数，且)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 … … 8 5 4 5 … (1)①根据以上信息，可知抛物线开口向________，当函数值随的增大而增大时，的取值范围为________； ②补全表格，在图中描出表中的点，再用平滑的曲线依次连接各点； (2)定义：若抛物线与抛物线，满足，且，则称抛物线是抛物线的“共轭抛物线”． ①在图中画出抛物线的“共轭抛物线”； ②若直线与抛物线及其“共轭抛物线”都没有交点，求出的取值范围． 54．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）定义：若两条抛物线关于直线成轴对称，我们称其中一条抛物线是另一条抛物线关于直线的衍生抛物线．如图，抛物线与抛物线互为关于直线的衍生抛物线，以这两条抛物线的顶点和交点为顶点的叫伴随三角形． (1)直接写出抛物线关于直线的衍生抛物线的解析式：______． (2)若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的交点在直线上，求伴随三角形的面积； (3)若抛物线和它关于直线的衍生抛物线的伴随三角形是直角三角形，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $