专题03 二次函数与一元二次方程的关系 重难点题型专训 -2026-2027学年浙教版九年级数学上册

该初中数学讲义通过“知识点梳理-题型分类-综合检测”构建二次函数与一元二次方程关系的知识体系，用表格对比根的判别式、函数图象与方程根的情况，清晰呈现三者内在联系，突出交点问题、根的判定等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题型如“求抛物线与x轴交点坐标”夯实基础，提高题型如“函数交点综合问题”提升能力，结合图象法培养几何直观与推理意识，自我检测助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题03 二次函数与一元二次方程的关系重难点题型专训（3个知识点+10大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求抛物线与x轴的交点坐标 1 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标 2 题型三、已知二次函数的函数值求自变量的值 3 题型四、抛物线与x轴的交点问题 4 题型五、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 5 题型六、求x轴与抛物线的截线长 6 题型七、图象法确定一元二次方程的近似根 7 题型八、图象法解一元二次不等式 8 题型九、利用不等式求自变量或函数值的范围 9 题型十、根据交点确定不等式的解集 10 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数与一元二次方程综合问题 1 题型二、函数交点综合问题 2 题型三、二次函数与不等式综合问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 求一元二次方程的近似解的方法（图象法） （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段检测）已知二次函数的变量x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 … y … 1 2 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用表格可知随着x的增大，的值逐渐增大，在和时函数值由负数变为正数，即可得到方程的一个近似解的范围． 【详解】解：观察表格可知，随着x的增大，的值逐渐增大，在和时函数值由负数变为正数， ∴一元二次方程的一个近似解在和之间，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（25-26九年级上·江苏常州·期中）根据下列表格的对应值： x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.0044 0.0269 判断方程一个解x的取值范围为 _____． 【答案】 【分析】根据函数的图象与x轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 【详解】解：由表中数据可知：当时，；当时，， ∴当时，在与之间， ∴方程一个解x的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与x轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在． 知识点02 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·山西临汾·期中）根据下表可判断关于的方程的一个根的范围是（    ） 4.27 4.28 4.29 0.1542 0.0432 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．熟练掌握二次函数图象和一元二次方程的关系是解题的关键． 由表可知，0在0.0432与之间，然后看对应的的取值即可． 【详解】解：由表可知，0在0.0432与之间， ∴对应的的取值范围为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线如图所示，则关于的方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题主要查了二次函数与一元二次方程的关系．观察图象得：抛物线与x轴的交点坐标为，即可求解． 【详解】解：观察图象得：抛物线与x轴的交点坐标为， ∴关于的方程的解是，． 故答案为：，． 知识点03 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【即时训练】 1．（2026·广西柳州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数（）的对称轴为，且图象与轴的一个交点的横坐标为， 由抛物线上点的对称性可知，图象与轴的另一个交点的横坐标为， 故选：A． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是 ___． 【答案】或 【分析】利用“方程的解即为对应函数与轴的交点横坐标”和二次函数的对称性求解两根． 【详解】解：抛物线的对称轴为，与轴的一个交点是， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，的两个根为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了函数与方程的联系、二次函数的轴对称性，解题的关键是掌握函数与方程即“函数与轴的交点横坐标就是时的方程的解”． 【基础题型一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（24-25九年级上·广东江门·期中）二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，求抛物线对称轴，把求关于x的一元二次方程的解转化为求二次函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性得到二次函数图象与x轴的另外一个交点坐标，从而得到的解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且函数图象与x轴交于点， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为横坐标满足，解得， ∴方程的解为，， 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】将已知交点坐标代入二次函数解析式求出参数，再令解一元二次方程，即可得到另一个交点的坐标． 【详解】解：把代入， 得， 整理得，解得， 即二次函数解析式为， 令，得， 因式分解得， 解得，， ∵已知图象与轴的一个交点坐标是， ∴它与轴的另一个交点坐标是． 1．（2026·广东清远·三模）二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 【答案】D 【分析】当，，即可判断A选项；根据函数图象，求出二次函数与x轴的另一个交点为，即可判断B选项；根据函数图象开口向下，即可判断C选项；得到，根据对称轴为直线，得到，即可判断D选项． 【详解】解：由图象可得，当，，故A正确，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴二次函数与x轴的另一个交点为 ∴由图象可得，当时，，故B正确，不符合题意； ∵二次函数的图象开口向下， ∴，抛物线开口向下，故函数有最大值，故C正确，不符合题意； ∵对称轴为直线 ∴ ∴点在第二象限，故D错误，符合题意． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的部分图象如图所示，顶点坐标为，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，______． 【答案】 【分析】由二次函数图象的顶点坐标为，可得对称轴为，所以， 然后把代入即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴， 又∵， ∴． 3．（25-26九年级上·广东珠海·期中）已知二次函数． (1)该函数的顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ． (2)根据图象回答：时，的取值范围是 ． (3)根据图象回答：当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)；， (2) (3)或 【分析】本题考查的是把抛物线化为顶点式，顶点坐标，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． （1）先把抛物线化为顶点式可得坐标，再令函数值，可得，可得抛物线与x轴的交点坐标； （2）根据函数的图象得到当时，y的最大值与最小值即可得到答案； （3）根据函数的图象得到当时,的取值范围为轴上方自变量的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为：， 令，则， ∴， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为：，． 故答案为：；，． （2）根据图象可得当时，最小值为， 当时，， ∴． （3）∵抛物线与x轴的交点坐标为：，． ∴根据图象可知，当时，的取值范围是或． 【基础题型二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例1】（2026·四川乐山·模拟预测）已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据二次函数的基础性质，逐一验证四个结论，利用代入法、配方法、分类讨论区间最值的方法判断结论正误． 【详解】解：对①：令，得，∴二次函数图象与轴交点坐标是，①正确． 对②：对函数配方得， ∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误． 对③：代入坐标得，，∵， ∴，化简得，结论错误，③错误． 对④：二次函数开口向上，对称轴为，对区间分情况讨论： 若，即，二次函数随的增大而增大，，不含； 若，即，二次函数随的增大而减小， ，不含； 若，即，最小值为顶点纵坐标，最大值在离对称轴更远的端点，计算得仍消去，不含； 因此的值与无关，④正确． 综上，正确结论共个． 【例2】（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）抛物线与轴的交点坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，解题的关键是掌握：抛物线与轴交点的横坐标为0，将代入解析式可求交点的纵坐标． 将代入抛物线解析式，计算出对应的值，即可得到与轴的交点坐标． 【详解】解：将代入解析式： 所以，抛物线与轴的交点坐标是． 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，，其中正确的有（     ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的最值，抛物线与一元二次方程的关系等解答即可. 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在负半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴, ∴,， ∴, 故①②正确； ， 根据图象，得时，， 故③错误； 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取得最小值， 对于任意实数，当时，函数值， ， ， 故④正确； 二次函数的图象经过点， 设其对称点为，根据题意，得， 解得， 方程的两根为， 又方程的两根为，， ， ， 故⑤错误． 2．（2026·广东·模拟预测）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③若方程有两个根，且，则；④若抛物线与y轴的交点在与之间，则的取值范围是．其中正确结论的是______． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可判断①结论；利用抛物线的顶点坐标，可判断②结论；利用抛物线与轴的交点，可判断③结论；根据抛物线与y轴的交点可判断④结论． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴的负半轴相交， ∴，，， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点坐标， ∴，， ∴，， ∴，故②错误； ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ∴抛物线交x轴于，， ∵若方程有两个根和，且， ∴，故③正确； ∵抛物线与y轴的交点在与之间，， ∴， ∵， ∴， 解得：，故④正确， 即正确结论的是①③④， 故答案为：①③④． 3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)求该二次函数图象与轴、轴的交点坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象． 【答案】(1)顶点坐标 (2)抛物线与轴交点为，；抛物线与轴交点为 (3) 解：画图如图所示： 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将函数关系式运用配方法配成顶点式即可解答； （2）令，得一元二次方程，求出的值，可得函数图象与轴的交点，令，可得的值，从而可得函数图象与轴的交点； （3）根据表格描点连线，从而可以画出相应的函数图象． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标． （2）解：令，得 ， 解得：， 抛物线与轴交点为，； 令，则， 抛物线与轴交点为． （3）略 【基础题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例1】（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）根据下列表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由表格可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得出答案． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根， ∴的一个解的取值范围为． 故选：C． 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解．解题的关键是理解和掌握二次函数图像和一元二次方程的关系． 【例2】（25-26九年级上·广东东莞·期中）函数，当时，y的值是______． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的函数值，掌握知识点是解题的关键． 将代入函数解析式，计算即可． 【详解】解：当时，． 故答案为:． 1．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）若点在抛物线上，则下列结论正确的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把点M、N、P的横坐标代入抛物线解析式求出相应的函数值，即可得解． 【详解】解：x=﹣2时，， x=﹣1时，， x=8时，， ∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出各函数值是解题的关键． 2．（25-26九年级上·北京通州·期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是________． 【答案】2 【分析】根据题意，将分别代入 ，，求得的正数解，即求得的坐标，进而即可求得的长． 【详解】解：，则解得，即 解得，即 故答案为： 【点睛】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键． 3．（25-26九年级·浙江温州·学业考试模拟）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴． (2)将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 【答案】(1)；直线 (2)， 【分析】（1）根据待定系数法即可求解解析式，进而可知对称轴； （2）根据平移的性质即可求得坐标，进而代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ． ， ，， ，， 代入到抛物线的表达式得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线． （2）解：由（1）得，点， 由平移的性质得，点，， 将点代入函数表达式可知： 解得或（舍去）． 【基础题型四 抛物线与x轴的交点问题】 【例1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 【例2】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 【答案】 【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：． 即点M到直线l的距离为． 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据抛物线与x轴的交点可判断①；由对称轴可判断②；根据及时的函数值可判断③和④． 【详解】解：由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点， 即方程有两个不相等的实数根， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由图象知当时，， 即，故③错误； 由图象知当时，， 即，故④正确． 故正确的有①④． 2．（25-26九年级下·浙江宁波·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 【答案】或 【分析】当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解． 【详解】解：如图，当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点， 如图，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点， 当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点， 综上所述，t的取值范围是或． 3．（25-26九年级上·广西百色·阶段检测）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 【基础题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例1】（2026·四川成都·模拟预测）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … … t m 2 2 n … 当时，与其对应的函数值．有以下结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③；④，其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据表格数据推出，，判断①，求出对称轴，结合表格数据推出和2是关于x的方程的两个根，判断②，根据时，与其对应的函数值，求出的范围判断③，求出，进而求出的范围，判断④. 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， ∴ ∴，①正确； ∵和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，则时，， ∴和2是关于x的方程的两个根；故②错误； ∵， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 当时，，则， ∴， 当时，，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④错误. 【例2】（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③； ④当时，y随x的增大而增大； ⑤． 其中正确的有______．（填序号） 【答案】②③④⑤ 【分析】根据开口方向可得，根据对称轴为直线，得到，根据二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，得到，据此可判断①；根据二次函数与x轴的一个交点的坐标为，可判断②⑤；根据二次函数与x轴有两个不同的交点可判断③；根据二次函数的增减性可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数与x轴的一个交点的坐标为， ∴当时，，故⑤正确； ∴，即，故②正确； ∵二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴，即，故③正确； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故④正确； 综上所述，正确的有②③④⑤． 1．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在之间，则有结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由抛物线开口方向及对称轴位置判断 关系；利用抛物线对称性确定 时函数值的符号；根据顶点坐标公式变形判断等式；结合函数图象顶点纵坐标与直线 的位置关系判断方程根的情况 ． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，则 抛物线顶点坐标为 对称轴为直线 ，即 ，故②错误； 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线 抛物线与轴的另一个交点在和之间 当时， ，故①正确； 顶点坐标为 ，故③正确； 抛物线顶点纵坐标为，且开口向下， 抛物线与直线有两个交点 一元二次方程 有两个不相等的实数根，故④正确 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． 3．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，抛物线经过点，． (1)写出，的关系； (2)将抛物线向右平移（）个单位长度，得到新抛物线，若点，均在抛物线上，都有，求的取值范围； (3)如果每取一个确定值，方程（为常数，且）的根都是整数，求的取值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)，，． 【分析】（1）已知抛物线与轴的两个交点，设交点式解析式并展开为一般式，对比系数即可得到与的关系． （2）先由交点坐标求出原抛物线的对称轴，结合平移规律得到新抛物线的对称轴；根据开口向下的二次函数的增减性，将函数值大小关系转化为点到对称轴的距离关系，列不等式求解的取值范围． （3）将方程的整数根转化为抛物线与直线交点的横坐标为整数，利用抛物线的对称性，结合的条件枚举整数根，代入解析式求出对应的值． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 设抛物线解析式为． ． ∵， ∴； （2）解：抛物线经过点，， 原抛物线的对称轴为直线． 抛物线向右平移个单位长度得到抛物线， 抛物线的对称轴为直线． ， 抛物线开口向下，点到对称轴距离越远，函数值越小． 点，在抛物线上，且， ． ． ， ， ． ①当时，， 解得， ． ②当时，， 解得． 综上，的取值范围为； （3）解：由（1）得抛物线解析式为． 抛物线的对称轴为直线． 方程的根都是整数， 抛物线与直线的交点横坐标为整数，且关于直线对称． ， 整数根的可能情况为重根，或两根为和，或两根为和． 当时，， ． 当时，， ． 当时，， ． 的取值为，，． 【基础题型六 求x轴与抛物线的截线长】 【例1】（2026·内蒙古·模拟预测）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 【答案】③ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，通过求解每个抛物线与x轴的交点坐标，计算两点之间的距离，比较得出最短距离即可得出结论． 【详解】解：对于抛物线①： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线②： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线③： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 因为， 所以两交点之间的距离最短的是抛物线③． 故答案为：③． 1．（25-26九年级上·山东烟台·期中）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（    ） A．过点(3，0) B．顶点是(-2，2) C．在轴上截得的线段的长是2 D．与轴的交点是(0，3) 【答案】B 【分析】由题目条件可知该二次函数图象对称轴为x=2，可求得抛物线与x轴的另一交点，则可判断A、C；由抛物线顶点的横坐标应为对称轴，即可判断B；把x=0代入可求得y=c，由c的值有可能为3，故可判断D正确． 【详解】解：由题可知抛物线与x轴的一交点坐标为(1，0)，抛物线对称轴为x=2， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)， ∴在x轴上截得的线段长是3-1=2， ∴A、C正确，不符合题意； ∵该二次函数图象对称轴为x=2， ∴顶点横坐标应为2， ∴B一定不正确，符合题意； 把x=0代入可求得y=c， ∴当c=3时，抛物线与y轴的交点坐标为(0，3)， ∴D有可能正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．掌握函数图象上的点关于对称轴的对称点一定也在二次函数的图象上是解题关键． 2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 【答案】 【分析】根据题意求出的长，根据对称性可求出点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； ∵抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点， ∴点A和点C关于抛物线的对称轴对称，点B与点D关于抛物线的对称轴对称， ∴点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为， ∴． 3．（2025九年级·河北·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为点P为该抛物线上一点，其横坐标为 (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d，n，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)的面积为1 (3)或 【分析】对于，将点A和点B坐标代入求解即可； 对于，当轴时，点P与点B关于对称轴直线对称，可得点，进而即可得解； 对于，过点B作轴交抛物线于点E，则，分三种情况讨论：①当点P在点B和点C之间时，即时，②当点P在点C和点E之间时，即时，③当点P在点E下方时，即时，据此求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入， 得 解得 该抛物线的解析式为； （2）解：由知，， 点C的坐标为， 当轴时，点P与点B关于对称轴直线对称， 点， ，点C到PB的距离为1， ， 的面积为1； （3）解：过点B作轴交抛物线于点E，如图所示： 此时点E与点B关于对称轴直线对称，， ①当点P在点B和点C之间时，即时， ，， ， ， 解得不合题意； ②当点P在点C和点E之间时，即时， ，， 符合题意， ； ③当点P在点E下方时，即时，， ， ， ， 或， 解得或或， ， ； 综上所述，m的取值范围为或 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【基础题型七 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例1】（24-25九年级上·山东日照·阶段检测）根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（    ） 2.23 2.24 2.25 2.26 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据上面的表格，可得二次函数的图象与轴的交点坐标即为方程的解，当时，；当时，；则二次函数的图象与轴的交点的横坐标应在2.24和2.25之间． 本题主要考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是：熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法． 【详解】∵当时，； 当时，； ∴方程的一个解的范围是：， 故选：C． 【例2】（25-26九年级·上海黄浦·自主招生）对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如， ，那么的最大值为______． 【答案】1 【分析】分别作出的图象，由图象知的最大值． 【详解】解：作出的图象， ， 如图，实线部分即的函数图象， ， 解得或 当时，， 所以的最大值为． 1．（25-26九年级上·山东济南·期中）如表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.04 0.59 1.16 … A．1.08 B．1.2 C．1.28 D．1.38 【答案】B 【分析】观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值． 【详解】解：∵时，；时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，更靠近点， ∴方程有一个根约为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数的图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，是解题的关键． 2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数 (1)填写下表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 … y … … (2)结合函数图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）． 【答案】(1)；2；3；2； (2)， 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： ⋯ 0 1 ⋯ ⋯ 2 3 2 ⋯ 描点并连线略 （2）略 【基础题型八 图象法解一元二次不等式】 【例1】（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）设二次函数（是常数，），如表列出了，的部分对应值． … … … … 则不等式的解集是________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式，解决问题的关键是熟练掌握表格中的数字信息，待定系数法求二次函数的解析式．根据抛物线经过点，，得到对称轴为直线，推出点关于直线的对称点是，设二次函数的解析式为，把数对代入得，解得，推出抛物线开口向上，根据抛物线的对称性，推出不等式的解集是． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点关于直线的对称点是， ∴设二次函数的解析式为， 将代入得，， ∴， ∴抛物线开口向上， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 1．（2026九年级·重庆·学业考试）如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（   ）    A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】∵抛物线与直线交于， ∴不等式为：或， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键２ 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④（m为任意实数）；⑤．其中结论正确的为________． 【答案】④⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定是关键． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ， ，故①错误，不符合题意； ②根据图象可得当时，，故②错误，符合题意； ③根据图象可得当时，y随x的增大而减小，故③错误，不符合题意； ④当时，取最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故④正确，符合题意； ⑤当时，， ，故⑤正确，符合题意； 故答案为：④⑤． 3．（25-26九年级下·河南郑州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先利用点求出直线的解析式，再求出点，最后使用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分为，和三类讨论，结合抛物线的增减性求出每种情况的最大值和最小值，判断两数之差是否为定值即可； （3）根据题意，点，，结合线段与抛物线有一个公共点可得不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越大， ①当时， ∴在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值； 不是定值，不符合题意； ②当时， ∴抛物线在顶点处取得最大值，即当时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最小值， 为定值，符合题意； ③当时， 同理，当时，取得最大值；当时，取得最小值； 不是定值，不符合题意； 综上所述，的取值范围为； （3）解：根据题意，点的坐标为， ∵点向上平移两个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴， 由①得， 由②得或， ∴点的横坐标的取值范围为或． 【基础题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例1】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由点A存在可得，再根据恒成立，推导出或，结合点A存在条件得的取值范围． 本题考查了二次函数的增减性，解不等式，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在函数图象上，且， ∴ ， 解得； ∵ 函数开口向上，对称轴， ∴到对称轴的距离大，其点对应的函数值也大， ∵， 且， ∴范围内，处取得最大值， ∴ ； ∵点也在函数图象上，且， ∴ ， 由恒成立，得， 化简得，即， 解得或， 结合点A存在条件， ∴ 或； 故选：D． 【例2】（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】直接根据给定的函数值大小关系列不等式求解即可． 【详解】解：为抛物线上三点， ∴， ， ， 又∵， ∴， 解得： ． 1．（2026·四川自贡·三模）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可； 【详解】解：根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第四象限，纵坐标小于0，此时对应的函数值为， ∴， 故①正确； 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为，且为函数的最大值， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∴， 故②正确； ∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故③正确； 设抛物线与x轴的正半轴的交点为，与负半轴的交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得， 根据图象，得， ∴， 解得， 根据图象，当时，直线与抛物线的交点位于第二象限，纵坐标大于0，此时对应的函数值为， 故， 故④错误； ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵二次函数开口向下， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确； 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）为了研究函数的性质，小广用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 2 3 … … m … 下列五个结论：①；②该函数图象在x轴上方；③该函数图象与直线有2个交点；④当时，该函数图象有最低点；⑤点和是该函数图象上两点，若，则或或．其中正确的结论是________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】将代入即可判断①；根据题意判断出即可判断②；将代入得到或，然后根据判别式即可判断③；首先求出抛物线与x轴的交点坐标为和，得到当时，，然后得出，得出中，有最大值，进而可判断④；由表格得到，当时，，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】解：①将代入，故①正确； ②∵， ∴， ∴该函数图象在x轴上方，故②正确； ③当时，， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或， ∴该函数图像与直线有4个交点，故③错误； ④设， 当时，， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，， ∴此时， ∵中， ∴此抛物线开口向下， ∴它有最大值， ∴有最小值，即函数有最低点，故④正确； ⑤∵点和是该函数图象上两点， ∴由表格得，当时，， 当时，， ∵若， ∴， ∴， ∴， 解得或，故⑤错误． 综上所述，其中正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查二次函数的图象和性质，二次函数与x轴交点问题，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 3．（25-26九年级上·北京·期末）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：列表如下： … 0 … … … 函数图象见解析； （3）解：由函数图象可知，当时，． 【基础题型十 根据交点确定不等式的解集】 【例1】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于负半轴，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．该函数有最大值 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据图象与y轴交于负半轴确定的取值范围，再配方得到顶点式，结合开口方向、对称轴、增减性和与x轴的交点逐一判断选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于负半轴， 当时，， ∴， 解得，抛物线开口向上，故A错误． 将二次函数配方得：，可得对称轴为直线，顶点坐标为． ∵，开口向上， ∴当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小，故B错误． ∵，开口向上， ∴二次函数有最小值，没有最大值，故C错误． 令，则， ∵，等式两边同除以得， 因式分解得， 解得，． ∵抛物线开口向上， ∴当时，， ∵满足， ∴当时，，故D正确． 【例2】（25-26九年级上·北京海淀·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 1．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 2．（25-26九年级上·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数和不等式的关系，解题关键是通过数形结合求解；通过抛物线与直线的交点即可求解． 【详解】解：∵抛物线和直线交于点和点， ∴或时，抛物线在直线的上方， ∴不等式的解集为：或， 故答案为：或． 3．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)画出函数图象． (2)求出二次函数的解析式． (3)当时，的取值范围为___________． 【答案】(1)画出函数图象如图所示： (2) (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出结果； （3）结合函数图象即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：根据图象及表格可得，二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （3）解：由函数图象可得，当时，的取值范围为． 【提高题型一 二次函数与一元二次方程综合问题】 【例1】（25-26九年级上·山东济宁·期中）“如果二次函数的图象与轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解．解决下面问题：若，是关于的一元二次方程的两个根且，则实数，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数与方程的关系，并数形结合是解题的关键． 令，则，为抛物线与轴的交点坐标，作函数图象，由题意知，，是直线与抛物线交点的横坐标，如图，然后结合图象判断大小关系即可． 【详解】解：令， ∴，为抛物线与轴的交点坐标，且函数图象开口向上，如图，作的图象， ∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴，即， ∴，是直线与抛物线交点的横坐标，如图， 由图象可知，， 故选：A． 【例2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．函数的图象和函数的图象交点的横坐标就是关于的一元二次方程的解，据此求解即可． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为直线， 函数的图象和函数的图象一个交点的横坐标为， ∴一个交点的横坐标为， ∴关于的一元二次方程的解是． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）下表列出了二次函数（）的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围大概是（    ） x … 0 1 … y … 15 3 3 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的对称性，二次函数与一元二次方程的关键．根据表格数据可得二次函数图象关于y轴对称，且图象开口向上，过点，，，，即可得到当时，或，根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：由表可知，二次函数的图象过点，， ∴该函数图象的对称轴为，即关于y轴对称，且图象开口向上， ∵二次函数的图象过点，， ∴根据对称性可得二次函数的图象也过点，， ∴当时，或， ∴一元二次方程的解的范围为或． ∴的其中一个解的取值范围大概是， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）如图，已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为______，当时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查由图象解一元二次方程、图象求不等式解集等知识，涉及二次函数图象与性质，由图象可知，抛物线的顶点坐标为，数形结合可得一元二次方程的解；由图象可知，抛物线与轴的交点是和，数形结合可得当时，的取值范围，熟记二次函数图象与性质，熟练掌握图象解一元二次方程、图象求不等式解集的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 一元二次方程的解可理解为抛物线的图象与直线的交点横坐标， 即一元二次方程的解为； 由图象可知，抛物线与轴的交点是和， 是指抛物线图象在轴上方的部分， 即当时，的取值范围为； 故答案为：；． 3．（25-26九年级上·北京海淀·期末）如图，抛物线经过点，，，直线经过点，，部分图象如图所示，则：    (1)该抛物线的对称轴为直线______ ； (2)关于的一元二次方程的解为______ ； (3)关于的一元二次方程的解为______ ； (4)若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是______ ． 【答案】(1) (2)， (3)， (4) 【分析】（1）根据抛物线经过点，即可得到抛物线的对称轴； （2）由抛物线的对称轴为直线及经过点，得到该抛物线还过点，即抛物线与x轴相交于点和，即可得到关于的一元二次方程的解； （3）根据抛物线经过点，，直线经过点，，即可得到的解； （4）设该抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式为，得到该抛物线的最大值为，由一元二次方程无实数根，即可得到的取值范围是． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 该抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （2）由（1）知：该抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过点， 该抛物线过点， ∴抛物线与x轴相交于点和， 一元二次方程的解为，， 故答案为：，； （3）抛物线经过点，，直线经过点，， 一元二次方程的解为，， 故答案为：，； （4）设该抛物线的解析式为， 该抛物线经过点， ， 解得， ， ∵， ∴抛物线开口向下， 该抛物线的最大值为， 一元二次方程无实数根，则的取值范围是， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程、二次函数的最值等知识， 熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【提高题型二 函数交点综合问题】 【例1】（2026·山西朔州·三模）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为4 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，即可判断选项；根据图象可知函数没有最大值，即可判断选项；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离即可判断选项；根据函数图象即可判断选项． 【详解】解：选项，对于二次函数，令，解得，原二次函数与轴的交点坐标为，翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，故选项错误； 选项，结合图象可知，函数没有最大值，故选项错误； C选项，二次函数，令，则有，即，解得，，所以原二次函数与轴的交点坐标为，，翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，，图象与轴两个交点之间的距离为，故选项正确； 选项，二次函数，对称轴为，翻折后新函数图象的对称轴不变，为，由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故选项错误． 【例2】（25-26九年级上·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 1．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由图象可判断④，由时函数取最大值可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴，故②正确； ∴，故①正确； ∵时，， ∴时，，故③不正确； 由图象可得当时，不一定大于0， ∴当时，不一定大于0，故④不正确； 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有3个． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）其部分图象如图所示，下列结论： ①2a＋b＝0； ②b2﹣4ac＜0； ③方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝2； ④将y＝ax2先向右平移1个单位，再向上平移4个单位可得到y＝ax2＋bx＋c的图象； ⑤当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3 其中正确的结论是_____．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，得＝1，即可判断①正确；由抛物线与x轴有两个交点，可判断②不正确；根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），可判断③不正确；根据抛物线过（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）三点，可求得抛物线为，，则抛物线y＝ax2为，将先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到的抛物线为，化简得，可判断④正确；根据当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方，可判断⑤正确． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴＝1，即2a＋b＝0，故①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＞0，即b2﹣4ac＞0，故②不正确； ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故③不正确； ∵抛物线过（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）三点 则，解得 ∴抛物线 ∴则抛物线y＝ax2为， ∴将先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到的抛物线为，化简得，故④正确； ∵当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方， ∴y＞0，故⑤正确， 故答案为：①④⑤． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图像与系数的关系、函数图像的变换、与一元二次方程的联系等，熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 3．（25-26九年级上·吉林延边·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该图象与x轴的另一个交点坐标； (3)观察图象，当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，设该二次函数的表达式为，把，分别代入解析式，转化为方程组解答即可． （2）设该图象与x轴的另一个交点坐标为，根据，解答即可． （３）根据抛物线的对称轴，开口方向，确定时，二次函数的最大值与最小值，再确定范围即可． 【详解】（1）解：根据题意，设该二次函数的表达式为． 把，分别代入解析式，得 ， 解得， 该二次函数的表达式为． （2）解：设该图象与x轴的另一个交点坐标为， 根据题意，得， 解得． （3）解：∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值， 且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴在这个范围内， ∴二次函数的最大值为４, ∵， ∴当时，取得最小值，且最小值为， 故的取值范围为． 【点睛】熟练掌握增减性和最值确定方法，是解题的关键． 【提高题型三 二次函数与不等式综合问题】 【例1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）已知关于的一元三次方程的解为，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C．或或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了函数和不等式的关系，理解函数图象的性质，应用数形结合的思想解题是关键．令，根据题意得到的图象与轴的交点为，作的图象，根据图象信息即可得到答案． 【详解】解：令， 关于的一元三次方程的解为， 的图象与轴的交点为， 的图象与轴的交点不含， 当时，， 作的图象如下， 当时，， 即， 关于的不等式的解集是或， 故选：D． 【例2】（2026·江苏常州·模拟预测）如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是_______. 【答案】 【分析】根据图象可得点A右侧与点B左侧抛物线在直线上方，进而求解． 【详解】解：整理不等式，可得， ∵直线与抛物线交于，两点， ∴的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系（用函数观点看不等式），利用数形结合思想解题是关键． 1．（25-26九年级下·山东济宁·期中）如图，已知开口向下的抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，与一次函数的图象交于，下列结论正确的有（    ） ①； ②； ③使不等式成立的x的取值范围是或； ④若关于x的一元二次方程有实数根，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质和一元二次方程的根与系数，根据图像可知，结合对称轴得，即可判定①和②错误；进一步结合交点和图像位置关系可知其取值范围，判定③正确；结合一元二次方程的根与系数即可求得④正确． 【详解】解：由图像知， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，则， ∴，则①错误； ，则②错误； ∵一次函数的图象与抛物线交于，， ∴不等式成立的x的取值范围是或，则③正确； ∵一元二次方程有实数根， ∴，解得，则④正确； 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②时，y随x的增大而增大；③；④不等式的解集是；其中正确的是________．（填序号） 【答案】① 【分析】由抛物线图像开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点可确定a、b、c的符号，即可判断①；直接观察图像即可判断②；由图知时，，即可判断③；观察图像可得或时，即可判断④． 本题考查了二次函数图像与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图像与系数的关系． 【详解】解：①∵抛物线图像开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∴， 由图知， ∴， 故①正确； ②由图知，当时，y随x的增大先减小后增大， 故②错误； ③由图知时，， ∴， 故③错误； ④由图知或时， ∴不等式的解集是或， 故④错误． 故答案为：① 3．（2026·陕西西安·模拟预测）二次函数的图象如图所示，根据图象填空： (1)方程的两个根为________________； (2)不等式的解集为_______________； (3)y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为___________； (4)若方程有实数根，则 k 的取值范围为_________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）根据图象可知二次函数与x轴的交点坐标，交点的横坐标即为方程的两个根； （2）由图象可知二次函数在x轴上方图象的自变量的取值范围，即可得到不等式的解集； （3）根据二次函数的图象和性质，即可得到答案； （4）由方程有实数根可知，二次函数与直线有一个或两个交点，再利用顶点坐标，即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：由图象可知，二次函数与x轴的交点坐标为，， 即方程的两个根为，； （2）解：由图象可知，二次函数在x轴上方图象的自变量取值范围是，即不等式的解集为； （3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 即y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为； （4）解：∵方程有实数根， ∴二次函数与直线有一个或两个交点， 由图象可知，抛物线的顶点坐标为， ∴，即方程有实数根，k的取值范围为． 1．（2026·浙江宁波·模拟预测）命题：“二次函数，当时必与轴有交点”，要说明这个命题是假命题，可以举的反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反例需满足且二次函数与轴无交点，先排除不符合的选项，再验证剩余选项的判别式． 【详解】解：要说明命题为假命题，反例需满足，且二次函数与轴无交点， ∵ 命题的条件为， ∴ 、均不满足条件，故B、D，不符合题意； 当时，令， ， ∴ 二次函数与轴无交点，符合反例要求； 故A符合题意； 当时，令， ， ∴ 二次函数与轴有一个交点，不符合反例要求，故C不符合题意． 2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数的部分对应值如下表：关于它的图象，下列判断正确的是（    ） x … －1 0 1 2 3 … y … 0 4 6 6 4 … A．开口向上 B．与y轴交于负半轴 C．与x轴的一个交点是 D．在直线的左侧，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图像及性质． 根据表格数据，利用待定系数法求二次函数解析式，再根据二次函数图像及性质分析各选项． 【详解】∵ 由表可知，点、、在函数图象上， 设二次函数解析式为 ， 将代入得 ， 将代入得 ，即 ， 将代入得 ，即 ， 联立方程： ， 解得 ，， ∴ 解析式为 ， 验证点：，符合； 点：，符合． 分析选项： A.∵ ，∴ 开口向下，故选项错误； B.∵ 当 时 ，∴ 与 轴交于正半轴，故选项错误； C.当 时，，∴ 与 轴交于点，故选项正确； D.∵ 对称轴 ，且开口向下，∴ 在 时 随 增大而增大，故选项错误． 故选 C． 3．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，再根据对称轴计算较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为， 由表可知，当时，；当时，， 方程的一个较小根满足。 根关于对称轴对称，设较大根为，则 ， 。 当时，； 当时，； ， 故选：C． 4．（2026·山东青岛·模拟预测）二次函数 的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，反比例函数以及一次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，根据二次函数的图象得出，结合一次函数关系式即可排除B，C，根据二次函数对称轴可得，根据二次函数经过得出，假设一次函数与反比例函数的图象相交，则 ，进行判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据二次函数图象得，根据一次函数关系式得出直线经过第一、三、四象限，排除 B，C； 根据对称轴是直线，得，即． 将代入二次函数关系式，得，即． 假设一次函数与反比例函数的图象相交，则 ， 整理得，即， 即 ， 因为，所以方程无实根， 即一次函数与反比例函数的图象无交点，故 A 符合题意， 故选：A． 5．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 6．（2026·江苏镇江·一模）已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 【答案】4 【分析】利用二次函数图象的对称性，方程的两个根关于对称轴对称进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为， ∴对称轴为直线， ∵方程的一个根为， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， ∴设另一个根为， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴方程的两个根关于对称， ∴， 解得． 故答案为：4． 7．（2026·辽宁·模拟预测）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 8．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，抛物线y＝x2+1与双曲线y＝的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 +x2+1＜0的解集是_______ 【答案】-1<x<0 【分析】如图作抛物线y＝x2＋m关于x轴对称的抛物线y＝−x2−m，设抛物线y＝−x2−m与y＝的交点为A′，由对称性可知，A与A′关于原点对称，推出A′点的横坐标为−1，由图象可知＜−x2−m时，x的取值范围为−1＜x＜0，由此即可解决问题． 【详解】解：如图作抛物线y＝x2＋m关于x轴对称的抛物线y＝−x2−m，设抛物线y＝−x2−m与y＝的交点为A′， 由对称性可知，A与A′关于原点对称（两个抛物线、一个反比例函数的图象关于原点成中心对称）， ∴A′点的横坐标为−1， 由图象可知＜−x2−m时，x的取值范围为−1＜x＜0， ∴＋x2＋m＜0的解集为−1＜x＜0. 故答案为：−1＜x＜0 【点睛】本题考查二次函数与不等式、轴对称变换、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． 9．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有__________． 【答案】①③④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可得a、b、c的取值范围，由此可判断①；根据结合c的取值范围可对②进行判断；由可得A的坐标，代入解析式可判断③；由点A坐标结合对称轴可得点B坐标，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， 把代入得， ∴，故③正确； ∵，对称轴为直线， ∴， ∴是关于x的一元二次方程的一个根，故④正确； 综上可知，正确的有①③④． 10．（2026九年级·浙江杭州·模拟预测）如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 11．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴为直线 (2) (3)当或时，；当或时，；当时， 【分析】（1）先化为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象的开口方向和对称轴求解即可； （3）先令求得，，再根据抛物线开口向上即可求解． 【详解】（1）解：由得：顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； （3）解：令，即，，． 即当或时，； ∵抛物线的开口向上， ∴当或时，； 当时，． 12．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，二次函数经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为________． 【答案】(1)； (2)①1；②且 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与轴的交点问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先利用配方法得到，则当时，有最小值； ②写出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围，并且自变量不取顶点的横坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：①， 当时，有最小值， 即时，方程， 故答案为：1； ②不等式的解集为且． 故答案为：且． 13．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）已知二次函数． (1)用配方法将解析式化为的形式； (2)已知二次函数中的满足下表，求的值； … 0 1 2 … … 3 … (3)结合（2）中所给的表格，在给定的平面直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象． 【答案】(1) (2) (3) 如图所示： 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、画函数图象等知识点，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）通过配方法求解即可得到答案； （2）将代入求解即可得到答案； （3）根据（2）和表格数据，描点、连线作图即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由表格数据可知，当时，， 即， 解得或， ； （3）略 14．（2026·河南·模拟预测）已知二次函数的图象与轴相交于点，与的部分对应值如表（为整数）： (1)直接写出的值和点的坐标． (2)在给出的坐标系中画出该函数图象的草图． (3)过点A作直线轴，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．请你结合新图象回答：当直线与新图象有两个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称性求得，根据表中的数据特征得出点坐标； （2）画出函数图象的草图即可； （3）观察图象，即可求得的值． 【详解】（1）解：当和时对应的值相等， 故二次函数的对称轴为， ∴； 由表格知，图象过， ∵图象与y轴相交于点， ∴； （2）略 （3）解：新图象如图： 由图象可知，直线与新图象有两个公共点，直线与新图象有两个公共点， 综上，或． 15．（2026·山东潍坊·模拟预测）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质． 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … m 0 n … (1)直接写出表中m、n的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当时，函数图象关于原点对称； ②时，函数有最小值，最小值为； ③时，函数y的值随x的增大而减小． 其中正确的是 ．（请写出所有正确命题的序号） (3)结合图象，请直接写出不等式的解集 ． 【答案】(1)，， (2)①②③ (3)或 【分析】（1）将x的值代入函数解析式求出m、n，描点，连线画出函数图像即可； （2）利用奇函数性质判断原点对称，观察图象最低点判断最小值，观察图象升降判断增减性； （3）把不等式问题转化为两个函数图象上下位置关系，求出交点横坐标，写出对应x的范围． 【详解】（1）解：把代入得， 把代入得， ，， 函数的图象略； （2）解：观察函数的图象， ①当时，函数图象关于原点对称，正确； ②时，函数有最小值，最小值为，正确； ③时，函数y的值随x的增大而减小，正确； （3）解：如图， 由图象可知，函数与直线的交点为、、， 不等式的解集为或， 不等式的解集为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与一元二次方程的关系重难点题型专训（3个知识点+10大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求抛物线与x轴的交点坐标 1 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标 2 题型三、已知二次函数的函数值求自变量的值 3 题型四、抛物线与x轴的交点问题 4 题型五、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 5 题型六、求x轴与抛物线的截线长 6 题型七、图象法确定一元二次方程的近似根 7 题型八、图象法解一元二次不等式 8 题型九、利用不等式求自变量或函数值的范围 9 题型十、根据交点确定不等式的解集 10 第二部分·练提高题型 题型一、二次函数与一元二次方程综合问题 1 题型二、函数交点综合问题 2 题型三、二次函数与不等式综合问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 求一元二次方程的近似解的方法（图象法） （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·辽宁本溪·阶段检测）已知二次函数的变量x，y的部分对应值如下表： x … 0 1 … y … 1 2 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏常州·期中）根据下列表格的对应值： x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.0044 0.0269 判断方程一个解x的取值范围为 _____． 知识点02 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·山西临汾·期中）根据下表可判断关于的方程的一个根的范围是（    ） 4.27 4.28 4.29 0.1542 0.0432 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线如图所示，则关于的方程的解是______． 知识点03 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 【即时训练】 1．（2026·广西柳州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（    ） A．5 B．3 C． D． 2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是 ___． 【基础题型一 求抛物线与x轴的交点坐标】 【例1】（24-25九年级上·广东江门·期中）二次函数的图象过点，则的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是________． 1．（2026·广东清远·三模）二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的部分图象如图所示，顶点坐标为，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是，______． 3．（25-26九年级上·广东珠海·期中）已知二次函数． (1)该函数的顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ． (2)根据图象回答：时，的取值范围是 ． (3)根据图象回答：当时，的取值范围是 ． 【基础题型二 求抛物线与y轴的交点坐标】 【例1】（2026·四川乐山·模拟预测）已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）抛物线与轴的交点坐标是__________． 1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，，其中正确的有（     ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2026·广东·模拟预测）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③若方程有两个根，且，则；④若抛物线与y轴的交点在与之间，则的取值范围是．其中正确结论的是______． 3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)求该二次函数图象与轴、轴的交点坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象． 【基础题型三 已知二次函数的函数值求自变量的值】 【例1】（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）根据下列表格对应值： 判断关于x的方程的一个解的范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·广东东莞·期中）函数，当时，y的值是______． 1．（25-26九年级上·江西上饶·阶段检测）若点在抛物线上，则下列结论正确的（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京通州·期末）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是________． 3．（25-26九年级·浙江温州·学业考试模拟）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴． (2)将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 【基础题型四 抛物线与x轴的交点问题】 【例1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【例2】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 1．（25-26九年级上·陕西安康·期中）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2．（25-26九年级下·浙江宁波·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 3．（25-26九年级上·广西百色·阶段检测）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 【基础题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【例1】（2026·四川成都·模拟预测）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … … t m 2 2 n … 当时，与其对应的函数值．有以下结论：①；②和3是关于x的方程的两个根；③；④，其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③； ④当时，y随x的增大而增大； ⑤． 其中正确的有______．（填序号） 1．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在之间，则有结论：①；②；③；④一元二次方程有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 3．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，抛物线经过点，． (1)写出，的关系； (2)将抛物线向右平移（）个单位长度，得到新抛物线，若点，均在抛物线上，都有，求的取值范围； (3)如果每取一个确定值，方程（为常数，且）的根都是整数，求的取值（用含的代数式表示）． 【基础题型六 求x轴与抛物线的截线长】 【例1】（2026·内蒙古·模拟预测）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 1．（25-26九年级上·山东烟台·期中）由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（    ） A．过点(3，0) B．顶点是(-2，2) C．在轴上截得的线段的长是2 D．与轴的交点是(0，3) 2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 3．（2025九年级·河北·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，该抛物线的顶点为点P为该抛物线上一点，其横坐标为 (1)求该抛物线的解析式； (2)当轴时，求的面积； (3)当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为d，n，当时，直接写出m的取值范围． 【基础题型七 图象法确定一元二次方程的近似根】 【例1】（24-25九年级上·山东日照·阶段检测）根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（    ） 2.23 2.24 2.25 2.26 A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级·上海黄浦·自主招生）对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如， ，那么的最大值为______． 1．（25-26九年级上·山东济南·期中）如表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.04 0.59 1.16 … A．1.08 B．1.2 C．1.28 D．1.38 2．（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是________． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数 (1)填写下表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； x … 0 1 … y … … (2)结合函数图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）． 【基础题型八 图象法解一元二次不等式】 【例1】（25-26九年级上·北京·期中）如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【例2】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）设二次函数（是常数，），如表列出了，的部分对应值． … … … … 则不等式的解集是________． 1．（2026九年级·重庆·学业考试）如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（   ）    A．或 B．或 C． D． 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④（m为任意实数）；⑤．其中结论正确的为________． 3．（25-26九年级下·河南郑州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【基础题型九 利用不等式求自变量或函数值的范围】 【例1】（25-26九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【例2】（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 1．（2026·四川自贡·三模）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中所有正确结论的序号是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）为了研究函数的性质，小广用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 2 3 … … m … 下列五个结论：①；②该函数图象在x轴上方；③该函数图象与直线有2个交点；④当时，该函数图象有最低点；⑤点和是该函数图象上两点，若，则或或．其中正确的结论是________（填序号）． 3．（25-26九年级上·北京·期末）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【基础题型十 根据交点确定不等式的解集】 【例1】（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于负半轴，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．该函数有最大值 D．当时， 【例2】（25-26九年级上·北京海淀·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 1．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 2．（25-26九年级上·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A，则关于x的不等式的解集为______． 3．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)画出函数图象． (2)求出二次函数的解析式． (3)当时，的取值范围为___________． 【提高题型一 二次函数与一元二次方程综合问题】 【例1】（25-26九年级上·山东济宁·期中）“如果二次函数的图象与轴有两个公共点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解．解决下面问题：若，是关于的一元二次方程的两个根且，则实数，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 1．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）下表列出了二次函数（）的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围大概是（    ） x … 0 1 … y … 15 3 3 … A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）如图，已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为______，当时，的取值范围为______． 3．（25-26九年级上·北京海淀·期末）如图，抛物线经过点，，，直线经过点，，部分图象如图所示，则：    (1)该抛物线的对称轴为直线______ ； (2)关于的一元二次方程的解为______ ； (3)关于的一元二次方程的解为______ ； (4)若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是______ ． 【提高题型二 函数交点综合问题】 【例1】（2026·山西朔州·三模）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为4 D．当时，的值随值的增大而增大 【例2】（25-26九年级上·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 1．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）其部分图象如图所示，下列结论： ①2a＋b＝0； ②b2﹣4ac＜0； ③方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝2； ④将y＝ax2先向右平移1个单位，再向上平移4个单位可得到y＝ax2＋bx＋c的图象； ⑤当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3 其中正确的结论是_____．（填序号） 3．（25-26九年级上·吉林延边·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该图象与x轴的另一个交点坐标； (3)观察图象，当时，直接写出y的取值范围． 【提高题型三 二次函数与不等式综合问题】 【例1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）已知关于的一元三次方程的解为，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C．或或 D．或 【例2】（2026·江苏常州·模拟预测）如图，直线与抛物线交于，两点，则关于x的不等式的解集是_______. 1．（25-26九年级下·山东济宁·期中）如图，已知开口向下的抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，与一次函数的图象交于，下列结论正确的有（    ） ①； ②； ③使不等式成立的x的取值范围是或； ④若关于x的一元二次方程有实数根，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②时，y随x的增大而增大；③；④不等式的解集是；其中正确的是________．（填序号） 3．（2026·陕西西安·模拟预测）二次函数的图象如图所示，根据图象填空： (1)方程的两个根为________________； (2)不等式的解集为_______________； (3)y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围为___________； (4)若方程有实数根，则 k 的取值范围为_________． 1．（2026·浙江宁波·模拟预测）命题：“二次函数，当时必与轴有交点”，要说明这个命题是假命题，可以举的反例是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数的部分对应值如下表：关于它的图象，下列判断正确的是（    ） x … －1 0 1 2 3 … y … 0 4 6 6 4 … A．开口向上 B．与y轴交于负半轴 C．与x轴的一个交点是 D．在直线的左侧，y随x的增大而减小 3．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东青岛·模拟预测）二次函数 的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 6．（2026·江苏镇江·一模）已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 7．（2026·辽宁·模拟预测）如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 8．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，抛物线y＝x2+1与双曲线y＝的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 +x2+1＜0的解集是_______ 9．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有__________． 10．（2026九年级·浙江杭州·模拟预测）如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 11．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知抛物线． (1)用配方法求顶点坐标、对称轴． (2)直接写出取何值时，随的增大而减小． (3)直接写出取何值时，；取何值时，；取何值时，． 12．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，二次函数经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)利用图象的特点填空： ①当________时，方程； ②不等式的解集为________． 13．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）已知二次函数． (1)用配方法将解析式化为的形式； (2)已知二次函数中的满足下表，求的值； … 0 1 2 … … 3 … (3)结合（2）中所给的表格，在给定的平面直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象． 14．（2026·河南·模拟预测）已知二次函数的图象与轴相交于点，与的部分对应值如表（为整数）： (1)直接写出的值和点的坐标． (2)在给出的坐标系中画出该函数图象的草图． (3)过点A作直线轴，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．请你结合新图象回答：当直线与新图象有两个公共点，求的取值范围． 15．（2026·山东潍坊·模拟预测）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数的图象，并探究其性质． 列表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … m 0 n … (1)直接写出表中m、n的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当时，函数图象关于原点对称； ②时，函数有最小值，最小值为； ③时，函数y的值随x的增大而减小． 其中正确的是 ．（请写出所有正确命题的序号） (3)结合图象，请直接写出不等式的解集 ． 学科网（北京）股份有限公司 $