专题1.4 二次函数与一元二次方程的关系（9大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次函数与一元二次方程的关系，系统梳理二次函数图像与坐标轴交点求法、图像与方程根的对应关系及不等式解集推导，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料以数形结合思想为主线，通过即学即练与分层题型设计，培养学生几何直观与推理能力，如利用函数图像判断方程根的情况，助力课中教师高效教学，课后学生查漏补缺，提升数学应用意识。

专题1.4 二次函数与一元二次方程的关系 教学目标 1. 理解二次函数图像与x轴交点和一元二次方程根的对应关系。 2. 会借助二次函数图像判断一元二次方程根的情况，能求方程近似根。 3. 体会数形结合思想，构建二次函数与一元二次方程的知识体系，提升数学应用意识。 教学重难点 1.重点 （1） 掌握二次函数与一元二次方程的内在联系，明确函数图像与x轴交点横坐标即为方程的根。 （2）学会运用二次函数图像的相关特征分析并解决一元二次方程的相关问题。 2.难点 （1）难以透彻理解抛物线与x轴位置关系和一元二次方程根的情况的深层关联。 （2）运用二者的联系解决综合问题时，难以灵活转化思路，熟练运用数形结合思想。 知识点01 二次函数与坐标轴的交点 二次函数与坐标轴的交点知识总结 1. 与y轴的交点： - 求法：令x=0，代入y=ax²+bx+c（a≠0），得y=c，交点为(0, c)。 - 特征：必过一点，横坐标恒为0，纵坐标为常数项c。 2. 与x轴的交点： - 求法：令y=0，解一元二次方程ax²+bx+c=0，根x₁、x₂对应交点(x₁, 0)、(x₂, 0)。 - 根的情况与交点个数： - Δ＞0：2个不同交点（方程有两个不等实根）； - Δ=0：1个交点（方程有两个相等实根，为顶点）； - Δ＜0：无交点（方程无实根）。 3. 核心思想： - 转化思想：将交点问题转化为解方程问题； - 数形结合：通过函数图像直观判断交点个数与位置。 【即学即练】1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的个数（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于利用判别式进行解答； 通过判断抛物线对应的一元二次方程根的情况，确定与轴交点的个数． 【详解】解：∵求抛物线与轴的交点，令， ∴得到方程，即， ∵，，， ∴， ∴该一元二次方程无实数根， ∴抛物线与轴交点的个数是0， 故选：D． 2．已知二次函数（为常数）的图象只经过第二、三、四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标，根据开口方向和图象只经过二、三、四象限的要求，得到两个不等关系：顶点纵坐标大于0保证存在的点，经过第二象限，函数与y轴交点纵坐标小于等于0保证时，y恒小于等于0，不经过第一象限，解不等式组即可得到a的取值范围. 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， ∴二次函数与轴的交点为， ∵图象只经过第二、三、四象限， ∴，解得 . 3．填空： （1）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________； （2）抛物线与y轴的交点坐标是________，与x轴的交点坐标是________． 【答案】 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征，y轴上点的横坐标为0，x轴上点的纵坐标为0，将对应值代入抛物线解析式，计算得到对应坐标即可. 【详解】解：（1）对于抛物线， 令， ， 因此抛物线与轴交点坐标为； 令，得方程 ， 因式分解得， 解得，， 因此抛物线与轴交点坐标为 ； （2）对于抛物线 ， 令， ， 因此抛物线与轴交点坐标为； 令，得方程 ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因此抛物线与轴交点坐标为. 知识点02 二次函数与一元二次方程的解 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 【即学即练】4．设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 【详解】解：∵当时，；当时，； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在的区间内，存在使得，即一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：B 5．如图，已知二次函数的图象与x轴的交点为A，B，点A的横坐标满足，对称轴是直线．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．方程的一个正根大于3小于4 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与x轴交点位置以及特殊点的函数值符号进行判断． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向上， ∴， ∵ 对称轴为直线， ∴，即 ， ∴，故A错误； 由图可得，时，， 时，， ∴， ∴，即，故B错误； ∵， ∴， 将代入得：， 整理得，故C错误； ∵ 点A的横坐标满足，对称轴为直线， ∴点B的横坐标满足， ∴方程的一个正根大于3小于4，故D正确． 6．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握抛物线与x轴两交点的横坐标为一元二次方程的两个根，是解题的关键． 根据二次函数图象与x轴的交点得方程的两个根为． 【详解】∵二次函数的图象与x轴交于 ，两点， ∴关于的一元二次方程的解为． 故答案为：． 知识点03 二次函数与不等式 解集分类推导 条件 不等式 ax2+bx+c>0 不等式 ax2+bx+c<0 a>0，Δ>0 x<x1​ 或 x>x2​ x1<x<x2​ a>0，Δ=0 x=x0​（全体实数除 x0​） 无解 a>0，Δ<0 全体实数R 无解 a<0，Δ>0 x1<x<x2​ x<x1​ 或 x>x2​ a<0，Δ=0 无解 x=x0​ a<0，Δ<0 无解 全体实数R 【即学即练】7．已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 8．如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（    ） A．， B．不等式的解集是 C． D．方程的解是， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．由图象判断，，对称轴是，再判断出，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：由图象得：，，对称轴是， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴是，函数图象与x轴一个交点是， ∴另一个交点， ∴不等式的解集是，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故C正确，不符合题意； ∵函数图象与x轴的两个交点为和， ∴方程的解是，，故D正确，不符合题意； 故选：B． 9．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用图象法解一元二次不等式，理解不等式的解集即为直线图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围是解题的关键．根据不等式的解集即为直线图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点， 观察函数图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 题型01 求抛物线与坐标轴的交点 【典例1】（25-26九年级上·浙江·课后作业）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数（）的对称轴为，且图象与轴的一个交点的横坐标为， 由抛物线上点的对称性可知，图象与轴的另一个交点的横坐标为， 故选：A． 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，令代入抛物线解析式求出y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 【变式2】（25-26九年级上·湖北黄石·阶段检测）抛物线与轴的交点坐标是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数与y轴的交点坐标，求出时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·陕西延安·期中）将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的平移． 通过平移抛物线得到新解析式，再求与x轴的交点坐标，利用距离公式计算线段长度． 【详解】解：将抛物线 向下平移5个单位长度，得到新抛物线 ， 令 ，得 ， 解得 ，， 所以点A和点B的坐标分别为 和 ， 则线段的长为 ． 故答案为：3． 题型02 已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例1】（23-24九年级上·吉林·阶段检测）将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线解析式为：， 当时，，故不在此抛物线上，故A选项不合题意； 当时，，故在此抛物线上，故B选项符合题意； 当时，，故不在此抛物线上，故C选项不合题意； 当时，，故不在此抛物线上，故D选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2026·福建三明·三模）将抛物线进行平移得抛物线，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含的代数式表示出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，即可求出点的横坐标． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， 点在抛物线上，平移后对应点为， 的坐标为，即， 在抛物线上， 将代入得： ， 整理得， 解得或， 则的值可以是或， 因此点的横坐标可以是或，选项A符合． 【变式2】（23-24九年级上·山东淄博·阶段检测）一元二次方程的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】变形原方程得到即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程的近似根可以看做是函数和图象交点的横坐标， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键． 【变式3】（25-26九年级上·广东东莞·期中）函数，当时，y的值是______． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的函数值，掌握知识点是解题的关键． 将代入函数解析式，计算即可． 【详解】解：当时，． 故答案为:． 题型03 抛物线与X轴的交点问题 【典例1】（2026·广东肇庆·二模）已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）关于抛物线，下列说法错误的是（     ） A．该抛物线一定经过点 B．该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C．若点、在该抛物线上，则m的值为3 D．当时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 【答案】B 【分析】把代入计算，得出，故该抛物线一定经过点；对于选项，将抛物线解析式化为顶点式，求顶点纵坐标关于的表达式的最小值；对于选项，利用抛物线对称性，由点和求出对称轴，进而求的值；先得出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点的横坐标，再列式计算，即可作答． 【详解】解：将代入抛物线解析式，得， ∴该抛物线一定经过点， 故A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴顶点纵坐标为， ∵， ∴顶点纵坐标的最小值为，不是， 故B选项符合题意； ∵点和纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为直线， 又抛物线对称轴为， ∴， 得， 故C选项不符合题意； 当时，抛物线解析式为， 令，得， 解得，， 即两个交点之间的距离为， 故D选项不符合题意． 【变式2】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）抛物线 与x轴没有交点，请写出一个符合条件的a的值为________． 【答案】1（答案不唯一，即可） 【分析】由进行求解即可． 【详解】解：抛物线与轴没有交点， ， 解得， 取． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 【答案】③ 【详解】解：函数图象与轴有两个交点， ，故①正确； 二次函数与轴的交点为，， 是方程的一个根，故②正确； 由图可知，当时，，当或时，，故③错误，④正确． 题型04 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例1】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知点，，在二次函数的图象上，则方程的解为（     ） A．x1=-，x2= B．x1=，x2= C．x1=2-，x2= D．x1=，x2= 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性，先由已知点求出二次函数的常数项和对称轴，将所求方程变形为二次函数的形式，结合已知点和对称性即可求出方程的解． 【详解】点在二次函数的图象上， ，二次函数解析式为， ，纵坐标相等， 二次函数的对称轴为直线， 方程变形得，即求二次函数时的值， 点在二次函数图象上， 是方程的一个解， 设方程的另一个解为，由对称性得， 解得， 方程的解为，． 【变式1】（2026·河南平顶山·一模）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（     ）．    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】A 【详解】解：由图可知，方程的根的情况为有两个不相等的实数根． 【变式2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．函数的图象和函数的图象交点的横坐标就是关于的一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 函数的图象和函数的图象一个交点的横坐标为， ∴一个交点的横坐标为， ∴关于的一元二次方程的解是． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）如图，已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为______，当时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查由图象解一元二次方程、图象求不等式解集等知识，涉及二次函数图象与性质，由图象可知，抛物线的顶点坐标为，数形结合可得一元二次方程的解；由图象可知，抛物线与轴的交点是和，数形结合可得当时，的取值范围，熟记二次函数图象与性质，熟练掌握图象解一元二次方程、图象求不等式解集的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 一元二次方程的解可理解为抛物线的图象与直线的交点横坐标， 即一元二次方程的解为； 由图象可知，抛物线与轴的交点是和， 是指抛物线图象在轴上方的部分， 即当时，的取值范围为； 故答案为：；． 题型05 求X轴与抛物线的截线长 【典例1】（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 【变式1】（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与直线有两交点A，B，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先联立抛物线与直线得到，然后设点，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由求解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线有两交点A，B， 设点 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得． 【变式2】（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）若抛物线 与轴两交点距离为，对称轴为，则抛物线解析式为_____________． 【答案】 【分析】本题利用抛物线对称轴公式求出参数，再结合抛物线与轴两交点的距离，根据根与系数的关系求出参数，即可得到抛物线解析式． 【详解】解：对于抛物线，可得二次项系数，一次项系数，常数项． 已知抛物线对称轴为，由抛物线对称轴公式，得： 解得． 设抛物线与轴两交点的横坐标分别为，，由题意得两交点距离为，即： 等式两边同时平方，得： 由完全平方公式变形得： 根据根与系数的关系，可得，， 将代入得，代入上式得： 整理得： 解得． 将，代入原抛物线方程，得抛物线解析式为． 【变式3】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，若，则点C的坐标是________ ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确利用根和系数的关系是解题关键． 设点A、B的横坐标分别为m、n， ，即可求解． 【详解】解：令， 设点A、B的横坐标分别为m、n， ∴，， 则， 解得：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 题型06 图象法确定一元二次方程的近似根 【典例1】（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 【详解】令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． 【变式1】（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（  ） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项C符合， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）小亮利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的实数根为________（结果保留小数点后一位）． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解． 由图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，再利用对称性即可求解． 【详解】解：函数图象与轴的公共点的横坐标大约是0.7，且对称轴为， 函数图象与轴的另一个公共点的横坐标大约是， 由此可以估计方程的实数根为，． 故答案为：，． 【变式3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 【答案】5.9(答案不唯一) 【分析】根据表格中的数据可知方程的一个根在之间，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∵， ∴根更靠近6，可估算为5.9， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根可取5.9（答案不唯一）． 题型07 图象法解一元二次不等式 【典例1】（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】解：∵二次函数的部分图象交轴于点， ∴时，的取值范围是， 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·河南南阳·期末）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度厘米/天)和光照强度勒克斯)之间存在一定关系．在低光照强度范围()内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围()内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．当时， C．当时，这种植物的生长速度最快 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二次函数的实际应用，涉及函数的增减性、函数与方程和不等式的对应关系．关键是再结合分段函数的图象和性质逐一分析选项： 【详解】解：选项A：当时，根据抛物线的对称性，对称轴为直线，且开口向下， 当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，故A错误； 选项B：当时，一次函数的最小值为，最大值为， ∴有一个的解； 又当时，随增大而减小，当时，， ∴有一个的根， 时有两个解，故B错误； 选项C：根据图象，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小， 当时，生长速度最快，故C正确； 选项D：根据图象，函数值时，的取值范围是，并非，故D错误． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，．则不等式的解是 ________． 【答案】或 【分析】利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 由图象可知，抛物线在直线上方时的的取值范围为或， 即不等式的解是或． 【变式3】（25-26九年级上·山东菏泽·期末）如图是二次函数的图象，有下列结论： ①；②当时，y随x的增大而减小；③；④方程的根是，；⑤；⑥中，其中你认为正确的结论序号是_________． 【答案】①③⑤⑥ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数和轴交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象可知，，即可判定①；根据二次函数的对称轴，即可判定②和③；根据当时，可判定④和⑤，根据和当时，可判断⑥． 【详解】解：二次函数的图象， 二次函数的图象开口向上，故；与轴交于负半轴，故， ，故①正确； 二次函数的图象对称轴为直线，开口向上， 当时，随的增大而增大，故②错误； 二次函数的图象对称轴为直线， ，即，故③正确； 根据图象可得二次函数的图象与轴的一个交点横坐标大于， ∵二次函数具有对称性，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与轴的另一个交点横坐标小于， 方程的根不是，，故④错误； 由图象可得，当时，，故⑤正确； 根据上述说明，可得当时，，故⑥正确 故答案为：①③⑤⑥． 题型08 利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例1】（2026·山东聊城·模拟预测）二次函数，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对二次函数配方，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标，再结合给定的取值范围，计算端点和顶点的函数值，即可得到的取值范围． 【详解】解： ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，对称轴为直线． ∵在内， ∴当时，取得最大值，即． 当时，； 当时，； ∴． 综上，当时，的取值范围是． 【变式1】（2026·山西阳泉·模拟预测）已知二次函数的自变量x与函数值y的几组对应值如下表： x 0 1 5 y 0 5 9 8 5 则下列关于该二次函数的说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．当时，y的取值范围为 C．一元二次方程有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 【答案】C 【分析】先利用表格中函数值相等的点得到对称点，求出对称轴，再代入点坐标求出二次函数解析式，最后逐一判断各选项正误． 【详解】解：∵时，时， ∴二次函数图象的对称轴为直线，故选项D错误． ∵时， ∴． 将，代入得， 又∵对称轴公式为直线， ∴． 联立方程得 解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴图象开口向下，选项A错误． 当时，时取得最大值，端点时， ∴的取值范围是，选项B错误． ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，选项C正确． 【变式2】（2026·湖北武汉·一模）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表：其中．以下结论： … … … … ①； ②若抛物线经过点，，则； ③关于的方程有两个不相等的实数根； ④； ⑤当，，的最大值是，则或． 其中正确的结论是________（填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据表格数据得到抛物线对称轴，求出与的关系，结合的范围判断开口方向与的符号，再利用二次函数的性质、一元二次方程根的判别式、不等式的性质逐一分析每个结论，判断其正确性． 【详解】解：当和时，均有， 点和点关于抛物线的对称轴对称， 抛物线的对称轴为， ∵， ∴， ∴抛物线解析式为， 由表格可知，当时，， ， ， 又∵当时，， ∴抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∴抛物线开口向下，即， ∵，， ∴， ，故正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ，开口向下的抛物线，离对称轴越远，函数值越小， ，故错误； 由题意得， ， ∴， 将代入得， ， 当时，， 将代入得，， 将代入得，， ， ，，即， 方程有两个不相等的实数根，故正确； ∵抛物线对称轴为， 和关于对称轴对称， ， ∵是的函数值， ∴， ， 将代入得，， ，即 解得， ∴ ，即，故正确； 当时，， 将代入得，， ∵， ∴， ∵时的最大值为， ∴在取值范围内不包含顶点， 当取值在顶点左侧时，即，则最大值在处， ∴ 解得， 若区间在顶点右侧，即，则最大值在处， ∴ 解得， 或，故错误， 综上所述，正确的结论是①③④． 【点睛】本题依托二次函数对称性开口性质，结合判别式、不等式范围综合判断，利用对称找点、距离比较函数值、参数代换化简代数式，在取值范围内找最值忽略顶点位置、代换参数算错范围． 【变式3】（2022·江苏常州·模拟预测）学习完函数的有关知识之后，小函对函数产生了浓厚的兴趣，他利用“描点法”画出函数的图象，如图，他对该函数的性质进行了探究．下面有个推断： ①该函数自变量的取值范围为； ②该函数有最小值； ③当时，随的增大而减小； ④方程有三个实数根． 其中正确的是 _____．（写序号） 【答案】①④ 【分析】根据函数的图象与函数的关系式综合进行判断即可． 【详解】解：由函数的图象可得，图象与轴无交点，即， 故函数自变量的取值范围为，故①说法正确； 根据图象可知，函数值可以是或负数，因此②说法不正确； 由函数的图象可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故③说法不正确； 根据函数的图象可直观看出该函数与直线，有三个交点，如图： 即方程有三个实数根，故④说法正确； 综上，正确的结论有：①④． 题型09 根据交点确定不等式的解集 【典例1】（25-26八年级下·北京·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，即可求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数 的对称轴为， ∴点关于的对称点的坐标为， ∴关于 的不等式的解集是 ． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 【变式2】（2026·重庆綦江·二模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴， ∴不等式的解集是或． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·云南文山·期中）已知二次函数为常数，且的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，熟练掌握该知识点是关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由函数图象可知，， ， ， 故A，B正确； 抛物线与x轴有两个交点， ， 故C正确； 抛物线经过， 当时，，故D不正确． 故选：D． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）抛物线的部分图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的对称性，利用图象求不等式的解集，根据对称性求出函数与轴的另一个交点坐标，结合图象确定解集即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 由图象可知，当时，图象在轴的上方，即， ∴当时，x的取值范围是； 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴，从而得出，，由二次函数的对称轴得出，即可判断①；由图象可得，抛物线与轴有两个交点即可判断②；由图象可得，当时，，结合以及即可判断③；熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图象可得，抛物线与轴有两个交点， 令，则，即此方程有两个不相等的实数根， ∴，故②正确； 由图象可得，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：D． 4．（25-26九年级上·北京大兴·期中）已知：抛物线，对称轴为，且，，有以下结论： 抛物线一定经过点； ； 关于x的一元二次方程必有一根大于1； 关于m的一元二次方程一定有两个不相等的实数根． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的综合． 根据条件 可判断，由和，得，，结合对称轴直线的解析式，可判断，由二次函数的图象和性质，结合图象平移变换，可判断，由一元二次方程的根的判别式，可判断． 【详解】解：∵， ∴ 当时，， ∴抛物线过点， 故正确； ∵ 对称轴， 由和，得，， ∴， ∴， ∴， 故错误； 设 ， ∵ ， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线经过点，， ∴抛物线向上平移1个单位后，在对称轴右侧与的交点横坐标一定大于1， ∴关于x的一元二次方程必有一根大于1， 故正确； 方程 的判别式 ， 代入 ，得 ， 若 ，则 ，，但 即 ，矛盾， ∴ ， ∴关于m的一元二次方程一定有两个不相等的实数根， 故正确， 综上，正确结论为． 故选：B． 5．（25-26九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数的最值问题，根据题意，可知二次函数开口向上，对称轴为，那么当时，函数取得最小值，结合时取得最大值，可判断的取值范围． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，开口向上，顶点为最小值点， 当时，， ∵当时取得最小值， ∴， ∴， ∵当时取得最大值， ， 令，则， 解得， 即， ∴， ， ． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图像在直线图像上方部分对应的范围即为，从而求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，的横坐标分别为和， ∴根据图像可知当时，的取值范围为， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图， 一次函数与二次函数的图象交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图象与方程的关系，理解方程的解为对应函数图象交点的横坐标是解题的关键． 根据方程的解就是两个函数交点的横坐标求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为一次函数与二次函数的图象交点的横坐标， ∴方程的解为：． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·云南昆明·期中）若二次函数的图象与轴没有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，二次函数与x轴的交点问题，解题的关键在于掌握：的图象与x轴没有交点，即没有实数根． 结合二次函数的定义和一元二次方程根的判别式来解答． 【详解】解：因为是二次函数，函数图象与x轴没有公共点， 所以 解得： 故答案为：． 9．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵抛物线与直线交于两点， ∴由图象可知：的解集为：或； 故答案为：或． 10．（25-26九年级上·山东淄博·月考）二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③；④其中，正确的是 . 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数性质和一元二次方程根的关系， 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据表格数据，当时，得；当时，代入函数得，结合，得，即，对称轴为，利用对称性判断函数值相等和方程根的关系，由时代入解析式得 【详解】解：由表格知，当时， ∴， 当时，代入 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴对称轴， ∴（因为）， 故①正确， ∵对称轴为， ∴点和关于对称轴对称， ∴， 故③正确； ∵对称轴为， ∴点和关于对称轴对称， 设当时，则时， ∴和是方程的两个根， 故②正确， 函数解析式为， 当时，代入得，即，，，故④错误， 综上所述：正确的是①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题 11．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数（为常数）图象经过点． (1)求的值． (2)若二次函数的图象经过点，求的最小值． (3)若二次函数在时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)的取值范围是 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质. （1）将代入即可求出的值； （2）将代入中，再利用二次函数的性质即可求出的最小值. （3）先求出的对称轴，再根据时，即可求出的取值范围. 【详解】（1）解：的图象经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）得 的图象经过， ， ， ∴的最小值为； （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为. ∵时，， ∴， 当时， ， 解得， ∴， ∴的取值范围是． 12．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点． (1)求两点的坐标； (2)根据图象直接写出当为何值时，一次函数的值大于二次函数的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，利用待定系数法求函数解析式，通过函数图象交点确定不等式的解集，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． （1）通过二次函数解析式求出点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式，联立解析式求交点坐标即可； （2）利用图象交点确定不等式解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∴，， 将代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴； （2）解：根据直线和抛物线的交点坐标可得， 当一次函数的值大于二次函数的值时，． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： (1)写出方程的解为________，________； (2)当________时，随的增大而增大； (3)当时，直接写出的取值范围为________ (4)当时，直接写出的取值范围是________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系． （1）解方程即可求解； （2）求解抛物线的对称轴方程结合抛物线的开口方向可得答案． （3）观察函数图象即可求解； （4）当时，当时，y取最小值，y在顶点处取最大值，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ，． （2）解：∵的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大． （3）解：的根为，， 二次函数的图象与轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为． （4）解：， 时，的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， 当时，的取值范围是． 14．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）利用二次函数求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）联立两函数解析式，求出方程组的解即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入二次函数，得， 解得，， ∴， 把代入一次函数，得， ∴； （2）解：∵， ∴一次函数， 由，解得或， ∴点的坐标为； （3）解：由函数图象可知，当时的取值范围为或． 15．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点在轴上，点是抛物线和轴的交点，点是直线和轴的交点． (1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和点坐标； (2)连接、、三点，求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，根据交点坐标求不等式的解集． （1）先求出点A的坐标，然后代入抛物线求出抛物线的解析式，最后联立一次函数和抛物线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点D的坐标，然后根据求出三角形的面积即可； （3）根据抛物线与直线的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 联立， 解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：把代入得， ∴点的坐标为， 把代入得， ∴点D的坐标为， ∴， ∴． （3）解：根据函数图象可知：当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为或． 16．（25-26九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点和点在二次函数（其中）的图像上． (1)若，求证：该二次函数与x轴必有两个交点； (2)若点是二次函数图像上的任意一点且满足，当时，求证：． 【答案】(1) 见解析 (2) 见解析 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数点的关系，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）求解判别式，判断判别式的符号即可证明； （2）先确定二次函数的对称轴，将点A与点B代入函数解析式，可求解m与n的值，再根据，可求解m的取值范围，由此可证明． 【详解】（1）证明：∵二次函数中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴该二次函数与x轴必有两个交点； （2）证明：∵点是二次函数图像上的任意一点且满足， ∴点是二次函数的最小值点，即顶点， 且函数图像开口向上，，对称轴， ∴， ∵点在图像上， ∴， 代入，得， ∵，且, ∴， ∵点在图像上， ∴， 代入，得， ∵， ∴， ∴． 17．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图象的对称轴是________； (2)在下图所示的平面直角坐标系中画出图象； (3)根据图象回答下列问题： ①当时，的取值范围为________； ②当时，的取值范围为________． 【答案】(1)直线 (2)见解析 (3)①或；② 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，求二次函数值． （1）根据对称轴计算公式求解即可； （2）分别求出、0、1、2、3对应的函数值，然后描点连线即可； （3）①根据函数图象求解即可； ②根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故答案为：直线； （2）解：在 中， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 如图： （3）解：①由函数图象可知，当时，x的取值范围为或， 故答案为：或； ②由函数图象可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线的图象经过点和点． (1)求该抛物线的解析式． (2)当时，求该抛物线中y的取值范围． (3)将该抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线解析式为______． (4)当直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)且 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移规律，理解二次函数的性质，二次函数解析式在平移中的变化规律： “左加右减，上加下减；”是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线，当时，，当时，，即可求解； （3）由二次函数平移规律即可求解； （4）根据函数图象结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：， 当时，y的最大值为4． 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为． （3）解：根据题意得； （4）解：如图，设平移前和平移后的二次函数图象交点为， 联立，则， 解得， 当时，， ∵二次函数的最大值为，二次函数的最大值为， 由图象可得且时，直线与原抛物线和新抛物线共有4个公共点． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，将变形为，则该方程的解即为抛物线与直线交点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线与直线交于点和点， ∴当或时，成立， 即方程的解为或， 故选：D 2．（2026·河南周口·模拟预测）下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 3．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）二次函数的最小值为，若该二次函数的图象不经过第三象限，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数最小值为求出的所有可能值，再结合二次函数图象不经过第三象限的条件筛选出符合要求的． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，最小值为顶点纵坐标． 根据顶点纵坐标公式列方程得， 整理得， 解得或． 当时，解析式为，顶点坐标为，顶点在第三象限，函数图象经过第三象限，不符合要求，舍去． 当时，解析式为，时，对称轴为直线，因此时，函数图象不经过第三象限，符合要求． ∴． 5．（2026·广东清远·三模）二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 【答案】D 【分析】当，，即可判断A选项；根据函数图象，求出二次函数与x轴的另一个交点为，即可判断B选项；根据函数图象开口向下，即可判断C选项；得到，根据对称轴为直线，得到，即可判断D选项． 【详解】解：由图象可得，当，，故A正确，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴二次函数与x轴的另一个交点为 ∴由图象可得，当时，，故B正确，不符合题意； ∵二次函数的图象开口向下， ∴，抛物线开口向下，故函数有最大值，故C正确，不符合题意； ∵对称轴为直线 ∴ ∴点在第二象限，故D错误，符合题意． 二、填空题 6．（2026·上海奉贤·三模）将抛物线向右平移2个单位，平移后的抛物线与轴交点的坐标是_______． 【答案】 【分析】先根据平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位， 根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 抛物线与轴交点的横坐标为，令，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 7．（25-26九年级上·湖北荆州·期末）二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为________． 【答案】5 【分析】此题考查了二次函数的性质，将代入函数解析式得到关于x的二次方程，解方程求得两个点的横坐标，再计算两点间的水平距离． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴， ∴二次函数的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为5． 故答案为：5． 8．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，抛物线与轴的交点，掌握相关知识是解决问题的关键．令，求出抛物线与轴两交点坐标，利用图像即可求时的的取值范围． 【详解】解：令 ， 由图象得：当时，． 故答案为：． 9．（2026·江苏·一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】联立两函数解析式得到，根据A、B两点的坐标可得，则可推出抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：联立得，即， ∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， ∴； 联立得，即， 设方程的两个实数根分别为， ∴，， ∴m、n可以看作是关于x的一元二次方程的两个实数根， 解方程得或， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴抛物线与直线的两个交点的横坐标分别为，， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 10．（25-26九年级下·山东滨州·期中）已知二次函数的图像如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．其中正确结论的个数为_____． 【答案】4 【分析】①由二次函数图像性质知，开口向下，则．再结合对称轴，有，即，则．据二次函数图像与轴正半轴相交得；②由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间，则当时，，即可判断；③，得，当时，，即，所以，把替换成计算；④时函数有最大值，所以当时的值大于当时的值，即，所以成立；⑤当时，有，此时有，当时，有，此时有，则有，即可判断． 【详解】解：∵图像开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线交于轴正半轴， ∴， ∴，故①正确； 由图像可知，抛物线与x轴正半轴交点的横坐标在2和3之间， ∴当时，， 即，故②正确； ∵根据图像可知，当时，， 即， ∴， ∴结合，有， ∴，故③正确； ∵时，有，且此时y值达到最大， 又∵时，有， ∴， ∴成立，故④正确． 根据有四个根， 可得和各有两个根， 当时，有，此时有， 当时，有，此时有， 则有， ∵， ∴，即：的四个根和为4，故⑤错误． 综上：①②③④正确，共4个． 三、解答题 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数． (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同的交点； (2)若，求函数与轴的交点坐标． 【答案】(1)证明：令，则有， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴不论为何实数，二次函数的图象与轴都有两个不同的交点． (2)， 【分析】（1）由题意可令，则有，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，则有， ∴令，则有， 解得， ∴二次函数与轴的交点坐标为，． 12．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）九下数学课本“二次函数与一元二次方程”，由函数图像求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能力． 【问题再现】 你能利用函数的图像（如图），探索方程=0的根的取值范围吗？ 从图可以看出，函数的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，与的点之间，所以一元二次方程有两个根，它们分别介于实数1与2，与之间 下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值 【解决问题】 解：当时， 当时， ． x的近似值可能为1或2 当时， ∴ （精确到1）． (1)补充以上解题过程； (2)继续探索：方程介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为 ，所以 ． 【答案】(1)，3，1，，1 (2)，， 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程，一元二次方程的近似根． （1）观察画出的抛物线，取1和2的中间数代入表达式中试值； （2）根据所求的函数值缩小取值范围，依次取两个端点值的中间数，代入表达式中试值，进而求得根的近似值． 【详解】（1）解：当时，， 当时，． ． x的近似值可能为1或2 当时， ． （精确到1）． 故答案为：，3，1，，1． （2）解：由（1）可知． 当时，， 当时，． ． 取中间值，当时，， 当时 ，，． ． 精确到0.1，． 13．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）若两条直线（）与（）存在交点，则这两条直线就叫做“伴随直线”，二次函数为“伴随函数”． (1)求直线的“伴随函数”解析式； (2)直线经过点，且m，n，t满足条件，求m的取值范围； (3)若直线（）的“伴随函数”与x轴两个交点的距离为，当时，其“伴随函数”的最小值为，求其“伴随函数”的解析式． 【答案】(1) (2)且且 (3) 【分析】（1）根据“伴随直线”的定义先求出“伴随直线”的解析式，再根据“伴随函数”的定义即可解答； （2）根据题意得的“伴随直线”的解析式为，联立，解得，得到，由已知可得，再结合即可解答； （3）求出直线的“伴随函数”解析式为，根据“伴随函数”与x轴两个交点的距离为，求出，，分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得的“伴随直线”的解析式为； ∴，解得， ∴“伴随点”的坐标为． ∴“伴随函数”的解析式为． （2）解：根据题意得的“伴随直线”的解析式为， ∴，解得， ∴． ∵直线经过点， ∴，即． ∵， ∴， 解得， ∵，则， ∴， ∴且且； （3）解：根据题意得的“伴随直线”的解析式为， ∴，解得， ∴． ∴直线的“伴随函数”解析式为． ∵ “伴随函数”与轴两个交点的距离为， ∴． 解得，． ①当时，的对称轴为． ∵， ∴在上，当时函数取得最小值， ∴，即， 解得，（舍去）， 此时． ∴“伴随函数”的解析式为． ②当时，的对称轴为． ∵， ∴在上，当时函数取得最小值， ∴，即， 解得，（不合题意，均舍去）． 综上所述，直线的“伴随函数”的解析式为． 14．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点和点． (1)求二次函数的解析式和另一交点的坐标； (2)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点，点代入求出二次函数解析式，将点代入求出一次函数解析式，将两个解析式联立即可求出点的坐标； （2）由（1）可得，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分，据此即可求解． 【详解】（1）解：将点，点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴正比例函数的解析式为， 令， 解得：或， 当时，；当时，； ∵为点的坐标， ∴的坐标为． （2）解：由（1）可得：， ∴，即， ∵，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴． 15．（25-26九年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左边），与轴交于点． (1)当时，求的长； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．当点从点出发沿轴的某个方向运动时，若的长度逐渐增大，且点与点的距离随长度的增大先变小后变大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】由，则有，，当时，，然后利用即可求解； 由知，，求出直线的解析式为，则，，所以，然后分当，即，此时点在左侧或重合，当，即，此时点在右侧，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由， 令，得，解得，， ∴，， 当时，， ∴； （2）解：令，得， ∴， 由知，， 设直线的解析式为，代入，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴在轴正半轴，点从出发，沿某方向运动使长度逐渐增大， 当，即，此时点在左侧或重合， ∵点从点出发沿轴的某个方向运动时，的长度逐渐增大， ∴，如图， ∴当时，随的增大而增大，不符合题意，舍去， 当，即，此时点在右侧， ∵点从点出发沿轴的某个方向运动时，的长度逐渐增大， ∴点向左运动时，满足的长度逐渐增大， ∴，如图， ∴对称轴为直线， ∵点与点的距离随长度的增大先变小后变大， ∴， 综上所述，满足条件的的取值范围是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.4二次函数与一元二次方程的关系 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01二次函数与坐标轴的交点 知识点02二次函数与一元二次方程的解 2.知识清单 知识点03二次函数与不等式 题型01求抛物线与坐标轴的交点 题型02已知二次函数的函数值求自变量的值 二次函数与一元二次方 题型03抛物线与X轴的交点问题 程的关系 题型04根据二次函数的图象确定方程根的情况 题型05求X轴与抛物线的截线长 3.题型精讲 题型06图象法确定方程的近似根 题型07图象法解一元二次不等式 题型08利用不等式求自变量或函数值的范围 题型09根据交点确定不等式的解集 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 理解二次函数图像与x轴交点和一元二次方程根的对应关系。 2. 会借助二次函数图像判断一元二次方程根的情况，能求方程近似根。 教学目标 3. 体会数形结合思想，构建二次函数与一元二次方程的知识体系，提升数学应用意 识。 1.重点 (1) 掌握二次函数与一元二次方程的内在联系，明确函数图像与x轴交点横坐标即 为方程的根。 教学重难点 (2)学会运用二次函数图像的相关特征分析并解决一元二次方程的相关问题。 2.难点 (1)难以透彻理解抛物线与x轴位置关系和一元二次方程根的情况的深层关联。 1/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)运用二者的联系解决综合问题时，难以灵活转化思路，熟练运用数形结合思 想。 知识清单 知识点01二次函数与坐标轴的交点 二次函数与坐标轴的交点知识总结 1.与y轴的交点： ·求法：令x=0,代入y=ax2+bx+c(a0),得y=c,交点为0，c)。 ·特征：必过一点，横坐标恒为0，纵坐标为常数项c。 2.与x轴的交点： -求法：令y=0,解一元二次方程ax2+bx+c=0,根x1、X2对应交点(x,0)、(x2,0)。 -根的情况与交点个数： -△>0：2个不同交点（方程有两个不等实根）： -△=0：1个交点（方程有两个相等实根，为项点)： -△<0：无交点（方程无实根）。 3.核心思想： -转化思想：将交点问题转化为解方程问题： ·数形结合：通过函数图像直观判断交点个数与位置。 【即学即练】1.在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-1与x轴交点的个数() A.3 B.2 C.1 D.0 2.己知二次函数y=-x-4x+a-3(a为常数)的图象只经过第二、三、四象限，则a的取值范围是 () A.-1<a≤3 B.-3<a<1 C.a≥3 D.a>-1 3.填空： (1)抛物线y=x'-3r+2与y轴的交点坐标是 与x轴的交点坐标是 (2)抛物线y=-2x2+5x-3与y轴的交点坐标是 与x轴的交点坐标是 知识点02二次函数与一元二次方程的解 2/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二次函数y=ar2+brtc（a,b,c是常数，a≠0) 1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ar+b+c=0的解 【即学即练】4.设二次函数y=ax+br+C(a≠0)，下表列出了x与y的6对对应值： 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程x2+bx+c=0的一个解的大致范围是() A.-7<x<-5B.1<x<2 C.-5<x<-1 D.-1<x<0 5.如图，已知二次函数y=ar2+br+C(a≠0)的图象与x轴的交点为A,B,点A的横坐标满足-2<x<-1, 对称轴是直线x=1.下列结论正确的是() A.2a-b=0 B.(a+c)2<b C.2c>3b D.方程ax2+bx+c=0的一个正根大于3小于4 6.二次函数y=ar2+br+C的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+br+c=0的解为 知识点03二次函数与不等式 解集分类推导 条件 不等式ar+br种c>0 不等式ar+brtc<0 a>0,△>0 x<x1或x>x2 xl<x<x2 a>0,△=0 x口=x0（全体实数除x0) 无解 a>0,△<0 全体实数R 无解 3/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 条件 不等式a+br+c>0 不等式 ax+br+c<O a<0,△>0 xl<x<x2 x<x1或x>x2 a<0,△=0 无解 xx0 a<0,△<0 无解 全体实数R 【即学即练】7.己知抛物线y=ax2+br+c(a≠0)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是 () -5-20/1x A.abc>0 B.b+4a=0 C.5a+c>0 D.当x<-5或x>1时，y>0 8.如图是二次函数y=x+bx+c的部分图象，由图象可知下列说法错误的是() x=2 5龙 A.a<0,b>0 B.不等式ax2+br+c>0的解集是0<x<5 C.b2-4ac>0 D.方程ar2+bx+c=0的解是x=5,x=-1 9.如图，抛物线y=ar2+c与直线y=mx+n交于A(-2,-3),B(3,9)两点，则不等式ax2+c<mx+n的解 集是 4/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01求抛物线与坐标轴的交点 【典例1】(25-26九年级上浙江·课后作业)在平面直角坐标系中，二次函数y=ar2-4ar+c(a≠0) 的图象与x轴的一个交点的横坐标为-1，则另一个交点的横坐标为() A.5 B.3 C.-3 D.-5 【变式1】(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)抛物线=-3(x-少+2与y轴的交点为（) A.(0,) B.(1,0) c.(-1,0) D.(0-1) 【变式2】(25-26九年级上湖北黄石阶段检测)抛物线y=-(x+2+17与y轴的交点坐标是 【变式3】(25-26九年级上·陕西延安期中)将抛物线y=(x+x-2)+5向下平移5个单位长度，所得 抛物线与x轴交于点A,B,则线段AB的长为一 题型02已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例1】(23-24九年级上·吉林阶段检测)将抛物线y=-x+4向下平移2个单位长度得到的抛物线必 定经过() A.（-2,4) B.(-1,1) c.(0,4) D.(1,-3) 【变式1】(2026福建三明三模)将抛物线C:y=-(x-3)'+6进行平移得抛物线C':y=-x2+2,点 P(m,5)在抛物线C上，对应点P'在抛物线C'上，则点P的横坐标可以是()， A.1 B.2 C.3 D.4 【变式2】(23-24九年级上山东淄博·阶段检测)一元二次方程2x2-x-2=0的近似根可以看做是下列哪 两个函数图象交点的横坐标() A.y=2x2和y=x+2 B.y=2x2和y=-x-2 C.y=-2x2和y=x+2 D.y=-2x2和y=-x+2 【变式3】(25-26九年级上广东东莞期中)函数y=-x2,当x=3时，y的值是 5/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03 抛物线与X轴的交点问题 【典例1】(2026广东肇庆二模)己知二次函数y=x-2x+1,下列说法错误的是() A.顶点坐标为(1,0) B.对称轴为直线x=1 C.函数图像与x轴有2个交点 D.当x<1时，y随x的增大而减小 【变式1】(2026陕西西安·模拟预测)关于抛物线y=-x2+m+m+1,下列说法错误的是() A.该抛物线一定经过点(-1,0) B.该抛物线顶点纵坐标的最小值为1 C.若点(-2，n)、(5,n)在该抛物线上，则m的值为3 D.当m=2时，该抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4 【变式2】(25-26九年级上湖北孝感期末)抛物线y=ar2+1与x轴没有交点，请写出一个符合条件的 a的值为 【变式3】(25-26八年级下·全国课后作业)已知二次函数y=ar2+bx+C(a≠0)的图象如图所示，则下 列结论：①b-4ac>0;②3是方程ax2+bx+c=0的一个根：③当-1<x<3时，y<0;④当x<-1或 x>3时，y<0.其中错误的是 一.（填序号） 题型04根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例1】(2026江苏扬州模拟预测)己知点A(0,0.3),B(N5,1,C(2,0.3)在二次函数 y=axr2+bx+c(a≠0)的图象上，则方程ax2+bx-0.7=0的解为() A.x=V5-V3,x=5 B.x=2-V3,x=√2 C.x=2-V2,x=V3 D.x=2-V3,x=V3 【变式1】(2026河南平顶山一模)二次函数y=a心+bx(a≠0)的图象如图所示，则方程ax2+bx=0的 根的情况为(). 6/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.可能只有一个实数根 【变式2】(25-26九年级上浙江绍兴期末)已知函数y=ar+bx(a≠0)的图象和函数y=t的图象如图所 示，则关于x的一元二次方程ax2+bx-t=0的解是」 y=ax+bx -0.50 x=1 【变式3】(2425九年级上广东江门阶段检测)如图，已知抛物线y=ax2+br+c的图象如图所示，则 一元二次方程ar2+bx+c=4的解为一，当y>0时，x的取值范围为 -o13引 题型05 求X轴与抛物线的截线长 【典例1】(2026内蒙古中考真题)二次函数y=-9的图象与x轴交于A,B两点，则线段AB的长是 () A.3 B.6 C.9 D.18 【变式1】(2026四川绵阳二模)若抛物线y=x2-3x+m与直线y=2有两交点A,B,且AB=2,则m 的值是() 7/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B.4 7 4 D.13 【变式2】(25-26九年级下·河南周口阶段检测)若抛物线y=x2+d+与x轴两交点距离为4，对称轴 为x=2,则抛物线解析式为 【变式3】(25-26九年级上·浙江台州阶段检测)如图，二次函数y=x+6x+c的图象与x轴交于A,B 两点，与y轴正半轴交于点C,若AB=4,则点C的坐标是 题型06图象法确定一元二次方程的近似根 【典例1】(25-26九年级下·广东深圳开学考试)根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0( a≠0，ab、c为常数)一个解的范围是() 3.23 3.24 3.25 3.26 -0.06 -0.02 0.03 0.09 ax2+bx+c A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26 【变式1】(25-26九年级上广东潮州期末)如图，点A(2.26,-0.32),B(2.56,0.41)在二次函数 y=ac2+bx+c(a≠0)的图象上，则方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能是() 2-101 2434 -1 A.2.67 B.2.56 C.2.39 D.2.26 【变式2】(25-26九年级上山西吕梁期末)小亮利用函数图象求方程x2+2x-2=0的实数根时，先画出 8/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 函数y=x+2x-2的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程 x2+2x-2=0的实数根为 (结果保留小数点后一位)· y v=x2+2x-2 2 2 【变式3】(25-26九年级上·北京阶段检测)在关于x的二次函数y=ax+bx+c中，自变量x可以取任意 实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： 1 2 3 4 5 6 7 8 y=ax2+bx+c -3.19 -3.10 -2.71 -2.05 -1.10 0.14 1.47 3.48 根据以上信息，关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 (结果保留小数点后一位小数)· 题型07 图象法解一元二次不等式 【典例1】(2025九年级上江苏泰州专题练习)已知二次函数y=ax+br+c的部分图象如图，若y<0 则x的取值范围是() A.-1<x<4B.-1<x<3 C.x<1或x>3D.x<1或x>4 【变式1】(25-26九年级上·河南南阳期末)在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度以厘 米/天)和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x≤1000)内，y与x近似成一次 函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图 象，下列结论正确的是（) 9/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0.6 0.3 02001000 3000x A.当x≥1000时，y随x的增大而增大B.当y=0.5时，x=800 C.当x=2000时，这种植物的生长速度最快D.当y≥0.6时，x≥1000 【变式2】(2425九年级上·湖南长沙期末)如图，抛物线y=x与直线y=br+c的两个交点坐标分别 为A(-3,9),Bl,1).则不等式ax22bx+c的解是 V B 【变式3】(25-26九年级上山东菏泽期末)如图是二次函数y=ar+br+c(a≠0)的图象，有下列结论： ①aC<0:②当x≥1时，y随x的增大而减小：③2a+b=0;④方程ax2+bx+c=0的根是x=-1,x2=3, ⑤4a+2b+c<0:⑥3a+c>0中，其中你认为正确的结论序号是 题型08 利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例1】(2026山东聊城模拟预测)二次函数y=-x2+2x+4,当-1<x<2时，y的取值范围是 () A.1<y<4 B.1<y<5 C.4≤y≤5 D.1<y≤5 【变式1】(2026山西阳泉模拟预测)己知二次函数y=ar+br+c(a≠0)的自变量x与函数值y的几组 10122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对应值如下表： -4 -3 -1 0 15 y 0 5 -27 则下列关于该二次函数的说法正确的是() A.图象开口向上 B.当4<x<1时，y的取值范围为0<y<5 C.一元二次方程ax+br+c=9有两个相等的实数根 D.图象的对称轴是直线x=1 【变式2】(2026湖北武汉·一模)已知抛物线y=aw2+br+c(a,b,c是常数且a≠0)的自变量x与 函数y的部分对应值如下表：其中-2<m<0.以下结论： 0 2 m ①abc>0: ②若抛物线经过点(-2，)，（7，y2),则y2>: ③关于x的方程ax2-bx+4b+c=3有两个不相等的实数根： 16 ④4<s+n<3: ⑤当m=-1,t-1≤x≤t+1,y的最大值是-1，则t=1或5. 其中正确的结论是 (填写序号). 【变式3】(2022江苏常州模拟预测)学习完函数的有关知识之后，小函对函数产生了浓厚的兴趣，他 利用“搭点法”画出西数y=+上的图象，如图，他对该函数的性质进行了探究。下面有4个推断： ①该函数自变量x的取值范围为x≠0： ②该函数有最小值2： ③当x>0时，y随x的增大而减小： ①方程r+3有三个实数根】 其中正确的是. (写序号) 11/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32012345 题型09 根据交点确定不等式的解集 【典例1】(25-26八年级下·北京阶段检测)二次函数y=ar+bx+C的部分图象如图所示，则关于x的不 等式ax2+bx+c之2的解集是() -2102x A.x≤2 B.x≤0 C.-3≤x≤0 D.x≤-3或x≥0 【变式1】(2026内蒙古通辽二模)一次函数=mr+n(m≠0)与二次函数乃=ar+br+c(a≠0)的图象 如图所示，则不等式ar2+(b-m)x+c>n的解集为() 12122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x<-1 B.x>4 C.-1<x<4 D.x<-1或x>4 【变式2】(2026重庆綦江二模)如图，抛物线y=ax2+b与直线y=mx+n交于A(-2,p),B(5,9)两点， 则不等式ax2-mx+b>n的解集是 【变式3】(25-26八年级下重庆期未末)如图，二次函数y=ar+br+c(a≠0)的图象与直线 y=mr+n(n≠0)有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于x的不等式ar+(b-m)x+c-n之0的解集 为 强化训练 13/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 基础自测 一、单选题 1.(25-26九年级上云南文山期中)已知二次函数y=x2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的图象如图所示， 则下列结论不正确的是() -寸o A.c>0 B.ab<0 C.b2-4ac>0 D.a-b+c>0 2.(25-26九年级上云南昆明期中)抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(-1,0)， 对称轴为直线x=1,当y>0时，x的取值范围是() A.-1<x<3 B.x>-1 C.x<-1或x>3D.无法确定 3.(25-26九年级上江苏苏州期中)已知二次函数y=ar+br+C(a≠0)图象的对称轴为直线x=-1,部 分图象如图所示，下列结论中：①abc<0;②b2-4ac>0;③4a+c<0;其中正确的结论有() A.①②③ B.①③ C.②③ D.①② 4.(25-26九年级上北京大兴期中)已知：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，对称轴为x=t,且 a+b+c=0,a<b<c,有以下结论： ①抛物线一定经过点(1,0)； 14122 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②0<1< 2 ③关于x的一元二次方程ar2+bx+c+1=0必有一根大于1： ④关于m的一元二次方程m2+bm+ac=0一定有两个不相等的实数根. 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①②④ B.①③④ c.①②③ D.②③④ 5(25-26九年级上西南宁期中)已知三次函数少)x1≤x≤1-，当，1时，函数取得最大 值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是() A.0<t≤2 B.0<t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 二、填空题 6.(25-26九年级上广东广州阶段练习)如图，抛物线少与直线2相交于点A和点B,点A,B的横坐 标分别为-2和4，则当>2时，x的取值范围为 VA V- 7.(25-26九年级上四川泸州期中)如图，一次函数y=a+b(k≠0)与二次函数y=ar2(a≠0)的图象 交于点(1,1)(-2,4)，则关于x的方程ax2=+b的解为 y=kx+b 8.(25-26九年级上云南昆明期中)若二次函数y=3x2-6x+m的图象与x轴没有公共点，则m的取值 范围是 9.(2425八年级下福建福州期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+C与直线y=x+n交 于A(2,p),B(-4,9)两点，则不等式ax2-mx-n+c≤0的解集是 15122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 v=mx+n v=ax2+c 10.(25-26九年级上山东淄博·月考)二次函数y=ax+br+c(a,b,c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y 的部分对应值如下表： -2 0 2 y=ax2+bx+c m -2 -2 且当x=2时，与其对应的函数值y>0,有下列结论：①abc>0:②-2和3是关于x的方程 ax2+bx+c=1的两个根：③m=n:④a 3其中，正确的是 三、解答题 11.(25-26九年级上浙江嘉兴期中)己知二次函数y=x2+2x+t-3(t为常数)图象经过0，)点. (1)求t的值 (②)若二次函数y=x+2x+t-3的图象经过点(m+l,n+),求n的最小值. (3)若二次函数y=x+2r+t-3在-3≤x≤m时，-3≤y≤1，求m的取值范围. 12.(25-26九年级上·广东潮州期中)如图，二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A,B（A在B的 左侧)，与一次函数y=-x+b的图象交于A,C两点. ()求A,C两点的坐标； (2)根据图象直接写出当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值. 13.(25-26九年级上·湖北武汉：月考)如图为二次函数y=-x2-2x+3的图象，试观察图象回答下列问题： 16122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)写出方程-x2-2x+3=0的解为= X2= (2)当x 时，y随x的增大而增大： (3)当y>0时，直接写出x的取值范围为 (④)当-3<x<3时，直接写出y的取值范围是 14.(25-26九年级上江苏苏州期中)如图，二次函数片=x-2x-3的图象与x轴交于点A和点B(点A 在点B的左侧)，与一次函数=-x+b的图象交于AC两点. B (1)求b的值； (2)求点C的坐标： (3)根据图象，直接写出当>2时x的取值范围. 15.(25-26九年级上广东惠州期中)如图，抛物线y=x+m的图象与一次函数y=x+1的图象交于A、 B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点。 y-x2+m y=x+1 (1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标： 17/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)连接A、B、C三点，求△ABC的面积： (3)直接写出不等式x2+m>x+1的解集， 16.(25-26九年级上福建厦门期中)在平面直角坐标系中，点A(,m)和点B(2,”）在二次函数 y=ax2+bx+1(其中a≠0)的图像上 (1)若b-a=2,求证：该二次函数与x轴必有两个交点： (2)若点C(x,)是二次函数图像上的任意一点且满足%≥m,当mn<0时，求证：a>1. 17.(25-26九年级上·北京期中)已知二次函数y=x2-2x-3. (1)直接写出该二次函数图象的对称轴是 (2)在下图所示的平面直角坐标系中画出图象； 4 -2 -5-4-3-219.12345x 3 4 5 (3)根据图象回答下列问题： ①当y>-3时，x的取值范围为. ②当0<x<3时，y的取值范围为 18.(25-26九年级上吉林期中)如图，已知抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点（-1,0)和点(3,0). y=m (1)求该抛物线的解析式。 (2)当-2<x<2时，求该抛物线中y的取值范围， (3)将该抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线解析式为 (④当直线y=m与原抛物线和新抛物线共有4个公共点时，直接写出的取值范围， 18122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 能力提升 一、单选题 1.(25-26九年级上安徽六安期中)已知抛物线y=ax2+c(a≠0)与直线y=c+b交于点A(-1,3)和点 B(5,-2),则关于x的方程ar2+c=cr+b的解是（) A.x=2或x=-3 B.x=-2或x=3 C.x=1或x=-5 D.x=-1或x=5 2.(2026河南周口模拟预测)下列表格中是二次函数y=ax2+br+c(a≠0)的白变量x与函数y的一些对 应值，可以判断一元二次方程ar+br+c=0(a≠0)的一个近似根是() 6.7 6.8 6.9 7.0 y=ax2+bx+c -0.3 -0.1 0.2 0.6 A.6.7 B.6.8 C.6.9 D.7.0 3. (2026江西中考真题)如图，观察函数y=x2+3x-3的图象，可以发现方程x2+3x-3=0在0,1之 间有根.取0,1的平均数0.5，当x=0.5时，y<0,进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程 x2+3x-3=0另一根更接近的是() A.-4.5 B.-4 C.-3.5 D.-3 4.(2026陕西西安·模拟预测)二次函数y=x2-2m+4-m的最小值为-2，若该二次函数的图象不经过第 三象限，则m的值为() A.-3 B.-1 C.2 D.4 5.(2026广东清远三模)二次函数y=ar+br+c(a≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是() 19122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.c>0 B.当-1<x<2时，y>0 C.函数有最大值 D.点(a,b)在第四象限 二、填空题 6.(2026上海奉贤·三模)将抛物线y=x2-2向右平移2个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是 7.(25-26九年级上·湖北荆州期末)二次函数y=x-3x-3的图象上纵坐标为1的两个点之间的距离为 8.(25-26九年级上湖南衡阳期末)如图是二次函数y=-x+2x+3的图象，使y≥0成立的x的取值范 围是■ 9.(2026江苏一模)如图，抛物线y=a2+c与直线y=c+b交于A(-3,m),B(1,m)两点，则不等式 ax2+c+c<b的解集是 10.(25-26九年级下山东滨州期中)已知二次函数y=ax+br+c(a≠0)的图像如图所示，有下列5个 结论：①abc<0:②9a+3b+c<0:③2c<3b:④a+b>m(am+b)(m≠1)：⑤若方程lar2+br+d=1有 四个根，则这四个根的和为2.其中正确结论的个数为一 20122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 yA x=1 三、解答题 11.(25-26八年级下全国·课后作业)已知函数y=x2-mx+m-2 (1)求证：不论m为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点： (2)若m=2，求函数与x轴的交点坐标 12.(25-26九年级上·江苏泰州阶段检测)九下数学课本“5.4二次函数与一元二次方程”，由函数图像 求方程近似根的活动，体验了数学中“无限逼近”的思想和方法，培养了“数形结合”探讨问题的研究能 力 【问题再现】 你能利用函数y=x2+2x-5的图像（如图5-11），探索方程x2+2x-5=0的根的取值范围吗？ y=x2+2x-5 0 43-2-1。 123 -2 -3 -4 6 图5-11 从图5-11可以看出，函数y=x2+2x-5的图像与x轴有两个公共点，它们分别位于表示实数1与2，-4与 -3的点之间，所以一元二次方程x2+2x-5=0有两个根，它们分别介于实数1与2，-4与-3之间 下面，我们借助计算器，探究介于1与2之间根的近似值 【解决问题】 解：当x=1时，y=<0 当x=2时，y=>0 .1<x<2」 x的近似值可能为1或2 21122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x=1.5时，y=0.25>0 -<x< ∴x≈_（精确到1）· (1)补充以上解题过程： (2)继续探索：方程x2+2x-5=0介于1与2之间的根的近似值（精确到0.1），因为_<x<-,所以x≈_ 13.(25-26九年级下安徽芜湖期中)若两条直线y=mr+n(m≠0)与y=r+m(n≠0)存在交点 P(,),则这两条直线就叫做“伴随直线”，二次函数y=mr+r+t为“伴随函数”· ()求直线y=3x+2的“伴随函数”解析式： (2)直线y=mx+n经过点(-2,3)，且m,n,t满足条件4m<t<2,求m的取值范围； (3)若直线y=mx+n(m>1)的“伴随函数”与x轴两个交点的距离为2√2，当m≤x≤m+6时，其“伴 随函数”的最小值为一m,求其“伴随函数”的解析式。 14.(25-26八年级下·浙江宁波期末)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(0,2)，且与正比例函 数=的图象交于点A,)和点B. (1)求二次函数的解析式和另一交点B的坐标： (2)根据函数图象，直接写出不等式x2+bx<x-C的解集。 15.(25-26九年级下北京阶段检测)在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=x+(2-2a)x-4a(a>0)与x 轴交于点A和点B(点A在点B的左边)，与y轴交于点D (1)当a=1时，求AB的长： (②)过点E(,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直线BD于点N.当点E从点(2,0)出发沿x轴的某个 方向运动时，若BE的长度逐渐增大，且M点与N点的距离随BE长度的增大先变小后变大，求a的取值 范围 22122